Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul

Transkript

1 Kydspodut En ntoduton 5 Ksten Juul

2 Bugsnvsnng Du sl se de fuldt optune mme fo t fnde defntone og sætnnge De e st punteet mme om esemple og evse Indhold Rmme Sde Defnton f ydspodut Esempel på ug f defntonen f ydspodut Snusfomel fo længde f ydspodut 4 Bevs fo sætnngen mme 5 Esempel (Kydspodut f ssvetoe) 6 Oplæg tl sætnngen mme 7 7 Sætnng: ( ) 8 Oplæg tl sætnngen mme 9 9 Sætnng: t ( ) ( t ) 4 Oplæg tl sætnngen mme 4 Sætnng: ( c) c 5 Hovedsætnng: Koodntsæt fo ydspodut5 Bevs fo sætnngen mme 6 4 Esempel på ug f sætnngen mme 7 5 Anvendelse f ydspodut8 6 Esempel på nvendelse f ydspodut: Lgge punte på lne? 8 7 Esemple på nvendelse f ydspodut: Retnngsveto og el9 8 Esempel på nvendelse f ydspodut: Nomlveto Blledene på fosden og sdene 7, 9 og e femstllet ved hælp f Mthcddoumentet RumFg som n downlodes f wwwmtd Kydspodut En ntoduton udgve 5 5 Ksten Juul Dette hæfte n downlodes f wwwmtd Hæftet må enyttes undevsnngen hvs læeen med det smme sende en e-ml som dels oplyse t dette hæfte enyttes, dels oplyse om lsse/hold, læe og sole/usus

3 Defnton f ydspodut Ved ydspodutet f to vetoe og ummet fostås den veto de e fstlgt ved følgende etngelse: Længden f e elet f det (evt udtede) pllelogm som udspændes f og Hvs længden f e e nul, gælde: e vnelet på åde og Nå mn med høe hånd ge om så fngenes etnng e omløsetnngen f tl, så pege tommelfngeens etnng Esempel på ug f defntonen f ydspodut Nå og e de to vetoe på lledet, så vl vetoen længden 6 og pege vnelet ud f ppet hve Snusfomel fo længde f ydspodut Ld og væe to egentlge vetoe, og ld v væe vnlen mellem dem Så e sn v Kydspodut En ntoduton Udg Sde f /-5 Ksten Juul

4 4 Bevs fo sætnngen mme Af fås t e lg elet f det pllelogm de udspændes f og Og dette el e lg sn v d de gælde: Nå mn et pllelogm ende to e modstående sde og vnlen mellem dem, så n mn fnde elet ved t udegne: den ene sde gnge den nden sde gnge snus tl vnlen mellem dem 5 Esempel (Kydspodut f ssvetoe) Som sædvnlg lde v, og etegne de te ssvetoe 5 Påstnd: o Begundelse fo 5: Vetoene og udspænde et (udtet) pllelogm de h elet, så følge h vetoen længden 5 Påstnd: Begundelse fo 5: h smme længde som : D og udspænde et pllelogm de h elet, vl vetoen hve længden h smme etnng som : e vnelet på og lgesom, og nå mn med høe hånd ge om så fngenes etnng e omløsetnngen f tl, så pege tommelfngeens etnng lgesom Kydspodut En ntoduton Udg Sde f /-5 Ksten Juul

5 6 Oplæg tl sætnngen mme 7 Blledet vse vetoene og Ved hælp f defntonen på ydspodut ses t vetoen pege vnelet ud f ppet, og t vetoen pege vnelet nd ppet Ved hælp f defntonen ses også t og må hve smme længde De gælde ltså følgende sætnng: 7 Sætnng Fo lle vetoe og e ( ) 8 Oplæg tl sætnngen mme 9 Blledet vse to pllelogmme: P udspændes f og Påstnd : P udspændes f Længden f og ( ) e gnge længden f Begundelse fo påstnd : Længden f e elet f P (Følge f ) Længden f ( ) e elet f P (Følge f ) Aelet f P e gnge elet f P (Følge f t gundlnen P e gnge gundlnen P, og t de to pllelogmme h smme høde) Kydspodut En ntoduton Udg Sde f /-5 Ksten Juul

6 Påstnd : Vetoen ( ) e ensettet med vetoen Begundelse fo påstnd : Vetoen pege vnelet ud f ppet (Følge f ) Vetoen ( ) pege vnelet ud f ppet (Følge f ) Af påstnd og påstnd fås: Gnges vetoen med, så fås vetoen ( ), dvs () () ( ) Ved t tegne nde llede som det ovenfo n ndses t mn f () få en ny gyldg lgnng unset hvlet tl de sves på 's plds, og unset hvle vetoe og estttes f, og unset om det på høe sde e elle mn gnge med tllet De gælde ltså følgende sætnng: 9 Sætnng Fo lle vetoe og og lle tl t gælde t ( t ) og t ( ) ( t ) ( ) Oplæg tl sætnngen mme Blledet vse de te pllelogmme I, II og III smt nogle vetoe de udspænde dem: I udspændes f og II udspændes f og c III udspændes f og c Kydspodut En ntoduton Udg Sde 4 f /-5 Ksten Juul

