Gult Foredrag Om Net
|
|
- Ejvind Max Bjerregaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010
2 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges så, med R n og euklidisk afstand som inspirationskilde, til at formulere begreber som åbne og lukkede mængder, konvergens og kontinuitet. Har man først defineret de åbne mængder så viser det sig at de andre egenskaber kan gives ækvivalente beskrivelser udelukkende i termer af åbne mængder. Denne observation leder op til introduktionen af topologiske rum i geometri kurset, hvor metrikken bliver fjernet og man tager udgangspunkt i en på forhånd givet familie af åbne mængder. Man kan så også her snakke om lukkede mængder, konvergens og kontinuitet ved simpelthen at bruge de tilsvarende karakterisationer fra metriske rum som en definition.
3 Introduktion II: Fra Følger til Net Følger spiller som bekendt en central rolle i matematisk analyse. I metriske rum kan begreberne fra før, samt kompakthed, også gives ækvivalente formuleringer i termer af følger. Det vil sige at lukkethed, kontinuitet og kompakthed, kan beskrives ved hjælp af følger. Vi vil se nogle eksempler hvor følgekarakterisationen af disse begreber i topologiske rum ikke gælder. Det ledte Moore og Smith i 1922 til at udvide begrebet følge til noget som kaldes for net. Ved at erstatte følger med net kan man genfinde de tabte ækvivalente formuleringer. Et andet ækvivalent begreb, kaldet filtre, blev indført af Cartan i 1937.
4 Metriske Rum Lad X være en mængde og d : X X [0, ). Definition Vi siger at (X, d) udgør et metrisk rum hvis 1 d(x, y) = 0 hvis og kun hvis x = y. 2 d(x, y) = d(y, x) for alle x, y X. 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) for alle x, y, z X. Euklidisk metrik: X R med metrikken d(x, y) = x y Diskret metrik: X en vilkårlig mængde og { 0, x = y d(x, y) = 1, x y.
5 Følger og Konvergens Lad (X, d) være et metrisk rum. En følge i X er en delmængde indekseret ved de naturlige tal {x k } k N X. En følge kaldes konvergent hvis der eksisterer et x X så d(x, x k ) 0 som en reel talfølge. Punktet x kaldes et grænsepunkt for følgen. En følge kan højst havde ét grænsepunkt. Euklidisk metrik: Følgen {1/k} k N er konvergent i X = [0, 1] men ikke i X = (0, 1]. Diskret metrik: En følge er konvergent hvis og kun hvis den fra et hvist trin er konstant og lig med sit grænsepunkt.
6 Åbne og Lukkede Mængder Lad os indføre notationen B X r (x) = {y X d(x, y) < r}, for den åbne kugle omkring x X med radius r > 0. Vi kalder en delmænge U af et metrisk rum for åben hvis der til ethvert x U findes r > 0 således at B r (x) U. En delmænge U kaldes lukket hvis dens komplement U c = X \U er åben. Euklidisk metrik: En mængde U X R er åben (lukket) hvis og kun hvis der findes en mængde U R der er åben (lukket) i R så U = U X. Diskret metrik: Et punkts mængder {x} = B 1/2 (x) er åbne og dermed er alle mængder både åbne og lukkede.
7 Følgelukkede Mængder Sætning En følge {x k } k N er konvergent, med grænse x, hvis og kun hvis: For enhver åben omegn U af x findes et N N således at x k U for alle k N. En delmængde L af et metrisk rum X kaldes følgelukket hvis en enhver konvergent følge {x k } k N L har sit (entydige) grænsepunkt i L. Fra ovenstående sætning får vi: Sætning I et metrisk rum er en delmængde lukket hvis og kun hvis den er følgelukket.
