Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger me også f dres hdlger. Egesker for spl: Koflkter (evt. lsmsspl) Koordto Splteore søger t løse getes prolem med dggspkt dsse egesker. M k se på spl med sttsk eller dymsk tdsstrktr. V ser på sttsk td. Spl på ormlform V ser på spllere Spller s strtegmægde er S og spller får et pyoff der fhæger f de dre splleres vlgte strteg: : S R Eks på otto: vs v ser på et spl med tre spllere og der hr strtegmægdere: S {A B} S { } S {α β} ver ekelt spllers pyoff-fkto er deferet på: : S { A B} { } { α β} S er spller s strtegmægde mes de kokret vlgte strteg for spller eæves s. - -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Eksempelvs er spller s pyoff-fkto deferet på: : S S $ #" S $!!#!"! { A B} { } { α β} ({ A B} ) ({ } { α β} ) er således deferet på e mægde med 8 elemeter. Tlsvrede ottoe ovefor k spller s pyoff-fkto skrves som deferet på mægde S S det S gver mægde f lle strteger for lle dre spllere ed dvs. S (S S S S S ) Stregt domerede strteger Defto: Strteg s domerer stregt strteg s for spller hvs ( s s s s s % s ) < ( s s % s s s s ) % % eller på de emmere skrvemetode ( s ) ( s < s s ) s S! Dette etyder t sge t strteg s domerer stregt strteg s for spller er det smme som t sge t strteg s er edre ed strteg s for spller set hvlke strteg de dre spllere vælger. E tertv sletg f stregt domerede strteger k gve e etydg løsg me lgt fr ltd! Bedste svr Defto: Strteg s er edste svr tl s for spller hvs ( s s ) ( s s ) s S! Dette etyder ltså t strteg s er edste svr tl s hvs dee strteg gver det højeste pyoff ltså gvet de dres spefkke vlg s. - -
Nsh-lgevægt Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Defto: E Nsh-lgevægt er e række strteger for lle spllere ( s s % s % s ) så for spller er s edste svr tl s for lle.! Gode egesker ved Nsh-lgevægt: o Spller hr tet tmet tl t fvge fr Self-eforg. o Ige fortrydelse. o Dermed rost / stlt egre. s år de dre spller s (for lle ). Dårlge egesker ved Nsh-lgevægt: o M k godt splle e Nsh-lgevægtsstrteg de t der kommer e Nshlgevægt d f det. To sætger om stregt domerede strteger og Nsh-lgevægt Sætg A: vs tertv sletg f stregt domerede strteger gver e etydg tlge- værede ( s s % s % s ) d er ( s s s % s ) % e Nsh-lgevægt.! Sætg B: vs ( s s % s % s ) er e Nsh-lgevægt d vl ( s s % s % s ) overleve tertv sletg f stregt domerede strteger.! - -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke - - Gos s. - og 7-9 Avedelser f Nsh-lgevægt Corot-modelle Corot-modelle eskæftger sg med et dopol ltså e stto hvor v hr to prodeter f det smme prodkt. Der gælder følgede: MC AC > 0 > Der er e splteoretsk prolemstllg ford prse på vre og dermed også proftte fhæger f es ege proderede mægde smt ltså prse der estemmes d fr de smlede prodkto dvs. åde vrksomhed s prodkto og vrksomhed s prodkto. S S [0; [ V opskrver pyoff dvs. proft for de ee vrksomhed : π Dee søger vrksomhede trlgvs t mksmere ved t ædre på s ege prodkto: 0.:.. mx R F O C Det ses tydelgt her t vrksomhed s optmle prodkto fhæger f vrksomhed s prodkto. Nottoe R ( ) etyder t de oveståede mægde er vrksomhed s edste svr (est Respose) tl vrksomhed s prodkto. g. symmetr gælder t R I Nsh lgevægt svrer lle spllere det edst mlge gvet de dres vlgte strteger. Derfor sætter v resposfktoere R ( ) og R ( ) d hde: M k vse t de flde del f efterspørgselskrve ldrg lver ktel.
