C Y L I N D E R S Y M M E T R I S K D C - R E S P O N S

Transkript

1 C Y L I N D E R S Y M M E T R I S K D C - R E S P O N S I M P L E M E N T E R I N G, & A N A L Y S E I N V E R S I O N S P E C I A L E O P G A V E I G E O F Y S I K J E N S E M I L N I E L S E N V E J L E D E R : E S B E N A U K E N M E D V E J L E D E R : A N D E R S V E S T C H R I S T I A N S E N 0. M A J G E O L O G I S K I N S T I T U T A A R H U S U N I V E R S I T E T

2

3 Indholdsfortegnelse i Indholdsfortegnelse Forord Resumé Abstract iii iv v Indledning 2 Potentialteori 4 2. Elektrisk potential Homogent helrum Spejlkildemetoden Hel- eller halvrum Den cylindersymmetriske model Tilsyneladende resistivitet 6 4 Numerisk implementering 8 4. Teori Numerisk verificering Verificering Inversionsteori Generel teori A priori Bånd Inversion Residual Analyse Boring og log 3 7. Borehullet Boremudder Invasionszonen Formationen Loggen Modelanalyse Model Analyse Inversion - Syntetiske data Syntetiske data Inversion

4 Indholdsfortegnelse ii 0 Inversion - Feltdata Feltdata DGU nr Diskussion 87 2 Konklusion 95 Litteraturliste 97 A Den horisontalt lagdelte model 0 A. Potential bestemt analytisk A.2 Potential bestemt ved Laplace A.3 Numerisk verificering B Fortran-kode 5 C Supplerende inversion - Feltdata 2 C. DGU nr C.2 DGU nr C.3 Modeltilpasning C.4 Relativ forskel D Logtest 4

5 Forord iii Forord Dette speciale er udarbejdet som sidste led i uddannelsen som geofysiker ved Århus Universitet. Efter at have skrevet min bacheloropgave hos Esben Auken, blev det hurtigt aftalt at vi også skulle sætte et speciale sammen. Det overordnede emne blev også hurtigt slået fast, mens detaljerne i indholdet blev bestemt hen ad vejen. Der er så vidt muligt forsøgt på at bruge danske betegnelser i opgaven. Der er dog enkelte tilfælde hvor det engelske udtryk er at foretrække, bl.a. er ordet forward brugt til betegnelse af data, der er beregnet ud fra en given model og elektrodekonfiguration. Ligeledes er ordet tool anvendt til at betegne selve instrumentet der anvendes til målinger i et borehul. Hertil anvendes også ordet log nogen gange. Caving bruges som betegnelse for situationen hvor borehullet er blevet større end borehovedet. Betegnelsen mudcake anvendes om det lag der kan dannes på borevæggen når boremudder trænger ud i formationen. Personlig kommunikation vil i teksten blive forkortet med pers.kom. Punktumet har erstattet kommaet i decimaltal. Dette er en arbejdsskade efter mange timer med MatLab og Fortran. Til fremstilling af figurer er programmerne MatLab og Adobe Illustrator blevet anvendt. Specialet er skrevet i TEX og koden er skrevet i sproget Fortran90. I forbindelse med specialet har flere personer bidraget fagligt, praktisk og med støtte. Derfor vil jeg gerne takke min vejleder Esben Auken for en spændende og lærerig specialetid. Medvejleder Anders Vest Christiansen skal også have en stor tak for sin hjælp undervejs. Niels Bøie Christensen skal have en stor tak for sin hjælp til kapitlerne omkring verificering af koden og analyse af den cylindersymmetriske model. Flere personer fra Orbicon har bidraget, her skal lyde en tak til Anders Edsen og Henrik Andersen, samt Ole Silkjær der også underviser brøndborere ved Århus Tekniske Skole. Inga Sørensen fra Vitus Bering University College, der underviser Bygge- og Anlægsingeniører i geofysik, skal have tak for at give mig adgang til Werner Bai s data og arkiver. Også en tak til Kurt Klitten fra GEUS, for at vise sin interesse og kommentarer. En stor tak til Rasmus Teilmann, Aja Brodal og Pernille Krogh for gennemlæsning af specialet. Tak til vennerne, både på og udenfor kontoret. Og slutteligt, en stor tak til familien. Aarhus Universitet. Maj Emil Nielsen.

6 Resumé iv Resumé Der er gennem tiden foretaget et stort antal resistivitetslogs til grundvandsundersøgelser, som hidtil kun er undersøgt kvalitativt. Problemstillingen behandlet i dette speciale er, om det er muligt at fastlægge borehullets parametre ved inversion. Borehullet beskrives som en cylindersymmetrisk model, bestående af borehul, invasionszone og den uforstyrrede formation. Interessen ligger i at kunne bestemme formationsresistiviteten, kan andre parametre bestemmes, vil det også være af interesse. Potentialudtrykket for den cylindersymmetriske model er implementeret i programmet emdinv hvilket muliggør forward beregning og D-inversion af data. Der er lavet analyser og inversion af syntetiske data for at undersøge muligheder og begrænsninger i bestemmelse af modellens parametre. Til sidst er der foretaget inversion på feltdata fra en boring. Analyserne og inversionen af syntetiske data viser store problemer med at bestemme invasionszonens parametre. Der er tegn på lagundertrykkelse. Til gengæld er det stort set altid muligt at bestemme den uforstyrrede formationsresistivitet. Inversionen af feltdata rejste et nyt spørgsmål. Det viste sig at inversionen har svært ved at finde den samme boremudderresistivitet som fluidloggen. Det førte til at der blev lavet nogle testmålinger af Orbicon s fluidlog-udstyr. Dette ledte ikke til noget entydigt svar på spørgsmålet, så der ligger forsat noget arbejde i at afklare dette.

7 Abstract v Abstract In Denmark a large amount of resistivity logs, for groundwater investigations have been made. Data has so far only been looked at qualitatively. The main issue of this thesis is to investigate if more information can be drawn from the data by inversion. The borehole is described by cylindrical symmetric layers, consisting of the borehole, the invasion zone and the true formation. The main interest is to determine the undisturbed formation resistivity, but if information about the other parameters can be deduced, would this also be appreciated. The potential for cylindricalsymmetric models is implemented in emdinv and thereby forward calculation and D-inversion is optional. To investigate the possibilities and limits in parameter determination, analysis and inversion of syntectic data is carried out. Finally, an example of field data inversion is presented. The analysis and inversion of syntectic data, shows difficulties in the determination of the invasion zone parameters. Indications of layer suppression is evident. It also s- hows that the resistivity of the true formation is almost always found. Inversion of field data led to new questions. It turned out, that the boremud resistivity determined by inversion, is not identical, with the measurement from the fluid resistivity log. To resolve this question test measurements were made with the company Orbicon s fluid log, but no solution was found. Hence more work has to be done to solve the question.

8 Indledning Indledning Dette speciale er udarbejdet med henblik på at kunne lave inversion af data fra elektriske logs. I de første samtaler omkring specialets indhold blev det besluttet, at der skulle laves et potentialudtryk for en horisontalt lagdelt model og en cylindersymmetrisk model, med hovedvægt på den sidste type. Under forløbet viste det sig, at der i problemstillingen omkring den cylindersymmetriske model var nok til ét speciale. Derfor præsenteres et potentialudtryk for modellen med cylindersymmetriske lag i selve specialet, mens et udtryk for modellen med horisontale lag kort præsenteres i appendiks A. Begge udtryk er implementeret i emdinv, der er udviklet af Esben Auken og Anders Vest Christiansen. Med programmet kan der regnes forward og laves D-inversion af forskellige elektriske og elektromagnetiske metoder. Derudover er der mulighed for at lave samtolkning af data indsamlet med de forskellige metoder. At hovedinteressen ligger på den cylindersymmetriske model skyldes bl.a., at der findes en stor datamængde af logs foretaget i borehuller, der kan anskues som cylindersymmetriske. Et eksempel kunne være en trelagsmodel med boremudder inderst, derefter en invasionszone og yderst den uforstyrrede formation, også kaldet den sande formation. Det er den uforstyrrede formation, der primært ønskes fastlagt. Af interesse er det også om invasionszonens parametre (resistivitet og tykkelse) kan fastlægges, da de siger noget om formationens porøsitet og permeabilitet. Det er nødvendigt at foretage nogle antagelser og se bort fra nogle forhold, der vil være tilstede i et borehul. Blandt andet antages der homogene og isotrope lag og ved inversion af feltdata, ses der bl.a. bort fra borehulseffekter. Dette er nødvendigt da borehullet nemmest anskues som værende D. Bestemmelsen af et potentialudtryk, undersøgelser af forskellige elektrodekonfigurationer og effekter af forholdene omkring borehullet, er der skrevet flere artikler om. Nogle af dem, præsenteres her. Den teoretiske baggrund for et cylindersymmetrisk potentialudtryk er givet i Dakhnov (962) og Drahos (984). Den første er en lærebog, hvori der gives et udtryk til bestemmelse af potentialet for en trelagsmodel. Den anden er en artikel hvori én måde at fortolke invasionszonen på undersøges. Det gøres ved en inddeling af invasionszonen i flere mindre lag, hvilket betyder at der præsenteres et potentialudtryk for mangelagsmodeller. I artiklen regnes der forward på modeller hvor invasionszonen er inddelt i otte mindre lag og der laves mindste kvadraters tilpasning hertil med trelagsmodeller. Det er denne artikel der danner grundlag for potentialudtrykket i specialet, der præsenteres i afsnit 2.3. I Roy og Dutta (994) undersøges firelagsmodeller bestående af borehul, invaderet zone, invasionszone og den uforstyrrede formation. I den invaderet er porevæsken fuldstændig udskiftet med boremudder, mens den i invasionszonen er en blanding. Derfor antages resistiviteten af invasionszonen at være givet ved et lineært udtryk afhængig af radius r. Det konkluderes bl.a. heri at effekten af mudcake er negligibel. En anden

9 Indledning 2 måde at anskue invasionszonen resistivitet på findes i Dutta (997). Her er den givet ved et eksponentielt udtryk afhængig af r. Ved sammenligning af typekurver for modeller med invasionszones resistivitet givet med et lineært og eksponentielt udtryk, konkluderes det at jo højere forskel mellem resistiviteten i første og sidste lag, jo større forskel i resistiviteten for de to situationer. Modellen med det eksponentielle udtryk giver den højeste resistivitet. Potentialudtrykkene der præsenteres i dette speciale er for D-modeller. Ønskes et udtryk for 2D-modeller stiger kompleksiteten i udregningerne af potentialet. 2D-modeller indeholder vertikale og horisontale laggrænser, der repræsentere henholdsvis borehullet og grænser mellem lagene. I ovennævnte artikler findes en løsning til D-problemet, mens der i Roy og Dutta (994) findes en løsning til 2D-problemet ved brug af finite difference metoden. Formålet er at undersøge de effekter der opstår som følge af de omkringliggende horisontale lag. Denne effekt går under betegnelsen skulder-effekten. Det konkluderes at afstanden fra loggen til skuldrene skal være over tolv gang afstanden mellem elektroderne i en normal-log, før effekten er fraværende. Finite difference metoden anvendes også af Weller et al. (2003). Heri undersøges tre forskellige logs evne til at finde laggrænser. Andre metoder til bestemmelse af et potentialudtryk for 2D-modeller præsenteres af Gianzero og Anderson (982) og Tsang et al. (984). De to metoder der anvendes kaldes henholdsvis, en integral transform og hybrid metode. Potentialudtrykkene bestemt med disse to metoder er mere komplekse for selv simple modeller. I Yang og Ward (984) antages det at borehullet er meget lille. Efter at have borehulskorrigeret data, foretages inversionen for en horisontalt lagdelt model. Det konkluderes at denne metode ikke er velegnet når de horisontale lag er tynde. For at opløse tynde lag skal der anvendes en lille elektrodeafstand og i den forbindelse kan der ikke ses bort fra borehullet. I Whitman et al. (989) bruges finite difference metoden til at generere D og 2D forward data og der inverteres på D og 2D syntetiske data. Der foretages også inversion af feltdata. Først inverteres feltdata med en D-model (horisontal lagdelt), herefter inverteres data med en 2D-model hvor resultatet fra før bruges til at angive startværdierne i den nye model. Det konkluderes at der i forbindelse med inversion af 2D syntetiske data fra en 6"log, er problemer med at opløse invasionszonens tykkelse og resistivitet. Det samme gør sig gældende for den uforstyrret formationsresistivitet. I begge artikler anvendes en inversionsmetode kaldet ridge regression eller Marquardt inversion. Principperne i denne inversionsmetode anvendes også i emdinv. Inversionsteorien præsenteres i kapitel 6. Det har desværre ikke været muligt at finde artikler der præsentere inversion af data fra en cylindersymmetrisk model. For at beregne potentialudtrykket antages det at borehullet er cirkulært. Gianzero (977) undersøger effekten af et elliptisk borehul. Det konkluderes at effekten er mest udtalt for tools med lille elektrodeafstand og at et tilsvarende respons for et cirkulært borehul opnås hvis hullets radius ligger imellem ellipsens halve store- og lilleakse. Tre tools evne til at opløse en 2D-model undersøges af Roy og Dutta (996). Det drejer sig om normal-, lateral- og laterologgen. Igen er det finite difference metoden der anven-

10 Indledning 3 des til udregning af potentialet. Der findes bl.a. frem til at normalloggen har problemer med at fastlægge den uforstyrret formation hvis boremudderresistiviteten er meget lav, mens lateralloggen ikke har samme problemer. Det konkluderes for en boremudderresistivitet på 0.05Ωm og formationens resistivitet på 00Ωm. Dette bemærkes også af Furche og Weller (2002). I denne artikel undersøges følsomhedsfunktionen for forskellige elektrodekonfigurationer i en cylindersymmetrisk tolagsmodel. Følsomhedsfunktionen kan sige noget om konfigurationernes evne til at opløse tynde horisontale lag. For at kunne sige noget om følsomheden ude i formationen skal man kunne bestemme potentialet herude. Derfor præsenteres der også et potentialudtryk for denne situation. Der findes bl.a. frem til følgende for normalloggen: når formationsresistiviteten er over 00 gange større end boremudderresistiviteten, vil størstedelen af den induceret strøm løbe i borehullet og derved er der meget lidt følsomhed ude i formationen. Det bekræftes også at lateralloggen er bedre en normalloggen til at opløse tynde horisontale lag, men som det bemærkes aftager den kraftigt med stigende forskel mellem resistiviteterne af boremudder og formation. Specialet indledes med noget generel teori, der fører til en udledning af potentialudtrykket for den cylindersymmetriske model. Dette implementeres numerisk i emdinv og verificeres. Ved analyse og inversion af syntetisk data, foretages der modelstudier. Det leder til inversion af feltdata. Der gives en diskussion af resultaterne, der slutteligt leder til en konklusion. Dette er, i store træk, forløbet i nærværende speciale.

