Matematisk modellering og numeriske metoder

Transkript

1 Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret på de ikke-negative reelle tal. Hvi integralet F () = L(f)() = e t f(t) dt () ekiterer, å kalde L(f) Laplace-tranformationen af f. Den lineære operator L om afbilder en funktion ind i in Laplace-tranformation kalde ogå for Laplace-tranformationen. Bemærkning.2. Notationen f(t) dt = I betyder at tørrelen f(t) dt = I(M) ekiterer for alle M > og at grænen lim M I(M) ekiterer og er ligmed I. Laplace-tranformationen af en funktion navngivet med et lille bogtav (ekempelvi f) krive ofte om amme bogtav i tor udgave (ekempelvi F ). I det følgende vil vi reervere bogtavet t til den uafhængige variabel af den originale funktion, men bruge om den uafhængige variabel af Laplace-tranformationen. Hvi F () = L(f)() for alle værdier af, kriver vi ogå f = L (F ). Der finde forkellige funktioner f g om opfylder, at L(f) = L(g), å trengt taget er L (F ) ikke entydigt defineret. Heldigvi har dette problem ikke de tore praktike konekvener og kan helt undgå, hvi man ekempelvi holder ig til kontinuerte funktioner; hvi f g og f og g begge er kontinuerte, å vil ogå L(f) L(g). Ekempel.3. Lad f(t) = for t. Vi vil finde L(f). Pr. definition, for. L(f)() = L()() = e t dt = e t t= =,

2 Ekempel.4. Lad f(t) = e at for t og en kontant a. Vil vil finde L(f). Vi bruger igen definitionen: L(e at )() = e t e at dt = a e ( a)t = a, når a >..2 Linearitet af Laplace-tranformationen Som allerede nævnt er Laplace-tranformationen L en lineær operator. Og hvad betyder å det? Jo: Definition.5 (Lineær operator). En lineær operator L er en afbildning fra et vektorrum X til et andet vektorrum Y om opfylder L(ax + by) = al(x) + bl(y) for alle vektorer x, y X og alle kalarer a, b. Denne egenkab kan bruge til nemmere at udregne Laplace-tranformationen af en funktion. Vi ikke har præcieret hvilke funktionrum, L er defineret fra og til, men det kan vie, at de rent faktik begge er vektorrum. Vi vil nu vie påtanden: Sætning.6 (Laplace-tranformationen er en lineær operator). Laplace-tranformationen er en lineær operator. Bevi. Lad a og b være reelle tal, og antag at f og g ligger i domænet for L, dv. e t f(t) dt og e t g(t) dt ekiterer. Dette betyder at I f (M) = e t f(t) dt og I g (M) = ekiterer for alle M og har de endelige græneværdier t= e t g(t) dt lim I f(m) = I f = M e t f(t) dt og lim M I g(m) = I g = e t g(t) dt. Da integration er lineær, å må e t (af(t) + bg(t)) dt = a e t f(t) dt + b e t g(t) dt = ai f (M) + bi g (M) (2) hvor højreiden oplagt konvergerer mod ai f + bi g. Da (2) gælder for alle M, å må ventreiden have amme græneværdi og vi konkluderer at for alle a, b, f og g. L(af + bg) = al(f) + bl(g) Ekempel.7. Vi vil finde Laplace-tranformationen af f : t coh(at). Da coh(at) = 2 (eat + e at ), et andet ord for tal, om ofte bruge i forbindele med vektorer 2

