Blandede og supplerende opgaver

Transkript

1 Blandede og supplerende opgaver Sammensætning af regnearterne Geometri Statistik Talfølger... 7 Funktioner (1): Formler og funktioner Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler Funktioner (): Blandede opgaver Bogstavregning Procent og eksponentiel vækst Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente Lån og opsparing (): Serielån... 9 Lån og opsparing (): Annuitetslån... 9 Lån og opsparing (): Opsparing Blandede og supplerende opgaver Side 59

2 Sammensætning af regnearterne 1: Afgør om disse udsagn er sande: Du skal så vidt muligt svare uden at bruge regnemaskine. a: b: c: d: e: f: g: h: = = + = 8 5 : 5 = 8 5 : 5 = = ( 6 ) = ( 6 ) = i: j: k: l: 6 8 = = = 5 = 1 1 m: 5 = 5 5 n: 9 = o: 5 9 = p: 16 = 16 q: 16 1 = 16 r: 77 0 = 1 s: 77 0 = 0 : Skriv tallet som et almindeligt tal: a: b: c: , : Skriv tallet som en 10-tals-potens: a:,5 mia. b: c: 0, : Regn regnestykkerne. Helst uden regnemaskine a: b: : Prøv om du både kan regne disse opgaver ved at lave mellemregninger og ved at taste hele regnestykket ind på regnemaskinen i et hug. Afrund selv til et passende antal decimaler. a: b: c: 6.9 d: e: , f:,78 g: 6.0,5 978, 7,5 7 8 h: i: j: , (, + 0,8) 5 (1 0,07) (1 + 0,7) k: 5,576 (1 0,05) l: m: n: 1 5, 8, o: p: q:,8 5 +, , r:, 5 1 s:,5 8 1,817, t: 1, 9 6, , u: 5 1 1, 9,1 1,8 Blandede og supplerende opgaver Side 60

3 Geometri 1: Tegningerne viser en sekskant og en ottekant. a: Undersøg om siderne i sekskanten er lige lange. b: Undersøg om siderne i ottekanten er lige lange. c: Beregn areal og omkreds af begge figurerne. d: Beregn vinklerne i de to figurer. Brug trigonometri. e: Vurder om figurerne er helt regulære. I en regulær polygon (mangekant) men n sider kan man beregne vinklerne med formlen til højre. f: Undersøg om de vinkler, som du kan beregne med trigonometri, passer med de vinkler, som du kan beregne med formlen.,5 cm 9,0 cm,5 cm 7,8 cm 7,8 cm 5,8 cm 8, cm 5,8 cm v = 5,8 cm 8, cm 5,8 cm (n ) 180 o n : Tegningen viser en pap-æske med sekskantede ender. Æsken er 1 cm lang. a: Vis at siderne i sekskanterne er (næsten) lige lange. b: Beregn arealet af sekskanten. c: Beregn overfladearealet af hele æsken. d: Beregn rumfanget af æsken. Der er 50 g chokolade i æsken. Det fylder 75% af æskens rumfang. Resten er luft. e: Hvor mange cm fylder chokoladen?,6 cm 1,5 cm,0 cm 1,5 cm f: Hvad er chokoladens massefylde. Lav opgave g og h sammen med en klassekammerat, således at I laver en æske hver.,6 cm g: Tegn en udfoldning af æsken i naturlig størrelse. Tilføj evt. nogle limflapper. Klip udfoldningen ud og fold æsken. h: Tegn, klip og fold også æsken i dobbelt størrelse. Længdeforhold : 1. i: Sammenlign rumfang og overfladeareal af de to æsker. Blandede og supplerende opgaver Side 61

4 : Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter. a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter. b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m. Du kan fx gøre det således: - beregn så mange vinkler som muligt - beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter - beregn arealerne af de retvinklede trekanter 7,50 dm - læg arealerne sammen 70º 65º 65º 15 cm,60 m 5,00 m 110º 16,º 67,º 6,50 m : Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede. Højden fra jorden og op til tagets underkant er,50 m på begge huse. Taget på huset til venstre har en hældning på 5º. Taget på huset til højre har en hældning på 5º. a: Sammenlign højden fra jorden og op til tagryggen på de to huse. b: Sammenlign arealet af tagene på de to huse. 5º 5º Blandede og supplerende opgaver Side 6

