Matematik. på AVU. Opgaver til niveau F, E og D

Transkript

1 Matematik på AVU Opgaver til niveau F, E og D Denne opgavesamling er lavet i forlængelse af Matematik på AVU - opgaver til niveau G. Opgavesamlingen omfatter derfor kun det fagstof, som ikke er med på niveau G. Niels Jørgen Andreasen

2

3 Om brug af denne opgavesamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne Basis, 1 og. Denne opgavesamling er oprindelig skrevet til Matematik, men da der er sket en del ændringer af, hvilke matematikområder der skal arbejdes med, er der også lavet en del ændringer i opgavesamlingen. Ud over de rent fag-faglige ændringer er det naturligvis vigtigt, at man som lærer med rødder i de gamle fagbeskrivelser er opmærksom på, at der er sket store ændringer i kravene til, hvordan man i den daglige undervisning skal arbejde med matematikken (fokus på kompetencer, inddragelse af IT.). Der hører en eksempelsamling til opgavesamlingen. Eksempelsamlingen er tænkt som en opslagsbog, som kursisterne kan læse i, mens de arbejder med denne opgavesamling eller på anden måde arbejder med faget. På hjemmesiden, der hører til materialet (laerer.vucaarhus.dk/nja), kan man frit hente eksempelog opgavesamlinger til både niveau G og niveau FED, ligesom man kan hente undervisningsmateriale, der kan anvendes på Basis. Alt materialet er tilgængeligt i såvel PDF-format som redigerbart Word-format. Man kan også finde små instruktioner i brug af regneark - både på skrift og som video. På hjemmesiden kan man ligeledes finde dataene til opgaverne i kapitlet om Statistik i Ecel-format, hvilket gør det langt lettere at anvende regneark. Nogle af opgaverne er på kanten af, hvad man forventes at arbejde med på matematik FED. Det gælder bl.a. kapitlerne Formler, ligninger, funktioner og grafer og Procent og eksponentiel vækst. Men jeg synes, at Formler, ligninger, funktioner og grafer giver et godt supplement til kapitlerne Funktioner og Bogstavregning. Og jeg synes, at Procent og eksponentiel vækst givet et godt supplement til afsnittet om Eksponentialfunktioner i kapitlet Funktioner. Selv om der er mange opgaver i opgavesamlingen, vil jeg alligevel kraftigt anbefale, at man regelmæssigt arbejder med opgaver fra det sidste kapitel Blandede og supplerende opgaver. Her kan du finde opgaver, som er mindre disciplinorienterede og mindre stereotype end i de andre kapitler. I forhold til emnet Geometri vil det også være nødvendigt for at opnå tilstrækkelig sværhedsgrad på FED. I det sidste kapitel finder man også opgaver om Lån og opsparing. Det er ikke obligatorisk på Matematik FED men fint anvendeligt som supplerende emne. Jeg hører meget gerne fra dig, hvis du har kommentarer, ris eller ros. Venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen [email protected]

4 Opgaver til niveau F, E, og D Indholdsfortegnelse Sammensætning af regnearterne...1 Trigonometri...7 Statistik...11 Talfølger...0 Funktioner... Formler, ligninger, funktioner og grafer...8 Bogstavregning...6 Procent og eksponentiel vækst...1 Blandede og supplerende opgaver...9 Udarbejdet af Niels Jørgen Andreasen VUC Århus [email protected] Indholdsfortegnelse

5 Sammensætning af regnearterne Potenser... Rødder tals-potenser... Sammensætning af regnearterne Side 1

6 Potenser 1: Afgør hvilke af udsagnene herunder der er sande? Du skal så vidt muligt undlade at bruge regnemaskine. Hvis et udsagn er sandt, skal du skrive hvilken af regnereglerne til højre, der passer på udsagnet. a: b: c: d: e: f: g: h: i: j: = 6 + = = 6 6 = 7 7 = = 7 = 8 = 8 10 = : 6 = k: l: m: n: = + = 6 = = o: = p: q: r: s: t: = 0,7 ( ) = ( ) = ( 6 ) = 6 ( 10 ) = Regneregler for potenser m n m+ n I: a a = a m a m n II: = a n a n n III: a b = (a b) n n a a IV: = n b b m n m n V: (a ) = a n : Regn (nogle af) disse regnestykker. I nogle af regnestykkerne kan du med fordel bruge regnereglerne ovenfor. a: b: c: d: e: f: 8 ( 9) ( 1 : ( ) 1 1 :1 9) g: h: i: j: k: l: ,7 0, (, ) 0,7 0, ( 10 ) + (10 ) 10 1 m: 7 9 n: 9 o: p: 1 8 +, + 0, : Regn - og skriv facit som brøk: a: b: c: 7 d: 1 1 Sammensætning af regnearterne Side

7 : Afgør om disse udsagn er sande: (du må gerne regne efter på regnemaskinen) 1 a: = b: c: 1 = = 1: d: = 1: : 1 e: = f: g: 1 = = 1: h: = 1: : : : : 1 i: 10 = 10 j: k: 10 1 = = 1:10 l: 10 = 1:10 :10 : 10 : Regn - helst uden regnemaskine: a: b: 1 c: 10 1 e: 1 d: 10 f: 10 g: 6 10 h: 1 0, 1 0,1 6: Regn: a: b: c: d:,8 0, e: f: 0,9 0,0 g: h: 1,0 1, 1 8 7: Afgør om disse udsagn er sande: (du må gerne regne efter på regnemaskinen) a: 0 = 1 b:, 0 = 1 c: 0,01 0 = 1 d: e: f: 6 6 = 6 0 = 8 = 9 g: h: i: = = 8 : 8 = : Regn: a: b: c:, g: h: i: 0 0, 0,8 m: n: o:,8 17, 9, 0,78 8 Det er svært at forklare betydningen af potenser, hvor eksponenten (det lille tal) ikke er et helt tal. d: e: f:,,7 j: k: l: 1 1,6 p: q: r: 0,6 0,78 1 1,1 1, Men opgaverne skal give en fornemmelse af, at den slags godt kan beregnes. Sammensætning af regnearterne Side

8 Rødder 9: Regn med regnemaskine: a:. 096 b: 8. 8 c: 9 1 d: : Prøv om du kan klare disse opgaver uden regnemaskine: a: c: 0, 001 e: g: b: d: 0, 0001 f: 1 h: : Regn med regnemaskine og afrund til et passende antal decimaler: a: c: e: 7, 7 g: b: 6 d: 7 1, 7 19 f:, 1 h: 1, 097 1: Undersøg om disse udsagn er sande: a: 9 16 = 9 16 b: = c: 8 1 = 8 1 d: 6 = 6 e: = f: g: 9 = = h: Nævne de regneregler for rødder, som kan bruges til at undersøge om udsagnene er sande? 1: Regn (prøv uden regnemaskine) - og skriv facit som brøk: a: 16 b: 6 81 c: d: e: : Afgør om disse udsagn er sande: (du må gerne regne efter på regnemaskinen) a: = b: 6.61 = d: = e: 9.68 = g: = h: = c: 0, 16 = 16 f:.768 = , i: = ,1 Sammensætning af regnearterne Side

9 10-tals-potenser 1: Afgør om disse udsagn er sande: a: 10 = f: 6 10 = k:, = b: 10 7 = c: 10 = 1 mio. d: 10 = 0, 001 e: 10 = 0, 0001 g: 7 10 = 0 mio. h:,8 10 = i: 7 10 = 0, 0007 j:, 10 6 = 0, l: 10 1 = m:, 10 =, mia. n: = 0, o: 1, = 0, : Skriv som almindeligt tal (med en masse nuller): a: 9 10 c:, e: g: 7, 10 7 b: 1 10 d:, f: 10 h:, : Skriv som et antal millioner eller milliarder a: 6 10 c: 8, 10 7 e: 9 10 g:, b: d:, f: h: 6, : Herunder er den samme tekst skrevet to gange, men i udgaven for neden mangler tallene. Skriv tallene ind i den nederste tekst på normal vis (med en masse nuller). Der er langt fra Jorden til Månen. Der er faktisk 10 km. 8 Men det er ingenting imod afstanden fra Jorden til Solen, som er 1, 10 km. 9 Afstanden fra Solen og ud til Pluto - den yderste planet - er hele 6 10 km. 1 Og afstanden fra Solen til den nærmeste stjerne er - hold nu fast - 10 km. Der er langt fra Jorden til Månen. Der er faktisk km. Men det er ingenting imod afstanden fra Jorden til Solen, som er km. Afstanden fra Solen og ud til Pluto - den yderste planet - er hele km. Og afstanden fra Solen til den nærmeste stjerne er - hold nu fast - km. 19: Skriv også tallene fra opgaven ovenfor som antal millioner eller milliarder km. Sammensætning af regnearterne Side

10 0: Herunder er den samme tekst skrevet to gange, men i udgaven for neden mangler tallene. Skriv tallene ind i den nederste tekst på normal vis (med en masse nuller). Alle ting består af atomer, og atomer er meget små. Det allermindste atom - brintatomet - måler kun Og et brintatom vejer kun 1,7 10 gram cm. Alle ting består af atomer, og atomer er meget små. Det allermindste atom - brintatomet - måler kun cm. Og et brintatom vejer kun gram. 1: Skriv med 10-tals-potenser: a: b: 0,00000 c: 8 mia. d: 1, mio. e: 0, f: 0, g: 18 mia. h: i: : Regn - prøv både med og uden regnemaskine: a: e: h: b: f: i: c: d: g: 10 j: k: : Regn - og du er sikkert nødt til at bruge regnemaskine: a:, ,1 10 b: 9,8 7 10, 10 c:,1 10, : Regn på regnemaskinen og skriv resultatet som et tal ( dec.) gange en 10-tals-potens: a: d:..999 g: 8 6 b: e: 0, : h: 1,7 10, c: 7 17 f: 1 0,09 i: 1,8 10 1, Sammensætning af regnearterne Side 6

11 Opgaver til niveau F, E og G Trigonometri 1: Til højre er tegnet en kvart enhedscirkel i et koordinatsystem. 1,00 90º 7º 60º Der er indtegnet vinklerne 0º, 1º, 0º osv. Cosinus og sinus til vinklerne er markeret. º a: Aflæs så præcist som muligt cosinus- og sinus-værdierne. Kontroller også tallene på din regnemaskine.. 0,0 0º b: Udfyld vha. koordinatsystemet tabellen herunder. 1º c: Tabellen og tegningen viser, at der er en vis symetri. Der gælder: cos(v) = sin(90 v) sin(v) = cos(90 v) 0º 0,0 1,00 Prøv at forklare hvorfor! Vinkel 0º 1º 0º º 60º 7º 90º Cosinus Sinus : Herunder er skitseret to retvinklede trekanter. Beregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er angivet. c = 6 cm B a c = 6,8 cm 0º B a A 0º b C A b C Geometri Side 7

12 Opgaver til niveau F, E og G : Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC a: Beregn sin( A) b: Find A (antal grader) c: Find B (antal grader) d: Find længden af siden b A c = 1 cm b B a = cm C : Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC B a: Beregn tan( A) b: Find A (antal grader) c a = 8 cm c: Find B (antal grader) d: Find længden af siden c A b = 1 cm C : Beregn de ukendte vinkler og sider i de fem retvinklede trekanter. A O n º M b c = 100 mm E º d F m o = 7, cm f =,0 m e N C a 8º B A D B b = 6 mm c = 98 mm c a = 9,8 cm A b =1,1 cm C C a B Geometri Side 8

13 Opgaver til niveau F, E og G 6: Tegningerne viser et stykke af to trapper. Trappen til venstre stiger º, og trinene er cm brede. På trappen til højre er trinene cm brede og 18 cm høje. a: Hvor høje er trinene på trappen til venstre? b: Hvor mange graden stiger trappen til højre? c: En trappe skal have en trinbredde på 6 cm og en stigning på 0º. Find trinhøjden. d: En trappe skal have en stigning på º. Giv et forslag til trinbredde og trinhøjde. e: Mål trinene på en trappe på din skole og beregn, hvor mange graden trappen siger. º cm cm 18 cm 7: Tegningen viser en stige, der står op ad en mur. Stiger skal helst stå med en hældning på 7º. a: En stige er m lang. Hvor højt kan stigen nå op på muren, med en hældning på 7º? b: Hvor højt kan stigen på m nå op, hvis den hælder 60º? c: Hvor lang skal en stige være, hvis den skal kunne nå m op og have en hældning på 7º? d: En stige er 0 cm lang, og den når m op ad muren. Hvad er hældning? e: En stige når, m op ad muren, og bunden af stigen står 9 cm fra muren. Hvad er hældningen? f: En A-stige (en Wiener-stige) har de viste mål. Benenes længde er, m og afstanden mellem benene er 10 cm. Find benenes hældning og stigens højde. 10 cm, m 8: Tegningen viser gavlen på et hus. a: Find husets højde b: Hvor meget lavere ville huset være, hvis tagets hældning var º? c: Hvor meget højere ville huset være, hvis tagets hældning var º? 860 cm cm º 0 cm Geometri Side 9

14 Opgaver til niveau F, E og G 9: I har sikkert en tavlelineal på præcis 1 m i klasseværelset. Stil linealen på skrå op ad en væg. Mål vinklen med en vinkelmåler som vist på tegningerne. Mål også den vandrette afstand og den lodrette afstand y. Stil linealen i en ny vinkel og mål igen vinklen, og y. Fortsæt med flere vinkler. Brug dine målinger til at lave at lave en cosinus- og sinus-tabel. y 10: Tegningen viser en cyklist på vej op ad en bakke. Bakken er indtegnet som en retvinklet trekant ABC. Man kan angive en bakkes stigning på to måder: Som et antal grader c og som et antal procent. Antal grader er størrelsen af A. A b Antal procent er den lodrette stigning som procent af den kørte strækning. Altså a som procent af c. a: Mål længden af a, b og c på tegningen b: Find stigningen på tegningen målt i procent. c: Find stigningen på tegningen målt i grader. Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også at beregne tallet. d: Vurder om det er realistisk at cykle op ad en sådan stigning. e: Omregn en stigning på 10% til grader. f: Omregn en stigning på 8º til procent. B a C Geometri Side 10

15 Statistik Grupperede observationer og summeret frekvens... 1 Indekstal... 1 Median, kvartiler og boksplot Statistik Side 11

16 Grupperede observationer og summeret frekvens 1: Fritidsjobs a: Hvor mange unge har svaret? b: Lav selv en tabel med frekvens og summeret frekvens. c: Lav et histogram eller et andet diagram ud fra frekvenstallene. d: Find et cirkatal for den gennemsnitlige timeløn. Tallene i tabellen er lidt upræcise. Hvor skal man f placere en person, der tjener præcis 0 kr. i timen? e: Giv et eller flere forslag til hvorledes man kan skrive løn-intervallerne med firkantede parenteser. f: Giv et eller flere forslag til hvorledes man kan skrive løn-intervallerne med "mindre end"- og "større end"-tegn. (Det er svært). g: Er der er mange på dit hold, som har arbejde ved siden af undervisningen på VUC? Så kan I lave jeres egen løn-undersøgelse. Fritidsjobs Der er stor forskel på, hvad unge kan tjene ved at have et fritidsjob. Et rundspørge blandt elever fra folkeskolens ældste klasser i Udby gav dette resultat: Timeløn i kr. Antal svar : TV-forbrug a: Hvor mange personer har deltaget? b: I hvilket interval skal man placere en person, der har set TV i ¾ time hver dag? c: I hvilket interval skal man placere en person, der har set TV i så lang tid i løbet af ugens dage? t. 0 m. t. 1 m. t. m. 0 m. 1 m. 1 t. m. 6 t. m. d: Hvor mange af personerne så højst TV i cirka timer i gennemsnit pr. dag? e: Lav selv en tabel med frekvens og summeret frekvens. f: Lav et histogram ud fra frekvens-tallene. g: Beregn et cirka-tal for det gennemsnitlige TV-forbrug. h: Lav evt. en TV-undersøgelse på dit eget hold. TV-forbrug En gruppe personer har holdt øje med, hvor mange timer de har set TV på en uge. Antal timer. Antal svar [0 ; [ [ ; 10[ 1 [10 ; 1[ 1 [1 ; 0[ 1 [0 ; [ 11 [ ; 0[ [0 ; [ Statistik Side 1

