Fornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1

Transkript

1 Fornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1 February 27, 2003 Opgaven stilles fredag d. 28/ og afleveres d. 14/ ved forelæsningen. Opgaven kan besvares i grupper af 1-3 studerende. Man må gerne samarbejde på tværs af grupperne, blot der afleveres en selvstændig opgavebesvarelse fra hver enkelt gruppe. Opgavebesvarelsen må gerne være skrevet i hånden. I er velkomne til at kontakte mig pr. eller evt. i lokale E319 med spørgsmål til opgaven. Opgaveformuleringen findes i afsnit 2 og indeholder 3 spørgsmål, der skal besvares i to omgange. Afsnit 1 indeholder nogle resultater for fornyelsesteori, når ventetidsfordelingen lever på et gitter. Ved besvarelsen forventes det, at I henviser til de benyttede resultater. Anders Tolver Jensen 1

2 1 Fornyelsessætningen i diskret version I dette afsnit betragter vi fornyelsesprocesser, hvor ventetidsfordelingen og forsinkelsen kun kan antage heltallige værdier. Fornyelser kan således kun indtræffe til heltallige tidspunkter, hvilket man skal tage højde for i formuleringen af Blackwells fornyelsessætning og senere i the Key Renewal Theorem. 1.1 Diskrete fornyelsesprocesser Udgangspunktet er en fornyelsesproces S = {S n }, hvor S 0, S 1 S 0, S 2 S 1,... er uafhængige, hvor S 0 følger en fordeling A 0 på N 0, og W k = S k S k 1, k N følger en fordeling A på N. Vi indfører notationen b n = P(S 0 = n) = A 0 ({n}), n N 0 a n = P(W 1 = n) = A({n}), n N. Fornyelsesfunktionen, H, er som altid defineret ved, at H(t) betegner antallet af fornyelser i intervallet [0; t]. Da fornyelser kun kan indtræffe til heltallige tidspunkter, har fornyelsesmålet kun masse i N 0, og vi indfører notationen h n = H({n}), n N 0. Da der ikke kan ske flere fornyelser på samme tidspunkt, er h n lig med sandsynligheden for, at der sker en fornyelse til tid n. Som sædvanligt betegner H 0 fornyelsesfunktionen i tilfældet, hvor forsinkelsen er 0, dvs. S 0 = Fornyelsessætningen For en diskret fornyelsesproces indføres perioden d, som det største heltal, der går op i alle tallene {n N a n = P(W 1 = n) > 0}. Hvis for eksempel ventetidsfordelingen, A, mellem fornyelserne kun har masse i de lige tal, så vil d = 2. Hvis d = 1 siges processen at være aperiodisk. 2

3 Theorem 1.1 For en aperiodisk fornyelsesproces gælder n=1 na n. h n 1 µ, n, Hvis perioden d 2 kan man formulere en fornyelsessætning, der udtaler sig om tilfældet, hvor forsinkelsen er 0. Theorem 1.2 For en fornyelsesproces med periode d og forsinkelse 0 gælder h nd d µ, n, n=1 na n. Endvidere er h k = 0, når k ikke er delelig med d. Bemærk at sætningerne også gælder når µ = +. Her skal 1 fortolkes som µ The Key Renewal Theorem Antag nu, at vi har givet en talfølge {u n } n N0, som opfylder relationen u 0 = c 0 u n = c n + (a 1 u n 1 + a 2 u n a n u 0 ), n N (1) for en begrænset følge {c n } n N0 af ikke-negative tal. Ud fra fornyelsessætningen kan man umiddelbart vise følgende sætning. Theorem 1.3 For en aperiodisk fornyelsesproces gælder, at hvis n=0 c n er endelig, da vil u n 1 c µ n, n, n=1 na n. n=0 Resultatet holder også for µ =, hvor højresiden fortolkes som 0. Sætningen kaldes the Key Renewal Theorem. 3

4 2 Opgave: Befolkningsmodeller En yndet anvendelse af fornyelsesprocesser i diskret tid er at lave demografiske prognoser for størrelsen af udvalgte befolkningsgrupper. Vi skal i denne opgave benytte nogle simple statistiske modeller til at fremskrive aldersfordelingen i en fiktiv befolkning. Vi betragter N = 1000 udvalgte kvinder på 0 år fra en givet befolkning. Med a n, n N, betegnes sandsynligheden for at en vilkårlig kvinde føder sin første pige i en alder af n år. Drengefødsler er således aldeles irrelevante i denne opgave. Vi gør nu følgende urealistiske antagelse: hver kvinde får en og kun en pige i løbet af sit liv Vi udvælger nu en af de 1000 kvinder. Hun føder til tid S 1 sin første - og eneste - datter. Datteren føder sin eneste datter til tid S 2 osv. Der vil således være netop en kvinde i hver generation af efterkommere, og kvinden i k. generation fødes til tid S k. Spørgsmål A Antag at a n = p(1 p) n 1, n N, for et p ]0; 1[. Find den asymptotiske opførsel af sandsynligheden for, at der fødes en kvindelig efterkommer efter n år, når n. Spørgsmål B Lad nu u n betegne det forventede antal kvindelige efterkommere, der fødes efter n år, når vi betrager hele populationen af de oprindelige 1000 kvinder. Opskriv en ligning af formen (1) for {u n }, og bestem lim n u n. Spørgsmål C Vi betragter for hver enkelt af de oprindelige 1000 kvinder den yngste kvindelige efterkommer. Vi ønsker at bestemme aldersfordelingen blandt disse 1000 efterkommere i den yngste generation til tid n. Til tid n lader vi v k (n) betegne det forventede antal kvinder i yngste generation, der har alderen k. Bestem grænsealdersfordelingen, lim n v k (n), for alle k N 0. 4

5 Vink: Antallet af efterkommere med alder k til tid n skal søges blandt efterkommere, der blev født i år n k. Spørgsmål D Vi foretager nu den ændring, at kvinderne først begynder at få kvindelige efterkommere, fra de er 20 år gamle. I resten af opgaven er således { 0 for n 19 a n = p(1 p) n 20 for n 20. Besvar spørgsmål A-C med denne ændring. 5