Blandede og supplerende opgaver

Transkript

1 Blandede og supplerende opgaver Sammensætning af regnearterne Geometri Statistik Talfølger... 7 Funktioner (1): Formler og funktioner Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler Funktioner (): Blandede opgaver Bogstavregning Procent og eksponentiel vækst Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente Lån og opsparing (): Serielån... 9 Lån og opsparing (): Annuitetslån... 9 Lån og opsparing (): Opsparing Blandede og supplerende opgaver Side 59

2 Sammensætning af regnearterne 1: Afgør om disse udsagn er sande: Du skal så vidt muligt svare uden at bruge regnemaskine. a: b: c: d: e: f: g: h: = = + = 8 5 : 5 = 8 5 : 5 = = ( 6 ) = ( 6 ) = i: j: k: l: 6 8 = = = 5 = 1 1 m: 5 = 5 5 n: 9 = o: 5 9 = p: 16 = 16 q: 16 1 = 16 r: 77 0 = 1 s: 77 0 = 0 : Skriv tallet som et almindeligt tal: a: b: c: , : Skriv tallet som en 10-tals-potens: a:,5 mia. b: c: 0, : Regn regnestykkerne. Helst uden regnemaskine a: b: : Prøv om du både kan regne disse opgaver ved at lave mellemregninger og ved at taste hele regnestykket ind på regnemaskinen i et hug. Afrund selv til et passende antal decimaler. a: b: c: 6.9 d: e: , f:,78 g: 6.0,5 978, 7,5 7 8 h: i: j: , (, + 0,8) 5 (1 0,07) (1 + 0,7) k: 5,576 (1 0,05) l: m: n: 1 5, 8, o: p: q:,8 5 +, , r:, 5 1 s:,5 8 1,817, t: 1, 9 6, , u: 5 1 1, 9,1 1,8 Blandede og supplerende opgaver Side 60

3 Geometri 1: Tegningerne viser en sekskant og en ottekant. a: Undersøg om siderne i sekskanten er lige lange. b: Undersøg om siderne i ottekanten er lige lange. c: Beregn areal og omkreds af begge figurerne. d: Beregn vinklerne i de to figurer. Brug trigonometri. e: Vurder om figurerne er helt regulære. I en regulær polygon (mangekant) men n sider kan man beregne vinklerne med formlen til højre. f: Undersøg om de vinkler, som du kan beregne med trigonometri, passer med de vinkler, som du kan beregne med formlen.,5 cm 9,0 cm,5 cm 7,8 cm 7,8 cm 5,8 cm 8, cm 5,8 cm v = 5,8 cm 8, cm 5,8 cm (n ) 180 o n : Tegningen viser en pap-æske med sekskantede ender. Æsken er 1 cm lang. a: Vis at siderne i sekskanterne er (næsten) lige lange. b: Beregn arealet af sekskanten. c: Beregn overfladearealet af hele æsken. d: Beregn rumfanget af æsken. Der er 50 g chokolade i æsken. Det fylder 75% af æskens rumfang. Resten er luft. e: Hvor mange cm fylder chokoladen?,6 cm 1,5 cm,0 cm 1,5 cm f: Hvad er chokoladens massefylde. Lav opgave g og h sammen med en klassekammerat, således at I laver en æske hver.,6 cm g: Tegn en udfoldning af æsken i naturlig størrelse. Tilføj evt. nogle limflapper. Klip udfoldningen ud og fold æsken. h: Tegn, klip og fold også æsken i dobbelt størrelse. Længdeforhold : 1. i: Sammenlign rumfang og overfladeareal af de to æsker. Blandede og supplerende opgaver Side 61

4 : Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter. a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter. b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m. Du kan fx gøre det således: - beregn så mange vinkler som muligt - beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter - beregn arealerne af de retvinklede trekanter 7,50 dm - læg arealerne sammen 70º 65º 65º 15 cm,60 m 5,00 m 110º 16,º 67,º 6,50 m : Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede. Højden fra jorden og op til tagets underkant er,50 m på begge huse. Taget på huset til venstre har en hældning på 5º. Taget på huset til højre har en hældning på 5º. a: Sammenlign højden fra jorden og op til tagryggen på de to huse. b: Sammenlign arealet af tagene på de to huse. 5º 5º Blandede og supplerende opgaver Side 6

5 5: Bordkompagniet De tre øverste borde er regulære polygoner (mangekanter). I en polygon med n sider er vinkelsummen (n ) 180 o a: Find vinkelsummen i hver polygon. b: Find størrelsen af den enkelte vinkel i hver af polygonerne. c: Find diameteren af det runde bord. d: Find tegningernes målestoksforhold. e: Tegn selv på mm-papir (nogle af) bordene i målestoksforholdet 1:10. f: Beregn først højden i den ligesidede trekant. Find derefter arealet af det trekantede bord. g: Beregn også arealet af det trekantede bord med Herons formel: A = s (s a) (s b) (s c) hvor s er den halve omkreds, og a, b og c er sidelængderne Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler for regulære tre-, seks- og otte-kanter: Trekant: A = s Sekskant: A = s Ottekant: A = (1 + ) s hvor s er sidelængden i alle formlerne. h: Kontroller først arealet af trekanten med den øverste formel. Find derefter arealerne af de seks- og otte-kantede borde. i: Sammenlign bordarealet pr. person ved de forskellige borde. Alle bordpladerne er 6 mm tykke og lavet af træ med en massefylde på 0,85 g pr. cm. j: Beregn vægten af (nogle af) bordpladerne. Otte-kantede og runde borde Bordkompagniet Moderne borde til moderne mennesker Begge borde har Model Hexagona Sidelængde 60 cm plads til 8 personer Tre- og seks-kantede borde Model Circula Omkreds 80 cm Begge borde har plads til 6 personer Model Triangula Sidelængde 10 cm Model Octagona Sidelængde 60 cm Blandede og supplerende opgaver Side 6

6 6: Affaldskompagniet Model A har form som en keglestub. Model B har form som en pyramidestub. a: Vurder om disse udsagn er rigtige: - Model A rummer ca. ¼ kubikmeter. - Model B rummer ca. ⅔ kubikmeter. b: Find de præcise rumfang af begge affaldsbeholdere målt i liter. Firmaet laver også en "Model C" Modellen har form som en keglestub, men er noget større end Model A. Diameter foroven er 8 cm, diameter forneden er 68 cm og højden er 11 cm. c: Find rumfanget af Model C. Giv svaret i både m og liter. Firmaet laver også en "Model D" Modellen har form som en pyramidestub, hvor både top og bund er kvadrater. Sidelængden foroven er 110 cm. Sidelængden forneden er 85 cm. Højden er 105 cm. Model A Diameter top: Affaldskompagniet Alt inden for affaldsbeholdere 65 cm Diameter bund: 55 cm Højde: Model B 90 cm Mål top: 10 cm x 80 cm Mål bund: 90 cm x 60 cm Højde: d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m og liter. 90 cm 7: ABC-skålen a: Vis at en ABC-skål med en radius på 6, cm kan rumme ca. 0,5 liter. b: Vis at en ABC-skål med en radius på 1, cm kan rumme ca. liter. c: Find diameteren i en ABC-skål der kan rumme 1 liter. d: Find radius i en ABC-skål der kan rumme liter. Forestil dig en kæmpe-abc-skål der kan rumme ½ kubikmeter. e: Hvad er radius i skålen? ABC-skålen - et velformet produkt Vores berømte ABC-skåle fås i mange størrelser fra 0,5 liter op til liter. Alle skålene er halvkugleformede og udført i de absolut bedste materialer. f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,5-liter-skålen og -liter-skålen): - når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet. - når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget. Blandede og supplerende opgaver Side 6