3 kan vi udnytte lineariteten og Ekampel.4 til at få L(f)() = 2 (L(ea ) + L(e a ))() = 2 hvor e a betegner funktionen t e at. ( a + ) = + a 2 a 2, Laplace-tranformationen af t inh(at) kan udregne tilvarende, men de ikke-hyperbolke udgaver, in og co, med jere nuværende viden kræver et trick for at blive udregnet, omend man kan blive fritet til at nyde og bruge de åkaldte Euler-repræentationer co(at) = 2 (eiat +e iat ) og in(at) = 2i (eiat e iat ) (hvi man ignorerer at ekponenten er komplek og bare bruger metoden ovenfor algebraik, å vil man komme til det rigtige reultat vi vil dog bevæge o på uikker grund, da vi ikke har et, hvordan man håndterer kompleke integraler)..3 Laplace-tranformationen af polynomier Pr. linearitet kan oventående ektionoverkrift reducere til Laplace-tranformationen af imple monomier, hvor et monomium er en funktion f på formen f : t t n for et naturligt tal n. Vi udleder i tedet det mere generelle reultat at for alle reelle tal a og f : t t a er L(f)() = Γ(a + ) a+. Da e x x n dx = Γ(n + ) = n!, varer denne formel til den anden formel, når a = n er et naturligt tal. Vi nyder dog en mule ved at undlade at vie, at Γ(n + ) = n! rent faktik er tilfældet. Udledningen går om følger. L(f)() = e t t a dt = e x ( x ) a dx = a+ e x x a dx = Γ(a + ) a+ hvor vi undervej ubtituerede t = x og brugte definitionen af Γ(a + )..4 At udkifte med a i tranformationen Handlingen bekrevet i denne ektion overkrift kalde ogå -hifting eller -forkydning og klare ved at udnytte følgende imple trick. Sætning.8. Hvi f Laplace-tranformation er F () for > k, hvor k er et tilpa tort tal, å er t e at f(t) Laplace-tranformation F ( a) for a > k, kort krevet: L(e a f)() = F ( a) Bevi. Lad k være å tor at F () ekiterer for > k. Så ekiterer F ( a) for a > k og om påtået. F ( a) = e ( a)t f(t) dt = 3 e t e at f(t) dt = L(e a f)

4 .5 Ekiten og entydighed Sætning.9. Lad f være integrabel på ethvert endeligt interval på den poitive halvake og have højt ekponentiel vækt: f(t) Me kt for paende kontanter M og k. Så ekiterer Laplace-tranformationen L(f)() for alle > k. Vi bemærker, at en tiltrækkelig betingele for at være integrabel på ethvert endeligt interval er at være tykkevit kontinuert. Bevi. Antag at > k. Så er M k = Me kt e t dt Da førte tal er endeligt, er det idte ogå. f(t) e t e t f(t) dt = L(f)(). Dette var ekiten. Hvad med entydighed? Vi har allerede berørt emnet; to forkellige funktioner f og g kan give anledning til amme Laplace-tranformerede, hvi man ikke nøje med at kigge på ekempelvi kontinuerte f og g. Det er dog muligt at give præci matematik betydning af udagnet: hvi L(f) = L(g), å er f og g eentielt en. 2 Laplace-tranformationen og ODE er Okay, hvad er pointen med die Laplace-tranformationer? Jo, det vier ig, at Laplace-tranformationen gør det muligt at tranformere et IVP om til et algebraik problem, hvi løning kan tranformere tilbage til en løning af IVP et. En grundlæggende ingredien er det følgende. 2. Laplace-tranformationer af afledte Sætning 2. (Laplace-tranformationen af den n te afledte af en funktion). Antag at den k te afledte t f (k) (t) af en funktion f er kontinuert for alle t og har højt ekponentiel vækt for alle k n. Antag at f (n) er tykkevit kontinuert på ethvert endeligt interval på den poitive halvake. Så er L(f (n) )() = n L(f)() n f() n 2 f () f (n ) () for alle tiltrækkeligt tore. Specielt gælder for henholdvi n = og n = 2, at L(f )() = L(f)() f() og L(f )() = 2 L(f)() f() f (). Bevi. Vi begynder med tilfældet n =. Antag ført, at f er kontinuert (og ikke blot tykkevit kontinuert). Ved at bruge definitionen og partiel integration få L(f )() = e t f (t) dt = [e t f(t)] + e t f(t) dt. 4 t=