8 Kompakte Rum Lad (X, d) være et metrisk rum. En familie af åbne mængder {U α } α I kaldes en overdækning af X hvis X = α I U α. Hvis J I og X = α J U α så kaldes {U α } α J en deloverdækning. Hvis enhver åben overdækning af X har en endelig deloverdækning, i.e. J er en endelig mængde, så kaldes X et kompakt metrisk rum. Euklidisk metrik: X R er kompakt metrisk rum hvis og kun hvis X set som delmængde af R er lukket og begrænset. Diskret metrik: X er kompakt hvis og kun hvis den består af endeligt mange punkter.
9 Delfølger og Følgekompakte Mængder En delmængde {x kj } j N {x k } k N af en følge, kaldes en delfølge hvis k j+1 > k j for alle j N. Lad (X, d) være et metrisk rum. Vi kalder X følgekompakt hvis enhver følge {x k } k N i X har en konvergent delfølge. Sætning Et metrisk rum er kompakt hvis og kun hvis det er følgekompakt.
10 Kontinuerte og Følgekontinuerte Funktioner Lad (X, d X ) og (Y, d Y ) være to metriske rum. En funktion f : X Y kaldes kontinuert i x X hvis ɛ > 0 δ > 0 så y B X δ (x) : d Y (f (x), f (y)) < ɛ. f : X Y kaldes kontinuert hvis f er kontinuert i alle x X. Hvis X har diskret metrik er alle funktioner f : X Y kontinuerte (vælg δ = 1/2). Hvis X R har euklidisk metrik og Y har diskret metrik er de kontinuerte funktioner lokalt konstante (sæt ɛ = 1/2). En funktion f : X Y kaldes følgekontinuert hvis f afbilder alle konvergente følger {x k } k N X i konvergente følger {f (x k )} k N Y.
11 Topologisk Kontinuerte Funktioner Lad igen (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rum og f : X Y. Vi minder om at urbilledet for f af en delmængde V Y er givet ved f 1 (V ) := {x X f (x) V }. En funktion f : X Y kaldes topologisk kontinuert hvis urbilledet f 1 (V ) af enhver åben delmængde V Y er åben i X. Sætning Lad (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rum og f : X Y en funktion. Da er følgende ækvivalent. 1 f er kontinuert. 2 f er følgekontinuert. 3 f er topologisk kontinuert.
12 Topologiske Rum Mange af de begreber vi indførte i metriske rum var formuleret eller kan formuleres i termer af åbne mængder. Det er i den sammenhæng naturligt at identificerer præcist de egenskaber ved de åbne mængder som det hele hænger på. Det leder os til at indføre Topologiske Rum Lad X være en mængde og τ en familie af delmængder af X. Vi kalder (X, τ) et topologisk rum hvis 1, X τ. 2 U 1,..., U n τ medfører at U 1 U n τ. 3 {U α } α I τ medfører at α I U α τ.
13 De Samme Egenskaber i Topologiske Rum Lad (X, τ X ) være et topologisk rum. Mængerne i τ X vil vi opfatte som de åbne mængder. Vi kan nu genindføre egenskaberne fra metriske rum ved reference til de åbne mængder direkte istedet for til en metrik. En følge {x k } k N kaldes konvergent hvis der eksisterer x X, et grænsepunkt, således at for enhver U x åben eksisterer N N så x k U for all k N. En mængde U kaldes lukket hvis den er komplementet af en åben mængde, i.e. U c τ X. Et topologisk rum X kaldes kompakt hvis enhver overdækning af X, med mængder fra τ X, har en endelig deloverdækning. Lad (Y, τ Y ) være et andet topologisk rum. En funktion f : X Y siges at være kontinuert hvis f 1 (V ) τ X for alle V τ Y.
14 Metrisk Topologi Lad (X, d) være et metrisk rum. Lad τ X bestå af de U X hvorom det gælder at U er åben med hensyn til metrikken. Da er (X, τ X ) et topologisk rum og τ X kaldes en metrisk topologi. Lukkethed, konvergens, kontinuitet og kompakthed i X er uafhængigt af om man vælger at opfatte X som et metrisk rum, eller et topologisk rum. Topologien på X R, kommende fra euklidisk metrik, kaldes (relativ) euklidisk topologi Omvendt kaldes et topologisk rum (X, τ x ) metriserbart, hvis der findes en metrik d på X som præcist har mængderne fra τ X som de åbne mængder. Mængden τ X af alle delmængder af en mængde X kaldes den diskrete topologi på X. Den diskrete topologi er metriserbar, med den diskrete metrik.
