PÅ AVU. En hjælpende hånd til matematik af NICOLAI BORNHOLM NIELSEN

PÅ AVU En hjælpende hånd til matematik af NICOLAI BORNHOLM NIELSEN

Indhold Formål... 2 Læse vejledning... 2 1. Basisviden om GeoGebra... 3 1.1 Muligheder ved tegneblokken... 3 1.2 Værktøjerne... 4 1.3 Uyldigt Input... 5 1.4 Omdøbe... 5 1.5 Vis navn, værdi osv.... 5 1.6 Skjule og vise punkter m.m.... 6 2. GeoGebra som Konstruktionsværktøj... 7 2.1 Konstruktion af trekanter... 7 2.1.1 Kender 1 side og 2 vinkler... 7 2.1.2 Kender 2 sider og 1 vinkel... 10 2.1.3 Kender 3 sider... 11 2.1.4 Kender 3 vinkler... 11 2.2 Målestoksforhold... 13 2.2.1 Tegne i 1:1 udskrive i målestoksforhold... 14 3. Funktioner i GeoGebra... 17 3.1 Lineære funktioner... 17 3.1.1 GeoGebra tegner en lineær funktion... 17 3.1.2 To ligninger med to ubekendte... 17 3.2 Sætte forklarende variabel tekst til funktioner... 19 3.3 Brug af skydere ved lineære funktioner... 20 3.4 Omvendt proportionalitet... 22 3.5 Eksponentielle funktioner... 23 3.6 Forskellige funktioner... 24 Eksempel 1... 24 Eksempel 2... 25 4. Statistik - Boksplot i GeoGebra... 26 4.1 Tegning af Boksplot... 26 4.2 Finde 1. og 3. kvartil... 27 4.3 Finde mindste- og størsteværdi... 27 ~ 1 ~

4.3.1 Finde Middeltal / Gennemsnit og Typetal... 27 Tastaturgenveje... 28 Generelt... 28 Fil... 28 Rediger... 28 Vis... 28 Matematiske - bogstaver og symboler... 28 Formål Ideen med dette hæfte er at give kursisterne en vejledning, idébog eller håndbog til hvordan GeoGebra kan bruges. Det er tænkt som en step-by-step manual til hvordan man bruger GeoGebra til forskellige opgaver. Dette være sig i både konstruktioner, funktioner og statistik. Der er flere metoder hvorpå forskellige eksempelvis figurer kan konstrueres på i GeoGebra. Dette er altså ikke en facitliste, men snarere en hjælpende hånd og et eksempel på hvordan man kan gøre det. Læse vejledning Denne vejledning er delt op fire emner: 1. Basisviden om GeoGebra 2. GeoGebra som Konstruktionsværktøj 3. Funktioner i GeoGebra 4. Statistik - Boksplot i GeoGebra Alle fire emner er delt ind i underemner. Disse har fået farvekoder for at gøre det hele lidt mere overskueligt. Det letteste er at slå op i indholdsfortegnelsen, og finde det man har brug for. Der er i mange eksempler krydshenvisninger. Vil man for eksempel lære at omdøbe et punkt, er der henvist til en af de trekanter man konstruere senere i vejledningen. Det er dog altid samme måde man gør det på. Så det er ligegyldigt om man skal omdøbe et punkt eller en linje osv. Desuden bliver der kun konstrueret trekanter, da man kan tage udgangspunkt i dem til at konstruere andre figurer. I denne vejledning er værktøjerne altid skrevet i KURSIV. God fornøjelse ~ 2 ~

1. Basisviden om GeoGebra Når vi åbner GeoGebra er dette hvad vi ser: Øverst i GeoGebra vinduet ligger bjælken med værktøjer. Til venstre ligger Algebravinduet. Nederst er Input-linjen. Resten er Tegneblokken. Tegneblokken er et koordinatsystem der ved opstart altid viser en x- og en y-akse. 1.1 Muligheder ved tegneblokken Når vi åbner GeoGebra har vi nogle valg der kan gøre det mere overskueligt. Skal vi f.eks. konstruere noget behøver vi ikke vores x- og y-akse. De fjernes således: Højreklik på tegneblokken: ~ 3 ~