11 2 Potentialteori 2 4 Potentialteori Der er inden for geofysikken flere måde at opnå information om undergrundens egenskaber, som f.eks. resistiviteten. Denne information kan skaffes med de geoelektriske metoder. For at kunne sige noget om jordens resistivitet induceres en strøm i jorden og der måles en potentialforskel. I den forbindelse vil opstillingen altid indeholde fire elektroder, to strøm- og to potentialelektroder, disse betegnes henholdsvis A B og M N. Nogle gange placeres en strøm- og en potentialelektrode meget langt fra selve borehullet, mens en strøm- og en potentialelektrode befinder sig i borehullet, dette kaldes en normal-konfiguration. Forskellige geoelektriske metoder afhænger blandt andet af den indbyrdes placering af elektroderne. Som eksempler herpå kan elektroderne enten være placeret på jordoverfladen, som det kendes fra Wenner- og Schlumbergerkonfigurationerne, eller de kan sidde på en sonde som anvendes til borehulslogging. Her bruges f.eks. normal-, lateral- og laterolog-konfigurationerne. Der gøres nogle antagelser omkring jorden i de modeller der kigges på bl.a. at lagene er homogene og isotrope og at laggrænserne er vertikale. Til bestemmelse af potentialet er det som udgangspunkt Laplaceligningen der anvendes. Dette er en differentialligning, som kan løses enten udfra nogle grænsebetingelser eller ved direkte integration. Afhængig af ligningens kompleksitet kan den ene metode være at foretrække frem for den anden. 2. Elektrisk potential Et udtryk for potentialet findes blandt andet i Keller og Frischknecht (966), Telford et al. (990) og Griffiths (999). Følgende gennemgang er baseret herpå. Til bestemmelse af et udtryk for potentialet, begyndes der med Ohms lov. Udtrykt med strømtætheden J og det elektriske felt E, er den som følgende J = σe (2.) hvor σ er konduktiviteten, også givet ved den reciprokke resistivitet /ρ. Det elektriske felt er givet ved gradienten af potentialet E = V (2.2) J = σ V (2.3) Disse to udtryk giver tilsammen Da der gælder ladningsbevarelse, siger kontinuitetsligningen at divergensen af strømtætheden er nul, J = 0. Benyttes dette i den foregående ligning (2.3) fås følgende (σ V ) = 0 Kontinuitetsligningen J = ρ/ t. Griffiths (999) ligning (5.29) s.24. (2.4)

12 2 Potentialteori 5 og udregnes divergensen af udtrykket i parentesen fås σ V + σ 2 V = 0 (2.5) Da det antages at lagene er isotrope, altså at σ er konstant i alle retninger, bliver gradienten heraf nul, σ = 0 og første led i (2.5) forsvinder. Divideres der igennem med σ i ligning (2.5) bliver resultatet 2 V = 0 (2.6) Udtrykket i ligning (2.6) er Laplaceligningen. I forbindelse med bestemmelsen af potentialet, er der fire betingelser, der skal være opfyldt. To betingelser skal sikre at potentialet konvergerer og to skal sikre stabilitet ved laggrænser. Betingelse : V = V 0 for r 0 Denne betingelse skal sikre at potentialet konvergerer. V 0 er det potential, der vil måles når man er så tæt på kilden, at effekter fra omkringliggende lag ikke er til stede. Betingelse 2 : V = 0 for r + Denne betingelse skal sikre at potentialet konvergerer. Betingelse 3 : V i = V i+ Potentialet skal være kontinuert over en laggrænse. Hvis dette ikke var tilfældet vil det ifølge Ohms lov betyde, at laggrænsen yder en uendelig høj modstand, hvilket ikke er muligt. Betingelse 4 : J i = J i+ Den komponent af strømtætheden, der er normal til laggrænsen skal være kontinuert over laggrænsen. Dette grunder i princippet om ladningsbevarelse. Med disse betingelser kan der findes en løsning til Laplaceligningen. 2.2 Homogent helrum Først betragtes en strømelektrode placeret i et homogent og isotropt lag. Afstanden til andre lag eller overfladen antages at være så stor at der kan ses bort herfra. Strømmen vil løbe radiært i alle retninger væk fra kilden, så potentialet vil være en funktion kun afhængig af afstanden til kilden r. Det vil sige at ækvipotentialfladerne vil være kugleskaller med kilden i centrum. Derfor er det fordelagtigt at udtrykke Laplaceligningen (2.6) i sfæriske koordinater ( r 2 V ) + r 2 r r r 2 sinθ ( sinθ V ) + θ θ 2 V r 2 sin 2 θ φ = 0 (2.7) 2 og da potentialet som sagt kun afhænger af r reduceres ligning (2.7) til d ( r 2 dv ) = 0 (2.8) dr dr

13 2 Potentialteori 6 Løsningen til Laplaceligningen findes her ved at foretage dobbelt integration med hensyn til r, hvorved udtrykket bliver til følgende V (r) = A r + B (2.9) hvor A og B er konstanter. Da betingelse 2 siger at V = 0 når afstanden til kilden er meget stor r må der gælde at B = 0. Som nævnt løber strømmen radiært ud fra kilden, det vil sige at den totale strøm der gennemløber en kugleskal med kilden i centrum vil være I = 4πr 2 J (2.0) Dette forhold kommer af Gauss lov der siger at I = s J da2. Ved at benytte udtrykket for potentialet fra ligning (2.9) i ligning (2.3), fås følgende udtryk I = 4πr 2 σ dv dr = 4πσA (2.) Heraf kan den sidste konstant i (2.9) bestemmes til at være A = I/4πσ og potentialudtrykket bliver V (r) = ρ I (2.2) 4π r Potentialet i ligning (2.2) gælder for én kilde og én modtager. Er der flere kilder tilstede er det endelige potential, summen af bidraget fra hver enkelt kilde V = V + V V n + V n (2.3) Denne egenskab udnyttes i forbindelse med spejlkildemetoden, som præsenteres i næste afsnit Spejlkildemetoden I den situation hvor modellen er simpel, bestående af to lag med forskellig resistivitet, adskilt med en horisontal laggrænse, kan spejlkildemetoden anvendes til bestemmelse af potentialet. Princippet i metoden bygger på geometrisk optik som blandt andre, er behandlet af Young og Freedman (2000). I geofysikken udskiftes lyskilder med strømkilder, semitransparente spejle med laggrænser og brydningsindeks med resistiviteter, (Andersen, 980). Når spejlkildemetoden anvendes til bestemmelse af et potentialudtryk, er det udbredelsen af strømtætheden der ses på. Den er givet ved ligning (2.3) og det ses at den er givet ved et vektorfelt der står vinkelret på ækvipotentialfladerne. Tilstedeværelsen af en laggrænse mellem lag med forskellig resistivitet, vil medføre at noget af strømmen løber igennem laggrænsen og noget bliver reflekteret. Den reflekterede del kan repræsenteres ved en spejlkilde, der er placeret i samme afstand til laggrænsen som kilden og vinkelret på laggrænsen. 2 Ligning 5.43 s.222 i Griffiths (999)

14 2 Potentialteori 7 Med én laggrænse er der to muligheder for elektrodernes placering. Enten kan de være i samme eller i hvert sit lag, som illustreret i figur 2. og 2.2. A # r d M # A # ρ d r r r t A # 2 # M ρ 2 Figur 2.: Elektroderne i samme lag. A er kilden, A er spejlkilden og M er modtageren. Den direkte afstand mellem A og M betegnes r d og mens den reflekterede afstand mellem A og M betegnes r r. Figur 2.2: Elektroderne i hvert sit lag. A er kilden og M modtageren. Strømmen der transmitteres gennem laggrænsen tilbagelægger afstanden r t på vej mellem kilde og modtager (A og M). Når elektroderne er i samme lag er der to bidrag til potentialet. Det første bidrag kommer fra strømmen der løber den direkte vej mellem kilde og modtager. Det andet bidrag kommer fra strømmen som reflekteres i laggrænsen. Strømmen i første led har styrken I og har tilbagelagt vejen r d. Mens strømmen i andet led har styrken I r og har tilbagelagt vejen r r, der er den samme afstand som den mellem spejlkilden og modtageren. Med brug af ligning (2.2) og (2.3) fås V = ρ ( I + I ) r (2.4) 4π r d r r Afstandene r d og r r vil i cartesiske koordinater blive til følgende r d = ((x A x M ) 2 + (y A y M ) 2 + (z A z M ) 2 ) (2.5) r r = ((x A x M ) 2 + (y A y M ) 2 + (z A + 2d z M ) 2 ) (2.6) hvor indeksene A og M, er henholdsvis kilde og modtager. Når elektroderne er i hver sit lag, kommer det eneste bidrag til potentialet fra den strøm der transmitteres gennem laggrænsen med strømstyrken I t, og som har tilbagelagt afstanden r t. Det giver følgende potentialudtryk V = ρ 2 I t (2.7) 4π r t Afstanden r t vil have samme udtryk som r d (2.5) i cartesiske koordinater. Som nævnt er der to betingelser der skal være opfyldt for strømmens bevægelse over en laggrænse (betingelse 3 og 4 i afsnit 2.). Potentialet være det samme på begge sider af laggrænsen V = V 2 og det samme gælder for den vertikale komponent af strømtætheden J z = J z2.

15 2 Potentialteori 8 Tænkes modtageren M i de to figurer 2. og 2.2, at være sammenfaldende og liggende i laggrænsen, vil der gælde at r d = r r = r t og via (2.4) og (2.7) giver betingelse at ρ (I + I r ) = ρ 2 I t (2.8) Den vertikale komponent af strømtætheden er givet ved J z = J cos θ, der sammen med ligning (2.3) og (2.7) giver betingelse 2 følgende udtryk I cos θ + I r cos θ r = I t cos θ t (2.9) Med antagelsen fra tidligere om M liggende i laggrænsen, vil vinklen θ r = 80 θ og θ t = θ, hvilket give følgende forhold I I r = I t (2.20) Med de to ligninger (2.8) og (2.20) findes et udtryk for forholdet mellem strømstyrkerne I og I r. I r = ρ 2 ρ ρ 2 + ρ I (2.2) Brøken kaldes refleksionkoefficienten k. Via ligningerne (2.20) og (2.2) kan der bestemmes et udtryk for I t I t = ( k)i (2.22) Det vil sige at ved en laggrænse vil noget af strømmen blive reflekteret, mens noget transmitteres. Herved ændres strømstyrken, så det bidrag til potentialet der kommer fra den reflekterede del, skal ganges med k, mens bidraget fra den transmitterede del ganges med ( k). Koefficienten indekseres efter hvor til og fra strømmen løber. Generelt for k gælder k ab = ρ a ρ b ρ a + ρ b (2.23) Som vist i figur 2. og 2.2 er der i modellen med én laggrænse to mulige situationer for bestemmelsen af potentialet. Elektroderne kan være i samme eller hvert sit lag. Ligningerne (2.4) og (2.7) bliver til og V = ρ I 4π V = ρ 2I 4π ( + k ) 2 r d r r ( ) k2 Dette er resultatet for en model med én laggrænse. r t (2.24) (2.25) I appendiks A. gennemgåes ligningerne til bestemmelse at potentialet for en trelagsmodel. Men allerede i en sådan model stiger kompleksiteten meget og den analytiske metode til bestemmelse af potentialet mister sin anvendelighed. Til mere komplekse modeller er det bedre at bestemme et udtryk for potentialet på en anden måde, som f.eks. ved løsning af Laplaceligningen via grænsebetingelser.

16 2 Potentialteori Hel- eller halvrum Når man beregner potentialet skelnes der imellem om man befinder sig i et hel- eller halvrum. Forskellen mellem de to situationer afhænger af hvor tæt man er på jordoverfladen. Når man foretager geofysiske målinger på jorden vil man måle i et halvrum, da luften har meget høj resistivitet. Potentialudtrykket afhænger af hvilken situation man er i. Forskellen giver sig til udtryk i ligning (2.2), hvor der for hel- eller halvrummet, vil stå henholdsvis 4π eller 2π i nævneren. Det kommer af, at strømmen i halvrumssituationen kun gennemløber en halv kugleskal og deraf reduceres 4π til 2π i ligning (2.). For at undersøge dette nærmere, anvendes en tolagsmodel. Sættes det første lag til at være luftlaget med meget høj ρ, vil laggrænsen repræsentere jordoverfladen. Spørgsmålet er så hvornår man befinder i et helrum eller et halvrum. A # A # B r # # M A # # a r z N luft Figur 2.3: Normallog i tolagsmodel. z angiver dybden til konfigurationens midtpunkt. På overfladen findes B og N i afstanden r. A er spejlkilden. Afstanden r AM er a. B B N M A # # # # # a a a z luft Figur 2.4: Wennerlog i tolagsmodel. z angiver dybden til konfigurationens midtpunkt. Afstanden mellem elektroderne r AM, r MN, r NB er a. A og B er spejlkilderne. De to figurer viser en normal- og en Wenner-konfiguration. Resistiviteten af luftlaget er sat til 0 9 Ωm og z er dybden til konfigurationens midtpunkt. Afstanden r i normalkonfigurationen er sat til at være uendelig. Med fire elektroder og to spejlkilder bestemmes potentialforskellen til følgende V = V M V N = (V AM + V A M (V BM + V B M )) (V AN + V A N (V BN + V B N )) = Iρ [( + ) ( + + )] 4π r AM r BM r AN r BN r A M r B M r A N r B N (2.26) Er der ingen spejlkilder, forsvinder de led hvor A og B indgår. For en normal-konfiguration får ligning (2.26) følgende udseende med spejlkilder V = Iρ ( 4π a + ) (2.27) 2z og uden spejlkilder V = Iρ ( ) 4π a (2.28)

17 2 Potentialteori 0 Divideres de to udtryk (2.27) og (2.28) og anvendes z = na der siger at dybden z er et heltal af elektrodeafstanden a, fås der V V = + 2n (2.29) Dette udtryk beskriver hvordan effekten fra overfladen influerer målingerne. Ønskes effekten at være mindre end 5% viser det sig at n > 0, eller z > 0a for normalkonfigurationen. Gøres det samme for en log med Wenner-konfiguration, giver det følgende udtryk V V = + n n 2 4n 4n 2 (2.30) Her gælder der, at hvis effekten fra overfladen skal være mindre end 5%, skal n > 2.63 svarende til z > 2.63a. Det ses at indflydelsen fra overfladen meget mindre udtalt for Wenner- end for normalkonfigurationen. 2.3 Den cylindersymmetriske model I dette afsnit gennemgås hvordan potentialet for en model med n cylindersymmetriske lag kan beregnes. Laplaceligningen kan som nævnt løses på to måder, ved direkte integration eller ved brug af grænsebetingelser. Det er den sidste metode der anvendes i det følgende. Beskrivelser af løsningen til den cylindersymmetriske model kan findes hos Dakhnov (962) og Drahos (984). Det er sidstnævnte der overvejende danner grundlag for den følgende gennemgang. Der startes med Laplaceligningen (2.6) udtrykt i cylindriske koordinater 2 V r 2 + r V r + 2 V z 2 + r 2 2 V θ 2 = 0 (2.3) med z regnet positiv nedefter. Fordelen ved cylindriske koordinater er at potentialet, med fastholdt z og r, har samme værdi hele vejen rundt om kilden. Det betyder at udtrykket er uafhængig af vinklen θ og derved forsvinder det sidste led i ligning (2.3). Laplaceligningen reduceres derfor til 2 V r 2 + r V r + 2 V z = 0 (2.32) 2 Ved at anvende separation af variable er det muligt at finde en løsning hertil, som det antages har formen V (r, z) = U(r)W (z) (2.33) Ved at bruge denne formulering i ligning (2.32) fås følgende differentialligning W d2 U dr 2 + W r du dr + U d2 W dz = 0 2 Ved at separere de variable på hver side af lighedstegnet, kan dette skrives som d 2 U U dr + du 2 Ur dr = d 2 W (2.34) W dz 2

