1 Beviser for fornyelsessætningen

Transkript

1 Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen lever på et gitter. Derefter vil vi diskutere, hvilke problemer der er i at overføre bevisteknikken til tilfældet, hvor ventetidsfordelingen ikke lever på et gitter. Endelig antydes hvordan man løser disse problemer. 1.1 Ventetidsfordelingen lever på et gitter Lad A være en fordeling på N og definer a n = A({n}), n N. Antag at middelventetiden µ = na n < og definer Palm-fordelingen A P på N 0 ved A P ({n}) = 1 a k, n N 0. µ k=n+1 Vi betegner med H P fornyelsesmålet for Palms fornyelsesproces. Endelig lader vi H betegne fornyelsesmålet for fornyelsesprocessen med forsinkelse, A 0, hvor A 0 er en vilkårlig fordeling på N 0. Fra [KA] s.11 sætning 5.5 har vi, at H P ({k}) = 1 µ, k N 0. Indholdet af fornyelsessætningen kan formuleres i følgende sætning: Sætning 1.1 Hvis ventetidsfordelingen, A, er aperiodisk, da gælder for en vilkårlig begyndelsesfordeling, A 0, at lim H({k}) = 1. µ En måde, hvorpå man kan vise dette resultat, er at benytte den teknik, der kaldes kobling. Selvom teknikken bestemt fortjener at blive diskuteret i sin fulde generalitet, er det I nedenstående fremstilling forsøgt at foretage alle konstruktioner så konkret som muligt.

2 2 A. T. Jensen Som sædvanlig definerer vi for en fornyelsesproces, S = {S n }, den fremadrettede rekurrensproces ved R(t) = S N(t) t, hvor N(t) betegner antallet af fornyelser i intervallet [0; t]. Bemærk, at da ventetidsfordelingen lever på N, vil {R(t)} kun have spring til heltallige tidspunkter. En kort overvejelse giver, at der sker en fornyelse til tid k+1 netop, hvis R(k) = 1, dvs. P(R(k) = 1) = H({k + 1}), k N 0. (1) Bevis for sætning 1.1: Lad S 0 følge fordeling A P og lad {W k } k 1 være en uafhængig følge af i.i.d. variable med fordeling A. Tilsvarende antager vi, at S 0 følger fordeling A 0 og er uafhængig af {W k } k 1, som er en følge af i.i.d. variable med fordeling A. Endelig antages at (S 0, W 1, W 2,...) er uafhængig af (S 0, W 1, W 2,...). Definer nu S n = S 0 + W W n S n = S 0 + W W n, n N. Da er S = {S n } og S = {S n } uafhængige fornyelsesprocesser med forsinkelse A P henholdsvis A 0. Vi betegner med {R(t)} og {R(t) } de fremadrettede rekurrens processer. Af (1) følger, at påstanden i sætningen er ækvivalent med, at lim P(R (k) = 1) = 1. µ På den anden side ved vi, at for Palm-processen S gælder at P(R(k) = 1) = 1 µ, så vi behøver blot at vise, at lim P(R(k) = 1) P(R (k) = 1) = 0. Den todimensionale proces {X k } = {(R(k), R (k))} er en markovkæde på N N med overgangssandsynligheder p 11,kl = a k a l, k, l N, p 1j,kj 1 = a k, k N, j 2, p i1,i 1l = a l, l N, i 2, p ij,i 1j 1 = 1, i, j 2, p ij,kl = 0, ellers.

3 Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 3 Da ventetidsfordelingen, A, er aperiodisk bliver {X k } en irreducibel, aperiodisk markovkæde. Dermed vil den stokastiske variable T = inf{k > 0 X k = (1, 1)} være endelig med sandsynlighed 1. I ord siger dette, at med sandsynlighed 1 vil der findes et tidspunkt, hvor både S og S har en fornyelse, dvs. S N(T ) = S N (T ). Med ssh 1 findes et tidspunkt hvor begge processer har en fornyelse R(t) X Tid Vi indfører nu en ny proces {R (t)} ved R (t) = { R (t), t T R(t), t > T. Dette svarer blot til, at vi definerer en ny fornyelsesproces, S = {S n}, hvortil vi benytter variablene ( S 0, W 1,..., W N (T ), W N(T )+1, W N(T )+2,... ).

