Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre
|
|
- Jacob Møller
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre HENRIK KRAGH SØRENSEN Institut for Videnskabshistorie (IVH) Aarhus Universitet, juni 001 Resumé Formålet med denne note er at sammenfatte nogle kommentarer og oplysninger, samlet i forbindelse med øvelsesgangen om regulære polyedre hos PLATON og EUKLID i kurset Geometriens Historie, IVH F00. Der vil især blive fokuseret på de fire første regulære polyedre, som hos PLATON indgår i kosmos-beskrivelsen. Indhold 1 Konstruktion og størrelse af de regulære polyedre hos EUKLID 1.1 Sidelængder Volumen Tilordning af regulære polyedre til elementerne hos TIMAIOS.1 Dodekaederet Sammenblanding af det udelelige og det delelige hos TIMAIOS 6.1 Proportionerne Verdensbilledet
2 HENRIK KRAGH SØRENSEN 1 Konstruktion og størrelse af de regulære polyedre hos EUKLID Hos EUKLID konstrueres de fem regulære polyedre i bog XIII: XIII.1 XIII.1 XIII.15 XIII.16 XIII.17 Tetraeder Oktaeder Kube (terning) Ikosaeder Dodekaeder 1.1 Sidelængder Efter hver af de tre første konstruktioner (XIII.1 XIII.15) afslutter EUKLID med at relatere sidelængden i polyedret til radius i den omskrevne kugle. Dette udtrykkes for eksempel for tetraederet ved Kuglens Diameter i Potens er halvanden Gange Pyramidens Side (XIII.1). Det, der derved menes er (idet s betegner sidelængden i tetraederet og d diameteren i den omskrevne kugle): d = s. På grundlag af disse relationer kan man opstille følgende tabel over forholdet mellem sidelængderne og diametrene: Tetraeder d = s Oktaeder d = s Terning d = s Ikosaeder Dodekaeder s =<mindre>(<minor>) s =<afsnit>(<apotome>) De højere irrationale forhold mellem sidelængder og diameter i ikosaeder og dodekaeder benævnes (som vist) med egne navne. Hvis man forestiller sig alle de regulære polyedre indskrevet i samme kugle med radius r = 1 finder man følgende tabel: Tetraeder s = 6 Oktaeder s = Ikosaeder s = Terning s = ( 5 ) 5
3 EUKLID og PLATON om de regulære polyedre 1. Volumen For legemer bestående af ligesidede trekanter (tetraeder, oktaeder, ikosaeder) finder man ved to gange at benytte PYTHAGORAS sætning på passende retvinklede trekanter: x = radius i den om fladen omskrevne cirkel = s, og h = højde = radius i den i legemet indskrevne kugle = 1 x = 1 s. Ved hjælp af HERON s formel til beregning af trekanters areal finder man let for ligesidede trekanter A = ( ) s s s 1 = s = og legemets volumen beregnes som følger: s, V n = n 1 A nh n = n s 1 s n s = s = n 1 s s. For terningen finder man naturligvis direkte V 6 = s 6, og man bemærker, at kuglens volumen er V K = π, 1. Dermed kan man opstille følgende tabel over volumen af de fire første regulære polyedre indskrevet i samme kugle med radius r = 1: n Navn s n V n V n Tetraeder Oktaeder 1. ( 1 0 Ikosaeder ) 5 ( ) (1) 6 Terning 1.56
4 HENRIK KRAGH SØRENSEN Tilordning af regulære polyedre til elementerne hos TIMAIOS TIMAIOS tildeler regulære polyedre til de fire elementer ild, luft, vand og jord i en passage (Platon Timaios, 6 70), som vi skal vende tilbage til. Først argumenteres imidlertid for eksistensen af de to ekstreme elementer, ild og jord. Dernæst argumenteres for nødvendigheden af to forbindende elementer, idet legemerne er rumlige. Disse to forbindende elementer kræves at være sammenhængende mellemproportionale: Derfor anbragte Gud Vand og Luft imellem Ild og Jord og gjorde dem saa vidt muligt proportionale med hinanden, saa at Luft forholder sig til Vand som Ild til Luft, og Vand forholder sig til Jord som Luft til Vand (Platon Timaios, ) Man kunne forestille sig, at disse sammenhængende mellemproportionaler faktisk var realiseret af de regulære polyedres volumen indskrevet i samme kugle, men som det fremgår af tabellen (1), er dette ikke tilfældet. I stedet kan det måske tages som et