Samlet rapport. Matematikvejlederuddannelsen. Kappe

Transkript

1 Samlet rapport Matematikvejlederuddannelsen Kappe Skrevet af Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Vejledere Mogens Niss, Uffe Jankvist, Sif Skjoldager

2 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Indholdsfortegnelse Forord... 3 Indledning... 4 Undervisning og klasserumsnormer... 6 Matematikvejledningen... 8 Detektion og identifikation... 8 Diagnose... 9 Intervention... 9 Beliefs Første projektforløb Andet projektforløb Tredje projektforløb Opsummering Refleksioner i relation til matematikvejledningen Litteratur Kappe side 2 af 21

3 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Forord Denne kappe bygger på de tre miniprojekter, der er en del af matematikvejlederuddannelsen på RUC. Vi vil her gerne fremhæve nogle af de erfaringer vi har uddraget af forløbene og af den matematikdidaktiske teori. Her har vi valgt at have fokus på forskellige aspekter vedrørende relationerne mellem vejlederen/underviseren og eleverne. Matematikdidaktisk er det begreberne beliefs og den didaktiske kontrakt, som er aktuelle her. Når vi på baggrund af det samlede uddannelsesforløb ser tilbage på de tre miniprojekter bliver det klart for os, at det er vigtig at inddrage elevernes beliefs i vejledning af eleverne. Dette skulle gerne fremgå af denne kappe, som munder ud i en liste over ting vi mener det er vigtigt at være opmærksom på i virket som matematikvejleder. Selve opgaven er i fire dele bestående af kappen samt de tre miniprojekter. Efter kappen kommer del 1 der omhandler begreber og begrebsdannelse i matematik, derefter følger del 2 om ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik. Til sidst kommer del 3 der omhandler modellering. Kappe side 3 af 21

4 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Indledning Gymnasiet har naturligt gennem tiden ændret sig. På vores forældres tid var det at gå i gymnasiet kun forbeholdt et lille mindretal i Danmark. Fra at gymnasiet har været forbeholdt de få, er det i dag forbeholdt de mange, idet næsten ¾ af alle unge mennesker i dag vælger at tage en gymnasial uddannelse. Det er helt evident, at denne store tilstrømning af elever til de gymnasiale uddannelser, har haft som konsekvens, at det har været nødvendigt at tilpasse gymnasieuddannelsen igennem diverse (gymnasie)reformer. I bekendtgørelsen om uddannelsen til studentereksamen i formålsparagraf nr. 2 står: Uddannelsen til studentereksamen gennemføres med fokus på det almendannende og studieforberedende. Fagligheden er nært forbundet med sider af videnskabsfagene, og eleverne skal opnå almendannelse og studiekompetence indenfor humaniora, naturvidenskab og samfundsvidenskab med henblik på at gennemføre en videregående uddannelse. Gymnasiets popularitet har naturligvis, som tidligere bemærket, betydet en betydelig elevtilstrømning. Dette har haft som konsekvens, at der i dag (2014) i gymnasiet i en almindelig gymnasieklasse er elever med mange forskellige typer baggrund og meget forskellige forudsætninger for at gennemføre uddannelsen. Dette har medført, at et ikke ubetydeligt antal elever i en gymnasieklasse, af den ene eller anden grund har vanskeligheder med at følge med i matematikundervisningen. Vi har som undervisere klart igennem de sidste 15 år mærket denne ændring. Det vi har mærket, er en større faglig spredning iblandt eleverne i de enkelte gymnasieklasser. Som konsekvens af dette er der kommet et større behov for at hjælpe elever, der har vanskeligt ved matematik. Naturligvis kan man komme meget langt med undervisningserfaring, faglighed og almindelig common sense i forhold til at hjælpe og vejlede elever, så de kan guides i den rigtige retning. Vi oplever i det daglige elever, hvor denne common sense ikke er tilstrækkelig. Der er med andre ord i gennem tiden opstået et behov for at kunne hjælpe disse elever med særlige matematikvanskeligheder, det har ført til at der for nylig (2013) er oprettet en matematikvejlederuddannelse på Roskilde Universitet. Formålet med uddannelsen er, at give os lærere de nødvendige værktøjer så disse elever kan hjælpes. Som sagt sidder der i dag (2014) et ikke ubetydeligt antal elever i hver klasse, der har deciderede matematikvanskeligheder. Som tidligere nævnt står der skrevet i formålsparagraffen stk. 2, at gymnasieuddannelsen blandt andet er almendannende. Det indebærer, at vi lærere har et fælles ansvar for at få så mange elever fagligt løftet så godt som muligt. Dette er i dag blevet til en stor udfordring. Som lærere har vi selvfølgelig i pædagogikum stiftet bekendtskab med mange arbejdsværktøjer. Dette er eksempelvis undervisningsdifferentiering dvs. at læreren, for at opnå den gode undervisning, tager udgangspunkt i elevens nærmeste zone for udvikling (Vygotsky, 1978) og derudfra tilrettelægger undervisningen, så den rammer alle eleverne. I praksis en hård opgave, hvis man skal holde arbejdstiden på den rigtige side af de 37 timer pr. uge. På grund af antallet af elever i en klasse, der har vanskeligt ved matematik, bliver det i praksis umuligt at ramme alle elever i en almindelig klasserumsundervisning. Og det er her at en matematikvejleder kan spille en rolle og hjælpe elever med specielle vanskeligheder. Kappe side 4 af 21

5 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Matematikvejlederuddannelsen på RUC er en uddannelse af tre semesters varighed, der typisk tages sideløbende med ens fuldtidsarbejde. Der er et stykke vej inden man har kompetence til at blive eksamineret matematikvejleder. Uddannelsen er både teoretisk med fokus på matematikdidaktik inden for udvalgte felter og praktisk med fokus på anvendelse af teorien i en konkret vejledningssituation. Gennem matematikvejlederuddannelsen har vi fået et stort indblik i de snublesten eleven kan møde på sin vej i forbindelse med tilegnelse af matematik, inden for begrebsdannelse, matematikkens indre struktur og ikke mindst modellering. På den praktiske side har vi lært, hvordan vi helt konkret finder, hvor matematikskoen trykker og derefter giver en passende vejledning. Den praktiske side af vejlederrollen, som vi har trænet, består af tre komponenter: Den første komponent er detektions- og identifikationsdelen, der handler om at finde og identificere elever med matematikproblemer, og få en indikation af, hvor i elevens matematiske univers, der er vanskeligheder. På baggrund af en detektionstest, interviews eller andre aktiviteter kan man stille en diagnose, der er den praktiske sides anden komponent. Den sidste komponent er interventionsdelen, hvis formål er at afhjælpe de problemer, diagnosen har fastlagt. For at intervention kan blive så god som mulig, er det meget vigtigt at gøre sig klart, hvilke relationer, der er mellem eleverne og vejlederen/underviseren, og hvilke psykologiske forudsætninger eleven har med sig, når vedkommende træder ind i vejledningssituationen. Kappe side 5 af 21

6 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Undervisning og klasserumsnormer For at man kan hjælpe en elev med matematikvanskeligheder bedst muligt, er det meget vigtigt at man som vejleder/underviser er meget bevidst om den interaktion man har med eleven. Hvis man skal prøve at definere undervisning er et godt sted at starte, at slå op i Den store Danske Encyklopædi bind 19 side 504. Her står: undervisning, (af mnty. Unterwisen, af unter imellem, indbyrdes og wisen vise til rette ), handlinger, der har til formål at fremme tilegnelse af viden, kunnen, indsigt og forståelse. For at undervisningens formål kan opfyldes, er der nødt til at være nogle (nødvendige) rammer for at denne tilegnelse af viden, kunnen, indsigt og forståelse kan finde sted. Læreren er den, der skal fremme tilegnelse af viden, kunnen, indsigt og forståelse hos eleverne. For at eleverne kan lære stringent matematisk tankegang, er det nødvendigt, at dette system (eleverne læreren) fungerer optimalt. Det vil sige eleverne skal lære det matematiske miljø i klasseværelset at kende. Klassens matematiske miljø kan karakteriseres ved det, vi kender, som de sociomatematiske normer, der fx. er beskrevet nærmere af Yackel og Cobb (1996). Hovedtanken er, at hver klasse etablerer et unikt normsæt om fx, hvordan en dialog må foregå, hvilke typer af spørgsmål, der må stilles, hvad der betragtes som god matematisk kvalitet, og hvad der ikke er matematisk kvalitet. Disse klasserumsnormer (i forhold til matematik) indgår i en vekselvirkning med elevernes beliefs (se Op t Eynde 2002). Normsystemet fletter undervisningen sammen i et net af forventninger mellem læreren og eleverne i klasserummet. Disse gensidige forventninger er indføjet i en underforstået kontrakt (den didaktiske kontrakt), der (i alt væsentligt) handler om, hvad der forventes af eleverne, eleverne imellem og mellem elev og lærer (Brousseau, 1997). I sin helt generelle form består den didaktiske kontrakt i, at eleven forventes at lære mens læreren forventes at undervise, dvs. muliggøre læring hos eleven. Det betyder, at læreren forventes at stille sin viden til rådighed for eleverne, svare på spørgsmål fra eleverne, have stillet undervisningsmateriale til rådighed for eleverne osv. For at eleverne kan opfylde deres del af kontrakten, skal de påtage sig rollen som dem, der skal overtage den viden som læreren stiller til deres rådighed (Skott, Jess, Hansen 2011). Der er imidlertid en indbygget konflikt i den didaktiske kontrakt, der i udpræget grad angår faget matematik, fordi mange af de spørgsmål, der stilles (af læreren) er noget kunstige. Læreren stiller ikke spørgsmålene, fordi han/hun vil kende et svar, men for at muliggøre læring. Det forventes, at eleven tager spørgsmålet alvorligt, selvom eleven godt ved, at læreren allerede kender svaret. Elevens del af kontrakten er altså at svare på spørgsmålet. Og et rigtigt elevsvar tages typisk som et udtryk for at læring har fundet sted. Den indbyggede konflikt er således, at de spørgsmål som læreren stiller, kan blive så eksplicitte, at eleven reelt ikke har mulighed for at opfylde sin del af kontrakten, nemlig at lære. Og Brousseaus hovedtanke er således at så længe en sådan didaktisk kontrakt dominerer, kan man komme i en situation, hvor der reelt ingen læring foregår, selvom det modsatte var hensigten. Brousseau mener således, at for at den intenderede læring kan finde sted skal den didaktiske kontrakt brydes. Det er først når den didaktiske kontrakt brydes, at Kappe side 6 af 21

7 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne læreren reelt overlader dele af de faglige aktiviteter til eleverne, så læring kan finde sted som forventet (Skott, Jess, Hansen 2011). Vi ser altså, hvilke ting, der er på spil, i det øjeblik, vi har et klasserum, hvor i der er nogle elever og en lærer. Det er meget vigtigt for læreren at være bevidst om, at det en gang imellem er nødvendigt at bryde kontrakten for at fremme læringen hos eleverne. Desuden har vi set, at eleverne også oparbejder nogle sociomatematiske normer, som dikterer, hvordan, og på hvilken måde man dyrker matematik. Begge forhold finder vi ekstremt relevante at være bevidste om i forbindelse med undervisning, men i lige så høj grad i forhold til rollen som vejleder. I en vejledningssituation vil man typisk sidde med en enkelt elev eller med små grupper af elever. Men eleverne vil stadig tage deres normer fra undervisningen med, og det er derfor lige så nødvendigt her, at man overvejer, hvilke didaktiske kontrakter, og hvilke normer, der er i spil. Kappe side 7 af 21

8 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Matematikvejledningen Vi vil her for overskuelighedens skyld tale om to typer af elever. Det er den første elevtype, der helt uproblematisk lærer matematik, og som derfor ikke har brug for vejledning. Den almindelige undervisning er derfor nok for elever af denne type. Den anden elevtype er derimod elever, der af den ene eller anden grund har problemer med matematik og derfor kan have gavn af, at arbejde med sine matematikvanskeligheder hos en vejleder. Her er almindelig undervisning altså ikke tilstrækkeligt, fordi de skal have særlig opmærksomhed, der tager mere end de 2-3 min. der i gennemsnit vil være til rådighed pr. elev i en almindelig lektion. Det tager tid at undersøge, hvori elevens vanskeligheder ligger og designe et forløb til afhjælpning af dette. I formålsparagraffen for matematikvejlederuddannelsen står: Formålet er at uddanne personer, hvis rolle ude i gymnasierne bliver at hjælpe den slags elever som til trods for ihærdige og gentagne forsøg på at lære matematik bliver ved med at snuble og som derfor oplever problemer ikke kun i matematikfaget, men også i de matematikafhængige fag som fysik, kemi, og i nogen grad biologi, naturgeografi og samfundsfag. Den matematikdidaktiske litteratur byder på adskillige veldokumenterede og velbeskrevne og velforståede læringsvanskeligheder altså særlige elementer, snublesten, som elever ofte og systematisk falder over ligesom den peger på mulige måder hvorpå disse vanskeligheder kan afhjælpes. Disse snublesten findes undertiden i emnemæssige varianter, det vil sige indenfor områder som tal og aritmetik, algebra, funktioner og infinitesimalregning, sandsynlighedsregning og statistik, geometri og modellering, etc. Men ganske ofte går de også på tværs af emner, for eksempel i forhold til vanskeligheder med at forstå symbolbrug og formalisme samt matematiske termer og konventioner, med at kunne bringe ting på matematisk form, med at kunne ræsonnere på matematisk vis osv. Der er således tale om matematiske kompetencer, som disse elever ikke er kommet i ordentlig besiddelse af, og hvis fravær derfor spænder ben for dem. (Uddannelse til matematikvejleder, 2013). For således at finde de elever, der har læringsvanskeligheder i matematik og dernæst hjælpe dem, er der en fast procedure man som matematikvejleder skal igennem delvist sammen med eleven. Denne faste procedure indeholder, som tidligere nævnt, tre komponenter detektion/identifikation, diagnosticering og intervention. Detektion og identifikation Her handler det om dels at identificere elever med læringsvanskeligheder i matematik samt detektere elevens snublesten. Hvordan gør man det? I første omgang handler det om at finde de relevante elever. I den fremtidige matematikvejledning vil det oftest være elevens matematiklærer, der i sine timer har identificeret elever med vejledningsbehov, og som så henviser dem videre til vejlederen. Men herudover er der behov for at anvende en (eller flere) detektionstest specielt designet til at afsløre elevernes snublesten indenfor et eller flere områder af matematikken. Denne test fungerer som en metaldetektor (Mogens Niss, 2014), vi kunne kalde Kappe side 8 af 21

9 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne den en matematikdetektor. Med en detektionstest kan man finde hvor problemet (metallet) er, men det kræver en nærmere undersøgelse mere detaljeret at finde ud af, hvad det er for et problem, vi har fundet. For at spore os ind på, hvilke problemerne eleverne præcist har, kræves yderligere undersøgelser. Dette kunne som oftest være opfølgende interviews med udgangspunkt i detektionstesten. Disse indledende undersøgelser fører til næste komponent, diagnosticeringen. Diagnose En diagnose er vigtig at stille, fordi den danner udgangspunkt for sidste komponent nemlig interventionen. En diagnose stilles på baggrund af detektionstesten efterfølgende interviews typisk med tilhørende specielt designede opgaver med det formål yderligere at klarlægge situationen. Ofte er elevernes problemer mangfoldige og sammensatte størrelser, og man skal være indstillet på hele tiden at ændre og sofistikere diagnosen i det løbende arbejde med eleven. Intervention På baggrund af diagnosen skal matematikvejlederen designe et passende forløb for den pågældende elev, hvis matematikvanskeligheder skal afhjælpes. Der er desværre her ikke nogle hverken hurtige og nemme løsninger eller en bestemt standardprocedure, man kan anvende. Interventionen kan være mere langvarige forløb eller kortere forløb helt afhængig af, hvilke(n) matematikvanskelighed(er) den pågældende elev har. For at kontrollere om eleven har lært det, der var intentionen, kan man afslutte et forløb med en sluttest, Hvis man har oparbejdet den optimale kultur omkring vejledningen, vil eleven ideelt set vende tilbage af sig selv fra deres normale undervisning, hvis der stadig er problemer. Kappe side 9 af 21

10 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Beliefs Som vejleder skal man altså tage stilling til elevens matematikfaglighed inden for forskellige områder. I mange situationer er der flere ting på spil i relation til om eleverne kan udføre matematik. Det er her, at beliefs kommer ind. Teoretisk omfatter ordet beliefs elevernes holdninger til matematik som fag, holdninger til sig selv og deres roller og evner i forbindelse med matematik, holdninger til, hvordan faget skal læres, hvilke spilleregler der gælder i undervisningen, hvilke roller læreren har, holdninger til, hvad faget skal og kan bruges til. Så beliefs er det psykologiske setup, som eleverne har i forhold til matematik. I litteraturen er der en diskussion omkring, hvordan man underinddeler beliefs. I (Op t Eynde, 2002) har man valgt følgende struktur at tale beliefs efter: Beliefs omkring matematikuddannelsen Belief omkring matematik som fag. Belief omkring matematiklæring og problemløsning. Beliefs omkring matematikundervisning generelt. Belief om én selv Belief om egne evner. Hvad er jeg i stand til? Hvad skal der til for at jeg lærer emnet? Hvorfor er det vigtigt at jeg skal lære emnet? Hvad får jeg selv ud af at lære emnet? Belief om den social kontekst (sociale spilleregler) Belief om de sociale normer. Herunder lærerens og de studerende rolle og funktion. Belief om de sociomatematisk normer i klassen Rigtig mange af de matematiksvage elever har en utrolig ringe tillid til deres egne evner indenfor matematik. De har måske gennem en lang årrække oplevet mange nederlag i matematik, og kan have en opgivende holdning eller blokere mentalt lige så snart, de bliver stillet overfor udfordringer. Hvis man ikke forholder sig til en sådan situation som vejleder, er vejledningen spildt. Andre elever som har svært ved matematik, har måske valgt nogle uhensigtsmæssige strategier. Eksempelvis kan mange bilde sig ind, at de forstår matematikken, hvis de bare er i stand til at tage fyldestgørende noter. Andre beliefs kan have sit udspring i års undervisning, hvor man har fået dårlige vaner. Dette kunne eksempelvis være, at man var blevet vænnet til at ligninger primært har heltalsløsninger, at der kun er en løsning til en ligning, at man beviser sandheden af et udsagn ved at teste udsagnet en enkelt eller nogle få gange (empirisk bevisskema), at man skal bruge alle oplysningerne, der er i en standardopgave osv. Kappe side 10 af 21

11 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Som nævnt kan man også have udviklet normer, så som at det er læreren (eller autoriteten), der skal bekræfte, at det man siger, er korrekt, at man har ret til at blive hjulpet i gang, og at man ikke selv skal finde på antagelser i en problemløsnings- eller modelleringsopgave. I det følgende vil vi gennemgå vores miniprojekter for netop at se, hvordan bl.a. beliefs har spillet ind. Kappe side 11 af 21

12 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Første projektforløb Fokus her var på symbol- og formalismekompetencen (se fx. Niss og Jensen, 2002, KOM rapporten s. 58). I en vejledningsseance på Falkonergårdens Gymnasium med en enkelt elev udfoldede der sig følgende samtalestump, hvor eleven er i gang med at løse ligningen 3x + 4 = 3x. Elev: Så der står faktisk at 4=0! Lærer: Ja Elev: okay!??? Lærer: Er det rigtigt, at 4 er lig med 0? Elev: øhmm ja! Det kunne være rigtigt! Lærer: Et helt generelt spørgsmål: er 4 lig med 0? Elev: Altså normalt nej. Eleven her havner i en situation, hvor han som udgangspunkt siger, at det kan være rigtigt, at 4 er lig med nul. Hvad er på spil her? Vi kan dels se det som en et udtryk for elevens belief omkring opgaveløsning, at læreren altid stiller opgaver der giver mening og som er sande. I stedet er vi i gang med at bryde den didaktiske kontrakt, hvilket er første skridt på vejen til, at eleven lærer at matematiske udsagn kan være usande, og at der ikke altid er en løsning til en ligning. Vi ved, at nul for mange elever ikke opleves som et tal, men snarere som et begreb, så at 4 er lig med nul, kunne jo blive opfattet af eleven som en eller anden form for matematisk finurlighed. Og dette kunne jo også forklare, hvorfor det overhovedet er acceptabelt for eleven, at nul kunne være lig med 4. Figur 1: Opgave 2 fra detektionstest 2. Kappe side 12 af 21

13 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Situationen her lignede lidt opgaven i detektionstesten fra 2. projektforløb (se figur 1). Det er den klassiske opgave, hvor man viser at et eller andre tal kan være lig med nul ved undervejs at foretage en skjult division med nul. Her bliver eleverne vildledt af en formelt fornuftigt udseende udledning. Der foregår altså også her en slags brud på den didaktiske kontrakt eller et brud på de sociomatematiske normer, der dikterer, at man ikke lyver over for eleverne eller bringer dem på et forkert spor. I en vejledningssituation på Brøndby Gymnasium, kunne man spore i detektionstesten, at flere elever havde helt blanke felter i ligningsløsninger. Eleverne gik i 2.g og må gennem undervisningen have set adskillige ligninger. Men ikke desto mindre forsøgte de slet ikke at skrive noget. Dette kan man tolke som manglende selvværd, som der ganske givet har været hos eleverne. Eller en slags overlevesesstrategi - hvis man får en udfordring som virker svær, så prøver man ikke på at gå i gang, man går videre og glemmer opgaven. Man kan også anlægge betragtningen læreren fortæller mig jo, hvad løsningen er, så jeg skal nok forstå det. Eller måske: Når jeg senere får svaret fra læreren, så forstår jeg opgaven. Det er ikke til at sige, hvad der præcist var på spil her. I den efterfølgende intervention brugte eleverne legoklodser og post-it sedler til at lære at løse simple ligninger. Og måske er det en rigtig fornuftig taktik i så høj grad som muligt at flytte fokus til noget andet, sådan at eleverne glemmer at de ikke kan. Det kunne have været interessant at have talt lidt mere med eleverne netop om deres tanker, da de løste opgaverne i detektionstesten for at afdække deres beliefs om én selv for at få idéer til, om eleverne havde behov for at udvikle eller ændre tankerne omkring deres opgaveløsningsstrategi. Kappe side 13 af 21

14 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Andet projektforløb Projektforløbet havde udgangspunkt i matematisk bevisførelser / argumentation (se fx. Harel and Sowder, 2007). Vejledningsforløbet blev foretaget med en enkelt elev på Falkonergårdens Gymnasium. Vores fokuselevs detektionstest viste, at hun helst ville bevise matematiske udsagn/sætninger ved eksempler og ikke med symboler, og hun havde ikke et klart billede af, hvornår hun havde eksempler nok, hun har med andre ord en empirisk tilgang til beviser. I testens 3 opgave ser hendes svar således ud: Figur 2: Et eksempel på elevens empiriske tilgang til beviser og i et efterfølgende interview, hvor ovenstående opgave diskuteres udspiller sig følgende dialog Elev: Ethvert et til ti. Det kommer an på, hvad for resultater man får, hvis man får et helt mærkeligt resultat, når man prøver fra et til ti, så skal man vel prøve flere gange Lærer: OK, men lad os nu sige, at vi havde prøvet fra et til ti, og de alle sammen havde vist sig, at det var rigtigt det der. Kunne man så være sikker på at det gjaldt for ethvert (red. tal)? Elev: Nej. Lærer: Hvordan tror du man kunne blive sikker på det gjaldt for ethvert tal? Elev: Altså prøve med mange tal... Hun har åbenbart en ret indgroet forestilling om, at den slags udsagn bedst afgøres gennem demonstration via eksempler, og her har vi jo også at gøre med en ligning, som elever til at starte med i deres ligningsløsningsliv løser ved at sætte tal ind. Hun giver også tidligere i interviewet udtryk for, at hun synes beviser er noget, hun bliver forvirret af. At elever har et empirisk bevisskema er som udgangspunkt helt normalt. I den pædagogiske praksis bruger vi jo ret tit det trick, at vi for at overbevise eleverne om gyldigheden af en eller anden relation fx. cosinusrelationerne viser, at relationen stemmer gennem et eksempel. Så gennem undervisningen kan vi komme til at understøtte et belief, der handler om, at sandhedsværdien af et generelt udsagn kan bekræftes ved eksempler. Opgaverne til interventionen for eleven fokuserede på at skulle (over)bevise andre om rigtigheden af simple matematiske udsagn, som skitseret nedenunder. Kappe side 14 af 21