7 8: Kuffertkompagniet a: Find rumfanget af hver af de tre forskellige kufferter (regn i liter). b: Find også overfladearealet af hver af de tre forskellige kufferter (regn i dm ). c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at disse udsagn er rigtige: - når man forøger længdemålene med 5%, så vokser overfladearealet med over 50%. - når man forøger længdemålene med 5%, så bliver rumfanget næsten fordoblet. d: Vis med et par eksempler, som du selv finder på, at udsagnene også gælder for andre figurer. Mini 6 cm x 0 cm x 16 cm 198 kr. e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige: Midi 80 cm x 50 cm x 0 cm 8 kr. Maxi 100 cm x 6,5 cm x 5 cm 98 kr. Køb alle tre på en gang for kun 698 kr. Kuffertkompagniet Den, der bærer godt, rejser godt - hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 6% - hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 1 %. f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?. 9: Dåsekompagniet a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan rumme ca. 1 dl. b: Hvor høj er en "Mellem" dåse? c: Hvad er radius i en "Stor" dåse? De mål, der er vist til højre, er indvendige mål. Dåserne er lavet af metal med en tykkelse på ca. ½ mm og en massefylde på,8 g pr. cm d: Find rumfang og vægt af det metal der bruges til en "Lille" dåse. e: Hvor mange dåser ("Lille") kan man fremstille af: - en kubikmeter metal? - et ton metal? De dejligste dåser fra Dåsekompagniet Lille Radius,1 mm Højde 5,8 mm Rumfang Mellem 1 dl Radius 0, mm Højde cm Rumfang Stor Radius dl mm Højde 87,0 mm Rumfang dl Blandede og supplerende opgaver Side 65

8 10: Drikkeglas Alle glassene har form som keglestubbe. Målene er indvendige mål. a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer 5 cl? b: Hvor mange cl rummer "Øl"? c: Hvor høj er "Det store"? d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas der kan rumme ca. 15 cl. e: Lav et selv forslag til mål på et (meget) stort glas der kan rumme ca. 75 cl. Drikkeglas til enhver drik Sodavand - rummer 5 cl Radius foroven,5 cm Radius forneden,5 cm Højde 8,8 cm Øl - rummer cl Radius foroven,7 cm Radius forneden,8 cm Højde 9,8 cm Det store - rummer 50 cl Radius foroven, cm Radius forneden, cm Højde cm 11: Oles olietanke a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke ("Ægget" er sammensat af to halvkugler og et cylinder-formet rør). Alle målene er indvendige mål. Alle tankene er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm. b: Find det udvendige rumfang af hver af tankene? c: Til hvilken tank er der brugt mindst materiale sammenlignet med, hvor meget tanken kan rumme? d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke i målestoksforholdet 1:0 (husk "skallen"). Firmaet laver også en "Kæmpekugle", der kan rumme.500 liter. Den er lavet af samme slags materiale som de viste tanke. e: Find den indvendige radius af "Kæmpekuglen" f: Hvor meget materiale skal der bruges til at fremstille "Kæmpekuglen"? g: Kæmpekuglen rummer ca. dobbelt så meget som "Kuglen". Er materialeforbruget også dobbelt så stort? 150 cm Ægget 10 cm Oles Olietanke Vi har også en tank der passer til dig. Kuglen 10 cm 50 cm 160 cm Røret Blandede og supplerende opgaver Side 66

9 Statistik 1: Leverpostej Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej. Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker: Lenes Leverpostej 500 g KUN 16,95 kr. 98 g 91 g 81 g 80 g 99 g 7 g 86 g 87 g 50 g 51 g 500 g 69 g 508 g 6 g 70 g 9 g 85 g 75 g 79 g 96 g 9 g 516 g 97 g 501 g 88 g a: Hvor mange bakker er blevet vejet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke g Vægt i gram Hyppighed [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[ [90 ; 500[ [500 ; 510[ [510 ; 50[ I alt Frekvens : Hastigheds-kontrol Boksplottet viser resultatet af en hastigheds-kontrol. Hastigheds-grænsen er 80 km/t. a: Aflæs den laveste og den højeste hastighed. b: Aflæs median, 1. kvartil og. kvartil. c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen. d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t. Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen, og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t. e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot? Hastighed i km/time f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger. Blandede og supplerende opgaver Side 67

10 : Husleje Den øverste af tabellerne viser udviklingen i huslejen i Udby Ungdomsboliger. Den nederste tabel viser forbrugerprisindekset. a: Sammenlign udviklingen i huslejen med udviklingen i forbrugerprisindekset i årene Efter 006 er huslejen blevet reguleret i takt med udviklingen i forbrugerprisindekset. b: Beregn de manglende huslejer. Husleje pr. måned i Udby Ungdomsboliger Forbrugerprisindeks (000 = 100) , 110, 11, 11, 118,1 119,7 : Cooper-test Tabellen herunder viser resultaterne fra en Cooper-test på et idrætshold: En Cooper-test er en kondi-test, hvor deltagerne skal løbe så langt som muligt på 1 minutter..80 m m.00 m.10 m.110 m.750 m 1.90 m.0 m.50 m.870 m 1.60 m.0 m m.050 m.70 m.0 m.600 m.190 m.90 m m 1.80 m.570 m.00 m.150 m a: Hvor mange personer deltog i testen? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign boksplot og histogram. i: Udvid din tabel med en kolonne med summeret frekvens. j: Sammenlign hastighederne i km/t for den langsomste og den hurtigste deltager. Distance i m Hyppighed Frekvens [1.600 ; 1.800[ [1.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ [.00 ;.600[ [.600 ;.800[ [.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ I alt Blandede og supplerende opgaver Side 68

11 5: Æg Olfert har 0 høns. De lægger normalt ca. 160 æg om ugen. Han bruger selv ca. fem æg om dagen og sælger resten. Han vejer hver dag de æg, som hønsene lægger. Her er resultatet for en dag: 8 g 75 g 51 g 6 g 58 g 70 g 67 g 6 g 56 g 60 g 5 g 69 g 61 g 7 g 65 g Æg sorteres og sælges efter disse størrelser: Størrelser for æg Vægt i gram (x) Smal x < 5 Medium 5 x < 6 Large 6 x < 7 XLarge 7 x 57 g 58 g 5 g 6 g 5 g 76 g 77 g 7 g 71 g 7 g a: Hvor mange æg lægger hønsene normalt pr. dag? b: Hvor mange æg lægger en høne i gennemsnit pr. dag? c: Hvor mange procent af æggene sælges? d: Hvor mange æg har hønsene lagt den dag, hvor der er talt op? e: Hvad vejer æggene i gennemsnit? f: Lav en tabel, der viser æggenes fordeling, på de forskellige størrelser. Tabellen skal vise både hyppighed og frekvens. g: Lav et diagram ud fra tabellen. h: Lav et boksplot over æggenes vægtfordeling. i: Olfert sælger en bakke medium-æg for 15 kr. Hvad er kg-prisen? (cirkatal). j: Hvad skal en bakke large-æg koste, hvis kg-prisen skal være den samme? k: Lav også en tabel, der viser æggenes fordeling på de gamle størrelser (den nederste tabel). Du behøver ikke at beregne frekvenser. l: Kan du skrive nogle af intervallerne i de to tabeller med firkantede parenteser ([ og ]) i stedet for med større end- og mindre end-tegn. Æg blev tidligere sortere således: Størrelse Vægt (x) 1 x < 5 5 x < x < x < x < x < x Blandede og supplerende opgaver Side 69