5 5: Bordkompagniet De tre øverste borde er regulære polygoner (mangekanter). I en polygon med n sider er vinkelsummen (n ) 180 o a: Find vinkelsummen i hver polygon. b: Find størrelsen af den enkelte vinkel i hver af polygonerne. c: Find diameteren af det runde bord. d: Find tegningernes målestoksforhold. e: Tegn selv på mm-papir (nogle af) bordene i målestoksforholdet 1:10. f: Beregn først højden i den ligesidede trekant. Find derefter arealet af det trekantede bord. g: Beregn også arealet af det trekantede bord med Herons formel: A = s (s a) (s b) (s c) hvor s er den halve omkreds, og a, b og c er sidelængderne Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler for regulære tre-, seks- og otte-kanter: Trekant: A = s Sekskant: A = s Ottekant: A = (1 + ) s hvor s er sidelængden i alle formlerne. h: Kontroller først arealet af trekanten med den øverste formel. Find derefter arealerne af de seks- og otte-kantede borde. i: Sammenlign bordarealet pr. person ved de forskellige borde. Alle bordpladerne er 6 mm tykke og lavet af træ med en massefylde på 0,85 g pr. cm. j: Beregn vægten af (nogle af) bordpladerne. Otte-kantede og runde borde Bordkompagniet Moderne borde til moderne mennesker Begge borde har Model Hexagona Sidelængde 60 cm plads til 8 personer Tre- og seks-kantede borde Model Circula Omkreds 80 cm Begge borde har plads til 6 personer Model Triangula Sidelængde 10 cm Model Octagona Sidelængde 60 cm Blandede og supplerende opgaver Side 6

6 6: Affaldskompagniet Model A har form som en keglestub. Model B har form som en pyramidestub. a: Vurder om disse udsagn er rigtige: - Model A rummer ca. ¼ kubikmeter. - Model B rummer ca. ⅔ kubikmeter. b: Find de præcise rumfang af begge affaldsbeholdere målt i liter. Firmaet laver også en "Model C" Modellen har form som en keglestub, men er noget større end Model A. Diameter foroven er 8 cm, diameter forneden er 68 cm og højden er 11 cm. c: Find rumfanget af Model C. Giv svaret i både m og liter. Firmaet laver også en "Model D" Modellen har form som en pyramidestub, hvor både top og bund er kvadrater. Sidelængden foroven er 110 cm. Sidelængden forneden er 85 cm. Højden er 105 cm. Model A Diameter top: Affaldskompagniet Alt inden for affaldsbeholdere 65 cm Diameter bund: 55 cm Højde: Model B 90 cm Mål top: 10 cm x 80 cm Mål bund: 90 cm x 60 cm Højde: d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m og liter. 90 cm 7: ABC-skålen a: Vis at en ABC-skål med en radius på 6, cm kan rumme ca. 0,5 liter. b: Vis at en ABC-skål med en radius på 1, cm kan rumme ca. liter. c: Find diameteren i en ABC-skål der kan rumme 1 liter. d: Find radius i en ABC-skål der kan rumme liter. Forestil dig en kæmpe-abc-skål der kan rumme ½ kubikmeter. e: Hvad er radius i skålen? ABC-skålen - et velformet produkt Vores berømte ABC-skåle fås i mange størrelser fra 0,5 liter op til liter. Alle skålene er halvkugleformede og udført i de absolut bedste materialer. f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,5-liter-skålen og -liter-skålen): - når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet. - når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget. Blandede og supplerende opgaver Side 6