7 Kydspodut En ntoduton Udg Sde 5 f /-5 Ksten Juul Ved hælp f defntonen f ydspodut ses t de te vetoe, c og ( ) c lle pege vnelet ud f ppet De te vetoe e ltså ensettede De te pllelogmme h smme gundlne, nemlg Og lægges hødene I og II smmen, fås høden III Altså e elet f III summen f elene f I og II De gælde ltså: Summen f længdene f og c e lg længden f ( ) c D de te vetoe e ensettede må defo gælde: () ( ) c c Ved t tegne nde llede som det ovenfo n ndses t mn f () få en ny gyldg lgnng unset hvle vetoe, og c estttes f, og unset om mn gnge med f høe elle f venste De gælde ltså følgende sætnng: Sætnng Fo lle vetoe, og c gælde ( ) c c og ( ) c c Hovedsætnng: Koodntsæt fo ydspodut Fo vlålge vetoe og e

8 Kydspodut En ntoduton Udg Sde 6 f /-5 Ksten Juul Bevs fo sætnngen mme Af defntonen på oodntsæt fo veto fås t og, så ( ) ( ) Ifølge sætnngen mme e denne veto lg summen f de te vetoe de fås ved t ydse hhv, og med vetoen høe pentes Nå ydses med summen høe pentes, fås en veto som følge sætnngene mmene 9 og n sves som Dette n educees tl ) ( d o, og Ved på tlsvende måde t ydse de to nde led f venste pentes med summen høe pentes fås lt t Ved t ænde leddenes æefølge og sætte, og uden fo pentes fås ( ) ( ) ( ) Ifølge defntonen på oodntsæt fo veto e de te pentese oodntene fo Dsse pentese e lg de detemnnte de e ngvet sætnngen

9 Kydspodut En ntoduton Udg Sde 7 f /-5 Ksten Juul 4 Esempel på ug f sætnngen mme Nå og e

10 5 Anvendelse f ydspodut Bestemme veto som e vnelet på pln I plngeometen få mn en veto som e vnelet på en lne, hvs mn tge tvævetoen tl en veto som e pllel med lnen I umgeomet n mn e tle om tvæveto tl en veto I stedet n uges ydspodut: Mn få en veto som e vnelet på en pln, hvs mn udegne ydspodutet f to e-pllelle vetoe som e pllelle med plnen Undesøge om to vetoe e pllelle I plngeometen n mn undesøge om to egentlge vetoe e pllelle ved t undesøge om dees detemnnt e nul I umgeomet n mn e tle om detemnnt f to vetoe I stedet n uges ydspodut: Mn n undesøge om to egentlge vetoe e pllelle ved t undesøge om dees ydspodut e nulveto Bestemme el f pllelogm I plngeometen n mn estemme elet f et pllelogm udspændt f to vetoe ved t eegne den numese væd f vetoenes detemnnt I umgeomet n mn e tle om detemnnt f to vetoe I stedet n uges ydspodut: Mn n estemme elet f et pllelogm udspændt f to vetoe ved t eegne længden f vetoenes ydspodut 6 Esempel på nvendelse f ydspodut De e gvet puntene A ( 4, 4, ), B (,, ) og C (,, 7) V undesøge om puntene A, B og C lgge på lne Det gø de netop hvs de egentlge vetoe AB og AC e pllelle; og det e de netop hvs dees ydspodut e o Ved udegnng fås dvs AB AC, A, B og C lgge på lne Kydspodut En ntoduton Udg Sde 8 f /-5 Ksten Juul

11 7 Esemple på nvendelse f ydspodut En pln α gå gennem de te punte A (,, ), B (,, ) og C (,, ) En lne l α gå gennem A og stå vnelet på lnestyet AB V eegne oodntsættet fo en etnngsveto fo l Føst estemmes en veto som e vnelet på α : n AB AC D l åde e vnelet på n og AB, må l væe pllel med følgende veto: 8 n AB 4 5 Aelet f tent ABC e n,9 Kydspodut En ntoduton Udg Sde 9 f /-5 Ksten Juul

12 8 Esempel på nvendelse f ydspodut En lne m gå gennem puntet P (,, ) og e pllel med vetoen En pln α ndeholde lnen m og puntet Q (,, ) V estemme en nomlveto tl plnen α D vetoene og PQ e pllelle med α, vl dees ydspodut væe vnelet på α hvs det e e nulveto Ved udegnng fås: 5 PQ 9 Kydspodut En ntoduton Udg Sde f /-5 Ksten Juul