15 Triviel Topologi Lad X være en mængde med mindst 2 elementer. Den trivielle topologi på X er givet ved τ = {, X }. Da og X er hinandens komplementærmængder er og X de eneste lukkede mængder i topologien. Da et givet x kun har X som åben omegn så ser vi et alle følger {x n } n N X er konvergente med alle x X som grænsepunkter! Dermed er og X de eneste følgelukkede mængder. Da τ er en endelig familie er enhver overdækning af X endelig, så X er et kompakt rum. Ved ovenstående er X også følgekompakt.
16 Tællelig Komplement Topologi I Lad X være en overtællelig mængde. En mængde U X har tælleligt komplement hvis U c = X \U er en (højst) tællelig mængde. Lad nu τ X bestå af og alle delmængder U X med tælleligt komplement. Da er (X, τ X ) et topologisk rum og τ X kaldes tællelig komplement topologien. De lukkede mængder er X selv og de (højst) tællelige delmængder af X. En følge {x k } k N er konvergent hvis og kun hvis den er konstant fra et trin af. I så fald er punktet i den konstante hale det eneste grænsepunkt. Specielt er alle delmængder følgelukkede! X er dog hverken kompakt eller følgekompakt.
17 Tællelig Komplement Topologi II Lad (Y, τ Y ) være et andet topologisk rum. Da de eneste konvergente følger i X er de der er konstante fra et trin af, må alle funktioner f : X Y være følgekontinuerte! Tag nu X = Y = R, og udstyr Y med euklidisk topologi. Vælg for f : X Y identitets afbildningen f (t) = t. Lad U = (0, 1) Y = R, som er euklidisk åben. Da er f 1 (U) = U som ikke har tælleligt komplement, og dermed ikke er åben i X. Vi har således produceret en funktion der er følgekontinuert men ikke kontinuert!!
18 Produkt Topologi I: En Basis for Topologien Lad nu X bestå af alle funktioner f : [0, 1] [0, 1]. For t [0, 1], lad p t : X [0, 1] betegne afbildningen der evaluerer f X i punktet t. I.e. p t (f ) = f (t). Vi vil gerne udstyre X med en topologi hvori afbildningerne p t : X [0, 1] er kontinuerte, når [0, 1] gives den euklidiske topologi τ [0,1]. Det vil sige at topologien skal indeholde mængderne { {f S = X f (t) U } } t [0, 1] og U τ[0,1]. Ved endeligt snit egenskaben for en topologi skal vi også inkludere { {f B = X f (t j ) U j, 1 j n } } n N, tj [0, 1] og U j τ [0,1].
19 Produkt Topologi II: Åbne og Lukkede Mængder For at lave en topologi kan vi nu tage vilkårlige foreninger af elementer fra B. Det giver os en topologi τ X, som kaldes for produkt topologien på X (som har B som basis). Produkt topologien kan udtrykkes ved τ X = { W X x W U B så x U W }. τ X er den mindste topologi på X med p t (f ) = f (t) kontinuerte. Vi får eksempler på lukkede mængder ved at udregne komplementet af mængder U B. De er på formen { f X f (tj ) L j, 1 j n }, hvor n N, t j [0, 1] og L j [0, 1] er lukkede. De resterende lukkede mængder får man ved at forme vilkårlige snit af ovenstående mængder.