15 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Problem 1: Vælg et tilfældigt tal læg 7 til træk 4 fra og træk yderligere tallet, som du valgte først fra. Resultatet af nedenstående regnestykke giver altid tallet 3. Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at udsagnet altid er korrekt. Problem 2: Vælg et tilfældigt tal. Gang tallet med sig selv. Læg 10 til. Udsagn: Resultatet af regnestykket giver altid et positivt tal. Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at udsagnet altid er korrekt. Håbet var at få eleven til at bevæge sig væk fra sit empiriske bevisskema og af sig selv indføre variable i argumentationen. Det kom ikke nemt til hende, i den første opgave endte det med nærmest at blive med ført hånd fra vejlederens side. Da hun så havde købt ideen, gik det pludselig glat med at indføre variable og gennemføre den matematiske del af det med at (over)bevise en anden om rigtigheden af udsagnet. Vi var dog ikke helt sikre på om eleven rent faktisk havde fanget ideen i at indføre en variable, og at hun på den måde var kommet et skridt nærmere deduktiv bevisførelse. Eleven havde svært ved mundtligt at formulere en konklusion af det matematiske resultat. Det ser vi som et udtryk for at hun har problemer med kommunikations kompetencen, og i andre situationer virkede det ikke som om, hun havde fanget pointen og ideen med indførslen af en ukendt variabel. Gennem vores vejledning kan vi have guidet hende for meget og dermed lagt nogle nye normer ind over den konkrete situation (etableret en ny didaktisk kontrakt), sådan at hun måske har tænkt: Altså når jeg skal indføre en variabel i første opgave, så skal jeg sikkert også gøre det i de resterende opgaver jeg får, fordi det virker som om læreren gerne vil have det. Vi havde dog en oplevelse af, at vi havde fat det rigtige sted, men at vi nok skulle have arbejdet lidt mere med eleven for virkeligt at få flyttet hende i forhold til at få et mere deduktivt bevisskema. Undervejs i vores arbejde med hende blev vi opmærksomme på, at der nok også var andre ting på spil. Vi besluttede derfor at undersøge hendes (og hendes klasses) matematikbeliefs for at få et mere fuldstændigt billede af hende og hendes forhold til matematik. Vores undersøgelse af hendes beliefs om matematik viste bl.a., at hun ikke var særligt interesseret i matematik og ikke fandt at matematik kunne anvendes voldsomt meget i hverdagen (iøvrigt i god tråd med det der betegnes som motivationsproblemet i KOM-rapporten s.22, Niss 2002). På den baggrund er det måske ikke så mærkeligt, at det ikke var så nemt at rykke hende i gennem vores korte interventionsforløb, da der manglede en indre motivation. I det hele taget, så opstår spørgsmålet, hvor meget vi kan rykke eleverne i deres matematikkundskaber, hvis de har svært ved at se værdien i de konkrete problemer, vi arbejder med. Eleven havde nok ydre motivation. Hun ville gerne have gode karakterer, vidste at matematikkundskaber kunne være godt for en videregående uddannelse, og at det er fornuftigt at kunne matematik. Men en kraftig ydre motivation, uden den indre, har en tendens til at lægge initiativet over på læreren, hvorved ansvaret og selvstændigheden glider væk fra eleven. Kappe side 15 af 21

16 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Tredje projektforløb Dette projektforløb tog udgangspunkt i elevernes modelleringskompetence (se fx. Niss og Jensen 2002, KOM-rapporten s. 52 eller Maas 2006) Her havde vi på forhånd besluttet, at vi ville søge efter en eller flere elever, der var flittige og interesserede, men helst skulle bekræftes i, at deres ideer og deres tilgang til et givent problem var rigtig. Med den overvejelse i baghovedet udvalgte vi på baggrund af detektionstesten en bestemt elev på Falkonergårdens Gymnasium. Med denne elev gennemførte vi yderligere 2 diagnostiseringsinterviews. Her blev vi klar over, at hun var meget autoritativt styret (for at bruge bevisskema-termnologien) og at hendes selvtillid, i forhold til at kunne løse de stillede opgaver, var meget lav. Læreren skulle bare tøve et øjeblik med at bekræfte hende i, at hun var på rette vej, før hun begyndte at tvivle på sig selv. Så bare ved at tøve et øjeblik, brød vi her den didaktiske kontrakt, og det åbnede en mulighed for, at hun kunne begynde og overveje, om hun var på rette vej og derved lære en af de vigtige elementer i matematisk modellering. Men vores observation medførte altså, at vi ret sikkert kunne fastslå, at eleven var autoritativt styret, når hun blev så usikker. Og derfor skulle vi bringe eleven i situationer, hvor hendes autoritative styring blev udfordret eller med andre ord, hvor hendes sociomatematiske beliefs var anderledes. Vi konstaterede gennem tests, at eleven i første omgang havde problemer med præmatematisering og validering inden for modelleingskompetencen. Igen her kan beliefs bringes på banen. Mange elever opfatter modellingsopgaver, specielt de åbne, som ikke-matematik eller useriøs matematik. Disse typer opgaver udfordrer deres beliefs om, hvilke typer opgaver, der kan/må stilles i matematik. Modelleringsopgaver stiller større krav til selvstændighed i de forskellige modelleringsfaser, hvilket i sig selv også kan være et brud på den didaktiske kontrakt. Diagnosticeringarbejdet understøttede, at det var en god idé, at interventionen og arbejdet med modellering skulle forgå i grupper. Specielt skulle vores elev være i en gruppe bestående af nogenlunde jævnbyrdige elever. Her var sigtet med interventionen, der foregik i fysiktimerne, at få eleverne i gruppen til at indgå i en ligeværdig diskussion om problemløsningen. Endvidere skulle den tilstedeværende lærer forholde sig stort set passiv, forstået på den måde, at han kun i meget begrænset omfang skulle hjælpe gruppen ved at bekræfte dem i, om de var på rette vej. Lærerens input til eleverne skulle helst begrænse sig til spørgsmål a la Hvad er det I ved? Hvad er det helt præcist I laver nu? Hvorfor gør I det? Hvordan hjælper det jer? ol. Baggrunden for at interagere med eleverne på den måde, var at styrke deres bevidsthed om processen. Hensigten med det gruppebaserede interventionsforløb var at presse vores fokuselev frem på banen, få hende til at deltage aktivt i modelleringsprocessen nu, hvor hun var blandt ligemænd og ikke bare kunne lægge sig i slipstrømmen af en dygtig elev eller få bekræftelse fra læreren. Den sidste del lykkedes faktisk. De 3 elever havde forskellige styrker og svagheder, så de bidrog faktisk alle konstruktivt i processen. Det viste sig dog, at gruppen ikke rigtigt gik ind i selve modelleringsprocessen og prøvede at forestille sig det fysiske setup, og hvordan det kunne modelleres. De gættede en model og prøvede at validere den ved måling. Det førte til, at de forkastede modellen, og så gik de i gang med at teste forskellige muligheder, hvor de ved regression forsøgte at afgøre, hvilken matematisk model der er korrekte i den givne sammenhæng. Ved slutevalueringen for vores fokuselev, så vi tegn på, at hun faktisk var rykket lidt i forhold til at turde kaste sig ud i løsning af en opgave på egen hånd og i forhold til at dokumentere, hvad hun Kappe side 16 af 21

17 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne gjorde, men det så ikke ud til, at hun var blevet væsentligt bedre til at præmatematisere. Set i lyset af, at det at modellere er en kompliceret proces i mange trin, og at vi kun havde et meget kort interventionsforløb, må resultatet betegnes som tilfredsstillende, men skal der virkeligt rykkes, skal der et væsentligt længere interventionsforløb til eller måske snarere et helt modelleringskursus. Det virker som om, der er mange fornuftige og positive elementer ved modellering, og man kan måske med fordel gøre brug af modellering i vejledningsøjemed. Men samtidig ser vi også, at modellering kan vække modstand i relation til nogle elevers matematikbeliefs. Så hvis man gør brug af dette værktøj, er det nok vigtigt, at være meget eksplicit med eleverne, om hvad det er, der er på færde, og man skal nok være omhyggelig i valget af de specifikke problemer. Kappe side 17 af 21

18 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Opsummering Som det kan ses af alle vores tre miniprojekter virker det helt på sin plads at inddrage beliefs i matematikvejledningen. Vi ser, at elevernes matematikbeliefs, kan have afgørende betydning for elevernes mulighed for at udføre matematik, og vi ser, at det kan have afgørende betydning at tage beliefs med i overvejelserne, når et interventionsforløb skal designes. I de sidste to miniprojekter lå fokus på mere overordnede matematikkundskaber som bevisteknikker og modellering. Men selvom fokus lå her er vi blevet opmærksomme på, at mange af elevernes problemer også kan føres tilbage til problemer med symbol- og formalismekompetencen og til deres helt basale forståelse af, hvad tal er, når det ikke lige handler om naturlige tal. Kappe side 18 af 21

19 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Refleksioner i relation til matematikvejledningen På Falkonergårdens Gymnasium vejledte vi i løbet af de tre projekter 3 meget forskellige elever og brugte 2 forskellige typer intervention. I de 2 første semestre havde vi intervention med én vejleder til én elev og i 3. semester havde vi valgt gruppebaseret intervention. De 2 forløb, hvor vi havde vejledning med kun én elev, er nok dem, der kommer til at minde mest om vores fremtidige praksis, hvor vi skal vejlede en enkelt elev eller måske en lille gruppe elever med nogenlunde samme type matematikvanskeligheder. I vores forløb var det i de fleste situationer elevens egen lærer, der fungerede som vejleder. Det er nok ikke ideelt, i og med man får en dobbelt rolle i forhold til eleven, nemlig en rolle hvor man som vejleder skal ind og pille der hvor det måske gør fagligt mest ondt. Samtidig har man så rollen som den almindelige underviser, der også skal bedømme eleven og dermed give karakterer. Vi fornemmede ikke, at det var et alvorligt problem for de 2 elever vi arbejdede med, men man bør nok prøve at undgå den situation. Når man sidder med en enkelt elev i en vejledningssituation, kan man skabe mulighederne for at få den enkelte elev til at tænke selv og til at sige hvad han/hun tænker - det kan være ret tidskrævende, og det vil der typisk ikke være tid til i den almindelige undervisningssituation. I vejledningssituationen er man nødt til at lade eleverne løbe linen ud før man for alvor kan se, hvor skoen trykker, så man kan udfordre dem (bryde den didaktiske kontrakt) på de ømme punkter og forhåbentlig få løftet dem fagligt, så de bedre kan deltage i den almindelige undervisning. Det med at give eleverne god tid til at forklare sig, kan være uvant for lærere, så i de situationer skal man være meget opmærksom og prøve at beherske sig. En en-til-en vejledningssituation som matematikvejleder kan i nogen sammenhænge minde om studievejledning, specielt hvis man spørger ind til elevens opfattelse af egne evner o.l. Man kan komme til at opleve, at en elevs beliefs hænger sammen med elevens almene psykologiske tilstand. En elev med lavt matematikselvværd kan også have lavt selvværd på andre områder, og derfor være ekstra følsom. Og det kan være en god idé at være mentalt forberedt på sådanne situationer. I uddannelsen som studievejleder træner man også den gode samtale, hvor den vejledte ikke får lagt ordene i munden, og hvor man tilstræber at have en åben ikke-dømmende dialog. Og dette kan også være vigtigt at have med sig som matematikvejleder. En yderligere ting, vi lærte af vore vejledningsforløb, var, at det er meget vigtigt, at de elever, der skal deltage i et vejledningsforløb, skal være indstillet på deltagelse, så de arbejder konstruktivt med i forløbet. Det var nok særligt udtalt for vores elev fra 3. semester, hun var meget positiv og mente også forløbet kunne være en fordel for hende i forhold til hendes videre gymnasieforløb. Det var ikke så tydeligt med eleverne fra de 2 første semestre. Eleven fra første semester var nok lidt ligeglad, men syntes, det var ok at deltage. Eleven fra andet semester deltog i det fornødne omfang, men havde det nok ikke ret godt med det. I hvert fald var hun helt uinteresseret i, hvad det hele gik ud på, og hvad det skulle bruges til, og straks en interventionsseance var afsluttet strøg hun ud af døren. Kappe side 19 af 21

20 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne På baggrund af vores erfaringer gennem de 3 interventiosnsforløb vi har gennemført og på baggrund af den nu snart gennemførte uddannelse mener vi at man som vejleder skal være opmærksom på følgende: Man fortæller kort eleven om hvad det er for en situation. At det ikke er en undervisningssituation og at man som vejleder oprigtigt ønsker at hjælpe eleven af med de detekterede matematikvanskeligheder. Man skal have en tilbagetrukken rolle. Man skal som vejleder sørge for at vejledningssituationen opleves som en tryg situation. Man skal så vidt muligt kun behandle elever der ikke er ens egne. Man skal kun vejlede elever der faktisk ønsker at blive bedre til matematik. Man skal som vejleder have en god ide om elevens beliefs idet negative beliefs sandsynligvis kan virke direkte blokerende i forhold til læring. Man skal være opmærksom på betydningen af den didaktiske kontrakt og måske bryde den ved ikke altid at agere i forhold til eleven som han/hun er vant til det fra den daglige undervisning. Man skal være opmærksom på, at det, for at få eleven til at nedbryde forkerte faglige forestillinger, kan være nødvendigt at bringe eleven i en kognitiv konflikt. Kappe side 20 af 21

21 Kappe matematikvejlederuddannelsen hold 2 Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne Litteratur Uddannelse til matematikvejleder, 4 sider, Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, Chapter 5 on Didactical Contract, pp (Edited and translated by Nicolas Balacheff, Martin Cooper, Rosamund Sutherland, and Virginia Warfield.) Cobb, P. & Yakel, E. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4): Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. In: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Maass, K. (2006), What are modelling competencies, ZDM 38, (pp ) Springer 2006 Niss, M. & Jensen, T. H. (Eds.), (2002): Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning, Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsens temahæfte nr. 18. Op t Eynde, P., de Corte, E. & Verschaffel, L. (2002). Framing students mathematics-related beliefs In: G. C. Leder, E. Pehkonen, & G. Tørner (eds.): Beliefs: A hidden Variable in Mathematics Education? (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Skott, J. & Jess, K. & Hansen, H. C. (2011). Matematik for lærerstuderende, Delta Fagdidaktik, 1. udgave 2008, 4. oplag Kappe side 21 af 21

22 DEL 1 Matematikvejlederuddannelsen Begreber og begrebsdannelse i matematik Skrevet af Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne

23 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Indholdsfortegnelse Indledning... 4 Kapitel Første del: Detektion og identifikation Falkonergårdens Gymnasium... 6 Beskrivelse af 1.g klassen frem til detektionsteste... 6 Detektionstesten... 7 Beskrivelse af 2.g klassen fra Falkonergårdens Gymnasium Første del: Detektion og identifikation Brøndby Gymnasium... 8 Anden del: Diagnosticering Falkonergårdens Gymnasium... 9 Opsummering af detektionstest Anden del: Diagnosticering Brøndby Gymnasium Opsummering af detektionstest Resultaterne af samtalerne Tredje del: Intervention Overvejelser forud for første interview med A Første interview med elev A Opsamling på første interview med elev A Overvejelser forud for andet interview med elev A Andet interview med elev A Hvad viste interviewet? Opsamling på forløbet med elev A Intervention Elev B, C og D. Brøndby Gymnasium Opsamling på Elev C Ligningsløsning med Elev B og D Opsamling på elev B og D Opsamling: Kapitel Empiri i en teoretisk kontekst Diagnosticering: Elev A Elev B, C og D Del 1 side 2 af 81

24 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Opsamling: Intervention: Elev A Intervention: Elev B, C og D Kapitel Diskussion Afrunding: Kapitel Konklusion Kapitel Litteraturliste Kapitel BILAG 1 RESULTATER 1g FALKONERGÅRDEN BILAG 2 RESULTATER 2g BRØNDBY BILAG 3 RESULTATER 2g FALKONERGÅRDEN BILAG 4 DETEKTIONSTEST FOR ELEV A BILAG 5 DETEKTIONSTEST FOR ELEV B BILAG 6 DETEKTIONSTEST FOR ELEV C BILAG 7 DETEKTIONSTEST FOR ELEV D BILAG 8 TRÆNNGSOPGAVER TIL ELEV B,C OG D BILAG 9 TRÆNINGSOPGAVER TIL ELEV B, C OG D BILAG 10 SLUTTEST Del 1 side 3 af 81

25 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Indledning Dette projekt er skrevet af Mikkel Rønne, Brøndby gymnasium, Lars Gråbæk og Anders Marcussen, begge Falkonergårdens Gymnasium og HF. Vi underviser alle i matematik og fysik og er efterhånden rimelig erfarne gymnasielærere. Da tilbuddet om at efteruddanne sig til matematikvejledere så at sige kom ind ad døren, synes vi alle tre, at det lød spændende. Efter endelige forhandlinger med rektor var det på plads, at vi kunne gå i gang med at efteruddanne os til matematikvejledere. Det første af de tre semestre uddannelsen tager, startede med en introduktion på Roskilde Universitet den 22. maj Efter denne introduktion indløb en mail med en længere litteraturliste og lektier til det første seminar, der fandt sted den september Lektierne, der handlede om elevers læringsvanskeligheder og om generelle problemer i forbindelse med matematiklæring, viste sig heldigvis at være ganske interessante. Så efter seminaret kunne vi gå i gang med vores første projekt, som skulle tage udgangspunkt i nogle af vore egne elever med læringsvanskeligheder i matematik. Eleverne skulle udvælges på baggrund af en detektionstest, udleveret af kursus arrangørerne. Da vi så kom rigtigt i gang efter at have givet detektionstesten til eleverne (en 1.g og en 2.g på Falkonergårdens Gymnasium samt en 2.g på Brøndby Gymnasium), kom vi ind i en anden fase, hvor tingene bare kørte. Vi fik rettet testen og diskuteret elevernes resultater. Vi var allerede godt i gang. Men hvordan gjorde vi så? Hvad skulle vi se efter i testen? Det hele virkede lige pludselig så uoverskueligt. Vi synes, vi stod overfor en meget stor og svær opgave i og med, at der stort set for hver eneste testet elev var ting vi kunne tage fat i. Vi valgte at fokusere på enkelte ting hos nogle få elever, efter moden overvejelse valgte vi således de fire elever man stifter bekendtskab med i denne rapport. Det er de elever vi igennem rapporten har valgt at kalde for A, B, C og D. Vi har valgt at arbejde lidt forskelligt med disse elever, men samlet har vi undersøgt hvordan hver af disse fire elevers symbol- og formalismekompetence kunne udvikles gennem forskellige interventionsforløb vi har tilrettelagt på baggrund af litteraturen for dette semester. Det har altså været udvikling af de fire elevers symbol- og formalisme kompetence vi har været interesserede i at fokusere på i dette semester. Som udgangspunkt har vi i forhold til ovenstående kompetence valgt at fokusere på, hvordan disse elever løste ligninger af første grad med en ubekendt. Så vores endelige problemformulering blev efter en del samtaler, stilhed, vejledermøde og tænkning til: Vi ønsker at undersøge A, B, C og D s symbol- og formalismekompetence i relation til vanskeligheder ved ligningsløsning. I hvor høj grad kan A, B, C og D s vanskeligheder ved ligningsløsning afhjælpes ved et repræsentationsskift? Hvordan svarer vi så på denne problemformulering? Det skal allerede her bemærkes, at denne rapport er atypisk bygget op. Inden vi startede med at skrive denne rapport, blev vi enige om at denne rapports opbygning skulle afspejle den aktuelle arbejdsgang vi har fulgt igennem første semester. Dette har derfor medført at vi starter med i kapitel 1 at redegøre for arbejdet med vores fire elever. I kapitel 2 sætter vi vores analyse af elevernes matematikvanskeligheder ind i en teoretisk kontekst. Denne atypiske opbygning af rapporten viste sig imidlertid svær at overholde under skrivningen, fordi vi under analysen tit havde brug for at trække relevant teori ind for at forklare eller understøtte pointer i vores findings. For at komme over dette problem har vi henvist Del 1 side 4 af 81

26 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik til kapitel 2, eller også har vi brugt nogle fagtermer som vi (egentlig) ikke definerer (ordentligt) før i kapitel 2. I bagklogskabens klare lys er det klart at en omvendt tilgang klart ville være at foretrække. Derfor kunne vi have taget konsekvensen og omskrive rapporten, men det, synes vi, var et for stort arbejde. Vi har rettet så mange ting som muligt i denne udgave, men den atypiske struktur er der ikke rørt ved. Vi har delt dette projekt op i seks kapitler. I kapitel 1 fremægger vi vores empiri. Vi gennemgår altså de fire valgte elevers test. Dette kapitel er delt op i tre dele: Detektion og Identifikation, Diagnosticering og til sidst intervention. I kapitel 2 sætter vi empirien ind i en teoretisk kontekst. Her kæder vi empirien fra kapitel 1 sammen med matematikdidaktisk teori for på den baggrund at kunne give en endelig vurdering af de fire elevers symbol- og formalisme kompetence. I Diskussionen, der er vores kapitel 3, vil vi give nogle bud på, hvad vi fremadrettet kan gøre for de fire elever, vi har arbejdet med. Vi kommer med den endelige konklusion i kapitel 4 og sidst men ikke mindst litteraturlisten i kapitel 5 samt diverse bilag i kapitel 6. Vi vil gerne takke vores vejledere og undervisere Professor Mogens Niss, Ph.d. Uffe Jankvist og Ph.d. studerende Sif Skjoldager for nogle fantastiske og lærerige dage på det første internat på Søminestationen i Holbæk. Dejligt at være i meget kompetente faglige hænder. Vi glæder os til respons på dette projekt, og vi glæder os til næste semester, der allerede starter i januar Der er nu ikke mere at sige end vi håber på god og fornøjelig læsning af denne rapport. Lars Gråbæk, Anders Marcussen og Mikkel Rønne, Januar Del 1 side 5 af 81

27 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 1 Empiri Første del: Detektion og identifikation Falkonergårdens Gymnasium Vi har i dette forløb givet detektionstesten til tre klasser. To 2.g klasser en på Falkonergårdens Gymnasium og HF-kursus og en på Brøndby Gymnasium, endelig testede vi en 1.g på Falkonergårdens Gymnasium og HF-kursus. 1.g klassen består normalt af 27 elever, men da detektionstesten blev uddelt og skulle besvares af eleverne torsdag den 26. september 2013, var der to fraværende. Disse to elever har vi valgt ikke at teste efterfølgende. Klassen har en studieretning med fagene Psykologi og Engelsk hvor de i 2.g, som noget nyt, har mulighed for at hæve matematik til B-niveau. Beskrivelse af 1.g klassen frem til detektionstesten På Falkonergårdens Gymnasium kører alle 1. klasser efter samme skabelon i grundforløbet (efteråret i tidsrummet uge 33-51). Det er aftalt på forhånd at hvert fag i grundforløbet når det samme pensum. I matematik skal vi i grundforløbet nå (kun angivet i overskrifter): Tal, Ligninger, Linearitet, Trigonometri, procentregning og statistik. Den lærebog vi anvender i grundforløbet hedder MAT C, og er skrevet af Carstensen m. fl., udgivet på forlaget Systime i Fordelen ved bogen er, at der til alle emner er opgaver bagerst i bogen med facit til dem. De emner vi havde været igennem var: De elementære regningsarter, regningsarternes hierarki, led og faktorer, gange- og minustegn, potenser, regneregler for parenteser. Brøker: Forkortning og forlængning, addition, subtraktion, multiplikation og division. Potens og rod, reduktion af bogstavudtryk. Førstegradsligning med en ubekendt. Den rette linjes ligning og lineære sammenhænge. En typisk time i klassen har været, at læreren har gennemgået den stillede lektie i helt korte træk med en pause imellem gennemgang og opgaveregning. De stillede opgaver var træningsopgaver, der blev stillet i tilknytning til den stillede lektie. Onsdag den 11. september fik klassen en skriftlig prøve af 1,5 times varighed, hvor alle hjælpemidler, undtagen lommeregner, var tilladt. Prøven testede emnet tal. Prøvegennemsnittet for klassen blev 4,6 1. Inklusive den stillede prøve havde eleverne fået stillet fem skriftlige hjemmeregningssæt. Inden klassen torsdag den 26. september fik detektionstesten, blev det forklaret for alle elever, hvad baggrunden var for, at de fik testen. Desuden blev der gjort opmærksom på, at det var meget vigtigt, at de under testen forsøgte at svare på alle 57 spørgsmål. For at få så unbiased besvarelser 1 Gennemsnittet er kun beregnet for de 25 elever der var til stede da klassen fik detektionstesten. Del 1 side 6 af 81

28 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik som muligt blev det udtrykkeligt gjort klart, at denne test på ingen måde ville indgå som en del af deres første standpunktskarakter der skulle gives 1. november Detektionstesten Retningen af testen er foregået ved, at entydige rigtige elevsvar gav 1 point. I nogle af de 57 spørgsmål er der stillet flere underspørgsmål og disse blev vægtet ligeligt. Hvis en elev ikke havde svaret noget blev dette sat til 0,01 point og hvis eleverne havde svaret delvist rigtigt blev der givet 0,4 point. Alle elevernes resultater blev herefter behandlet i et regneark. På grund af flere underspørgsmål til de stillede 57 spørgsmål, kunne en fuldendt besvarelse således takseres med 69 point. Efterfølgende er alle elevresultater angivet i procenter. Klassens gennemsnit var således på 48 %. Og den elev der havde den højeste svarprocent var på 73, og eleven med den laveste svarprocent var 24. Hvis man ser på de enkelte spørgsmål, hvor klassens elever har en svarprocent på 10 eller derunder kan nævnes spørgsmål med procentregning, reduktion, isolation, og spørgsmål hvor eleverne skal angive for hvilke værdier af a, b og c to forskellige udtryk er lig hinanden, ligninger der ingen løsning har. Stort set ingen elever svarede rigtigt på, at der er uendelig mange tal mellem to vilkårlige forskellige tal på den reelle talakse. Af de spørgsmål, hvor klassens elever havde en svarprocent på 90 eller derover kan nævnes omregning fra blandet tal til enten brøk eller decimaltal, at summen af det neutrale tal 0 og et tal x giver tallet selv. Desuden vidste eleverne godt, at hvis a>b gælder, kan a ikke også være mindre end b. Vores valgkriterium har været, at vælge en elev, der lavede (nogle) fejl, som de andre elever i klassen ikke lavede. Efter retningen af klassens detektionstest var der en elev, der særligt vakte vores interesse, nemlig eleven A. Denne elev har i alt scoret 43 % i detektionstesten, men han var som den eneste i klassen den, der løste ligningerne i spørgsmål 36 ved at opfatte venstresiden -6x som -6 + x i 36(a) og helt konsistent 6x som 6+x i 36(b). Ham har vi derfor valgt at arbejde mere systematisk med. Beskrivelse af 2.g klassen fra Falkonergårdens Gymnasium 2. Studieretningen er samfundsfag A, engelsk A og matematik B, klassen er arbejdsom og pligtopfyldende og består af 28 elever. Pga. sygdom havde de et lidt rodet matematikforløb ved afslutningen af 1.g og deres skriftlige årsprøve viste, at det ikke er i matematik de har de bedste kvalifikationer, 12 dumpede og de resterende fik karakterer fra 02 til 10, dvs. ingen fik 12. Mundtligt gik det noget bedre, her dumpede 4 og de resterende fik karakterer fra 02 til 12. I 2g har de fået en ny matematiklærer, så da klassen blev udsat for testen 27. september 2013 havde læreren ikke noget klart billede af klassens standpunkt, men forventningerne var naturligvis farvet af årsprøveresultaterne. Resultatet af testen ses i bilag 3, der er kun 25 resultater, da 3 elever var fraværende da klassen fik testen. I tabellen ses testresultaterne sammen med resultaterne fra den skriftlige årsprøve, sorteret efter karakteren fra årsprøven. Der er ingen klar korrelation mellem resultaterne i de to tests, men der er dog en tendens til at dem, der har fået høj score i den ene test også har fået det i den anden, men det er vel heller ikke så mærkeligt. For at sige noget generelt om klassen har vi set på de spørgsmål, hvor den samlede score for hele klassen er under 50 %. Det drejer sig om spørgsmålene med numrene: 2 Ingen elever fra denne klasse blev udvalgt til deltagelse i det videre forløb Del 1 side 7 af 81