17 : Transporttid a: Hvor mange medarbejdere deltog i undersøgelsen? b: Beregn frekvens og summeret frekvens c: Hvor mange personer bruger en time eller mere? d: Hvor mange personer bruger under en halv time? (Du kan ikke svare præcist, men prøv at komme med et kvalificeret gæt) e: Find et cirka-tal for den gennemsnitlige transporttid. f: En person bruger præcis 0 min. I hvilket minut-interval hører personen til? g: Lav et diagram ud fra tallene. Overvej selv, hvilken type der er bedst. h: Kan du skrive intervallerne med "mindre end"- og "større end"-tegn? (Det er svært. Du skal starte sådan: 0 < < 10) Transporttid På Udby Margarinefabrik har man undersøgt, hvor lang tid medarbejderne bruger på at komme på arbejde. Antal Antal svar minutter ]0 ; 10[ 8 [10 ; 0[ 10 [0 ; 0[ [0 ; 60[ 9 [60 ; 90[ [90 ; 10] : Højdefordeling De to histogrammer viser højdefordelingen i cm for to hold VUC-kursister fordelt på køn. Højdefordeling mandlige kursister Højdefordeling kvindelige kursister a: Hvor mange mænd er der? Og hvor mange kvinder? b: Lav to hyppighedstabeller. En for mændene og en for kvinderne. c: Beregn frekvens og summeret frekvens for hver af de to grupper. d: Lav også et histogram og en samlet tabel for alle kursisterne. Tabellen skal indeholde både hyppighed, frekvens og summeret frekvens. e: Beregn cirka-tal for gennemsnitshøjderne (mændene, kvinderne og alle kursisterne). Overvej om dine tal kan blive realistiske. Er kursisterne mon jævnt fordelt på intervallerne? f: Lav evt. en højde-statistik på dit eget hold. Statistik Side 1

18 Indekstal : Lønudvikling Tabellen viser lønudviklingen for en timelønnet margarinepakker og en månedslønnet kontorassistent på Udby Margarinefabrik. År Timeløn 88,1 91, 9,1 98,7 10, 10,0 107,8 109,9 Månedsløn a: Lav en tilsvarende indekstabel, hvor du bruger 1996 som basisår. b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene. c: Hvad viser indekstallene om lønudviklingen for de to typer arbejde? d: Lav en ny indekstabel, hvor du bruger 000 som basisår. 6: Marmeladepriser Tabellen viser udviklingen i prisen på et glas marmelade fra Udby Marmeladefabrik. År Pris 9,9 10, 10, 10,9 11, 11,7 1, 1,9 1,9 1, 1,9 a: Lav en indekstabel med år 000 som basisår. b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene. c: Hvor sker den største stigning målt i kr.? d: Hvor sker den største stigning målt i procentpoint? e: Hvor mange procentpoint stiger prisen fra 000 til 001? f: Hvor mange procent stiger prisen fra 000 til 001? g: Hvor mange procentpoint stiger prisen fra 009 til 010? h: Hvor mange procent stiger prisen fra 009 til 010? Udby Marmelade gør alle mennesker glade. 7: Forbrugerprisindeks Tabellen viser udviklingen i forbrugerprisindekset: År Pris 100,0 10, 10,8 107,0 108, 110, 11, 11, 118,1 119,7 1, a: Sammenlign marmeladeprisen i opgaven ovenfor med forbrugerprisindekset. b: Sammenlign lønningerne i opgaven ovenfor med forbrugerprisindekset. Statistik Side 1

19 8: Omsætning Tabellen viser udviklingen i omsætningen på Udby Margarinefabrik. År Mio. kr.,,9,7,8,9,, 6,6 7,1 9,8 a: Lav en indekstabel over udviklingen. Brug 000 som basisår. b: Lav et diagram, der viser udviklingen i indekstallene. c: Firmaet forventer en omsætning i 010 svarende til indeks 1,. Hvad svarer det til i kr.? d: Hvor mange procentpoint steg omsætningen fra 000 til 001? e: Hvor mange procent steg omsætningen fra 000 til 001? f: Hvor mange procentpoint faldt omsætningen fra 00 til 006? g: Hvor mange procent faldt omsætningen fra 00 til 006? h: Opgave d og e ligner hinanden, og de giver samme svar. Opgave f og g ligner hinanden, men de giver forskellige svar. Kan du forklare hvorfor? 9: Buspris og timeløn Tabellen øverst viser udviklingen fra 1990 til 008 i prisen i kr. på et månedskort til bussen mellem Udby og Bredballe. a: Hvor mange procent er prisen steget fra 1990 til 008? Tabellen nederst viser Else Hansen timeløn. Else bor i Udby og tager bussen på arbejde i Bredballe. b: Sammenlign udviklingen i buspris og udviklingen i timeløn ved at lave en indekstabel med 1990 som basisår. c: Lav et diagram ud fra indekstallene. Når du svarer på de sidste to opgaver, er du nødt til at glemme, at Else betaler skat. d: Hvor lang tid skulle Else arbejde for at tjene til et buskort i 1990? e: Hvor lang tid skulle Else arbejde for at tjene til et buskort i 008? Månedskort: Udby - Bredballe Else Hansens timeløn Vurder evt. hvor lang tid Else skal arbejde, hvis man tager hensyn til, at hun skal betale skat af sin løn Statistik Side 1

20 10: Flere buspriser Tabellen øverst viser udviklingen fra 1990 til 008 i prisen på en kontantbillet til bussen mellem Udby og Bredballe som indekstal. I 1990 kostede en kontantbillet 1 kr. a: Lav selv en tilsvarende tabel med de rigtige priser? Tabellen nederst viser udviklingen fra 1990 til 008 i prisen på et 10-turs-kort til bussen mellem Udby og Bredballe som indekstal. I 000 kostede et 10-turs-kort 17 kr. b: Lav selv en tilsvarende tabel med de rigtige priser? c: Sammenlign udviklingen i priserne på kontantbillet, 10-turskort og månedskort (se også forrige opgave). Kontantbillet: Udby - Bredballe ,0 106,7 11, 10,0 1, ,7 166,7 19, 1,, 10-turs-kort: Udby - Bredballe : Tabellen viser udviklingen i salget af øl, vin og stærk spiritus i Danmark. Tallene er opgivet i mio. liter Øl Vin Spiritus a: Lav en indekstabel ud fra tallene. b: Hvad viser indekstallene om udviklingen i forbruget? c: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vin-salget målt i procentpoint? d: Inden for hvilken periode er der sket den største stigning i vin-salget målt i procent? 1: Tabellen viser antal børn i Danmark født i og udenfor ægteskab Børn født af gifte forældre Børn født af ugifte forældre a: Beskriv udviklingen i tallene i tabellen vha. indekstal og grafer. b: Beskriv også udviklingen i det samlede fødselstal vha. indekstal og grafer. Statistik Side 16

21 Median, kvartiler og boksplot 1: Ølpriser Tabellen viser prisen på en øl på de forskellige værtshuse i en by Den røde ko Hønsehuset 7 Overhuset 8 Guldkalven Løveburet 0 Tronsalen Hos Hans Mødestedet 0 Underhuset 18 a: Hvor mange værtshuse er der? b: Find medianen c: Find 1. kvartil og kvartil. d: Find middelværdien Guldkalven, Overhuset og Tronsalen sætter alle deres pris ned til 0 kr. e: Hvad sker der med middelværdi og median? 1: Aldersfordeling Tabellerne viser alderen på kursisterne på to forskellige VUC-hold Allan Ester 9 Mogens 1 Rania Victor 1 Conny Henry 6 Olga 6 Svend 70 Yrsa 61 Anton 1 Eskild 18 Jackie 18 Leon Rami 18 Brian 7 Fartun 17 Kasper 19 Lisa Rikke 1 Dagny 1 Goran 7 Kate 6 Matin Sabrina 17 Ditte Halima 0 a: Hvor mange kursister er der på hvert af de to hold? b: Find median, 1. kvartil og. kvartil for det første hold c: Find median, 1. kvartil og. kvartil for det andet hold d: Tegn boksplot for begge hold. e: Sammenlign aldersfordelingen på de to hold 1: Undersøg aldersfordelingen på dit eget hold. Find median, 1. kvartil og. kvartil. Lav evt. også et boksplot. Statistik Side 17

22 16: Højde-sammenligning De to boksplot viser højde-fordeling i cm på to forskellige grupper af mandlige idrætsfolk. En gruppe basketball-spillere og en gruppe gymnaster. a: Prøv at beskrive de to grupper. Hvorledes ville de se ud, hvis de stod ved siden af hinanden? b: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi for basketball-spillerne. c: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi for gymnasterne. d: Aflæs medianen, 1 kvartil og. kvartil for basketball-spillerne. e: Aflæs medianen, 1 kvartil og. kvartil gymnasterne. Højdefordeling for basketball-spillere Højdefordeling for gymnaster f: Hvor mange cm er den højeste basketball-spiller højere end den laveste gymnast? 17: SMS-er VUC-kursisterne fra opgave 1 har holdt øje med, hvor mange SMS-er de sendte på en dag. Tallene er vist i tabellen. Allan 1 Ester 1 Mogens Rania Victor 8 Conny Henry 0 Olga Svend 0 Yrsa 0 Anton Eskild 19 Jackie 8 Leon Rami Brian 1 Fartun Kasper Lisa 0 Rikke Dagny 1 Goran 7 Kate 1 Matin 6 Sabrina 10 Ditte 1 Halima a: Beskriv tallene for det nederste hold vha. boksplot. b: Lav evt. også et boksplot for det øverste hold men overvej først om det giver mening. Hvis det ikke giver mening, så overvej at lave et andet diagram for det øverste hold. Statistik Side 18

23 18: Fritidsaktiviteter En klasse med skolebørn er blevet spurgt om, hvor mange timer om ugen de bruger på fritids-aktiviteter (sport, spejder, musik mv.). Svarerne er vist i tabellen. a: Hvor mange børn er der? b: Find medianen c: Find 1. kvartil og kvartil d: Sammenlign median og middelværdi e: Lav et boksplot Hvor mange timer bruger du om ugen? Så mange Ahmed 0 Hans 0 Mads 1 Ronni 1 Asta Hilda 6 Mette Sidsel Bent Ismail Mie Søren 1 Carl 0 Kirstin Ninna 0 Tanja 0 Fatima Lone 8 Peter 10 Torben 1 19: Løn-sammenligning De to boksplot viser timelønnen i kr. på to forskellige virksomheder. a: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi på pølsefabrikken. b: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi på isfabrikken. c: Aflæs medianen, 1 kvartil og. kvartil på pølsefabrikken. d: Aflæs medianen, 1 kvartil og. kvartil på isfabrikken. e: Vurder hvilke af disse udsagn der er rigtige: - 0% af medarbejderne på pølsefabrikken tjener over 10 kr. - 0% af medarbejderne på isfabrikken tjener mellem 10 kr. og 00 kr. - De dårligst lønnede % af medarbejderne på pølsefabrikken får under 9 kr. - De bedst lønnede % af medarbejderne på isfabrikken får over 0 kr. - 7% af medarbejderne på pølsefabrikken får mellem 9 kr. og 10 kr. - 7% af medarbejderne på isfabrikken får mellem 10 kr. og 0 kr. Skriv selv rigtige udsagn i stedet for de forkerte udsagn. Timelønnen på Poulsens Pølsefabrik Timelønnen på Iversens Isfabrik Statistik Side 19

24 Talfølger 1: Kik på figurerne under tabellen: a: Tegn selv den næste figur i rækken. (Din tegning behøver ikke at være særlig pæn eller præcis). b: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Bemærk: Der skal være formler i kolonnen længst til højre. Den ene er lavet prøv at forklare den!! Du skal selv lave de to andre. Figur nr Antal grå firkanter 1 Antal hvide firkanter Antal firkanter i alt 9 1 : Kik på figurerne under tabellen: a: Tegn selv den næste figur i rækken. (Din tegning behøver ikke at være særlig pæn eller præcis). b: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Du skal lave formler i kolonnen længst til højre. Figur nr Antal grå sekskanter 1 Antal hvide sekskanter 6 1 Antal sekskanter i alt Talfølger Side 0

25 : Kik på figurerne under tabellen: a: Tegn selv den næste figur i rækken. b: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Du skal lave formler i kolonnen længst til højre. Figur nr Antal firkanter i alt 1 9 Antal hvide firkanter 1 Antal grå firkanter 1 : Kik på figurerne under tabellen: a: Tegn selv den næste figur i rækken. b: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Du skal lave formler i kolonnen længst til højre. Figur nr Antal firkanter i alt 1 16 Antal grå firkanter : Lav selv nogle opgaver med geometriske mønstre og talfølger. Byt opgaver med en klassekammerat og prøv at regne hinandens opgaver. Talfølger Side 1

26 6: Find systemet og udfyld de tomme pladser i tabellen a: 6 9 b c: 1 d: 1 6 e: f: g: h: : Find systemet og udfyld de tomme pladser i tabellen som vist i eksemplet. Du skal prøve at lave formler i kolonnen længst til højre a: b: c: d: 1 9 e: f: : Find systemet og udfyld de tomme pladser a: b: c: d: e: Talfølger Side

27 9: Kik på figurerne under tabellen: a: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Du skal selv finde en formel for Antal hvide trekanter. b: Kontroller at formlerne for Antal firkanter i alt og Antal grå firkanter passer. Find evt. sammen med din lærer en forklaring på formlen. Der er tale om såkaldte differensrækker. Figur nr Antal hvide firkanter 1 Antal firkanter i alt 1 10 Antal grå firkanter : Kik på figurerne under tabellen: a: Udfyld de tomme pladser i tabellen. Du skal selv finde formler for Antal hvide trekanter og Antal grå trekanter. b: Kontroller at formlen for Antal trekanter i alt passer. Find evt. sammen med din lærer en forklaring på formlen. Der er tale om en såkaldt differensrække. Figur nr Antal hvide trekanter 1 Antal trekanter i alt 1 Antal grå trekanter Talfølger Side

28 Funktioner Omvendt proportionalitet og hyperbler... Eksponentialfunktioner... 8 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 1 Potensfunktioner... Funktioner Side

29 Omvendt proportionalitet og hyperbler I de to første opgaver skal du både arbejde med omvendt proportionalitet og ligefrem proportionalitet 1: Buspriser (1) Olfert går på VUC fem dage om ugen. Han tager bussen ( zoner) hver dag. a: Hvad er udgiften pr. dag, hvis han: - køber kontantbillet? - køber klippekort? b: Find også (cirka-tal) for Olferts udgift pr. dag ved køb af månedskort. c: Udfyld for to zoner en tabel som denne: Buspriser zoner zoner 1 zone Kontantbillet Klippekort m. 10 klip Månedskort Antal busture på en måned Pris i alt ved kontantbillet Pris i alt ved klippekort Pris i alt ved månedskort d: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. e: Opstil funktioner for graferne. f: Hvilke funktioner og grafer viser ligefrem proportionalitet? : Buspriser () a: Udfyld for to zoner en tabel som denne: Antal busture på en måned Pris pr. tur ved kontantbillet Pris pr. tur ved klippekort Pris pr. tur ved månedskort b: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. c: Opstil funktioner for graferne. d: Hvilken funktion og graf viser omvendt proportionalitet? e: Lav også tabel og grafer der viser sammenhængen mellem: - antal busture på en måned og prisen pr. tur ved en zone ved køb af månedskort. - antal busture på en måned og prisen pr. tur ved tre zoner ved køb af månedskort. Funktioner Side

30 : Olferts høns a: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 6 m lang? b: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 8 m lang? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Olfert skal lave en indhegning på m til sine høns. Indhegningen skal være firkantet (rektangel eller kvadrat). Den ene side i meter () Den anden side i meter (y) d: Tegn en graf ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: y = y = f: Hvad bliver sidelængden, hvis indhegningen er kvadratisk? Marker det sted på grafen, som svarer til en kvadratisk indhegning. g: Er og y omvendt proportionale? h: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en indhegning på 1 m. y = Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 m y-akse: 1 cm = 1 m : Antons køretur a: Anton overvejer at cykle. Hvor lang tid tager turen, hvis han kører 0 km/time? b: Hvor lang tid tager turen, hvis han kører i bil med en gennemsnitsfart på 80 km/time? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Anton bor i Udby. Han skal besøge sin mor i Smalballe. Turen er på 10 km. Km/time o.s.v Antal timer Antal min. d: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Antal km/time skal være -værdi. Du bestemmer selv, om du vil bruge antal timer eller antal min. som y-værdi. e: Begge disse funktioner kan passe til grafen. Forklar hvorledes: 10 y = y = f: Lav evt. også tabel og en graf, der passer til en gå- eller cykle-tur på 1 km. Forslag til akser: -akse: 1 cm = 10 km/t y-akse: 1 cm = 0 min. eller cm = 1 time Funktioner Side 6

31 : Tegn grafen for denne funktion: y =. Start med at udfylde en tabel som denne: , 0, 1 8 y Bemærk: Grafen består af to dele, som ikke hænger sammen. 6: Tegn graferne for disse funktioner: 1 y = y = 8 y = Du må gerne bruge det samme koordinatsystem som du brugte i opgave. Alle graferne fra opgave, 6 og 7 har symmetriakser. Kan du finde akserne? 7: Tegn graferne for (nogle af) disse funktioner: 1 y = y = y = y = 8 8: To taa-firmaer tager de viste priser. a: Hvad koster det at køre km med Henry? b: Hvad bliver prisen pr. km, når man kører km med Henry? c: Lav og udfyld en tabel, som denne: Antal km o.s.v. 10 Pris pr. km hos Henry,0 Pris pr. km hos Tom 1,0 Henrys Hyrevogne 8 kr. pr. km kr. i startgebyr Toms Taa 1 kr. pr. km 1 kr. i startgebyr d: Lav grafer i et koordinatsystem ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner passer til Henry? er antal km og y er prisen pr. km. 8 y = + y = + 8 y = + 8 f: Opstil selv en funktion for Toms Taa. g: Er og y omvendt proportionale (undersøg begge funktioner)? h: Hvor skærer graferne hinanden? og hvad betyder skæringspunktet? i: Forestil dig, at du kører en meget, meget, meget lang tur. - hvor lav kan prisen pr. km blive hos Henrys Hyrevogne? - hvor lav kan prisen pr. km blive hos Toms Taa? Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 km y-akse: 1 cm = kr. Funktioner Side 7