12 6: Histogram tabel sumkurve Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 0% 0% 10% a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn de summerede frekvenser og skriv tallene ind i tabellen til højre. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve i koordinatsystemet herunder. d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og. kvartil. e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 70

13 7: Sumkurve tabel histogram Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 10% a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind. c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i koordinatsystemet herunder. d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave med aldersfordelingen i sidste opgave. Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 71

14 8: Løn og flødeboller a: Find gennemsnitslønnen for kvinderne på Udby Flødebollefabrik. b: Find gennemsnitslønnen for mændene på Udby Flødebollefabrik c: Find gennemsnitslønnen for alle ansatte på Udby Flødebollefabrik Resten af spørgsmålene drejer sig om lønningerne på Flødebollekompagniet. d: Lav og udfyld en tabel med frekvens og summeret frekvens, som nederst på siden. e: Find et cirka-tal for både kvindernes og mændenes gennemsnitsløn. f: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede lønninger går til de kvindelige ansatte? g: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder? h: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver for både kvindernes og mændenes lønninger. i: Aflæs de to medianer på sumkurverne. Udby Flødebollefabrik har fem ansatte. Der er to kvinder, som får kr. og.76 kr. om måneden. Der er tre mænd, som får kr.,. kr. og.1 kr. om måneden. Flødebollekompagniet har 180 ansatte. Den seneste lønstatistik ser således ud: Månedsløn i kr. Kvinder Mænd [ ; 0.000[ 7 [0.000 ; 5.000[ 8 11 [5.000 ; 0.000[ 16 [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ 6 7 [0.000 ; [ Månedsløn i kr. Kvinder Mænd I alt Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. [ ; 0.000[ [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ [0.000 ; 5.000[ [5.000 ; 0.000[ [0.000 ; [ I alt j: Hvordan man kan man se på sumkurverne, at kvindernes løn er lavere end mændenes? k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene er større end median-tallene? Blandede og supplerende opgaver Side 7

15 9: Fravær Kursisterne på et matematik-hold har haft 160 lektioner på et skoleår. Tabellen viser, hvor mange lektioner de enkelte kursister har været fraværende: a: Hvor mange kursister var der på holdet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Hvor mange kursister har været væk mere end en tredjedel af lektionerne? d: Hvor mange procent af kursisterne har været væk mere end 5% af lektionerne? e: Hvor mange procent af kursisterne har højst været væk 10% af lektionerne? f: Hvor mange kursister har i gennemsnit været til stede? g: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. h: Lav et boksplot. i: Lav og udfyld en tabel med hyppighed, frekvens og summeret frekvens som den viste? j: Lav et histogram. Fravær Hyppighed Frekvens [0% ; 10%[ [10% ; 0%[ [0% ; 0%[ [0% ; 0%[ I alt k: Sammenlign evt. fraværet i opgaven med fraværet på dit eget hold. Summeret frekvens 10: Antal kursister Tabellerne viser udviklingen i antallet af kursister på VUC Udby. Indekstabellen er komplet, med der mangler nogle af tallene i den øverste tabel. a: Beregn de manglende tal i den øverste tabel. b: Lav selv tabeller for det samlede antal kursister. Både antal og indekstal c: Lav to diagrammer: Et der viser antal kursister, og et der viser indekstallene. Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn Mænd Kvinder Antal kursister på VUC Udby (indekstal) Mænd 100,0 9,5 89,1 96,9 105,5 11,5 Kvinder 100,0 89, 81, 9,9 111,6 1,7 Blandede og supplerende opgaver Side 7

16 Talfølger 1: Differensrækker (1) I en differensrække er der altid er samme forskel (differens) mellem to nabotal. Hvilke af disse talrækker er differensrækker? a: 1,, 5, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 15, 1, d: 0,, 6, 9, 1, e: 1,10, 100, 1000, f: 0, 10, 0, 10, 0, : Differensrækker () Man kan finde summen af de første led i en differensrække med formlen til højre. a: Kontroller at formlen passer for summen af disse to rækker: 1,, 5, 7, 9, 11 0, 10, 0, 10, 0 Beregn disse summer vha. af formlen: b: c: d: Kurt øver sig i at tage armbøjninger hver dag i en uge. Første dag tager han 10 armbøjninger, anden dag tager han 15 armbøjninger, tredje dag tager han 0 osv. e: Hvor mange armbøjninger tager Kurt den sidste dag (dag nr. 7)? f: Hvor mange armbøjninger tager Kurt i alt i løbet af ugen? a + a + a +...a 1 n 1 + a n n = ( a + a ) 1 n : Differensrækker () Formlen ovenfor er ikke så svær at forklare. Start med at tænke: (Første led + sidste led) + (Andet led + næstsidste led) +. Prøv om du kan forklare formlen. : Talrækken 1, 1,,, 5 kaldes Fibonacci-tal. Man finder det næste tal ved at lægge de to foregående tal sammen: Fn = Fn + Fn 1. Lav og udfyld en tabel som denne. Hvad sker der med tallene i den nederste række? n F n F n-1 F F n n 1 Blandede og supplerende opgaver Side 7

17 5: Kvotientrækker (1) En kvotientrække er en række tal på for formen: 1, a, a, a,.. Hvilke af disse talrækker er kvotientrækker? a: 1,, 5, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 15, 1, d: 1,, 9, 7, 81,. e: 1, 10, 100, 1000, f: 1 ; 1,5 ;,5 ;,75 - Undersøg selv hvad ordet kvotient betyder! 6: Kvotientrækker () Man kan finde summen af de første led i en kvotientrække med formlen til højre 1 + a + a +...a n + a n 1 = n a 1 a 1 a: Kontroller at formlen passer for disse to rækker: 1,,, 8, 16, 1, 10, 100, 1000 En telefonkæde på et hold kan fx bygges op som vist: Læreren ringer til tre personer, som hver ringer til tre personer, som hver b: Forklar hvorfor kæden svarer til en kvotientrække. c: Hvor mange personer vil der i alt være i den viste kæde, hvis den udvides til fem led (læreren er første led)? d: Undersøg hvor mange led, der skal være i kæden, for at den omfatter: - mindst personer - mindst hele Danmarks befolkning (ca. 5,5 mio.) I en anden telefonkæde ringer hver person kun til to andre personer. e: Hvor mange mennesker er med i kæden, hvis den er på fem led? f: Hvor mange led skal kæden være på, hvis den skal omfatte mindst 100 mennesker? 7: Kvotientrækker () En indisk legende fortæller om, at man lægger et riskorn på første felt af et skakbræt, to riskorn på andet felt, fire riskorn på tredje felt, otte riskorn på fjerde felt osv. a: Hvor mange riskorn er der på sidste felt (felt nr. 6)? b: Hvor mange riskorn er der i alt? 1 8 8: Kvotientrækker () a: Forklar hvorfor rækken 1, 1, 1, 8 1,. er en kvotientrække b: Hvad bliver summen af tallene i rækken, hvis man gør rækken meget, meget lang? Prøv både at bruge formlen ovenfor og at tænke praktisk. Blandede og supplerende opgaver Side 75