18 2 Potentialteori En løsning hertil er at udtrykkene på begge antager samme vilkårlige værdi, kaldet λ 2. Det giver følgende to udtryk d 2 W dz = 2 λ2 W (2.35) og r d2 U dr + du 2 dr λ2 ru = 0 (2.36) Løsningen 3 til (2.35) er som følger W (z) = Acos(λz) + Bsin(λz) (2.37) hvor A og B er konstanter. Dette udtryk kan simplificeres med betragtningen om, at potentialet ikke afhænger af om det bestemmes i afstanden z eller z i forhold til kilden, dvs. V (r, z) = V (r, z). Derfor sættes B = 0 og sin-leddet forsvinder fra ligning (2.37). Løsningen 4 til (2.36) indeholder nulte ordens modificeret Besselfunktioner af første og anden slags U(r) = CI 0 (λr) + DK 0 (λr) (2.38) hvor C og D er konstanter. Ved at sætte (2.37) og (2.38) i ligning (2.33) ender udtrykket med at være V (r, z) = [CI 0 (λr) + DK 0 (λr)]acos(λz) (2.39) Den generelle løsning til Laplaceligningen findes med antagelsen om at enhver linearkombination af ligning (2.39) for forskellige λ, er en løsning til Laplaceligningen. Endvidere kan konstanterne samles og skrives som funktioner af λ, kaldet C(λ) og D(λ). V i (r, z) = 0 [C i (λ)i 0 (λr) + D i (λ)k 0 (λr)]cos(λz) dλ (2.40) Indekset i angiver i hvilket lag potentialet ønskes bestemt. Med betingelse og 2 fra afsnit 2. der sikre at potentialudtrykket konvergere, må der gælde følgende for C og D: For r 0 gælder der at I 0 og K 0 og heraf må D =, da V = V 0. For r gælder der at I 0 og K 0 0 og heraf må C n = 0, da V n = 0. Det giver følgende potentialudtryk i de to tilfælde for r 0 og r V = V n = 0 0 [C (λ)i 0 (λr) + K 0 (λr)]cos(λz) dλ, for i = (2.4) [D n (λ)k 0 (λr)]cos(λz) dλ, for i = n (2.42) Der er nu fundet en værdi for D og C n. Da det er potentialet i første lag der ønskes bestemt, er det udtrykket V der er interessant. Derfor skal der findes et udtryk for C og dertil skal betingelse 3 og 4 fra afsnit 2. anvendes. Først gælder der at potentialet skal være kontinuert over laggrænserne, V i = V i+. Når 3 Via formel 9.7 i Schaum s. Spiegel og Liu (999) 4

19 2 Potentialteori 2 to potentialudtryk sættes overfor hinanden kan integralet ignoreres. Det giver følgende udtryk C i (λ)i 0 (λr i ) + D i (λ)k 0 (λr i ) = C i+ (λ)i 0 (λr i ) + D i+ (λ)k 0 (λr i ) (2.43) hvor r i er afstanden til laggrænsen mellem de to lag. Strømtætheden skal ligeledes være kontinuert over laggrænsen. Denne er udfra ligning (2.3) givet ved J ri = ρ i V i r (2.44) Da de afledte Besselfunktioner 5 er givet ved I 0 = I og K 0 = K, fås følgende ligning C i I (λr i ) D i K (λr i ) = C i+ I (λr i ) D i+ K (λr i ) (2.45) ρ i ρ i ρ i+ ρ i+ Når leddene samles på den ene side, skal følgende to udtryk være opfyldt ved hver laggrænse C i (λ)i 0 (λr i ) + D i (λ)k 0 (λr i ) C i+ (λ)i 0 (λr i ) D i+ (λ)k 0 (λr i ) = 0 (2.46) ρ i C i I (λr i ) ρ i D i K (λr i ) ρ i+ C i+ I (λr i ) + ρ i+ D i+ K (λr i ) = 0 (2.47) Med en n-lagsmodel er der n laggrænser og derved 2(n ) antal ligninger. For hvert lag er der to ubekendte, altså 2n, men da to ubekendte er fundet, D og C n, er der ialt 2(n ) antal ubekendte. Vi har et ligningssystem med lige så mange ubekendte som ligninger. Når ligningerne for hver laggrænse skrives på matrix form endes der op med et ligningssystem, Ax = b, hvor A har størrelsen 2(n ) 2(n ), mens x og b har størrelsen 2(n ). Matricen A har følgende udseende A = I 0 (λr ) I 0 (λr ) K 0 (λr ) 0 I ρ (λr ) I ρ (λr ) 2 ρ 2 K (λr ) 0 0 I 0 (λr 2 ) K 0 (λr 2 ) I 0 (λr 2 ) K 0 (λr 2 ) 0 0. I ρ (λr 2 ) K 2 ρ (λr 2 ) I 2 ρ (λr 2 ) 3 ρ 3 K (λr 2 ) I 0 (λr l ) K 0 (λr l ) I 0 (λr l ) K 0 (λr l ) 0 0 I ρ (λr l ) K l ρ (λr l ) I l ρ (λr m l ) K ρ (λr m l ) 0 0 I 0 (λr m ) K 0 (λr m ) K 0 (λr m ) 0 5 Ligning s.376 i Abramowitz og Stegun (972).... I ρ (λr m ) K m ρ 0 (λr m ) m ρ n K (λr m ) (2.48)

20 2 Potentialteori 3 hvor l og m og er lig med n 2 og n. Vektorene x og b udtrykkes således x = C C 2 D 2 C 3 D 3.. C l D l C m D m D n b = K 0 (λr ) K ρ (λr ) (2.49) Vektoren x indeholder de ubekendte og her ønskes især C bestemt. En måde at finde en løsning til ligningssystemet er ved brug af Cramers regel, som kan findes i Lay (997). Reglen går på, at en af de ubekendte variable kan bestemmes ved følgende formel x i = A A hvor A = A i (b) (2.50) Den i te ubekendte er givet ved at dividere determinanten af A i (b), hvor vektor b er indsat i den i te søjle, med determinanten af A. Determinanten af større matricer (N > 2) bestemmes med følgende ligning A = N ( ) +j a j A j (2.5) j= Det vil sige at determinanten er givet ved, at mindre matricer skiftevis adderes og subtraheres. Første led består af matrix element a ganget på determinanten af en matrix, der er fremkommet ved at fjerne.række og.søjle af A. Andet led subtraheres fra første og består af element a 2 ganget på determinanten af en matrix, der er fremkommet ved at fjerne.række og 2.søjle af A. Sådan fortsættes der med N led. I stedet for at udvide determinanten ud ad.række, kan det gøres ud ad en vilkårlig række eller søjle og her vil det være en fordel, at vælge en række eller søjle hvor mange af elementerne er nul. Herved forsvinder nogle af leddene. Anvendes (2.50) og (2.5) på (2.48) for at bestemme den første ubekendte C kan der regnes frem til følgende, ved at udvide determinanten ned ad første søjle A (n) = K 0 (λr ) A (n) ρ K (λr ) A (n) (2.52) Underdeterminanterne udvides endnu engang ud ad henholdsvis anden og første række af (2.48) og der fås A (n) = K 0 (λr )[ ρ 2 I (λr ) A (n ) ρ 2 K (λr ) A (n ) ] ρ K (λr )[I 0 (λr ) A (n ) + K 0 (λr ) A (n ) ] (2.53)

21 2 Potentialteori 4 På samme måde bestemmes determinanten og underdeterminanterne af A. Det giver følgende udtryk A(n) =I0 (λr )[ (n ) I (λr ) A0 K (λr ) A(n ) ] ρ2 ρ2 (n ) I (λr )[ I0 (λr ) A0 + K0 (λr ) A(n ) ] ρ (2.54) De to foregående udtryk i ligning (2.53) og (2.54) indsættes i ligning (2.50) og med lidt omskrivning og brug af Wronskian relationen6 omkring Besselfunktionerne der giver følgende sammenhæng, I0 (x)k (x) + K0 (x)i (x) = x, endes op med følgende udtryk (n) C = [(ρ2 ρ )K0 (λr )I (λr ) + ρ A0 (n ) ] λr A(n ) + (ρ2 ρ )K0 (λr )K (λr ) A0 (n ) [(ρ2 ρ )K0 (λr )K (λr )] A(n ) + (ρ2 ρ )K0 (λr )I (λr ) + (n) ρ λr (2.55) (n ) I udtrykket for C indgår, via (2.50), et udtryk for C. Altså et system med n antal lag. Det kommer sig af, at de to ligninger fra lag n er fjernet under bestemmelse af (n ) (n 2) determinanten. Ligeledes indeholder udtrykket for C et udtryk for C. Derfor kan der generes et generelt udtryk for variablen C (i) C = (i+) ρi ]C + (ρi+ ρi )K0 (λri )K (λri ) λri (i+) ρi ρi )K0 (λri )K (λri )]C + (ρi+ ρi )K0 (λri )I (λri ) + λr i [(ρi+ ρi )K0 (λri )I (λri ) + [(ρi+ (2.56) hvor der gælder at i = n, n 2,...,. Det vil sige at for en n-lagsmodel bestemmes (n) C ved at regne rekursivt fra lag n til lag, hvor den første værdi, C = 0, blev bestemt ud fra grænsebetingelserne. Potentialet ønskes bestemt med elektroder liggende på z-aksen, altså i første cylinder. Derfor er det som nævnt kun nødvendigt at bestemme variablen C. Potentialet i første cylinder er givet ved ligning (2.4). Dette udtryk kan simplificeres ved at anvende Weber-Lipschitz formel7 Z π K0 (λr)cos(λz)dλ = (2.57) 2 r2 + z 2 0 og da elektroderne ligger på z-aksen gælder der at r = 0, hvilket medfører I0 = fremkommer følgende Z ρ I π V (z) = 2 + C (λ)cos(λz)dλ (2.58) 2π 2z 0 Dette er det endelige potentialudtryk for en model med cylindersymmetriske lag og elektroderne på z-aksen. C givet ved ligning (2.56), kaldes kernefunktionen og udregnes rekursivt, startende med lag n. 6 7 Wronskian relationen. Iν (x)kν0 (x) Kν (x)iν0 (x) = x. Ligning (6.7.20) i Press et al. (992) Formel 6.67(6) s.75 i Gradshteyn og Ryzhik (994) eller Abramowitz og Stegun, 964, side 486

22 2 Potentialteori 5 Med (2.58) er det muligt, ved forward beregning, at bestemme et datasæt udfra en given model og elektrodekonfiguration. Udtrykket kan som det er givet i ligning (2.58), give potentialet for en normallog, altså en elektrodekonfiguration med én strøm- og én potentialelektrode. Dette kan bruges til at udregne potentialet for andre logs. I Roy (980) 8 bemærkes det at..the response of any complex logging device with discrete point electrodes can be synthesized exactly from the response of a suitable combination of normal devices.. Denne egenskab blev der også gjort brug af i afsnit 2.2.2, hvor det, ved hjælp af spejlkildemetoden, blev undersøgt hvilken effekt et halvrum vil giver på målingerne. 8 s.460

23 3 Tilsyneladende resistivitet 6 3 Tilsyneladende resistivitet Da det ønskes at kende geologien i det undersøgte område, omsættes potentialet til en tilsyneladende resistivitet (ρ a ). Enheden herfor er ohm-meter (Ωm). Resistiviteten kan også benævnes den specifikke elektriske modstand, eller blot modstand. Geologiske formationers resistivitet omtales i Raynolds (997) og Christensen (999b). Der tales om en tilsyneladende resistivitet, da den resistivitet der bestemmes, er beregnet under antagelsen om homogene og isotrope lag. Resistiviteten af en formation er givet ved Archies formel: ρ f = aφ m s n ρ w (3.) hvor ρ w er porevæskens resistivitet, φ er porøsiteten og s er volumen fraktionen af porerummet som er fyldt med vand. De tre variable a mætningskoefficienten, m cementeringsfaktoren og n mætningseksponenten bestemmes empirisk for en given formation, mens φ kan bestemmes med en neutron- og densitetslog. Når der tales om resistiviteten af en formation, er det de enkelte bestanddele (mineraler, porevæske) der bestemmer den. Nogle mineraler (f.eks. kvarts, kalkspat) har så høj resistivitet at de ikke er elektrisk ledende, mens lermineraler (f.eks. kaolinit og bentonit) bidrager positivt til ledningsevnen og derved sænker resistiviteten. Strømmen ledes dog primært i porevæsken og derfor er porevæskens resistivitet afgørende for formationsresistiviteten. Porevæskens resistivitet afhænger igen af sammensætningen, dvs. mængden af salte. Med potentialet omsat til tilsyneladende resistiviteter er det muligt at lave en geologisk tolkning af det undersøgte. Der kan være et resistivitetsoverlap mellem forskellige formationer og derved risikerer man at fejltolke sine data. Samtolkning af egne data med data fra andre geofysiske metoder kan være med til at undgå sådanne fejltolkninger. Eksempler på forskellige formationsresistiviteter er givet i tabel 7.. Hvis man vil lave samtolkning af data, skal man være opmærksom på hvilke metoder man vil samtolke. Generelt for de elektriske eller elektromagnetiske metoder er det en middelresistivitet der bestemmes. Dette kommer sig af, at geologien ikke er homogen og isotrop som det antages. Inhomogeniteten er et udtryk for at geologien, og derved resistiviteten, varierer meget i forhold til rene geometrier, både i form og indhold. Anisotropi er et udtryk for at resistiviteten ikke er den samme i den vertikale og horisontale retning, ρ v og ρ h. Et udtryk for en formations anisotropi er givet ved følgende relation λ = ρ v /ρ h. For geologiske formationer vil ρ v som regel være større end ρ h. Det skyldes at der ofte er en grad af horisontal lamination i formationerne, der gør at strømmen lettere kan løbe horisontalt end vertikalt. De elektriske metoder måler en middelresistivitet der er givet ved ρ v ρ h. Det skyldes at strømmen der løber i formationen har både en horisontal og vertikal komponent. For elektromagnetiske metoder er middelresistiviteten givet ved et middel af ρ h.