32 Eksponentialfunktioner 9: Lønstigning I tabellen herunder er vist Kurts timeløn i år og de næste to år. a: Vis hvorledes tallene er beregnet. Kurt arbejder på Udby Marmeladefabrik. Han tjener 10 kr. i timen. Han bliver lovet en lønstigning på % hvert år de kommende år. b: Lav hele tabellen og udfyld den. (Det er helt urealistisk at regne med en fast lønstigning i 1 år, men find tallene alligevel). Antal år () Timeløn i kr. (y) 10,00 16,00 1,0... c: Lav ud fra tallene en graf i et koordinatsystem. d: Hvilken af disse funktioner beskriver Kurts løn? y = y = 10 1,0 y = 10 1,0 Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 år y-akse: 1 cm = 10 kr. Nu skal du regne på Olferts løn. e: Udvid tabellen med en række for Olfert. Tilføj også en graf for Olfert. f: Opstil en funktion for Olferts løn? g: Hvor mange år skal der gå, før Kurt og Olfert tjener det samme? Olfert arbejder på Udby Margarinefabrik. Han tjener 10 kr. i timen. Han bliver lovet en lønstigning på % hvert år de kommende år. h: Hvor mange procent stiger Kurts løn i alt de første fem år? Og hvor mange procent stiger Kurts løn de næste fem år (fra år til år 10)? 10: Lønstigning (fortsat) Forestil dig, at Kurt og Olferts lønninger fortsat stiger med de samme procenttal hvert år. a: Tegn og udfyld en tabel som vist herunder: Antal år Kurts timeløn 10,00 Olferts timeløn 10,00 b: Lav ud fra tallene i tabellen grafer i et koordinatsystem. c: Hvor længe varer det, inden Kurt når en timeløn på 00 kr. i timen? d: Og hvor længe varer det, inden Olfert når en timeløn på 00 kr. i timen? e: Hvor mange år går der, før Kurt tjener kr. i timen? Forslag til akser: -akse: 1 cm = år y-akse: 1 cm = 100 kr. Funktioner Side 8

33 11: Fadøl Kurt og Olfert drikker fadøl på Den Gyldne Giraf. For at spare penge drikker de øllet langsomt. Kurt køber en stor fadøl. Hver time drikker han halvdelen (0%) af det øl, som er tilbage i glasset. Olfert køber en lille fadøl. Hver time drikker han en fjerdedel (%) af det øl, som er tilbage i glasset. a: Hvor meget øl har Kurt tilbage efter en time? b: Hvor meget øl har Olfert tilbage efter to timer? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Den Gyldne Giraf Stor Fadøl 00 ml... kr. Lille Fadøl 00 ml kr. - en Fad gør glad - Antal timer Øl (ml) i Kurts glas 00 1 Øl (ml) i Olferts glas 00 8 d: Lav grafer i et koordinatsystem ud fra tallene i tabellen. e: Hvilken af disse funktioner kan beskrive Kurts øl? y = 00 0 y = 00 0,0 f: Opstil selv en funktion for Olferts øl 00 y = g: Hvornår er der lige meget øl i Kurts og Olferts glas? Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 time y-akse: 1 cm = 0 ml 1: Biler a: Hvor meget er en ny Renaudi dyrere end en ny Skoyota? Giv både et svar i kr. og et svar i procent. Begge biler taber 0% i værdi om året. b: Lav og udfyld en tabel som denne: Udby Auto Fabriksnye modeller Skoyota Renaudi Alder i år Værdi Skoyota Værdi Renaudi c: Lav grafer i et koordinatsystem. d: Opstil funktioner for begge biler. e: Hvor mange procent er en 10 år gammel Renaudi mere værd end en 10 år gammel Skoyota? a: Hvor mange procent er hver af bilerne i alt faldet? Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 år y-akse: 1 cm = kr. Funktioner Side 9

34 1: Hvad passer sammen? a: b: c: d: e: y y y y y = 1,0 A: En startværdi på og et fald på % (f om året). = 0,98 B: En startværdi på og en stigning på 0,% (f om året). = 1, C: En startværdi på og en stigning på % (f om året). = 0,8 D: En startværdi på og en stigning på 0 % (f om året). = 1,00 E: En startværdi på og et fald på 0% (f om året). 1: Tegn grafer for (nogle af) funktionerne i opgaven ovenover. 1: Tegn - for 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = 1, g() = 8 1,1 Find også skæringspunktet (cirka-tal) mellem f og g. h() = 1,1 16: Tegn - for 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = 0 0,8 g() = 10 0,9 Find også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). 17: Flere i arbejde a: Kontroller at der er blevet 1% flere ansatte på Udby Margarinefabrik på et år. b: Kontroller også at der er blevet 0% flere ansatte på Udby Marmeladefabrik på et år. Hvis stigningerne fortsætter med det samme antal procent, kan antallet af ansatte på Udby Margarinefabrik beregnes med denne funktion: y = 7 1,1 er antal år, og y er antal ansatte. c: Lav selv en tilsvarende funktion for antal ansatte på Udby Marmeladefabrik Flere i arbejde i Udby På Udby Margarinefabrik er der nu ansat medarbejdere. Sidste år var der kun 7 ansatte, så der er sket en stigning på 1% på et år. På Udby Marmeladefabrik er der nu ansat 8 medarbejdere. Sidste år var der kun 0 ansatte, så der er sket en stigning på 0% på et år. På begge fabrikker forventer man, at stigningerne vil fortsætte med samme takt de kommende år. d: Lav tabel og grafer der viser antal medarbejdere på begge fabrikker 10 år frem i tiden. Gå ud fra at tallene fortsat vokser med 1% og med 0%. e: Hvornår vil der være flest medarbejdere på Udby Marmeladefabrik Funktioner Side 0

35 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner 18: Indbyggertallet i Gedebjerg Tallene i teksten til højre er fra år 010. a: Hvor mange indbyggere vil der være i år 01, hvis model 1 passer? b: Hvor mange indbyggere vil der være i år 011, hvis model passer? c: Hvor mange indbyggere vil der være i år 01, hvis model passer? d: Lav og udfyld en tabel som den viste: Indbyggertallet vokser voldsomt i landsbyen Gedebjerg. Der bor lige nu 800 mennesker i byen, og man har to modeller til beregning af befolkningen de kommende år. Model 1: Indbyggertallet vokser med 0 personer om året. Model : Indbyggertallet vokser med % om året. År (efter 010) Indbyggertal efter model Indbyggertal efter model 800 e: Lav grafer ud fra tallene i tabellen. f: Hvilken af disse funktioner passer til model 1 ( er antal år, og y er indbyggertallet)? y = y = 800 1,0 g: Hvilken af disse funktioner passer til model? y = y = 800 1,0 y = 800 1,0 y = 800 1,0 h: Beregn også vha. begge modeller indbyggertallene for årene 0, 0 og 00. i: Hvornår vil graferne skære hinanden, hvis man forlænger dem? 19: Trafikale problemer En prognose siger, at antallet af biler på ringvejen vil vokse med 8% om året. En anden prognose regner med en stigning på 00 biler om året. a: Lav ud fra prognoserne tabeller og grafer der viser trafikken de kommende 10 år? b: Undersøg for begge modeller hvornår trafikken vil være fordoblet. c: Hvor skærer graferne hinanden? Trafikale problemer Trafikken på Udby Ringvej stiger støt. Der er ofte kødannelse, og der kører ca..000 biler i døgnet. Vejvæsnet oplyser, at der først kan blive tale om at udvide vejen, når trafikken er fordoblet. d: Opstil funktioner for begge modeller ( er antal år, og y er antal biler i døgnet) Funktioner Side 1

36 0: Afskrivning af pakke-maskine a: Find maskinens værdi om et år, hvis den nedskrives med 0% om året. b: Find maskinens værdi om et år, hvis den nedskrives med kr. om året? c: Find maskinens værdi om tre år, hvis den nedskrives med 0% om året. d: Find maskinens værdi om tre år, hvis den nedskrives med kr. om året? e: Tegn og udfyld en tabel som den viste: Udby Margarinefabrik har Købt en ny pakke-maskine til kr. Investeringer i den størrelse skal afskrives over en årrække, og direktør Regner Skab oplyser, at man kan vælge imellem at: - nedskrive værdien med 0% om året - nedskrive værdien med kr. om året Maskinens alder i år Maskinens værdi ved afskrivning: med 0% om året med kr. om året f: Lav grafer for begge afskrivningsmodeller. g: Hvor skærer graferne hinanden? h: Hvornår er værdien halveret ved hver af afskrivningsmetoderne? i: Hvilken af disse funktioner passer til afskrivning med 0% om året? y = y = ,80 y = j: Hvilke af disse funktioner passer til afskrivning med kr. om året? y = Forestil dig at man vælger afskrivning med 0% om året. y = ,90 y = k: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på kr.? l: Hvor mange år går der, før maskinens værdi er nede på 0 kr.? Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 år y-akse: 1 cm = kr. 1: Tegn - for 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = 1, + g() = 1, Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). : Tegn - for 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = 0,8 + 1 g() = 1 0,8 Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). Funktioner Side

37 Potensfunktioner : Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at lave og udfylde en tabel som denne: f() = og g() = f() g() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A-ark og vælge disse enheder: På -aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 10. : Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: f() = og g() = og h() = 0,. Start med at lave og udfylde en tabel som denne: f() g() h() Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A-ark og vælge disse enheder: På -aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 0. Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret. OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt. Prøv at forklare hvorfor. : Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen Hvad er a og b i disse potensfunktioner? a: y = 117 b: 6 y = c: y y a = b. - = d: y = 1 6: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b: a: a = 0, b = b: a = 10 b = 1 y c: a = -1 b = 1 a = b. d: a = 1 b = Funktioner Side

38 7: Fliser Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske, og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk. a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt, hvis du lægger fliser på hver led? b: Hvor mange fliser er der på hver led, hvis der i alt er lagt 100 fliser? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Antal fliser på hver led () 0 1 o.s.v. Antal fliser i alt (y) Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for systemets skyld d: Lav i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: y = y = y = 8: Fliser (fortsat) Fliserne er 0 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig, at du lægger fliserne på et kvadratisk område. a: Hvad er arealet (i m ) af en flise? b: Hvor mange fliser skal der til en m? c: Hvad er arealet af hele området, hvis der er lagt fliser på hver led? d: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 cm 0 cm Antal fliser på hver led () 0 1 o.s.v. 10 Antal m med fliser (y) e: Lav i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. f: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: y = y = 0, y = + Funktioner Side

39 9: Rumfanget af en terning Rumfanget kan beregnes med formlen V = s, hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde. Hvis s måles i cm, får man V i cm (eller ml). a: Lav og udfyld en tabel som den viste: s (cm) 0 1 osv. 10 V (cm ) b: Lav en graf ud fra tabellen. c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor! d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver: - 1 liter = ml = cm? - 1 dl = 100 ml = 100 cm? - 1 cl = 10 ml = 10 cm? 0: Bremselængde Kik på teksten og tabellen til højre. a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive sammenhængen mellem hastighed () og bremselængde (y): y = 0,1 y = 0,00 10 y = Når du har fundet den rigtige funktion, skal du lave en graf i et koordinatsystem. Start med at lave og udfylde en tabel som denne: 0 0 o.s.v. 10 y Bremselængde Bremselængden for en bil vokser, når hastigheden vokser. De helt præcise tal afhænger også af bilen, vejen og vejret, men her er nogle typiske tal: Hastighed Bremselængde i km/time i meter, Forslag til akser: -akse: 1 cm = 10 km/t y-akse: 1 cm = 10 m b: Aflæs på din graf (cirka-tal): - bremselængden når hastigheden er 90 km/time. - hastigheden når bremselængden er 0 m. c: Kan du kontrol-beregne svarerne fra b? Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr. Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange. d: Lav i samme koordinatsystem som før en graf for bremselængden i regn-vejr. Funktioner Side

40 1: Side-længden på et kvadrat Side-længden (s) afhænger af arealet (A). Tegningerne viser et par eksempler. A = cm s = cm A = 9 cm s = cm a: Lav og udfyld en tabel som denne: A (cm ) osv. s (cm) b: Lav en graf ud fra tabellen. c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er, og side-længden er y. d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den! Prøv at forklare hvorfor. Kik tilbage på opgave 9. Den med kant-længden og rumfanget for en terning e: Lav og udfyld en tabel som denne: V (cm ) osv. s (cm) f: Lav en graf ud fra tabellen. g: Opstil en funktion, hvor rumfanget er, og kantlængden er y. Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion. : Dykning Den tid, som en dykker højst må være under vand, afhænger af vand-dybden. Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden: y =.000 -,1 er vand-dybden i meter, og y er tiden i minutter. a: I hvor lang tid må en dykker opholde sig i en vanddybde på 1 m? b: Lav og udfyld en tabel som denne: y c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. d: Hvilken vand-dybde svarer til en tid på min? Hvis dykkere er for lang tid under vand, risikerer de at få dykkersyge. Der er også regler for, hvor lang tid dykkere skal bruge på at svømme ned og op. Den tid skal lægges til, hvis man vil finde den samlede neddykningstid. Funktioner Side 6

41 : Hestefoder og hundefoder Man kan med god tilnærmelse beregne hestes behov for foder med denne funktion: f() = 0,0 0,7 er hestens vægt i kg, og f() er antal foderenheder pr. dag. a: Lav og udfyld en tabel som denne: Foderenheder Der er ikke lige meget næring i alle slags dyrefoder. Derfor bruger man foderenheder. En foderenhed svarer f til ca. 1 kg korn eller ca. kg hø eller ca. kg halm f() b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. c: Hvor meget vejer en hest, som har brug for foderenheder pr. dag? d: En hest på 7 kg får 00 g korn om dagen. Resten af foderet er en blanding af hø og halm. Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have. e: En hest vejer 0 kg. Hestens ejer køber 0 kg korn, 10 kg hø og 00 kg halm. Hvor lang tid er der foder til? For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud: h() = 0,7 er hundens vægt i kg, og h() er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj). f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion. g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund. Undersøg om funktionen passer på jeres hunde. I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger. Funktioner Side 7

42 Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 9 To ligninger med to ubekendte... Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 8

43 Omskrivning af ligninger og formler 1: Claus og Christina skal dele 100 kr. De behøver ikke at få lige mange penge. Claus beløb kaldes. Christinas beløb kaldes y. a: Lav og udfyld en tabel som denne: y. Sammenhængen mellem og y kan beskrives ved ligningen + y = 100 b: Omskriv ligningen til en lineær funktion. c: Tegn en graf for funktionen. Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder. : Lars vil købe kager og minirugbrød for 0 kr. Antal kager kaldes. Antal minirugbrød kaldes y. a: Hvor mange kager kan han højst få? b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få? c: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 1 Brødkiosken Kager kr. Minirugbrød... kr. y d: Beskriv sammenhængen mellem og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. : Mette skal købe æbler og pærer for 7 kr. Antal kg æbler kaldes. Antal kg pærer kaldes y. a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få? b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få? c: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 1 osv. y Æbler 1 kr. pr. kg. Pærer 0 kr. pr. kg. Frugt og grønt d: Beskriv sammenhængen mellem og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 9

44 : Hvilke formler passer sammen? a: y = + A: = y : b: y = B: = y I formlerne med i anden og kvadratrod skal du kun tænke på og y som positive tal. c: y = C: = y d: y = : D: = y + e: y = E: y f: y = F: = y : Hvilke formler passer sammen? a: R = S + T A: = Hvis opgaverne er svære, kan du starte med at tænke på R, S og T som tal, der passer sammen. F som tallene 1, 7 og i a: R S = aa: T = S R T b: R = S T B: S = R T bb: T = R S c: R = S T C: S = R T cc: d: R = S : T D: S = R + T dd: T = S R R T = S 6: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 10 + y = 0 A: y = + b: 8 + y = 6 B: y = c: + 0,y = 1 C: y = d: 6y = 1 D: y = + 1 7: Omskriv disse ligninger til lineære funktioner: a: + y = 8 b: y = c: y = + y Tegn evt. også graferne for funktionerne (ligningerne). Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 0