7 8: Kuffertkompagniet a: Find rumfanget af hver af de tre forskellige kufferter (regn i liter). b: Find også overfladearealet af hver af de tre forskellige kufferter (regn i dm ). c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at disse udsagn er rigtige: - når man forøger længdemålene med 5%, så vokser overfladearealet med over 50%. - når man forøger længdemålene med 5%, så bliver rumfanget næsten fordoblet. d: Vis med et par eksempler, som du selv finder på, at udsagnene også gælder for andre figurer. Mini 6 cm x 0 cm x 16 cm 198 kr. e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige: Midi 80 cm x 50 cm x 0 cm 8 kr. Maxi 100 cm x 6,5 cm x 5 cm 98 kr. Køb alle tre på en gang for kun 698 kr. Kuffertkompagniet Den, der bærer godt, rejser godt - hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 6% - hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 1 %. f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?. 9: Dåsekompagniet a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan rumme ca. 1 dl. b: Hvor høj er en "Mellem" dåse? c: Hvad er radius i en "Stor" dåse? De mål, der er vist til højre, er indvendige mål. Dåserne er lavet af metal med en tykkelse på ca. ½ mm og en massefylde på,8 g pr. cm d: Find rumfang og vægt af det metal der bruges til en "Lille" dåse. e: Hvor mange dåser ("Lille") kan man fremstille af: - en kubikmeter metal? - et ton metal? De dejligste dåser fra Dåsekompagniet Lille Radius,1 mm Højde 5,8 mm Rumfang Mellem 1 dl Radius 0, mm Højde cm Rumfang Stor Radius dl mm Højde 87,0 mm Rumfang dl Blandede og supplerende opgaver Side 65

8 10: Drikkeglas Alle glassene har form som keglestubbe. Målene er indvendige mål. a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer 5 cl? b: Hvor mange cl rummer "Øl"? c: Hvor høj er "Det store"? d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas der kan rumme ca. 15 cl. e: Lav et selv forslag til mål på et (meget) stort glas der kan rumme ca. 75 cl. Drikkeglas til enhver drik Sodavand - rummer 5 cl Radius foroven,5 cm Radius forneden,5 cm Højde 8,8 cm Øl - rummer cl Radius foroven,7 cm Radius forneden,8 cm Højde 9,8 cm Det store - rummer 50 cl Radius foroven, cm Radius forneden, cm Højde cm 11: Oles olietanke a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke ("Ægget" er sammensat af to halvkugler og et cylinder-formet rør). Alle målene er indvendige mål. Alle tankene er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm. b: Find det udvendige rumfang af hver af tankene? c: Til hvilken tank er der brugt mindst materiale sammenlignet med, hvor meget tanken kan rumme? d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke i målestoksforholdet 1:0 (husk "skallen"). Firmaet laver også en "Kæmpekugle", der kan rumme.500 liter. Den er lavet af samme slags materiale som de viste tanke. e: Find den indvendige radius af "Kæmpekuglen" f: Hvor meget materiale skal der bruges til at fremstille "Kæmpekuglen"? g: Kæmpekuglen rummer ca. dobbelt så meget som "Kuglen". Er materialeforbruget også dobbelt så stort? 150 cm Ægget 10 cm Oles Olietanke Vi har også en tank der passer til dig. Kuglen 10 cm 50 cm 160 cm Røret Blandede og supplerende opgaver Side 66

9 Statistik 1: Leverpostej Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej. Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker: Lenes Leverpostej 500 g KUN 16,95 kr. 98 g 91 g 81 g 80 g 99 g 7 g 86 g 87 g 50 g 51 g 500 g 69 g 508 g 6 g 70 g 9 g 85 g 75 g 79 g 96 g 9 g 516 g 97 g 501 g 88 g a: Hvor mange bakker er blevet vejet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke g Vægt i gram Hyppighed [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[ [90 ; 500[ [500 ; 510[ [510 ; 50[ I alt Frekvens : Hastigheds-kontrol Boksplottet viser resultatet af en hastigheds-kontrol. Hastigheds-grænsen er 80 km/t. a: Aflæs den laveste og den højeste hastighed. b: Aflæs median, 1. kvartil og. kvartil. c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen. d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t. Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen, og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t. e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot? Hastighed i km/time f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger. Blandede og supplerende opgaver Side 67