29 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik 12, 57, 18, 33b, 45, 47b, 41, 42, 6, 47e, 10, 43, 15d, 20, 9, 49, 7,32, 37, 44, 22, 56, 47a, 16, 46, 24 og 25 De er anført i rækkefølge med den med lavest samlet score først. Klassens samlede score på hvert af disse spørgsmål går fra 2 % for spørgsmål 12 til 48 % for spørgsmål 25. I blandt disse 27 spørgsmål er der to kategorier af spørgsmål, der er rigt repræsenteret. Det drejer sig om spørgsmål, hvor der indgår brøker og spørgsmål, der har med forståelse af talsystemet at gøre. Klassens problemer med talforståelse er dog ikke helt entydige for spørgsmål 38, 39 og 40, der også hører til i denne kategori har en meget høj svarprocent, med hele 96 % rigtige svar på spørgsmål 38. Hvis vi går ind og kigger på enkelt elever, bliver billedet mere komplekst, som det næsten kan ses af spredningen i pointfordelingen, jf. skemaet i bilag 3. Første del: Detektion og identifikation Brøndby Gymnasium På Brøndby Gymnasium blev en 2.g klasse udvalgt som fokus. Klassen har Biologi A, Idræt B og Matematik B som studieretning. Det viste sig, at en stor del af klassen havde problemer med de naturvidenskabelige fag samt matematik i 1.g. Til klassens årsprøve i matematik bestod over halvdelen ikke. Det var således klart, at mange i klassen havde store problemer i matematik. Ved efterfølgende samtaler i studievejledningen gav nogle elever udtryk for gerne at ville gøre mere med matematikken. Klassen havde haft en årsvikar i 1.g, og fik derefter en ny lærer i 2.g. I 1.g havde klassen gennemgået emnerne: Tal og ligninger, variabelsammenhænge herunder, lineære-, eksponentielle-, logaritme sammenhænge og tilhørende regression. Polynomier var gennemgået samt emnerne trigonometri og deskriptiv statistik. I 2.g var klassen startet med repetition og var på detektionstidspunktet i gang med differentialregning. I et frimodul (1,5 time) fik eleverne detektionstesten 30. september Eleverne fik at vide, at det handlede om at teste deres fundamentale matematikfærdigheder evt. med mulighed for tilbud om ekstrahjælp. Ikke alle elever i klassen deltog. Resultatet af testen var et gennemsnit på ca. 50 procent korrekte svar. Mange elever vedlagde ikke mellemregninger, og det er derfor ikke til at sige om rigtige svar, blot var heldige gæt. Der var en ganske god korrelation mellem resultatet af testen samt den tidligere årsprøvekarakter. Alle elever med højst 45 procent korrekte svar havde ikke bestået årsprøven med enten 00 eller -3 som resultat. Ellers var tendensen, at jo bedre, man havde klaret testen, des bedre havde man også klaret den tidligere årsprøve (Se bilag 2). Ud fra testen blev 6 af de elever, som havde klaret sig dårligst, tilbudt en nærmere afklarende samtale, som efterfølgende mundede ud i et tilbud om et matematiktræningsforløb 1,5 time hver anden tirsdag om morgenen. En elev takkede nej, da denne elev trænede på dette tidspunkt. De andre 5 sagde ja. Efterfølgende viste det sig, at kun tre elever mødte regelmæssigt op til de efterfølgende træningsseancer. Og det er dem, der vil bliver fokuseret på her. Vi kalder dem Elev B, C og D. Del 1 side 8 af 81

30 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Anden del: Diagnosticering Falkonergårdens Gymnasium Her følger en detaljeret gennemgang af elev A s test. Vi har valgt at dele alle hans svar op i gængse matematiske emner som: tal, procentregning, ligninger, funktioner. Vi har inden for hvert emne valgt, at dele hans svar op i korrekte samt næsten korrekte, forkerte samt ikke besvarede eller ikke fyldestgørende svar. Dette er blot af overskuelighedshensyn, så en endelig diagnosticering af elev A s matematiske niveau er mulig. Elev A s besvarelse findes i bilag 4. Tal: Korrekte svar: 1, 3, 4, 5, 14, 15(a,b,c), 17, 18, 27, 28, 30, 38, 39, 40, 51, 52, 53, 55, 56. Forkerte svar: 2, 6, 7, 11, 13, 15d, 16, 26, 41, 49, 50, 57. Ikke besvaret: 10, 12, 42, 43, 48. Procentregning: Korrekte svar: 8 Forkerte svar: 9 Ligninger: Korrekte svar: 20, 33a, 35(a, c). Forkerte svar: 19, 23, 25, 33b, 35b, 36(a, b). Ikke besvaret: 21, 32, 34, 37. Funktioner: Korrekte svar: 24, 47(b, c, f) Forkerte svar:22, 23, 45, 46, 47(a, e) Ikke besvaret: 47d. For at lave en diagnose vil vi i første omgang koncentrere os om elev A s fejl eller ikke besvarede spørgsmål. Inden for tal ses, at elev A har problemer med at afgøre, hvilke tal der er størst i spørgsmål 11 og spørgsmål 13. Her svarer han konsekvent forkert. Han svarer forkert i spørgsmål 41 og svarer ved ikke i spørgsmål 42. Han kan ikke lægge de to givne decimaltal korrekt sammen i spørgsmål 26. Alene på denne baggrund viser dette tydelige tegn på, at elev A har en uudviklet talforståelse. Mere konkret er der meget, der tyder på, at elev A har en uudviklet forståelse af den reelle talmængdes opbygning samt uudviklet forståelse af positionssystemet. På baggrund af testen kan det imidlertid ikke afgøres, hvilken opfattelse elev A har af tallet nul, men som vi senere skal se under interventionen volder det problemer for eleven at operere med dette tal. Endeligt har elev A også generelt problemer med at skelne de elementære regningsarter fra hinanden. Dette underbygges af, at elev A i spørgsmål 15d under leddet (a-b) har skrevet ab! Fejlen går Del 1 side 9 af 81

31 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik ligeledes igen i spørgsmål 36 som tidligere angivet. Måden, elev A regner spørgsmål 57 på, er også interessant. Elev A har svaret 1x/-1x, og da vi i dette tilfælde har hans kladdepapir, er det muligt at følge hans tankegang. Den er som følger: (3x-1)/(-3x+1) = 2x/-2x = (2x:2)/(-2x:2) = 1x/-1x. Det ses altså med al tydelighed, at han ikke opfatter hvert led i tæller og nævner som to forskellige objekter. Opsummering af detektionstest Det generelle indtryk af 1.g klassens matematiske niveau afspejles fint i den givne detektionstest. Og det efterfølgende standpunktskarakter gennemsnit var på 4,6. Sammen med det generelle indtryk i den daglige undervisning har vi altså med en gruppe af elever at gøre, der generelt ikke er fagligt stærke i matematikfaget. Det er en gruppe af elever, der er svære at undervise, fordi de så let står af. Selv, hvis alt forklares med stor detaljeringsgrad, så er der stadig mange elever, der ikke kan følge med. Selv det at læse den stillede tekst i bogen er for mange uoverkommeligt. Deres generelle regnefærdigheder er mangelfulde. De kan f.eks. ikke den lille tabel, så der bruges lommeregner eller der tælles på fingre. De har svært ved at koncentrere sig i længere tid ad gangen, når der skal regnes opgaver. Der har således været mange elevers færdigheder, vi kunne have taget fat på, så det endelige valgkriterium var altså at vælge en elev, der lavede spændende fejl. Valget faldt derfor på elev A. Anden del: Diagnosticering Brøndby Gymnasium Elev B, C og D s detektionstest findes i bilag 5, 6 og 7 (pdf-dokumenter) Elev B: Dektektionstesten er næsten blank. Hun svarede rigtig på meget lidt. Det var spørgsmål 1, 15b, 15c, 26, 27 og 29. Hun svarer også et par andre spørgsmål rigtigt (spørgsmål 3 og 4), dog uden begrundelse. Testen tyder på, at Elev B kan identificere identiske brøker og udføre et additionsstykke med decimaltal. Elev B er til dagligt en ekstremt stille elev, som i hele 1.g i mange tilfælde har nægtet at svare, når der blev stillet spørgsmål. Elev C: Har mange rigtige svar inden for talforståelse omkring sammenhæng mellem brøker og decimaltal. Spørgsmål med brøker, hvor det er meningen, at man skal udføre division, bliver ikke besvaret korrekt. Det gælder spørgsmålene 6, 10, 16 og 43 (til dels spørgsmål 28). I spørgsmål 14 svares 0x=x. Noget kunne tyde på den typiske nul fejl hvor nullet opfattes som et fravær af noget og ikke et tal. Dog angiver Elev C 0 som et af heltallene mellem -2 og 3,5, men når det indgår i beregninger går det galt. Omkring ligninger specielt gruppen af spørgsmål i testen skriver Elev C Ved ikke. Spørgsmålet 4+n-2+5= løses korrekt. Det er klart ud fra testen, at Elev C har problemer med ligningsløsning. Dette understøttes af, at spørgsmålet Isoler k i (⅘)*k=s samt spørgsmål 3 og 4 ikke kan løses. Spørgsmålene, der har med funktionsforståelse at gøre, løses heller ikke korrekt. Elev D: Testen besvares ret specielt. For det første er antallet af korrekte svar meget få. Begge procentregningsopgaver har det korrekte resultat. Og det er faktisk en bedrift, da stort set ingen i Del 1 side 10 af 81

32 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik klassen kunne løse spørgsmål 9 (om hvor meget momsen udgjorde ud af 150 kr.). Opgaven løses ved at dividere 150 kr. med 5. Spørgsmål 16 besvares også korrekt, og det var der heller ikke mange der kunne. Måske ved eleven, at en brøk giver 1, når der står det samme i tæller og nævner. Svaret her angives sprogligt en hel. 1 ½ omsættes også sprogligt til en og en halv. I svaret for spørgsmål 29, hvor eleven skal angive, hvilken blanding af sukker og citron, der er sødest, vælger eleven det første svar, fordi det første kan opløses - ikke det andet. Her opdager eleven ikke, at der er tale om en skjult brøkregningsopgave. Generelt løses meget få af opgaverne med bogstaver korrekt. Eleven er under udredning for ordblindhed, og der kan muligvis være en sammenhæng. Opsummering af detektionstest Detektionstesten peger på at specielt Elev B og Elev D har massive problemer med matematikken, stort set inden for alle områder, der spørges til. Da eleverne i mange tilfælde ikke har angivet overvejelserne bag deres svar, er det svært at pege præcist på der, hvor problemerne er. Diagnosticerende samtale Efter detektionstesten havde eleverne endnu en samtale, der lå i slutningen af oktober. Overvejelser inden samtalerne: På tidspunktet for samtalen var problemformuleringen for denne opgave ikke helt fastlagt. Den oprindelige plan gik ud på, at vi skulle undersøge funktionsbegrebet hos eleverne. Det var altså det, der var i fokus, og faktisk viste det sig senere at være en fordel i ligningsløsningen, at eleverne faktisk var startet med at træne visse aspekter omkring funktioner. I samtalen ville vi afklare forskellige punkter: Er eleven i stand til at formulere, hvad en funktion er? Er eleven i stand til at beskrive, hvad der menes med f(x)? Har eleven en idé om tallenes rækkefølge? Kan eleverne finde ud af at afsætte punkter i et koordinatsystem? Dette spørgsmål var nødvendigt for at finde ud af, om det gav mening at beskæftige sig med funktionernes grafudtryk. Endelig ville vi finde ud af, hvad eleverne vidste om den simpleste funktion den lineære. Resultaterne af samtalerne 3 Ingen af eleverne kunne sætte ord på, hvad en funktion var det nærmeste var, at det havde noget med en graf at gøre (Elev C). Eleverne kunne ikke forklare, hvad f(x) betød, og de gik i stå, når de skulle formulere, hvad x var. Eleverne kunne lægge forskellige tal (fra -10 til 10) op i en rækkefølge. Dog kunne de ikke placere forskellige brøker ind i rækkefølgen (både negative og positive). Ligeledes kunne ingen placere 3 Samtalerne er optaget på lydfil. Del 1 side 11 af 81

33 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik 2. En enkelt elev vidste ikke, hvad stregen i en brøk betød. (Elev D). Alle eleverne kunne nogenlunde sikkert afsætte punkter i et koordinatsystem. Tredje del: Intervention Som det fremgår af første del har vi valgt at arbejde med fire elever. I interventionsforløbet har vi bevidst valgt at arbejde forskelligt med disse fire elever. Vi har derfor delt eleverne i to grupper. Gruppe 1 der består af elev A og gruppe 2 der består af eleverne B, C, og D. Elev A har ikke modtaget nogen undervisning ud over den almindelig undervisning i klassen, mellem de to interviews vi havde med ham. Derimod har gruppe 2 eleverne modtaget målrettet undervisning som en del af forløbet. Overvejelser forud for første interview med A. Eleven A havde, som allerede beskrevet, vist vanskeligheder med ligningsløsning i detektionstesten, så vi havde valgt at fokusere på ham. Vi planlagde i første omgang et interview med elev A, hvor vi ville forsøge at bringe ham i en kognitiv konflikt (Tall, 1977) (se kapitel 2) og dermed få ham til at reflektere over sine egne problemer med ligningsløsning. Håbet var, at han på baggrund af egen refleksion ville lære noget og dermed øge sin symbol- og formalismekompetence (se kapitel 2) i forhold til ligningsløsning. Forud for det første interview planlagde vi, at elev A under interviewet skulle løse ligningen: x + 6 = 12 først ved algebraiske metoder og dernæst ved at skifte repræsentation og bestemme løsningen som skæringspunktet mellem de 2 rette linjer y = x + 6 og y = 12. Denne første ligning er valgt ud fra et håb om, at den ville elev A kunne løse algebraisk uden problemer og med lidt guidning også med den grafiske metode. Efterfølgende ville vi så bede ham løse ligningen 6x = 12. Den er af samme type som ligningen i spørgsmål 36b i detektionstesten og dermed af en type elev A ikke på testtidspunktet kunne løse korrekt. Vores forventning var, at han ville løse ligningen på samme måde som i testen dvs. ved at trække 6 fra på begge sider af lighedstegnet altså opfatte det skjulte multiplikationstegn som et additionstegn. Hvis elev A løste ligningen som forventet, ville vi bede ham løse ligningen grafisk på samme måde som han netop havde løst den første ligning. På baggrund af erfaringerne med den første ligning håbede vi, at han ville komme i en kognitiv konflikt (Tall, 1977), når han så, at de 2 metoder (hans egen algebraiske og den grafiske) gav forskellige resultater. Den konflikt skulle så føre til en diskussion af, hvad problemet var og, hvad der skulle gøres anderledes for at få de 2 løsninger til at stemme overens. Vi håbede, at han på baggrund af dette første interview ville få lært at løse ligninger af samme type som i spørgsmål 36b og, hvis det gik rigtigt godt også ligninger af samme type som i 36a, som dog har den ekstra komplikation, at koefficienten til x er et negativt tal. Første interview med elev A. Interviewet blev afholdt den 30. oktober Den første ligning løste elev A uden problemer, og han forklarede korrekt, at han skulle subtrahere 6 på begge sider af lighedstegnet (formulerer det Del 1 side 12 af 81

34 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik således: minusse med 6 på begge sider ). Elev A bliver nu præsenteret for de 2 udtryk y = x + 6 og y = 12, hvorefter læreren spørger, om det ser bekendt ud (ud fra en viden om at klassen på det tidspunkt arbejdede med lineære funktioner). Hvortil elev A svarer: Den sidste ligning der, kan man allerede se, at der er en slags svar. Der der skal man finde ud hvad x er for at det bliver det der. Det sidste udtryk (y=12) er tilsyneladende meget fremmed for ham, han begynder at tale om x selvom, der ikke fremgår noget x af udtrykket. Efterfølgende udspinder sig en længere diskussion om rette linjer, og hvad man kan se ud af udtrykkene. Elev A ender med (lidt tilfældigt måske) at udpege punktet (0, 6) som et punkt på linjen, men så går han lidt i stå. L foreslår derfor, at han laver et sildeben, det gør han uden tøven, samtalen om det forløber således: A: (Tegner et sildeben med x-værdier fra 0 til 6). Så kunne man starte med at sige 6 0 L: Hvorfor 6 0 (trækker på gange) A: Fordi det er det er stadigvæk ikke den der (peger på udtrykket y=12) L: Nej, vi ser stadig kun på den øverste (y = x + 6) A: Man plejer at sige y = og så x som er 0 sætter ind der, gange y, som er 6 der gange 6, så er det bare 0 L: Kan du forklare, hvorfor du skriver gange? Det kan jeg jo ikke se oppe i formlen der, der er jo ikke noget gangetegn. A: Hvorfor jeg skrev gange, det ved jeg ikke. Det ser jeg mere som en regel. L: OK A: Jeg har aldrig det kan også være, man kan plusse sig frem, det virker bare lidt, det kan godt ske, det ser mere rigtigt ud med at plusse sig frem. L: der står jo i hvert fald et plus, så man kunne føle sig fristet til at tro, at der også skulle stå et plus i din udregning. A: Jeg skrev gange bare, fordi det er det jeg er vant til. L: Okay. A: Det synes jeg næsten altid jeg har gjort. L: Okay. A: Det er ikke så meget jeg har lavet det her i lang tid man kan også skrive plus L: Jeg tror du skal skrive plus A: Ja L: Vi vender tilbage til et eksempel lige om lidt, hvor vi måske kan se det der med gange tegnet, hvor det kan give mening. A: Okay så giver det ikke længere 0. L: Nej. A: Så giver det 6 der (skriver 6 i sildebenet). L: Ja. A: Så bliver det stort set det samme igen, lige bortset fra at du sætter tallene ind 1 på x s plads. L: Ja. A: igen, det giver så 7 (skriver = 7 og skriver 7 i sildebenet) og så fortsætter man (skriver = 8 skriver 8 i sildebenet), og så kan man se at hældningen er +1. L: Ja, det er faktisk rigtigt. A: Altså, at den går en ud og en op. Del 1 side 13 af 81

35 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Diskussionen viser vel først og fremmest, at elev A har en klar opfattelse af, at man altid skal multiplicere, når man sætter tal ind på x s plads for at beregne y-værdier. Man kunne selvfølgelig her have valgt at gribe ind ved at gøre A opmærksom på, at der stod 1 x i det behandlede udtryk. Men så havde vi ikke fået samme indblik i elevens tankegang. Men da elev A forstår udtrykket rigtigt, ser han straks, at man bare skal lægge 6 til hver gang man vælger en ny x-værdi, og at den rette linjens hældning derfor må være +1. Indtegning af linjen i koordinatsystemet volder ingen problemer. Det andet udtryk (y = 12) volder lidt vanskeligheder. Igen udspiller der sig en lang diskussion, og det volder en del problemer, at der ikke er noget x i udtrykket. Men så falder brikkerne på plads, og elev A konkluderer: Så den bliver faktisk helt vandret. Nu aflæser elev A skæringspunktet mellem de 2 linjer til (6, 12). Konklusionen at han nu har løst den oprindelige ligning på 2 forskellige måder ligger ikke lige for, men efter nogen diskussion frem og tilbage konkluderer elev A: og øh... og lig med det må så næsten være y på den anden side, og så er det man så betyder det man skal gå ja der står at y = 12, og det er det også her så på den måde er den der ligning det der skæringspunkt. Så skiftede vi til den anden ligning (6x = 12). Elev A løser den på helt samme måde som han gjorde med 36b i testen, forklaringen var som følger: A: Så vil jeg igen få x erne på den ene side og tallene på den anden side L: Ja A: Og det vil jeg gøre med at sige -6x eller nej der står jo faktisk gange imellem så det er jo ikke samlet det der (*) L: Nej, der står faktisk gange imellem, det er rigtigt A: Igen der vil jeg minus med 6 på hver side L: Okay A: Og så vil den ende hvis man gør det, så vil der ende med at stå x=6 igen L: Ja A: Fordi så vil x et jo være alene I det (*) markerede udsagn fra elev A er han klar over, at der er et underforstået gange mellem -6 og x. Han siger det men bruger det ikke selvom læreren bekræfter rigtigheden af dette. Her skifter vi til den grafiske repræsentation. Elev A tegner et sildeben og udfylder det uden de store problemer, tegner graferne og får aflæst skæringspunktet. Nu udspiller der sig følgende diskussion: A: Så vil skæringspunktet for den der (skriver ), det er så (2, 12). L: Ja Så men før snakkede vi om, at vi faktisk kunne løse ligninger ved at finde sådan et skæringspunkt. Så hvis det nu er rigtigt, er der så ikke et eller andet herovre, der er lidt mærkeligt? (peger på den algebraiske løsning). A: Altså hernede. L: Nej, i det du har lavet herovre, du startede med at løse ligningen på den måde der, og så var det vi blev enige om før i hvert fald, at det gjaldt derovre, at vi også kunne løse den ved at finde et skæringspunkt Er der så ikke et eller andet Del 1 side 14 af 81

36 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik A: Sådan lige, at jeg har regnet det deroppe forkert ud. L: Det kunne jo godt ske ikke for hvad er det der kunne være lidt mærkeligt her? A: at det jeg var i tvivl om var jo, at der stod 6 gange x. (*) L: Ja. A: Så det virker også lidt forkert at herovre hvor der står +6 hvor det er rigtigt at man minusser med 6 (henviser til den første ligning). L: Ja. A: At man så også skal gøre det, når der står 6 gange x. L: Det er jo rigtigt det ville være lidt mærkeligt, at man skulle gøre det samme i de 2 situationer. A: Ja Såe man kunne dividere. L: Det kunne man, hvorfor tror du det kunne være en god ide? A: Fordi det er det modsatte af at gange jo. L: Ja, lige præcis. A: Så hvis du ganger med + x så skal du også minusse? (**) L: Ja. A: Så, man kunne måske dividere 6x? (***) L: Ja. A: På hver side? L: Ja. A: 6x på hver side, så ville der komme til at stå Så ville der bare stå x. (**) L: Ja. A: x = 6 nej. L: Hvad var det du sagde du ville gøre? A: Dividere med 6x. (***) L: Ja nej ikke 6x. A: Bare 6. L: Ja, det er bare tallene, ikke? A: nåe x=2. L: Ja. A: Så giver det også bedre mening med hensyn til skæringspunktet, hvor det rammer ret godt. L: Ja. A: Med hensyn til 2? L: Ja, det gør det faktisk I udsagnet med (*) slår elev A straks ned på det ømme punkt nemlig at der står 6 gange x. Udsagnet med (**) viser at der er noget grundlæggende galt med A s opfattelse af strukturen i en ligning, når han om udtryk som x + 6 siger: Hvis du ganger med + x så skal du også minusse så må der jo på en eller anden måde, for ham, være ækvivalens mellem plus og gange, det fangede L desværre ikke i farten, så det er ikke uddybet. Det interessante er så at elev A få linjer højere oppe har en klar opfattelse af at det at dividere er det modsatte af at gange. De 3 udsagn med (***) viser også en lidt uklar forståelse af udtrykket 6x. Det opfattes som en samlet enhed indtil L vågner op og bemærker, at man kun skal se på tallet (koefficienten). Elev A ser ret hurtigt, at der er et problem, da de to løsninger er forskellige og sætter straks fingeren på det ømme punkt, hvor der står 6 x, og det modsatte af at gange er jo at dividere. Med Del 1 side 15 af 81

37 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik den erkendelse får elev A løst ligningen og konstaterer, at der nu er overensstemmelse mellem de to løsninger. Opsamling på første interview med elev A Det lykkedes som det ses af interviewet ovenfor at få bragt elev A i en kognitiv konflikt og få ham til at se, hvad problemet var. Elev A viser under diskussionen af problemet, at han er helt på det rene med, at multiplikation og division er hinandens modsatte operationer. Når han så alligevel ikke får gjort det rigtigt, hænger det sammen med, at han ikke har nogen klar forståelse af, at der er underforstået et gangetegn mellem 6 og x. Det er måske lidt optimistisk at tro, at en så fundamental misopfattelse kan ryddes af vejen ved bare én gang at konfrontere elev A med det problem. Det er som det er beskrevet i artiklen (Vlassis, 2002) et kendt problem som kompliceres yderligere, hvis koefficienten til den ubekendte er negativ. Problemet kan nok føres tilbage til en usikker forståelse af selve proceduren og for de negative koefficienters vedkommende til en meget begrænset talforståelse, når det kommer til negative tal. Overvejelser forud for andet interview med elev A. Formålet med dette interview der blev afholdt den 20. november 2013, var for det første at teste holdbarheden af elev A s erkendelse (løsningen på den kognitive konflikt, aha oplevelsen) fra første interview. Vi ønskede at teste om erkendelsen var permanent og uafhængig af andre input som f.eks., at der ingen undervisning var foregået mellem de to interviews, udover almindelig undervisning. Til dette formål havde vi konstrueret seks forskellige ligninger. Inden interviewet havde vi diskuteret, hvordan det skulle foregå. Hvis elev A ingen problemer havde med at løse den stillede ligning, så ville vi gå videre med en ny ligning. Hvis der derimod viste sig problemer med at løse den pågældende ligning korrekt ville vi under interviewet skifte repræsentation. Dette ville vi dog først gøre, når elev A havde løst ligningen på sin måde. Formålet var så ligesom i første interview, forhåbentlig at få ham til at indse, at hans løsningsstrategi var forkert ved at bringe ham i en ny kognitiv konflikt. Vores teoretiske overvejelser i forbindelse med konstruktionen af ligningerne behandles i næste kapitel. Kategori 1: Ligning 1: 3x = 12, ligning 2: -3x = 12, Ligning 3: 2x + 6 = 12. Kategori 2: Ligning 4: 12x = 2x + 20, Ligning 5: 2x + 20 = 12x Kategori 3: Ligning 6: 3x + 4 = 3x Ligning 1 havde udelukkende til formål at afgøre holdbarheden af elev A s erkendelse fra det første interview. Hvis han kunne løse denne ligning, ville det være et tegn på erkendelsens holdbarhed. Ligning 2 havde til formål at afgøre om holdbarheden også omhandlede operation på negative koefficienter til x. Formålet med kategori 2 var dels at se om elev A ville opdage at Del 1 side 16 af 81