udtryk for, hvor store mængder af hvert stof, der forekommer i universet. Idet han når til at tildele de regulære polyedre til hver sit element kommer hans argumentation til i høj grad at bygge på geometriske overvejelser. TIMAIOS fremsætter en tiltalende teori, ifølge hvilken alle fladerne i de regulære polyedre er opbygget af to specielt pæne retvinklede trekanter, nemlig halvdelen af et kvadrat og halvdelen af en ligesidet trekant. Siderne i de regulære polyedre opbygges da af henholdvis halve kvadrater, som sammenstilles til at give et kvadrat, og 6 halve ligesidede trekanter, som sammenstilles til at give en ny ligesidet trekant (se figur 1). Hvorfor TIMAIOS ikke blot sammenføjer to af hver af de elementære trekanter er ikke klart, men måske kan det skyldes at symmetrien forøges (med hhv. rotationer) ved den anvendte konstruktion. Præcist, hvorfor disse trekanter er så pæne argumenteres der ikke udtrykkeligt for. Men som Artmann and Schäfer 1 påpeger, forholder vinklerne i disse basale trekanter sig henholdsvist som 1 : 1 : og 1 : :, hvilket går godt i tråd med PYTHAGORAS lære om harmoniske forhold (forhold mellem små naturlige tal) i naturen. I forbindelse med tilordningen af regulære polyedre til de fire elementer, starter TIMAIOS med elementet jord, som han tilordner terningen: Jord vil vi give den kubiske Figur, for af de fire Slags er Jord den mest ubevægelige og den mest plastiske, og den Figur, der bedst
5 EUKLID og PLATON om de regulære polyedre 5 Figur 1: (Artmann and Schäfer 1, figur 1, 5) svarer til denne Beskrivelse, maa være den, der har de mest stabile Flader. (Platon Timaios, 6 70) Derefter tilordnes de legemer, hvis flader er sammensat af halve ligesidede trekanter, efter tre kriterier: bevægelighed, størrelse, og spidshed. Bevægelighed måles med antallet af flader, således at det mest bevægelige legeme er det, der har færreste antal flader, og det gør den også til den spidseste. TIMAIOS ordner altså legemerne efter tre kriterier: Mest bevægelige Mest spidse Mindste Ild (tetraeder: flader) Ild Ild Luft (oktaeder: flader) Luft Luft Vand (ikosaeder: 0 flader) Vand Vand Hvilket mål, der er anlagt til polyedrenes størrelse, fremgår ikke direkte, men illustreres af følgende tabel byggende på (1), som angiver volumen af de forskellige polyedre indskrevet i en fælles kugle med radius 1: Navn Element Volumen Tetraeder ild 0.51 Oktaeder luft 1. Terning jord 1.56 Ikosaeder vand.56
6 6 HENRIK KRAGH SØRENSEN.1 Dodekaederet Om dodekaederet konstaterer TIMAIOS blot efter konstruktionen af de fire første regulære polyedre: Tilbage var endnu een Konstruktion, den femte, og den brugte Gud til Verdensaltets Kugle og tegnede Billeder paa den. (Platon Timaios, 6) De tegnede billeder referer til stjernebillederne, og det er muligt, at man har benyttet en inddeling af himmelkuglen i 1 pentagonale afsnit (Platon Timaios, fodnote, 6). Det eneste andet tidspunkt 1 formen optræder på i PLATON s skrifter i er dialogen Faidon, hvor SOKRATES udtaler: SOKRATES: Det fortælles nu for det første, at den virkelige Jord set fra oven ser ud som en af de Bolde, der er syet sammen af tolv Stykker Læder... (Platon Faidon, 1) Således ser forbindelsen til æteren ud til at være knyttet senere. Sammenblanding af det udelelige og det delelige hos TIMAIOS.1 Proportionerne TIMAIOS konstruerer to serier af hele tal: 1 7 Ud fra den samlede serie af led fordeler TIMAIOS så portioner af blandingen af det udelelige og det delelige. Dernæst udfyldte han baade de dobbelte og de tredobdelte Intervaller, idet han stadig skar Portioner af Blandingen og anbragte dem imellem Leddene, saa at der i hvert Interval blev to Mellemled: ved det ene var Forskellen mellem Mellemleddet og de to Yderled een og samme Del af henholdsvis første og sidste Yderled, ved det andet var 1 Som jeg har kunnet finde.