Tryk på Akse. Akserne forsvinder. Det er vigtigt at huske, at akserne og gitteret stadig er der. De er bare skjult nu. Alternativt kan man klikke på Tegneblok øverst i Tegneblokken. Her kan man også vælge Akser og Gitter til og fra. 1.2 Værktøjerne Øverst ligger bjælken med værktøjer. Den er delt op i 12 bjælker. Når man forstår inddelingen behøver man ikke at sidde og lede efter værktøjerne. Inddelingen er som følger 1. Den første er vores udgangspunkt - Musen. Man vil i starten føle at GeoGebra opfører sig åndsvagt eller ikke gør som man beder det om. Sker dette er det i 99 ud af 100 tilfælde fordi at man har glemt at vælge musen igen. Man behøver ikke trykke på dette værktøj for at vælge det, man kan bare bruge Esc-knappen. 2. Bjælke 2 vores punkt værktøjer. Det er her bl.a. værtøjet Skæringer mellem to objekter ligger. 3. Bjælke 3 er vores linjeværktøjer. Skal vi tegne nye linjer imellem eller igennem punkter er det her vi finder værktøjet. 4. Bjælke 4 er specielle linjer. Altså f.eks. en vinkelret eller parallel linje. I denne bjælke finder man også værktøjet midtnormal, der automatisk kan finde midtnormalen på en linje. 5. Bjælke 5 er Polygon. Har man f.eks. konstrueret en trekant og vil have arealet kan man ligge et polygon oveni som så beregner arealet. Her finder man også værktøjet Regulær polygon. 6. Bjælke 6 er Cirkelværktøjerne. Her ligger bl.a. cirkel ud fra centrum og radius der er meget brugbar til konstruktioner hvor man kender en sides længde men ikke vinklen. Så kan dette værktøj bruges som passer. 7. Bjælke 7 er hvor man finder værktøjerne til at lave ellipser, hyperbler parabler. 8. Bjælke 8 er vores vinkelværktøj. Her kan vi bruge værktøjet Vinkel med given størrelse til at konstruere en vinkel med en kendt størrelse. Vi kan omvendt bruge værktøjet vinkel til at måle en vinkel med. 9. Bjælke 9 er vores spejlings værktøjer. ~ 4 ~

10. i Bjælke 10 finder vi vores tekstværktøj vi bl.a. kan bruge til at sætte forklarende tekst ind til f.eks. funktioner. 11. Værktøj 11 er vores skyder. Dem kan vi f.eks. bruge til give a og b variable værdier i en ret linje. 12. Bjælke 12 er vores flytte værktøj. Her finder vi både flytteværktøjet så vi kan flytte rundt i vores tegneblok eller ændre på x- og y- aksen. Vi finder også vores Zoomværktøj der kan bruges hvis vi ikke har nogen scroll på vores mus. 1.3 Uyldigt Input Når dette sker, er den oftest opståede fejl, at man har brugt komma i Input linjen. GeoGebra er et engelsk program hvilket vil sige at man skal bruge punktum i stedet for komma. 1.4 Omdøbe Lad os sige at vi har konstrueret trekant ABC se afsnit 2 I vores opgave var vi dog blevet bedt om konstruere trekanten PQR, så nu skal punkterne omdøbes. 1. Højre klik på punkt A a. Tryk på Omdøb b. Skriv P 2. Gentag pkt. 1 for de resterende punkter. 1.5 Vis navn, værdi osv. Lad os tage udgangspunkt i ovenstående trekant PQR. Vi vil gerne have vist navn på alle tre sider og værdi på alle sider og vinkler. 1. Først vil vi have værdi på <R a. Vælg Vinkel. b. Tryk på de to linjestykker der danner vinklen altså Linjestykket PR og Linjestykket RQ ~ 5 ~