18 Funktioner (1): Formler og funktioner 1: Rektangel længde, bredde og areal a: Find arealet af et rektangel med længden 6 m og bredden m. Forestil dig nogle forskellige rektangler med længden 6 m og forskellige bredder. Tegn evt. nogle af rektanglerne på papir i målestoksforhold 1:100. Rektangel A = l b b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem bredde og areal for et rektangel med længden 6 m: længde bredde Bredde (b) 1 Areal (A) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem b og A. : Cylinder højde, radius og rumfang (1) a: Find rumfanget af en cylinder med radius cm og højden 8 cm. Forestil dig nogle forskellige cylindre med radius cm og forskellige højder. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og rumfang for en cylinder med radius på cm: Cylinder V = π r h radius højde Højde (h) Rumfang (V) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem h og V. d: Hvad kaldes sammenhængen mellem h og V, når radius er fast? Forestil dig også nogle forskellige cylindre med højden 8 cm og forskellige radiusser. e: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og rumfang for en cylinder med højden 8 cm: Radius (r) Rumfang (V) f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og V. g: Hvad sker der med rumfanget, når man halverer radius. Fx fra cm til cm. h: Hvad sker der med rumfanget, når man fordobler radius. Fx fra cm til 8 cm. Blandede og supplerende opgaver Side 76

19 : Hastighed, afstand og tid a: Find hastigheden på en cyklist der kører 0 km på 50 min. Forestil dig nogle forskellige cyklister, der alle cykler så langt, som de kan, på 50 min. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem s og v for en cykeltur på 50 min.: Afstand (s) Hastighed (v) Hastighed v = s 60 t v er hastighed i km/t s er afstanden i km t er tiden i minutter c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem s og v. Forestil dig også nogle forskellige cyklister, der alle cykler 0 km, men bruger forskellig tid. d: Lav en tabel der viser sammenhængen mellem t og v for en cykeltur på 0 km: Tid (t) Hastighed (v) e: Lav også en graf f: Beskriv hvad der sker med hastigheden, når man fordobler tiden. Fx fra 0 min til 80 min. g: Hvad kaldes sammenhængen mellem t og v? : BMI, vægt og højde (1) BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m. Forestil dig en række forskellige personer, der alle vejer 70 kg men har forskellig højde. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og BMI: Højde (m) 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 BMI c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og BMI. Bemærk: Grafen ligner måske en ret linje, men hvis du tager meget små og store (og dermed urealistiske) højder med, så vil du se, at grafen buer en hel del. Forestil dig også en række forskellige personer, der alle er 175 cm høje men har forskellig vægt. d: Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem H og BMI. e: Hvad kaldes sammenhængen mellem V og BMI, når højden er fast? Body Mass Indeks BMI = V H V er vægt i kg H er højde i m Blandede og supplerende opgaver Side 77

20 5: Cylinder højde, radius og rumfang () a: Find rumfanget af en cylinder med radius 5,7 cm og højden 9,8 cm. b: En cylinder har rumfanget cm, og radius,1 cm. Hvad er højden? c: Formlen for rumfanget af en cylinder skal omskrives, således at højden står alene, og således at radius står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V h = π r π r h = V h = V : π : r r = V π h Forestil dig nogle forskellige cylindre med rumfanget 500 cm. Cylinder V = π r V r = π h d: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem radius og højde: h r = radius V π h højde Radius (r) i cm,0,5,0,5,0,5 5,0 5,5 6,0 Højde (h) i cm e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og h. f: Lav en tilsvarende tabel og graf for en cylinder med et rumfang på 1 liter. 6: BMI, vægt og højde () BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m. b: Formlen for BMI skal omskrives, således at V står alene, og således at H står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V = BMI H V = BMI H V H = BMI H = Body Mass Indeks BMI = V BMI V H V er vægt i kg H er højde i m H = BMI V Forestil dig nogle forskellige personer med BMI = 19 c: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem vægt og højde: Vægt (V) i kg Højde (H) i m d: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og H. e: Lav i samme koordinatsystem en graf for personer med BMI =. f: Hvilke kombinationer af vægt og højde svarer området mellem de to grafer til? Blandede og supplerende opgaver Side 78

21 Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler 7: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y x + = y x = 5 y = x x 5 Inden du tegner skal du - for hver funktion - lave og udfylde en x-y-tabel som denne: x y 8: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y = x + y x = 6 y = x + x 6 Start med at lave x-y-tabeller som i opgaven ovenover. 9: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x y = x + x + Start med at lave x-y-tabeller som i opgaverne ovenover. y = x y = x x : Funktioner på formen y = a x + b x + c kaldes andengradsfunktioner. b og c kan godt være 0, men a må ikke være 0! Find a, b og c i (nogle af) funktionerne i opgaverne ovenfor. 11: Graferne for andengradsfunktioner er symmetriske buer, som kaldes parabler. Graferne har et toppunkt. Man kan finde toppunktets x-koordinat med formlen til højre: a: Find toppunkterne for disse andengradsfunktioner: y = x x 6 y = x + 8x+ 6 y = x + 1 x 10 b: Lav x-y-tabeller for hver funktion. Toppunkterne skal være midt i tabellerne. x top b = a x y x top c: Lav grafer for funktionerne. Helst i samme koordinatsystem. Læg mærke til, at de alle har samme form men forskellig placering. d: Find funktionernes nul-punkter (skæringspunkter med x-aksen) Blandede og supplerende opgaver Side 79

22 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = x + x y = x + 6 x+ 8 y = x + 8 x 7 Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = 0,5 x + x,5 y = 0,5 x x+ 7 y = 0,5 x + x+ Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Kasteparabler Forestil dig at du kaster en sten. Hvis du kan kaste med en fart på 0 m/s og i en vinkel på 5, så vil stenen følge denne parabel: y = 0,05 x + x a: Tegn i et koordinatsystem en graf der svarer til stenens bane. Start med at tegne og udfylde en tabel som denne: x o.s.v. 0 y Kasteparabler Hvis man kaster en sten (eller en anden genstand), vil stenen følge en bane, der (stort set) er en parabel-bue. Hvis man kaster for stejlt opad, så kommer stenen højt op, men den når ikke så langt væk Hvis man kaster for fladt, kommer stenen heller ikke så langt væk. Det længste kast fås ved at kaste stenen i vinkel på 5. b: Hvor højt kommer stenen op i luften? c: Prøv at indsætte en x-værdi større end 0. Giver resultatet mening? d: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,07 x +,1x Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 65. e: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? f: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,015 x + 0,5 x Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 5. g: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? Forslag til akser: x-akse: 1 cm = m y-akse: 1 cm = m Blandede og supplerende opgaver Side 80