10 : Husleje Den øverste af tabellerne viser udviklingen i huslejen i Udby Ungdomsboliger. Den nederste tabel viser forbrugerprisindekset. a: Sammenlign udviklingen i huslejen med udviklingen i forbrugerprisindekset i årene Efter 006 er huslejen blevet reguleret i takt med udviklingen i forbrugerprisindekset. b: Beregn de manglende huslejer. Husleje pr. måned i Udby Ungdomsboliger Forbrugerprisindeks (000 = 100) , 110, 11, 11, 118,1 119,7 : Cooper-test Tabellen herunder viser resultaterne fra en Cooper-test på et idrætshold: En Cooper-test er en kondi-test, hvor deltagerne skal løbe så langt som muligt på 1 minutter..80 m m.00 m.10 m.110 m.750 m 1.90 m.0 m.50 m.870 m 1.60 m.0 m m.050 m.70 m.0 m.600 m.190 m.90 m m 1.80 m.570 m.00 m.150 m a: Hvor mange personer deltog i testen? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign boksplot og histogram. i: Udvid din tabel med en kolonne med summeret frekvens. j: Sammenlign hastighederne i km/t for den langsomste og den hurtigste deltager. Distance i m Hyppighed Frekvens [1.600 ; 1.800[ [1.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ [.00 ;.600[ [.600 ;.800[ [.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ I alt Blandede og supplerende opgaver Side 68

11 5: Æg Olfert har 0 høns. De lægger normalt ca. 160 æg om ugen. Han bruger selv ca. fem æg om dagen og sælger resten. Han vejer hver dag de æg, som hønsene lægger. Her er resultatet for en dag: 8 g 75 g 51 g 6 g 58 g 70 g 67 g 6 g 56 g 60 g 5 g 69 g 61 g 7 g 65 g Æg sorteres og sælges efter disse størrelser: Størrelser for æg Vægt i gram (x) Smal x < 5 Medium 5 x < 6 Large 6 x < 7 XLarge 7 x 57 g 58 g 5 g 6 g 5 g 76 g 77 g 7 g 71 g 7 g a: Hvor mange æg lægger hønsene normalt pr. dag? b: Hvor mange æg lægger en høne i gennemsnit pr. dag? c: Hvor mange procent af æggene sælges? d: Hvor mange æg har hønsene lagt den dag, hvor der er talt op? e: Hvad vejer æggene i gennemsnit? f: Lav en tabel, der viser æggenes fordeling, på de forskellige størrelser. Tabellen skal vise både hyppighed og frekvens. g: Lav et diagram ud fra tabellen. h: Lav et boksplot over æggenes vægtfordeling. i: Olfert sælger en bakke medium-æg for 15 kr. Hvad er kg-prisen? (cirkatal). j: Hvad skal en bakke large-æg koste, hvis kg-prisen skal være den samme? k: Lav også en tabel, der viser æggenes fordeling på de gamle størrelser (den nederste tabel). Du behøver ikke at beregne frekvenser. l: Kan du skrive nogle af intervallerne i de to tabeller med firkantede parenteser ([ og ]) i stedet for med større end- og mindre end-tegn. Æg blev tidligere sortere således: Størrelse Vægt (x) 1 x < 5 5 x < x < x < x < x < x Blandede og supplerende opgaver Side 69

12 6: Histogram tabel sumkurve Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 0% 0% 10% a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn de summerede frekvenser og skriv tallene ind i tabellen til højre. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve i koordinatsystemet herunder. d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og. kvartil. e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 70

13 7: Sumkurve tabel histogram Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 10% a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind. c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i koordinatsystemet herunder. d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave med aldersfordelingen i sidste opgave. Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 71

14 8: Løn og flødeboller a: Find gennemsnitslønnen for kvinderne på Udby Flødebollefabrik. b: Find gennemsnitslønnen for mændene på Udby Flødebollefabrik c: Find gennemsnitslønnen for alle ansatte på Udby Flødebollefabrik Resten af spørgsmålene drejer sig om lønningerne på Flødebollekompagniet. d: Lav og udfyld en tabel med frekvens og summeret frekvens, som nederst på siden. e: Find et cirka-tal for både kvindernes og mændenes gennemsnitsløn. f: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede lønninger går til de kvindelige ansatte? g: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder? h: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver for både kvindernes og mændenes lønninger. i: Aflæs de to medianer på sumkurverne. Udby Flødebollefabrik har fem ansatte. Der er to kvinder, som får kr. og.76 kr. om måneden. Der er tre mænd, som får kr.,. kr. og.1 kr. om måneden. Flødebollekompagniet har 180 ansatte. Den seneste lønstatistik ser således ud: Månedsløn i kr. Kvinder Mænd [ ; 0.000[ 7 [0.000 ; 5.000[ 8 11 [5.000 ; 0.000[ 16 [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ 6 7 [0.000 ; [ Månedsløn i kr. Kvinder Mænd I alt Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. [ ; 0.000[ [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ [0.000 ; [ I alt j: Hvordan man kan man se på sumkurverne, at kvindernes løn er lavere end mændenes? k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene er større end median-tallene? Blandede og supplerende opgaver Side 7