24 3 Tilsyneladende resistivitet 7 Et udtryk for potentialforskellen i det tilfælde hvor konfigurationen indeholder fire elektroder får med principperne fra afsnit 2.2, følgende udseende V = V M V N = (V AM V BM ) (V AN V BN ) = ρi ( + ) 4π r AM r BM r AN r BN (3.2) Herefter, kan der med lidt omskrivning findes frem til et udtryk for den tilsyneladende resistivitet ( ρ a = 4π + ) V r AM r BM r AN r BN I = K V (3.3) I Variablen K der er introduceret i ligning (3.3), kaldes den geometriske faktor og som det ses afhænger K af de fire elektroders indbyrdes afstand. Der er i ovenstående gennemgang antaget at der sendes den samme strøm ud gennem de to elektroder A og B. Hvis dette ikke er tilfældet vil den geometriske faktor også afhænge heraf (Roy og Dutta, 996) og den tilsyneladende resistivitet kan findes med følgende udtryk: ρ a = K V (3.4) hvor den geometriske faktor ser ud som følgende ( IA K = 4π I B I A + I ) B r AM r BM r AN r BN (3.5) Det er af denne og forudgående teori muligt finde den tilsyneladende resistivitet udfra data målt med en laterolog.

25 4 Numerisk implementering 8 4 Numerisk implementering For at kunne beregne potentialet gøres der brug af numeriske metoder. I det følgende bliver der ikke gået i dybden med teorien, men blot givet en kort gennemgang af det væsentligste. Kapitlet bygger overvejende på samtaler med Esben Auken. Teorien omkring Hankel transformen er beskrevet af Johansen og Sørensen (979) og Christensen (990). Numerisk spline interpolation er beskrevet i Forsythe et al. (977). 4. Teori For at bestemme potentialet i ligning (2.58), skal der integreres et produkt af kernefunktionen C og et cos-led, der begge er funktioner af integranten. Dette integrale minder om Hankel integralet udtrykt ved g(r) = 0 f(λ)λj ν (λr)dλ, for ν > (4.) I dette tilfælde er f(λ) = C (λ) og ν = /2. Da kernefunktionen er givet ved modelparametrene skal denne kun beregnes én gang, for en given model. For at løse integralet foretages en såkaldt Hankel transform som er en speciel 2- dimensional symmetrisk Fourier transform. Transformen gør at domænet der arbejdes i transformeres fra bølgetals- (λ), til rum domæne (r), der er samplet logaritmisk. Johansen og Sørensen (979) viser at 4. kan skrives som en foldning imellem kernefunktionen og et filter G = F H ν (4.2) Brugen af lineær filter teori til løsningen af Hankel transformen er numerisk meget fordelagtigt. Filter teorien er beskrevet i Johansen og Sørensen (979). Det skal bemærkes at filterkoefficienterne er beregnet med 0 logaritmisk fordelte punkter per dekade. Dette er valgfrit, men et filter med 0 punkter har vist sig at give en tilstrækkelig nøjagtighed i bestemmelsen af potentialet. Et filter med flere punkter per dekade vil øge nøjagtigheden, men kræver flere evalueringer af kernefunktionen. Selve foldningen beregner potentialet indenfor et interval [R min, R maks ] der er givet ved den største og mindste elektrodeafstand i konfigurationen, figur 4.a. Der medtages af hensyn til den efterfølgende kubiske spline, to ekstra punkter i hver ende af intervallet, figur 4.b. Der udvælges fire punkter omkring den r-afstand hvor potentialet ønskes bestemt, figur 4.c. De fire punkter anvendes til den kubisk spline og derved kan potentialet i den ønskede r-afstand fastlægges. Da potentialet er bestemt i alle punkterne på figur 4.b, er det kun nødvendigt at beregne foldningen en gang. Det gælder så længe at r-afstanden hvori potentialet ønskes bestemt ligger indenfor R min og R maks.

26 4 Numerisk implementering 9 R maks a R min A M N B b 0 00 c Figur 4.: Beregning af potentialet ved kubisk spline. I a vises elektrodekonfiguration og afstandene R min og R maks. I b vises den del af filteret der er anvendt i foldningen og punkterne hvori potentialet er bestemt. I c ses udvælgelsen af de fire punkter, der anvendes i den kubiske spline til beregning af potentialet, i den ønskede r-afstand. Transformen medføre, at der som nævnt arbejdes i logaritmisk rum, det indebære at den kubiske spline interpolation også skal udføres på logaritmiske afstande og potential værdier. Kubisk spline er en interpolationsmetode hvor der anvendes trediegradspolynomier til fastlæggelse af den ønskede værdi. Det kræver fire datapunkter, (x i, y i ) for i = [, 2], omkring det punkt hvor potentialet ønskes bestemt, figur 4.c. Er punktet f.eks. R maks, tilpasses et trediegradspolynomium til punkterne 0 og. Polynomiet er givet ved følgende s(x) = a(x x 0 ) 3 + b(x x 0 ) 2 + c(x x 0 ) + d, for x [x, x 2 ] (4.3) I ligning 4.3 er der fire ubekendte, der kan fastlægges med følgende fire betingelser og s(x 0 ) = y 0 og s(x ) = y (4.4) s (x 0 ) = y y x 0 x og s (x ) = y 2 y 0 x 2 x 0 (4.5) Polynomiet der opfylder betingelserne er kontinuert for de nulte og første ordens afledte. I kernefunktionen indgår de modificerede Besselfunktioner af nulte og første orden. Beregningerne af disse udføres som beskrevet i Press et al. (992) og vil ikke blive kommenteret nærmere.

27 5 Numerisk verificering 5 20 Numerisk verificering Når potentialudtrykket er implementeret skal det verificeres om koden regner rigtigt. Verificeringen foretages ved at sammenstille data bestemt af andre, mod data bestemt med metoden præsenteret i denne opgave. Data skal være bestemt uafhængigt af hinanden. Der anvendes typekurver fra Dakhnov (962) og en MatLab kode lavet af Niels Bøie Christensen (NBC). 5. Verificering Da den cylindersymmetriske model ikke er beskrevet så ofte i litteraturen, er der ikke mange datasæt at sammenligne med. Som en start blev data lavet med emdinv sammenlignet med typekurver9 for en tolagsmodel. Typekurverne er blevet skannet og derefter digitaliseret. Der er en vis usikkerhed ved denne proces, men resultatet antages at være brugbart. Datagrundlaget kommer fra tolagsmodeller med ρ = Ωm og varierende resistivitet i andet lag. Forholdet mellem de to er givet ud for deres respektive kurver. Borehullets diameter er m, mens a-afstanden mellem de to elektroder i normalloggen ligger i mellem 0.0 og 50m. Sammenligningen rejser visse spørgsmål, da der er uoverensstemmelse mellem datasættene, som det ses på figur 5. i intervallet a/d = [2, 7] for nedadgående modeller. Dakhnov emdinv NBC ρa/ρ a 0.05 d ρ2 0.0 ρ ρ a/d Figur 5.: Typekurver for model med cylindersymmetriske lag. Data lavet med emdinv og med koden fra NBC sammenlignes med en figur fra Dakhnov (962). Tallet ud for kurverne angiver ρ2 /ρ forholdet. Modellen ses i nedreste venstre hjørne. Bemærk uoverensstemmelsen i intervallet a/d = [2, 7] for nedadgående modeller. 9 Dakhnov (962) figur 8 s.205

28 5 Numerisk verificering 2 Forskellen mellem emdinv og typekurverne giver anledning til spekulationer om der regnes rigtigt. Det er blevet undersøgt om denne afvigelse kan skyldes filterkoefficienterne der anvendes i den numeriske implementering. En test af filtrene, foretaget af NBC, viste at de er korrekte. En simpel MatLab kode til beregning af potentialet for en tolagsmodel, lavet af NBC gav endnu et datasæt. Et udtryk for tolagsmodeller kan bestemmes udfra ligningerne (2.58) og (2.56) med C (i+) = 0. De to datasæt fremstillet med emdinv og NBC s MatLab kode ses at være sammenfaldende i figur 5.. Afvigelsen mellem typekurverne og emdinv førte til en diskussion omkring grundlaget for udregningen af typekurverne i Dakhnov (962). Først undersøges udtrykket under integralet i ligning (2.58) for λ 0 og λ. Da der indgår et cos-led i potentialudtrykket fremhæves det at størrelsen under integralet oscillerer. Det konkluderes i Dakhnov (962), at det betyder, at udtrykket er umuligt at evaluere uden brug af indirekte metoder. Integralet løses derefter med en numeriske teknik hvor det opdeles i mindre intervaller og derved kan bestemmes som arealet under en kurve. At udtrykket under integralet kun undersøges i grænserne kan godt give anledning til en usikkerhed her imellem. Resultatet skal ses i lyset af årstallet for Dakhnovs beregninger og at der i dag er et bedre grundlag for at foretage sådanne udregninger ved brugen af computere. Et problem der også påpeges af Wait og Gruszka (987) der undersøger effekten af boremudder på induceret polarisationsmålinger af den uforstyrrede formation. Metoden hertil er også undersøgt af Dakhnov (962) men resultatet betegnes af Wait og Gruszka (987) til ikke at være konsistent. I Roy (980) vises det at figurer til korrektion af borehulseffekter, publiceret af forskellige og nogle gange endda af samme firma, udviser betydelige variationer. Der vil være en usikkerhed i forbindelse med sammenstilling af data med figurer der er bestemt udfra et approksimeret udtryk. I Dutta (994) og Dutta (997) er der beskrevet to Fortran programmer, kaldet henholdsvis TRANS4 og ExTra. De to programmer er stort set ens og kan beregne potentialet for cylindersymmetriske firelagsmodeller. Forskellen ligger i måden de anskuer resistiviteten af invasionszonen. I TRANS4 er resistiviteten givet ved et lineært udtryk afhængig af radius og bestemt af lagenes tykkelser og resistiviteten af nabolagene. I ExTra er den samme resistivitet et eksponentielt udtryk givet ved samme parametre og afhængig af r. Til selve udregningen af potentialet er der anvendt Gauss kvadratur. Til udregning af integralet og værdierne af kernefunktionen, ligning (2.56), er der anvendt kubisk spline interpolation. Programmerne blev modificerede så de kunne beregne potentialet for tolagsmodeller, men resultatet viste sig desværre ikke at kunne bruges. Programmerne var, nummerisk, for ustabile til at give brugbare data. Generelt kan der ses visse ligheder med typekurverne for den horisontalt lagdelte model, som kan ses på figur A.5 i afsnit A.3. Der ses samme tendens til at kurven hurtigere tilpasser resistiviteten i andet lag for nedadgående modeller end for opadgående. Ligeledes ses den egenskab ved geoelektriske målinger, at kurven ikke kan stige mere end 45. Disse to forhold skyldes at strømmen helst vil løbe i lavmodstandslaget og tykkelsen af dette lag har en given størrelse for opadgående modeller, men er uendeligt for

29 5 Numerisk verificering 22 nedadgående modeller. En forskel i forhold til den horisontale model er at kurverne går under og over ρ 2, for henholdsvis nedad- og opadgående modeller, inden de tilpasser ρ 2. Med en engelsk betegnelse siges de at have et under- og overshoot. Med to metoder der giver samme resultat og en god tilpasning til typekurverne i yderpunkterne, anses koden for at regne rigtig.

30 6 Inversionsteori 23 6 Inversionsteori I dette afsnit gennemgås den teori der ligger til grund for inversionen i emdinv. Inversionsteori anvendes indenfor alle grene af geofysikken og formålet er at finde en model der giver et forward respons som tilpasser data bedst muligt indenfor nogle fastlagte kriterier. Man skal dog være opmærksom på, at modellen frembragt ved inversion ikke nødvendigvis er den sande model, idet selv store variationer i modelparametrene i nogle tilfælde giver samme forward respons. En elektrisk log inddeles i et givet antal mindre intervaller, der hver især repræsenterer en model. Der foretages inversion af hver enkel model, men det er også muligt at binde modellerne sammen. Denne mulighed går under akronymet LCI - lateral constraint inversion. Den generelle teori beskrives i Jacobsen (2004), Gubbins (2004) og Tarantola (2005), mens teorien der dækker LCI og inversionen som den foretages i emdinv, beskrives i Auken og Christiansen (2004) og Auken et al. (2005). 6. Generel teori Indenfor inversionsteori skelner man mellem en lineær og ikke-lineær sammenhæng mellem data og model. Sammenhængen i det geoelektriske tilfælde er ikke-lineær. Da det ikke-lineære problem er svært at regne på, reduceres det ikke-lineære problem til et stykvis lineært. I forbindelse med indsamling af geofysiske data er datamængden (N) typiske meget stor. Den repræsenteres ved vektoren d obs og for at minimere ikke-lineariteten tages logaritmen til elementerne i den log(ρ a ) log(ρ a2 ) d obs = (6.). log(ρ an ) Den model der antages at ligge til grund for dataene, indeholder et vist antal parametre (M), givet ved vektoren m true. Igen tages logaritmen til elementerne log(m ) log(m 2 ) m true = (6.2). log(m M ) Sammenhængen mellem data og model i det lineære tilfælde er givet ved d true = Gm obs, mens den i det ikke-lineære tilfælde skrives som d obs = g(m true ) (6.3)

31 6 Inversionsteori 24 Vektoren g(mtrue ) indeholder de ikke-lineære funktioner, der afbilder modellen over i datarummet g (mtrue ) g (mtrue ) 2 g(mtrue ) = (6.4)... gn (mtrue ) Da løsningen af det lineære problem er mere simpel end det ikke-lineære, udtrykkes det ikke-lineære problem ved en lineær approksimation. Det antages at en model m0, er forholdsvis tæt på den sande model. Den sande model nærmes ved at foretage en lille ændring δm til modellen m0. Den nye model m0 + δm er en estimeret model til den sande model mtrue, der er givet ved mtrue = m0 + δm (6.5) Omkring denne model kan afbildningen givet ved ligning (6.3) approksimeres til at være lineær. Ved brug af Taylor rækkeudvikling0 indtil første orden, kan udtrykket i ligning (6.3), udtrykt for de enkelte elementer, skrives som gi di = gi (m0j ) + (mj m0j ) (6.6) mj m0 hvor i [, N ] og j [, M ]. Ved brug af Jacobi matricen, hvis elementer er givet ved Gi,j = gi log(ρai ) mi ρai = = mj log(mj ) ρai mj (6.7) og med δdi = di gi (m0j ) fås følgende udtryk δd = Gδm (6.8) Det vil sige, at hvis der vælges en model m0 som ligger tæt ved den sande model, vil ændringen af data δd være lig med den lineære afbildning af forskellen mellem modellerne δm = mtrue m0. Den referencemodel m0 der vælges skal ligge tæt på den sande model for at den lineære approksimation er berettiget. Udtrykket i ligning (6.8) minder om udtrykket for sammenhængen mellem data og model for det lineære tilfælde. Det betyder at metoderne der anvendes til løsning af det lineære tilfælde, direkte kan anvendes på dette problem. Der er altid en vis usikkerhed på data, repræsenteret ved vektoren e, som adderes til ligning (6.8) δd = Gδm + e (6.9) Det antages generelt at usikkerheden e er Gauss fordelt og har middelværdien nul. Som en indikation på hvor godt en model tilpasser data, anvendes parameteren E, hvor den bedste model giver den mindste E-værdi. Generelt gælder der at E =k δd Gδm k=k e k 0 f (x) = P n=0 f (n) (a) n! (x a)n Ligning 6 s.609 i Stewart (998). (6.0)

32 6 Inversionsteori 25 Ligning (6.0) er et udtryk for normen, der kan beregnes udfra følgende ligning E = [ N i= e i p ] p (6.) En simpel og meget anvendt norm er l 2 -normen, der også kendes som mindste kvadraters metode eller LSQ - least squares. For denne metode gælder det at p = 2, hvilket giver N ( M ) 2 E 2 = δd i G i,j δm j (6.2) i= Det ønskes som nævnt at finde den model der giver anledning til den mindste norm, det vil sige E ønskes minimeret. Det gøres ved differentiere normen med hensyn til modelparametrene hvilket kan omskrives til E 2 m k = 2 N ( δd i i= j= M G i,j δm j )( G i,k ) = 0 (6.3) j= M N G i,k G i,j δm j = j= i= N G i,k δd i (6.4) i= Ved brug af matrix notation, hvor T angiver den transponerede matrice, bliver dette til G T Gδm = G T δd (6.5) hvor G har størrelsen [N M], mens G T har størrelsen [M N]. Videre omskrivning af dette udtryk, giver et udtryk til bestemmelse af δm Indsættes ligning (6.6) i (6.5), endes op med δm = (G T G) G T δd (6.6) m true = m 0 + (G T G) G T δd (6.7) Ligning (6.7) er et udtryk for, at der udfra en given startmodel kan regnens iterativt for at bestemme den model der tilpasser data bedst muligt. Der gøres brug af m I = m I + δm (6.8) I det lineære tilfælde kan den model der tilpasser data bedst findes i et skridt. Udtrykket herfor fås ved at fjerne δ erne i ligning (6.6). Modellen kaldes m LSQ og giver den model der tilpasser data bedst. I det ikke-lineære tilfælde skal der regnes iterativt frem til modellen. Der startes med en sandsynlig model m 0, residualet til data udregnes, derefter foretages en lille ændring af modellen for at minimere residualet. Dette giver en ny model hvorefter proceduren gentages indtil der findes en model der tilpasser data, indenfor et givet kriterie.