38 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik ligningerne var ens, dels også at se om det var et problem at operere på den ubekendte x. Kategori 3 var for at se om elev A kunne håndtere en ligning, hvis løsningsmængde var tom. Andet interview med elev A. Ligning 1 løste elev A uden problemer, men allerede ved ligning 2 var det tydeligt, at erkendelsens holdbarhed ophørte. Her flyttede A nemlig blot koefficienten -3 over på højre side af lighedstegnet, så han fik resultatet x = 15. Nu var vi havnet i helt samme situation som i første interview, hvor vi måtte skifte repræsentation, så vi kunne få elev A bragt i den nye kognitive konflikt, så han kunne indse at hans løsning var forkert. Frem til denne kognitive konflikt var der lang vej. Vi bad ham nu om, at tegne grafen for y = -3x. Først fik elev A tegnet et koordinatsystem, men da han skulle sætte talværdier på x-aksen, startede han fejlagtigt med at indtegne positive heltallige x-værdier på x-aksen i anden kvadrant! Efter at dette var blevet rettet, bad vi elev A om at bestemme funktionsværdier for heltallige x værdier i intervallet [-3;2]. Han blev bedt om at starte med at bestemme funktionsværdien for x=0. Dette viste sig svært for elev A. Til hvad 0 gange -3 er?, svarede elev A -3! Men efter vanskeligheden med at bestemme y værdien for x=0 gik det fint. Da de to grafer for y = 12 og y = -3x endelig var indtegnet blev elev A s opmærksomhed rettet mod grafernes skæringspunkt. Og til dette svarede han: Er det ikke hældningen?, nu flyder begreberne for ham, årsagen er måske bare at han er i en lidt presset situation. Elev A kan godt huske, at vi i første interview diskuterede hvad betydningen af et skæringspunkt var, men nu svarer han: Jeg kan godt huske, at vi snakkede om det, men kan ikke huske, hvad det var. Efter at vi får repeteret, hvad betydningen af et skæringspunkt er, indser elev A at x = -4 er den grafiske løsning til -3x = 12. Vi får nu samlet op: Ved en grafisk løsning fås x = -4 og ved en algebraisk løsning fås x = 15! Ligesom i første interview indser elev A, at de to forskellige løsninger burde være ens. Og til sidst indser han sin fejl. Da vi nærmere spørger ind til, hvorfor han løste ligningen forkert, var hans svar, at det var fordi, han ikke vidste, at der stod et underforstået multiplikationstegn mellem -3 og x. Elev A var ret sikker på, at hvis han havde vidst det, ville han løse ligningen korrekt ved at dividere med -3. Efter denne snak, husker elev A, at han lavede samme fejl i første interview. Det fremgår altså tydeligt, at elev A s håndtering af ligning 2 viser, at hans symbol- og formalismekompetences volumen (Se næste kapitel) ikke har ændret sig væsentligt i forhold til den erhvervede erkendelse fra første interview. Derimod løser han ligning 3 helt fint. Ved løsning af ligning 4 blev han i tvivl, om man skal trække 2x fra på begge sider af lighedstegnet, eller om man skal dividere med 2x. Da elev A blev sporet ind på den rigtige løsningsstrategi for ligning 4, kunne han herefter løse både ligning 4 og 5 uden problemer. Elev A havde skrevet løsningen til ligning 4 som x = 2, men løsningen til ligning 5 som 2 = x. Da vi spurgte ham om x = 2 og 2 = x er det samme svarede han: Nej..eller jo det er det vel altså en vis usikkerhed her. I detektionstesten svarede han nej til, om a = b er det samme som b = a. Desuden opdagede han aldrig, at ligning 4 og ligning 5 var en og samme ligning. (Vi diskuterer elevens forståelse af lighedstegnet i kapitel 2). Del 1 side 17 af 81

39 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Ligning 6 var den som voldte de største problemer for elev A. Vi har valgt at skrive denne samtale ud. A bliver bedt om at skrive ligning 6 op. Herefter følger: A: Der ville jeg Den er lidt svær. L: Hvorfor det? A: Da der både er 3x på hver side.men er det ikke noget med, at hvis vi bare dividerer på hver side så kommer der bare til at stå x på hver side, og så ville man ikke rigtig kunne få det (x) fjernet., men fordi der står plus der (mellem de to led) så ville man faktisk kunne minusse det der væk. Vi kan starte med at prøve og minusse 3x.så der kommer til at stå.4 lig med..ja hvad bliver det så? Det kan jo ikke bare minusses væk det der.. L: Der står 3x-3x (Højre side af lighedstegnet). A: Så kommer det til at være x L:..Nej Hvis der fx på højre side havde stået 5-5 hvad var det så blevet? A: 0 L: Ja. A: Så det bliver bare nul x eller det bliver slet ikke x. A: Så det bliver 4 = 0x så det bliver bare x! L: Nej Her tog det lidt tid for elev A at indse at 0 gange x var nul! A: Så der står faktisk at 4=0! L: Ja A: okay!??? L: Er det rigtigt, at 4 er lig med 0? A: øhmm ja! Det kunne være rigtigt! L: Et helt generelt spørgsmål: er 4 lig med 0? A: Altså normalt nej. L: Er 4 lig med 4? A: Der vil jeg sige ja L: Er der noget der undrer dig? Er der så nogen løsning til denne ligning? A: Løsningen er vel bare at 0x er lig med 4!...så 4 er faktisk bare nul i denne her sammenhæng! L: Men det er jo ikke rigtigt at 4=0! Vi beder nu elev A om at skifte repræsentation og prøve at tegne grafen for y = 3x + 4 og y = 3x. Efter at linjerne er tegnet uden problemer, kan elev A straks se at linjerne er parallelle! Han ved desuden, at der ikke eksisterer noget skæringspunkt mellem linjerne! Samtalen fortsætter: L: Kunne det forbindes med at 4=0? A: Det er ikke kun 4 der er lig med nul alle andre tal er vel også lig med 0!...jeg kan ikke helt se sammenhængen! L: Findes der nogle x-værdier der giver at 4=4? A: Men i realiteten er det der vel løsningen! (0=4) Del 1 side 18 af 81

40 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Hvad viste interviewet? Vores formål med dette interview var primært at teste holdbarheden af elev A s nyerhvervede erkendelse fra første interview. Desuden ville vi med de stillede seks ligninger teste om symbol- og formalismekompetencen var blevet mere udbygget 4 for elev A. I det følgende vil vi nærme os et svar ved at se nærmere på elev A s behandling af ligning 1, 2 og 6. Som vi så i slutningen af første interview, indså han, hvordan ligningen 6x = 12 (Ligningen fra første interview kalder vi efterfølgende for L1) skulle løses rigtigt. Elev A løste ligning 1 algebraisk helt uden problemer. Dette er et (tydeligt) tegn på, at noget fra sidst har sat sig fast. Symbol- og formalismekompetencens volumen ser ud til at være udbygget. Da vi derimod gik til ligning 2 opstod der problemer. Det var således klart, at elev A s erkendelse ikke stak dybere end til løsning af ligninger indenfor kategori 1 med positive koefficienter til x. Det var tydeligt, at han ikke kunne håndtere at operere med negative koefficienter til x. Da vi skifter repræsentation, opstår første problem for elev A, da han skal finde funktionsværdien, når x = 0 i udtrykket y = -3x. Her kommer han i (endnu) en kognitiv konflikt, idet han mente, at -3 gange 0 var -3, hvilket jo klart indikerer at eleven har en uudviklet forståelse af tallet 0 og hvordan man regner med det. Ved løsning af ligning 6 skulle han også på et tidspunkt afgøre, hvad 0 gange x var. Her tog det igen tid at indse svaret. Det interessante er imidlertid, at han svarer korrekt på helt samme spørgsmål i detektionstesten. Der er således meget, der tyder på, at håndteringen af nullet er en stor snublesten for elev A. Måske er elev A på grund af den kognitive konflikt bragt noget ud af fatning, idet han mener, at et skæringspunkt og et hældningstal er det samme! Dette viser igen, at mange af de begreber, elev A skal bruge for at løse ligning 2, ikke hviler på et sikkert fundament, når der skal opereres på negative tal og nullet som tal. Umiddelbart ser det ud til at elev A knapt har fået det operationelle på plads i forbindelse med negative tal - at han altså ikke er nået det strukturelle niveau og derfor har problemer med ligninger med negative koefficienter til den ubekendte (Sfard, 1991). Da vi spurgte ham om, hvorfor ligning 2 var vanskelig at løse, var svaret, at det var fordi, der stod et indforstået multiplikationstegn mellem minus 3 og x. Det var tilsyneladende det, der gjorde hele forskellen for elev A. Ifølge ham selv ville han have løst ligning 2 korrekt, hvis han vidste, at der stod minus 3 gange x! Denne opfattelse er dog ikke konsistent med, at han godt vidste, at der i ligning 1 stod 3 gange x, selvom det (også her) var et indforstået multiplikationstegn. Den faktiske snublesten er altså tilsyneladende, når han skal operere med (på) negative tal. Inden for den matematikdidaktiske forskning kan man i artiklen (Vlassis, 2002) læse at arithmetical equations med negative koefficienter til x, for mange elever er svære at løse. Ved løsning af ligning 4 og 5 opdager elev A aldrig, at ligning 4 og 5 er ens. Da elev A efter løsning af ligning 5 således spørges, om x = 2 og 2 = x, er det samme, er han helt klart i tvivl. Dette vidner om, at elev A ikke forstår lighedstegnet som en ækvivalens, men kun som et do something signal ((Kieran, 1981), Vlassis 2002, s. 344). At elev A ikke opfatter lighedstegnet som en ækvivalens kan underbygges af, at han i detektionstesten svarer forkert på, om a = b og b = a er det samme. Allerede ved præsentationen af ligning 6 går elev A i stå. Det er helt klar, at præsentationen bringer elev A i en ny og meget stor kognitiv konflikt. Da vi i interviewet kommer frem til 4 = 0, og elev A her spørges, om det er rigtigt, svarer han: Øhmm.. ja det kunne være rigtigt. Og en lille smule senere kommer: 4 Diskuteres nærmere i næste kapitel Del 1 side 19 af 81

41 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik L: Er der noget der undrer dig? Er der så nogen løsning til denne ligning? A: Løsningen er vel bare at 0x er lig med 4!...så 4 er faktisk bare nul i denne her sammenhæng! Den kognitive konflikt er så stor, at han faktisk mener, at der er en løsning til ligning 6, og at den er at 4 = 0. Dette viser med al tydelighed, at hans forståelse af lighedstegnet kun er på kommando niveau. Det er ligesom om, at han er fanget i sit eget univers og ikke kan komme ud af det på fornuftig vis. Grunden er, tror vi, den grundopfattelse, at A tror, at alle ligninger har en løsning! For da vi til sidst i interviewet taler om, at ikke alle ligninger har løsninger, kommer dette tydeligt bag på ham. Fordi det hos elev A er så forankret, at (alle) ligninger har løsninger er han faktisk villig til at godtage at 4 er lig med 0, den stillede ligning kan dermed ses som et brud på den didaktiske kontrakt (Skott, et al., 2011, kapitel 11). Et repræsentationsskift hjælper ikke elev A ud af denne kognitive konflikt. Han konkluderer til sidst Det er ikke kun 4 der er lig med nul alle andre tal er vel også lig med 0!... altså elev A ender med at konkludere at alle tal er lig med 0! Opsamling på forløbet med elev A Alt i alt må man konkludere, at den erkendelse elev A erhvervede i første interview kun har medført en meget begrænset udbygning af A s symbol- og formalismekompetence volumen. Desværre kom der i andet interview mange ting frem, der vidner om, at mange af elev A s begrebsforståelser hviler på et meget spinkelt grundlag. Imidlertid har disse to interview givet et meget bedre billede af elev A s matematiske niveau som ikke kunne være opdaget alene på baggrund af detektionstesten. Under interviewene fremgik det også, at elev A tit kunne ræsonnere på et udmærket niveau og se mange sammenhænge. Heller ikke dette ville kunne ses ud fra detektionstesten. For at få hjulpet elev A bedst muligt i en efterfølgende intervention ville det kræve nogle ene undervisningsgange, hvor man således kunne tage fat i mere grundlæggende matematik. Her ville et egentligt arbejde med at få udbygget elev A s talforståelse nok være det vigtigste i første omgang. Dernæst skulle der foregå en egentlig træning i at omgås negative tal og nul. Endvidere skulle forståelsen af lighedstegnet som et ækvivalenstegn udbygges. Hvor mange gange der skulle til, er jo svært at sige, men alt i alt må vi sige, at fordi A kan ræsonnere på et udmærket niveau, vil hans matematiske niveau uden tvivl være løftet efter ganske få gange. Intervention Elev B, C og D. Brøndby Gymnasium Ud over at give empiri til matematikvejlederprojektet fungerede interventionsforløbet også som ekstra matematiktræning for eleverne med forskellige nedslag de steder, hvor der kunne konstateres mangler. Forløbet skulle også vise sig at fungere som et yderligere diagnosticerende element. Del 1 side 20 af 81

42 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Den første træningsseance den 5. november - 1 time. Overvejelser inden seancen. Planen var at eleverne primært skulle arbejde med lineære funktioner. De skulle udregne forskellige y-værdier via sildebens metoden, og dernæst lave grafer for de tilhørende funktioner. Vi tog udgangspunkt i forskellige relativt simple lineære funktioner. Arbejdsarket findes i bilag 8. Eleverne var en time om, at udregne y-værdierne og tegne funktionerne (første side i bilaget). Den anden træningsseance den 19. november - 1½ time. Her fortsatte vi lidt med det samme som fra første seance (opgaverne er i bilag 9). Der blev også trænet små regnestykker til at understøtte udregningerne i sildebenene (regnearternes hierarki, regneregler). Herefter gik vi over til at regne divisionsopgaver i hånden (via trappemetoden ). Dette var for at hjælpe eleverne til at kunne finde en sammenhæng mellem brøk og decimaltal. Undervejs blev talakser brugt flittigt til indplacering af brøkerne. Tredje træningsseance den 27. november og 3. december - 1 time. Denne var todelt, én med Elev C den 27. november og én med Elev B og Elev D sammen den 3. december. Temaet for seancen var ligningsløsning. Elev C s seance blev optaget med SmartPen og Elev B og Elev D s træning blev optaget med video. Programmet var planlagt med følgende elementer: Gæt en løsning for simple ligninger. Grafisk ligningsløsning. Ligningsløsning med post-it sedler og legoklodser, ligningsløsning med to vægte og legoklodser. I træningen med Elev D og Elev B sprang vi den grafiske ligningsløsning over. Elev C s træningsseance. Træningsseancen blev optaget med smartpen og findes som bilag i pdf-dokumentet Elev Cs ligningsløsning Eleven blev først præsenteret for ligningen 2x + 4 = 4x + 2 Det viste sig hurtigt, at Elev C ikke vidste, hvordan han skulle løse ligningen. Herefter blev han bedt om at gætte en løsning til ligningen. Dette kunne han heller ikke gøre af sig selv. Elev C blev så præsenteret for muligheden for at gætte en løsning ved at substituere et tal ind på x s plads. Det var noget, han vidste kunne lade sige gøre fra vores tidligere træning med de lineære funktioner. Først så vi, at der stod noget forskelligt på hver side af lighedstegnet ved at substituere 0, og derefter kom løsningen frem ved x = 1. Efterfølgende gættede Elev C løsningen til ligningerne 6x = 24 og -6x = 24 (opgaver fra detektionstesten). Ligningen 3x + 30 = 6x + 15 blev der også gættet en løsning til. Her blev han delvist hjulpet til at finde passende substitutioner for x. Herefter gennemgik vi grafisk ligningsløsning for ligningerne x + 1 = 3 - x og x + 5 = 3 - x. Først konstruerede vi sildeben og lavede den tilhørende graf, hvor løsningen blev fundet ved skæringen Del 1 side 21 af 81

43 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik mellem graferne. Elev C fik at vide, at den grafiske løsning af ligningen havde visse begrænsninger, og at vi derfor ville nærmer os ligningsløsningen på en anden måde. Her startede vi med at arbejde med ligningen 2x + 4 = 4x + 2. x erne blev repræsenteret med postit sedler og tallene med legoklodser. De blev lagt på et stykke papir, der var adskilt med en streg / lighedstegn. Elev blev så præsenteret for princippet bag ligningsløsningen, at man skulle gøre præcist det samme på hver side af lighedstegnet, og det gjaldt om at isolere x på en af siderne af lighedstegnet. Eleven startede under vejledning med at trække to legoklodser fra, derefter to post-it sedler, så der stod 2 = 2x. Herefter ville eleven trække en fra for at få 1x, men her blev han stoppet og vejledt frem til at dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet. Vi fandt så løsningen x=1, som tidligere også var blevet gættet. Herefter blev ligningen 6x = 12 løst på samme måde. Vi gik nu over til at løse ligningen 3x + 30 = 6x + 15 og x + 1 = 3 - x på papir. I den første ligning blev Elev C guidet under reference til, hvad der var skete med post-it og legoklodserne. Da han kom til udtrykket 15 = 3x, kunne han selv finde ud af at dele, så der stod at 5 = 1x. Som resultat angav eleven x = 6. hvor tallene 1 og 5 tilsyneladende var blevet lagt sammen. Her talte vi om, at 1x og x var det samme. Efterfølgende gennemgik vi ligningsløsningen en gang til også med fokus på at skrive ligningsløsningen op mere overskueligt. Ved ligningen x + 1 = 3 - x kom der til at stå x = 2 - x. Dette sted voldte store vanskeligheder, og eleven var ikke kommet videre uden hjælp til at addere x på hver af siderne. Detektionstestens 3x + 20 = x + 64 blev løst uden hjælp. Ligningen 7x - 3 = 13x + 15 blev også løst selvstændigt, men eleven var usikker, da der skulle trækkes 15 fra på hver af siderne, fordi der så ville komme til at stå noget negativt på venstre side. Da eleven fik at vide, at dette var OK, kunne ligningsløsningen fortsætte. Til sidst prøvede vi som et slags kuriosum at bruge to vægte fra fysiklokalet for at illustrere vægtprincippet bag ligningsløsningen. 2x + 4 = 4x + 2 blev lagt op med x repræsenteret af 2 sammensatte grønne legoklodser og tallene blev repræsenteret af enkelte legoklodser. Vi kørte ligningsløsningen igennem og sikrede os undervejs, at der stod nogenlunde det samme på hver af vægtene. Eleven følte ikke selv, at den grafiske ligningsløsning havde hjulpet meget. Opsamling på Elev C. Eleven startede med at føle sig helt på bar bund omkring ligningsløsning. Det lykkedes eleven selvstændigt at løse ligninger med positive led. Der opstod problemer undervejs, specielt omkring led med negativt fortegn. Del 1 side 22 af 81

44 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Ligningsløsning med Elev B og D. Træningsseancen med B og D forløb nogenlunde på samme måde som ved Elev C. Her fokuserede vi dog lidt mere på ligningsløsning med post-it og legoklodser (som beskrevet tidligere). Et udpluk fra seancen var: Ligningen 4x + 4 = 2x + 8 blev lagt op på bordet. B: Starter med at fjerne 2 klodser fra hver af siderne. D: Fjerner så yderligere 2 klodser. Eleverne får at vide at det gælder om at isolere x. B spørger om man bare kan fjerne x og får at vide, at det kan man godt. Undervejs understreges den matematiske operation at trække fra. B: fjerner to post-it sedler (2x). D: er så endt med ligningen 2x = 2, og vil igen fjerne en post-it seddel. Der spørges ind til, hvilken matematisk operation fjerner betyder og her halverer hun. Ligningen: 3x + 10 = 6x + 1 B: Fjerner 2 post-it sedler fra hver af siderne. D: Fjerner en klods fra hver af siderne. B: Fjerner 1 post it-seddel fra hver af siderne. D: Tæller legoklodserne (=9) og vil gerne fjerne ⅔ af klodserne. Der bliver spurgt ind til, hvad det betyder rent matematisk. B og D dividerer først med 3 efter en del nursing i den retning. Elev D udfører ligningsløsningen selv x + 5 = 3x + 1 Fjerner én post-it Fjerner én klods Dividerer med to Elev B udfører ligningsløsningen her 3x + 4 = x + 10 Fjerner én post-it Fjerner 4 Dividerer / tager halvdelen Efter dette løste vi ligningerne på papir. Både B og D ender med at kunne løse detektionstestens 3x + 20 = x + 64 på papir. Undervejs kunne det konstateres at fx D forsøger at undgå negative tal. Til at slutte med forsøger B og D at løse detektionstestens 7x 3 = 13x Men de ender med et udtryk -6x = 18 og ved så ikke, hvad de skal gøre her. Opsamling på elev B og D Eleverne formulerer selv til sidst, at ligningsløsningen blev svær, når det bliver ulogisk, hvilket betyder at der kommer negative tal ind. Men det virkede som om, at eleverne relativt hurtigt fangede ligningsløsningsproblematikken, selvom det også var klart, at der ikke var den store Del 1 side 23 af 81

45 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik rutine, hvilket kunne ses ved, at eleverne brugte omveje for at nå resultatet. fx ved først at trække 2x og efterfølgende 1x fra. Fjerde seance den 12. december - Test - Opsummering på intervention. Her testes eleverne C og D uden hjælp (Elev B var fraværende). Testens opgaver og svar fines findes i bilag 10. Her kunne det konstateres, at eleverne stadig havde problemer med at udregne alle funktionsværdier (sildeben). f.eks. får C -2 (-2) + 3 til at give -1 og både C og D -2 (-1) + 3 til at give 1. Der glemmes et minus. Elev D: (-2) = -4. Eleverne kunne udregne simple ligninger specielt med positive led med x. Det skønnes, at eleverne er klar over proceduren ved ligningsløsning, hvilket også kunne fornemmes under 3. træningsseance. Så her virker det som om interventionen lykkedes Omkring omregning af brøker til decimaltal virkede det som om, at der var sket en bedring måske som følge af en større brug af talakser. Elev C kunne nu f.eks. udregne og placere (-5/3, 12/5 og 7/2) næsten korrekt. Den helt afgørende konklusion på 4. seance var, at eleverne har store problemer med de negative tal. Eksempler = -10. Der gives op overfor ligninger med negative led med x, udregning af negativ brøk, hæve negativ parentes, at minus gange minus giver plus o.l. Det kunne konstateres (Elev D), at brøken (2a)/(a2) løses fejlagtigt (=0), fordi D bruger udtrykket at 2 går ud med 2 og a går ud med a. Samme sprogbrug bruges om 2x-2x, hvor resultatet er nul. Elev C regnede funktionsværdier ud, nogle af dem fejlagtigt. Eleven forbandt dem derefter med en blød linje, hvilket må betyde, at han ikke har fanget, at funktionerne af formen f(x) = ax + b altid danner en ret linje. Det er således næsten sikkert, at elevernes manglende evne til at løse ligninger, her ikke kan afhjælpes ved at skifte repræsentation fra det algebraiske udtryk til grafrepræsentationen. Sildebenene fungerede ved indsættelse af -2, -1, 0, 1, 2 - ækvidistante skridt, hvilket giver ækvidistante y-værdier. Denne systematik blev dog ikke set i relation til elevens egen fejlsøgning. Der skal altså interveneres i relation til brug af negative tal. Sandsynligvis skal der gribes fat helt fra bunden. En plan for interventionen (en ny) skal findes. Hele træningsforløbet munder ud i et komplekst billede af diagnosticeringen. Opsamling: x hvad er det? Fremmedgjorthed over for negative tal. Stor usikkerhed i operationer med negative tal. De opfattes af eleverne som ulogiske. Forkert tolkning af sproget ( fjerner noget fra hver af siderne, går ud med ) Lavt matematikselvværd giver op. Manglende erfaring i opstilling/præsentation af løsningsproceduren. Manglende rutine - glemmer tal / led fra det ene skridt til det andet. Del 1 side 24 af 81