20 Produkt Topologi III: Følgelukkede Delmængder Sætning Følgende er ævivalent. 1 {f k } k N er konvergent, med f X som grænse. 2 {f k } k N er punktvist konvergent, med f som grænse. Eksempler på følgelukkede mængder (ud over U c, U B,) er: A 1 = { f X {t [0, 1] f (t) 0} er tællelig } A 2 = { f X f Borel målelig }. Nu bliver det mystisk da både A c 1 og Ac 2 er ikke tomme og alle mængder U B opfylder at U A j så A 1 og A 2 kan ikke være lukkede! (Faktisk er A 1 og A 2 tætte i X.)
21 Produkt Topologi IV: X Er Ikke Følgekompakt. For et givet t [0, 1], lad bin k (t) {0, 1} betegne det k te ciffer i den binære ekspansion af t. Her vælger vi den ekspansion af t der har nuller vilkårligt langt ude. For eksempel 1 s ekspansion er og ikke Vi betragter nu funktionsfølgen {bin k } k N X. Lad {bin kj } j N være en delfølge. Vælg t 0 til at være et tal i [0, 1] hvis binære ekspansion opfylder at bin kj (t 0 ) = 1 når j er lige, og bin kj (t 0 ) = 0 når j er ulige. Da er {bin kj (t 0 )} j N ikke konvergent da den alternerer mellem 0 og 1. Derfor kan {bin k } k N ikke have en konvergent delfølge, og X er ikke følgekompakt. Det er et ikke-trivielt faktum, Tychonoff s Sætning, at X faktisk er et kompakt topologisk rum!
22 Opad Filtrerede Mængder Definition En mængde I med ordning kaldes opad filtreret hvis følgende gælder 1 For alle α I er α α. 2 For alle α, β, γ I, med α β og β γ, gælder at α γ. 3 For alle α, β I eksisterer der γ I så α γ og β γ. Det mest basale eksempel er I = N med sædvanlig ordning. Som et overtælligt eksempel kan vi tage I = (a, b) med sædvanlig ordning. Som et sidste eksempel lad I bestå af alle endelige delmængder af [0, 1], med mængdeinklusion som ordning. For A, B I vil A B I være størrere end både A og B.
23 Net Definition Et par (I, i) kaldes et net i X hvis 1 I er en opad filtrereret mængde. 2 i : I X en funktion. Vi skriver også nettet som {x α } α I, hvor x α = i(α). Følger {x k } k N er naturligvis eksempler på net. Her er I = N med sædvanlig orden, og i(k) = x k. Lad g : (a, b) R være en funktion. Da er {g(t)} t (a,b) et net i R, hvor I = (a, b) udstyres med sædvanlig ordning, og i(t) = g(t). Lad I være de endelige delmængder af [0, 1] med mængde inklusion som ordning. Som et net af funktioner tager vi {1l A } A I, hvor 1l A er den karakteristiske funktion på mængden A.
24 Konvergens af Net Lad nu X være et topologisk rum. Vi generaliserer konvergens begrebet fra følger til net og siger at et net {x α } α I er konvergent hvis og kun hvis der eksisterer et x X, et grænsepunkt, så: U x åben β I : α β er x α U. I.e. nettet ligger fra et hvist trin af i enhver åben omegn af x. En følge {x k } k N er konvergent som net hvis og kun hvis den er konvergent som følge. Nettet {g(t)} t (a,b) er konvergent hvis og kun hvis lim t b g(t) eksisterer.
25 Produkt Topologi V: Et Konvergent Net Sætning Lad {f α } α I være et net i rummet X af funktioner fra [0, 1] til [0, 1]. Da er følgende ækvivalent. 1 Nettet {f α } α I er konvergent i X. 2 Nettene {f α (t)} α I er konvergente i [0, 1] for all t [0, 1]. Nettet {1l A } A [0,1], med A endelig, er konvergent i X med den konstante funktion 1 som grænse, da nettene {1l A (t)} A [0,1] er konvergent i [0, 1] med 1 som grænse, for alle t [0, 1]. Bemærk at nettet ovenfor forløber i den følgelukkede mængde A 1 og grænsepunktet 1 ligger udenfor den følgelukkede, men ikke lukkede, mængde A 1.