c. Den viser nu værdien på <R (107 ) 2. Nu vil vi gerne have vist navn på de tre sider. a. Hvis vi højreklikker på PQ kan vi se at den hedder Linjestykke a, fordi at det var den første linje vi tegnede. b. Omdøb den til r som vi lærte i afsnit 1.4 c. Gør det samme for linje p og q 3. Nu vil vi gerne have vist værdi. a. Højreklik på r og vælg Egenskaber. b. Kryds af i vis navn og vælg Navn & værdi. c. Gør det samme for p og q 4. Hvis det er rodet kan vi trække i navnene og vædierne, så vi får en flot trekant med navne og værdier. Vi kunne f.eks. højreklikke på vinklernes værdier og vælge at de kun skal vise værdi. 1.6 Skjule og vise punkter m.m. Lad os igen tage udgangspunkt i trekant PQR. Vi vil gerne have skjult punkterne P, Q og R. 1. hvis vi kigger i Algebravinduet ligger alle de ting vi har lavet både viste og skjulte. Ud for hver punkt, linje, vinkel osv. er der en lille cirkel. Hvis den er fyldt ud bliver genstanden vist på tegneblokken, og omvendt er den tom bliver den ikke vist. a. Det eneste vi behøver er altså at trykke på cirklerne ud for punkt P, Q og R. b. Vi har nu skjult disse punkter. ~ 6 ~

2. GeoGebra som Konstruktionsværktøj Når vi konstruere er det første vi gør at fjerne akserne. De er ikke nødvendige når der skal konstrueres (se afsnit 1.1) 2.1 Konstruktion af trekanter 2.1.1 Kender 1 side og 2 vinkler AB er 4 cm <A er 23 <B er 50 1. Vælg Linjestykke med given længde 2. Tryk et tilfældigt sted på Tegneblokken og angiv længden 3. Vælg Vinkel med given størrelse Klik på Punkt B først dernæst på det punkt hvor vinklen skal være og angiv vinklens størrelse. Vælg mod uret. a. Du får nu < A plus B. B er et retningspunkt som viser os hvor der er de 23. ~ 7 ~

4. Vælg Halvlinje fra punkt gennem punkt, og lav ved a t t r y k k e først på A dernæst på B. 5. Vælg Vinkel med given størrelse igen, og lav vinkel B. Husk at trykke på A først dernæst B. Denne gang skal du vælge med uret. a. Du får nu A som retningspunkt. 6. Lav igen en Halvlinje. Denne gang fra Punkt B igennem punkt A. ~ 8 ~

7. Vælg Skæringer mellem to objekter. Tryk derefter på de to Halvlinjer, så der opstår et skæringspunkt. 8. Vi kan nu i Algebravinduet skjule de ting der ikke er nødvendige for at konstruere trekanten. a. Tryk på den fyldte cirkel ud for: i. Begge halvlinjer ii. Punkt A iii. Punkt B 9. Vælg Linjestykke mellem to punkter. a. Forbind punkter A og C b. Forbind punkterne B og C 10. Du har nu en flot trekant, med de korrekte mål. ~ 9 ~

2.1.2 Kender 2 sider og 1 vinkel AB er 5 cm AC er 9 cm <B 78 1. Vælg Linjestykke med given længde a. Angiv længden til 5 cm b. Omdøb linjestykket til c. 2. Vælg Vinkel med given størrelse. a. Tryk på A først og derefter på B og angiv vinklens størrelse til 78 med uret. b. Højreklik evt. på vinklen og bed den om kun at vise værdi. 3. Vælg Halvlinje fra punkt gennem punkt og lav en halvlinje fra B igennem A. 4. Vælg Cirkel ud fra centrum og radius. Klik på A og angiv radius til 9. 5. Vælg Skæringer mellem to objekter og klik på skæringen mellem cirklen og halvlinjen. a. Nu har vi punktet C. 6. Skjul de objekter der ikke er nødvendige for trekanten. Halvlinjen, A, Keglesnittet 7. Vælg Linjestykke mellem to punkter og forbind A med C, og C med B. a. Omdøb siderne til a, b og c. b. Højreklik på siderne i trekanten, vælg Egenskaber og vis navn og værdi. c. Du kan evt. også vise vinkelstørrelserne 8. Trekant ABC er færdig. ~ 10 ~