46 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Opsamling over symbol- og formalismekompetencen for elev B, C og D. Denne oversigt viser arbejdsfelterne inden for symbol- og formalismekompetencen, primært med relevans for simpel lineær ligningsløsning. Træningsseancer Udgangspunkt (test) Afbildning af lineære funktion ved tabeludregninger (sildeben) Kan ikke Trænes Trænes Kan delvist* Variabelkompetencen at x kan antage forskellige Kan ikke Trænes Trænes Trænes Kan værdier. implicit Operationer med negative og positive tal.? Trænes Trænes Trænes Kan delvist implicit Regnearternes hierarki (ved at indsætte tal i? Trænes Trænes Trænes Kan udtrykket ax+b). implicit Grafkonstruktion og afsætning af punkter i Kan Trænes Trænes Trænes kun Kan koordinatsystem. elev C Brøker som decimaltal (talforståelse) Kan ikke Trænes Kan delvist Ligningsløsning (generelt) Kan lidt (C) Kan ikke (B/D) Trænes Trænes Kan delvist* Kan finde en løsning ved indsætning af tal på x s Kan ikke Trænes Kan plads (ækvivalens) algebraisk Aritmetisk ligningsløsning (fx 6x=24) Kan ikke Trænes algebraisk Kan delvist* Præalgebraisk ligningsløsning (fx 4x+2=2x+4) Kan ikke Trænes Kan algebraisk Post it /lego Algebraisk ligningsløsning Kan ikke Trænes algebraisk Kan delvist* * Eleverne opererer usikkert med negative tal og går enten i stå eller regner forkert. Del 1 side 25 af 81

47 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 2 Empiri i en teoretisk kontekst Formålet med dette kapitel er at nærme os de fire elevers symbol- og formalisme kompetence niveau. Dette vil blive behandlet i afsnittet diagnosticering, og i afsnittet intervention vil vi se, hvor meget denne kompetence har ændret sig hos eleverne. I en opsamling vil vi på baggrund af de to afsnit give en karakteristik af elevernes matematiske faglige niveau. I næste kapitel (diskussion) vil vi på baggrund af relevant litteratur give nogle bud på, hvordan man kunne arbejde videre med de fire elevers faglige niveau. Diagnosticering: Som man kan læse i KOM rapporten (Niss, 2002) kan det, at kunne matematik ses som, at man skal mestre otte kompetencer. De otte kompetencer er inddelt i to grupper, hvor den ene gruppe kaldes at kunne spørge og svare i og med matematik. Til denne gruppe hører tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen, modelleringskompetencen og ræsonnementskompetencen. Den anden gruppe af kompetencer kaldes at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber. Til denne gruppe hører repræsentationskompetencen, symbol- og formalismekompetencen, kommunikationskompetencen og hjælpemiddelkompetencen. Alle disse otte kompetencer lapper over hinanden og kan visuelt ses som en blomst med otte kronblade hvor hvert blad netop er en af de otte ovenstående kompetencer. Udgangspunktet for kortlægning af en af de otte matematiske kompetencer hos en given elev er kompetencens tre dimensioner (kaldes også en kompetences volumen eller rumfang ). De tre dimensioner er dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Dækningsgrad dækker over, i hvor høj grad de aspekter, der karakteriserer kompetencen er dækket hos eleven. Aktionsradius dækker over det spektrum af sammenhænge som kompetencen kan aktiveres i. Og en kompetencens tekniske niveau dækker over hvor begrebsligt og teknisk avancerede sagsforhold og værktøjer eleven kan aktivere denne kompetence overfor (Niss, 2002, side 65). Hvis en person behersker en kompetence vil man sige, at en persons kompetence har fuld dækningsgrad, stor aktionsradius og perfekt teknisk niveau. Og billedligt betyder dette, at personens rumfang, for den pågældende kompetence, er meget stort. Hvis en person således har huller i sin matematiske viden og forståelse, vil dette kunne ses på, at en eller flere kompetencers tre dimensioner afviger fra det perfekte. Men hvad er en matematisk kompetence så egentlig? En definition kan findes på side 43: En matematisk kompetence består i at have viden om, at forstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Hvis man er god til matematikfaget har alle ens otte kompetencer således fin dækningsgrad, stor aktionsradius og højt teknisk niveau. I dette projekt har vi kun beskæftiget os med vores fire elevers symbol og formalismekompetence. Hvad karakteriserer så denne kompetence? Del 1 side 26 af 81

48 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og spillereglerne for formelle matematiske systemer (Niss, 2002, side 58). Elementerne i ovenstående sætninger lægger sig op af Kierans model for algebraisk aktivitet - den såkaldte GTG-model. GTG i modellen står for Generational (afkodning) - Transformational (oversætte, behandle og betjene) og Global-Meta Level (spilleregler) (Kieran, 2007, s.713). Elev A Vi vil nu på baggrund af ovenstående, analysen af elev A s svar fra detektionstesten og relevante referencer søge at give en karakteristik af elev A s symbol- og formalismekompetence. Som gennemgået i forrige kapitel så vi, at elev A havde fejl i spørgsmål 15d og selvom han faktisk har det korrekte svar i spørgsmål 15c er det her tydeligt at se, at han ikke behersker spillereglerne for, hvordan man adderer og subtraherer talsymboler korrekt. Spørgsmål 11 og spørgsmål 13 løses heller ikke korrekt. Elev A kan ikke afgøre hvilket af tallene 5/9 og 0,6 der er størst, da han ikke kan oversætte en brøk til decimaltal eller omvendt. Derimod har elev A regnet spørgsmål 28 helt rigtigt hvor man skulle skrive brøken 3/20 som decimaltal. Elev A kan heller ikke afgøre, hvilket af tallene 13/4 og 13/3 der er størst samt heller ikke angive hvor mange decimaltal der er mellem 0,65 og 0,66. Ligeledes kan elev A i spørgsmål 41 heller ikke angive et korrekt svar på, hvor mange tal der er mellem 2/7 og 3/7. Her angiver han svaret 10! Blot ved at fremhæve disse eksempler fra hans besvarelse af detektionstesten ses det tydeligt, at elev A har store problemer inden for emnet tal. I (Markovits et al., (1991) kan man læse om elevers manglende forståelse af sammenhængen mellem et tals brøkværdi og dets decimaltalsværdi. Artiklen omfatter studiet af 20 elever. På baggrund af studiet har Markovits mfl. efter elevernes fejl inddelt dem i tre niveauer. De tre niveauer er det rudimentære niveau (niveau 1). Hvis eleven har en rudimentær forståelse ved eleven at der er en sammenhæng mellem brøkfremstillingen og decimalfremstillingen uden at eleven kan oversætte fra den ene fremstilling til den anden. Hvis en elev er på niveau 2 kan han/hun veksle fra en symbolrepræsentation til en anden. Eks. Fra 1/2 til 0,5. Hvis eleven er på niveau 3, har eleven således den fulde forståelse. Hvis eleven således er på niveau 3 kan han/hun alt efter problemet vælge den mest hensigtsmæssige repræsentation. I studiet blev de 20 elever netop konfronteret med, hvor mange tal der er mellem 0,46 og 0,47 og mellem 1/4 og 3/4, altså helt magen til, hvad elev A blev konfronteret med. I artiklen konkluderes, at hvis elever ikke kunne svare korrekt på disse spørgsmål, var de ikke på niveau 2 og måske ikke engang på niveau 1. Vi kan således (forsigtigt) konkludere, at elev A har en rudimentær talforståelse. Det skal dog som før nævnt siges, at elev A korrekt kunne skrive 3/20 som decimaltal. Dette peger i retning af niveau 2 talforståelse. Vi drager derfor kun en forsigtig konklusion. I detektionstesten bliver man i spørgsmål 26 bedt om at addere to tal og afrunde resultatet til et helt tal. Spørgsmålet lyder: Afrund 148, ,351 til et helt tal. Elev A s svar til denne opgave er: 148, 123, 351! Han ser altså slet ikke to tal i opgaven men fire tal hvoraf de to ønskes adderet. En mulig forklaring på elev A s svar kan findes i (Duval, 2006). Artiklen handler bl.a. om hvor vigtig forståelse af det det underliggende semiotiske system er for at man kan arbejde med matematik. I forbindelse med spørgsmål 26 er det semiotiske system 10-talsystemet, uden forståelse af det kan man ikke besvare spørgsmålet. Duval henviser til en national fransk Del 1 side 27 af 81

49 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik undersøgelse af elever der lige var startet i gymnasiet, undersøgelsen viste at kun en tredjedel af eleverne havde forstået de grundlæggende strukturer i 10-talsystemet, meget tyder på at A også har problemer her. A s problemer med at afkode semiotikken i talsystemet kommer også til udtryk i spørgsmål 1 hvor 1 1 bliver til 150% 1,5 og i spørgsmål 2 hvor 2 32 bliver til 166% 3,3. Med det 3 udgangspunkt kan man jo godt forstå at A har problemer. Duval (Duval, 2006) diskuterer videre hvordan mange af komplikationerne med at forstå matematik og tænke i matematik opstår fordi det ikke kun handler om at kunne afkode og forstå tegns betydning i en given sammenhæng men også om at kunne skifte imellem forskellige semiotiske repræsentationer. Tingene kompliceres så yderligere ved, at man ikke umiddelbart kan sige hvad det er for objekter der gemmer sig bag semiotikken, matematiske objekter er jo ikke håndgribelige, de kan ikke måles og vejes som de objekter man beskæftiger sig med i andre naturvidenskaber. I spørgsmål 26 ser vi at elev A ikke kan forstå den semiotik der er på spil. Elev A ser kommaet som et tegn, der skal forstås som et adskillelsestegn og ikke som et decimalkomma til de to givne tal der er i opgaven og værre endnu i spørgsmål 1 og 2 ser han de blandede tal som noget der har med procenter at gøre. I spørgsmål 33b ses ligeledes at elev A ikke forstår semiotikken. Her ser han nemlig x - 3 som -3 gange x! Og elev A s manglende forståelse af forskellen på addition og multiplikation er i detektionstesten ret konsekvent, men ikke en konsistent fejl. Denne fejl går igen i spørgsmål 36 ved ligningsløsning. Her laver han den interessante fejl at løse ligningerne ved at opfatte det ikke skrevne multiplikationstegn som et additionstegn. Emnet for artiklen (Vlassis, 2002) er, hvordan elever løser ligninger med en ubekendt. Konklusionerne er baseret på undersøgelsen af 40 elever, der gik i ottende klasse. I artiklen undersøges blandt andet de vanskeligheder elever har ved at løse ligninger med negative koefficienter til x. Den ligning som eleverne havde vanskeligst ved at løse var x = 7. Elevfejlene blev delt op i to kategorier. Første kategori kaldes detachment of the minus sign her efter (dms) og anden kategori The inability to isolate x when it is preceded by a negative coefficient her efter (nc). Elev A laver altså en kategori 1 fejl. Interessant nok løser elev A begge ligninger i spørgsmål 36 på samme måde selvom koefficienten til x i 6x = 24 er positiv. Dette tyder så (måske) mere på, at fejlen nok ikke skyldes den negative koefficient til x, men nok mere skal søges i, at elev A grundlæggende kun har en rudimentær forståelse af de fire regningsarter. Elever i aldersgruppen år og deres respons på den præsenterede ligning i spørgsmål 34, kan søges i (Kieran, 2007, s.733). Ligningen er som følger: 4 + n = Det specielle ved ligningen er, at for at løse den, skal der på begge sider af lighedstegnet foretages operationer på tal inden den ubekendte kan bestemmes. Resultatet af studiet var, at omkring 50% af eleverne, der skulle løse ligningen ikke kunne opnå en korrekt løsning. En fejl var, at venstresiden blev løst ved 4 + n 7, en fejl der kaldes the detachment of a term from the indicated operation (Kieran, 2007, s. 723). Vores elev A har imidlertid ikke løst ligningen, idet han som svar blot skriver: ved ikke så det er svært at gisne om hvad årsagen er til at han ikke gør det. Elev B, C og D Forløbet med eleverne B, C og D fra Brøndby Gymnasium er helt anderledes. Dels går eleverne i 2g og dels er de blevet valgt ud fra andre kriterier. Detektionstesten i sig selv er ikke det optimale redskab til endelig diagnosticering af meget svage elever, men den kan udpege de elever, der har brug for hjælp. Del 1 side 28 af 81

50 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik I diagnosticerings- og træningsforløbet med eleverne kom det frem, at der var betydelige problemer med at omsætte brøker til decimaltal og at placere brøker på en talakse. Dette skyldes først og fremmest at eleverne som udgangspunkt ikke kunne betragte en brøk som et divisionsstykke altså som en operation. Elev D kunne ikke svare på hvad brøkstregen egentlig betød. Ifølge (Markovits et al., 1991) ville elevernes talforståelse ligge på niveau 1, hvor man ikke kan skifte register mellem tal som brøker og decimaltal. Baggrunden for dette kunne naturligvis være, at man i grundskolen bruger kolon som divisionsmarkør, hvorimod gymnasieskolen udelukkende bruger brøkstregen. Omkring ligningsløsning kunne man konstatere, at eleverne stort set ikke kunne løse en ligning, da detektionstesten blev givet. Efter at eleverne var blevet trænet i hvad lighedstegnet og x betyder, og hvordan man operationelt løser en ligning, kunne de løse ligninger af simpelt teknisk niveau. Men det er uklart om eleverne kunne svare på mere teknisk komplicerede ligningsspørgsmål som f.eks. (a + 3)/(a + 4) = ¾. Man kan sige, at elevernes evne til at behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk var blevet styrket på forskellige fronter. Måske ville denne nyvundne kompetence give en indgang til, at de nu i større grad kunne afkode symbol- og formelsprog og, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog f.eks. givet ved spørgsmål 22 og spørgsmål 31 i detektionstesten. Men det undersøgte vi ikke i denne omgang Det må også forventes, at elevernes kompetence inden for spilleregler heller ikke er blevet styrket endnu, da dette kompetenceniveau forudsætter, at de underliggende niveauer har volumen nok. Sidst men ikke mindst kunne det konstateres, at alle tre elever har problemer med at løse ligninger af typen -x = 7 i overensstemmelse med observationer af (Vlassis, 2002). En af konklusionerne for eleverne B, C og D var, at de negative tal var den store hindring for, at ligningsløsningen blev ført til ende. De negative tal ligger i den øvre del af: den historiske abstraktionsstige (Sfard, 1991) og det er vel ganske naturligt, at matematiksvage elever også vil have problemer her. I (Kieran, 2007, s.717) nævnes der, at en af årsagerne til problemet med minustegnet, er, at det både bruges som subtraktionsindikator og som fortegn og dette kan forvirre eleverne og medføre store forhindringer i forståelsen af algebraiske symboler og processer. Det sås også i andre sammenhænge at eleverne lavede fejl, når minustegnet var involveret. Opsamling: Vi har i dette afsnit sat elev A s svar fra detektionstesten ind i en teoretisk kontekst. Elev A s grundlæggende talforståelse er rudimentær, og her vil en målrettet indsats nok give den største gevinst. Det betyder så også, at på baggrund af elev A s svar i detektionstesten kan vi samlet sige noget om A s Symbol- og formalisme kompetences volumen. Som skrevet tidligere gælder, at hvis man skal mestre denne kompetence, skal man blandt andet kunne afkode symbol- og Del 1 side 29 af 81

51 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik formelsprog og kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog. Dette har elev A meget svært ved, idet han f.eks. ikke kan løse de betragtede ligninger korrekt. Det kniber også med afkodning af symbol- og formelsprog som det fx ses i elev A s besvarelse af spørgsmål 26 i detektionstesten. Desuden har elev A ikke indsigt i spillereglerne for formelle matematiske systemer. På baggrund af A s svar i detektionstesten kan vi nu komme med en samlet vurdering af A s symbol- og formalisme kompetences volumen. Rumfanget af kompetencen må således siges at være (ret) lille. Og som antydet tidligere vil et træningsforløb inden for emnet tal med sikkerhed øge kompetencens rumfang. Eleverne B, C og D s kompetence inden for symbol- og formalismekompetencen har et meget lille volumen. Men det var jo også nærmest det kriterium, de var udvalgt efter. Eleverne er usikre i anvendelse af basale regneregler og afkodningen af symbol- og formelsprog. Elevernes havde problemer med at se sammenhængen mellem brøker og decimaltal, og de så ikke brøker som et divisionsstykke. Vi har dog vist, at elevernes kompetence inden for udvalgte felter ved relativt få træningsseancer kan øges. Intervention: Elev A Ved forberedelserne til vores første forløb var vi enige om at prøve at bringe elev A i en kognitiv konflikt. Om dette begreb kan man læse i (Tall et al., 1981). Artiklen handler om, hvordan elever håndterer faglige begreber i matematik. De arbejder med betegnelsen concept image (begrebsbillede) om den kognitive struktur der er knyttet til et begreb. En elev vil således til ethvert begreb have knyttet et begrebsbillede, sit eget. I artiklen kan man læse at: personal concept definition can differ from a formal concept definition.. (s. 152). Det vil sige, at elevens begrebsbillede ikke nødvendigvis stemmer overens med den formelle begrebsdefinition. Eksempler herpå kan ses i de to artikler (Cornu, 1991) og (Juter, 2005) hvor de undersøgte elevers begrebsbillede af grænseværdibegrebet gennemgås, samt i (Dreyfus & Vinner, 1989) der er en stor undersøgelse af 271 college studerende og 36 junior high-school lærere og deres begrebsbillede af funktionsbegrebet. For at vende tilbage til Tall og Vinner kan der i en bestemt situation tændes en del af elevens begrebsbillede, mens der i en anden situation tændes en anden del af begrebsbilledet. Hvis eleven ikke har et konsistent begrebsbillede tilknyttet et begreb rummer dette en potentiel konflikt. En kognitiv konflikt opstår, hvis to modstridende begrebsbilleder af det samme begreb tændes samtidig. Og det er i en sådan situation, at begrebsbilledet kan udvikles mod det rigtige. Med dette i baghovedet søgte vi således til første interview, at konstruere opgaver, hvor vi kunne bringe elev A i en kognitiv konflikt. Vi konstruerede ligningen 6x = 12. Ideen var så, som tidligere beskrevet, at bede elev A løse ligningen algebraisk. Og her var vores hypotese, at A ville løse den ved at opfatte det usynlige multiplikationstegn som et additionstegn. Hvis elev A således løste ligningen på denne måde, ville vi få ham til at løse ligningen igen men nu ved at skifte repræsentation så venstre- og højre siden Del 1 side 30 af 81

52 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik nu skulle opfattes som ligning for to forskellige rette linjer. Tanken var, som beskrevet i sidste kapitel, at bede ham finde førstekoordinaten til grafernes skæringspunkt og få ham til at indse, at denne løsning ikke var i overensstemmelse med den algebraisk fundne. Som det er fremgået af det første interview med elev A, bringes han helt klart i en situation, hvor en kognitiv konflikt opstår. Og det var således formålet med andet interview, at teste holdbarheden af den erkendelse der blev opnået gennem den kognitive konflikt (aha oplevelsen). Vores overvejelser for, hvad der skulle ske i andet interview, var som diskuteret tidligere, primært at teste holdbarheden af elev A s erkendelse (aha oplevelsen) fra første interview. Som angivet tidligere ønskede vi at teste om erkendelsen var permanent og uafhængig af andre input som f.eks., at der ingen intervention (undervisning) var foregået mellem de to interviews udover almindelig undervisning. Desuden var vi interesserede i at teste hvor meget elev A s begrebsbillede havde ændret sig. Det vil sige ville A nu være i stand til, at løse ligninger med negative koefficienter til x. Som angivet tidligere har Vlassis i sine undersøgelser observeret en tydelig snublesten, når elever skulle løse ligninger med negative koefficienter til x. Vi vil her følge de to artikler inden for løsning af førstegradsligninger med en ubekendt, nemlig (Vlassis, 2002) og (Filloy & Rojano 1989). Selvom de beskæftiger sig med samme emne, har de to forskellige tilgange til emnet. Vlassis anvender den såkaldte balancemodel, hvor man kan forstå en ligning som en slags balance mellem venstre og højre side. Man kan således lidt populært sige, at udtrykket på venstre og højre side således hele tiden, ved ligningsløsning, skal veje det samme. Ligningen er i balance lidt ligesom det er på en gammel skålvægt. Hvis det der ligger på hver skål vejer det samme er de to skåle i niveau, altså samme højde. En anden tilgang har (Filloy & Rojano, 1989) der arbejder med det de kalder den geometriske model. Man kan altså grundlæggende opfatte venstre og højre siden af en ligning som arealer. Og disse arealer er altid lige store. De er dog begge enige om, at dele førstegradsligninger med en ubekendt op i kategorier. Ligningerne blev grundlæggende delt op i to kategorier efter deres struktur. Første kategori af ligninger er dem der kaldes arithmetical, anden kategori af ligninger er dem der kaldes non- arithmetical. Den grundlæggende forskel på de to kategorier er, at kategori 1 ligninger kun har den ubekendte på den ene side af lighedstegnet, mens kategori 2 ligninger har den ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Desuden deler han kategorierne op i underkategorier. Fx deler Vlassis kategori 1 op i ligninger med positive og negative koefficienter til den ubekendte. Allerede i kategori 1 konkluderer han på baggrund af sin undersøgelse, at ligninger med negative koefficienter til den ubekendte volder store problemer. I (Filloy & Rojano, 1989) kan man læse at de ligninger der volder størst problemer for eleverne, er de non-arithmetical. Om dette siger de selv: students experience major difficulties in solving non-arithmetical. Vanskeligheden består i at man, for at finde en løsning, skal operere på den ubekendte. At det nærmest giver overstigelige problemer for elever at operere på den ubekendte, kan ses i (Davis, 1975). Her interviewede han en 12 årig dreng (Henry) der skulle løse ligningen 3/x = 6/(3x + 1). Der kom mange interessante ting frem under dette interview, men da Henry i starten af interviewet blev bedt om at multiplicere med den ubekendte x på hver side af lighedstegnet, udtalte Henry: How can we multiply by x when we don t know what x is! Del 1 side 31 af 81

53 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik På baggrund af ovenstående og elev A s svar på detektionstesten valgte vi at konstruere ligninger fra ovenstående to kategorier samt en ligning hvis løsningsmængde var tom. Første ligning i første kategori er således efter (Vlassis, 2002) en ligning med positiv koefficient. Denne ligning skulle elev A således gerne kunne løse uden problemer, hvis hans begrebsbillede havde ændret sig pga. den kognitive konflikt han var blevet bragt i, i første interview. Til det formål at teste om elev A s begrebsbillede havde ændret sig så meget, at han nu også kunne løse ligninger med negativ koefficient til den ubekendte, havde vi konstrueret ligning 2. Ligning 4-6 havde udelukkende til formål at teste i hvilken grad elev A s begrebsbillede havde ændret sig. Intervention: Elev B, C og D Det er noget af en udfordring at skulle lave en fornuftig intervention over for elever med store matematikproblemer. Flere inddeler matematiklæring i tre faser Sfard 1991 opererer med de 3 faser begrebsudvikling og internalisering, kondensering og reifikation (concept development interiorization, condensation and reification.) Mitchelmore and White skriver I artiklen om tre faser Teaching for empirical abstraction (Mitchelmore & White, 2004). Her starter man med at udforske emnet, herefter kommer en identifikation og genkendelse af ligheder og til sidst opstår reifikation, hvor man pludselig opnår ny indsigt. På sin vis kunne man sige at Teaching for empirical abstraction blot er det, som vi til dagligt kalder for induktiv læring. Begrebet reifikation er dog interessant her. Det har jo stor betydning for f.eks. planlægningen af intervention/undervisning om elevernes forståelse kommer af en pludselig indsigt eller om den kommer stille og roligt via langsomme dryp. Duval (2006) mener at forståelse går via et arbejde, hvor man skifte mellem forskellige repræsentationer. Ens forståelse af brøker kunne eksempelvis komme, når man er i stand til at skifte fra en brøkrepræsentation til decimaltal og omvendt. Dette er samtidig matematikkens achilleshæl, fordi repræsentationer indeholder begrænsninger i beskrivelsen af det matematiske objekt. En klassisk indgang til at lære eleverne B, C og D at løse ligninger, kunne derfor have været ved at præsentere eleverne for forskellige dagligdags matematiske problemer så som taxiregninger eller valutaveksling. I interventionen over for eleverne sprang vi dette trin over. Dels må man forvente af en elev, der går i 2.g ville have mødt sådanne eksempler, og at eleven til en vis grad har internaliseret emnet. Dels ville vi så vidt muligt bliver i den algebraiske notation, sådan at skiftet ikke bliver for voldsomt for eleverne. Grafisk ligningsløsning har vist sig at være et effektivt værktøj til f.eks. anskueliggørelse af funktioner (Kieran, 2007, s.719), men som det f.eks. påpeges i (Duval, 2006, s. 113), mestrer mange elever ikke skiftet tilstrækkeligt. Her viste en undersøgelse, at kun 25 % kunne genkende udtrykket y = 2x ud fra den tilsvarende graf. Kieran refererer også til andre undersøgelser, hvor det viser sig at: Del 1 side 32 af 81