33 6 Inversionsteori 26 I flere tilfælde kan det være en fordel at lave en vægtning af data. For eksempel kan det ønskes at give data med en høj usikkerhed en lav vægtning i modelberegningerne. I dette tilfælde vil ligning (6.) skrives som [ E = N N ( ) ] p p ei i= σ i (6.9) Ved igen, med udgangspunkt i mindste kvadraters metode, at differentiere E med hensyn til modelparametrene, bliver slutresultatet et udtryk for δm δm = (G T C e G) G T C e δd (6.20) Ovenstående udtryk kendes også som maximum likelihood estimate - M LE for Gauss fordelte fejl og generelt som best linear unbiased estimate - BLU E. Matricen C e er covarians matricen, der har varianserne i diagonalen og nul alle andre steder. σ 2 0 σ C e = (6.2)... 0 σnn 2 Ved at inddrage betragtninger omkring usikkerheden på data, er der taget forskud på næste afsnit om a priori viden. 6.2 A priori I forbindelse med inversionen kan det være en fordel at inddrage kendt viden også kaldet a priori viden. Ved at inddrage a priori viden er det endda muligt at løse underbestemte problemer, da indførelsen af a priori fjerner frihedsgrader fra inversionen. Der sker det, at brugen af a priori viden tilføjer et ekstra datasæt, hvor forholdet mellem den sande model og modellen med a priori viden er givet ved I p δm = δm priorip + e priorip (6.22) hvor I p er identitetsmatricen, δm priorip er givet ved m priorip m 0 og e priorip er usikkerheden på a priori værdierne. Indekset p henviser til primære parametre, idet der skelnes mellem at have a priori viden om primære og sekundære parametre. De primære parametre er lagenes resistivitet og tykkelse, ρ og t, mens de sekundære er dybden til laggrænserne, d. Grunden til at der laves denne opdeling er, at ikke-lineariteten kan minimeres ved at tage logaritmen til data og modelparametrene, ligning (6.) og (6.2). Da summen af logaritmen til tykkelserne ikke er den samme som logaritmen til dybden, log d i i n= log t n, skal disse data behandles separat. Dette giver et udtryk for de sekundære paramtre svarende til ligning (6.22) P s δm = δm prioris + e prioris (6.23)

34 6 Inversionsteori 27 hvor der igen gælder at δm prioris = m prioris m 0. Denne gang gælder det dog ikke at identitetsmatricen kan bruges. Dette kommer af dybdens afhængighed af tykkelsen, der er en primær parameter. Elementerne i P s matricen er i stedet givet ved P si,j = log(d k,l) log(t i,j ) = t i,j d k,l d k,l = { ti,j d i,j 0 ellers t i,j for i = k j l = t i,j l v= t k,v d k,l t i,j (6.24) Indeks k og l angiver henholdsvis den pågældende model og modelparameter. Udregningen af dette udtryk er meget lig udregningen af udtrykket i ligning (6.7). Dybderne bliver differentieret med hensyn til de primære parametre, hvilket betyder at nogle af elementerne er lig med nul. Anvendes de to udtryk, (6.22) og (6.23) sammen med (6.5) ses det, at m true = m priori hvis der ikke er nogen usikkerhed på a priori viden. Covariansmatricen for de to udtryk, C priorip og C prioris, vil ligesom tidligere, i ligning (6.2), indeholde varianserne på parametrene. 6.3 Bånd Er der kendskab til en sammenhæng mellem resistiviteterne i to på hinanden følgende lag, kan der anvendes bånd til at binde de to resistiviteter sammen. Dette er de såkaldt horisontale bånd. Endvidere er der i forbindelse med inversion af flere efter hinanden sidestillede modeller, mulighed for at binde resistiviteterne i samme lag. Dette er de laterale bånd og inversion hvor der anvendes denne type bånd kendes som LCI. De to typer bånd kan også bruges på tykkelser eller dybder. For de primære parametre gælder følgende sammenhæng R p δm = δr p + e rp (6.25) hvor δr p = R p m 0 og matricen R p er den såkaldte roughening matrice, der indeholder tallene og de steder, hvor der er bånd på de pågældende parametre og nul alle andre steder. Indekset p refererer til at der er tale om de primære parametre. Som under afsnittet om a priori viden, skal der laves et separat udtryk for de tilfælde, hvor der er bånd på dybderne til laggrænserne. Dette er givet ved R s δm = δr s + e rs (6.26) hvor δr s = R s m 0. Indekset s refererer til at der ses på de sekundære parametre. Som for tilfældet med a priori viden, er matricen for de sekundære parametre defineret anderledes R si,j = (log(d k,l) log(d k+,l )) log(t i,j ) = { ti,j d i,j t i+,j d i+,j 0 ellers for i = k j l = t i,j l v= t k,v t i,j l v= t k+,v d k,l t i,j d k+,l t i,j (6.27)

35 6 Inversionsteori 28 Indeksene angiver bånd mellem modellerne k og k + for parameter l. Er der ingen bånd er elementerne lig med nul. Covariansmatricen i de to tilfælde, C Rp og C Rs, vil se ud som den i ligning (6.2). Den indeholder variansen, eller sagt på en anden måde, styrken af båndene i diagonalen og alle andre steder nul. Dette er et resultat af, at der kun er bånd mellem nabomodellerne. Hvis dette ikke var tilfældet, ville der have været ikke-nul elementer udenfor diagonalen. Denne adskillelse mellem bånd på tykkelser og dybder kan have sine fordele afhængig af situationen. Bånd på tykkelser vil være nyttige ved diskontinuerte laggrænser f.eks. forkastninger, mens bånd på dybder vil være nyttige ved kontinuerte laggrænser. Ligesom anvendelsen af a priori vil mindske antallet af ubestemte parametre, vil anvendelsen af bånd have samme effekt. Effekten afhænger af båndenes størrelse. 6.4 Inversion Ved brug af a priori og bånd er det muligt at hjælpe inversionen til at bestemme den model der tilpasser data bedst. Alle udtrykkene samles i ét udtryk der anvendes til den endelige inversionen G δd e I p δm priorp e priorp (6.28) P s R p R s δm = δm priors δr p δr s + Skrevet på kompakt form giver det et simplere udtryk e priors e rp e rs G δm = δd + e (6.29) som ligner ligning (6.9). Ved at bruge de samme metoder der blev brugt til at bestemme δm vil resultatet her, som ligning (6.20), være givet ved δm = (G T C G ) G T C δd (6.30) Covariansmatricen får følgende udseende C e 0 C priorp. C = C priors. C Rp 0 C Rs (6.3) Den vil have de enkelte covariansmatricer fra tidligere i diagonalen og nul alle andre steder. For at stabilisere inversionen og sikre konvergens, indføres en faktor kaldet Marquarts dæmpningsparameter λ, (Marquardt, 963). Den gør det muligt for startmodellen at ligge længere væk fra den sande model end ellers og stadig sikrer konvergens. Derudover

36 6 Inversionsteori 29 sikrer den at tilnærmelsen til konvergens sker langsomt. Når denne dæmpningsfaktor indføres i ligning (6.7), giver det følgende resultat m true = m 0 + (G T C G + λi) G T C δd (6.32) hvor der regnes iterativt med udtrykket i ligning (6.8). Ifølge Jacobsen (2004) er en god startværdi for λ givet ved middelværdien af diagonalelementerne i udtrykket G T G. Endvidere, for at stabilisere inversionen gennem det iterative forløb, kan man gøre brug af en adaptiv dæmpning af skridtstørrelsen. Det gøres efter hvordan den foregående ændring forbedreder modellen. Det vil sige når forskellen mellem modellerne fra to iterationer er små, bliver ændringerne af modellen til næste iteration også små. Inversionen stopper efter et givet antal iterationer eller når residualet når ned til en given værdi. 6.5 Residual I det følgende præsenteres kort udtrykkene til bestemmelse af forskellige residualer. De bruges til at udtrykke hvor godt modellen er bestemt. Udtrykkene for residualerne findes i Foged (200) og Westergaard (2003). Der regnes forward med den model der blev bestemt i ligning (6.32) og dataene herfra bruges til at udregne dataresidualet som kan beregnes udfra følgende ligning R data = [ N D N D i= ] /2 (d obsi d modeli ) 2 (6.33) var(d obsi ) hvor N D er antallet af data og laterale bånd på dybderne. Forskellen mellem målte data og beregnede data divideres med variansen på de målte data. Der kan også bestemmes et residual for de horisontale bånd [ R horisontal = N M (N P )/2 N M i= (N P )/2 j= ] /2 (m i,j m i,j+ ) 2 (6.34) var(m i,j ) hvor N M og N P er antallet af henholdsvis modeller og modelparametre per model. Et lignende udtryk kan bestemmes for de laterale bånd R lateral = [ (N M )N P N M i= N P j= ] /2 (m i,j m i,j+ ) 2 (6.35) var(m i,j ) Endelig findes et udtryk for det totale residual, der er en vægtet sum af de tre ovennævnte residualer R total = R2 data N D + R 2 vertikal N M(N P )/2 + R 2 lateral (N M )N P N P + N M (N P )/2 + (N M )N P (6.36) Ovenstående ligninger bruges til at vurdere hvor godt inversionen er forløbet. Der gælder at jo lavere residual des bedre er modellen tilpasset data.

37 6 Inversionsteori Analyse Til sidst præsenteres beregningen af analysen for modelparametrene kort. Analysen bruges til at sige noget om hvor godt den enkelte parameter er bestemt. Dette kan også anvendes til at undersøge hvordan ændringen af en parameter influerer på bestemmelsen af de andre parametre. Denne egenskab gøres der brug af under modelanalysen i kapital 8. Først bestemmes C est = (G T C G ) (6.37) Denne matrice anvendes til at bestemme en standardafvigelsesfaktor ST DF, for hver parameter ST DF i = exp( C estii ) (6.38) Da der tages logaritmen til modelparametrene i (6.2) tages exp til matricens diagonalelementer. Der skal i denne sammenhæng gøres opmærksomt på, at den værdi der gives af emdinv, er beregnet udfra ligning (6.38), men fratrukket. Residualet og analysen bruges til at evaluere inversionen og den model inversionen ender op med. Alle inversionsrutinerne er implementeret i emdinv.

38 7 Boring og log 3 7 Boring og log I dette afsnit undersøges typiske karakteristika for et borehul. Betragtningerne anvendes til opsætning af en model der giver en beskrivelse af borehullet. Modellen og variationer heraf skal anvendes til at foretage analyse og inversion. Ligeledes beskrives en resistivitetslog, som rådgivende ingeniør firmaer anvender. Teorien som gennemgås i dette afsnit bygger på Schmidt og Sørensen (200) og Bach et al. (200). Mere om de forskellige tools og forholdene omkring borehullet findes i Bai (990) og Rider (2000). 7. Borehullet En af borehullets parametre er diameteren der afhænger af bit en, det vil sige størrelsen på borehovedet. Det kan dog forekomme at diameteren er større eller mindre end bit en. Et større borehul opstår oftest når der bores i meget løse sedimenter. Forstyrrelserne ved boringen gør at materiale falder ud i borehullet og opleves typisk i sedimenter bestående af sand eller kalk. Et mindre borehul er sjældent, men kan forekomme hvis der f.eks. bores i plastisk ler. Årsagen er at disse lertyper kan optage en forholdsvis stor mængde vand, hvorved volumen forøges, og udvidelsen kan kun ske ud i borehullet. En caliper log kan anvendes til at måle diameteren ned gennem borehullet. Den anvendes dog sjældent og der er nogen usikkerhed omkring dens målinger (pers.kom. Anders Edsen). En af grundene hertil er f.eks. at borehullet ikke altid vil være helt lodret. Derved kan caliperen, der er en lang log, komme til at hænge skævt i hullet og give ukorrekte målinger. Der findes flere metoder til at lave en boring, kun én vil blive nævnt her. Det er den såkaldte skylleboring, hvor man bruger vand til bringe det løsborede materiale op til overfladen. Det foregår ved at pumpe vand ned i borehullet, enten indeni eller udenom selve borestammen, mens det pumpes op igen den modsatte vej. Ved siden af boringen laves der en dam hvori det vand der bruges til at pumpe ned i hullet hentes. Det oppumpede vand, med løsborede materiale, løber tilbage i dammen, som er indrettet sådan, at det oppumpede materiale bliver i dammen. Denne proces gør at vandet hurtigt bliver en grumset blanding, deraf navnet boremudder. Når der fjernes materiale ved boringen, vil der opstå et tryk fra formationen mod borehullet. Er dette tryk for højt, kan der være risiko for sammenstyrtning af hullet. Boremudderet hjælper til med at holde formationsvæsken ude i formationen. Borehullets diameter afhænger som nævnt af den anvendte bitstørrelse. I figur 7. er vist bitstørrelser for et antal boringer. Datagrundlaget består af 28 logs lavet i perioden mellem august 2000 og juli Tre rådgivere, Rambøll, Orbicon og Watertech er repræsenteret, med overvægt af de to sidste. Middelværdien er på 400mm.