23 Funktioner (): Blandede opgaver 15: Tegn - for x 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f(x) = x g(x) = 5 1,5 x Aflæs også skæringspunkterne (cirka-tal) mellem graferne. 1,5 x h(x) =,5 16: Vinglas Tegning til højre viser et kegleformet vinglas. Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel: 1 V = π r h a: Vis at glasset kan rumme ca. 150 ml, når det er fyldt. Husk at 1 cm = 1 ml (milliliter). Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: y = 0,07 x hvor x er vinstanden i cm og y er rumfanget i ml. b: Hvor meget vin er der i glasset, når x = 6 cm? c: Lav og udfyld en tabel som den viste: h = 9 cm r = cm x Højde i cm (x) Vin i ml (y) d: Lav ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. e: Undersøg vha. grafen: - hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml? - hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml? - hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt? f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e. g: Vurder om disse påstande er rigtige: - når man fordobler x, bliver y otte-doblet. - når man tre-dobler x, bliver y 7-doblet? og hvis ja hvorfor? Forslag til akser: x-akse: 1 cm = 1 cm y-akse: 1 cm = 10 ml Blandede og supplerende opgaver Side 81

24 17: Spand Tegning til højre viser en spand med form som en keglestub. Rumfanget af en keglestub kan findes med denne formel: 1 V = π h (R + r + R r) R = 15 cm a: Vis at spanden kan rumme ca. 0 liter, når den er fyldt. Husk at 1 liter = cm = milliliter. Når spanden er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: y = 0,00769 x +, x + 5 x hvor x er vandstanden i cm og y er rumfanget i liter. h = 5 cm r = 1 cm x b: Hvor meget vand er der i spanden, når x = 0 cm? c: Tegn og udfyld en tabel som den viste: Højde i cm (x) Vand i ml (y) d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. 1 cm (på papiret) = cm (på spanden) på x-aksen og 1 cm = 1 liter =1.000 ml på y-aksen. OBS: Grafen kan godt ligne en ret linie, men den buer lidt. e: Hvor højt står vandet, når spanden er halvt fyldt? 18: Tegn - for x > 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: 1 f(x) = x 1 g(x) = x h(x) = x må ikke være 0, men prøv at komme så tæt på x = 0 som muligt, når du tegner. Find også grafernes skæringspunkter. 1 x 19: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f(x) = 5 1, x g(x) = 1, Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). 0: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f(x) = x g(x) = x + 5 Overvej om graferne kan skære hinanden. NB: Disse funktioner er lidt spøjse - tænk dig godt om når du regner og tegner! x I opgave 5 og 6 skal du også medtage negative x-værdier. Blandede og supplerende opgaver Side 8

25 1: Standselængde (fortsættelse af en tidligere opgave). Standselængden for en bil består af en reaktionslængde og en bremselænge. Reaktionslængden er den strækning, som bilen når at køre, fra bilisten ser en forhindring, til han/hun begynder at bremse. Den afhænger af hastigheden og bilistens reaktionstid. Bremselængde Reaktionslængde Disse reaktionslængder svarer til en reaktionstid på 1 sekund: Hastighed i km/time: o.s.v. Reaktionslængde i meter: Bremselængden er den strækning, som bilen når at bevæge sig, fra bilisten begynder at bremse til bilen holder helt stille. Bremselængden afhænger af hastigheden, men den afhænger også af bilen, vejret og vejen. Man kan finde en typisk bremselængde med funktionen g(x) = 0,00 x, hvor x er hastigheden i km/t og g(x) er bremselængden i m. a: Kan du vise, hvordan reaktionslængderne i tabellen ovenfor er beregnet? Og kan du evt. opstille en funktionsforskrift for reaktionslængden? Ellers gå blot videre til næste spørgsmål. b: Lav og udfyld en tabel som denne: Hastighed i km/time (x) o.s.v. 150 Reaktionslængde i meter f(x) Bremselængde i meter g(x) Standselængde i meter h(x) c: Ved hvilken hastighed (cirka-tal) bliver bremselængden længere end reaktionslængden? d: Kontroller at standselængden kan beregnes ved denne funktion: e: Lav en graf for standselængden. h(x) = 0,00 x f: Aflæs på din graf (cirka-tal): - hastigheden når standselængden er 50 m. - hastigheden når standselængden er 10 m. + 0,8 x g: Husk at tabellen og grafen svarer til en reaktionstid på 1 sekund. Kan du lave en ny tabel og en ny graf der svarer til en reaktionstid på ½ sek.? h: Opstil evt. også en funktion for den nye graf. Blandede og supplerende opgaver Side 8

26 : Olferts høns (fortsættelse af en tidligere opgave). a: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 6 m lang? b: Hvad bliver omkredsen, hvis indhegningen er 6 m lang? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Olfert skal lave en indhegning på m til sine høns. Indhegningen skal være firkantet (rektangel eller kvadrat). Den ene side i meter (x) Den anden side i meter x Omkreds i meter (z) d: Lav en graf der viser sammenhængen mellem x og z. (Når du tegner grafen, skal du ikke bruge tallene i den midterste række). Sammenhængen mellem x og z kan beskrives med denne funktion: e: Prøv at forklare hvorledes funktionen er bygget op. f: Hvilken sidelængde (x-værdi), giver den mindste omkreds (z-værdi)? z = x + x : Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at lave og udfylde en tabel som denne: 0,5 y = x og 1 y = x og 1,5 y = x. x ,5 y = x 1 y = x 1,5 y = x Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem. OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt mystisk for små x-værdier. Hvis du har godt tid eller bruger computer, kan du også udfylde denne tabel: x 0 0, 0, 0,6 0,8 1 1, 1, 1,6 1,8 0,5 y = x 1 y = x 1,5 y = x Lav også grafer ud fra tallene i den sidste tabel. Blandede og supplerende opgaver Side 8

27 : Tegn - i forskellige koordinatsystemer - graferne for (nogle af) disse funktioner: Bemærk at: - der er x-y-tabeller til de fleste af funktionerne. - x-værdierne er ikke ens i alle tabeller (tænk over hvorfor). - alle graferne skal ligne hinanden men dog være lidt forskellige. a: y = x x ,5 0,5 1 8 y b: - y = x x ,5 0,5 1 8 y c: y = + x x ,5 0,5 1 8 y d: y = x x ,5 0,5 1 8 y e: y = x - x ,5, y f: y = x + x ,5-1, y g: y = + x - x ,5, y h: Kan du - uden at beregne støttepunkter - tænke dig til, hvorledes graferne for disse funktioner vil se ud: y = y x - = + y = x + x + Blandede og supplerende opgaver Side 85

28 5: Vindmøller En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt. For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion: y = 0,6 x, x er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s), y er elektricitets-mængden målt i kilowatt (kw). y kaldes også effekten. a: Lav og udfyld en tabel som denne: x 0 6 osv. 0 y b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen, da der sjældent blæser mere end 1-15 m/s. NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk er i Danmark. c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er kw? d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken går til lavenergi-pærer. Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til, hvis vindhastigheden er 8 m/s Vindmøllen i denne opgave står i en vindmøllepark med i alt 0 vindmøller. Effekt kan måles i kw eller i W. 1 kw = W. En lavenergi-pære bruger typisk 9 W. 6: Buket-priser En dame sælger blomster-buketter. Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag. Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag. Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag. Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger, -0,5 at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775 x. x er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag. Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen. Blandede og supplerende opgaver Side 86