2.1.3 Kender 3 sider AB er 7 cm BC er 9 cm AC er 12 cm 1. Vælg Linjestykke med given længde. a. Angiv længden til 7. b. Omdøb siden til c. 2. Vælg Cirkel ud fra centrum og radius. a. Klik på A og angiv radius til 12. b. Klik på B og angiv radius til 9. 3. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på de to cirkler. b. Der fremkommer nu to skæringspunkter, C og D. Begge kan bruges til at lave vores trekant. Vi vælger C. 4. Skjul de objekter der ikke skal bruges til at færdiggøre vores trekant. Begge Keglesnit og punkt D. 5. Vælg Linjestykke mellem to punkter. a. Forbind A med C og B med C. b. Omdøb siderne til a, b, og c. c. Vis navn og værdier. 6. Vores trekant er færdig. 2.1.4 Kender 3 vinkler <A er 25 <B er 57 <C er 98 1. Vælg Vinkel med given størrelse. a. Klik et tilfældigt sted på tegneblokken for at få A klik igen for at få vinklen. Angiv vinklens størrelse til 25. b. Omdøb punkt B til A. ~ 11 ~

2. Vælg Vinkel med given størrelse. a. Klik på først på A også på A. Angiv vinklens størrelse til 57. b. Omdøb A til B. 3. Vælg Linjestykke mellem to punkter og forbind A med B. 4. Vælg Linjestykke mellem to punnkter. a. Forbind B med A 1 b. Forbind på A med A1 5. Vælg Skæringer mellem to objekter og klik på skæringen mellem de to linjer. 6. Skjul de ting der ikke er nødvendige for trekanten. Begge linjer og punkterne A 1 og A1. 7. Vælg Linjestykke mellem to punkter og forbind B med C og C med A. 8. Vælg Vinkel. a. Tryk på først på BC og dernæst på CA. 9. Vores trekant er færdig. ~ 12 ~

2.2 Målestoksforhold Vi vil nu med udgangspunkt i opgave 5.1 fra Eksamensættet Matematik D, maj 2011, vise hvordan GeoGebra kan bruges til løsning af målestoksforholdsopgaver. Det er vigtigt at huske på at GeoGebra altid arbejder i cm. Det vil sige at vi kan tegne vores tegning i 1:1 også udskrive den i det efterspurgte målestoksforhold. Det vil vi gøre først. ~ 13 ~

2.2.1 Tegne i 1:1 udskrive i målestoksforhold 1. I den her opgave skal vi tegne en palle med 12 pakker træbriketter på. Vi kan hurtigt regne ud hvordan pakkerne skal ligge. Så nu skal vi bare tegne det i GeoGebra i målestoksforholdet 1:1. a. Husk at zoome ud. Pallen skal tegnes i 80x120 cm. 2. Først tegner vi pallen. 3. Vælg Linjestykke med given længde. a. Angiv længden til 120. 4. Vælg Vinkelret linje. a. Klik på linjen og dernæst på A. b. Klik på linjen og dernæst på B. 5. Vælg Cirkel ud fra centrum og radius. a. Klik på A og angiv radius til 80. b. Klik på B og angiv radius til 80. 6. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på skæringerne mellem cirklerne og de vinkelrette linjer. 7. Skjul de vinkelrette linjer og cirklerne. 8. Vælg Linjestykke mellem to punkter. a. Forbind A med C, C med D og D med B. 9. Vi har nu vores palle. a. Vis evt. værdi på lænden og bredden. Vi skal nu tegne pakkerne med træbriketter ind. 10. Vælg Cirkel ud fra centrum og radius. a. Klik på A og angiv radius til 20. 11. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på skæringen mellem AC og cirklen. 12. Lav en ny cirkel med centrum i dette skæringspunkt og angiv igen radius til 20. 13. Gentag pkt. 11 og 12, således at vi har AC delt op af tre punkter. 14. Skjul de tre keglesnit ~ 14 ~

15. Vælg Vinkelret linje. a. Klik på AC og derefter i E. b. Klik på AC og derefter i F. c. Klik på AC og derefter i G. 16. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik DB og de tre vinkelrette linjer. b. Skjul de tre vinkelrette linjer og forbind punkterne med Linjestykke mellem to punkter. c. Vi har nu de fire rækker af briketter. 17. Vælg Cirkel ud fra centrum og radius. a. Klik på A og angiv radius til 40. b. Klik på B og angiv radius til 40. 18. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på AB og på de to cirkler. 19. Skjul de to keglesnit. 20. Vælg Vinkelret linje. a. Klik på AB og dernæst på K. b. Klik på AB og dernæst på L. 21. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på CD og dernæst på de to vinkelrette linjer. ~ 15 ~