39 7 Boring og log 32 DGU nr Bit [mm] Figur 7.: Bitstørrelser for 28 boringer. Middelværdien på 400mm er markeret med en rød streg. 7.2 Boremudder Boremudder er en betegnelse for det materiale der er at finde i selve borehullet og som er en blanding af vand, materiale fra formationen og i de fleste tilfælde, forskellige tilsatsmidler. Som nævnt, ønskes det at holde et højere tryk i borehullet end i omgivelserne. Det skyldes at formationsvæsken derved forbliver i formationen. Dog ønskes det ikke at miste for meget mudder til formation. Densiteten af boremudderet influere på trykket. Normalt er det ikke nødvendigt at bruge tilsatsmidler for at øge densiteten, men det kan være aktuelt, f.eks. ved gennemboring af et vandførende lag med artesisk vandspejl. Et vigtigere formål med brugen af tilsatsmidler er at bringe løsnet materiale til overfladen. Et tilsatsmiddel er f.eks. bentonit. Dette er en lerpartikel type der har den egenskab, at den kvælder når den bliver hydreret. Ved at anvende dette opnår man at mudderet får en højere viskositet. Herved er det muligt at transportere mere finkornet materiale op ad hullet. Der kan også tilsætte et produkt kaldet CMC, hvilket også øger boremudderets viskositet. Tilsatsmidlerne er også med til at sætte en stopper for indtrængning af boremudder ud i formationen. Der sker ved, at hvor vandet trænger ud i formation, sætter tilsatsmidlerne sig på borevæggen og danner et tyndt impermeabelt lag. Dette er den vigtigste egenskab for CMC. Når man ønsker at benytte tilsatsmidler, blandes de i dammen med vand og bliver derfra pumpet ned i borehullet. Blandingen af vand, løsborede materiale fra formationen og tilsatsmidler er med til at give boremudderet sin resistivitet. Denne resistivitet har interesse da den vil influere på formationen og derfor bestemmes den med en fluidlog. Igen ved at se på et antal boringer kan man få en idé om fordelingen af boremudderets resistivitet. Det er gjort på figur 7.2. Datagrundlaget er det samme som for figur 7.. Den angivne resistivitet er en middel af fluidresistiviteten for hele boringen. Middelværdien er Ωm. Carboxy Methyl Cellulose, en kemisk fremstillet polymer, der ved hydrering bliver til lang tråde.

40 7 Boring og log 33 DGU nr FRes [Ωm] Figur 7.2: Midlet boremudderresistivitet for 28 boringer. Middelværdien på Ωm er markeret med en rød streg. 7.3 Invasionszonen Da trykket er højere i borehullet end i formationen, vil der opstå en indtrængning af boremudder i den omkringliggende formation. Dette betyder at porevæsken udskiftes med boremudder et stykke ind i formationen. Det er almindeligt kendt at der sker en gradvis overgang af resistiviteten i invasionszonen. Der findes flere måder at præsentere denne overgang på. Drahos (984) anvender en inddeling af zonen i et antal mindre lag med stigende resistivitet væk fra borehullet. Roy og Dutta (994) lader resistiviteten afhænge lineært af r og en tredie mulighed præsenteres af Dutta (997) hvor resistiviteten er givet ved et eksponentielt udtryk. Det er meget svært at sige noget om størrelsen af indtrængningen og derved invasionszonens tykkelse. Denne afhænger af formationens porøsitet og permeabilitet og disse varierer for de forskellige lithologier der findes i den danske undergrund. De typiske danske lithologier, i rækkefølge med stigende tykkelse af den forventede invasionszone, er: grus, sand, kalk, ler, silt. Der kan forekommer tilfælde hvor der skal byttets om på rækkefølgen. Generelt siges der, at der ikke forekommer invasion i ler og silt. Disse forhold gør at det er meget svært at sige noget kvantitativt om invasionszonens tykkelse. Erfaringsmæssigt mener Henrik Andersen, Orbicon, at den kan være mellem og 20cm, (pers.kom.). For invasionszonen kan det slås fast at formationsfaktoren er den samme som for den uforstyrrede formation, men porevæsken er skiftet ud med boremudder.

41 7 Boring og log Formationen I forbindelse med grundvandsboringer vil de geologiske lag der for det meste bores i, være fra perioderne Kvartær, Tertiær og Kridt. Som nævnt består de typiske lithologier af grus, sand, ler, silt, kalk og blandinger heraf. Der vil ikke blive gået mere i detalje herom, blot nævnes lidt om deres resistiviteter. De typiske resistiviteter for danske formationer ses i tabel 7.. Aflejring uden saltvand Over Under vandspejl vandspejl Kvartær Ferskvandstørv -dynd -gytje -ler Marint tørv - dynd - gytje - ler, med saltvand Smeltevandssand - grus Moræneler Moræne sand - grus Tertiær Glimmerler fra Øvre Miocæn (Gram- og Hoddeformationen) Glimmersand fra Øvre, Mellem og Nedre Miocæn Kvartssand fra Mellem og Nedre Miocæn, (hhv. Odderup- og Ribeformationen) Glimmerler/silt fra Mellem og Nedre Miocæn Septarieler og glimmerler fra Oligocæn Søvindler og Lillebæltler fra Eocæn Kertemindemergel/ler fra Selandien [Palæocæn] Lellinge grønsand/-kalk og mergel fra Selandien, [Palæocæn] Bryozokalk, Københavnerkalk, kalksandskalk, slamkalk fra Danien [Palæocæn] Kridt Skrivekridt Tabel 7.: Oversigt over de forskellige lithologier der kan findes i Danmark og deres tilhørende resistivitet. Modificeret efter figur 4 i Bach et al. (200). Det ses af tabel 7. at man kan måle resistiviteter i intervallet -0000Ωm, men det kan forventes at de fleste målinger vil ligge i intervallet -500Ωm. 7.5 Loggen Der findes flere forskellige slags resistivitetslogs. De er overordnede variationer af følgende tre typer: normal-, lateral- og mikrologs. I denne opgave er koncentreret omkring en laterallog som anvendes af Orbicon og Watertech. Den er produceret af Mount Sopris Instruments 2 og er opbygget som det ses på figur 7.3. Fra bunden af instrumentet er der først strømelektroden A, derefter følger potentialelektroderne M8, M6, M32 og M64. Tallet angiver afstanden fra A i tommer og benævnes som a-afstanden. Alt dette sidder på selve måle instrumentet, eller toolet. Herefter følger bridle og logging cable, der henholdsvis er et isoleret kabel og wiren hvori hele instrumentet hænger. 2

42 7 Boring og log 35 Figur 7.3: Skitse over en resistivitetslog. Det væsentligste er strømelektroden A og potentialelektroderne M8, M6, M32 og M64. Derudover Logging Cable og Bridle. Manual (2002). Isolering af kablet er nødvendigt da wiren også virker som en potentialelektrode. Istedet for at regne på hele wiren som en elektrode, bliver den repræsenteret som en punktelektrode (N) for enden af wiren og nærmest loggen. Det vil sige for enden af logging cable, inden cable på figur 7.3. Denne betragtning af wiren som en punktelektrode, er også omtalt i Moran og Chemali (979). Den sidste elektrode, B, placeres på overfladen i en minimumsafstand på 8 meter. Antagelsen omkring wiren som en punktelektrode kan testes. Ved at lave nogle beregninger, hvor der ændres på størrelsen af afstanden mellem elektroderne M64 og N kan antagelsen vurderes ρ/ρ ref MN [m] Figur 7.4: Data er lavet for tolagsmodeller med borehulsradius på t = 0.m - rød, t = 0.2m - grøn og t = 0.3m - blå. For alle modeller er ρ = 0Ωm, mens ρ 2 er enten Ωm - stiplet linier, eller 00Ωm - fuldt optrukne linier. Den sorte lodrette linie angiver hvor afstanden mellem M og N er 7.4m.

43 7 Boring og log 36 Elektrodeafstanden mellem M og N plottes mod forholdet mellem resistiviteten målt med en given MN-afstand og resistiviteten målt med MN -afstanden som den er på loggen, dvs. 7.4m. Derfor går alle kurverne gennem punktet ρ/ρ ref = og MN-afstanden, 7.4m. ρ ref er resistiviteten givet ved den elektrodekonfiguration der repræsenterer loggen. Afstanden mellem elektroderne A og M er.6m Modellerne er tolagsmodeller med borehulsdiametre på 0.2, 0.4 og 0.6m. Resistiviteten af første lag er 0Ωm, mens ρ 2 sættes til og 00Ωm. Afvigelsen bestemmes som værende arealet mellem den pågældende modelkurve og linien ρ/ρ ref =. Heraf findes, for et udvalg af typiske modeller, en mindste og største afvigelse på 0.2 og 2.7%. Dette er acceptable afvigelser, så antagelsen er godtaget. Orbicon har lavet en anordning så de kan lave en 28" log, men mister derved 8" loggen. Selve toolet er.88m og det isolerende stykke er 7m, (pers.kom. Henrik Andersen). Med samlingsleddet, cabel på figur 7.3, bliver elektrodeafstanden mellem A og N omkring 9m. Elektrodernes indbyrdes afstand for de forskellige logs, bliver som listet i tabel 7.2. A M N B 8" > -8 6" > -8 32" > -8 64" > -8 28" > -8 Tabel 7.2: Den indbyrdes afstand mellem elektroderne i meter for fem slags logs. Minus tegnet ved elektrode B henviser til at den skal placeres væk fra hullet. Ved elektrode B i tabel 7.2, er der angivet > 8. Det skal forstås som, at den som minimum skal placere 8m fra hullet. Ved logging i et borehul vil hver måling give et datapunkter for hver log der anvendes. En måling foretages typisk for hver eller 5cm.

44 8 Modelanalyse 37 8 Modelanalyse I dette afsnit præsenteres modelanalyser af forskellige modeller med cylindersymmetriske lag. Dette er med henblik på at undersøge, hvordan de forskellige modelparametre kan bestemmes for den pågældende model. Det giver også en indsigt i hvordan de forskellige modelparametre påvirker bestemmelsen af en given model. Analysen foretages af emdinv. I denne forbindelse sættes modelparametrene i modfilen, mens elektrodekonfigurationen sættes i dcp-filen. Betragtningerne fra kapitel 7 vil danne grundlaget for en af modellerne og kapitlet bygger på elementer fra Christensen (999a), Christensen (999c) og Christensen og Sørensen (200). 8. Model I første omgang undersøges trelagsmodeller, som illustreret på figur 8.. Parametrene er: ρ, ρ 2, ρ 3, t, t 2 og d 2. For loggen er elektrodeafstanden a den interessante. t t 2 a ρ ρ 2 ρ 3 d 2 z Figur 8.: Figur over trelagsmodellen og dens parametre. Loggen er vist med elektrodeafstanden a. Overordnet undersøges to typer trelagsmodeller. Type De første modeller er med akkurat samme opsætning som de tre modeller præsenteret i Christensen (999a). De har til formål at identificere eventuelle ækvivalenser. Da de er konstrueret til den horisontalt lagdelte model, er de geologisk set ikke særligt sandsynlige for situationen med et borehul. De har en resistivitet på 0Ωm i første lag, varierende resistivitet på 0-000Ωm med 0 punkter per dekade i andet lag, og henholdsvis 0, 00 og 000Ωm i tredie lag. Tykkelsen af første lag er 0m, mens tykkelsen af andet lag varierer fra -00m, med 0 punkter per dekade. Det giver ialt 2 2 = 44 modeller. For alle analyser af denne type modeller er der en stor datadækning. Det vil sige mange logs med forskellige a-afstande. Dette er for at undgå, at steder med dårlig opløsning af modellerne skyldes en for ringe datadækning, men derimod kan tilskrives eventuelle ækvivalenser. Elektrodekonfigurationen er en anden end den der er præsenteret i tabel

45 8 Modelanalyse Elektroderne, A M N B, sidder som følgende, (0, a, 9000, 9000). Hvor a ligger i intervallet -000m med 0 punkter per dekade. Det giver ialt 3 datapunkter, hvorpå der antages en usikkerhed på 5%. Type 2 Den anden type af modeller er geologisk set, mere sandsynlige, i forbindelse med forholdene omkring et borehul. Parametrene for modellerne er: ρ - boremudderets resistivitet, ρ 2 - invasionszonens resistivitet, ρ 3 - den uforstyrrede formationsresistivitet, t - radius af borehullet, t 2 - tykkelsen af invasionszonen og d 2 - dybden til den uforstyrrede formation. Præsenteret på figur 8.. Boremudderets resistivitet sættes til 0Ωm, mens resistiviteten i andet lag sættes til at være afhængig af resistiviteten af tredie lag, der varierer i intervallet -000Ωm med 20 punkter per dekade. Tykkelsen af første lag, svarer til radius af borehullet og sættes til 0.2m, mens tykkelsen af andet lag varierer i intervallet m, med 30 punkter per dekade. Det giver ialt 6 6 = 372 modeller. Som sagt er resistiviteten af invasionszonen en funktion der er afhængig af resistiviteten i tredie lag. Det bygger på følgende betragtningerne: der er en nedre grænse for resistiviteten, hvor der ikke er invasion. Det vil sige når ρ 3 er mindre end ρ l er der ingen invasion. Dette kommer af betragtningen om, at der ikke forekommer invasion i lerlag. Så ρ l angiver en grænse for hvornår formationen ikke længere er ren ler. Derudover er der en øvre grænse hvorom der gælder, at når ρ 3 er større end ρ h er der invasion. Så ρ h angiver en grænse for hvornår formationen består af ren sand. Udtrykket for ρ 2, når ρ 3 er over ρ h kommer af Archies formel (3.). Ved invasion trænger boremudder ind i formationen, så der gælder at ρ 2 = F ρ. Endvidere gælder der at ρ 3 = F ρ w, hvor ρ w er porevandets resistivitet. Da formationsfaktoren er den samme for ρ 2 og ρ 3, kan der findes frem til at ρ 2 = αρ 3, hvor α = ρ /ρ w. Imellem den nedre og øvre grænse er der en lineær sammenhæng mellem ρ 2 og ρ 3. Udtrykket for resistiviteten i andet lag har følgende udseende ρ 3 for ρ 3 < ρ l ρ 2 (ρ 3 ) = ρ l + αρ h ρ l ρ h ρ l (ρ 3 ρ l ) for ρ l ρ 3 ρ h (8.) αρ 3 for ρ 3 > ρ h I analyserne af denne modeltype anvendes følgende værdier, ρ l = 40Ωm, ρ h = 80Ωm og ρ w = 30Ωm (pers.kom. NBC). Med disse værdier fordeler resistiviteterne af lagene sig som afbildet i figur 8.2. Resistiviteten i tredie lag varierer i intervallet -000, mens resistiviteten i andet lag er afhængig heraf, givet ved ligning (8.) og resistiviteten af det første lag er konstant.