45 8: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: y = b: = A: y = + C: y = y c: + y = d: y = B: y = D: y = e: y = f: y = E: y = F: y = + 9: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 6y + 8 = y + A: y = 0, b: y = y + 6 B: y =, c: + y = y C: y = + d: + = y D: y = 1 10: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: + y 7 = ( ) A: y = y b: = 8 B: y = + 6 c: ( + ) = (y ) C: y = + y d: = + y D: y = 11: Omskriv formlen for rumfanget (V) af en kasse V = l b h så.. a: længden (l) står alene b: bredden (b) står alene c: højden (h) står alene 1: Omskriv formlen for arealet (A) 1 af en trekant A = h g så.. a: højden (h) står alene. b: grundlinien (g) står alene. 1: Omskriv formlen for arealet (A) 1 af et trapez A = h (a + b) så.. a: højden (h) står alene. b: siden a står alene. Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 1

46 1: Formlen for omkredsen (O) af en cirkel O = π r skal omskrive, så radius (r) står alene. a: Hvilke af formlerne til højre kan bruges? r = b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og omkreds: O π r = O : π r = O : : π r = O : ( π) r O = π r Radius (r) i cm Omkreds (A) i cm c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og omkreds. d: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem omkreds og radius: Omkreds (A) i cm Radius (r) i cm e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem omkreds og radius. f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til: - en cirkel med radius, cm - en cirkel med omkreds cm 1: Formlen for arealet (A) af en cirkel A = π r skal omskrive så radius (r) står alene. a: Hvilken af formlerne til højre kan bruges? r = A π r = A π r b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og areal: A = π r Radius (r) i cm Areal (A) i cm c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og areal. d: Lav og udfyld en tabel der sammenhængen mellem areal og radius: Areal (A) i cm Radius (r) i cm e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem areal og radius. f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til: - en cirkel med radius, cm - en cirkel med areal 9 cm Formler, ligninger, funktioner og grafer Side

47 16: Rektangel længde, bredde og areal a: Find arealet af et rektangel med længden 8 m og bredden m. b: Et rektangel har arealet 0 cm og længden 7, cm. Hvad er bredden? c: Omskriv formlen således, at længden står alene. d: Omskriv også formlen således at bredden står alene. Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har arealet cm. e: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde: Længde (l) i cm Bredde (b) i cm f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b. g: Lav en tilsvarende tabel og graf for et rektangel på 10 m. Rektangel A = l b længde bredde 17: Rektangel længde, bredde og omkreds a: Find omkredsen af et rektangel med længden 10 m og bredden m. b: Formlen for omkredsen af et rektangel skal omskrives, således at længden står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? O - b O l = l = O - b : l = ( O - b) : l = b c: Omskriv selv formlen, således at bredden står alene. Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har omkredsen 0 cm. b l = O - d: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde: Længde (l) i cm Bredde (b) i cm e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b. Rektangel O = l + b længde bredde 18: Omskriv disse formler så kommer til at stå alene: a: y = + b: y = + 19: Omskriv disse formler så og y kommer til at stå alene. Der er altså to svar pr. opgave: a: z = + y b: y = + y Formler, ligninger, funktioner og grafer Side

48 To ligninger med to ubekendte 0: Line skal købe 0 stykker frugt til sin klasse. Hun må købe for 100 kr., og hun vil gerne have flest mulige appelsiner. Antal bananer kaldes. Antal appelsiner kaldes y. Fredes Frugtbod Bananer Appelsiner kr. pr. stk. kr. pr. stk. a: Sammenhængen mellem og y kan beskrives ved to af disse ligninger. + y = 0 + y = y = 0 + y = 100 Find de rigtige ligninger: b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner c: Lav -y-tabeller og tegn grafer for funktionerne d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe? 1: Peter skal købe 0 flasker vin til en stor fest. Han må købe for 1.00 kr., og han vil gerne have flest mulige flasker af den dyre vin. a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. Fine vine Château Henri Pr. flaske kun 0 kr. Château Superb Pr. flaske kun 0 kr. : Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem. Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde. Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå. Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes. Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y. km/t 7 km/t a: Hvor mange min. tager det Mahmut at gå en km? c: Find og y ved at løse disse to ligninger: + y = 0 0 km b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone at køre en km? Den tid det tager at gå km = Den tid det tager at køre y km d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme? Formler, ligninger, funktioner og grafer Side

49 : Løs (nogle af) disse ligningssystemer. Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne. a: + y = 1 b: + y = 8 y = 0 + y = c: e: g: i: + y = 7 d: + y = + y = 16 f: + y = + y = h: y = y = j: + y = 8 + y = + y = 10 y = 0 y = + y = + y = + y = 7 8 y = 1 : Løs disse ligningssystemer. Du kan kun løse dem ved at tegne grafer. a: + y = 16 b: y = y = 1 y = : Løs (nogle af) disse ligningssystemer. Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne. a: y = 6 b: + y = + y = y = 6 c: e: g: 10y = 10 d: + y = + y + 7 = + y 7 f: + y + 1 = + y + + y = ( ) h: + y = 1 y = + y = 6 + 6y = + y y + = y y = ( y) + ( + y) =, + y + 7 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side

50 Bogstavregning Formler...7 Reduktion...8 Ligninger...0 Bogstavregning Side 6

51 Formler 1: Regn (nogle af) disse opgaver med formler: a: Beregn: R = p, p når: p = c: Beregn: c =,1 d når: d =, og e = e: Beregn: r = 0,9 e p q når: a = og q = 117 g: Beregn: 0, z = 8 y når: =, og y = 1,6 i: Beregn: B C A = (B+ 1,7) (C,9) når: B = 6,1 og C = 9, k: Beregn: K = j 17 når: j = 189 m: Beregn: T = u når: u = 8 o: Beregn: L = 0,8 M når: M = 6,7 u,8,7 M 0,7 b: Beregn: y = 0, når: = d: Beregn: b =,8 når: a = 98 f: Beregn: a L = (,8m n) + når: m = 9, og n = 1,7 h: Beregn:,1 v + 1,7 U = w når: v = 9, og w = 18 m+ 0, n j: Beregn: 1 1 D =, F+,,7 F når: F = l: Beregn: T = 11,7(1 r) når: r = 0,11 og s = 8 n: Beregn: F =.70,8 G s H når: G = 6, og H = p: Beregn: B = 119 når: A = 106,, A Bogstavregning Side 7

52 Reduktion : Reducer (nogle af) disse udtryk: a: 7a a + a b: 9b + b + b 1 c: u v + + u + v d: e: y + + y 1 f:,9a +,b + 0,9a,8b g: 6a + + 8a 1 h: 1 : + + i: z z + z + z z + 7 u 16 j: 1y z + (6z y) z k: 7(y + ) + (9y 1) : l: + u 8 m: 1 (a + 7) + a n: 7u (u + ) + 1 o: 9c (d c) + 10d : Hvilke udtryk er ens? a: (a+ )(a ) A: a + 0a 16 b: ( a+ )(a+ ) B: a + 1a 16 c: (a )(a ) C: a + 16a+ 16 d: ( a )(a+ ) D: a 16 e: ( a 8)(a+ ) E: a 16a+ 16 f: ( 8a )(0,a+ ) F: a 16 : Hvilke udtryk er ens? a: a + 6ab A: ( a b) b: 1a b B: a(b+ ) c: 1a b C: 6 (a+ b) d: 6 a+ 8b D: a(a+ b) e: 6 ab+ a E: (a+ b) f: 6 a+ 1 b F: (a b) Bogstavregning Side 8

53 : Hvilke udtryk er ens? a: + b: 6 y+ y y A: B: + c: d: C: + D: + 6: Hvilke af disse udsagn er sande? a: ( b) = b b: ( b) = 9b c: ( a ) = a d: b = b e: 6 a = a f: 16 b = 8b g: 16 b = b h: b = b i: b = b j: a a = k: a a = l: a = a 7: Reducer (nogle af) disse udtryk: a: a a 6 b: a 6 b a b c: a a a a d: a b a b e: 7 : f: y y g: ( ) a b h: 9 b i: (b) b j: (q) (p) k: 6 y : : y l: 8 b 9 m m: m n: p q p q b o: a 8: Reducer (nogle af) disse udtryk: a: a 7 a b: b 6 c b c c: z z 8 d: g: a m m 7 y y e: 9 a y 7 a h: f: c c c i: a c c a Bogstavregning Side 9

54 Ligninger 9: Løs (nogle af) disse ligninger: a: 1 9 = 110 b: 7 = : c: 1 7 = 10 d: = e: = 1 8 f: 7 = g: + 6( ) = + 1 h: 1 = 7 i: + = 11 j: 1 9 = k: 1, + ( ) + 10 = 0 l: :, = 1 m: 7,9,6 = n: = 8, 1, o:, =,1 10: Løs (nogle af) disse ligninger: ( + ) a: = d: + 1 = 17 b: e: 8( + ) 7( 9) 0 = c: = 1 6 ( + ) = f: 16 + = g: 11(17 ) = h: 1 = i: 1 + = : Løs (nogle af) disse ligninger: a: 1,8 = 1, 1 b: = 8 c: = 0, 0001 d:, = 7 e: = 8 + 9,6 = 60 f: = 0, 01,7 g: =, 1 1, 7,7 + h: + 1, = i: = 16 1: Løs (nogle af) disse ligninger: a: = b: = 1, c: 8 = 0, 6 d: = 1, 18 e: = 6 f: = 6, g: 8 = 70 h: ( ) 11 + = i: + 1 = Bogstavregning Side 0

55 Procent og eksponentiel vækst Procent og decimaltal... Vækst-fomlen; K n er ukendt... Vækst-fomlen; K 0 er ukendt...6 Vækst-fomlen; r er ukendt...7 Vækst-fomlen; n er ukendt...8 Når du regner opgaverne fra side og fremefter, skal du bruge vækstformlen. Formlen skrives normalt på denne måde: K + n n = K 0 (1 r) K n = slutværdi K 0 = startværdi r = vækstprocenten som decimaltal n = antal ændringer Det er meget vigtigt, at du er klar over, at vækstformlen er i familie med eksponentialfunktionen, der normalt skrives på denne måde: y = b a Du kan finde opgaver med eksponentialfunktionen i et andet afsnit. Det kan være lidt forvirrende, men de to formler/funktioner udtrykker faktisk præcis det samme rent matematisk. Procent og eksponentiel vækst Side 1

56 Procent og decimaltal 1: Nye ejere og højere løn a: Yrsa Olsen arbejder hos Udby Data. Hun plejer af få.0 kr. pr. måned. Hvad bliver hendes nye løn? b: Hvilken af disse regne-modeller passer: Ny løn = Gammel løn 0, 10 Ny løn = Gammel løn 1, 10 c: Olfert Eriksen arbejder også hos Udby Data. Han kommer nu til at få 9. kr. pr. måned. Hvad var hans gamle løn? Nye ejere og højere løn Udby Data er netop blevet overtaget af det amerikanske firma MicroBill A/S. De nye ejere startede med at bevillige alle ansatte en lønstigning på 10%. Tilfredse medarbejdere arbejder mere, så vi forventer hurtigt at tjene pengene ind igen, siger en repræsentant for det amerikanske firma. : Mindre eksport og lavere løn a: Olga Isaksen arbejder på Knapfabrikken. Hun plejer af få 1.0 kr. pr. måned. Hvad bliver hendes nye løn? b: Hvilken af disse regne-modeller passer: Ny løn = Gammel løn 0, 9 Ny løn = Gammel løn 0, 0 c: Eskild Ugleby arbejder også på Knapfabrikken. Han kommer nu til at få.68 kr. pr. måned. Hvad var hans gamle løn? Mindre eksport og lavere løn Alle medarbejdere på Knapfabrikken har indgået en frivillig aftale med firmaet om en lønnedgang på %. Alternativet var desværre fyringer pga. de svigtende eksportindtægter, udtaler fællestillidsmanden. : Dyrere Biler a: Kontroller at den nævnte pris-stigning på Basis-modellen passer med to stigninger på hver %. b: Hvilke af disse regne-modeller passer: Ny pris = Gammel pris 1, 10 Ny pris = Gammel pris 1,0 1, 0 Ny pris = Gammel pris 1,0 c: En XPL-model kommer efter sidste prisstigning til at koste 0.70 kr. Hvad koster denne model nu? Dyrere Biler Autogården i Skrubberup fortæller, at priserne på alle Skoyota-modeller vil blive sat op to gange i nær fremtid. Priserne stiger i næste uge med %, og til efteråret kommer der endnu en prisstigning på %. Basis-modellen stiger fra kr. til kr., og alle andre modeller stiger tilsvarende. Procent og eksponentiel vækst Side

57 : Lønaftale a: Undersøg om det kan passe, at en timeløn på 11, kr. ender med at stige til 17,60 kr. b: Prøv at forklare denne regne-model: Ny løn = Oprindelig løn 1,0 1,0 1, 0 c: Find den nye løn (efter alle stigninger) for en medarbejder, der i dag får 1,0 kr. i timen. d: Undersøg om det kan passe, at den samlede lønstigning bliver på næsten 1,%. (husk at % + % + % kun giver 1%) I opgave e skal du regne baglæns. Brug evt. regnemodellen fra opgave b. e: En medarbejder ender efter aftalen med en timeløn på 1,1 kr. Hvad er medarbejderens timeløn nu? Lønaftale i hus på fjerkræslagteri På Andebjerg Fjerkræslagteri har man netop aftalt, at alle lønninger i år skal sættes op med %. Man har desuden allerede nu aftalt, at lønningerne næste år hæves med % og året efter med yderligere %. Aftalen betyder, at de lavest lønnede medarbejdere, der i dag får en timeløn på 11, kr., kommer op på 17,60 kr. Den samlede lønstigning for alle tre år bliver således på næsten 1,% Både ledelse og medarbejdere er godt tilfredse med den nye lønaftale. f: En medarbejder vil efter det første års lønstigning få en timeløn på 1,7 kr. Find både medarbejderens nuværende løn og medarbejderens løn efter alle tre stigninger. : Vurder om disse udsagn kan være rigtige: a: Hvis man først hæver en pris med % og efterfølgende sænker prisen med 0%, så er man tilbage ved den oprindelige pris Rigtigt Forkert b: Hvis man først sænker en pris med 0% og efterfølgende hæver prisen med %, så er man tilbage ved den oprindelige pris. Rigtigt Forkert c: Hvis man først sænker en pris med 0% og efterfølgende sænker prisen med yderligere 0%, så er den oprindelige pris faldet med 100%. Rigtigt Forkert d: Hvis man først hæver en pris med 0% og efterfølgende hæver prisen med yderligere 0%, så er den oprindelige pris vokset med 1%. Rigtigt Forkert e: Hvis man først hæver en pris med 100% og efterfølgende hæver prisen med yderligere 100%, så er den oprindelige pris vokset med 00%. Rigtigt Forkert Find selv de rigtige svar de steder, hvor udsagnet er forkert. Procent og eksponentiel vækst Side

58 Vækst-fomlen; K n er ukendt 6: Børneopsparing Der indsættes.000 kr. på et nyfødt barns opsparing. Der indsættes kun penge den ene gang. a: Hvor mange penge står der, når barnet fylder 1 år? b: Hvor mange penge står der, når barnet fylder 18 år? 7: Boliglån Du tager et boliglån på kr. Du skal ikke betale afdrag de første fire år, men der tilskrives rente. Hvor stor er gælden efter fire år? Omegnsbanken Rentesatser på indlån Anfordring... 0,% p.a. Aktionærkonto...,% p.a. Børneopsparing...,0% p.a. Rentesatser på udlån Billån... 6,0% p.a. Boliglån... 9,0% p.a. Kassekredit...1,0% p.a. 8: Aktionærkonto Du vinder 7.19 kr. i Lotto (tillykke med det!). Pengene indsættes på en aktionærkonto. a: Hvor mange penge står der på kontoen efter tre år? b: Hvor mange penge står der på kontoen efter ni år? Resultatet af sådanne opgaver passer kun præcist, hvis lånet (opsparingen) oprettes på "terminsdagen" (ofte til nytår). Men selv om dette ikke er tilfældet, får du udmærkede cirka-tal med "K n -formlen". 9: Flere indbyggere i Udby Tallene i teksten er fra år 010 a: Hvor mange indbyggere forventer man, at der vil være i Udby Kommune i år 01? b: Hvor mange af disse indbyggere forventes at ville bo i selve Udby? c: Find de forventede indbyggertal for Skrubberup og Sildested i år 01. d: Vurder om disse udsagn er sande: - den andel af kommunens indbyggere, der bor i selve Udby forventes at falde de kommende år. - hvis den forventede udvikling fortsætter, så vil Sildested være større end Skrubberup i år 0. Forestil dig (og det er urealistisk) at stigningerne kan forsætte som beskrevet i rigtig mange år. e: Find kommunens indbyggertal i år 060. Flere indbyggere i Udby Indbyggertallet er støt stigende, og der bor nu 1.8 i Udby Kommune. Heraf bor hele 8.67 i selve Udby. De næststørste byer i kommunen er Skrubberup med 1.7 indbyggere og Sildested med 1.00 indbyggere. Man forventer, at hele kommunens indbyggertal de kommende år vil stige med 1,7% pr. år. Stigningerne i de nævnte byer bliver 1,% i Udby, 0,9% i Skrubberup og hele,% i Sildested. Alle procenttal er pr. år. Borgmester Frede Fitofte glæder over udsigten til flere skatteborgere. Procent og eksponentiel vækst Side