5 Antagelerne giver nu, at t e t f(t) evalueret i (trengt taget er der tale om at finde en græneværdi) er, når er tiltrækkeligt tor ( > k, hvor k er k et fra væktbetingelen), men e f() = f() og det idte integral er L(f)(). Dette giver L(f )() = L(f)() f(). (3) Hvi f kun er tykkevit kontinuert, kan de amme argumenter bruge på hver af de kontinuerte dele, og pr. linearitet er konkluionen den amme. Det generelle reultat følger nu af at bruge (3) på f (n) iterativt: hvilket aflutter beviet. L(f (n) )() = L(f (n ) )() f (n ) () = 2 L(f (n 2) )() f (n 2) () f (n ) ()... = n L(f)() n f() f (n ) () Ekempel 2.2. Tidligere talte vi om at nyde med udregningen af Laplace-tranformationen af t co(at). Nu gør vi det ordentligt. Lad f(t) = co(at). Så er f() =, f () = og f (t) = a 2 f(t). Pr. linearitet og Sætning 2. får vi nu to forkellige måder at udtrykke L(f ) ved hjælp af L(f): L(f )() = a 2 L(f)() = 2 L(f)(). Hvi vi nu iolerer L(f)() i den idte lighed, få L(f)() = 2 + a 2. et tilvarende argument giver Laplace-tranformationen af t in(at). (Vink: betragt L(f ).) 2.2 Laplace-tranformationen af integralet af en funktion Sætning 2.3 (Laplace-tranformationen af et integral). Lad F betegne Laplace-tranformationen af en tykkevit kontinuert funktion f med højt ekponentiel vækt (vi kalder faktoren i ekponenten for k). Så har vi for > max(, k) og t > hvor f(t) dt er funktionen τ Bevi. Vi begynder med at kontatere at f(t) dt f(t) dt M å τ f(t) dt = f(τ) tykkevit kontinuert og ( ) L f(t) dt () = F (), f(t) dt. d f(t) dt har højt ekponentiel vækt. Deuden er dτ f(t) dt =. Vi kan nu benytte Sætning 2. på f og få ( ) L(f)() = L f(t) dt (). Reultatet få nu ved at dividere begge ider med. 5 e kt dt = M k (ekτ ) M k ekτ

6 2.3 Laplace-tranformationen om et værktøj til at løe IVP er Betragt andenorden IVP et y (t) + ay (t) + by(t) = r(t), y() = K, y () = K, (bemærk at andenorden IVP er ogå kræver y (x ) = z og ikke blot y(x ) = y for at være fuldt determineret.) Her er a, b, K og K kontanter, og funktionen r kalde inputtet eller den drivende kraft og y kalde outputtet eller reponen til den drivende kraft. Idéen er nu at tage Laplace-tranformationen på begge ider af ligningen: hvilket vi er kan krive om L(y + ay + by)() = L(r)(t) ( 2 Y () y() y ()) + a(y () y()) + by () = ( 2 + a + b)y () ( + a)y() y () = R() hvor Y = L(y) og R = L(r). Ved at iolere Y () få Y () = ( + a)y() + y () + R() 2 + a + b = ( ( + a)y() + y () ) Q() + R()Q(), (4) hvor Q() = = kalde tranferfunktionen. Bemærk at Q hverken afhænger af r(t) 2 +a+b (+ 2 a)2 +b 4 a2 eller af begyndeleværdibetingelerne men kun af a og b. Da løningen y er differentiabel, er den ogå kontinuert, og den invere Laplace-tranformation af Laplace-tranformationen af y er derfor entydigt betemt. Dette betyder, at vi blot kan tage den invere Laplace-tranformation af den algebraike løning af Laplace-tranformationen af ODE en (4) for at finde en løning til ODE en. Dette gøre normalt ved at omkrive højreiden af (4) om en um af led hvi invere Laplace-tranformation kan finde i tabeller er ved at bruge et computerprogram. Ekempel 2.4. Vi vil nu løe andenorden IVP et y (t) y(t) = t, y() =, y () =. Vi bemærker at Q() = 2 og da r(t) = t, er L(r) = 2, å (4) bliver Y () = ( ( + ) + ) = + ( 2 2 ). Vi er nu klar til at ætte det hele ammen for at finde løningen til det oprindelige problem. Vi genkender førte led om en -forkudt (forkudt med ). Da er Laplace-tranformationen af den kontante funktion, og da -forkydninger få ved at gange med funktionen t e at, hvor a er tørrelen af kiftet, konkluderer vi at L ( )(t) = et. Det næte led, 2 er Laplace-tranformationen af t inh(t). Derfor er L ( 2 )(t) = inh(t). Det idte led er Laplace-tranformationen af t. Alt i alt, y(t) = e t + inh(t) t, og vi bemærker at denne løning blev fundet uden ført at finde en generel løning. 6

7 3 Tabel over Laplace-tranformationen af udvalgte funktioner f(t) t t 2 t n n=,,2,... t a a e at L(f)() 2! n! 2 3 n+ Γ(a+) a+ a f(t) co(ωt) in(ωt) coh(at) inh(at) e at co(ωt) e at in(ωt) L(f)() 2 +ω 2 ω 2 +ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a) 2 +ω 2 ω ( a) 2 +ω 2 7