29 Bogstavregning 1: Reducer (nogle af) disse udtryk: 1 1 c a: c+ c b: a a 1 c: + d: + 6 x x z z : Reducer (nogle af) disse udtryk: a: (x + 5)(x + 5) b: (x + 5)(x 5) c: (x 5)(x 5) d: (15d + 1)(d ) e: ( + b)(b 6) f: (8y + 0,5)(6y + 10) : Reducer (nogle af) disse udtryk: a: (5a + 6)(a ) + a + 8 b: 9b + (b + 5)(b 1) 5b + c: ) + (9y )(y + ) y d: )(b ) 5ab (y (a + : Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk: a: p 8q b: 10 x y+ 0 x z c: b + 8 b c d: m+ 15n e: ab+ 6ac ad f: b ab bc 5: Reducer disse udtryk: a: 6a + 9a a b: 6 xy xz+ x x c: 18m mn 6 m d: 1pq 8q q q 6: Reducer (nogle af) disse udtryk: a: z ( z) b: 8 a c: ( a ) 8 d: 5 6 x y : x : y e: 8 5 b f: 1 c g: 5 1 a + a h: 1 m ( m) i: a 9 Blandede og supplerende opgaver Side 87

30 7: Løs (nogle af) disse ligninger - nogle af resultaterne er negative tal. a:, (x +,) =, 6 8 d: 9,7 + x,6 = 0,5 b: e: 6,5 (, + x),6(x 0,) 9,75 = c: = 0, 8 5,,, + x 7,8 x 1,7 = 15, + f: + 17, =, 7,,8 + x g: = 5 5, + x h: 1,6 = 0, 0,8 i: 1,75 (8 + 10x) 7 = 8 8: Løs disse ligninger - skriv resultatet som en brøk. (x + ) a: 10x + 8 = x + 1 b: = 7 6(x + ) c: 1 = : Løs (nogle af) disse ligninger: 5x a: = 6 + x b: x 9x x = c: = 5 + x 5 d: x x x 5x x 7x = e: + 6 = x f: + = x 5 10 g: + x = 6 - x h: 1 5x x x = i: 6x 7 x = 1 - x 7 18,5 j: = 6 k: = l: 5 = 0 x 5x x 10: Løs (nogle af) disse ligninger: a: (x ) + = 9 b: x + = 7 c: (x 5) 1 = d: (x - ) x + 8 = 169 e: = 11 9,8 f: 5 x = g: x 7 = 5 h: 6 15 =,75 +,5 x i: (,5 - x) + = 7 1,5 x j: = 18 5 x k: + 1,6 =, 1 l: x = Blandede og supplerende opgaver Side 88

31 11: Brug denne formel y = 5, x + 17, til a: at finde y når: x =,8 b: at finde x når: y = 9, 1: Brug denne formel m =, n 7,5 til a: at finde m når: n = 15, b: at finde n når: m = 1,1 1: Brug denne formel g f = 9,8 til a: at finde f når: g =,7 b: at finde g når: f = 119,1 1: Brug denne formel q p = +,1 0,85 til a: at finde p når: q = 1 b: at finde q når: p =, 15: Brug denne formel r s = + 19,1 1,7 til a: at finde s når: r = 5, b: at finde r når: s = 50,9 16: Brug denne formel 6,8 f G = 9,1 til a: at finde G når: f = 16, b: at finde f når: G = 7,6 17: Brug denne formel R = P (Q +,5) til a: at finde R når: P = 5, og Q =, b: at finde P når: R = 195 og Q = 6, c: at finde Q når: R = 5 og P = 7,8 18: Brug denne formel W = U 1, + V til a: at finde W når: U =, og V = 6,5 b: at finde U når: W = 1,5 og V = 15,9 c: at finde V når: W = 6, og U = 1,8 19: Brug denne formel til 1 s = + 17 r a: at finde s når: r =, b: at finde r når: s = 7,8 0: Brug denne formel G = 1,9 f ,8 til a: at finde G når: f =, b: at finde f når: G = 876 Blandede og supplerende opgaver Side 89

32 Procent og eksponentiel vækst 1: Buspriser Tabellen viser udviklingen i priserne i kr. på en kontantbillet, et 10-turs-kort og et månedskort til bussen mellem Udby og Bredballe. a: Udfyld de tomme pladser i tabellen ud fra disse oplysninger: - Fra 1990 til 000 voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit med,9% om året. - Fra 1990 til 000 voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit med,% om året. - Fra 1990 til 010 voksede prisen på et månedskort i gennemsnit med,9% om året. b: Hvor mange procent voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit fra 000 til 010? c: Hvor mange procent voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit fra 000 til 010? d: Sammenlign prisudviklingen på et månedskort i første og anden halvdel af perioden. e: Prisen på en kontantbillet forventes at stige med,5% i årene efter 010. Hvornår vil prisen nå 50 kr., hvis stigningen fortsætter? Kontantbillet turs-kort Månedskort : Fugle på Sælø a: Hvilken art er gået mest frem i antal? b: Hvilken art er gået mest frem i procent? (find procent-tallet) c: Hvilken art er gået mest tilbage i antal? d: Hvilken art er gået mest tilbage i procent? (find procent-tallet) e: Hvor mange procent er antallet af skalleslugere vokset i gennemsnit pr. år? f: Hvor mange procent er antallet af terner vokset i gennemsnit pr. år? g: Hvor mange procent er antallet af klyder faldet i gennemsnit pr. år? h: Hvor mange procent er antallet af edderfugle faldet i gennemsnit pr. år? Hvert 5. år tælles fuglene i reservatet på Sælø. Det er umuligt at tælle præcist men ved at tælle i mindre områder, kan man regne ud, hvor mange fugle der cirka må være på hele øen. Tabellen viser nogle eksempler på ændringer i bestandene Klyde Terne Skallesluger Edderfugle 0 10 Nu skal du gå ud fra, at udviklingen for hver art fortsætter (selv om det ikke er helt realistisk). i: Hvor mange fugle vil der være af hver art i 015? j: Hvornår vil bestandene af hhv. terner og skalleslugere være fordoblede? k: Hvornår vil bestandene af hhv. klyder og edderfugle være halverede? Der er to svar i hver opgave. Blandede og supplerende opgaver Side 90

33 Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente 1: Ebberød Bank (I) Du skal gå ud fra, at der er 65 rentedage i et år, og at alle de nævnte perioder er inden for samme år. Find renterne når a: der står.500 kr. på en anfordringskonto i 1 dage. b: der står kr. på en guldkonto i 8 dage. c: der står kr. på en sølvkonto i dage. d: der står 1.90 kr. på en konto med mdrs. opsigelse i 19 dage. : Ebberød Bank (II) Regn med 65 rentedage i et år og find renterne når a: der står.000 kr. på en sølvkonto i fra 1/6 til 9/6. b: der står.16 kr. på en anfordringskonto i fra 6/ til 18/6. c: der står kr. på en guldkonto i fra 1/10 til 15/1 året efter. (gå ud fra at der er rentetilskrivning 1/1) Ebberød Bank Rentesatser på indlån Anfordring... 0,5% p.a. mdr. opsigelse... 1,5% p.a. Sølvkonto...,5% p.a. Guldkonto...,0% p.a. Alle konti har helårlig rentetilskrivning Bemærk: For at opnå de nævnte høje rentesatser skal der mindst indsættes: kr. på en sølvkonto kr. på en guldkonto : Ebberød Bank (III) Olga Olsen - en lettere senil ældre dame - solgte for 6 år siden sit hus. Overskuddet var kr., som hendes bankrådgiver i Ebberød Bank hjalp hende med at placere på en anfordringskonto. a: Hvor meget står der nu på kontoen? (regn med at pengene har stået i 6 hele kalenderår og brug sammensat rentesregning) b: Hvad havde Olga fået i rente, hvis pengene var blevet placeret på en guldkonto? c: Hvor meget har Olga mistet i rente ved at vælge anfordringskontoen? : Forestil dig, at du optager et lån på kr. Lånet optages til nytår, og alle pengene betales tilbage på en gang med renter efter præcis år. a: Beregn det beløb, som du skal betale tilbage, hos hver af de långiverne, der er nævnt i sammenligningen til højre. b: Find den årlige nominelle rente hos Frisk. c: Find den årlige nominelle rente hos Kapitalbutikken. Sammenligning af rentesatser på lån og kredit Omegnsbanken... 16% pr. år Renten tilskrives en gang årligt Frisk Finansiering... 15% pr. år Renten tilskrives hvert kvartal Kapitalbutikken... 15% pr. år Renten tilskrives hver måned Blandede og supplerende opgaver Side 91