59 10: En bil koster fra ny kr. Dens værdi falder med 1% om året. Hvor meget er bilen værd, når den er seks år gammel? 11: En computer koster fra ny kr. Dens værdi falder med % om året. Hvor meget er computeren værd, når den er tre år gammel? 1: Færre indbyggere i små byer Tallene i teksten er fra år 010. a: Hvor mange indbyggere forventer man, at der vil være i Gåsedal i år 01? b: Hvor mange indbyggere forventer man, at der vil være i Andebjerg i år 016? c: Vurder om disse udsagn er sande: - hvis udviklingen i Gåsedal fortsætter som forventet, så vil indbyggertallet være halveret i år hvis udviklingen i Andebjerg fortsætter som forventet, så vil indbyggertallet først være halveret om cirka 0 år. Færre indbyggere i små byer Selv om indbyggertallet er stigende, for Udby Kommune som helhed, så bliver der færre menneske i Gåsedal og Andebjerg. Gåsedal har kun 0 indbyggere, og tallet forventes at falde med,% pr. år. Det ser lidt bedre ud i Andebjerg, hvor der lige nu bor 699 mennesker. Dette tal forventes kun at falde med 0,% pr. år. Borgmester Frede Fitofte undrer sig lidt over tilbagegangen. Han siger: "Det er skam nogle rare byer, hvor solen ofte skinner". 1: Prisudvikling Et hus i Sildested er vurderet til kr. a: Hvor meget vil huset være værd om fem år, hvis prisudviklingen fortsætter? b: Hvor mange procent stiger værdien på de fem år? c: Hvorfor er svaret fra opgave b ikke 0%? Et hus i Gåsedal er ligeledes vurderet til kr. d: Hvor meget vil huset være værd om fem år, hvis prisudviklingen fortsætter? e: Hvor mange procent falder værdien på de fem år? f: Hvorfor er svaret fra opgave e ikke 0%? Forskellig prisudvikling Der er stor forskel på hvorledes ejendomspriserne udvikler sig i Udby Kommune. Yderpunkterne er Sildested, hvor priserne typisk stiger % om året, og Gåsedal, hvor priserne omvendt falder med % om året. 1: Sammenlign de rentesatser, der er vist til højre. Du kan f.eks. forestille dig, at du har et træk på kreditten på kr. i præcis et helt år. Rentesatser på kassekredit Omegnsbanken...1% pr. år Lokalbanken... % pr. kvartal Vestbank... 1% pr. måned Procent og eksponentiel vækst Side

60 Vækst-fomlen; K 0 er ukendt I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde K 0. 1: Stigende huslejer a: Kontroller ved beregning, at det passer, at huslejen for en to-værelses lejlighed er sat op med % om året. b: Hvor mange procent er huslejen i alt vokset? (tallet er større end 1%) c: Hvad kostede en tre-værelses lejlighed i 00? d: Hvad kostede en fire-værelses lejlighed i 00? e: Hvad vil huslejerne på de nævnte lejligheder være i 01, hvis stigningen fortsætter? Stigende huslejer Udby Boligselskab har i perioden fra 00 til 010, hvert år hævet alle huslejer med %. Det betyder f, at en to-værelses lejlighed, der i 00 kostede.90 kr. om måneden, nu i 010 koster.08 kr. om måneden. Priserne på Boligselskabets tre- og fire-værelses lejligheder er nu oppe på hhv..67 kr. og.90 kr. 16: Dyre børn a: Undersøg om det kan passe, at prisen på en vuggestueplads er sat op med 8% om året. b: Hvor mange procent er prisen i alt vokset? (tallet er større end %) c: Hvad kostede en børnehaveplads for fire år siden? d: Hvad kostede en dagplejeplads for fire år siden? e: Hvad ville priserne på de nævnte former for børnepasning have været, hvis de havde fulgt den almindelige prisudvikling i samfundet? Dyre børn i vores kommune Prisen på børnepasning er gennem de sidste fire år sat op med hele 8% om året. En vuggestueplads er på de fire år steget fra præcis.00 kr. pr. måned til.99 kr. pr. måned. En børnehaveplads er kommet op på 190 kr., mens en dagplejeplads nu er helt oppe på.90 kr. pr. måned. Den almindelige prisudvikling har i samme periode været ca. % pr. år. 17: Hvor mange trafikulykker med alvorlig personskade skete der i 000? I år 010 skete der i regionen 8 trafikulykker med alvorlig personskade. Det lyder af mange, men tallet er i gennemsnit faldet med % om året siden : Hjorte i Vestskoven a: Hvor mange hjorte var der i Vestskoven for år siden? b: Er det rimeligt at påstå, at antallet er blevet næsten halveret på år? Antallet af hjorte i Vestskoven er pga. sygdom blandt dyrene faldet voldsomt de seneste år. Ingen kender de præcise tal, men et gæt lyder på, at der lige nu er ca. 90 hjorte. Faldet har i en årrække været på omkring 1% om året. Procent og eksponentiel vækst Side 6

61 Vækst-fomlen; r er ukendt I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde r. 19: Hvor mange procent har Yrsa i gennemsnit fået i årlig rente af pengene fra morfar? Da Yrsa blev født forærede hendes morfar hende kr. Pengene blev indsat på en opsparingskonto. Da Yrsa fyldte 18 år, kunne hun hæve.8 kr. fra kontoen. 0: Trafikale problemer a: Hvor mange procent ar antallet af biler i gennemsnit vokset pr. år? b: Hvor mange biler vil der køre på vejen om tre år, hvis udviklingen fortsætter? (uændret årlig vækstprocent ) Læg nu din regnemaskine til side. c: Kan du (uden at bruge regnemaskine) tænke dig til, hvor mange biler der vil køre på vejen om 10 år? Hvis du ikke kan, så må du bruge regnemaskinen. Turister giver mere trafik I sommermånederne kører der nu ca..000 biler i døgnet på vejen mellem Sildested og Skrubberup. For ti år siden var tallet kun det halve. Beboerne er glade for de mange turister, men bekymrede over trafikforholdene. 1: Færre indbrud a: Beregn det gennemsnitlige årlige fald i antallet af indbrud målt i procent. b: Hvor mange indbrud vil der ske i 01, hvis udviklingen fortsætter? Markant fald i antallet af indbrud Antallet af indbrud er faldet i Udby gennem de senere år. I 00 blev der anmeldt 1 indbrud. I år 010 modtog politiet kun 180 anmeldelser. : Bil- og cykeltyverier a: Beregn den gennemsnitlige årlige stigning i antallet af bil-tyverier målt i procent. b: Beregn det gennemsnitlige årlige fald i antallet af cykel-tyverier målt i procent. Flere bil-tyverier og færre cykel-tyverier Antallet af bil-tyverier i Udby er vokset gennem de senere år. I 00 blev der anmeldt 87 tyverier. I år 010 var antallet vokset til 1. Antallet af anmeldte cykel-tyverier er til gengæld blevet halveret i den samme periode. Helt præcist fra 1 tyverier i 00 til 6 tyverier i år 010. c: Hvor mange bil-tyverier vil der ske i 01, hvis udviklingen fortsætter? d: Kan du (uden at bruge regnemaskine) tænke dig til, hvor mange cykel-tyverier der vil ske om fem år, hvis udviklingen fortsætter? (ellers må du bruge regnemaskine) Procent og eksponentiel vækst Side 7

62 Vækst-fomlen; n er ukendt I de fleste af opgaverne herunder (men ikke dem alle) skal du finde n. : Opsparing i Omegnsbanken (I) Der indsættes kr. på en konto. Hvor lang tid går der inden beløbet (med renter) er vokset til kr., hvis a: pengene indsættes på en børneopsparing? b: pengene indsættes på en aktionærkonto? c: pengene indsættes på en anfordingskonto? Omegnsbanken Rentesatser på indlån Anfordring... 0,% p.a. Aktionærkonto...,% p.a. Børneopsparing...,0% p.a. Rentesatser på udlån Billån... 6,0% p.a. : Opsparing i Omegnsbanken (II) En glad bedstemor opretter en børneopsparing til sit nyfødte barnebarn. Hun indsætter straks kr. a: Hvornår er beløbet fordoblet? Boliglån... 9,0% p.a. Kassekredit...1,0% p.a. b: Hvor meget hurtigere blev beløbet fordoblet, hvis renten i stedet var 6% p.a.? : Kassekredit i Omegnsbanken Du opretter en kassekredit og trækker straks kr. Så glemmer du alt om kreditten, indtil du får et brev fra banken. I brevet står der, at dit træk nu er oppe på kr. a: Hvor lang tid er der gået siden du oprettede din kassekredit? Forestil dig, at du fortsat får lov at beholde kreditten uden at indbetale penge. b: Hvor mange år går der yderligere, inden dit træk når kr.? 6: Skarvø Oplysningerne til højre er fra år 010. a: Hvornår vil indbyggertallet nå ned på 00, hvis udviklingen bliver som forventet? b: Hvornår vil indbyggertallet være halveret, hvis udviklingen bliver som forventet? c: Nogle folk tror imidlertid, at indbyggertallet vil være halveret allerede om ti år. Hvilken gennemsnitlig årlig vækstprocent regner de med? På Skarvø er indbyggertallet gennem en årrække faldet. Der bor lige nu kun 68 mennesker på øen. Man forventer at tallet i gennemsnit vil falde med % om året de kommende år. De fleste beboere er ældre mennesker, der falder fra, som årene går, og det er sjældent, at der flytter nye folk til øen. Der bliver kun født få børn, og de unge, der rejser fra øen for at få uddanne sig, vender langt fra alle tilbage. Procent og eksponentiel vækst Side 8

63 Blandede og supplerende opgaver Sammensætning af regnearterne Geometri Statistik Talfølger... 7 Funktioner (1): Formler og funktioner Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler Funktioner (): Blandede opgaver Bogstavregning Procent og eksponentiel vækst Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente Lån og opsparing (): Serielån... 9 Lån og opsparing (): Annuitetslån... 9 Lån og opsparing (): Opsparing Blandede og supplerende opgaver Side 9

64 Sammensætning af regnearterne 1: Afgør om disse udsagn er sande: Du skal så vidt muligt svare uden at bruge regnemaskine. a: b: c: d: e: f: g: h: = = + = 8 : = 8 : = = ( 6 ) = ( 6 ) = i: j: k: l: 6 8 = = = = 1 1 m: = n: 9 = 9 o: 9 = 9 1 p: 16 = 16 q: 16 1 = 16 r: 77 0 = 1 s: 77 0 = 0 : Skriv tallet som et almindeligt tal: a: b: c: , : Skriv tallet som en 10-tals-potens: a:, mia. b: c: 0, : Regn regnestykkerne. Helst uden regnemaskine a: b: : Prøv om du både kan regne disse opgaver ved at lave mellemregninger og ved at taste hele regnestykket ind på regnemaskinen i et hug. Afrund selv til et passende antal decimaler. a: b: c: 6.9 d: e: ,.79.1 f:,78 g: 6.0, 978, 7, 7 8 h: i: j: , (, + 0,8) (1 0,07) (1 + 0,7) k:,76 (1 0,0) l: m: n: 1, 8, o: p: q:,8 +, + 9 0, r:, 1 s:, 8 1,817, t: 1, 9 6, , u: 1 1, 9,1 1,8 Blandede og supplerende opgaver Side 60

65 Geometri 1: Tegningerne viser en sekskant og en ottekant. a: Undersøg om siderne i sekskanten er lige lange. b: Undersøg om siderne i ottekanten er lige lange. c: Beregn areal og omkreds af begge figurerne. d: Beregn vinklerne i de to figurer. Brug trigonometri. e: Vurder om figurerne er helt regulære. I en regulær polygon (mangekant) men n sider kan man beregne vinklerne med formlen til højre. f: Undersøg om de vinkler, som du kan beregne med trigonometri, passer med de vinkler, som du kan beregne med formlen., cm 9,0 cm, cm 7,8 cm 7,8 cm,8 cm 8, cm,8 cm v =,8 cm 8, cm,8 cm (n ) 180 o n : Tegningen viser en pap-æske med sekskantede ender. Æsken er 1 cm lang. a: Vis at siderne i sekskanterne er (næsten) lige lange. b: Beregn arealet af sekskanten. c: Beregn overfladearealet af hele æsken. d: Beregn rumfanget af æsken. Der er 0 g chokolade i æsken. Det fylder 7% af æskens rumfang. Resten er luft. e: Hvor mange cm fylder chokoladen?,6 cm 1, cm,0 cm 1, cm f: Hvad er chokoladens massefylde. Lav opgave g og h sammen med en klassekammerat, således at I laver en æske hver.,6 cm g: Tegn en udfoldning af æsken i naturlig størrelse. Tilføj evt. nogle limflapper. Klip udfoldningen ud og fold æsken. h: Tegn, klip og fold også æsken i dobbelt størrelse. Længdeforhold : 1. i: Sammenlign rumfang og overfladeareal af de to æsker. Blandede og supplerende opgaver Side 61

66 : Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter. a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter. b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m. Du kan f gøre det således: - beregn så mange vinkler som muligt - beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter - beregn arealerne af de retvinklede trekanter 7,0 dm - læg arealerne sammen 70º 6º 6º 1 cm,60 m,00 m 110º 16,º 67,º 6,0 m : Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede. Højden fra jorden og op til tagets underkant er,0 m på begge huse. Taget på huset til venstre har en hældning på º. Taget på huset til højre har en hældning på º. a: Sammenlign højden fra jorden og op til tagryggen på de to huse. b: Sammenlign arealet af tagene på de to huse. º º Blandede og supplerende opgaver Side 6

67 : Bordkompagniet De tre øverste borde er regulære polygoner (mangekanter). I en polygon med n sider er vinkelsummen (n ) 180 o a: Find vinkelsummen i hver polygon. b: Find størrelsen af den enkelte vinkel i hver af polygonerne. c: Find diameteren af det runde bord. d: Find tegningernes målestoksforhold. e: Tegn selv på mm-papir (nogle af) bordene i målestoksforholdet 1:10. f: Beregn først højden i den ligesidede trekant. Find derefter arealet af det trekantede bord. g: Beregn også arealet af det trekantede bord med Herons formel: A = s (s a) (s b) (s c) hvor s er den halve omkreds, og a, b og c er sidelængderne Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler for regulære tre-, seks- og otte-kanter: Trekant: A = s Sekskant: A = s Ottekant: A = (1 + ) s hvor s er sidelængden i alle formlerne. h: Kontroller først arealet af trekanten med den øverste formel. Find derefter arealerne af de seks- og otte-kantede borde. i: Sammenlign bordarealet pr. person ved de forskellige borde. Alle bordpladerne er 6 mm tykke og lavet af træ med en massefylde på 0,8 g pr. cm. j: Beregn vægten af (nogle af) bordpladerne. Otte-kantede og runde borde Bordkompagniet Moderne borde til moderne mennesker Begge borde har Model Heagona Sidelængde 60 cm plads til 8 personer Tre- og seks-kantede borde Model Circula Omkreds 80 cm Begge borde har plads til 6 personer Model Triangula Sidelængde 10 cm Model Octagona Sidelængde 60 cm Blandede og supplerende opgaver Side 6

68 6: Affaldskompagniet Model A har form som en keglestub. Model B har form som en pyramidestub. a: Vurder om disse udsagn er rigtige: - Model A rummer ca. ¼ kubikmeter. - Model B rummer ca. ⅔ kubikmeter. b: Find de præcise rumfang af begge affaldsbeholdere målt i liter. Firmaet laver også en "Model C" Modellen har form som en keglestub, men er noget større end Model A. Diameter foroven er 8 cm, diameter forneden er 68 cm og højden er 11 cm. c: Find rumfanget af Model C. Giv svaret i både m og liter. Firmaet laver også en "Model D" Modellen har form som en pyramidestub, hvor både top og bund er kvadrater. Sidelængden foroven er 110 cm. Sidelængden forneden er 8 cm. Højden er 10 cm. Model A Diameter top: Affaldskompagniet Alt inden for affaldsbeholdere 6 cm Diameter bund: cm Højde: Model B 90 cm Mål top: 10 cm 80 cm Mål bund: 90 cm 60 cm Højde: d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m og liter. 90 cm 7: ABC-skålen a: Vis at en ABC-skål med en radius på 6, cm kan rumme ca. 0, liter. b: Vis at en ABC-skål med en radius på 1, cm kan rumme ca. liter. c: Find diameteren i en ABC-skål der kan rumme 1 liter. d: Find radius i en ABC-skål der kan rumme liter. Forestil dig en kæmpe-abc-skål der kan rumme ½ kubikmeter. e: Hvad er radius i skålen? ABC-skålen - et velformet produkt Vores berømte ABC-skåle fås i mange størrelser fra 0, liter op til liter. Alle skålene er halvkugleformede og udført i de absolut bedste materialer. f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,-liter-skålen og -liter-skålen): - når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet. - når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget. Blandede og supplerende opgaver Side 6