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke - 5 - V sætter tlge d vrksomhed s est resposfkto : V teger løsge d et dgrm: rse dee lgevægt lver: V vl prøve t smmelge de fde løsg (prs og mægde) med de prs og mægdekomto der opstår ved hhv. fldkomme kokrree og moopol. V strter med t se på moopol. Moopolste mksmerer s proft: Det ses trlgvs også mddelrt pg. symmetr. ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ R ( ) R ( )
mx ( ) F. O. C.: 0 Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke rse lver Uder fldkomme kokrree ved v t prse sættes lg mrglomkostgere. Dvs. ( ) Dermed k v lve følgede smmelgede fgr: Moopol Dopol F.K. Moopol Dopol F.K. - -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Mægde rs roft Fldkomme kokrree Dopol (Corot) Moopol ( ) ( ) 0 større størst vs to prodeter proderer hlvdele f moopolmægde så er der tmet for de ekelte prodet tl t prodere mere ed dee mægde derfor er dette kke e Nsh lgevægt 5. Trgedy of the ommos rolemstllge estår følgede: E llle ldsy med øder hr et stykke fællesrel hvor øderes geder k gå omkrg og græsse. Der er ge restrktoer på tllet f geder som ode k sætte d; dette tl eæver v g. Omkostge for de ekelte ode pr. ged er kostt. Udyttet pr. ged er V(G) hvor G er det smlede tl geder der græsser på fællesrelet dvs. G g. V tger følgede om dyttefktoe: V (G) < 0 og V (G) < 0. Fortolkge f dette er t dyttet pr. ged flder efterhåde som der kommer flere geder og fldet lver edd større og større jo flere geder der er forveje. De ekelte odes pyoff er gvet ved dtrykket: ( g g ) g V ( G) g g V ( g g ) g De ekelte odes pyoff fhæger åde f hs eget vlg og de dre geters vlg (tllet f geder) og derfor er prolemstllge splteoretsk. V mksmerer de ekelte odes pyoff: V g g g V g g F.O.C.: 0 Dette må gælde for lle øder (symmetrsk lgevægt) hvlket medfører t g G G g hvlket er større ed d >. 5 åstde k vses ved t dsætte est Respose fktoere. - 7 -
Dvs. 0 Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke V G G V G () hvlket ltså er førsteordesetgelse for G e Nsh lgevægt. V vl dlede det sole optmm. er mksmeres det smlede pyoff: mxg V G ( G) G V ( G ) G V ( G ) 0 () åstd: G < G. Bevs: Bevset for oveståede fås ved et såkldt modstrdsevs og ved t etrgte lggere () og (). Atg t påstde kke er sd dvs. G G. Så må gælde: dv V ( G ) V ( G ) d < 0 dg d 0 V V G V G < d < 0 dg G G > d > N og dermed > Alt lt deærer dsse tre tg t vestresde lgg () er stregt større ed vestresde lgg (). Dette gver e klr modstrd d de egge skl være lg med l. Ergo er påstde evst.! Implktoe f dette fktm er ltså t det tl geder som øder smlet set seder d på mrke overstger det solt optmle. Der forekommer ltså overgræsg trgedy of the ommos! - 8 -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Gos s. -5 Corot-modelle forskellge omkostgsveer N ser v ge på Corot-modelle me dee gg med forskellge omkostgsveer og for de to vrksomheder. Deres est respose fktoer og Nsh lgevægte lver : R R ( ) ( ) N. E.: Fortolkge f t de de vrksomheds omkostger dgår som pls er t hvs de de vrksomhed hr høje omkostger så gver det e lv respos fr de de vrksomhed og det medfører t der er mere plds på mrkedet tl e selv. Byessk opdterg Byes formel dtler sg om etgede sdsylgheder: ( A B) ( A B) ( B) Ud fr dee smmehæg k de ekelte geter opdtere deres sdsylgheder d fr t de oserverer B. Dette kldes Byessk opdterg f sjektve sdsylgheder. A pror sdsylgheder oservto A posteror sdsylgheder Eks: A 050 00 B 005 05 Byes formel k derefter gve os de sjektve sdsylgheder. vs f.eks. spllere med dfldsrmmet { } oserverer dfldet. D er: K som før vses ved t dsætte est respose fktoere hde og løse som lgger med ekedte. - 9 -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke - 0 - () () 078 05 00 05 0 05 00 00 B A B B A A Corot-modelle med symmetrsk formto Atter e gg ses på Corot-modelle. Dee gg med følgede tgelser: Omkostgsveet for vrksomhed er. Omkostgsveet for vrksomhed keder k vrksomhed tl. For vrksomhed er de ete (høje omkostger) eller (lve omkostger) med sdsylghedere hhv. og ( ). Vrksomhed øsker t mksmere dtrykket: mx mx π π F.O.C.: R 0 () Vrksomhed hr to est respose fktoer gvet des eget omkostgsve: ; ; R R Dsse to lgger smme med () gver os lgevægte. V skl derfor løse tre lgger med tre ekedte. V strter med t sætte de to ederste lgg d ():