54 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Results suggested that there are significant gaps in students abilities to comprehend and to produce representations, and that student s may attain more fluency with tables and pointwise graphs before symbolic equations and verbal expressions. Duval anvender en model for registrene, der kan blive mobiliseret i matematisk aktivitet. Ligninger, der kan sættes op som en algoritme benævnes som et monofunktionelt register, der inddeles i en diskursiv og ikke-diskursiv del. Selve ligningen 2x + 4 = 4x + 2 er en diskursiv repræsentation og et grafisk udtryk for højre og venstresiden af ligningen vil så høre til den ikkediskursive repræsentation. Et problem, der holder sig inden for den aktuelle repræsentation kaldes behandling / treatment mens at skift mellem repræsentationer kaldes konversion. I interventionen for ligningsløsningen startede vi med at sætte tal ind på x s plads for at gætte en løsning. Her er der altså tale om slag behandling, hvor eleverne arbejder med internalisering af ligningsløsningsproblematikken. Herefter gik vi over til at arbejde med (post-it-legoklods repræsentationen). Denne repræsentation ligner i høj grad vægtprincippet, som man ynder at bruge til anskueliggørelse af ligningsløsning. Et par kommentarer knytter sig til denne repræsentation. Vlassis (2002) diskuterer fordele og ulemper ved at bruge denne repræsentation. Fordelen er, at eleverne tilsyneladende husker princippet for ligningsløsning bedre ved at have en markant mulighed for visualisering. Ulempen er, at repræsentationen kun fungerer med positive koefficienter ( arithmetical equations, Vlassis, 2002), og at der er en risiko for at eleverne får problemer (selv) med arithmetical ligninger med negative koefficienter til den ubekendte. Måske skulle man bruge en vippe fra legepladser i stedet for en gammeldags balancevægt (skålvægt), som ikke nødvendigvis er kendt af alle. Post-it / legoklods repræsentationen har de samme fordele og ulemper. Derudover giver det mulighed for eleven at røre ved ligningsløsningen, hvilket kan formindske den fremmedgjorthed, der er hos nogle elever over for matematikken, og som kan aktivere hjernen på en anden måde, hvilket vil være en fordel for de elever, der har brug for dette. Og i sidste ende giver man altså her en anden mulighed for kondensering med større chance for reifikation inden for løsninger af en begrænset delmængde af ligninger. I overensstemmelse med (Kieran, 2007, s. 717) kommer Brøndby eleverne til kort, lige så snart ligninger indeholder negative tal. Det er uklart om post-it legoklodsøvelsen har været udslagsgivende i elevernes øgede ligningsløsningskompetence. Måske kunne man blot have forklaret og trænet den klassiske måde at løse ligninger på. I starten af træningsforløbet arbejdede vi med sildeben og grafisk repræsentation af funktioner. l lyset af ligningsløsning er arbejde med sildeben nok snarere en behandling, som hjalp til en afkodning af ligningsløsningsproblematikken, der kræver indsigt i hvad x er. Til at anskueliggøre sammenhængen mellem tal- og brøker brugte vi flittigt talaksen. Den grafiske præsentation af tallene giver eleverne en visuel måde at anskue og ordne tallene i forhold til hinanden. Talaksen er en grafisk repræsentation af brøker og decimaltal. Transformationen fra brøk til markeringer på talaksen kan foregå på forskellige måder. Dette kunne være via først at omsætte brøken til et decimaltal, som så kunne placeres på en talakse eller via behandling i talaksens egen repræsentation ved at dele linjestykker ind i passende dele. I vores træning med Del 1 side 33 af 81

55 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik brøker brugte vi begge indgange. Og 4. træningsseance viste, at interventionen havde hjulpet og at eleverne nu var blevet bedre i stand at placere brøkerne på en talakse. Både for brøker og ligninger har vi skiftet repræsentation. Eleverne har også på forskellig måde arbejdet inden for repræsentationernes egen ramme (treatment). Alt sammen ser ud til at have givet eleverne en bedre forståelse. Del 1 side 34 af 81

56 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 3 Diskussion Formålet med dette kapitel er at give nogle bud på hvordan man efterfølgende konstruktivt kan arbejde videre med vores fire elever A, B, C o g D så deres symbol- og formalismekompetences rumfang kan øges yderligere. Vores bud er i nogen grad vores egne, men er naturligvis farvet af den glimrende litteratur vi har stiftet bekendtskab med i dette første semester på matematikvejlederuddannelsen. Det er klart, at vi på baggrund af vores analyse af elev A s svar på detektionstesten og de to interviews må konkludere, at elev A s symbol- og formalismekompetence rumfang ikke har ændret sig i en sådan grad som vi havde ønsket. Den første kognitive konflikt, elev A blev bragt i, har ændret hans rudimentære begrebsbillede en anelse, men ikke nok til at man kan sige at kompetencens rumfang har det. Faktisk får vi elev A bragt i en anden alvorlig kognitiv konflikt, hvor han faktisk er villig til at acceptere at 4 = 0, formodentlig som konsekvens af, at han er af den opfattelse at alle ligninger har en løsning. I (Tall, 1977) opstiller han på baggrund af katastrofe teori en matematisk model for, hvordan en kognitiv konflikt opstår. I artiklen kan man læse, at kognitive konflikter kan blive meget alvorlige. Om dette siger han selv: Indeed the conflicts may be so strong that the dynamical system of the brain is drawn along unsuitable paths leading to rejection and inability to understand (s. 8). Vi vil mene, at den netop omtalte kognitive konflikt fra andet interview med elev A er af en sådan karakter, og faktisk er han ikke umiddelbart i stand til at komme ud af den. Hvad kan man så gøre fremadrettet for elev A, så symbol- og formalismekompetencens rumfang øges betragteligt? Vi har før set, at der, hvor skoen for elev A trykker mest, er inden for emnet tal. Når A ikke kan løse spørgsmål 26 korrekt, er det, som vi har set, fordi vi mener, at han ikke kan læse opgaven rigtigt. Han forstår ikke det semiotiske i opgaven. Desuden kunne det også i høj grad være, fordi elev A grundlæggende ikke forstår 10 talsystemets egenskaber, det ved vi ikke, men det ville være værd at teste, her vil vi dog kun forholde os til, hvordan man kunne arbejde videre med hans færdigheder inden for ligningsløsning. Som vi også har set, har elev A problemer med at håndtere regning med negative tal og forstå, at det negative tal fx -3 er et tal helt på linje med de positive tal. Så her ville det uden tvivl gavne at give elev A en fortrolighed med, at negative tal, rationale tal og reelle tal alle er tal der grundlæggende kan behandles på samme måde. En god måde at gøre dette på ville være, at starte med rent visuelt at tegne en talakse og bede ham om at placere forskellige tal fx. -7, -3.5, -1, ½, 0,75, 1,3, 2, 2 på aksen, i lighed med det der blev gjort i interventionsforløbet med eleverne B, C og D. I (Sfard, 1991) får man en ide om, hvad man står overfor. Formålet med hendes meget lange, men meget velskrevne artikel er at vise, hvilke skridt man skal gennemgå for, at et begreb hos en der skal lære matematik er forstået. For at acceptere et matematisk begreb er det første skridt man skal igennem, at man starter med kun at opfatte begrebet operationelt. På dette laveste niveau er begrebet udelukkende på procesniveau. Først når den lærende, har været igennem en lang række Del 1 side 35 af 81

57 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik nødvendige skridt bliver begrebet strukturelt, altså et abstrakt objekt, der nu er en accepteret del af den lærendes matematiske univers og kan anvendes uden problemer af den matematiklærende. Man kan sige, at hvis man kun har en procesforståelse af et begreb, har man den laveste grad af forståelse af begrebet. Det er først når det er blevet til et abstrakt objekt, at begrebet er fuldt ud forstået. Ifølge Sfard har man først den helt dybe forståelse af et matematisk begreb, når man frit kan veksle mellem begrebet som en proces, og som et abstrakt begreb. Om dette siger hun selv: seeing a (function) or a number both as a process and as an object is indispensable for a deep understanding of mathematics, whatever the definition of understanding is (Sfard, 1991). Man kan i dag i gymnasiet tit observere elever, der er nødt til at regne et rationalt tal eller et irrationalt tal ud på lommeregneren og så angive tallet på decimalform som resultat ved løsning af en ligning eller lignende, for dem er fx. 3/7 eller 2 ikke tal i en forstand, så de er acceptable løsninger. Dette er et tydeligt tegn på, at eleven ikke har accepteret de rationale og de irrationale tal som tal på linje med de naturlige tal. Da de irrationale tal ikke er strukturelle for dem (abstrakte objekter), er de irrationale tal ikke en fuldgyldig del af elevens matematiske univers. Da således de irrationale tal kun er et procesbegreb, de er kun på procesniveau, idet der skal gøres noget ved dem, skal de hver gang udregnes for at tallet bliver virkeligt. Det udregnede tal 1,41 derimod er et virkeligt objekt altså et abstrakt objekt der (forhåbentligt) er accepteret af eleven. Et meget illustrativt eksempel hun selv bruger for at vise, hvilke skridt man skal igennem inden man har accepteret et nyt begreb, er udviklingen og accepten af de negative tal, de rationale tal og de reelle tal. Her ses at de negative tal i en meget lang periode kun var på det operationelle stadium før de endeligt blev accepteret som strukturelle objekter ligesom de naturlige tal var det. Hele pointen med artiklen er således at få øjnene op for at man skal mange skridt igennem før et nyt matematisk begreb er blevet et abstrakt objekt for den lærende. I forhold til læring siger Sfard: operational before structural should be understood merely as a prescription for teaching. Derfor skal interventionsforløbet helst være sådan bygget op. Man skal altså som lærer tænke i operationelle baner først. På baggrund af ovenstående er det klart at A ikke sådan bare lige suger de negative tal m.m. til sig, altså at de bliver abstrakte objekter for ham. Der er ret lang vej. Dette får man også fornemmelsen af efter endt læsning af artiklerne: (Fischbein & Jehiam, 1995): The concept of irrational numbers in high-school students and prospective teachers og (Sirotic & Zazkis, 2007): Irrational numbers: The gap between formal and intuitive knowledge. I disse artikler diskuteres forståelsen af de irrationale tal på baggrund af undersøgelser udført på elever og studerende. Og konklusionen er klar. Generelt har mange elever og studerende ikke en fuld forståelse af disse tal. Man kan sige at de, i Sfard termer, har en procesforståelse af de irrationale tal. Så på baggrund af ovenstående, er der altså et godt stykke arbejde, der skal til for at man kan sige, at elev A får en god talforståelse. Dog ville elev A være kommet langt, hvis blot de negative og de rationale tal var blevet abstrakte objekter for ham. Hvis vi altså antager, at elev A nu forstår de rationale tal, de er altså blevet abstrakte objekter for ham, så ville der være et meget godt fundament at bygge på. Her kunne vi så fortsætte i samme spor som i interventionsforløbet for elev B, C og D. Da elev A har en god forståelse for det med, at når man gør noget i forbindelse med ligningsløsning, så Del 1 side 36 af 81

58 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik skal man gøre det samme på begge side af lighedstegnet, ville der nok ikke være så lang vej, før elev A problemfrit ville kunne løse førstegradsligninger med en ubekendt. Vi har allerede været inde på, at et af de fortsatte fokusområder for Brøndby eleverne kunne være at arbejde med de negative tal i større omfang. Men hele træningsforløbet viser også, at der kan arbejdes på mange flere områder - herunder også med brøkerne, de rette linjer osv. Eleverne her er en slags eksponent for de problemer, der især har hersket for matematik på B- niveau de sidste år. Forholdene er dels beskrevet i artiklen (Bacher et al., 2012), hvor forholdsvis mange elever på B-niveau dumper. Det giver stof til eftertanke, at elever kan køre næsten indtil midten af 2.g uden at kunne formulere, hvad en funktion er - bare i grove vendinger, hvad x står for i en ligning eller i en funktion. Afrunding: Vi har i dette kapitel fokuseret på hvad man fremadrettet skal gøre for at løfte elev A s matematiske niveau. Som vi har set er der ret lang vej til, at elev A kan ende med at blive en elev, der er fortrolig med matematik og på den baggrund træffe fornuftige beslutninger. Da vi startede med at arbejde med elev A, havde vi ikke troet, at problemets omfang var så stort som vi har set det er. Vi synes det var interessant at arbejde med ham, fordi vi synes han lavede en spændende fejl. Og vi havde en klar ide om, at ved blot at skifte repræsentation fra algebraisk til grafisk ville elev A komme i en kognitiv konflikt og så var elev A s problem løst. Det viste sig som det ses, at så nemt var det altså ikke! Vi fik rykket en lille bitte smule ved elev A s symbol- og formalismekompetence volumen, men det er ikke noget som vil kunne ses med det blotte øje. Der skal altså mere til, og vi har i dette kapitel foreslået en mulig vej så kompetencevolumenet øges så det kan ses. Men, så er der de syv andre kompetencer! Dem har vi slet ikke været inde på i dette projekt, men at kigge på dem er udenfor dette projekts rammer. Et godt supplement til detektionstesten var de to interview med elev A. Man kan i Bohr sk forstand sige at detektionstesten og interviewene så at sige er komplimentære størrelser for en mere komplet beskrivelse af elev A s matematiske niveau. Man kan således ikke nærme sig en fuld forståelse af elevens matematiske niveau med mindre man både har detektionstesten og interviewene. Af detektionstesten kunne vi nemlig ikke se, at elev A faktisk ræsonnerer på et ganske udmærket niveau. Og det giver i høj grad håb for det beskrevne interventionsforløb. Uden at gå i detalje her i dette projekt, er der således ingen tvivl om, at hans ræsonnements kompetence volumen har en rimelig pæn størrelse. Hvad er så årsagen til at A er havnet i den situation som han er? Her er der kun gisninger, men som udgangspunkt har vi med en elev at gøre vi vil vurdere som normal i intelligens. Han har selv udtalt, at han havde en noget fragmentarisk matematik undervisning i folkeskolen. Men der er imidlertid ingen tvivl om, at det ikke er hans skyld. Det er desværre en systemfejl. Desværre er det skriftlige arbejde efter gymnasiereformen reduceret betragteligt! Det siger næsten sig selv, at når man skærer i det skriftlige arbejde, så får eleverne heller ikke så meget træning, som de fik før reformen. Det er igennem det skriftlige arbejde, at alle de nye matematiske begreber, der læres, går igennem Sfards skridt fra at starte med at være operationelle begreber (lav forståelse af Del 1 side 37 af 81

59 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik begrebet) til de endelige abstrakte objekter (høj forståelse af begrebet). Og denne udvikling af et begreb er der ingen tvivl om, læres primært gennem det skriftlige arbejde. Vi vil afslutte dette projekt med at komme med en bemærkning om, at det har været en helt fantastisk læreproces for os at lave dette dyk ned i enkelte elevers matematikforståelse i dette semester. Det har været et hårdt arbejde, men meget givtigt. Og de artikler vi har læst har nærmest dem alle sammen (desværre kunne man måske sige) været øjenåbnere. Det gør os også til mere seende undervisere der i undervisningssituationen er godt didaktisk klædt på til undervisningsopgaven. Del 1 side 38 af 81

60 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 4 Konklusion Da vi gik i gang med at interviewe de fire elever, viste det sig, at deres matematik problemer var af væsentligt større omfang end det, vi havde forventet på baggrund af detektionstesten. Så for den kategori af elever, vi har med at gøre her, er der behov for en test, der tester meget mere basale færdigheder. En anden væsentlig konklusion for alle vore fire elever var, at de negative tal udgjorde en væsentlig hindring for at kunne løse rene algebraiske ligninger. I arbejdet med elev A så vi, at der var en klar gevinst ved et repræsentationsskift. Det bragte ham i en kognitiv konflikt, han erkendte her selv problemet og kunne komme med brugbare løsningsforslag. At det hjælper elev A med et repræsentationsskift skyldes at hans repræsentations- og ræsonnementskompetence har et fornuftigt volumen. Træerne vokser dog ikke ind i himlen, så den ny indvundne erkendelse var ikke langtidsholdbar. Ved det næste interview kunne han med lidt hjælp bruge den nye erkendelse men stødte hurtigt på yderligere problemer med relation til den grundlæggende forståelse af strukturen i en ligning og håndtering af negative tal. Så hvis elev A s symbol- og formalismekompetence volumen skal øges væsentligt, kræver det en meget mere massiv indsats og ikke kun en enkelt fremprovokeret aha oplevelse i forbindelse med en kognitiv konflikt. Vi kan således konkludere at elev A s symbol- og formalismekompetence volumen ikke er øget væsentligt. Dog har det arbejde vi har lagt i elev A resulteret i et afgørende skridt i retning af at afhjælpe nogle af elevens mange matematikvanskeligheder. Eleverne B, C og Ds symbol- og formalismekompetence er blevet afdækket, primært i relation til de områder, der har relevans for simpel lineær ligningsløsning. Mange områder er blevet trænet og eleverne har opnået større sikkerhed, hvilket har gjort det muligt overhovedet at arbejde med ligningsløsning. I arbejdet med løsning af ligninger for elev B, C og D brugte vi repræsentationsskift (Post-it legklodsmetoden). Det lykkedes at gøre eleverne i stand til at løse ligninger bedre, men det er uklart, om det lige netop var repræsentationsskiftet, der havde ansvaret for dette. Sandsynligvis har det hjulpet eleverne til at få en mere korrekt opfattelse af begrebet ækvivalens, men det vurderes, at behandling af ligningernes algebraiske form (arbejdet med betydningen af x) har haft lige så stor betydning for elevernes evne til at løse ligningerne. Det gav ingen mening for disse elever at arbejde meget med grafisk ligningsløsning, fordi de ikke forstod rette linjer godt nok. Det konkluderes, at elevernes symbol- og formalismekompetence volumen er øget noget, dog med et ret svagt udgangspunkt. Det vurderes også, at elevernes manglende evne til ligningsløsning var bundet i mere psykologiske aspekter - at de giver op overfor udfordringer. Del 1 side 39 af 81

61 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 5 Litteraturliste 1. Bacher, C et al., (2012): Dovne drenge eller dødbringende matematik, MONA , (pp ). 2. Cornu, B., (1991): Limits, in D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, Kluwer Academic Publishers, (pp ). 3. Davis, Robert B., (1975): Cognitive processes involved in solving simple algebraic equations. Journal of Children s Mathematical Behavior, Vol. 1, No. 3, (pp. 7-35). 4. Dreyfus, T. & Vinner, S., (1989): Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 20, No. 4, (pp ). 5. Duval, Raymond, (2006): A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, (pp ). 6. Filloy, E & Rojano, T., (1989): Solving equations: the transition from arithmetic to algebra. For the learning of mathematics, Vol. 9, No. 2, (pp ). 7. Fischbein, E., Jehiam, R. & Cohen, D., (1995): The concept of irrational numbers in highschool students and prospective teachers, Educational Studies in Mathematics, Vol. 29, No. 1, (pp ). 8. Hansen, Hans Christian & Skott, Jeppe & Jess, Kristine, (2012): Matematik for lærerstuderende, Ypsilon, basisbog, bind 1, Forlaget samfundslitteratur, 1. udgave 2007, 3. oplag Juter, K., (2005): Limits of functions: traces of students concept images. NOMAD, 10(3-4), (pp ). 10. Kieran, Carolyn, (2007): Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation, In, F. K. Lester, Jr., (Ed.) Second handbook of research on mathematics and learning, (pp ). Greenwich, CT: Information Age Publishing. 11. Markovits, Z. & Sowder, J. T., (1991): Students Understanding of the Relationship Between Fractions and Decimals, Focus on learning Problems in Mathematics, Winter Edition, Vol. 13, No Mitchelmore, M. & White, P., (2004): Teaching mathematical concepts: Instruction for abstraction, In Niss (Ed.): Proceedings of Regular Lectures at ICME-10, Copenhagen. Del 1 side 40 af 81

62 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik 13. Niss, M. & Jensen, T. H. (Eds.), (2002): Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning, Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsens temahæfte nr Sfard, A., (1991): On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin, Educational Studies in Mathematics, 22, (pp. 1-36). 15. Sirotic, N. & Zazkis, A., (2007): Irrational numbers: The gap between formal and intuitive knowledge. Educational Studies in Mathematics, Vol. 65, No. 1, (pp ). 16. Skemp, R. R., (1976): Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, (pp ). 17. Skemp, R. R., (1979): Goals of learning and qualities of understanding. Mathematics Teaching, 88, (pp ). 18. Skott, Jeppe & Jess, Kristine & Hansen, Hans Christian, (2011): Matematik for lærerstuderende, Delta, Fagdidaktik, bind 3, Forlaget samfundslitteratur, 1. udgave 2008, 4. oplag Tall, D. & Vinner, S., (1981): Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12, (pp ). 20. Tall, D. (1977): Cognitive conflict and the learning of mathematics, International Group for the Psychology of Mathematics Education, Utrecht, Holland. 21. Tall, D. (1992): The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity, and proof, In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, New York: Macmillian Publishing Company, (pp ). 22. Vlassis, J. (2002): The balance model: hindrance or support for the solving of linear equations with one unknown, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3, (pp ). Del 1 side 41 af 81

63 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Kapitel 6 BILAG 1 RESULTATER 1g FALKONERGÅRDEN Detektionstest og terminskarakterer 1.g Falkonergårdens Gymnasium Elev Termins Resultat detektionstest karakter % Elev A Del 1 side 42 af 81

64 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 2 RESULTATER 2g BRØNDBY Detektionstest og årskarakterer 2.g Brøndby Elev Årskarakter (juni 13) Resultat detektionstest % Elev B Elev D 0 26 Elev C Del 1 side 43 af 81

65 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 3 RESULTATER 2g FALKONERGÅRDEN Detektionstest og karakterer fra skriftlig årsprøve 2.g Falkonergårdens Gymnasium Elev Skr. årsprøve karakter Resultat detektionstest % Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Elev Del 1 side 44 af 81

66 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 4 DETEKTIONSTEST FOR ELEV A Del 1 side 45 af 81

67 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 46 af 81

68 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 47 af 81

69 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 48 af 81

70 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 49 af 81

71 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 50 af 81

72 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 5 DETEKTIONSTEST FOR ELEV B Del 1 side 51 af 81

73 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 52 af 81

74 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 53 af 81

75 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 54 af 81

76 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 55 af 81

77 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 6 DETEKTIONSTEST FOR ELEV C Del 1 side 56 af 81

78 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 57 af 81

79 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 58 af 81

80 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 59 af 81

81 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 60 af 81

82 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 7 DETEKTIONSTEST FOR ELEV D Del 1 side 61 af 81

83 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 62 af 81

84 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 63 af 81

85 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 64 af 81

86 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 65 af 81

87 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 8 TRÆNNGSOPGAVER TIL ELEV B,C OG D Del 1 side 66 af 81

88 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 67 af 81

89 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 68 af 81

90 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 69 af 81

91 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 70 af 81

92 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 71 af 81

93 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 72 af 81

94 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 9 TRÆNINGSOPGAVER TIL ELEV B, C OG D Del 1 side 73 af 81

95 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 74 af 81

96 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 75 af 81

97 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 76 af 81

98 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BILAG 10 SLUTTEST Del 1 side 77 af 81

99 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik BESVARELSE ELEV C Del 1 side 78 af 81

100 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 79 af 81

101 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik SVAR ELEV D Del 1 side 80 af 81

102 DEL 1 Begreber og begrebsdannelse i matematik Del 1 side 81 af 81

103 DEL 2 Matematikvejlederuddannelsen Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Skrevet af Mikkel Rønne, Lars Gråbæk, Anders Marcussen

104 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Indledning... 4 Kapitel 1: Teori... 5 Bevisskema... 6 Observationer og findings... 8 NAEP (National Assessment of Educational Progress in the United States)... 8 Studier udenfor USA... 9 Sammenfatning Forfatterenes (Harel og Sowder) sammenfatning Det empiriske bevisskema Intervention Opsummering Forestillinger og holdninger om matematik - Beliefs Beliefs omkring matematikuddannelsen Beliefs om én selv Beliefs i en social kontekst Opsummering Kapitel 2: Empiri Detektionstest Endelig detektion Første interview Undersøgelse af elev As matematikbeliefs Elev As matematikbeliefs ifølge spørgeskemaundersøgelsen Beliefs for Elev A s klasse - spørgeskemaundersøgelsen Sammenligning mellem klassens og Elev A s beliefs Elev A s matematikopfattelse ud fra Interview 1 (bilag B) Opsummering af elev As beliefs Beliefs om matematikundervisningen Beliefs om én selv Beliefs i en social kontekst Del diagnose Del 2 side 2 af 53

105 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 3: Intervention Opsummering efter interview Kapitel 4: Diskussion Refleksioner over vores diagnostisering og interventionsforløb Erfaringer fra interventionsforløbet Beliefs Opsummering Kapitel 5: Konklusion Litteraturliste Appendix... Fejl! Bogmærke er ikke defineret. BILAG A BILAG B BILAG C BILAG D BILAG E BILAG F Del 2 side 3 af 53

106 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Indledning En mand sad og læste med stor interesse en historie om en matematiklærer, der var i gang med at bevise en meget vigtig sætning for sine elever. Når først matematiklæreren havde startet timen og var i gang med at udfolde matematikkens mysterier for sine elever, glemte han nærmest sine omgivelser. Han opdagede således ikke, at der i dag var særligt stille i klassen. Han var begejstret - han var blevet tændt - han var i gang. Der var en del af hans elever, der sad med hånden oppe. Han opdagede det slet ikke han var i gang med at bevise sætningen for eleverne. Der begyndte at komme uro i klassen, men det opdagede den meget passionerede lærer ikke. Eleverne blev mere og mere urolige..og desuden var timen også ved at være forbi. Lige inden det ringede, kunne man i larmen høre læreren sige: og det var det, vi skulle bevise. Klokken ringede, og eleverne var allerede på vej ud af døren, da den passionerede matematiklærer tilfreds med sin indsats vendte sig om for at opsummere for eleverne. Men han nåede lige præcis at se den sidste elev, der rendte ud af døren. Der stod han tilbage og forstod ikke, hvad der var sket. Han havde jo sagt det så uendelig klart, så det kunne ikke være derfor, at der ingen elever var i klasseværelset. Næste time synes han alligevel, at han ville spørge eleverne, hvorfor de alle bare var gået fra hans time. Der var en enkelt modig elev der rakte hånden op og sagde, at der var flere af dem der havde hånden oppe fordi de ikke forstod noget af det, han sagde. Manden afbrød læsningen af denne fortælling. Han så op på uret og kunne se, at den var 12:16 nejjj! Han styrtede afsted med sine ting. Han kom aldrig for sent til sine timer, men denne gang gjorde han. På vej op ad trappen til sine elever var han glad for, at det, han havde læst, aldrig foregik i hans timer. Alle elever forstod alt i hans timer, det var han sikker på. Som lærer er noget af det som er mest fantastisk når elever f.eks. siger: åhh nu forstår jeg eller nå ja, nu kan jeg se det. I dette semester har vi beskæftiget os i særlig grad med elevernes måde at føre beviser og ræsonnere på. Der er indenfor dette felt efterhånden meget forskning, der ret signifikant viser, at elever har meget svært ved netop at ræsonnere og bevise matematiske sætninger. Forskningen viser også, at elevernes beliefs om matematik (forestillinger om matematik, matematiklærere, matematiklæring mv.) kan spænde ben for eleven og gøre det svært at forstå det matematiske univers tilfredsstillende, sådan at udbyttet af undervisningen bliver mindre. Vi har i dette projekt sat os på den anden side for at forstå, og ikke mindst få indblik i, elevens matematiske tankegang. Emneområdet for andet semester på matematikvejlederuddannelsen er: ræsonnementer, beviser og bevisførelse. Vi har til dette projekt udvalgt en enkelt elev, der går i anden gymnasieklasse. Vi fandt det meget interessant at beskæftige os mere indgående med hende. Efterhånden som vi virkelig begyndte at designe og udføre vores interview med hende, viste det sig at blive mere og mere kompliceret at stille en diagnose. Først da vi virkelig havde analyseret, diskuteret og læst en masse for at få afdækket hendes komplekse matematiske side, fandt vi ting, vi slet ikke havde bidt mærke i fra starten. Vores problemformulering blev: Vi ønsker at undersøge om elev A s empiriske bevisskema gennem et kort interventionsforløb kan ændres i retning af et mere deduktivt bevisskema. Endvidere ønsker vi at undersøge om elev A s bevisskema kan forklares på baggrund af hendes beliefs. Del 2 side 4 af 53