4 4 A. T. Jensen Da alle W k og W k er uafhængige og identisk fordelte, er det klart, at {R (t)} og {R (t)} har samme fordeling. Endvidere gælder, at R (t) = R(t) for t > T, hvorfor vi har følgende ulighed (R(k)=1) (R (k)=1) (k T ). Da {R (t)} og {R (t)} har samme fordeling fås 0 lim sup P(R(k) = 1) P(R (k) = 1) lim sup P(R(k) = 1) P(R (k) = 1) lim sup E ( (R(k)=1 R (k)=1 ) lim sup P(k T ) = 0. Her følger sidste lighedstegn af, at P(T < ) = Ventetidsfordelingen lever ikke på et gitter Vi antager i dette afsnit, at ventetidsfordelingen, A, ikke lever på et gitter og har endelig middelværdi µ = ua(du). Vi definerer Palm-fordelingen, 0 A P, som den fordeling på [0; [, der har fordelingsfunktion A P (x) = 1 µ x 0 (1 A(u))du, x 0. Lad nu S = {S n } være en fornyelsesproces med ventetidsfordeling A og forsinkelse A 0. Idet R(t) = S N(t) t, t 0 betegner den fremadrettede rekurrens proces har vi set, at Blackwells fornyelsessætning kan gives følgende formulering. Sætning 1.2 For en vilkårlig forsinkelse A 0 og alle ξ 0 gælder, at lim P(R(t) ξ) = A P (ξ).

5 Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 5 Lad os prøve at analysere problemstillingen med henblik på at anvende samme strategi som i foregående afsnit. Fra [KA] s.6 ved vi, at S er stationær, netop hvis forsinkelsen er givet ved A P. I dette tilfælde gælder, at P(R(t) ξ) = A P (ξ) for alle t 0. Resultatet i sætningen følger således, hvis vi kan vise, at for enhver fornyelsesproces S med ventetidsfordeling A gælder, at lim P(R(t) ξ) P(R (t) ξ) = 0. Vælger vi versioner af S og S som er uafhængige, kan vi lave samme konstruktion som i gittertilfældet. Vi definerer således en ny fornyelsesproces, S, ud fra S og S ved, at { R R (t) = (t) t T, R(t) t > T, hvor T = inf{t > 0 R(t) = R (t)} er første gang {R(t)} og {R (t)} er ens. Ved igen at udnytte, at R(t) = R (t) for t > T kan vi opskrive uligheden 0 lim sup P(R(t) ξ) P(R (t) ξ) lim sup P(t > T ). I modsætning til i gittertilfældet bryder argumentet dog sammen, fordi der ikke gælder, at P(T < ) = 1. For at T < skal S og S have en fornyelse til præcis samme tidspunkt. Hvis f.eks. A har tæthed mht. lebesguemålet overbeviser man sig om, at P(T < ) = ɛ-koblingen Man kan imidlertid vise, at for ethvert ɛ > 0 vil S og S med sandsynlighed 1 have fornyelser i en indbyrdes afstand af højst ɛ.

6 6 A. T. Jensen Med ssh 1 indtræffer fornyelser for S og S med vilk. lille indbyrdes afstand Fornyelser for S * Fornyelser for S Formelt set kan dette formuleres ved, at der findes stokastiske variable T ɛ og S ɛ med S ɛ < ɛ og P(T ɛ < ) = 1, så R (T ɛ ) = R(T ɛ + S ɛ ). Man taler om, at det er muligt at konstruere en ɛ-kobling mellem den stationære fornyelsesproces (Palm-processen) og fornyelsesprocessen med vilkårlig forsinkelse A 0. Indfører vi nu en ny fornyelsesproces, S, ved { R R (t) = (t) t < T ɛ, R(t + S ɛ ) t T ɛ så gælder, at S og S har samme fordeling. Da S ɛ < ɛ fås for t T ɛ, at (R(t) ξ) (R (t) ξ) sup (R(t) ξ) (R(s) ξ) := Mt ɛ. t ɛ s t+ɛ Denne relation giver anledning til følgende koblingsulighed P(R(t) ξ) P(R (t) ξ) EM ɛ t + P(T ɛ t).

7 Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 7 For at bevise sætning 1.2 mangler vi således at vise Lemma 1.3 lim ɛ 0 lim sup EMt ɛ = 0. Endvidere skal eksistensen af en ɛ-kobling bevises. Beviset for disse resterende punkter er bestemt ikke trivielt. Den interesserede læser henvises f.eks. til S. Asmussen: Applied Probability and Queues.