22. Skjul de to vinkelrette linjer. 23. Forbind K med M og L med N med Linjestykke mellem to punkter. Vi har nu tegnet pallen med briketterne i målestoksforoldet 1:1. Før vi udskriver vil vi gerne have fjernet alle punkterne. 24. Skjul alle punkterne. 25. Tryk på Fil Vis udskrift. 26. Vælg det målestoksforhold der skal udskrives i 1:10. 27. Udskriv. ~ 16 ~

3. Funktioner i GeoGebra 3.1 Lineære funktioner 3.1.1 GeoGebra tegner en lineær funktion Vi skal have tegnet funktionen 1. Skriv ligningen i Inputfeltet og tryk Enter. 2. Zoom ud eller juster x- og y-aksen så de passer. 3. Nu ligger funktionen i algebravinduet kaldt linje a, og den er tegnet på Tegneblokken. 3.1.2 To ligninger med to ubekendte Vi tager udgangspunkt i vores ligning fra afsnit 3.1.1. Vores næste ligning hedder 1. Vi behøver ikke at omregne den. Vi taster den bare ind i inputvinduet som den står. 2. Nu ligger denne funktion i algebravinduet som linje b. 3. Højreklik på linjen i algebravinduet, tryk på Ligning y=ax+b. 4. Den er nu vist som b, udtrykt ved y=ax+b. 5. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Klik på a og derefter b. ~ 17 ~

6. Skæringen mellem de to linjer ligger nu som punkt A i algebravinduet. Vi kan se at de to ligninger skærer hinanden i (6,22). 7. Vælg Flyt tegnefladen og stræk x- og y-aksen ind og ud således at vi får et fint billede af de to funktioner. 3.1.2.1 Hvilken ligning er størst hvornår? Vi tager udgangspunkt i følgende opgave: Hvornår er det billigst at køre med Hanne? Hvornår er det billigst at køre med Thorkild? 1. Vi beregner sætter de to taxaer op ved funktionen y=ax+b, hvor y=prisen og x=kørte km. a. Hannes funktion bliver b. Thorkilds funktion bliver 2. Skriv de to funktioner ind i inputfeltet. 3. Omdøb dem fra a til Hanne, og fra b til Thorkild. 4. Vælg Flyt tegnefladen og juster x- og y-aksen. ~ 18 ~

5. Vælg Skæringer mellem to objekter og klik på de to funktioner. a. A=(5,95) viser os at Hanne og Thorkild koster præcis det samme efter 5 km. Nemlig 95 kr. 6. Vi kan på funktionerne se at indtil 5 km er Thorkild billigst. Skal man køre mere end 5 km er Hanne billigst. 3.2 Sætte forklarende variabel tekst til funktioner Vi tager udgangspunkt i ovenstående opgave med Hannes og Thorkilds taxa 1. Vælg Vinkelret linje og tryk på x-aksen to gange. a. Skriv i Inputfeltet KM: x(b) b. Vi har nu i algebravinduet en fane der hedder Numerisk hvor der står KM=hvor mange km vi har kørt. 2. Vælg Skæringer mellem to objekter. a. Tryk først på den vinkelrette linje og derefter på Hannes funktion. b. Tryk først på den vinkelrette linje og derefter på Thorkilds funktion. c. Skriv i Inputfeltet: PrisH: y(c) d. Skriv i Inputfeltet: PrisT: y(d) e. I algebravinduet har vi nu priserne liggende for Hanne som PrisH og for Thorkild som PrisT. 3. Vælg Indsæt tekst og tryk på Tegneblokken. a. Når man indsætter tekst kan man få teksten til at ændre sig ved at bruge objekterne. b. Skriv teksten med hjælp fra objekterne. (Jeg har skrevet objekterne med FED i dette eksempek) F.eks.: ~ 19 ~