15 9: Fravær Kursisterne på et matematik-hold har haft 160 lektioner på et skoleår. Tabellen viser, hvor mange lektioner de enkelte kursister har været fraværende: a: Hvor mange kursister var der på holdet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Hvor mange kursister har været væk mere end en tredjedel af lektionerne? d: Hvor mange procent af kursisterne har været væk mere end 5% af lektionerne? e: Hvor mange procent af kursisterne har højst været væk 10% af lektionerne? f: Hvor mange kursister har i gennemsnit været til stede? g: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. h: Lav et boksplot. i: Lav og udfyld en tabel med hyppighed, frekvens og summeret frekvens som den viste? j: Lav et histogram. Fravær Hyppighed Frekvens [0% ; 10%[ [10% ; 0%[ [0% ; 0%[ [0% ; 0%[ I alt k: Sammenlign evt. fraværet i opgaven med fraværet på dit eget hold. Summeret frekvens 10: Antal kursister Tabellerne viser udviklingen i antallet af kursister på VUC Udby. Indekstabellen er komplet, med der mangler nogle af tallene i den øverste tabel. a: Beregn de manglende tal i den øverste tabel. b: Lav selv tabeller for det samlede antal kursister. Både antal og indekstal c: Lav to diagrammer: Et der viser antal kursister, og et der viser indekstallene. Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn Mænd Kvinder Antal kursister på VUC Udby (indekstal) Mænd 100,0 9,5 89,1 96,9 105,5 11,5 Kvinder 100,0 89, 81, 9,9 111,6 1,7 Blandede og supplerende opgaver Side 7

16 Talfølger 1: Differensrækker (1) I en differensrække er der altid er samme forskel (differens) mellem to nabotal. Hvilke af disse talrækker er differensrækker? a: 1,, 5, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 15, 1, d: 0,, 6, 9, 1, e: 1,10, 100, 1000, f: 0, 10, 0, 10, 0, : Differensrækker () Man kan finde summen af de første led i en differensrække med formlen til højre. a: Kontroller at formlen passer for summen af disse to rækker: 1,, 5, 7, 9, 11 0, 10, 0, 10, 0 Beregn disse summer vha. af formlen: b: c: d: Kurt øver sig i at tage armbøjninger hver dag i en uge. Første dag tager han 10 armbøjninger, anden dag tager han 15 armbøjninger, tredje dag tager han 0 osv. e: Hvor mange armbøjninger tager Kurt den sidste dag (dag nr. 7)? f: Hvor mange armbøjninger tager Kurt i alt i løbet af ugen? a + a + a +...a 1 n 1 + a n n = ( a + a ) 1 n : Differensrækker () Formlen ovenfor er ikke så svær at forklare. Start med at tænke: (Første led + sidste led) + (Andet led + næstsidste led) +. Prøv om du kan forklare formlen. : Talrækken 1, 1,,, 5 kaldes Fibonacci-tal. Man finder det næste tal ved at lægge de to foregående tal sammen: Fn = Fn + Fn 1. Lav og udfyld en tabel som denne. Hvad sker der med tallene i den nederste række? n F n F n-1 F F n n 1 Blandede og supplerende opgaver Side 7