7 EUKLID og PLATON om de regulære polyedre 7 Forskellen mellem Mellemled og de to Yderled det samme Tal. Disse Led fremkaldte Intervaller paa og og indenfor de oprindelige Intervaller. Intervallerne paa udfyldte han allesammen med Intervallet paa, saadan at der i hvert af dem blev en Brøkdel tilbage. Det tiloversblevne Interval, der dannedes af Brøkdelen, fandt sit Udtryk i Talforholdet 56. (Platon Timaios, 5 6) I serien af dobbelte intervaller indsættes så harmoniske (hm) og aritmetiske midler (am) på følgende måde : 1 hm am hm am hm am 16 6 og tilsvarende for de tredobbelte intervaller: 1 hm am hm am hm am Dermed opstår to nye serier, hvor jeg under serierne angiver forholdene mellem det pågældende og det foregående led: 16 dobbelte intervaller: tredobbelte intervaller: Intervallerne af udfyldes da med intervaller af, men som udregningen = 56 viser, bliver der et interval af 56 til overs. I starten af serien af dobbelte intervaller giver dette for eksempel: 1 56 hvorefter mønsteret gentager sig ialt tre gange. 56 TIMAIOS forklarer ikke, hvordan de tredobbelte intervaller skal udfyldes, men det kan man se rekonstrueret i (Plato Timaeus, fodnote 1, 6 71), hvorfra også ovenstående er hentet. De harmoniske og aritmetiske midler er givet ved hm (a, b) = ab a + b og am (a, b) = a + b.,
8 HENRIK KRAGH SØRENSEN De fremkomne forhold mellem naturlige tal har en klar inspiration fra musikteorien (harmonilæren), idet forholdet svarer til kvarten, til kvinten og 1 til oktaven. Endvidere har den ved intervallet mellem kvart og kvint til samme grundtone givne heltone (svarende til ) også anvendelse i musikteorien, hvorved også forholdet 56 dukker op som halvtone, se f.x. (Platon Timaios, fodnote 1, 5) eller (Cornford 17, 71 7), hvorfra figur er hentet: Figur : (Cornford 17, 7). Verdensbilledet De to bånd, som TIMAIOS deler blandingen i ledsages af følgende bemærkninger indeholdt i fodnoter i den engelske udgave. The accompanying figure [figur ] indicates how the two strips were applied to each other. The place where they originally laid together across each other is, in the diagram, on the further side, and is marked by a dot; the place where the two ends of each band are joined together, and where the two bands are themselves again joined together is, in the diagram, on the near side, and is indicated by a line on the outer band. The second place of meeting is, as the dotted line indicates, immediately opposite to the first. The outer band, as Timaeus goes on to say, is the Revolution of the Same, and the inner the Revolution of the Other. (Plato Timaeus, fodnote 1, 71) He now tilts the inner band, so that it makes an oblique angle with the outer, which is set at the horizontal; from which we see that the Revolution of the Same represents the celestial Equator, moving hotizontally to the right (from East to West), and the Revolution of the Other represents the Ecliptic, which moves in a contrary direction
9 EUKLID og PLATON om de regulære polyedre Figur : (Plato Timaeus, fodnote 1, 71) to the Equator (from West to East), and at an angle to it. The Ecliptic He divides into seven, to represent the seven planets. (Plato Timaeus, fodnote 1, 7) Divisionen i syv cirkler følger forholdene listet i de dobbelte og tredobbelte intervaller:,,,,, 7. Tre af cirklerne, repræsenterende Solen, Venus og Merkur, skal dreje med samme hastighed, mens de øvrige fire (Månen, Mars, Jupiter og Saturn) skal dreje med hastigheder, der indbyrdes og i forhold til de tre første er forskellige, men rationalt relaterede. PLATON (TIMAIOS) uddyber sine ideer senere (Platon Timaios, 51), se (Cornford 17, ). For KEPLER s anvendelse af PLATON s ideer og Timaios, se (Field 1, 1 16).
10 10 HENRIK KRAGH SØRENSEN Litteratur Artmann, B. and L. Schäfer (1). On Plato s Fairest Triangles (Timaios 5a). Historia Mathematica 0(), Cornford, F. M. (Ed.) (17). Plato s Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary. London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co. Ltd. Duhem, P. (176). Plato s theory of space and the geometrical composition of the elements. In M. Čapek (Ed.), The Concepts of Space and Time, Volume of Boston Studies in the Philosophy of Science, pp Dordrecht, NL and Boston (Mass.): D. Reidel Publishing Company. Euclid (The Elements). Euclid: The Thirteen Books of The Elements. New York: Dover Publications nd ed. vols. Edited by T. L. Heath. Euklid (Elementer). Euklids Elementer. København: Nordisk Forlag vols. Translated by Thyra Eibe. Field, J. V. (1). Kepler s Geometrical Cosmology. Chicago: The University of Chicago Press. Plato (Timaeus). Timaeus. In The works of Plato, Volume 7 of The Loeb Classical Library, pp Cambridge, Massachusetts and London: Harvard University Press and William Heinemann vols. Edited by T. E. Page et al. Platon (Faidon). Faidon. In volume of Platon (Skrifter), pp vols. Edited by C. Høeg and H. Ræder. Platon (Skrifter). Platons Skrifter. København: C. A. Reitzels Forlag vols. Edited by C. Høeg and H. Ræder. Platon (Timaios). Timaios. In volume of Platon (Skrifter), pp vols. Edited by C. Høeg and H. Ræder.