Kører man KM km koster det PrisH kr. med Hanne og PrisT kr. med Thorkild. 4. Vi har nu en tekst liggende på tegneblokken der ændre sig når vi trækker i B. Således at teksten automatisk tager udgangspunkt i y- værdierne for skæringspunkterne mellem den vinkelrette linje og de to funktioner. 3.3 Brug af skydere ved lineære funktioner Vi tager udgangspunkt i følgende problemstilling: Peter sælger frugt på torvet. Pærer og æbler sælger bedst. Han vil gerne let kunne se hvad hans omsætning er ved salg af pærer og æbler. Han er villig til at sætte prisen på pærer og æbler imellem 3,- og 8,- kr./stk. Hvor meget frugt skal han sælge ved de forskellige priser? 1. Vælg Skyder og tryk på Tegneblokken. a. Kald den pærepris b. Sæt min. til 3 og maks. til 8 c. Sæt tilvæksten til 0.25 2. Vælg Skyder og tryk på Tegneblokken. a. Kald den æblepris b. Sæt min. til 3 og maks. til 8 c. Sæt tilvæksten til 0.25 3. Skriv i Inputfeltet: y=pærer*x 4. Skriv i Inputfeltet: y=æbler*x 5. Vælg Vinkelret linje og tryk på x-aksen to gange. ~ 20 ~

6. Vælg Skæringer mellem to objekter og find skæringspunktet mellem den vinkelrette linje og pærerfunktionen. a. Lav en ny vinkelret linje og find skæringspunktet mellem den og æblefunktionen. 7. Skriv i Inputfeltet: Pærer: x(a) 8. Skriv i Inputfeltet: Æbler: x(c) 9. Skriv i Inputfeltet: Omsætningpærer: y(b) 10. Skriv i Inputfeltet: Omsætningæbler: y(d) 11. Skriv i Inputfeltet: Samlet: Omsætningpærer+Omsætningæbler Vi har nu to punkter på x aksen vi kan trække i. Disse viser hvor mange æbler og pærer der bliver solgt. Vi har så den samlede omsætning regnet ud i algebravinduet. Lad os sætte noget forklarende tekst på. 12. Vælg Indsæt tekst og tryk på tegneblokken. 13. Skriv din tekst. F.eks. Hvis Peter sælger Pærer pærer á pærepris kr./stk. og Æbler æbler á æblepris kr./stk. får han en omsætning på Samlet kr. Vi har nu to grafer hvor vi på skyderne kan ændre prisen på både pærer og æbler. Vi har to punkter på x- aksen vi kan trække i alt efter hvor mange stykker frugt Peter sælger. Vi har desuden en tekst der ændrer sig hver gang vi ændre på en variabel. ~ 21 ~

3.4 Omvendt proportionalitet Vi tager udgangspunkt i følgende problemstilling: Jacob skal lave en terrasse. Han har kun fliser til 36m². Hvilke muligheder har Jacob for terrassens siders længde? Vi kan hurtigt regne ud at hvis vi sætter y til den en side og x til den anden side må funktionen blive 1. Skriv i Inputfeltet y=36/x 2. Zoom ud og træk i tegneblokken så billedet giver mening. 3. Vælg Vinkelret linje og tryk to gange på x-aksen. 4. Vælg Skæringer mellem to objekter og find skæringspunktet mellem den vinkelrette linje og funktionen. 5. Skriv i Inputfeltet: Længde: y(b) 6. Skriv i Inputfeltet: Bredde: x(a) 7. Skriv i Inputfeltet: Areal: Længde*Bredde 8. Vælg Indsæt tekst og skriv f.eks. Hvis Jacob laver terrassen Længde meter lang skal den være Bredde meter bred for at være Areal m². ~ 22 ~

3.5 Eksponentielle funktioner Vi tager udgangspunkt i følgende problemstilling: Heine er blevet ansat som bilforhandler. Hans startløn er 130,- kr. i timen. Han er blevet lovet en årlig lønstigning på 6 %. Heine vil gerne vide hvor meget han vil komme til at tjene fremover. Vi kan hurtigt finde funktionen for Heines løn udtrykt ved to variable. Y er Heines løn og x hvor mange år Heine har arbejdet hos bilforhandleren. y=130*1,06 x 1. Skriv i Inputfeltet: y=130*1.06^x a. Træk flyt tegneblokken på plads og træk i y-aksen så det giver mening. 2. Vælg Vinkelret linje og tryk på x-aksen to gange. 3. Vælg Skæringer mellem to objekter og find skæringen mellem den vinkelrette linje og funktionen. ~ 23 ~