46 8 Modelanalyse ρ [Ωm] 0 ρ l ρ h ρ 3 [Ωm] Figur 8.2: Afbildning af resistiviteterne. Blå - ρ, konstant 0Ωm. Sort - ρ 2, afhængig af ρ 3 givet ved ligning (8.), hvor følgende værdier er brugt, ρ l = 40Ωm, ρ h = 80Ωm og α = 0.3. Rød - ρ 3, varierer i intervallet -000Ωm. Antallet af datapunkter i de forskellig analyser varierer, derfor præsenteres dette under selve analysen. Usikkerhed på data er sat til 5%. Den generelle opsætningen af modellen i emdinv s model-fil, med efternavnet mod, er vist i tabel 8., hvor. søjle indeholder modelparametrene, 2. søjle a priori, 3. og 4. søjle henholdsvis de horisontale og laterale bånd. ρ A prior ρ Hort.bånd ρ Lat.bånd ρ ρ 2 A prior ρ 2 Hort.bånd ρ 2 Lat.bånd ρ ρ n A prior ρ n Lat.bånd ρ n t A prior t Hort.bånd t Lat.bånd t t 2 A prior t 2 Hort.bånd t 2 Lat.bånd t t n A prior t n Lat.bånd t n d A prior d Lat.bånd d d 2 A prior d 2 Lat.bånd d 2... d n A prior d n Lat.bånd d n Tabel 8.: Den generelle opstilling af modellen i mod-filen til emdinv. Første søjle indeholder modelparametrene, anden søjle a priori, tredie de horisontale bånd og den sidste de laterale bånd. Ved selve analysen og inversionen er der mulighed for at bruge a priori viden, hvis der ikke anvendes a priori sættes værdien til. Derudover kan der sættes bånd på de enkelte parametre. Der er mulighed for både horisontale og laterale bånd, hvis det ikke ønskes at anvende bånd sættes værdien til 9e9. De horisontale bånd bruges som nævnt når man ønsker at binde en parameter på tværs af laggrænserne indenfor samme model. Det kunne f.eks. være hvis der skulle være en sammenhæng mellem resistiviteten mellem boremudderet og invasionszonen. De laterale bånd bruges som nævnt til at

47 8 Modelanalyse 40 binde en parameter mellem modellerne. Herved kan man for eksempel binde tykkelsen af borehullet stramt, så nabomodeller vil have samme tykkelse af borehullet. 8.2 Analyse I det ideelle tilfælde er alle parametrene for alle modeller bestemt, men dette er næppe muligt. Den primære interesse er at få fastlagt resistiviteten af den uforstyrrede formation. Derudover er det interessant om man kan fastlægge tykkelsen og resistiviteten af invasionszonen. Det er som nævnt i afsnit 6.6 standardafvigelsesfaktoren, ST DF, der anvendes til at vurdere opløsningen af en models parametre. Værdien heraf beregnes af emdinv og kan aflæses i emo-filen, dvs. output-filen fra kørslen af emdinv. I den følgende præsentation af de forskellige modelanalyser, er værdierne for ST DF adderet med, så værdien der plottes i det følgende er givet ved ligning (6.38). En analyse værdi på.0 betyder at usikkerheden på parameterens fastlæggelsen, er 0%. Om graden af en parameters bestemmelse bruges følgende inddeling:.0-.2 Godt bestemt.2-.5 Moderat bestemt Dårligt bestemt >2.0 Ubestemt Tabel 8.2: Inddelingen af analyseparameteren efter hvor godt den er bestemt. Geofysiksamarbejdet. (2004). Derfor skal en analyseværdi ligge indenfor intervallet før der kan siges noget om den pågældende parameter. I de kommende eksempler inddeles analyseparametrene i flere intervaller end de der er nævnt her, dog er grænserne stadig gældende. De parametre som præsenteres i analyserne er resistiviteterne - ρ, ρ 2, ρ 3, lagtykkelserne - t, t 2, dybden til den uforstyrrede formation - d 2, resistanserne - Res, Res 2 og konduktanserne - Kon, Kon 2. Resistanserne og konduktanserne er givet ved henholdsvis Res i = ρ i t i og Kon i = t i /ρ i. Det er ikke muligt at vise summen af resistanserne og konduktanserne som i Christensen (999a), da disse ikke beregnes i emdinv. I præsentationerne af analyserne er der et figurvindue for hver parameter. Når der i teksten refereres til bestemmelsen af en given parameter, nævnes det pågældende figurvindue ved parameteren der omtales, f.eks. (ρ ).

48 8 Modelanalyse 4 Type Som nævnt vil modellerne bag de første tre analyser være de samme som præsenteret i Christensen (999a). En generel beskrivelse af modellerne findes i afsnit 8.. Analyse Den første analyse er foretaget for en model som beskrevet i tabel 8.3. Den generelle opsætning af modellen kan ses i tabel Ωm - 9e9 9e9 0:000Ωm - 9e9 9e9 0Ωm - 9e9 0m - 9e9 9e9 :00m - 9e9 0m - 9e9 9e9 :0m - 9e9 Tabel 8.3: Modellen der danner grundlag for analysen i figur 8.3. Der er ingen a priori eller bånd. Selve analysen ses på figur 8.3. Det kan generelt siges, at der er dobbelt nedadgående modeller i den nedre halvdel af figurerne og maksimumsmodeller i den øvre. I den venstre halvdel gælder det at andet lag er mindre end første, mens der i højre halvdel gælder at andet lag er større. Resistiviteten i første og tredie lag er fuldstændig bestemt (ρ,ρ 3 ). Dette er et resultat af den høje datadækning. Resistiviteten af andet lag kan fastlægges når tykkelsen af andet lag er over 2 gange tykkelsen af første lag og det er en smule bedre bestemt for dobbelt nedadgående modeller (ρ 2 ). Tykkelsen af første lag er dårligt bestemt når resistivitet af andet lag ligner resistiviteten i første lag (t ). Det skyldes at der er for lille kontrast mellem resistiviteterne, til at de to lag kan skelnes. Tykkelsen af andet lag ses at fastlægges tidligere i den nedre halvdel end i den øvre halvdel (t 2 ). Det er for dobbelt nedadgående modeller. Denne egenskab kan forklares ved at se på typekurverne, figur 5., hvor kurverne for nedadgående modeller hurtigere konvergere mod sidste lags resistivitet end for opadgående modeller. Dybden til tredie lag er bedre bestemt når kontrasten mellem ρ og ρ 2 er lille (d 2 ). Her ligner modellerne tolagsmodeller og grænsen mellem andet og tredie lag findes nemmere. Overordnet er dybden til det tredie lag bestemt, men især når tykkelsen af andet lag er over to gange tykkelsen af første lag. Resistansen og konduktansen af første lag er lige så godt bestemt som tykkelsen af første lag (Res, Kon ). Resistansen af andet lag er bedre bestemt, især for maksimumsmodeller, end både resistiviteten og tykkelsen, mens konduktansen er lidt dårligere bestemt (Res 2, Kon 2 ). Der ses enkelte modeller der afviger de omkringliggende modeller, f.eks. er der tre bestemte modeller i et ellers ubestemt område i analysen af ρ 2, figur 8.3 (ρ 2 ). Hvilket, mere skal ses som numerisk ustabilitet end reelle analyser.

49 8 Modelanalyse 42 Analyse 2 Denne analyse er lavet over modellen præsenteret i tabel 8.4. I forhold til den foregående model er resistiviteten i tredie lag forøget til 00Ωm. 00Ωm - 9e9 9e9 0:00Ωm - 9e9 9e9 00Ωm - 9e9 0m - 9e9 9e9 :00m - 9e9 0m - 9e9 9e9 :0m - 9e9 Tabel 8.4: Modellen der danner grundlag for analysen i figur 8.4. Der er ingen a priori eller bånd. Selve analysen er præsenteret på figur 8.4. Der gælder igen, at for modellerne i venstre halvdel er tykkelsen af andet lag er mindre end første lags tykkelse, mens den i højre halvdel er større end første lags tykkelse. I den øvre halvdel er der maksimumsmodeller, mens der i den nedre halvdel er minimumsmodeller. Lige i midten vil alle lag have samme resistivitet, svarende til et helrum. Resistiviteten i første og sidste lag er, som i foregående analyse, fuldstændig bestemt (ρ, ρ 3 ). Resistiviteten af andet lag er bestemt når tykkelsen af andet lag er over dobbelt så stor som første lag (ρ 2 ). Derudover ses en generel bedre bestemmelse af minimumsmodeller med høj kontrast, f.eks. (ρ 2, t 2 ). Tykkelsen af første lag er igen bedst bestemt ved høje kontraster og der ses en tendens til bedre bestemmelse jo tykkere andet lag bliver (t ). Dette kan være en effekt af den bedre bestemmelse på andet lags tykkelse. Tykkelsen af andet lag ses også at være bedre bestemt for minimumsmodeller (t 2 ). Dybden til tredie lag er ligeledes bedre bestemt for minimums- end maksimumsmodeller (d 2 ). Dette er også et resultat af den hurtigere konvergens mod lavmodstandslag som det ses på typekurverne, figur 5.. Resistansen og konduktansen af første lag er lidt bedre bestemt end den dårligste af de to parametre ρ, t, her tykkelsen (Res, Kon ). Resistansen af andet lag er bedre for maksimumsmodeller end minimumsmodeller, mens der gælder det modsatte for konduktansen (Res 2, Kon 2 ). Analyse 3 Denne analyse bygger på modellen i tabel 8.5. Resistiviteten i tredie lag er endnu engang forøget i forhold til de tidligere modeller, ρ 3 = 000Ωm. Analysen af denne model er præsenteret på figur 8.5, hvor der igen er dobbelt opadgående modeller i den øvre halvdel, mens der er minimumsmodeller i den nedre. Venstre halvdel har modeller hvor andet lag er mindre end første, mens det omvendte forhold gør sig gældende i højre halvdel.

50 8 Modelanalyse 43 00Ωm - 9e9 9e9 0:000Ωm - 9e9 9e9 000Ωm - 9e9 0m - 9e9 9e9 :00m - 9e9 0m - 9e9 9e9 :0m - 9e9 Tabel 8.5: Modellen der danner grundlag for analysen i figur 8.5. Der er ingen a priori eller bånd. Resistiviteten af første og tredie lag er igen fuldstændig bestemt (ρ, ρ 3 ). Resistiviteten af andet lag er dårligere bestemt end for de to andre analyser (ρ 2 ). Tykkelsen af første lag er også dårligere bestemt her end i de andre analyser (t ). Kontrasten mellem ρ 2 og ρ skal være meget stor, før tykkelsen bliver bestemt. Midt i figurerne er resistiviteten af første og andet lag ens, hvilket giver udslag i dårlig bestemmelse af både første og andet lags tykkelse. Tykkelsen af andet lag skal være over tre gange tykkelsen af første lag, før der kan siges noget herom (t 2 ). Der er en lidt bedre bestemmelse i den øverste halvdel ved de dobbelt opadgående modeller dog giver høj kontrast en dårligere bestemmelse. Dybden til tredie lag er overordnet bestemt, men der opstår problemer hvis resistiviteten af andet lag er omkring 3 gange så stor som første lags resistivitet (d 2 ). Resistansen og konduktansen af første lag ligner igen bestemmelsen af lagets tykkelse (Res, Kon ). Resistansen af andet lag minder om tykkelsen, mens konduktansen er bedre end både resistiviteten og tykkelsen (Res 2, Kon 2 ). Generelt for de tre analyser er resistiviteten i første og sidste lag altid bestemt. Det kommer af den høje datadækning. Ellers er der en rimelig god bestemmelse af tykkelsen af første lag og den er stort set ens for de tre analyser. Det vil sige at den er uafhængig af resistiviteten i tredie lag. Det ses også at tykkelsen af andet lag skal være over 2 gange tykkelsen af første lag, før der kan siges noget om resistiviteten af andet lag. Dette er et tegn på lagundertrykkelse som giver udslag i bestemmelsen af andet lags resistivitet og tykkelse. Dybden til tredie lag er overvejende bestemt. Ser man på konduktansen af andet lag for minimumsmodellerne, nederste halvdel på figurerne 8.4 og 8.5, ses en hældning på 45 af konturerne. Langs denne linie er bestemmelsen af modellerne den samme og konduktansen er den samme. Dette er et tegn på lavmodstandsækvivalens. Hvis der er højmodstandsækvivalens tilstede, vil det træde frem som en hældning på 45 af konturerne, for andet lags resistans i området med maksimumsmodeller, øverste halvdel på figurerne 8.3 og 8.4. Der kunne være tegn på højmodstandsækvivalens, men det ses ikke entydigt. Overordnet for de tre analyser er at der visse ligheder med analysen for den horisontalt lagdelte model, beskrevet i Christensen (999a), dog også væsentlige forskelle. Blandt andet er ækvivalenserne er ikke så udtalte for den cylindersymmetriske model, hvis tilstedeværende.

51 8 Modelanalyse 44 ρ ρ 2 ρ ρ 2 /ρ t t 2 d ρ 2 /ρ Res Res ρ 2 /ρ Kon Kon ρ 2 /ρ t 2 /t t 2 /t Figur 8.3: Analyse, modellen er præsenteret i tabel 8.3. I den øvre halvdel er der maksimumsmodeller, mens der er dobbelt nedadgående modeller i den nedre. I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. Datapunkterne ligger i intervallet a = 000m med 0 punkter per dekade og usikkerheden er 5%.

52 8 Modelanalyse 45 ρ ρ 2 ρ ρ 2 /ρ t t 2 d ρ 2 /ρ Res Res ρ 2 /ρ Kon Kon ρ 2 /ρ t 2 /t t 2 /t Figur 8.4: Analyse 2, modellen er præsenteret i tabel 8.4. I den øvre halvdel er der maksimumsmodeller, mens der er minimumsmodeller i den nedre. I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. Datapunkterne ligger i intervallet a = 000m med 0 punkter per dekade og usikkerheden er 5%.

53 8 Modelanalyse 46 ρ ρ 2 ρ ρ 2 /ρ t t 2 d ρ 2 /ρ Res Res ρ 2 /ρ Kon Kon ρ 2 /ρ t 2 /t t 2 /t Figur 8.5: Analyse 3, modellen er præsenteret i tabel 8.5. I den øvre halvdel er der dobbelt opadgående modeller, mens der er minimumsmodeller i den nedre. I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. Datapunkterne ligger i intervallet a = 000m med 0 punkter per dekade og usikkerheden er 5%.