26 Delnet For at behandle kompakthed får vi brug for begrebet delnet, der overtager delfølgernes rolle. Bemærk at vi kan ikke definere delnet som net på formen (J, i) med J I en opad filtreret delmængde. Da ville delnet af følger svare til delfølger og det er ikke godt nok. Definition Lad (I, i) være et net i X. Vi kalder (J, j), hvor J er opad filtreret, for et delnet af (I, i) hvis der eksisterer h : J I så j = i h og α I µ J : λ µ er h(λ) α. Delfølger af følger er naturligvist delnet. Her er J = N og h(j) = k j.
27 Net Karakterisation Sætning Lad (X, τ) være et topologisk rum. Da gælder følgende 1 En delmængde A X er A lukket hvis og kun hvis: Ingen konvergente net {x α } α I A, har grænsepunkt uden for A. 2 X er kompakt hvis og kun hvis: Ethvert net {x α } α I X har et konvergent delnet. 3 Lad Y være et andet topologisk rum. En funktion f : X Y er kontinuert hvis og kun hvis: Funktionen f sender alle konvergente net {x α } α I X i konvergente net {f (x α )} α I Y.
28 Produkt Topologi VI: Kandidat til Grænsepunkt Vi vender nu tilbage til eksemplet på en følge i X uden konvergent delfølge. Vi ønsker istedet at finde et konvergent delnet. Det er rimeligt at lede efter en indikator funktion som grænsefunktion, da bin k kun tager værdierne 0 og 1. Konstruktionen hænger på eksistensen af en maximal mængde B [0, 1] med følgende egenskab F B, N N, F endelig k N : bin k (t) = 1, t F. Med maximal menes at B ikke er ægte indeholdt i en større delmængde af [0, 1] med samme egenskab. Eksistensen af B hænger på Hausdorff s Maximalitets Princip. Man kan nu vise at følgende udsagn holder vand: For alle F [0, 1] endelig og N N eksisterer k N så bin k (t) = 1, t F B, og bin k (t) = 0, t F B c.
29 Produkt Topolgi VI: Et Konvergent Delnet Vi er nu parat til at konstruere et delnet af {bin k } k N der konvergerer mod 1l B. Som opad filtrereret mængde tager vi J = {(F, N)} F [0,1],N N, med F endelige delmængder. Vi får en ordning på J ved at sætte (F, N) ( F, Ñ) hvis F F og N Ñ. J er opad filtreret da (F F, max{n, Ñ}) dominerer både (F, N) og ( F, Ñ). Vi kan nu vælge h : J N ved at sætte h((f, N)) = k N, hvor k opfylder egenskaberne fra sidste side med det givne F og N. Det giver et delnet af {bin k } k N. Med det valg er det klart at nettet {bin h(f,n) } (F,N) J konvergerer mod 1l B da bin h(f,n) (t) = 1l B (t) for alle (F, N) ({t}, 1)).
30 Og Til Sidst Et stort hurra for uniformt konvergente funktionsfølger, som kan beskrives ved en metrisk topologi.
Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs merePunktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed. Morten Grud Rasmussen 17. november 2017
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 17. november 2017 Indhold 1 Punktmængdetopologi 2 1.1 Topologiske rum................................. 2 1.2 Kontinuitet...................................
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mere1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereG r u p p e G
M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereGRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereMatematik 2 MA Matematisk Analyse
Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1992 93 Kapitel I. Metriske rum FORORD Efterårsdelen af Matematik 2 MA består af metriske rum og mål og integralteori, og nærværende hæfte omhandler metriske rum. De første
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereMATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1
OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mereMatematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING
Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING 1999 Indhold Talfølger, rækker og komplekse tal, noter ved Tage Gutmann Madsen, omredigeret til HHK af Gerd Grubb: 1 De reelle tal 1 5 2 Reelle talfølger 6 19 3 Uendelige
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mere