17 5: Kvotientrækker (1) En kvotientrække er en række tal på for formen: 1, a, a, a,.. Hvilke af disse talrækker er kvotientrækker? a: 1,, 5, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 15, 1, d: 1,, 9, 7, 81,. e: 1, 10, 100, 1000, f: 1 ; 1,5 ;,5 ;,75 - Undersøg selv hvad ordet kvotient betyder! 6: Kvotientrækker () Man kan finde summen af de første led i en kvotientrække med formlen til højre 1 + a + a +...a n + a n 1 = n a 1 a 1 a: Kontroller at formlen passer for disse to rækker: 1,,, 8, 16, 1, 10, 100, 1000 En telefonkæde på et hold kan fx bygges op som vist: Læreren ringer til tre personer, som hver ringer til tre personer, som hver b: Forklar hvorfor kæden svarer til en kvotientrække. c: Hvor mange personer vil der i alt være i den viste kæde, hvis den udvides til fem led (læreren er første led)? d: Undersøg hvor mange led, der skal være i kæden, for at den omfatter: - mindst personer - mindst hele Danmarks befolkning (ca. 5,5 mio.) I en anden telefonkæde ringer hver person kun til to andre personer. e: Hvor mange mennesker er med i kæden, hvis den er på fem led? f: Hvor mange led skal kæden være på, hvis den skal omfatte mindst 100 mennesker? 7: Kvotientrækker () En indisk legende fortæller om, at man lægger et riskorn på første felt af et skakbræt, to riskorn på andet felt, fire riskorn på tredje felt, otte riskorn på fjerde felt osv. a: Hvor mange riskorn er der på sidste felt (felt nr. 6)? b: Hvor mange riskorn er der i alt? 1 8 8: Kvotientrækker () a: Forklar hvorfor rækken 1, 1, 1, 8 1,. er en kvotientrække b: Hvad bliver summen af tallene i rækken, hvis man gør rækken meget, meget lang? Prøv både at bruge formlen ovenfor og at tænke praktisk. Blandede og supplerende opgaver Side 75

18 Funktioner (1): Formler og funktioner 1: Rektangel længde, bredde og areal a: Find arealet af et rektangel med længden 6 m og bredden m. Forestil dig nogle forskellige rektangler med længden 6 m og forskellige bredder. Tegn evt. nogle af rektanglerne på papir i målestoksforhold 1:100. Rektangel A = l b b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem bredde og areal for et rektangel med længden 6 m: længde bredde Bredde (b) 1 Areal (A) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem b og A. : Cylinder højde, radius og rumfang (1) a: Find rumfanget af en cylinder med radius cm og højden 8 cm. Forestil dig nogle forskellige cylindre med radius cm og forskellige højder. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og rumfang for en cylinder med radius på cm: Cylinder V = π r h radius højde Højde (h) Rumfang (V) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem h og V. d: Hvad kaldes sammenhængen mellem h og V, når radius er fast? Forestil dig også nogle forskellige cylindre med højden 8 cm og forskellige radiusser. e: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og rumfang for en cylinder med højden 8 cm: Radius (r) Rumfang (V) f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og V. g: Hvad sker der med rumfanget, når man halverer radius. Fx fra cm til cm. h: Hvad sker der med rumfanget, når man fordobler radius. Fx fra cm til 8 cm. Blandede og supplerende opgaver Side 76

19 : Hastighed, afstand og tid a: Find hastigheden på en cyklist der kører 0 km på 50 min. Forestil dig nogle forskellige cyklister, der alle cykler så langt, som de kan, på 50 min. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem s og v for en cykeltur på 50 min.: Afstand (s) Hastighed (v) Hastighed v = s 60 t v er hastighed i km/t s er afstanden i km t er tiden i minutter c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem s og v. Forestil dig også nogle forskellige cyklister, der alle cykler 0 km, men bruger forskellig tid. d: Lav en tabel der viser sammenhængen mellem t og v for en cykeltur på 0 km: Tid (t) Hastighed (v) e: Lav også en graf f: Beskriv hvad der sker med hastigheden, når man fordobler tiden. Fx fra 0 min til 80 min. g: Hvad kaldes sammenhængen mellem t og v? : BMI, vægt og højde (1) BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m. Forestil dig en række forskellige personer, der alle vejer 70 kg men har forskellig højde. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og BMI: Højde (m) 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 BMI c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og BMI. Bemærk: Grafen ligner måske en ret linje, men hvis du tager meget små og store (og dermed urealistiske) højder med, så vil du se, at grafen buer en hel del. Forestil dig også en række forskellige personer, der alle er 175 cm høje men har forskellig vægt. d: Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem H og BMI. e: Hvad kaldes sammenhængen mellem V og BMI, når højden er fast? Body Mass Indeks BMI = V H V er vægt i kg H er højde i m Blandede og supplerende opgaver Side 77