107 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 1: Teori En person, der er nærsynet, har som bekendt svært ved at se langt. Skilte et stykke væk er umuligt for en stærkt nærsynet at læse. En person, der er blevet stærkt nærsynet vil helt banalt have store problemer med at orientere sig og i det hele taget bevæge sig rundt på egen hånd. Når en sådan person derfor får briller, der korrigerer for hans nærsynethed, vil han lige pludselig kunne stille skarpt på verden, så han kan begå sig og orientere sig helt frit. Analogt hertil har man indenfor den didaktiske matematikforskning, i flere årtier blandt andet haft som mål at konstruere et brugbart linsesystem, der gør det muligt igennem det at analysere og tolke elevers forståelse af det matematiske bevis. I dette kapitel vil vi opstille det linsesystem, vi i de næste kapitler skal bruge, så vi dels kan give en fornuftig diagnosticering af vores udvalgte elevs vanskeligheder og dels bruge den som guidning og teoretisk baggrund for vores intervention. Vi har primært valgt at benytte én kilde til at opstille linsesystemet. Denne kilde eller artikel er skrevet af Guershon Harel fra University og California, San Diego og Larry Sowder fra San Diego state University og hedder Toward comprehensive perspectives on the teaching of proof. Årsagen til, at vi har valgt denne (hoved)artikel, er, at den er relativt ny, 2007 og dens mål er at konstruere linsesystemet på baggrund af årtiers forskning. Selv angiver Harel & Sowder, at der er et egentlig behov for at opstille dette linsesystem da: the performance of students at the secondary and undergraduate levels in proof is weak, as the findings reported in this paper will show. (Harel & Sowder, 2007, pp. 806). I artiklen giver forfatterne en definition af Proof Scheme (bevisskema), som netop er det omtalte linsesystem. Om det siger de selv: The notion of proof scheme serves as a main lens of our comprehensive perspective on proof. Through it, for example, we analyse and interpret students proving behaviour in their individual work as well as in their interaction with others and understand the development of proof in the history of mathematics ( Harel & Sowder, 2007, pp ). Endvidere skriver de: Comprehensive perspectives on proof are needed, we argued, in order to better understand the nature and roots of students difficulties with proof so that effective instrumental treatments can be designed and implemented to advance students conceptions of and attitudes toward proof. (Harel & Sowder, 2007, pp.835). Som man kan læse af disse citater giver det altså meget god mening at opstille linsesystemet, altså give en definition på begrebet bevisskema. Del 2 side 5 af 53

108 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Bevisskema Der er et stykke vej til deres endelige definition af begrebet bevisskema, men det er baseret på tre definitioner. Følgende tre definitioner, der danner grundlaget for definitionen af begrebet bevisskema, er her frit oversat fra artiklen. 1. Conjecture versus fact: (Formodning versus faktum) En påstand kan blive opfattet af en person enten som en formodning eller som et faktum. Påstanden holder op med at være en formodning og bliver et faktum i det øjeblik personen bliver sikker på formodningens sandhed. Definitionen på formodning og faktum i 1 danner grundlaget for det næste begreb i 2 ( the notion of proving ), det at bevise. 2. Proving: (Det at bevise) Det at bevise er den proces, der har til formål at fjerne enhver tvivl om en påstands sandhedsværdi. Hos Harel & Sowder er begreberne ascertaining ( at forvisse sig om ) og persuading ( at overbevise ) to underprocesser af det at bevise. 3. Ascertaining versus persuading ( at forvisse sig om versus overbevise ). En forvisning er en proces en person udøver for at fjerne sin tvivl om en påstands sandhedsværdi. Overbevisning er den proces en person udøver for at fjerne andres tvivl om en påstands sandhedsværdi. Ovenstående danner rammen for deres endelige definition på begrebet bevisskema. Endvidere skriver de: Mathematics as sense-making means that one should not only ascertain oneself that the particular topic/procedure makes sense, but also that one should be able to convince others through explanation and justification of her or his own conclusions (Harel & Sowder, 2007, pp ). Altså det at bevise en påstands sandhedsværdi er, som det fremgår af ovenstående citat, i høj grad (også) en social aktivitet. Det hele kompliceres som det ses af nedenstående citat af, at opfattelsen af hvad det vil sige at bevise noget hele tiden ændrer sig. As defined, ascertaining and persuading are entirely subjective, for one s proving can vary from context to context, from person to person, from civilization to civilization, and from generation to generation within the same civilization (Harel & Sowder, 2007, pp.809). På baggrund af ovenstående defineres nu begrebet bevisskema: Del 2 side 6 af 53

109 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik A person s (or a community s) proof scheme consists of what constitutes ascertaining and persuading for that person (or community). (Harel & Sowder, 2007, pp.809). Der eksisterer tre forskellige typer af bevisskemaer der opstilles taksonomisk. De tre bevisskemaer er: 1. Deductive proof scheme (Det deduktive bevisskema) 2. Empirical proof scheme (Empirisk bevisskema) 3. External conviction proof scheme (Ydre overbevisning bevisskema) Det første bevisskema, det deduktive bevisskema, befinder sig på det højeste taksonomiske niveau og de to andre kommer efter hvor det tredje, det ydre overbevisnings bevisskema altså ligger på det laveste niveau. Kendetegnende for det ydre overbevisnings bevisskema er, at det er baseret på, at eleven accepterer en påstand som sand ud fra nogle ydre omstændigheder uden måske i virkeligheden at have forstået essensen af problemet. Ydre omstændigheder kunne være (Harel and Sowder 1998, s ): At eleven accepterer påstande som sande på baggrund af autoritet fra en lærer eller en lærebog (det autoritative bevisskema). Elevers autoritative bevisskema kan f.eks. ytre sig i at eleverne gerne vil vide, hvordan et problem skal løses eller et bevis skal gennemføres, i stedet for selv at kaste sig ud i opgaven. At eleven opfatter et bevis som sandt, fordi det er opstillet som et rigtigt bevis (det rituelle bevisskema), det er altså formen i sig selv der giver troværdighed. At eleven udleder noget ved at manipulere med symboler ud fra en eller anden procedure uden at have fanget, hvad symbolet måske betyder og uden at have forsøgt at overskue problemet (symbolsk bevisskema). Kendetegnende for det empiriske bevisskema er, at: Man beviser en universel påstand på baggrund af et eller flere eksempler (Det induktive bevisskema). (Beviser) udelukkende ved perception (sanseindtryk) (Det perceptuelle bevisskema). Kendetegnende for den sidste kategori, det deduktive bevisskema, er, at det er baseret på to underklasser, der henholdsvis kaldes det transformationelle bevisskema og det aksiomatiske bevisskema. Karakteristisk for alle de transformationelle bevisskemaer er: Generality: På baggrund af en individuel forståelse er målet at begrunde et for alle argument, hvor ingen undtagelser accepteres. Operational thought: Et mål for hvornår operationel tænkning finder sted er, når den tænkende danner delmål og mål i bevisprocessen. Logical inference: anvendes når den tænkende forstår at begrundelser i matematik skal være baseret på logiske inferensregler. Del 2 side 7 af 53

110 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Foruden ovenstående tre karakteristika, der også gælder for aksiomatiske bevisskemaer, gælder også andre. Forfatterne kommer dog ikke ind på, hvad de andre karakteristika er. Så en egentlig skelnen af de to underklasser nemlig det transformationelle og det aksiomatiske bevisskema foretages ikke af Harel & Sowder. Opsamlende angiver de, at: for now, it is sufficient to define it (det aksiomatiske bevisskema) as a transformational proof scheme by witch one understands that in principle any proving process must start from accepted principles (axioms). (Harel & Sowder, 2007, pp. 810). Observationer og findings Da vores mål er (forståelse af) gymnasieelevers bevisskemaer, vil vi primært beskæftige os med findings indenfor denne målgruppe. På baggrund af den analyserede empiri, der er udført på målgruppen dels i USA, men også udenfor USA, har forfatterne Harel & Sowder følgende konkluderede bemærkning om elevernes bevisskemaniveau: The first two parts of this section will report, respectively, on precollege and college students conceptions of proof, The findings provide evidence that the pervasive proof schemes among the two populations of students are those belonging to the external conviction proof scheme class and the empirical proof scheme class (Harel & Sowder, 2007, pp. 820). Med andre ord, undersøgelserne viser at elevernes bevisskema ligger på det laveste taksonomiske niveau. NAEP (National Assessment of Educational Progress in the United States) Den første (store) undersøgelse Harel og Sowder nævner er NAEP studierne der foregår over en 30 årig periode og typisk involverer 9, 13 og 17 årige. Studiet er baseret på flere tusinde elever, og derved giver dette studie et billede af amerikanske elevers bevisskema niveau. En svaghed ved studiet, som forfatterne nævner, er, at empirien, som studiet er baseret på, er multiple choice opgaver. Derfor kan det være vanskeligt at følge det ræsonnement, der ligger bag elevernes svar. De indledende studier foretaget i og senere i , hvor de områder man ville teste på eleverne, var det matematiske bevis, logik, matematiske metoder og generel forståelse af beviset og aksiomatiske systemer og logik. Deres findings på baggrund af disse studier var, at eleverne (11. grade) kun viste en lille forståelse for matematisk argumentation og bevisførelse. Studier, som havde til formål at teste ræsonnement(er) indenfor geometri blev gjort i Her fandt man, at eleverne brugte skitser og figurer som hovedbestanddelen af deres svar snarere end et egentligt matematisk ræsonnement. På denne baggrund konkluderede de, at elevernes bevisskema kunne henføres til det perceptuelle bevisskema - altså det empiriske bevisskema. Hovedkonklusionen på NAEP studierne var, at meget få elever besad det højeste Del 2 side 8 af 53

111 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik taksonomiske bevisskema niveau det deduktive, men at de primært besad det empiriske bevisskema. En anden (signifikant) undersøgelse blev foretaget af Senk (1985) på 1520 elever fra 74 klasser i 11 high schools fra 5 stater. Eleverne blev testet indenfor en måned efter, de havde afsluttet et kursus i geometri. Eksempelvis blev eleverne bedt om at bevise, at diagonalerne i et rektangel er kongruente. Denne opgave var en tekstbogs opgave, og kun 32% af eleverne kunne løse denne opgave. Hovedkonklusionen var: The overall results were dismaying for the course in the U.S. in which deductive proof schemes should be expected to develop (Harel & Sowder 2007, pp. 821). Som det fremgår af citatet bruges ligefrem ordet (dismaying) forfærdende i konklusionen. Disse findings viser, at selv der, hvor man kunne forvente en udvikling af bevisskemaet, skete dette ikke. Studier udenfor USA I artiklen refereres til en anden stor (signifikant) undersøgelse der omfatter 2459 britiske årige elever foretaget af Healy og Hoyles (Healy & Hoyles, 1998, 2000). Populationen i denne undersøgelse var inddelt i 94 klasser på 90 skoler. De betragtede elever lå i top i en national test. Disse elever blev stillet forskellige opgaver (her frit oversat) som: At beskrive hvad et bevis skal gøre godt for, bedømme givne beviser og selv at konstruere beviser. Konklusionen var, at over 25% af disse elever kun havde en rudimentær forståelse af et bevis formål, og hvad det i det hele taget skulle gøre godt for. Af de elever, der kunne starte et bevis, var det kun mellem 28% og 56%, der sparsomt kunne fortsætte. Når formålet for eleverne var at få en god karakter (i matematik) synes de ofte, at mere formelle argumenter, dvs. algebraiske argumenter, havde en højere status i forhold til andre argumenter. Her mener Harel og Sowder at denne finding peger på: We interpret this last finding as an indication of the authoritarian proof scheme and the ritual proof scheme, (Harel & Sowder, 2007, pp. 822). Altså i det lys, mener forfatterne, at det at bevise noget for disse elever nærmest er af rituel karakter, der blot er dikteret af læreren (autoriteten). Disse elever ser altså ud til kun at tilegne sig det taksonomiske laveste ydre påvirkningsbevisskema. Andre studier viser lignende tendenser for elevers bevisskema niveau. Coes og Ruthvens (1994) undersøgelser var i overensstemmelse med Healy og Hoyles studier, at: Del 2 side 9 af 53

112 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik...students, like those in the Healy and Hoyles study, relied predominantly on examples and techniques for analysing numerical data, but showed little feel for the purposes of proof. (Harel & Sowder, 2007, pp. 822). Også her ses, at elevernes bevisskema ligger på det lave taksonomiske niveau. Sammenfatning Definitionen af bevisskemastrukturen udgør et værktøj til at give en karakteristik af en elevs bevisskema. De findings, vi har set på, viser, at elevers bevisskema gennemgående ligger på de lave taksonomiske niveauer og det uanset, om de undersøgte elever er fra USA eller England. De omtalte findings er vigtige, fordi der hermed kommer fokus på, at ræsonnement og bevisførelse er en svær disciplin. Og dernæst må hver lærer i langt højere grad iværksætte aktiviteter på klasseniveau, der styrker og udvikler elevernes bevisskemaniveau mod det ønskede deduktive bevisskema. Dette er mildest talt lettere sagt end gjort. For ellers var det gjort! Vi skal i det nedenstående komme med forfatternes mening om, hvad der fremadrettet skal gøres. Forfatterenes (Harel og Sowder) sammenfatning Forfatterne mener, at der er et behov for flere såkaldte longitudinale studier, hvis formål er at undersøge elevers bevisskemaer. Som de påpeger, er sådanne studier svære at lave dels af økonomiske årsager, dels også af designmæssige årsager. Effekten ved at udføre en longitudinal undersøgelse er, at man får en sikker forståelse af, hvordan elevers bevisskema udvikler sig over tid, når de beskæftiger sig med matematik. Findings viser også at læreres bevisbegreb ikke er meget bedre end deres elevers! Disse studier viste, at en del læreres overordnede bevisskema var af empirisk art, selv når det gjaldt matematiske udsagn (statements). Nogle lærere så det at bevise noget som noget man kun gjorde for (et lille antal) elever (en gang imellem). Hvor bevisets rolle og argumentation (justification) burde stå i centrum i skolematematik. Endvidere kan nævnes, at nogle studier viser at i undervisningen, og selv indenfor emnet geometri, bruges der enten meget lidt tid eller slet ingen tid til at udvikle elevernes bevisskemaer henimod det ønskelige deduktive bevisskema. Igen nævnes det at undervisningen i USA slet ikke er rettet mod at udvikle det matematiske ræsonnement i undervisningen, og desuden er mange lærere dårligt klædt på til at varetage undervisning i bevisførelse, da deres egen bevisforståelse ikke er på det matematisk ønskelige niveau. På positiv siden skal det dog retfærdigvis siges, at de elever, som har haft undervisning med stort fokus på bevisførelse, fik bedre testresultater end andre elever. Findings viste, trods alt, også at elever, der fik mere tid til at udvikle deres ræsonnementskompetence ved at løse eksemplariske problemer, fik et bedre testresultat end andre elever. Del 2 side 10 af 53

113 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Det empiriske bevisskema I dette afsnit vil vi på bagrund af artiklen Do theorems admit exceptions? Solid findings In mathematics education on empirical proof schemes. EMS Newsletter, December, 2011, se på hvilke årsager, der kan være til at elever (og lærere) i så høj grad tilegner sig det empiriske bevisskema. I næste afsnit, Intervention, vil vi gennemgå hvilke overvejelser vi har gjort os inden og under vores interventionsforløb for at prøve at udvikle/ændre vores udvalgte elevs bevisskema. Som vi har set, er der masser af findings, der med al tydelighed viser, at elever verden over har et empirisk bevisskema. Og et meget nærliggende spørgsmål man i den forbindelse kunne stille er, hvad årsagen til dette er? Som vi skal se er årsagen til tilegnelsen af det empiriske bevisskema (nok) ikke så ulogisk endda. I forbindelse med matematikuddannelse dukker et relevant spørgsmål op: Eksisterer der, eller kan der findes en generel forklaring på, at elevers (primære) tilgang til bevisførelse er baseret på det empiriske bevisskema? En mulig hypotese kunne være: Der er en stor forskel på det at ræsonnere i matematik og det at ræsonnere uden for det matematiske univers i hverdagen. Som matematiker og matematiklærere har man gennem sin uddannelse lært at skifte mellem matematikkens og hverdagens univers. Elever kan, af gode grunde, ikke skifte mellem disse to verdener på samme måde, som en person, der er uddannet i matematik. Eleverne skal have tid til at vænne sig til den(ne) matematiske verden, der har egne objekter og regler. Og et særligt godt kendskab til dette matematiske univers, er en forudsætning for at kunne forstå og føre et matematisk bevis (korrekt). Som angivet i artiklen giver det derfor god mening, at elever som udgangspunkt anvender de metoder, som er baseret på deres dagligdagserfaringer, når elever møder nye områder indenfor matematik. Det er altså en decideret snublesten, at man for at blive god til matematik skal forstå (og overkomme), at der er stor forskel på at formulere sig i hverdagstermer og i matematiske termer om det samme emne. Denne forskellighed i formulering kan vises via et eksempel. Når elever fx bliver bedt om algebraisk at udtrykke: at på et bestemt college er der seks gange så mange studenter (S) som der er professorer (P). De fleste elever skriver 6S=P (1) i stedet for det korrekte svar 6P=S (2). Elever der formulerer (1) opfatter S og P som objekter i stedet for variable. Ud fra at eleverne opfatter S og P som objekter er formulering (1) korrekt idet ligning (1) repræsenterer at seks studenter svarer til en professor. Som angivet i artiklen, er det altså en (stor) opgave for lærere i undervisnings sammenhæng at støtte eleverne i på fornuftig vis at få dem til eksplicit at indse, at reglerne og objekterne i det matematiske univers, er af helt anderledes karakter end dem, der gælder i den dagligdagsverden, de er en del af. Ved således at gøre eleverne eksplicit opmærksomme på disse to forskellige verdener vil man (eleverne) som udgangspunkt have et godt fundament for at kunne agere i den matematiske verden. Dernæst skal eleverne virkelig tvinges ind i matematiske situationer, der på illustrativ vis får eleverne til at indse behovet for at et generelt bevis i den pågældende situation. Det vil sige, eleverne skal på deres egen krop føle, at deres empiriske tilgang til den pågældende matematiske situation ikke slår til, men at en deduktiv tilgang løser det pågældende problem. (Kun) derved vil der ske en udvikling af elevens bevisskema mod det ønskede deduktive. Del 2 side 11 af 53

114 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Intervention I dette afsnit vil vi gennemgå hvilke teoretiske overvejelser, der ligger bag konstruktionen af nogle af de opgaver som vi i både diagnosticerings øjemed og intervention har stillet vores udvalgte elev. Som man kan læse i litteraturen, er det at ændre elevernes bevisskemaer en (ret) vanskelig proces. Vi kan derfor indenfor den korte semestertid vi har haft, således kun håbe på at rykke en lille smule ved vores elevs bevisskema. Vi har bl.a. ladet os inspirere af artiklen EMS (2011) ved konstruktionen af de opgaver eleven fik udleveret i interventionsforløbet. Som vi har set, skal eleven sættes i en situation hvor han/hun indser utilstrækkeligheden ved at føre ræsonnementer på et empirisk grundlag. Nogle matematik didaktikforskere mener, at en af de måder hvorpå man kan rykke elevens bevisskema henimod det ønskelige deduktive bevisskema, er, at eleverne arbejder med såkaldte generiske eksempler. Et generisk eksempel er et hvor man, ud fra et konkret eksempel, viser at en given påstand er korrekt. Påstanden er naturligvis først bevist hvis man kan generalisere eksempelbeviset. Elever med et empirisk bevisskema vil dog ofte betragte en påstand som bevist hvis et antal generiske eksempler bekræfter påstanden Iflg. EMS 2011, mener andre forskere, at en anden farbar vej til at udvikle elevens bevisskema er, at lade elever selv formulerer formodninger, hvorved der hos eleven i højere grad opstår et behov for at konstruere et generelt bevis. Opsummering Vi har nu ridset den - for os nødvendige teori op så vi på et teoretisk grundlag kan give en diagnosticering af vores elevs læringsvanskeligheder inden for bevisførelse og ræsonnement. Ligeledes hviler konstruktionen af de opgaver, der blev givet i interventionsforløbet, på teori der også er gennemgået her. Vi vil slutte af med et citat, der viser, at man i dag (2014) har ret god evidens for, at elevers typiske bevisskema er empirisk, men at det er et ret åbent spørgsmål hvordan man på bedst mulig vis kan rykke elevers bevisskema mod det ønskelige deduktive bevisskema. In summary, while the findings about students empirical proof schemes are solid, the evidence about the transition from empirical to general proof schemes is based on limited evidence collected in suitable environments. This leaves many questions open for further research (EMS, 2011). Forestillinger og holdninger om matematik - Beliefs. Man oplever tit som matematiklærer, at en elev spørger om en opgave, som vedkommende ikke kan finde ud af. Man beder så eleven om at forklare opgaven, og mens eleven forklarer problemet kommer der lige pludselig et nå ja nu forstår jeg, hvad der skal gøres. En anden elev kunne ytre du ved godt det her med matematik er ikke lige mig jeg kan simpelthen ikke finde ud af det. Det sidste kan hurtigt blive til en selvopfyldende profeti, og som matematikvejleder bliver man nødt til at overveje, hvad der skal gøres i en sådan situation. Del 2 side 12 af 53

115 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Med andre ord, så er der andre ting på spil, udover det stringent matematiske, når vi står over for at skulle ræsonnere, bevise og problemløse i matematik. Vi bliver nødt til at forholde os til matematiklæring i en psyko-social kontekst. (Ligesom al anden pædagogik). I den internationale litteratur bruges ordet beliefs til at betegne de studerendes forestillinger og holdninger om matematik. En definition på beliefs i matematik kunne være: (Frit oversat fra Op t Eynde et al. 2002) En studerendes matematik relaterede beliefs er de ubevidste og bevidste subjektive forestillinger om, hvad der opfattes som sandt omkring matematikuddannelsen, omkring én selv som matematiker, og omkring matematik i en klassesammenhæng. Disse beliefs er i tæt samspil med hinanden, og sammen med den studerendes forudsætninger er de afgørende for matematiklæringen og problemløsningen i klasserummet. Gennem tiden har der været forskellige forslag til en struktur til at kategorisere beliefs. I (Op t Eynde et al, 2002) argumenteres der for, at en god struktur at anskue beliefs ud fra er en inddeling i tre overkategorier: 1) Beliefs omkring matematikuddannelsen 2) Beliefs om en selv og 3) Beliefs i en social kontekst. Beliefs omkring matematikuddannelsen Dette kunne handle om anvendeligheden af matematikuddannelsen i dagligdagen, i gymnasiet, i videregående uddannelser eller i fremtidige job. Om hvorvidt matematik har relevans for andre fag i gymnasiet. Matematikfaget kan også blive opfattet som uretfærdigt, fordi nogle få er i stand til at finde ud af det, mens de fleste har dårlige forudsætninger (EMS, 2013) Hvordan vi lærer matematik, og hvordan vi løser problemer hører også ind her. Et belief kunne være, at alle opgaver skal kunne løses inden for kort tid. I en undersøgelse (Schoenfeld 1992, s.359) angiver elever, at de ved, at et matematisk problem er umuligt at løse for dem, når de bruger mere end 11 min på opgaven. Dette er en uheldig holdning at have inden for beviser og argumentation, der ofte kræver mange grundige og omhyggelige overvejelser, og hvor man ikke altid vælger den direkte vej for at komme frem til en løsning. Eleverne kunne i kraft af deres beliefs forvente, at løsninger altid kommer i pæne hele tal, at læreren/lærebogen ikke stiller opgaver, der ikke kan løses, og at læreren heller ikke stiller nye ukendte opgaver uden at have forberedt eleven. Disse belifs falder helt i tråd med den didaktiske kontrakt, hvor den studerende og læreren mere eller mindre ubevidst forhandler sig frem til nogle spilleregler i klasselokalet. Til en vis grad kunne man argumentere for, at dette fænomen hører til i den tredje kategori om beliefs i en social kontekst. Beliefs omkring matematikuddannelsen kunne også være, at man mente at matematik primært handler om at kunne huske uden ad, eller, at der altid kun er én løsning på et problem. Måske har man en opfattelse fra folkeskolen om, at matematikfaget handler om at regne med tal. Nogle af de Del 2 side 13 af 53