69 8: Kuffertkompagniet a: Find rumfanget af hver af de tre forskellige kufferter (regn i liter). b: Find også overfladearealet af hver af de tre forskellige kufferter (regn i dm ). c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at disse udsagn er rigtige: - når man forøger længdemålene med %, så vokser overfladearealet med over 0%. - når man forøger længdemålene med %, så bliver rumfanget næsten fordoblet. d: Vis med et par eksempler, som du selv finder på, at udsagnene også gælder for andre figurer. Mini 6 cm 0 cm 16 cm 198 kr. e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige: Midi 80 cm 0 cm 0 cm 8 kr. Mai 100 cm 6, cm cm 98 kr. Køb alle tre på en gang for kun 698 kr. Kuffertkompagniet Den, der bærer godt, rejser godt - hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 6% - hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 1 %. f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?. 9: Dåsekompagniet a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan rumme ca. 1 dl. b: Hvor høj er en "Mellem" dåse? c: Hvad er radius i en "Stor" dåse? De mål, der er vist til højre, er indvendige mål. Dåserne er lavet af metal med en tykkelse på ca. ½ mm og en massefylde på,8 g pr. cm d: Find rumfang og vægt af det metal der bruges til en "Lille" dåse. e: Hvor mange dåser ("Lille") kan man fremstille af: - en kubikmeter metal? - et ton metal? De dejligste dåser fra Dåsekompagniet Lille Radius,1 mm Højde,8 mm Rumfang Mellem 1 dl Radius 0, mm Højde cm Rumfang Stor Radius dl mm Højde 87,0 mm Rumfang dl Blandede og supplerende opgaver Side 6

70 10: Drikkeglas Alle glassene har form som keglestubbe. Målene er indvendige mål. a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer cl? b: Hvor mange cl rummer "Øl"? c: Hvor høj er "Det store"? d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas der kan rumme ca. 1 cl. e: Lav et selv forslag til mål på et (meget) stort glas der kan rumme ca. 7 cl. Drikkeglas til enhver drik Sodavand - rummer cl Radius foroven, cm Radius forneden, cm Højde 8,8 cm Øl - rummer cl Radius foroven,7 cm Radius forneden,8 cm Højde 9,8 cm Det store - rummer 0 cl Radius foroven, cm Radius forneden, cm Højde cm 11: Oles olietanke a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke ("Ægget" er sammensat af to halvkugler og et cylinder-formet rør). Alle målene er indvendige mål. Alle tankene er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm. b: Find det udvendige rumfang af hver af tankene? c: Til hvilken tank er der brugt mindst materiale sammenlignet med, hvor meget tanken kan rumme? d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke i målestoksforholdet 1:0 (husk "skallen"). Firmaet laver også en "Kæmpekugle", der kan rumme.00 liter. Den er lavet af samme slags materiale som de viste tanke. e: Find den indvendige radius af "Kæmpekuglen" f: Hvor meget materiale skal der bruges til at fremstille "Kæmpekuglen"? g: Kæmpekuglen rummer ca. dobbelt så meget som "Kuglen". Er materialeforbruget også dobbelt så stort? 10 cm Ægget 10 cm Oles Olietanke Vi har også en tank der passer til dig. Kuglen 10 cm 0 cm 160 cm Røret Blandede og supplerende opgaver Side 66

71 Statistik 1: Leverpostej Der står 00 g på alle bakker med Lenes Leverpostej. Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker: Lenes Leverpostej 00 g KUN 16,9 kr. 98 g 91 g 81 g 80 g 99 g 7 g 86 g 87 g 0 g 1 g 00 g 69 g 08 g 6 g 70 g 9 g 8 g 7 g 79 g 96 g 9 g 16 g 97 g 01 g 88 g a: Hvor mange bakker er blevet vejet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke g Vægt i gram Hyppighed [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90[ [90 ; 00[ [00 ; 10[ [10 ; 0[ I alt Frekvens : Hastigheds-kontrol Boksplottet viser resultatet af en hastigheds-kontrol. Hastigheds-grænsen er 80 km/t. a: Aflæs den laveste og den højeste hastighed. b: Aflæs median, 1. kvartil og. kvartil. c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen. d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t. Ved en senere kontrol overholdt 0% af bilerne hastigheds-grænsen, og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 10 km/t. e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot? Hastighed i km/time f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger. Blandede og supplerende opgaver Side 67

72 : Husleje Den øverste af tabellerne viser udviklingen i huslejen i Udby Ungdomsboliger. Den nederste tabel viser forbrugerprisindekset. a: Sammenlign udviklingen i huslejen med udviklingen i forbrugerprisindekset i årene Efter 006 er huslejen blevet reguleret i takt med udviklingen i forbrugerprisindekset. b: Beregn de manglende huslejer. Husleje pr. måned i Udby Ungdomsboliger Forbrugerprisindeks (000 = 100) , 110, 11, 11, 118,1 119,7 : Cooper-test Tabellen herunder viser resultaterne fra en Cooper-test på et idrætshold: En Cooper-test er en kondi-test, hvor deltagerne skal løbe så langt som muligt på 1 minutter..80 m m.00 m.10 m.110 m.70 m 1.90 m.0 m.0 m.870 m 1.60 m.0 m m.00 m.70 m.0 m.600 m.190 m.90 m m 1.80 m.70 m.00 m.10 m a: Hvor mange personer deltog i testen? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Find evt. middelværdien. d: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. e: Lav et boksplot. f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed og frekvens som den viste? g: Lav et histogram. h: Sammenlign boksplot og histogram. i: Udvid din tabel med en kolonne med summeret frekvens. j: Sammenlign hastighederne i km/t for den langsomste og den hurtigste deltager. Distance i m Hyppighed Frekvens [1.600 ; 1.800[ [1.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ [.00 ;.600[ [.600 ;.800[ [.800 ;.000[ [.000 ;.00[ [.00 ;.00[ I alt Blandede og supplerende opgaver Side 68

73 : Æg Olfert har 0 høns. De lægger normalt ca. 160 æg om ugen. Han bruger selv ca. fem æg om dagen og sælger resten. Han vejer hver dag de æg, som hønsene lægger. Her er resultatet for en dag: 8 g 7 g 1 g 6 g 8 g 70 g 67 g 6 g 6 g 60 g g 69 g 61 g 7 g 6 g Æg sorteres og sælges efter disse størrelser: Størrelser for æg Vægt i gram () Smal < Medium < 6 Large 6 < 7 XLarge 7 7 g 8 g g 6 g g 76 g 77 g 7 g 71 g 7 g a: Hvor mange æg lægger hønsene normalt pr. dag? b: Hvor mange æg lægger en høne i gennemsnit pr. dag? c: Hvor mange procent af æggene sælges? d: Hvor mange æg har hønsene lagt den dag, hvor der er talt op? e: Hvad vejer æggene i gennemsnit? f: Lav en tabel, der viser æggenes fordeling, på de forskellige størrelser. Tabellen skal vise både hyppighed og frekvens. g: Lav et diagram ud fra tabellen. h: Lav et boksplot over æggenes vægtfordeling. i: Olfert sælger en bakke medium-æg for 1 kr. Hvad er kg-prisen? (cirkatal). j: Hvad skal en bakke large-æg koste, hvis kg-prisen skal være den samme? k: Lav også en tabel, der viser æggenes fordeling på de gamle størrelser (den nederste tabel). Du behøver ikke at beregne frekvenser. l: Kan du skrive nogle af intervallerne i de to tabeller med firkantede parenteser ([ og ]) i stedet for med større end- og mindre end-tegn. Æg blev tidligere sortere således: Størrelse Vægt () 1 < < 0 0 < < < < Blandede og supplerende opgaver Side 69

74 6: Histogram tabel sumkurve Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 0% 0% 10% a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn de summerede frekvenser og skriv tallene ind i tabellen til højre. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve i koordinatsystemet herunder. d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og. kvartil. e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 1[ [1 ; 0[ [0 ; [ [ ; 60[ [60 ; 7[ [7 ; 90[ [90 ; 10[ 100% 90% 80% 70% 60% 0% 0% 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 70

75 7: Sumkurve tabel histogram Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 100% 90% 80% 70% 60% 0% 0% 0% 0% 10% a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind. c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i koordinatsystemet herunder. d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave med aldersfordelingen i sidste opgave. Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 1[ [1 ; 0[ [0 ; [ [ ; 60[ [60 ; 7[ [7 ; 90[ [90 ; 10[ 0% 0% 10% Blandede og supplerende opgaver Side 71

76 8: Løn og flødeboller a: Find gennemsnitslønnen for kvinderne på Udby Flødebollefabrik. b: Find gennemsnitslønnen for mændene på Udby Flødebollefabrik c: Find gennemsnitslønnen for alle ansatte på Udby Flødebollefabrik Resten af spørgsmålene drejer sig om lønningerne på Flødebollekompagniet. d: Lav og udfyld en tabel med frekvens og summeret frekvens, som nederst på siden. e: Find et cirka-tal for både kvindernes og mændenes gennemsnitsløn. f: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede lønninger går til de kvindelige ansatte? g: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder? h: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver for både kvindernes og mændenes lønninger. i: Aflæs de to medianer på sumkurverne. Udby Flødebollefabrik har fem ansatte. Der er to kvinder, som får 19. kr. og.76 kr. om måneden. Der er tre mænd, som får kr.,. kr. og.1 kr. om måneden. Flødebollekompagniet har 180 ansatte. Den seneste lønstatistik ser således ud: Månedsløn i kr. Kvinder Mænd [1.000 ; 0.000[ 7 [0.000 ;.000[ 8 11 [.000 ; 0.000[ 16 [0.000 ;.000[ [.000 ; 0.000[ 6 7 [0.000 ; 0.000[ Månedsløn i kr. Kvinder Mænd I alt Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. Frekvens Sum. fr. [1.000 ; 0.000[ [0.000 ;.000[ [.000 ; 0.000[ [0.000 ;.000[ [.000 ; 0.000[ [0.000 ; 0.000[ I alt j: Hvordan man kan man se på sumkurverne, at kvindernes løn er lavere end mændenes? k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene er større end median-tallene? Blandede og supplerende opgaver Side 7

77 9: Fravær Kursisterne på et matematik-hold har haft 160 lektioner på et skoleår. Tabellen viser, hvor mange lektioner de enkelte kursister har været fraværende: a: Hvor mange kursister var der på holdet? b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. c: Hvor mange kursister har været væk mere end en tredjedel af lektionerne? d: Hvor mange procent af kursisterne har været væk mere end % af lektionerne? e: Hvor mange procent af kursisterne har højst været væk 10% af lektionerne? f: Hvor mange kursister har i gennemsnit været til stede? g: Find medianen, 1. kvartil og. kvartil. h: Lav et boksplot. i: Lav og udfyld en tabel med hyppighed, frekvens og summeret frekvens som den viste? j: Lav et histogram. Fravær Hyppighed Frekvens [0% ; 10%[ [10% ; 0%[ [0% ; 0%[ [0% ; 0%[ I alt k: Sammenlign evt. fraværet i opgaven med fraværet på dit eget hold. Summeret frekvens 10: Antal kursister Tabellerne viser udviklingen i antallet af kursister på VUC Udby. Indekstabellen er komplet, med der mangler nogle af tallene i den øverste tabel. a: Beregn de manglende tal i den øverste tabel. b: Lav selv tabeller for det samlede antal kursister. Både antal og indekstal c: Lav to diagrammer: Et der viser antal kursister, og et der viser indekstallene. Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn Mænd Kvinder Antal kursister på VUC Udby (indekstal) Mænd 100,0 9, 89,1 96,9 10, 11, Kvinder 100,0 89, 81, 9,9 111,6 1,7 Blandede og supplerende opgaver Side 7

78 Talfølger 1: Differensrækker (1) I en differensrække er der altid er samme forskel (differens) mellem to nabotal. Hvilke af disse talrækker er differensrækker? a: 1,,, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 1, 1, d: 0,, 6, 9, 1, e: 1,10, 100, 1000, f: 0, 10, 0, 10, 0, : Differensrækker () Man kan finde summen af de første led i en differensrække med formlen til højre. a: Kontroller at formlen passer for summen af disse to rækker: 1,,, 7, 9, 11 0, 10, 0, 10, 0 Beregn disse summer vha. af formlen: b: c: d: Kurt øver sig i at tage armbøjninger hver dag i en uge. Første dag tager han 10 armbøjninger, anden dag tager han 1 armbøjninger, tredje dag tager han 0 osv. e: Hvor mange armbøjninger tager Kurt den sidste dag (dag nr. 7)? f: Hvor mange armbøjninger tager Kurt i alt i løbet af ugen? a + a + a +...a 1 n 1 + a n n = ( a + a ) 1 n : Differensrækker () Formlen ovenfor er ikke så svær at forklare. Start med at tænke: (Første led + sidste led) + (Andet led + næstsidste led) +. Prøv om du kan forklare formlen. : Talrækken 1, 1,,, kaldes Fibonacci-tal. Man finder det næste tal ved at lægge de to foregående tal sammen: Fn = Fn + Fn 1. Lav og udfyld en tabel som denne. Hvad sker der med tallene i den nederste række? n F n F n-1 F F n n 1 Blandede og supplerende opgaver Side 7

79 : Kvotientrækker (1) En kvotientrække er en række tal på for formen: 1, a, a, a,.. Hvilke af disse talrækker er kvotientrækker? a: 1,,, 7, 9, 11, b: 1,,, 8, 16, c: 1,, 7, 1, 1, d: 1,, 9, 7, 81,. e: 1, 10, 100, 1000, f: 1 ; 1, ;, ;,7 - Undersøg selv hvad ordet kvotient betyder! 6: Kvotientrækker () Man kan finde summen af de første led i en kvotientrække med formlen til højre 1 + a + a +...a n + a n 1 = n a 1 a 1 a: Kontroller at formlen passer for disse to rækker: 1,,, 8, 16, 1, 10, 100, 1000 En telefonkæde på et hold kan f bygges op som vist: Læreren ringer til tre personer, som hver ringer til tre personer, som hver b: Forklar hvorfor kæden svarer til en kvotientrække. c: Hvor mange personer vil der i alt være i den viste kæde, hvis den udvides til fem led (læreren er første led)? d: Undersøg hvor mange led, der skal være i kæden, for at den omfatter: - mindst personer - mindst hele Danmarks befolkning (ca., mio.) I en anden telefonkæde ringer hver person kun til to andre personer. e: Hvor mange mennesker er med i kæden, hvis den er på fem led? f: Hvor mange led skal kæden være på, hvis den skal omfatte mindst 100 mennesker? 7: Kvotientrækker () En indisk legende fortæller om, at man lægger et riskorn på første felt af et skakbræt, to riskorn på andet felt, fire riskorn på tredje felt, otte riskorn på fjerde felt osv. a: Hvor mange riskorn er der på sidste felt (felt nr. 6)? b: Hvor mange riskorn er der i alt? 1 8 8: Kvotientrækker () a: Forklar hvorfor rækken 1, 1, 1, 8 1,. er en kvotientrække b: Hvad bliver summen af tallene i rækken, hvis man gør rækken meget, meget lang? Prøv både at bruge formlen ovenfor og at tænke praktisk. Blandede og supplerende opgaver Side 7

80 Funktioner (1): Formler og funktioner 1: Rektangel længde, bredde og areal a: Find arealet af et rektangel med længden 6 m og bredden m. Forestil dig nogle forskellige rektangler med længden 6 m og forskellige bredder. Tegn evt. nogle af rektanglerne på papir i målestoksforhold 1:100. Rektangel A = l b b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem bredde og areal for et rektangel med længden 6 m: længde bredde Bredde (b) 1 Areal (A) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem b og A. : Cylinder højde, radius og rumfang (1) a: Find rumfanget af en cylinder med radius cm og højden 8 cm. Forestil dig nogle forskellige cylindre med radius cm og forskellige højder. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og rumfang for en cylinder med radius på cm: Cylinder V = π r h radius højde Højde (h) Rumfang (V) c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem h og V. d: Hvad kaldes sammenhængen mellem h og V, når radius er fast? Forestil dig også nogle forskellige cylindre med højden 8 cm og forskellige radiusser. e: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og rumfang for en cylinder med højden 8 cm: Radius (r) Rumfang (V) f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og V. g: Hvad sker der med rumfanget, når man halverer radius. F fra cm til cm. h: Hvad sker der med rumfanget, når man fordobler radius. F fra cm til 8 cm. Blandede og supplerende opgaver Side 76