34 Lån og opsparing (): Serielån 5: Benny låner kr. Lånet er et serielån over år med en årlige rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året. a: Beregn det årlige afdrag. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , , ,00 0,00 I de første opgaver er der helårlige terminer. I virkeligheden betaler man ofte hver måned. c: Hvor meget betaler Benny i alt på de år?.. og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 6: Gurli låner kr. Lånet er et serielån over år med en årlig rente på 15%. a: Find det årlige afdrag. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld ,00 1 c: Hvor meget betaler Gurli i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 7: Et lån på kr. afvikles som et serielån over 10 år med en årlig rente på 8%. a: Beregn det årlige afdrag. b: Beregn det første års rente. c: Hvad er restgælden efter den 9. termin (den næstsidste)? d: Beregn det sidste års rente. e: Kan du beregne den samlede rente (betalt over alle 10 år) ud fra de tal, som du har? Blandede og supplerende opgaver Side 9

35 Lån og opsparing (): Annuitetslån 8: Oluf låner kr. Lånet er et annuitetslån, med en årlig rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året. Ydelsen er på kr. a: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , , , , , , ,00 Oluf skylder stadig et lille beløb efter år b: Hvor meget skylder Oluf efter år? Hvis Oluf lige præcis skal kunne betale sin gæld på år, skal ydelsen sættes lidt op. c: Vis - brug ydelsesformlen - at ydelsen skal være 10.05,87 kr. d: Udfyld de tomme pladser i denne amortiseringstabel. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , , , , ,87 e: Hvor meget betaler Oluf i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? f: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 9: Gertrud låner kr. Lånet er et annuitetslån over år med en årlig rente på 15%. a: Find den årlige ydelse - brug ydelsesformlen. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , ,00 c: Hvor meget betaler Gertrud i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. Blandede og supplerende opgaver Side 9

36 10: Kurt køber bil. Kurt køber en brugt bil til kr. Han kan lægge en udbetaling på 5%. Resten lånes. a: Hvor stor er udbetalingen? b: Hvor stort bliver lånet? Oprettelsesgebyret lægges oven i lånet. Kurt får lånet over 5 år til den vejledende rentesats. c: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse). d: Hvor meget betaler Kurt i alt tilbage? Udby og Omegns Bank Rentesatser på udlån Billån... 6,0% p.a. Boliglån... 9,0% p.a. Forbrugslån... 1,0% p.a. Rentesatserne er vejledende. Oprettelsesgebyr: 1% af lånet. Dog mindst 500 kr. 11: Olfert køber også bil. Olfert køber en brugt bil til kr. Fordi han ingen udbetaling har, forlanger banken en rente på 8,0% p.a. for et lån over 5 år. a: Hvor stort bliver lånet med oprettelsesgebyr? b: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse). c: Hvor meget betaler Olfert i alt tilbage? 1: Flere lån Du tager et lån på kr. i banken over 10 år. Sammenlign den årlige ydelse på et boliglån og et forbrugslån. Regn med de vejledende rentesatser. Selv om renten er oplyst pr. år (p.a.), betaler man sjældent en årlig ydelse. Man betaler et beløb hver måned. De præcise beregninger er indviklede, men man får udmærkede cirka-tal, ved at regne med en årlig ydelse. 1: Larsen Lån a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af ydelserne på Larsen Lån. b: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage, hvis man låner kr. over 8 mdr.?.og hvor meget udgør renterne? c: Hvad koster det at låne over mdr.? Du skal låne kr. over 6 år. d: Sammenlign udgifterne ved et Larsen Lån og et forbrugslån i Banken. Ved banklånet skal du bruge den vejledende rentesats og regne med en årlig ydelse. Husk oprettelsesgebyr. Med et Larsen Lån kan du købe alt det, du ikke har råd til. Ydelse pr. Antal måneder måned Lånebeløb i kr Rente: 1,5% pr. måned - Ingen gebyrer Blandede og supplerende opgaver Side 9

37 1: Oluf og Gertrud køber hus. a: Hvor stort bliver realkreditlånet? b: Hvor stort bliver banklånet? Regn først på realkreditlånet over 0 år. c: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet. d: Det er næsten umuligt at lave hele amortiseringstabellen i hånden, men udfyld de første rækker i tabellen herunder. Oluf og Gertrud køber et hus til kr. De kan få et realkreditlån på 80% af prisen. Resten af pengene låner de i banken. De kan vælge mellem to realkreditlån: - et lån over 0 år til en rente på 7% p.a. - et lån over 0 år til en rente på 6% p.a. Banklånet er over 15 år. Renten er 9% p.a. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1 e: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 0 år? og hvor meget udgør renterne? Regn nu på realkreditlånet over 0 år. f: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet. g: Udfyld de første rækker i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1 Rigtige realkreditlån er indviklede. Man betaler hver måned eller hvert kvartal, man betaler gebyrer, og der er ofte et såkaldt kurstab. Men man får et godt billede af lånets afvikling ved at regne med en årlig ydelse og se bort fra gebyrer og kurstab. h: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 0 år? og hvor meget udgør renterne? Nu skal du også regne på banklånet. i: Beregn den årlige ydelse på banklånet? j: Hvor meget udgør renterne af denne ydelse? k: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån), hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 0 år? l: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån), hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 0 år? m: Sammenlign de årlige ydelser det første år, når man indregner skattebesparelsen (dette kaldes nettoydelse). Når man betaler renter, får man et skattefradrag. Det betyder, at man skal betale mindre i skat. Skattebesparelsen er på ca. 0% af renterne. Blandede og supplerende opgaver Side 95