20 5: Cylinder højde, radius og rumfang () a: Find rumfanget af en cylinder med radius 5,7 cm og højden 9,8 cm. b: En cylinder har rumfanget cm, og radius,1 cm. Hvad er højden? c: Formlen for rumfanget af en cylinder skal omskrives, således at højden står alene, og således at radius står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V h = π r π r h = V h = V : π : r r = V π h Forestil dig nogle forskellige cylindre med rumfanget 500 cm. Cylinder V = π r V r = π h d: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem radius og højde: h r = radius V π h højde Radius (r) i cm,0,5,0,5,0,5 5,0 5,5 6,0 Højde (h) i cm e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og h. f: Lav en tilsvarende tabel og graf for en cylinder med et rumfang på 1 liter. 6: BMI, vægt og højde () BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m. b: Formlen for BMI skal omskrives, således at V står alene, og således at H står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V = BMI H V = BMI H V H = BMI H = Body Mass Indeks BMI = V BMI V H V er vægt i kg H er højde i m H = BMI V Forestil dig nogle forskellige personer med BMI = 19 c: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem vægt og højde: Vægt (V) i kg Højde (H) i m d: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og H. e: Lav i samme koordinatsystem en graf for personer med BMI =. f: Hvilke kombinationer af vægt og højde svarer området mellem de to grafer til? Blandede og supplerende opgaver Side 78

21 Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler 7: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y x + = y x = 5 y = x x 5 Inden du tegner skal du - for hver funktion - lave og udfylde en x-y-tabel som denne: x y 8: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y = x + y x = 6 y = x + x 6 Start med at lave x-y-tabeller som i opgaven ovenover. 9: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y = x + x + Start med at lave x-y-tabeller som i opgaverne ovenover. y = x y = x x : Funktioner på formen y = a x + b x + c kaldes andengradsfunktioner. b og c kan godt være 0, men a må ikke være 0! Find a, b og c i (nogle af) funktionerne i opgaverne ovenfor. 11: Graferne for andengradsfunktioner er symmetriske buer, som kaldes parabler. Graferne har et toppunkt. Man kan finde toppunktets x-koordinat med formlen til højre: a: Find toppunkterne for disse andengradsfunktioner: y = x x 6 y = x + 8x+ 6 y = x + 1 x 10 b: Lav x-y-tabeller for hver funktion. Toppunkterne skal være midt i tabellerne. x top b = a x y x top c: Lav grafer for funktionerne. Helst i samme koordinatsystem. Læg mærke til, at de alle har samme form men forskellig placering. d: Find funktionernes nul-punkter (skæringspunkter med x-aksen) Blandede og supplerende opgaver Side 79

22 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x + x y = x + 6 x+ 8 y = x + 8 x 7 Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = 0,5 x + x,5 y = 0,5 x x+ 7 y = 0,5 x + x+ Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Kasteparabler Forestil dig at du kaster en sten. Hvis du kan kaste med en fart på 0 m/s og i en vinkel på 5, så vil stenen følge denne parabel: y = 0,05 x + x a: Tegn i et koordinatsystem en graf der svarer til stenens bane. Start med at tegne og udfylde en tabel som denne: x o.s.v. 0 y Kasteparabler Hvis man kaster en sten (eller en anden genstand), vil stenen følge en bane, der (stort set) er en parabel-bue. Hvis man kaster for stejlt opad, så kommer stenen højt op, men den når ikke så langt væk Hvis man kaster for fladt, kommer stenen heller ikke så langt væk. Det længste kast fås ved at kaste stenen i vinkel på 5. b: Hvor højt kommer stenen op i luften? c: Prøv at indsætte en x-værdi større end 0. Giver resultatet mening? d: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,07 x +,1x Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 65. e: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? f: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,015 x + 0,5 x Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 5. g: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? Forslag til akser: x-akse: 1 cm = m y-akse: 1 cm = m Blandede og supplerende opgaver Side 80