4. Skriv i Inputfeltet: År: x(a) 5. Skriv i Inputfeltet: Timeløn: y(b) 6. Vælg Indsæt tekst og skriv f.eks. Efter År år får Heine Timeløn kr. i timen. 3.6 Forskellige funktioner Eksempel 1 Vi tager udgangspunkt i følgende problemstilling. Du skal lægge fliser på din terrasse. Fliserne er kvadratiske og det skal terrassen også være. Vi kan altså finde ud af hvor mange fliser der skal bruges ved formlen y=x^2, hvor y= antal fliser i alt, og x= er antalet af fliser på hver led af terrassen. 1. Skriv i Inputfeltet: y=x^2 2. Vi har nu på tegneblokken vores koordinatsystem med y- og x-aksen. I denne problemstilling er minusværdien ikke relevante, da vi jo ikke kan lægge -1 flise. ~ 24 ~

3. Vælg Flyt tegnefladen, og træk koordinatsystemet på plads, så vi kun kan se de positive værdier. Træk derefter ned i y- aksen så vi kan se funktionen ud langs x-aksen. 4. Vælg Vinkelret linje og tryk på x-aksen to gange. 5. Vælg Skæringer mellem to objekter og find skæringspunktet mellem den vinkelrette linje og funktionen. Vi vil nu gerne have det præcise antal fliser stående. 6. Skriv i Inputfeltet: Fliser: y(b) Vi kan nu ved at trække i A se i Algebravinduet hvor mange fliser der i alt skal lægges på terrassen i.f.t. antal af fliser på hvert led. Eksempel 2 I næste eksempel skal vi stadig lægge fliser på en kvadratisk terrasse. Fliserne er dog kun 50 cm x 50 cm. Fliserne er altså. Vi skal finde terrassens størrelse ud fra hvor mange fliser der bliver lagt på hvert led. Vores funktion må altså blive y= eller y=0,25x^2 1. Skriv i Inputfeltet: y=1/4x^2 2. Vælg Flyt tegnefladen, og træk koordinatsystemet på plads, så vi kun kan se de positive værdier. Træk derefter ned i y-aksen så vi kan se funktionen ud langs x-aksen. 3. Vælg Vinkelret linje og tryk på x-aksen to gange. 4. Vælg Skæringer mellem to objekter og find skæringspunktet mellem den vinkelrette linje og funktionen. 5. Skriv i Inputfeltet: kvadratmeter: y(b) Vi kan nu, ved at trække i A, i algebravinduet se hvor mange kvadratmeter terrassen er, ud fra hvor mange fliser der ligger på hvert led. ~ 25 ~

4. Statistik - Boksplot i GeoGebra Vi tager udgangspunkt i følgende problemstilling. Kursisternes alder på et VUC hold fordeler sig således: 18, 22, 23, 18, 19, 22, 27, 25, 17, 19, 25, 24, 23, 22, 22, 18, 19, 24, 28, 22. 4.1 Tegning af Boksplot 1. Tryk på Vis og dernæst på Regneark. Vi har nu et regneark liggende til højre for Tegneblokken. 2. Skriv aldrene ind i kolonne A. 3. Skriv i Inputfeltet: Boks - den forslår selv Boksplot - Vælg den øverste 4. <yoffset> er hvor på y-aksen vi vil have boksplottet a. Skriv: 2 5. <yskalering> er hvor bredt/højt boksplottet skal være. a. Skriv: 1 6. <Liste med Rå Data> er hvilke tal boksplottet skal laves ud fra. a. Skriv: A1:A20 7. Vælg Flyt tegnefladen og træk x-aksen ind så du kan se hele Boksplottet. Vi kan nu se hele vores Boksplot. 8. Højreklik på a og omdøb den til Median. ~ 26 ~