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke - - For t fde vrksomhed s optmle prodkto så dsætter v lot tlge ge de to est respose fktoer for vrksomhed : R R ; ; ermed er lgevægte fdet. Byessk spl (på ormlform) Et Byessk spl på ormlform speferer: Spllere { } Spllere hr hdlgsmægdere A A Spllere hr typemægdere T T. 7 E pror sdsylghedsfordelg på typermmet: T T T. Spllere hr dvdelle opdterede elefs : p (t t ). Spller s etgede sdsylghed for t de dre spllere relseres som typere t gvet t selv er relseret som type t. 8 E strteg for e spller deferer e fkto s : T A. Strtege fortæller ltså hvlke kto gete skl foretge (hvd h skl gøre) gvet hs type. Byes-Nsh lgevægt Defto: E Byes-Nsh lgevægt estår f e mægde strteger (s s ) hvor s (t ) løser mksmergsprolemet: t A t t p t t s mx! Smtdg løser s derfor smme prolem for de øvrge spllere gvet deres elefs. 7 Både typemægdere og hdlgsmægdere k være såvel dskrete som koterte. 8 Des d fr Byessk opdterg f sdsylgheder seret på ege oservto (f s ege type).
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Såd fdes Byes-Nsh lgevægte. D elefs. For hver spller des p (t t ). (Byes formel). Fd spller s edste svr gvet ( ) s strteger 9. For hver -type fd edste svrhdlg. Relseret pyoff skl mksmeres mht. hdlge. 0. Bedste svr-strteg fås ved t stykke edste svr-hdlger smme.. Fd komtoe f strteger der gver e Byes-Nsh lgevægt. 9 Bemærk t e spller hr (tl ktosmlgheder) opløftet tl (tl typer) strteger. Dvs. hvs e perso hr ktosmlgheder og tre tl mlge typer så hr h 7 mlge forskellge strteger. 0 Se deftoe f Byes-Nsh lgevægt ovefor. - -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Gos s. 55-57 og -8 Frst re Seled Bd kto Aktoe fgerer såd t der fgves lkkede d og højeste d vder og etler st d. Typere dette spl er de ekelte spllers værdsættelse f det pågældede gode. V tger t dee værd er et formt / rektglært fordelt tl på tervllet [0;]. t ere er fhæggt fordelt. V ser på to spllere med typere v og v der gver splleres værdsættelse f det pågældede ktv. dlge dette spl er et d mellem 0 og. A A [0;]. yoff tl spller fr ktoe er : ( v ) ( v ) v 0 > < Spller øsker således t mksmere dtrykket : mx ( v ) p( > ( v ) ( v ) p( ( v ) V stser på for t dsævre dersøgelse t v k fde e leær strteg der løser prolemet dgør e Byes-Nsh lgevægt. Det vser sg t dee ret fktsk ekssterer og edd er etydg ved : ( v ) v ( v ) v M skl ltså yde hlvdele f s vrderg f ktvet. Bemærk mdlertd de meget skrppe tgelser der er gjort: tllet f spllere fordelge f typer fhægghed leær strteg Geerelt fhæger pyoff fktoe også f de dre splleres typer v me dette spefkke tlfælde dgår dee størrelse kke. Bemærk t sdsylghedere er ojektve og kke etgede dette tlfælde v hr tget t typere er fhægge. Se Gos: op.t. s. 5 for evset. - -
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Seod re Seled Bd kto Aktoe fgerer såd t der fgves lkkede d og højeste d vder og etler det æsthøjeste d. Ige er typere dette spl de ekelte spllers værdsættelse f det pågældede gode. I dee ktosform er det e svgt domerede strteg t yde s vrderg. V etrgter k d tervllet [0;v ] et højere d deholder rsko for egtvt pyoff. er vl det være svgt domerede t yde s vrderg v ford højere d forhøjer k sdsylghede for t vde ktoe me pyoff et påvrkes kke t højere d. Betrgt pyoff fktoe: v j 0 ( v ) j > j j < j er ses det tydelgt t es eget d kke dgår selve pyoff fktoe og derfor forhøjer m k s sdsylghed ved t yde højt mes pyoff et kke lver mdre så læge v. Dermed lver det forvetede pyoff højere med højere d. - -