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereØvelse 1. bygges op, modellen
Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere naturvidenskaberne, og han søgte hele sit liv at finde de fysiske love,
Læs mereFigurer med ligesidede trekanter deltaedere
Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereProjekt 4.13 Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Projekt. Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi Firmaet Sprits for Kids ønsker at relancere deres vodkadrink Vodkaklovnen
Læs merePlatons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? *
Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? * Af Vassilis Karasmanis Afsnit 31b4 32c4 fortæller os at verden, fordi den kan ses og berøres, må bestå af ild og jord, og der
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereProjekt 1.3 Design en optimal flaske
Hvad er matematik? Projekter: Projekt. Design en optimal flaske Projekt. Design en optimal flaske (Projektet er identisk med projekt.8 i Hvad er martematik? ) Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereJorden placeres i centrum
Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale
Læs mereMattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer
Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereMatematik på Åbent VUC
Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan
Læs mereDecimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker
Læs mereRen versus ligesvævende stemning
Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440
Læs mereKapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden
Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereProjekt 1.8 Design en optimal flaske
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Variabelsammenænge. Projekt.8 Design en optimal flaske Projekt.8 Design en optimal flaske Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres energidrik Energizer. Den skal
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereInteraktiv Whiteboard og geometri
Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65
Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereDescartes broen mellem geometri og algebra
Descartes broen mellem geometri og algebra Kristian Danielsen og Emilie Gertz, eksterne lektorer, Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet Introduktion De fleste, selv elever der begynder i 1.g,
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereProjekt 1.8 Design en optimal flaske
Hvad er matematik? ISBN 97 887 7066 679 Projekter: Kapitel. Projekt.8 Design en optimal flaske Projekt.8 Design en optimal flaske Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres energidrik Energizer. Den skal
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Symmetri i natur, kunst og matematik Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1. februar 2017 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur,
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereDato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013
Side 1 af 7 Teknologisk singularitet 24. oktober 2013 Side 2 af 7 Begreberne teknologisk singularitet og accelereret udvikling dukker ofte op i transhumanistiske sammenhænge, idet de beskriver en udvikling,
Læs merePeter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub
Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige. Anden forelæsning: Indivisibler
Matematik: Videnskaben om det uendelige Anden forelæsning: Indivisibler Klaus Frovin Jørgensen 20. september, 2010 1 / 24 Den græske matematik Endelige geometriske objekter er matematikkens objekter Kun
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereMatematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)
Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2013 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereBlandede opgaver (2) Maler-Biksen. Matematik på VUC Modul 3c Opgaver
Blandede opgaver (2) 1: Tegningen viser et værelse med skråvæg. To af væggene kaldes A og B. a: Find arealet af væg A. b: Find arealet af væg B. A B 1 m 465 cm 4 m c: Tegn væggene i målestoksforhold 1:50.
Læs mereTitel: Hungry - Fedtbjerget
Titel: Hungry - Fedtbjerget Tema: fedme, kærlighed, relationer Fag: Engelsk Målgruppe: 8.-10.kl. Data om læremidlet: Tv-udsendelse: TV0000006275 25 min. DR Undervisning 29-01-2001 Denne pædagogiske vejledning
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereJeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence
Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN
Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2012 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereFacitliste til elevbog
Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a
Læs mereProjekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereMerKaBa Stjernetetraeder - Kristusbevidsthedens Netværk
MerKaBa Stjernetetraeder - Kristusbevidsthedens Netværk Et stjernetetraeder er den mest basale figur, som findes i det 3-dimensionale univers. Det formes af to sammensatte tetraedre og danner en 3-dimensional
Læs mereVi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:
Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold
Læs mere6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion
6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Areal og overflade: kunne foretage beregninger af sammensatte arealer og sammensætte formler til beregning af disse.
Læs mereVi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:
Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereUnityskolen Årsplan for Matematik Team 2 (3.-4. klasse)
Klasse: Team 2 (3.- 4.klasse) Fag: Matematik Lærer: Nawal Tayibi Lektioner pr. uge:? Antal elever:? Uge Forløb Færdigheds- og vidensmål Læringsmål 33 introuge 34-37 Addition og subtraktion Tal og algebra
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mere