4.2 Finde 1. og 3. kvartil 1. Skriv i Inputfeltet: Q1 og vælg Q1[<Liste med Rå Data>] a. Når du har valgt den bliver det blåt. b. Skriv A1:A20 2. Vi kan nu se vores 1. kvartil i Algebravinduet. Den hedder b a. Højreklik på den og omdøb den til Q1 3. Skriv i Inputfeltet: Q3 og vælg igen at finde den ud fra din liste med Rå Data. 4. Gentag pkt. 1 a og b. 5. Omdøb den til Q3 6. Brug musen til at trække Q1 og Q3 fra Algebravinduet og ud i Tegneblokken. 4.3 Finde mindste- og størsteværdi 1. Skriv i Inputfeltet: Min - Vælg Min[ <Liste> ] a. Når du har valgt den bliver det blåt. b. Skriv A1:A20 2. Omdøb den til Mindsteværdi 3. Skriv i Inputfeltet: Maks - Vælg igen Liste og gentag pkt. 1 a og b. 4. Omdøb den til Størsteværdi 5. Brug musen til at trække de to nye punkter fra Algebravinduet og ud i Tegneblokken. Vi har nu et flot Boksplot med alle værdier på. 4.3.1 Finde Middeltal / Gennemsnit og Typetal 1. Skriv i Inputfeltet: Middel - Vælg den øverste [<Liste med Rå Data> ] a. Skriv A1:A20 2. Omdøb den til Middel eller Gns. 3. Skriv i Inputfeltet: Typetal[<Liste>] a. Skriv A1:A20 4. Omdøb den til Typetal Vi har nu også vores middeltal og typetal ~ 27 ~

Tastaturgenveje Generelt 1. Tryk på ESC (Escape-knappen på tastaturet) for at komme tilbage til flytteknappen. 2. Hold CTRL nede og du kan nu trække tegneblokken med musen (venstreklik). Fil 1. CTRL + S - Gem fil 2. CTRL + N - Opret ny tegning 3. CTRL + O - Åbn fil 4. CTRL + P - Vis udskrift/print 5. ALT + F4 - Luk Rediger 1. CTRL + Z - Fortryd 2. CTRL + Y - Gentag (fortrydfortryd) 3. CTRL + C - Kopier 4. CTRL + V - Indsæt 5. CTRL + E - Egenskaber 6. CTRL + A - Vælg alt 7. CTRL + SHIFT + C - Kopier tegningen Vis 1. CTRL + SHIFT + A - Algebravindue 2. CTRL + SHIFT + S - Regneark 3. CTRL + SHIFT + K - CAS 4. CTRL + SHIFT + 1 - Tegneblok 1 5. CTRL + SHIFT + 2 - Tegneblok 2 6. CTRL + SHIFT + L - Konstruktionsbeskrivelse 7. CTRL + F - Genopfrisk 8. CTRL + R - Genberegn alle objekter 9. CTRL + M - Zoom til standardvisning 10. CTRL + + - Zoom ind 11. CTRL + - - Zoom ud Matematiske - bogstaver og symboler 1. ALT + A - alpha α (brug også SHIFT for stort: A) 2. ALT + B - beta β (brug også SHIFT for stort: B) 3. ALT + D - delta δ (brug også SHIFT for stort: Δ) ~ 28 ~

4. ALT + G - gamma γ (brug også SHIFT for stort: Γ) 5. ALT + L - lambda λ (brug også SHIFT for stort: Λ) 6. ALT + M - my μ (brug også SHIFT for stort: Μ) 7. ALT + O - grader 8. ALT + P - pi π 9. ALT + E - Euler e 10. ALT + F - phi φ (brug også SHIFT for stort: Φ) 11. ALT + R - Kvadratrod 12. ALT + S - sigma σ (brug også SHIFT for stort: Σ) 13. ALT + T - theta θ (brug også SHIFT for stort: Θ) 14. ALT + W - omega ω (brug også SHIFT for stort: Ω) 15. ALT + 0 - Opløftet til 0. potens, Alt + 1 - Opløftet til 1. potens, Alt + 2 - Opløftet til 2. potens osv. ~ 29 ~