81 : Hastighed, afstand og tid a: Find hastigheden på en cyklist der kører 0 km på 0 min. Forestil dig nogle forskellige cyklister, der alle cykler så langt, som de kan, på 0 min. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem s og v for en cykeltur på 0 min.: Afstand (s) Hastighed (v) Hastighed v = s 60 t v er hastighed i km/t s er afstanden i km t er tiden i minutter c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem s og v. Forestil dig også nogle forskellige cyklister, der alle cykler 0 km, men bruger forskellig tid. d: Lav en tabel der viser sammenhængen mellem t og v for en cykeltur på 0 km: Tid (t) Hastighed (v) e: Lav også en graf f: Beskriv hvad der sker med hastigheden, når man fordobler tiden. F fra 0 min til 80 min. g: Hvad kaldes sammenhængen mellem t og v? : BMI, vægt og højde (1) BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 17 cm. Husk at omregne højden til m. Forestil dig en række forskellige personer, der alle vejer 70 kg men har forskellig højde. b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og BMI: Højde (m) 1, 1,60 1,6 1,70 1,7 1,80 1,8 1,90 1,9 BMI c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og BMI. Bemærk: Grafen ligner måske en ret linje, men hvis du tager meget små og store (og dermed urealistiske) højder med, så vil du se, at grafen buer en hel del. Forestil dig også en række forskellige personer, der alle er 17 cm høje men har forskellig vægt. d: Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem H og BMI. e: Hvad kaldes sammenhængen mellem V og BMI, når højden er fast? Body Mass Indeks BMI = V H V er vægt i kg H er højde i m Blandede og supplerende opgaver Side 77

82 : Cylinder højde, radius og rumfang () a: Find rumfanget af en cylinder med radius,7 cm og højden 9,8 cm. b: En cylinder har rumfanget cm, og radius,1 cm. Hvad er højden? c: Formlen for rumfanget af en cylinder skal omskrives, således at højden står alene, og således at radius står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V h = π r π r h = V h = V : π : r r = V π h Forestil dig nogle forskellige cylindre med rumfanget 00 cm. Cylinder V = π r V r = π h d: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem radius og højde: h r = radius V π h højde Radius (r) i cm,0,,0,,0,,0, 6,0 Højde (h) i cm e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og h. f: Lav en tilsvarende tabel og graf for en cylinder med et rumfang på 1 liter. 6: BMI, vægt og højde () BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for, om en person evt. er under- eller overvægtig. BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca.. a: Find BMI for en person med vægten 70 kg og højden 17 cm. Husk at omregne højden til m. b: Formlen for BMI skal omskrives, således at V står alene, og således at H står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? V = BMI H V = BMI H V H = BMI H = Body Mass Indeks BMI = V BMI V H V er vægt i kg H er højde i m H = BMI V Forestil dig nogle forskellige personer med BMI = 19 c: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem vægt og højde: Vægt (V) i kg Højde (H) i m d: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og H. e: Lav i samme koordinatsystem en graf for personer med BMI =. f: Hvilke kombinationer af vægt og højde svarer området mellem de to grafer til? Blandede og supplerende opgaver Side 78

83 Funktioner (): Andengradsfunktioner og parabler 7: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = y + = y = y = Inden du tegner skal du - for hver funktion - lave og udfylde en -y-tabel som denne: y 8: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = y = + y = 6 y = + 6 Start med at lave -y-tabeller som i opgaven ovenover. 9: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = y = + + Start med at lave -y-tabeller som i opgaverne ovenover. y = y = : Funktioner på formen y = a + b + c kaldes andengradsfunktioner. b og c kan godt være 0, men a må ikke være 0! Find a, b og c i (nogle af) funktionerne i opgaverne ovenfor. 11: Graferne for andengradsfunktioner er symmetriske buer, som kaldes parabler. Graferne har et toppunkt. Man kan finde toppunktets -koordinat med formlen til højre: a: Find toppunkterne for disse andengradsfunktioner: y = 6 y = y = b: Lav -y-tabeller for hver funktion. Toppunkterne skal være midt i tabellerne. top b = a y top c: Lav grafer for funktionerne. Helst i samme koordinatsystem. Læg mærke til, at de alle har samme form men forskellig placering. d: Find funktionernes nul-punkter (skæringspunkter med -aksen) Blandede og supplerende opgaver Side 79

84 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = + y = y = Start med at finde -koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: y = 0, +, y = 0, + 7 y = 0, + + Start med at finde -koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave). Find også nul-punkterne. 1: Kasteparabler Forestil dig at du kaster en sten. Hvis du kan kaste med en fart på 0 m/s og i en vinkel på, så vil stenen følge denne parabel: y = 0,0 + a: Tegn i et koordinatsystem en graf der svarer til stenens bane. Start med at tegne og udfylde en tabel som denne: 0 10 o.s.v. 0 y Kasteparabler Hvis man kaster en sten (eller en anden genstand), vil stenen følge en bane, der (stort set) er en parabel-bue. Hvis man kaster for stejlt opad, så kommer stenen højt op, men den når ikke så langt væk Hvis man kaster for fladt, kommer stenen heller ikke så langt væk. Det længste kast fås ved at kaste stenen i vinkel på. b: Hvor højt kommer stenen op i luften? c: Prøv at indsætte en -værdi større end 0. Giver resultatet mening? d: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,07 +,1 Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 6. e: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? f: Indtegn også grafen for denne parabel: y = 0,01 + 0, Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på. g: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast? Forslag til akser: -akse: 1 cm = m y-akse: 1 cm = m Blandede og supplerende opgaver Side 80

85 Funktioner (): Blandede opgaver 1: Tegn - for 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = g() = 1, Aflæs også skæringspunkterne (cirka-tal) mellem graferne. 1, h() =, 16: Vinglas Tegning til højre viser et kegleformet vinglas. Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel: 1 V = π r h a: Vis at glasset kan rumme ca. 10 ml, når det er fyldt. Husk at 1 cm = 1 ml (milliliter). Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: y = 0,07 hvor er vinstanden i cm og y er rumfanget i ml. b: Hvor meget vin er der i glasset, når = 6 cm? c: Lav og udfyld en tabel som den viste: h = 9 cm r = cm Højde i cm () Vin i ml (y) d: Lav ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. e: Undersøg vha. grafen: - hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml? - hvor højt står vinen, når glasset rummer 0 ml? - hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt? f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e. g: Vurder om disse påstande er rigtige: - når man fordobler, bliver y otte-doblet. - når man tre-dobler, bliver y 7-doblet? og hvis ja hvorfor? Forslag til akser: -akse: 1 cm = 1 cm y-akse: 1 cm = 10 ml Blandede og supplerende opgaver Side 81

86 17: Spand Tegning til højre viser en spand med form som en keglestub. Rumfanget af en keglestub kan findes med denne formel: 1 V = π h (R + r + R r) R = 1 cm a: Vis at spanden kan rumme ca. 0 liter, når den er fyldt. Husk at 1 liter = cm = milliliter. Når spanden er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: y = 0, , + hvor er vandstanden i cm og y er rumfanget i liter. h = cm r = 1 cm b: Hvor meget vand er der i spanden, når = 0 cm? c: Tegn og udfyld en tabel som den viste: Højde i cm () Vand i ml (y) d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. 1 cm (på papiret) = cm (på spanden) på -aksen og 1 cm = 1 liter =1.000 ml på y-aksen. OBS: Grafen kan godt ligne en ret linie, men den buer lidt. e: Hvor højt står vandet, når spanden er halvt fyldt? 18: Tegn - for > 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: 1 f() = 1 g() = h() = må ikke være 0, men prøv at komme så tæt på = 0 som muligt, når du tegner. Find også grafernes skæringspunkter. 1 19: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = 1, g() = 1, Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal). 0: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner: f() = g() = + Overvej om graferne kan skære hinanden. NB: Disse funktioner er lidt spøjse - tænk dig godt om når du regner og tegner! I opgave og 6 skal du også medtage negative -værdier. Blandede og supplerende opgaver Side 8

87 1: Standselængde (fortsættelse af en tidligere opgave). Standselængden for en bil består af en reaktionslængde og en bremselænge. Reaktionslængden er den strækning, som bilen når at køre, fra bilisten ser en forhindring, til han/hun begynder at bremse. Den afhænger af hastigheden og bilistens reaktionstid. Bremselængde Reaktionslængde Disse reaktionslængder svarer til en reaktionstid på 1 sekund: Hastighed i km/time: 0 7 o.s.v. Reaktionslængde i meter: Bremselængden er den strækning, som bilen når at bevæge sig, fra bilisten begynder at bremse til bilen holder helt stille. Bremselængden afhænger af hastigheden, men den afhænger også af bilen, vejret og vejen. Man kan finde en typisk bremselængde med funktionen g() = 0,00, hvor er hastigheden i km/t og g() er bremselængden i m. a: Kan du vise, hvordan reaktionslængderne i tabellen ovenfor er beregnet? Og kan du evt. opstille en funktionsforskrift for reaktionslængden? Ellers gå blot videre til næste spørgsmål. b: Lav og udfyld en tabel som denne: Hastighed i km/time () 0 0 o.s.v. 10 Reaktionslængde i meter f() Bremselængde i meter g() Standselængde i meter h() c: Ved hvilken hastighed (cirka-tal) bliver bremselængden længere end reaktionslængden? d: Kontroller at standselængden kan beregnes ved denne funktion: e: Lav en graf for standselængden. h() = 0,00 f: Aflæs på din graf (cirka-tal): - hastigheden når standselængden er 0 m. - hastigheden når standselængden er 10 m. + 0,8 g: Husk at tabellen og grafen svarer til en reaktionstid på 1 sekund. Kan du lave en ny tabel og en ny graf der svarer til en reaktionstid på ½ sek.? h: Opstil evt. også en funktion for den nye graf. Blandede og supplerende opgaver Side 8

88 : Olferts høns (fortsættelse af en tidligere opgave). a: Hvor bred bliver indhegningen, hvis den skal være 6 m lang? b: Hvad bliver omkredsen, hvis indhegningen er 6 m lang? c: Lav og udfyld en tabel som denne: Olfert skal lave en indhegning på m til sine høns. Indhegningen skal være firkantet (rektangel eller kvadrat). Den ene side i meter () Den anden side i meter Omkreds i meter (z) d: Lav en graf der viser sammenhængen mellem og z. (Når du tegner grafen, skal du ikke bruge tallene i den midterste række). Sammenhængen mellem og z kan beskrives med denne funktion: e: Prøv at forklare hvorledes funktionen er bygget op. f: Hvilken sidelængde (-værdi), giver den mindste omkreds (z-værdi)? z = + : Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at lave og udfylde en tabel som denne: 0, y = og 1 y = og 1, y = , y = 1 y = 1, y = Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem. OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt mystisk for små -værdier. Hvis du har godt tid eller bruger computer, kan du også udfylde denne tabel: 0 0, 0, 0,6 0,8 1 1, 1, 1,6 1,8 0, y = 1 y = 1, y = Lav også grafer ud fra tallene i den sidste tabel. Blandede og supplerende opgaver Side 8

89 : Tegn - i forskellige koordinatsystemer - graferne for (nogle af) disse funktioner: Bemærk at: - der er -y-tabeller til de fleste af funktionerne. - -værdierne er ikke ens i alle tabeller (tænk over hvorfor). - alle graferne skal ligne hinanden men dog være lidt forskellige. a: y = , 0, 1 8 y b: - y = , 0, 1 8 y c: y = , 0, 1 8 y d: y = , 0, 1 8 y e: y = ,, 6 10 y f: y = , -1, y g: y = ,, 6 10 y h: Kan du - uden at beregne støttepunkter - tænke dig til, hvorledes graferne for disse funktioner vil se ud: y = y - = + y = + + Blandede og supplerende opgaver Side 8

90 : Vindmøller En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt. For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion: y = 0,6, er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s), y er elektricitets-mængden målt i kilowatt (kw). y kaldes også effekten. a: Lav og udfyld en tabel som denne: 0 6 osv. 0 y b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen, da der sjældent blæser mere end 1-1 m/s. NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk er i Danmark. c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er kw? d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken går til lavenergi-pærer. Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til, hvis vindhastigheden er 8 m/s Vindmøllen i denne opgave står i en vindmøllepark med i alt 0 vindmøller. Effekt kan måles i kw eller i W. 1 kw = W. En lavenergi-pære bruger typisk 9 W. 6: Buket-priser En dame sælger blomster-buketter. Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag. Hun har prøvet at sætte prisen ned til 0 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag. Hun har også prøvet at sætte prisen op til 7 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag. Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger, -0, at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 77. er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag. Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen. Blandede og supplerende opgaver Side 86

91 Bogstavregning 1: Reducer (nogle af) disse udtryk: 1 1 c a: c+ c b: a a 1 c: + d: + 6 z z : Reducer (nogle af) disse udtryk: a: ( + )( + ) b: ( + )( ) c: ( )( ) d: (1d + 1)(d ) e: ( + b)(b 6) f: (8y + 0,)(6y + 10) : Reducer (nogle af) disse udtryk: a: (a + 6)(a ) + a + 8 b: 9b + (b + )(b 1) b + c: ) + (9y )(y + ) y d: )(b ) ab (y (a + : Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk: a: p 8q b: 10 y+ 0 z c: b + 8 b c d: m+ 1n e: ab+ 6ac ad f: b ab bc : Reducer disse udtryk: a: 6a + 9a a b: 6 y z+ c: 18m mn 6 m d: 1pq 8q q q 6: Reducer (nogle af) disse udtryk: a: z ( z) b: 8 a c: ( a ) 8 d: 6 y : : y e: 8 b f: 1 c g: 1 a + a h: 1 m ( m) i: a 9 Blandede og supplerende opgaver Side 87

92 7: Løs (nogle af) disse ligninger - nogle af resultaterne er negative tal. a:, ( +,) =, 6 8 d: 9,7 +,6 = 0, b: e: 6, (, + ),6( 0,) 9,7 = c: = 0, 8,,, + 7,8 1,7 = 1, + f: + 17, =, 7,,8 + g: =, + h: 1,6 = 0, 0,8 i: 1,7 (8 + 10) 7 = 8 8: Løs disse ligninger - skriv resultatet som en brøk. ( + ) a: = + 1 b: = 7 6( + ) c: 1 = : Løs (nogle af) disse ligninger: a: = 6 + b: 9 = c: = + d: 7 = e: + 6 = f: + = 10 g: + = 6 - h: = i: 6 7 = , j: = 6 k: = l: = 0 10: Løs (nogle af) disse ligninger: a: ( ) + = 9 b: + = 7 c: ( ) 1 = d: ( - ) + 8 = 169 e: = 11 9,8 f: = g: 7 = h: 6 1 =,7 +, i: (, - ) + = 7 1, j: = 18 k: + 1,6 =, 1 l: = Blandede og supplerende opgaver Side 88

93 11: Brug denne formel y =, + 17, til a: at finde y når: =,8 b: at finde når: y = 9, 1: Brug denne formel m =, n 7, til a: at finde m når: n = 1, b: at finde n når: m = 1,1 1: Brug denne formel g f = 9,8 til a: at finde f når: g =,7 b: at finde g når: f = 119,1 1: Brug denne formel q p = +,1 0,8 til a: at finde p når: q = 1 b: at finde q når: p =, 1: Brug denne formel r s = + 19,1 1,7 til a: at finde s når: r =, b: at finde r når: s = 0,9 16: Brug denne formel 6,8 f G = 9,1 til a: at finde G når: f = 16, b: at finde f når: G = 7,6 17: Brug denne formel R = P (Q +,) til a: at finde R når: P =, og Q =, b: at finde P når: R = 19 og Q = 6, c: at finde Q når: R = og P = 7,8 18: Brug denne formel W = U 1, + V til a: at finde W når: U =, og V = 6, b: at finde U når: W = 1, og V = 1,9 c: at finde V når: W = 6, og U = 1,8 19: Brug denne formel til 1 s = + 17 r a: at finde s når: r =, b: at finde r når: s = 7,8 0: Brug denne formel G = 1,9 f + 66,8 til a: at finde G når: f =, b: at finde f når: G = 876 Blandede og supplerende opgaver Side 89

94 Procent og eksponentiel vækst 1: Buspriser Tabellen viser udviklingen i priserne i kr. på en kontantbillet, et 10-turs-kort og et månedskort til bussen mellem Udby og Bredballe. a: Udfyld de tomme pladser i tabellen ud fra disse oplysninger: - Fra 1990 til 000 voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit med,9% om året. - Fra 1990 til 000 voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit med,% om året. - Fra 1990 til 010 voksede prisen på et månedskort i gennemsnit med,9% om året. b: Hvor mange procent voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit fra 000 til 010? c: Hvor mange procent voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit fra 000 til 010? d: Sammenlign prisudviklingen på et månedskort i første og anden halvdel af perioden. e: Prisen på en kontantbillet forventes at stige med,% i årene efter 010. Hvornår vil prisen nå 0 kr., hvis stigningen fortsætter? Kontantbillet turs-kort 17 7 Månedskort 9 1 : Fugle på Sælø a: Hvilken art er gået mest frem i antal? b: Hvilken art er gået mest frem i procent? (find procent-tallet) c: Hvilken art er gået mest tilbage i antal? d: Hvilken art er gået mest tilbage i procent? (find procent-tallet) e: Hvor mange procent er antallet af skalleslugere vokset i gennemsnit pr. år? f: Hvor mange procent er antallet af terner vokset i gennemsnit pr. år? g: Hvor mange procent er antallet af klyder faldet i gennemsnit pr. år? h: Hvor mange procent er antallet af edderfugle faldet i gennemsnit pr. år? Hvert. år tælles fuglene i reservatet på Sælø. Det er umuligt at tælle præcist men ved at tælle i mindre områder, kan man regne ud, hvor mange fugle der cirka må være på hele øen. Tabellen viser nogle eksempler på ændringer i bestandene Klyde 90 7 Terne Skallesluger 0 60 Edderfugle 0 10 Nu skal du gå ud fra, at udviklingen for hver art fortsætter (selv om det ikke er helt realistisk). i: Hvor mange fugle vil der være af hver art i 01? j: Hvornår vil bestandene af hhv. terner og skalleslugere være fordoblede? k: Hvornår vil bestandene af hhv. klyder og edderfugle være halverede? Der er to svar i hver opgave. Blandede og supplerende opgaver Side 90