38 15: Fix og Fidus a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af ydelserne hos Fix Finans. b: Prøv også at kontrollere et par ydelser hos Fidus Finans - det er svært! Man kan også låne andre beløb end dem, som er nævnt i tabellerne. c: Find den månedlige ydelse, hvis man låner kr. over 0 måneder hos Fix Finans. 16: Med Fix og Fidus hos El-Kolossen Fix Finans - vi fixer dig et lån - og vi ta'r slet ingen gebyrer - Ydelse pr. Antal måneder måned Lånebeløb i kr Rente: % pr. måned Du vil købe en Ida symaskine og låne pengene over 1 måneder. a: Hvor (Fix eller Fidus) er det billigst at låne pengene? b: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage hos Fix Finans? og hvor meget udgør renterne? c: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage hos Fidus Finans? Du vil købe en WX computer og låne pengene over 8 måneder. d: Sammenlign omkostningerne ho Fix Finans og Fidus Finans. Du skal låne penge til både en Vaks vaskemaskine og en Vaks tørretumbler. e: Hvor er det billigst at låne pengene, hvis du kan betale tilbage hurtigt? f: Hvor er det billigst at låne pengene, hvis du vil betale tilbage langsomt? Du vil købe et Colora TV og låne pengene over måneder. g: Hvad bliver den månedlige ydelse hos Fix Finans? h: Hvad bliver den månedlige ydelse hos Fidus Finans? Lån hos Fidus Finans - en fed fidus - renten er kun 1% pr. måned - Ydelse pr. måned Lånebeløb i kr. Antal måneder Oprettelsesgebyr: 00 kr. (tillægges lånet) Adm.-gebyr: 5 kr. pr. md. (tillægges ydelsen) EL-KOLOSSEN - kolossalt billigt G7-phone Kun kr. Colora TV Kun kr. WX Computer Kun kr. Ida Symaskine Kun kr. Vaks Vaskemaskine Kun kr. Vaks Tørretumbler Kun kr. Blandede og supplerende opgaver Side 96

39 17: Fix Finans (fortsættelse af opgaverne på forrige side) Tabellen herunder viser sammenhængen mellem lånebeløb og den månedlige ydelse, hvis man låner penge hos Fix Finans og betaler tilbage over 1 måneder. Renten er % pr. måned. Lånebeløb i kr. (x) Månedlig ydelse i kr. (y) a: Sammenlign tallene i tabellen med tallene fra sidste side. b: Tegn ud fra tallene en graf i et koordinatsystem. 1 cm = kr. på x-aksen og 1 cm = 100 kr. på y-aksen. c: Undersøg ud fra grafen: - hvor meget skal man betale pr. måned, hvis man låner kr.? - hvor meget kan man låne, hvis man vil betale 650 kr. pr. måned? d: Undersøg hvilken af disse funktioner, der kan beskrive tabellen og grafen: y = 0,956 x y = 10,58 x y = 0,0956 x e: Brug den rigtige funktion til at finde den månedlige ydelse på et lån på kr. (Forlæng evt. din graf.) f: Integn også grafer for lån over mdr., 6 mdr., 8 mdr., og 60 mdr. Brug tallene fra sidste side. Tegn alle graferne i samme koordinatsystem. g: Opstil funktioner for (nogle af) de grafer, som du lige har tegnet. I opgaverne herunder skal du bruge gældsformlen og nogle af oplysninger fra de forrige sider. 18: Udby og Omegns Bank Regn med de vejledende rentesatser. a: Hvor stort et billån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i år? b: Hvor stort et billån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i 6 år? c: Hvor stort et boliglån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i 1 år? d: Hvor stort et forbrugslån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i år? Bemærk: De tal som du har beregnet ovenfor er nok lån incl. oprettelsesgebyr. Kan du finde ud af at trække gebyrerne fra? Det er lidt drilsk! 19: Fix Finans Hvor stort et lån kan man få hos Fix Finans, hvis man kan betale a: 00 kr. om måneden i 60 mdr.? b: kr. om måneden i år? 0: Realkreditlån a: Hvor stort et lån (7% over 0 år) kan man få, hvis man kan betale kr. om året? b: Hvor stort et lån (6% over 0 år) kan man få, hvis man kan betale kr. om året? Blandede og supplerende opgaver Side 97

40 Lån og opsparing (): Opsparing 1: Anton indbetaler hvert år til nytår kr. på en opsparingskonto. Kontoen giver en rente på 5% p.a. Renten tilskrives til nytår. a: Udfyld de tomme pladser i tabellen herunder. Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0, , ,00 500, , ,00.101,5 5 b: Hvor meget står der på kontoen efter 5 indbetalinger (kik i tabellen)? c: Hvor stor en del af beløbet er renter? d: Kan du også beregne tallet fra opgave b v.h.a. opsparingsformlen? e: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger? f: Hvor meget kan Anton hæve fra kontoen ved slutningen af det 10. år? Der foretages ikke en 11. indbetaling - se evt. forklaring. Den 1. indbetaling sker i starten af det 1. år. Den. indbetaling sker i starten af det. år o.s.v.. Hvis du f.eks. indbetaler penge i 5 år, lader pengene stå til slutningen af det 5. år... : Agnes indbetaler hvert år til nytår kr. på en opsparingskonto. Kontoen giver en rente på % p.a. Renten tilskrives til nytår. a: Udfyld de tomme pladser i denne tabel. Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0, , ,00 0, ,00 b: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger? c: Hvor stor en del af dette beløb er renter? : Det er helt urealistisk at spare op i så lang tid, men beregn alligevel a: hvor mange penge vil Anton (ovenfor) have efter 100 indbetalinger? b: hvor mange penge vil Agnes (ovenfor) have efter 100 indbetalinger? c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter..og hæver pengene (uden at foretage en 6. indbetaling), så skal du selv lægge renterne for det sidste år til. Du kan ikke direkte beregne det hævede beløb med opsparingsformlen. Blandede og supplerende opgaver Side 98

41 : Du indbetaler kr. på en konto hvert år til nytår. Hvor meget vil der stå på kontoen efter 5 indbetalinger, hvis. a: det er en anfordringskonto? b: det er en konto med mdr. opsigelse? c: det er en aktionærkonto? (gå ud fra, at du har de nødvendige aktier) Udby og Omegns Bank Rentesatser på indlån Anfordring... 0,5% p.a. mdr. opsigelse... 1,5% p.a. Aktionærkonto (*)...,5% p.a. Børneopsparing (**)...,0% p.a. (*) Du skal have aktier for mindst kr. (pålydende værdi). 5: Der indbetales årligt kr. på en aktionærkonto. Beløbet indbetales hvert år i 8 år ved årets start. (**) Du kan højst indsætte.000 kr. pr. år. a: Hvor mange penge står der på kontoen efter den sidste indbetaling? Pengene står til slutningen af det 8. år, hvorefter de hæves. Der laves ikke en 9. indbetaling. b: Hvor mange penge kan der hæves? 6: Hvor mange penge ender der med at stå på en børneopsparing, hvis a: der indsættes det maksimale beløb hvert år i 18 år? b: der indsættes 1.00 kr. hvert år i 1 år? c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter. I virkeligheden laver man sjældent en indbetaling om året. Man indbetaler et beløb hver måned. De præcise beregninger er mere indviklede, men man får udmærkede cirkatal, ved at regne med en årlig indbetaling. 7: Studielån Et studielån optages typisk over en årrække. Man låner langsomt flere og flere penge, og der tilskrives renter på samme måde som ved en opsparing. a: Hvor meget får Knud udbetalt i studielån, mens han er under uddannelse? b: Hvor stor er hans gæld da uddannelsen er slut? Gå ud fra, at han får udbetalt penge en gang om året og ved årets begyndelse. Når uddannelsen er slut stiger renten til 5% p.a. Man behøver ikke at betale tilbage det første år efter at uddannelsen er slut, men der tilskrives naturligvis renter. Derefter afvikles gælden som et annuitetslån. c: Find den årlige ydelse, hvis annuitetslånet afvikles over 9 år (sammenlign med det udbetalte lånebeløb). Knud går først år på VUC og derefter 5 år på seminarium. Han tager hvert år et studielån på.000 kr. Renten er % p.a. Blandede og supplerende opgaver Side 99