54 8 Modelanalyse 47 Type 2 De kommende analyser undersøger forhold, som er interessante i forbindelse med elektrisk borehulslogging. En generel beskrivelse af modellen findes i afsnit 8.. Det skal bemærkes, at på grund af den særlige sammenhæng mellem resistiviteten af andet og tredie lag, givet ved ligning (8.), vil der være forskellige modeller præsenteret i samme analyse. Når ρ 3 /ρ < vil der være nedadgående tolagsmodeller. Når ρ 3 /ρ = gælder der at, ρ = ρ 2 = ρ 3, dvs. et helrum. Når < ρ 3 /ρ < 4 vil der være opadgående tolagsmodeller. Værdien 4 kommer af valget ρ l = 40Ωm. I intervallet mellem ρ 3 /ρ = 4 og ρ 3 /ρ = 8 vil der være dobbelt opadgående trelagsmodeller med voksende kontrast mellem resistiviteten af andet og tredie lag. Værdien 8 kommer af valget ρ h = 80Ωm. Og når ρ 3 /ρ > 8 er der dobbelt opadgående trelagsmodeller med samme kontrast mellem andet og tredie lags resistivitet. Denne kontrast er givet ved forholdet mellem boremudderets resistivitet og formationsvandets resistivitet. I denne analyse ρ m /ρ w = 0.3. Analyse Modellen bag denne analyse ses i tabel 8.6 og analysen er vist på figur Ωm - 9e9 9e9 ρ 2 (ρ 3 ) - 9e9 9e9 :000Ωm - 9e9 0.2m - 9e9 9e9 0.02:2m - 9e9 0.2m - 9e9 9e9 0.22:2.2m - 9e9 Tabel 8.6: Modellen der danner grundlag for analysen på figur 8.6. Andet lags resistivitet, ρ 2 (ρ 3 ), henviser til at ρ 2 afhænger af ρ 3, givet ved ligning (8.). Der er ikke anvendt a priori eller bånd. I denne analyse er der fuld datadækning. Der er data i intervallet for a = med 0 punkter per dekade, det giver ialt 5 datapunkter, der har en usikkerhed på 5%. Elektroderne, A M N B, sidder som følgende: (0, a, 9000, 9000). Resistiviteten af første og tredie lag er fuldstændig bestemt (ρ, ρ 3 ). Dette er, som tidligere set, på grund af den høje datadækning. Resistiviteten af andet lag er bestemt for tolagsmodellerne, når tykkelsen af laget er to gange større end tykkelsen af første lag (ρ 2 ). For trelagsmodellerne skal tykkelsen være mindst tre gange så stor. Den skal være større, jo større kontrasten bliver mellem første og tredie lags resistivitet. Tykkelsen af første lag er bestemt hvis kontrasten er stor (t ). Det ses for både to- og trelagsmodellerne. For tolagsmodellerne bliver den bedre når tykkelsen af andet lag, er større end tykkelsen af første lag. For trelagsmodellerne skal tykkelsen af andet lag være fire gange så stor som første lag, før dette gør sig gældende. I den del af figurvinduet med trelagsmodeller, ses det også at bestemmelsen bliver bedre, hvis forholdet mellem første og tredie lags resistivitet vokser, mens forholdet mellem andet og tredie lags

55 8 Modelanalyse 48 resistivitet holdes konstant. Under disse forhold er bestemmelsen bedre end hvis det er kontrasten mellem andet og tredie lags resistivitet ligeledes vokser. Det vil sige, at for trelagsmodellerne bliver første lags tykkelse bedre bestemt, hvis andet lags resistivitet er tættere på tredie end på første lags resistivitet. Det skyldes, at kontrasten mellem ρ og ρ 2 er større og laggrænsen er derfor nemmere at finde. Tykkelsen af andet lag er meget dårligt bestemt (t 2 ). Dette er forståeligt i situationen med tolagsmodeller, hvor der ingen kontrast er mellem andet og tredie lags resistivitet. Dybden til tredie lag ligner bestemmelsen af andet lags tykkelse. For disse to parametre (t 2, d 2 ), ses et lille område hvor modellerne er bestemt. I området er der trelagsmodeller og de er bestemt når tykkelsen af andet lag er større end første lag. Bestemmelsen bliver bedre, når kontrasten mellem første og tredie lags resistivitet vokser, samtidig med at kontrasten mellem andet og tredie lags resistivitet ligeledes vokser. Bestemmelsen bliver så igen dårligere, når kontrasten mellem andet og tredie lag holdes konstant, mens kontrasten mellem første og tredie lags resistivitet fortsat vokser. Det vil sige, at for trelagsmodellerne bliver dybden til tredie lag bedre bestemt, hvis andet lags resistivitet er tættere på første end på tredie lags resistivitet. Igen har det at gøre med, at kontrasten mellem ρ 2 og ρ 3 er større og derved kan dybden til laggrænsen bedre bestemmes. Resistansen og konduktansen af første lag er omtrent lige så velbestemt som tykkelsen, mens resistansen af andet lag er dårligere bestemt end de to parametre ρ og t (Res, Kon ). Konduktansen af andet lag er lidt bedre bestemt end tykkelsen heraf (Kon 2 ). Det gælder når tykkelsen af laget er over dobbelt så stor som første lag og når resistiviteten af tredie lag er over fem gange så stor som første lags resistivitet. De eneste klare tegn på ækvivalenser i denne model er lagundertrykkelse, der giver sig til kende ved fastlæggelsen af andet lag skal have en vis størrelse i trelagsmodellerne før der kan siges noget om parametrene i dette lag. For trelagsmodellerne kunne noget tyde på, at der er en dårligere bestemmelse af tykkelsen af andet lag og dybden til tredie lag, hvis kontrasten mellem første og andet lag bliver for stor, hvorimod dette forhold vil give en bedre bestemmelse af tykkelsen af første lag. Analyse 2 Modellen til denne analyse er den samme som i tabel 8.6 og resultatet præsenteres i figur 8.7. I denne analyse er datagrundlaget hvad man kan forvente i forbindelse med borehulslogging. De fire elektrodekonfigurationer der ligger til grund for data er de fire første, beskrevet i tabel 7.2 (8", 6", 32" og 64"), dog er elektrode B sat i 000m. Da denne model har fem parametre der ønskes bestemt, men kun fire datapunkter er det et underbestemt problem. Resistiviteten af første og andet lag er stort set ikke bestemt (ρ, ρ 2 ). De steder hvor der er lidt bestemmelse, er der tolagsmodeller. For første lags resistivitet, skal resistiviteten af tredie lag være over fem gange mindre end første lags resistivitet, før den kan bestemmes (ρ ). Derudover ses det at bestemmelsen bliver dårligere, når tykkelsen af andet lag er omkring 0.6 gange første lags. Andet lags resistivitet kan bestemmes når tykkelsen af laget er over fire gange tykkelsen

56 8 Modelanalyse 49 af første lag og modellerne er nedadgående tolagsmodeller (ρ 2 ). Resistiviteten af tredie lag er den bedst bestemte parameter (ρ 3 ). For tolagsmodellerne er den bestemt indtil tykkelsen af andet lag bliver omkring fem gange størrelsen af første lag. Det er også heromkring, at resistiviteten af andet lag begynder at bliver bestemt (ρ 2 ). Det kan være et resultat af, at den største elektrodeafstand på.6m har svært ved at nå laget. For trelagsmodellerne er den lidt dårligere bestemt og den er ubestemt når tykkelsen af andet lag er over 2 gange tykkelsen af første lag. Tykkelsen af første lag er kun lidt bestemt hvis kontrasten mellem første og tredie lags resistivitet er stor for nedadgående tolagsmodeller (t ). Tykkelsen af andet lag og dybden til tredie lag er fuldstændig ubestemt (t 2, d 2 ). Resistanserne og konduktanerne af første lag er stort set ubestemte (Res, Kon ), mens de for andet lag er fuldstændig ubestemte (Res 2, Kon 2 ). Det kan ses, at for disse modeller med fem parametre, er det svært at bestemme disse når der kun er fire datapunkter. Den eneste parameter der kan siges noget om er resistiviteten af tredie lag og det er kun så længe invasionszonen og kontrasten mellem første og tredie lags resistivitet ikke bliver for stor. Analyse 3 Den næste analyse er for et bestemt problem. Modellen der ligger til grund for denne analyse er beskrevet i tabel 8.6 og selve analysen præsenteret på figur 8.8. Datagrundlaget består denne gang af fem datapunkter, svarende til de fem elektrodekonfigurationer beskrevet i tabel 7.2 (8", 6", 32", 64" og 28"), med elektrode B sat i 000m. Da der nu er ligeså mange datapunkter som ukendte parametre, er det et bestemt problem der undersøges i denne analyse. Gennemgangen heraf vil gøres hurtig, da resultatet stort set ligner analysen på figur 8.7 hvor modellen er den samme, men kun med fire datapunkter. I forhold til den analyse har denne en lidt bedre bestemmelse af resistiviteten af andet lag (ρ 2 ), mens resistiviteten af tredie lag er blevet noget bedre bestemt (ρ 3 ). Især ses det at være gældende for trelagsmodellerne. Det er en følge af det ekstra datapunkt, der stammer fra et tool med større a-afstand end i den foregående analyse. Analyse 4 Da der oftest ikke er flere end fire datapunkter kan antallet af ubekendte reduceres ved at inddrage a priori viden. Det anvendes at første lags parametre, tykkelse og resistivitet, kendes udfra størrelsen af bit en og fluidloggen. Det antages at de kendes med en usikkerhed på 0%. Modellerne i mod-filen ligner nu den beskrevet i tabel 8.7. Analysen af denne model er præsenteret i figur 8.9.

57 8 Modelanalyse 50 0Ωm 0. 9e9 9e9 ρ 2 (ρ 3 ) - 9e9 9e9 :000Ωm - 9e9 0.2m 0. 9e9 9e9 0.02:2m - 9e9 0.2m - 9e9 9e9 0.22:2.2m - 9e9 Tabel 8.7: Model der danner grundlag for analysen på figur 8.9. Andet lags resistivitet, ρ 2 (ρ 3 ), henviser til at ρ 2 afhænger af ρ 3, givet ved ligning (8.). Der er anvendt a priori, (0.), på resistiviteten ρ og tykkelsen t. Datagrundlaget er det samme som i den første analyse. Altså, de fire første konfigurationer beskrevet i tabel 7.2 (8", 6", 32" og 64"), dog er elektrode B sat i 000m. Ved at anvende a priori på første lags parametre er antallet af ubekendte reduceret til tre, hvilket giver et overbestemt problem. Resistiviteten af første lag er nu, ikke overraskende, fuldstændig bestemt (ρ ). Andet lags resistivitet er bestemt for tolagsmodeller når tykkelsen af laget er over 2 gange tykkelsen af første lag (ρ 2 ). For trelagsmodellerne er der et lille område med god bestemmelse, når andet lag er meget tyk og kontrasten mellem resistiviteterne er lille. Tredie lags resistivitet er for tolagsmodellerne bestemt indtil tykkelsen af andet lag kommer over omkring seks gange tykkelsen af første lag, mens der for trelagsmodellerne gælder, at jo mindre kontrasten mellem første og tredie lags resistivitet er, jo tykkere kan andet lag være og parameteren er stadig godt bestemt (ρ 3 ). Tykkelsen af første lag er også, som forventet, godt bestemt (t ). Tykkelsen af andet lag er fuldstændig ubestemt og det samme gør sig gældende for dybden til tredie lag (t 2, d 2 ). Resistansen og konduktansen af første lag er godt bestemt, det er igen en følge af brugen af a priori (Res, Kon ). Resistansen og konduktansen af andet lag er fuldstændig ubestemt (Res 2, Kon 2 ). Brugen af a priori giver som forventet en fuldstændig bestemmelse af de parametre der er anvendt viden om. Men det ses også at have indflydelse på bestemmelsen af resistiviteten af andet og tredie lag. Dette ses især i forhold til den foregående analyse. Dog er det stadig ikke muligt at sige noget om tykkelsen af andet lag og derfor heller ikke om dybden til tredie lag. Inden resultatet af de fire analyser overordnet resumeres, skal det erindres at datadækningen i den anden og fjerde analyse er lav. Den lille datadækning, giver også udslag i bestemmelsen af første lags tykkelse. Selv med høj datadækning er det svært at bestemme andet lags resistivitet. Tykkelsen af laget skal være stor før der kan siges noget herom, dvs. over to gange tykkelsen af første lag. Dette er nok for tykt i forhold til hvad der kan forventes af en invasionszone. Bestemmelsen af andet lags resistivitet bliver forbedret ved anvendelse af a priori på første lags parametre. Tredie lags resistivitet er den parameter der er bedst bestemt i alle tilfælde. Det skal også bemærkes at brugen af a priori på første lags parametre giver en lige så god bestemmelse af tredie lags resistivitet, som hvis et ekstra datapunkt tilføjes. I alle analyserne er der store

58 8 Modelanalyse 5 problemer med at sige noget om lagenes tykkelser, hvilket giver udslag i bestemmelsen af dybden til det tredie lag. Der er klare tegn på lagundertrykkelse, mens der ikke er klare tegn på andre typer ækvivalenser. I Weller et al. (2003) 3 skrives der The principle of equivalence is also valid in resistivity logging. Only by enlarging the database or by using a priori information can the ambiguity be remarkably reduced. Det skal også nævnes, som det bemærkes i Roy og Dutta (996) og Furche og Weller (2002), at der opstår problemer med bestemmelsen af den uforstyrret formation, når kontrasten mellem resistiviteten af boremudderet og formationen bliver for stor. Det ses på figurerne 8.7, 8.8 og 8.9, (ρ 3 ) og giver udslag i bestemmelsen af t 2 i figur 8.6 for dobbelt nedadgående trelagsmodeller. Det er en konsekvens af at strømmen hellere vil løbe i det lav-resistive boremudder end den høj-resistive formation. 3 s.76

59 8 Modelanalyse 52 Figur 8.6: Analyse, modellen er præsenteret i tabel 8.6. For ρ 3 /ρ < 4 gælder at ρ 2 = ρ 3, altså tolagsmodeller. For ρ 3 /ρ > 8 gælder at ρ 2 = 0.3ρ 3, altså trelagsmodeller, dobbelt opadgående. Det kommer af ligning (8.). I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. Datapunkterne ligger i intervallet a = m med 0 punkter per dekade og usikkerheden er 5%.

60 8 Modelanalyse 53 Figur 8.7: Analyse 2, modellen er præsenteret i tabel 8.6. For ρ 3 /ρ < 4 gælder at ρ 2 = ρ 3, altså tolagsmodeller. For ρ 3 /ρ > 8 gælder at ρ 2 = 0.3ρ 3, altså trelagsmodeller, dobbelt opadgående. Det kommer af ligning (8.). I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. For datapunkterne gælder at a = 0.2, 0.4, 0.8 og.6m. Usikkerhed på data er 5%.

61 8 Modelanalyse 54 Figur 8.8: Analyse 3, modellen er præsenteret i tabel 8.6. For ρ 3 /ρ < 4 gælder at ρ 2 = ρ 3, altså tolagsmodeller. For ρ 3 /ρ > 8 gælder at ρ 2 = 0.3ρ 3, altså trelagsmodeller, dobbelt opadgående. Det kommer af ligning (8.). I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. For datapunkterne gælder at a = 0.2, 0.4, 0.8,.6 og 3.2m. Usikkerheden på data er 5%.

62 8 Modelanalyse 55 Figur 8.9: Analyse 4, modellen er præsenteret i tabel 8.7. For ρ 3 /ρ < 4 gælder at ρ 2 = ρ 3, altså tolagsmodeller. For ρ 3 /ρ > 8 gælder at ρ 2 = 0.3ρ 3, altså trelagsmodeller, dobbelt opadgående. Det kommer af ligning (8.). I venstre halvdel er t 2 < t, mens der i højre gælder at t 2 > t. Der er anvendt a priori på ρ og t på 0.. For datapunkterne gælder at a = 0.2, 0.4, 0.8 og.6m. Usikkerheden på data er 5%.