95 Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente 1: Ebberød Bank (I) Du skal gå ud fra, at der er 6 rentedage i et år, og at alle de nævnte perioder er inden for samme år. Find renterne når a: der står.00 kr. på en anfordringskonto i 1 dage. b: der står kr. på en guldkonto i 8 dage. c: der står kr. på en sølvkonto i dage. d: der står 1.90 kr. på en konto med mdrs. opsigelse i 19 dage. : Ebberød Bank (II) Regn med 6 rentedage i et år og find renterne når a: der står.000 kr. på en sølvkonto i fra 1/6 til 9/6. b: der står.16 kr. på en anfordringskonto i fra 6/ til 18/6. c: der står kr. på en guldkonto i fra 1/10 til 1/1 året efter. (gå ud fra at der er rentetilskrivning 1/1) Ebberød Bank Rentesatser på indlån Anfordring... 0,% p.a. mdr. opsigelse... 1,% p.a. Sølvkonto...,% p.a. Guldkonto...,0% p.a. Alle konti har helårlig rentetilskrivning Bemærk: For at opnå de nævnte høje rentesatser skal der mindst indsættes: kr. på en sølvkonto kr. på en guldkonto : Ebberød Bank (III) Olga Olsen - en lettere senil ældre dame - solgte for 6 år siden sit hus. Overskuddet var kr., som hendes bankrådgiver i Ebberød Bank hjalp hende med at placere på en anfordringskonto. a: Hvor meget står der nu på kontoen? (regn med at pengene har stået i 6 hele kalenderår og brug sammensat rentesregning) b: Hvad havde Olga fået i rente, hvis pengene var blevet placeret på en guldkonto? c: Hvor meget har Olga mistet i rente ved at vælge anfordringskontoen? : Forestil dig, at du optager et lån på kr. Lånet optages til nytår, og alle pengene betales tilbage på en gang med renter efter præcis år. a: Beregn det beløb, som du skal betale tilbage, hos hver af de långiverne, der er nævnt i sammenligningen til højre. b: Find den årlige nominelle rente hos Frisk. c: Find den årlige nominelle rente hos Kapitalbutikken. Sammenligning af rentesatser på lån og kredit Omegnsbanken... 16% pr. år Renten tilskrives en gang årligt Frisk Finansiering... 1% pr. år Renten tilskrives hvert kvartal Kapitalbutikken... 1% pr. år Renten tilskrives hver måned Blandede og supplerende opgaver Side 91

96 Lån og opsparing (): Serielån : Benny låner kr. Lånet er et serielån over år med en årlige rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året. a: Beregn det årlige afdrag. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , , ,00 0,00 I de første opgaver er der helårlige terminer. I virkeligheden betaler man ofte hver måned. c: Hvor meget betaler Benny i alt på de år?.. og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 6: Gurli låner kr. Lånet er et serielån over år med en årlig rente på 1%. a: Find det årlige afdrag. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld ,00 1 c: Hvor meget betaler Gurli i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 7: Et lån på kr. afvikles som et serielån over 10 år med en årlig rente på 8%. a: Beregn det årlige afdrag. b: Beregn det første års rente. c: Hvad er restgælden efter den 9. termin (den næstsidste)? d: Beregn det sidste års rente. e: Kan du beregne den samlede rente (betalt over alle 10 år) ud fra de tal, som du har? Blandede og supplerende opgaver Side 9

97 Lån og opsparing (): Annuitetslån 8: Oluf låner.000 kr. Lånet er et annuitetslån, med en årlig rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året. Ydelsen er på kr. a: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0.000, , , , , , ,00 Oluf skylder stadig et lille beløb efter år b: Hvor meget skylder Oluf efter år? Hvis Oluf lige præcis skal kunne betale sin gæld på år, skal ydelsen sættes lidt op. c: Vis - brug ydelsesformlen - at ydelsen skal være 10.0,87 kr. d: Udfyld de tomme pladser i denne amortiseringstabel. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0.000, , , , ,87 e: Hvor meget betaler Oluf i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? f: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. 9: Gertrud låner kr. Lånet er et annuitetslån over år med en årlig rente på 1%. a: Find den årlige ydelse - brug ydelsesformlen. b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld , ,00 c: Hvor meget betaler Gertrud i alt på de år?..og hvor meget udgør renterne? d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling. Blandede og supplerende opgaver Side 9

98 10: Kurt køber bil. Kurt køber en brugt bil til kr. Han kan lægge en udbetaling på %. Resten lånes. a: Hvor stor er udbetalingen? b: Hvor stort bliver lånet? Oprettelsesgebyret lægges oven i lånet. Kurt får lånet over år til den vejledende rentesats. c: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse). d: Hvor meget betaler Kurt i alt tilbage? Udby og Omegns Bank Rentesatser på udlån Billån... 6,0% p.a. Boliglån... 9,0% p.a. Forbrugslån... 1,0% p.a. Rentesatserne er vejledende. Oprettelsesgebyr: 1% af lånet. Dog mindst 00 kr. 11: Olfert køber også bil. Olfert køber en brugt bil til kr. Fordi han ingen udbetaling har, forlanger banken en rente på 8,0% p.a. for et lån over år. a: Hvor stort bliver lånet med oprettelsesgebyr? b: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse). c: Hvor meget betaler Olfert i alt tilbage? 1: Flere lån Du tager et lån på kr. i banken over 10 år. Sammenlign den årlige ydelse på et boliglån og et forbrugslån. Regn med de vejledende rentesatser. Selv om renten er oplyst pr. år (p.a.), betaler man sjældent en årlig ydelse. Man betaler et beløb hver måned. De præcise beregninger er indviklede, men man får udmærkede cirka-tal, ved at regne med en årlig ydelse. 1: Larsen Lån a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af ydelserne på Larsen Lån. b: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage, hvis man låner kr. over 8 mdr.?.og hvor meget udgør renterne? c: Hvad koster det at låne.000 over mdr.? Du skal låne kr. over 6 år. d: Sammenlign udgifterne ved et Larsen Lån og et forbrugslån i Banken. Ved banklånet skal du bruge den vejledende rentesats og regne med en årlig ydelse. Husk oprettelsesgebyr. Med et Larsen Lån kan du købe alt det, du ikke har råd til. Ydelse pr. Antal måneder måned Lånebeløb i kr Rente: 1,% pr. måned - Ingen gebyrer Blandede og supplerende opgaver Side 9

99 1: Oluf og Gertrud køber hus. a: Hvor stort bliver realkreditlånet? b: Hvor stort bliver banklånet? Regn først på realkreditlånet over 0 år. c: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet. d: Det er næsten umuligt at lave hele amortiseringstabellen i hånden, men udfyld de første rækker i tabellen herunder. Oluf og Gertrud køber et hus til kr. De kan få et realkreditlån på 80% af prisen. Resten af pengene låner de i banken. De kan vælge mellem to realkreditlån: - et lån over 0 år til en rente på 7% p.a. - et lån over 0 år til en rente på 6% p.a. Banklånet er over 1 år. Renten er 9% p.a. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1 e: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 0 år? og hvor meget udgør renterne? Regn nu på realkreditlånet over 0 år. f: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet. g: Udfyld de første rækker i amortiseringstabellen herunder. Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 0 1 Rigtige realkreditlån er indviklede. Man betaler hver måned eller hvert kvartal, man betaler gebyrer, og der er ofte et såkaldt kurstab. Men man får et godt billede af lånets afvikling ved at regne med en årlig ydelse og se bort fra gebyrer og kurstab. h: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 0 år? og hvor meget udgør renterne? Nu skal du også regne på banklånet. i: Beregn den årlige ydelse på banklånet? j: Hvor meget udgør renterne af denne ydelse? k: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån), hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 0 år? l: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån), hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 0 år? m: Sammenlign de årlige ydelser det første år, når man indregner skattebesparelsen (dette kaldes nettoydelse). Når man betaler renter, får man et skattefradrag. Det betyder, at man skal betale mindre i skat. Skattebesparelsen er på ca. 0% af renterne. Blandede og supplerende opgaver Side 9

100 1: Fi og Fidus a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af ydelserne hos Fi Finans. b: Prøv også at kontrollere et par ydelser hos Fidus Finans - det er svært! Man kan også låne andre beløb end dem, som er nævnt i tabellerne. c: Find den månedlige ydelse, hvis man låner kr. over 0 måneder hos Fi Finans. 16: Med Fi og Fidus hos El-Kolossen Fi Finans - vi fier dig et lån - og vi ta'r slet ingen gebyrer - Ydelse pr. Antal måneder måned Lånebeløb i kr Rente: % pr. måned Du vil købe en Ida symaskine og låne pengene over 1 måneder. a: Hvor (Fi eller Fidus) er det billigst at låne pengene? b: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage hos Fi Finans? og hvor meget udgør renterne? c: Hvor meget kommer man i alt til at betale tilbage hos Fidus Finans? Du vil købe en WX computer og låne pengene over 8 måneder. d: Sammenlign omkostningerne ho Fi Finans og Fidus Finans. Du skal låne penge til både en Vaks vaskemaskine og en Vaks tørretumbler. e: Hvor er det billigst at låne pengene, hvis du kan betale tilbage hurtigt? f: Hvor er det billigst at låne pengene, hvis du vil betale tilbage langsomt? Du vil købe et Colora TV og låne pengene over måneder. g: Hvad bliver den månedlige ydelse hos Fi Finans? h: Hvad bliver den månedlige ydelse hos Fidus Finans? Lån hos Fidus Finans - en fed fidus - renten er kun 1% pr. måned - Ydelse pr. måned Lånebeløb i kr. Antal måneder Oprettelsesgebyr: 00 kr. (tillægges lånet) Adm.-gebyr: kr. pr. md. (tillægges ydelsen) EL-KOLOSSEN - kolossalt billigt G7-phone Kun kr. Colora TV Kun kr. WX Computer Kun kr. Ida Symaskine Kun kr. Vaks Vaskemaskine Kun kr. Vaks Tørretumbler Kun kr. Blandede og supplerende opgaver Side 96

101 17: Fi Finans (fortsættelse af opgaverne på forrige side) Tabellen herunder viser sammenhængen mellem lånebeløb og den månedlige ydelse, hvis man låner penge hos Fi Finans og betaler tilbage over 1 måneder. Renten er % pr. måned. Lånebeløb i kr. () Månedlig ydelse i kr. (y) a: Sammenlign tallene i tabellen med tallene fra sidste side. b: Tegn ud fra tallene en graf i et koordinatsystem. 1 cm = kr. på -aksen og 1 cm = 100 kr. på y-aksen. c: Undersøg ud fra grafen: - hvor meget skal man betale pr. måned, hvis man låner.000 kr.? - hvor meget kan man låne, hvis man vil betale 60 kr. pr. måned? d: Undersøg hvilken af disse funktioner, der kan beskrive tabellen og grafen: y = 0,96 y = 10,8 y = 0,096 e: Brug den rigtige funktion til at finde den månedlige ydelse på et lån på kr. (Forlæng evt. din graf.) f: Integn også grafer for lån over mdr., 6 mdr., 8 mdr., og 60 mdr. Brug tallene fra sidste side. Tegn alle graferne i samme koordinatsystem. g: Opstil funktioner for (nogle af) de grafer, som du lige har tegnet. I opgaverne herunder skal du bruge gældsformlen og nogle af oplysninger fra de forrige sider. 18: Udby og Omegns Bank Regn med de vejledende rentesatser. a: Hvor stort et billån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i år? b: Hvor stort et billån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i 6 år? c: Hvor stort et boliglån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i 1 år? d: Hvor stort et forbrugslån kan man få, hvis man kan betale kr. om året i år? Bemærk: De tal som du har beregnet ovenfor er nok lån incl. oprettelsesgebyr. Kan du finde ud af at trække gebyrerne fra? Det er lidt drilsk! 19: Fi Finans Hvor stort et lån kan man få hos Fi Finans, hvis man kan betale a: 00 kr. om måneden i 60 mdr.? b: kr. om måneden i år? 0: Realkreditlån a: Hvor stort et lån (7% over 0 år) kan man få, hvis man kan betale kr. om året? b: Hvor stort et lån (6% over 0 år) kan man få, hvis man kan betale kr. om året? Blandede og supplerende opgaver Side 97

102 Lån og opsparing (): Opsparing 1: Anton indbetaler hvert år til nytår kr. på en opsparingskonto. Kontoen giver en rente på % p.a. Renten tilskrives til nytår. a: Udfyld de tomme pladser i tabellen herunder. Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0, , ,00 00, , ,00.101, b: Hvor meget står der på kontoen efter indbetalinger (kik i tabellen)? c: Hvor stor en del af beløbet er renter? d: Kan du også beregne tallet fra opgave b v.h.a. opsparingsformlen? e: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger? f: Hvor meget kan Anton hæve fra kontoen ved slutningen af det 10. år? Der foretages ikke en 11. indbetaling - se evt. forklaring. Den 1. indbetaling sker i starten af det 1. år. Den. indbetaling sker i starten af det. år o.s.v.. Hvis du f.eks. indbetaler penge i år, lader pengene stå til slutningen af det. år... : Agnes indbetaler hvert år til nytår kr. på en opsparingskonto. Kontoen giver en rente på % p.a. Renten tilskrives til nytår. a: Udfyld de tomme pladser i denne tabel. Indbetaling Rente Indsat Opsparing 1 0, , ,00 0, ,00 b: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger? c: Hvor stor en del af dette beløb er renter? : Det er helt urealistisk at spare op i så lang tid, men beregn alligevel a: hvor mange penge vil Anton (ovenfor) have efter 100 indbetalinger? b: hvor mange penge vil Agnes (ovenfor) have efter 100 indbetalinger? c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter..og hæver pengene (uden at foretage en 6. indbetaling), så skal du selv lægge renterne for det sidste år til. Du kan ikke direkte beregne det hævede beløb med opsparingsformlen. Blandede og supplerende opgaver Side 98

103 : Du indbetaler kr. på en konto hvert år til nytår. Hvor meget vil der stå på kontoen efter indbetalinger, hvis. a: det er en anfordringskonto? b: det er en konto med mdr. opsigelse? c: det er en aktionærkonto? (gå ud fra, at du har de nødvendige aktier) Udby og Omegns Bank Rentesatser på indlån Anfordring... 0,% p.a. mdr. opsigelse... 1,% p.a. Aktionærkonto (*)...,% p.a. Børneopsparing (**)...,0% p.a. (*) Du skal have aktier for mindst.000 kr. (pålydende værdi). : Der indbetales årligt kr. på en aktionærkonto. Beløbet indbetales hvert år i 8 år ved årets start. (**) Du kan højst indsætte.000 kr. pr. år. a: Hvor mange penge står der på kontoen efter den sidste indbetaling? Pengene står til slutningen af det 8. år, hvorefter de hæves. Der laves ikke en 9. indbetaling. b: Hvor mange penge kan der hæves? 6: Hvor mange penge ender der med at stå på en børneopsparing, hvis a: der indsættes det maksimale beløb hvert år i 18 år? b: der indsættes 1.00 kr. hvert år i 1 år? c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter. I virkeligheden laver man sjældent en indbetaling om året. Man indbetaler et beløb hver måned. De præcise beregninger er mere indviklede, men man får udmærkede cirkatal, ved at regne med en årlig indbetaling. 7: Studielån Et studielån optages typisk over en årrække. Man låner langsomt flere og flere penge, og der tilskrives renter på samme måde som ved en opsparing. a: Hvor meget får Knud udbetalt i studielån, mens han er under uddannelse? b: Hvor stor er hans gæld da uddannelsen er slut? Gå ud fra, at han får udbetalt penge en gang om året og ved årets begyndelse. Når uddannelsen er slut stiger renten til % p.a. Man behøver ikke at betale tilbage det første år efter at uddannelsen er slut, men der tilskrives naturligvis renter. Derefter afvikles gælden som et annuitetslån. c: Find den årlige ydelse, hvis annuitetslånet afvikles over 9 år (sammenlign med det udbetalte lånebeløb). Knud går først år på VUC og derefter år på seminarium. Han tager hvert år et studielån på.000 kr. Renten er % p.a. Blandede og supplerende opgaver Side 99