116 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik overgangsproblemer, der er mellem folkeskole og gymnasium handler måske i særlig høj grad om elevernes beliefs, at de kan spænde ben for nogle af de nye ting, der laves i gymnasiet. Beliefs om én selv Dette handler basalt set om, hvordan man ser sine egne evner og handlemuligheder, og om hvad der motiverer. Er det det faglige, at klare sig godt / få gode karakterer, at forstå emnet til bunds eller at løse opgaver rigtigt? Er der en speciel studieteknik / handlemåde, som gør, at man lærer eller ikke lærer matematikken. Beliefs i en social kontekst Dette kan handle om de sociale normer i klassen, herunder lærerens og de studerendes funktion og rolle. Hvis man er en stille tavs type, som er vant til at holde sig tilbage, vil man overlade gulvet til læreren eller andre mere udfarende elever, hvilket kan være forhindrende for, at man lærer noget ved den pågældende aktivitet. Hvis læreren indgyder frygt hos eleverne, kan det give en manglende vilje til at kaste sig ud i noget nyt. Beliefs i en social kontekst kan også handle om mere generelle normer f.eks om det er i orden at synes, at matematik er kedeligt, at man ikke behøver at læse lektier, at man må give op, hvis tingene bliver for svære. På det helt overordnede plan kan samfundsnormer også spille ind. Synes man i samfundet, det er godt at lære matematik? Det kan også handle om mere sociomatematiske normer så som, hvad et gyldigt svar kan være, eller om man må gentage det som andre har sagt uden at tilføre nyt til et udsagn osv. Forskellige forfattere lægger stor vægt på de sociomatematiske normer. Eksempelvis fremgår det af Yackel og Cobb 1996, at en konstruktiv, åben og indspørgende dialog omkring matematiske problemstillinger i klassen er med til at styrke elevens matematiske autonomi, hvorved elevernes evne til argumentation bliver styrket. Det at udvikle en ordentlig diskussionskultur i klasserummet ses af andre også som en mulig vej til at styrke elevernes argumentations og ræsonnementskompetence (EMS 2011 s.53). Opsummering Det kan ses at beliefs er tæt forbundet med problemløsning, ræsonnement og bevisførelse i matematik. Dybest set kan en elevs mulighed for udvikling i høj grad være bundet i at få eleven til at ændre sine beliefs. Det er slet ikke sikkert, at dette kan lade sig gøre. Det at ændre nogle grundlæggende, måske endda ubevidste holdninger hos elever tager tid. Nogle anbefalinger for undervisningen / den matematiske aktivitet kunne være: At sikre sig en åben konstruktiv dialog. At sikre sig at eleverne har en eller anden form for mål med undervisningen. Del 2 side 14 af 53

117 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik At give eleverne muligheder for at se anvendelsesperspektivet i undervisningen. At give eleverne mulighed for og mod til at kaste sig ud i matematiske undersøgelser. At være opmærksom på den didaktiske kontrakt (og måske bryde den engang imellem). At bringe eleverne i situationer der udfordre deres beliefs. Del 2 side 15 af 53

118 a 5b 5c a 9b 10a 10b 11 12a 12b Svarprocent Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 2: Empiri Vi besluttede forholdsvis hurtigt at vi ville tage udgangspunkt i en 2g klasse på Falkonergårdens Gymnasium. Klassens studieretning er samfundsfag og engelsk på A-niveau og matematik på B- niveau. Klassen har 28 elever som er rimeligt pligtopfyldende, dvs. der laves lektier i et rimeligt omfang og skriftlige opgaver bliver stort set altid afleveret. I matematik er der stor spredning i det faglige niveau og en lille gruppe elever har stort set givet op i forhold til at lære matematik. Klassen har i øvrigt haft et lidt rodet matematikforløb, således at de nu har deres tredje matematiklærere, denne klasse udsatte vi for detektionstesten. Vores plan var at udvælge en evt. flere elever fra denne klasse, vi ville gerne fokusere på elever fra mellemgruppen, dvs. elever der ikke klarede sig super godt, men som stadig forsøgte at hænge på i den daglige undervisning. Til sammenligning blev holdet, der havde valgt at løfte deres B-niveau i matematik til A-niveau udsat for detektionstesten. Dette hold har 14 elever, hvoraf de 12 kommer fra studieretninger med samfundsfag på A-niveau. De 2 sidste elever er henholdsvis en 3. HF er og en 4. g er der i øvrigt har været i den lidt specielle situation, at han samtidigt har gået på et hold, hvor han løfter sit C- niveau til et B-niveau. Detektionstest Resultaterne fra de 2 hold ses i figur 1, figuren viser for hvert spørgsmål hvor stor en del af eleverne på de 2 hold der har svaret rigtigt på de enkelte delspørgsmål. Man ser umiddelbart at MAT B A holdet i stortset alle spørgsmål scorer bedre end MAT B klassen. Men det var vel også forventeligt, da de dels har et år mere matematikerfaring end de andre og dels har tilvalgt matematik. I klassen er der tydeligvis elever, hvor matematik er et nødvendigt onde på den valgte studieretning. men bortset fra den generelt højere score på MAT B A holdet, så er det jo nogenlunde de samme steder eleverne på de 2 hold har problemer. Hvis vi ser på spørgsmålene med de laveste svarprocenter, så er det især for MAT B klassens vedkommende domineret af Figur 1a Detektionstest - spørgsmål A - hold B - klasse 0 Numren på spørgsmålene i detektionstesten Del 2 side 16 af 53

119 Svarprocent Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Figur 1b Detektionstest - spørgsmål A - hold B - klasse a15b16a16b17a17b a21b Numrene på spørgsmålene i detektionstesten spørgsmål, hvor der kræves en forklaring eller en begrundelse (fx spørgsmål 5c, 9b og 15b). Ser vi på de enkelte elevers samlede besvarelser, så er der god korrelation mellem elevernes terminskarakterer og deres samlede svarprocent i testen. En undtagelse er elev S, der til dagligt har meget svært ved at løse de opgaver der stilles i timerne eller i hjemmeopgaverne, men scorer bemærkelsesværdigt højt i detektionstesten. I flere af spørgsmålene i testen kommer S med ret præcise matematiske begrundelser, f.eks. i 17: for de skal betale det samme startgebyr på 30 kr eller i 22: 7 er den mest sandsynlige da flest forskellige øjensummer plusset med hinanden giver 7. Ingen steder bruger S empiriske bevisskemaer, S prøver at begrunde eller svarer ikke. Så der kunne være grund til at interviewe S om, hvad det er der gør de daglige opgaver så besværlige, men det blev ikke i forbindelse med denne opgave. Lærerens formodning er, at det skyldes, at S opfatter de daglige opgaver som meget åbne og derfor ikke kan finde det rigtige sted at gribe fat, så S kan få hul på opgaven. De enkelte elevers samlede svarprocenter for korrekt løste opgaver gik for eleverne på mat A holdets vedkommende fra procent og for eleverne i mat B klassens vedkommende gik de fra procent. Endelig detektion Vi havde som sagt valgt, at fokus skulle være på MAT B klassen. Efter at have gennemgået besvarelserne valgte vi at fokusere på elev A, elev A s testbesvarelse ses i bilag A. I A s test ser vi tydelige tegn på at hun har et empirisk bevisskema, spørgsmål 3 besvares ved bare at sætte 3 forskellige tal ind (2, 3 og 4) og så i øvrigt ingen kommentar/konklusion. Spørgsmål 17 besvares ved at beregne de 2 beløb og spørgsmål 22 besvares ved at opskrive samtlige kombinationsmuligheder og så tælle. A scorer i øvrigt 50% i testen. Vi havde udvalgt 2 elever mere som reserve kandidater de havde også scoret ca. 50% i testen, men ikke på samme måde som elev A gjorde vist noget tydligt mønster i deres besvarelser. Vi har nået 2 interview/interventions seancer med elev A. Del 2 side 17 af 53

120 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Første interview I det første interview stillede vi først A nogle generelle spørgsmål om matematik og matematiske beviser, derefter fik eleven lidt tid til at se på spørgsmål 3, 17, 20 og 11 fra detektionstesten, hvorefter vi bad A om at forklare, hvad hun havde tænkt i forbindelse med sin besvarelse af de 4 udvalgte spørgsmål fra detektionstesten (spørgsmål og opgaver er gengivet i bilag E). En udskrift af interviewet er gengivet i bilag B. I første del af interviewet fremgår det klart, at eleven ikke har nogen klar forståelse af, hvad et bevis er, hun er dog klar over, at det er noget, der bliver gjort noget ud af i matematik, men ved ikke rigtigt, hvorfor man gør det. For hendes skyld kunne man godt lade være. Første del af interviewet afsluttes på følgende måde: Lærer: Er der en fordel ved, at man har bevist et eller andet. Altså, du ved, at vi har bevist, lad os bare sige cosinusrelationerne. Er der en fordel ved det? Elev: Altså, det synes jeg ikke. Jeg bliver bare mere forvirret selv. Lærer: OK. Du synes måske det er spild af tid? Elev: Ja. Diskussionen om spørgsmål 3 (Begrund, at ethvert tal er løsning til ligningen 3x - x = 2x.) bekræfter vores formodning om, at A har et empirisk bevisskema. Hun siger, at hun vil sætte tal ind. Hun starter med at foreslå 2 og 5, hvorefter læreren henleder hendes opmærksomhed på ordet ethvert som står i opgaven, og diskussionen fortsætter: Elev: Ethvert et til ti. Det kommer an på, hvad for resultater man får, hvis man får et helt mærkeligt resultat, når man prøver fra et til ti, så skal man vel prøve flere gange... Lærer: OK, men lad os nu sige, at vi havde prøvet fra et til ti, og de alle sammen havde vist sig, at det var rigtigt det der. Kunne man så være sikker på at det gjaldt for ethvert (red. Tal) Elev: Nej. Lærer: Hvordan tror du man kunne blive sikker på det gjaldt for ethvert tal? Elev: Altså prøve med mange tal... Her stopper læreren og skifter til spørgsmål 20 (taxa opgaven), igen spiller eleven ud med at ville sætte tal ind, men bringes dog til at se, at startgebyret er det udslagsgivende i forhold til et negativt svar på første spørgsmål. Spørgsmål 20 fra testen (opgaven med lige og ulige tal) eleven har simpelthen svært ved at læse og forstå opgaven. Desværre hæmmes diskussionen af, at læreren ikke er særligt præcis, eleven er tilsyneladende med, men bliver nok kun mere forvirret. Til sidst er der spørgsmål 11 (procentregning, vægtet gennemsnit), eleven synes formuleringen er mærkelig, men har en vag fornemmelse af, at det ikke kan være rigtigt uden rigtigt at kunne komme det nærmere, som det fremgår af nedenstående. Lærer: Hvis vi nu forestiller os, at 39 og 30 procent er rigtigt. Og det der er taget af mændende og det der er taget af kvinderne. Hvis vi så skal have for befolkningen, for hele Danmarks befolkning. Del 2 side 18 af 53

121 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Tror du så procenten bliver tæt på 39 eller tæt på 30 eller tæt på 69? Hvad vil din fornemmelse være? Elev: Tæt på 39. De ville ligge imellem Lærer: Ok. Det lyder som et godt bud. Hvorfor tror du det, at de skulle ligge imellem? Elev: Fordi 30 er lidt for lidt og 60 er lidt for meget. Så for elev A kunne svaret tilsyneladende godt være mere end 39% men dog ikke 60%. Undersøgelse af elev As matematikbeliefs For at få en bedre forståelse for hvad elev A s empiriske bevisskema bunder i besluttede vi at indlede 2. interview med at give hende et spørgeskema der skulle hjælpe os med at afdække hendes beliefs om matematik. Spørgeskemaet blev også givet til hendes klassekammerater (N=27). I spørgeskemaet har vi stillet nogle spørgsmål, som skal hjælpe os til at få et mere nuanceret billede af elevens beliefs. Spørgsmålene er inspireret af (Op t Eynde, 2002), (Shoenfeld, 1992 s ) og (EMS, 2013). De blev stillet i en tilfældig rækkefølge og efterfølgende samlet i nogle kategorier så som anvendelse, relevans, motivation, socio- og matematiske normer. Spørgeskemaets ordlyd er gengivet i bilag C og det overordnede resultat af spørgeskemaet er givet i Bilag D. Udover elev As svar kan man se gennemsnittet og standardafvigelsen for resten af klassen. Elev As matematikbeliefs ifølge spørgeskemaundersøgelsen Elev A opfatter en del af de matematiske discipliner som noget der ikke har noget med dagligdagen eller virkeligheden at gøre. Beviser anses ikke for relevante. Det gør statistik der imod, dog får procentregning en både/og karakter måske lidt paradoksalt. Der er en erkendelse af, at matematik kan have en stor betydning for fremtidige job og uddannelser. Dog viser Elev A, at hun f.eks. ikke ved, om matematik skal bruges, hvis man vil være læge eller sygeplejerske. Dybest set opfattes folkeskolens matematik som tilstrækkelig for, at man kan klare sig i dagligdagen. Elev A angiver selv, at hun ikke er specielt interesseret i matematik. De fleste af hendes venner har det lige så, og blandt dem er det til dels også acceptabelt ikke at være god til matematik. Elev A svarer ved ikke på spørgsmålet om forældrene går op i, om hun klarer sig godt eller skidt i faget. Elev A anser matematikfaget som opnåeligt, hvis man yder den fornødne indsats, og det er ikke et fag, man er født til at være dårlig i. Det er et fag hun ville kunne gøre bedre med en forøget arbejdsindsats. I selve matematikfaget anser hun det for vigtigt at kunne huske formler, men hun anser det ikke for at være en klar betingelse for at klare sig godt. Hun mener, at læreren i høj grad bør introducere en opgave først og hopper ikke hovedkulds ud i nye opgaver. Del 2 side 19 af 53

122 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Beliefs for Elev A s klasse - spørgeskemaundersøgelsen Svarene fra alle eleverne er spredt. Her vælges de mest markante standpunkter ud. Opgørelsen af alle svar kan ses i bilag D. Generelt anser en relativ stor del af eleverne folkeskolens matematik for tilstrækkeligt til, at man kan klare sig i dagligdagen. Størstedelen af eleverne betragter statistik og især procentregning, som specielt anvendelsesorienterede emner. Klassen går på en studieretning med Samfundsfag på A-niveau, så i det perspektiv virker det som en ganske naturlig holdning. Retvinklede trekanter ligger i den modsatte ende. Her svarer størstedelen af eleverne, at dette emne ikke kan bruges i dagligdagen. Størstedelen af eleverne svarer, at matematik er vigtigt for videregående uddannelser og for jobchancer efter gymnasiet. Det er altså en ganske klar holdning til at matematik er vigtig. Der er også en klar tendens til at svare, at man bør opfordre sine børn til at blive gode til matematik. Dette kan stå lidt i kontrast til, at rigtigt mange i elevernes omgangskreds opfatter matematik som kedeligt, og at det også blandt vennerne er OK ikke at være god til faget. I relation til motivation, så er der en klar tendens til, at eleverne ikke er specielt interesserede i matematik, men at de arbejder på det for at få gode karakterer. Derudover føler de fleste en stor tilfredsstillelse, når det lykkes at løse en opgave. Omkring matematik som fag er der tendens til at eleverne mener, at de ikke lærer at regne i matematik, at matematiklæreren skal vise en typeopgave før han/hun stiller en lignende opgave, at der er en erkendelse af, at matematik anvender symboler i stedet for tal, samt at det er vigtigt at huske formler. Der stilles spørgsmål om ens matematiske evner. Her er der en klar tendens til, at man ikke nødvendigvis skal være født god til matematik for at klare sig godt, men at det i høj grad handler om ens egen arbejdsindsats. Ligeledes svarer eleverne også, at man ikke nødvendigvis er god til matematik, hvis man husker godt, hvilket står lidt i kontrast til, at de også svarede at det var vigtigt at huske formler. Der er en lidt overraskende tendens til at eleverne synes, at beviser har meget lidt med dagligdagen at gøre. Sammenligning mellem klassens og Elev A s beliefs Generelt viser de samme tendenser sig. Der er en tendens til, at Elev A opfatter matematik som lidt mere virkelighedsfjernt end gennemsnittet i klassen. Samtidig har elev A en meget klar ydre motivation, hvor karaktergennemsnit i gymnasiet og relevans i forbindelse med et fremtidigt arbejde og studium efter gymnasiet betyder noget. Del 2 side 20 af 53

123 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Ligesom flertallet af eleverne i klassen er der ikke noget pres fra venner om at klare sig godt, og Elev A svarer yderligere her, at hun ikke er klar over, om forældrene er interesseret i at hun klarer sig godt. Elev A s matematikopfattelse ud fra Interview 1 (bilag B) Her tilkendegiver Elev A, at beviser ikke kan bruges til noget. Af beviser fra undervisningen husker eleven specielt noget om integraler og fra 1.g cosinus- og sinusrelationerne og 2. gradsligningen. Da disse emner ikke hører til dem, som eleven opfatter som relevant for dagligdagen, vil det også være naturligt at eleven ikke opfatter de tilhørende beviser som noget, man kan bruge til noget, og at det kan være spild af tid, det kunne være en indikator for elevens empiriske bevisskema. Hvis eleven havde kunnet huske beviser omkring procentregning, ville det måske have været noget andet. Det er naturligvis kun gisninger, men situationen viser her, at svarene er åbne for fortolkninger og helst skal ses i en kontekst. Opsummering af elev As beliefs Beliefs om matematikundervisningen Gymnasiets matematik er tit virkelighedsfjernt. Beviser anses som spild af tid. Der er en indikation af, at eleven ikke kaster sig ud i nye ukendte opgave, men at eleven helst vil guides af læreren. Beliefs om én selv Eleven har tiltro til egne evner, og en større indsats ville kunne føre til et bedre standpunkt. Der mangler interesse for faget, men faget anses til at have betydning for gymnasiekarakteren samt for fremtidige job/uddannelser. Det motiverer eleven at have løst en opgave korrekt. Beliefs i en social kontekst Ingen pres fra familie og venner til at klare matematikfaget godt. Der er en klar opfattelse af, at matematik er godt at kunne set ud fra en samfundsmæssig norm. Ud fra de det foreliggende materiale er der ikke mulighed for at vurdere elevens beliefs i en klasseorienteret kontekst. De generelle tendenser som afsløres gennem spørgeskemaer og interview er ikke ukendte. Det er meget sammenfaldende med det som i KOM-rapporten (Niss et al. 2002, s ) nævnes som relevansparadokset og motivationsproblemet. Del 2 side 21 af 53

124 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del diagnose På baggrund af detektionstesten og det første interview kan vi konkludere, at vi har en elev der snubler i de sproglige formuleringer og ikke kan se nogen nytte af at lave matematiske beviser som det sker i den daglige undervisning. Hvis hun skal bevise noget, foretrækker hun et empirisk bevisskema uden dog at kunne fortælle, hvor mange eksempler der skal til før man kan føle sig overbevist om, at en given påstand er rigtig. På den baggrund besluttede vi at designe en interventionsseance, hvor vi forhåbentlig kunne få hende til at se nytten af at bruge variable, når man skal prøve at overbevise nogen om, at en given matematisk påstand er rigtig. Del 2 side 22 af 53

125 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 3: Intervention På baggrund af detektionstesten og første interview designede vi bl.a. nedenstående opgaver til andet interview. INTERVENTIONSOPGAVER Indledende opgave: Kubers rumfang ved fordobling af sidelængderne (bilag F) Problem 1: Vælg et tilfældigt tal læg 7 til træk 4 fra og træk yderligere tallet, som du valgte først fra. Resultatet af ovenstående regnestykke giver altid tallet 3. Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at udsagnet altid er korrekt. Problem 2: Vælg et tilfældigt tal. Gang tallet med sig selv. Læg 10 til. Udsagn. Resultatet af regnestykket giver altid et positivt tal. Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at udsagnet altid er korrekt. Problem 3: Vælg tilfældigt fire hele positive tal, der følger lige efter hinanden (fx 10,11,12 og 13). Læg tallene sammen. Undersøg om resultatet i eksemplet giver det mindste tal ganget med 4, plusset med 6. Undersøg om denne regel altid gælder. Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at reglen altid er korrekt. Afsluttende opgave: Kvadraters areal ved fordobling af sidelængderne (bilag F) Alle opgaver er relativt simple, så det er det at over(bevise) om det rigtige i udsagnet i opgaven, der bliver det centrale, så eleven ikke udfordres på andre matematik kompetencer. Inspireret af bogen Thinking Mathematically (J.Mason et. al, 2010, s.89) har vi i hver af opgaverne valgt formuleringen Forestil dig at du skal overbevise din fjende om at udsagnet altid er korrekt. Dette var for at motivere elev A til at gøre sit yderste for at argumentere præcist. Ideen i opgaverne er, at elev A først skal se på opgaven med kuberne, og så ønsker vi at se, om hun bliver træt og prøver, om hun kan finde på en mere generel måde at overbevise andre om, at volumenet bliver 8 gange større, når sidelængden fordobles. Derefter skulle hun så se på problem 1-3. Til sidst ville vi så præsentere hende for problemet med kvadraterne for at teste, om der var nogen overføringsværdi fra kubeopgaven, altså se om der havde fundet læring sted. Der er et par ydre omstændigheder omkring interviewet, det er værd at nævne. Vi var 2 lærere til stede under interviewet (LG og AM). Vi havde inden interviewet foreslået elev A, at AM, som ikke er hendes matematiklærer, skulle forestå interviewet for at fjerne overvejelser i forhold til karakterer, forhåndsforventninger om hende mv. fra interviewsituationen. Det følte hun sig ikke tryg ved, så derfor blev det LG der forestod interviewet, og AM var til stede som observatør. Efter interviewet forlod hun straks lokalet uden nogen kommentarer. Det virkede nærmest lidt demonstrativt, så hun kan have følt sig noget usikker ved situationen, selvom det ikke kom til udtryk under selve interviewet. Del 2 side 23 af 53

126 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Under interviewet gik elev A i gang med Kube opgaven dog under inddragelse af en lommeregner (vi har desværre ikke nogen god dokumentation af interviewet, da vi ikke fik startet lydoptagelsen på vores smart pen rigtigt). I den første udregning (kube opgaven fra bilag F) kunne hun se, at rumfanget var 8 gange større ( kuben). Ved den anden udregning ( kuben) gættede hun fejlagtigt på at rumfanget var 27 gange større. Formodentlig inspireret af at hun lige havde set at kuben med sidelængde 2 og et rumfang på 8 fik et 8 gange så stort rumfang ved fordobling af sidelængderne. Her var rumfanget af den lille kube 27, så måtte rumfanget af kuben med dobbelt sidelængde have et rumfang der var dobbelt så stort. Hun regnede efter på lommeregeren og nåede frem til det rigtige resultat. Også ved det tredje eksempel gættede hun på 27 gange større, inden hun gik regnet efter. Herefter var hun næsten overbevist om, at svaret hver gang var 8. Direkte adspurgt om det så gælder altid, svarer hun Nej, det er svært at sige. Hun fik ikke af sig selv en ide til, hvordan man kunne give et generelt bevis. Her var læreren nok for utålmodig. Elev A blev ikke kørt så træt i kube opgaver, at hun af sig selv begyndte at søge mere generelle metoder. Læreren spurgte hende, hvad vi plejer at gøre i matematik, når der er noget vi ikke kender? Den ide var hun straks med på, så hun kaldte længden af den ene side x og efter lidt diskussion om længden af de andre sider på en kube skriver hun at rumfanget er x x x. Så er der problemet med kuben med dobbelt så store sider, efter lidt diskussion skriver hun 2x 2x 2x, først får hun sagt, at hun nu skal isolere x, men gør dog det rigtige og får regnet ud, at det giver henholdsvis x 3 og 8x 3 og dermed, at rumfanget af en kube med sidelængder, der er dobbelt så store som en anden given kube, er 8 gange større end rumfanget af den første kube. Så gik vi over til problem nummer 1. Her havde hun helt accepteret ideen om, at man kunne bruge variable, måske fordi det her mere lignede en almindelig matematikopgave. Hun skrev umiddelbart, uden at sige noget: Så i et hug fik hun vist at resultatet var 3. Hun havde dog lidt svært ved at udtrykke, at det var det, hun havde gjort. Vi ser måske også her spor af et autoritativt bevisskema, i og med at hendes udregning viser at resultatet er 3 som der står i opgaven, så har autoriteten talt, og det er ikke nødvendigt med yderligere forklaringer. Den meget direkte tilgang til opgaveløsningen skyldes måske, at formuleringen i opgaven lignede noget A havde set før, så derfor gik hun uden videre i gang med at indføre en variabel, da ritualet omkring matematikopgaver plejer at være sådan. I problem nummer 2 skrev hun umiddelbart: Da læreren så gik hende lidt på klingen mht. om hun havde bevist påstanden i opgaven kom hun straks på den ide, at hun skulle teste med et negativt tal og så, at det ikke gav noget problem. Hun kom dog ikke af sig selv på, at undersøge om påstanden var korrekt for x=0, men kunne straks se at resultatet her også var positivt. I problem nummer 3 skrev hun umiddelbart, nærmest samtidigt med at hun læste opgaven: Del 2 side 24 af 53

127 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Nu havde hun helt købt ideen om, at indføre variable i opgaver, hvor man skal bevise en generel påstand om nogle tal. Her gik hun dog i stå og der udspandt sig en diskussion om problemet med en ligning med 4 ubekendte, efter lidt diskussion fik hun en ide og skrev: og problemet var løst. Hun havde dog svært ved at få sagt, at hun nu rent faktisk havde givet et generelt bevis for påstanden i opgaven. Så i problem nummer 2 og 3 ser vi nogenlunde samme mønster som i problem nummer 1. Så vendte vi os mod opgaven med kvadraterne (bilag F). Her gik hun i gang fuldstændig som i opgaven med kuberne. Der var ingen refleksion og ikke noget forsøg på at starte med at være smart og indføre variable. Så først da hun bliver mindet om situationen med kuberne, indførte hun variable og fandt frem til at det gjaldt helt generelt, at kvadraterne med de fordoblede sidelængder havde fire gange så stort et areal. Opsummering efter interview 2 Vi kan altså konstatere, at elev A er en elev der går direkte til en opgave og prøver at gøre det, hun bliver bedt om. Når der er givet nogle taleksempler, der skal regnes igennem, gør hun det uden at overveje, om der findes mere generelle metoder. Hun kan fint håndtere variable, men indfører dem ikke af sig selv, selvom det kunne spare hende for noget arbejde. Det er helt i tråd med hendes empiriske tilgang til beviser, som vi så det i detektionstesten. I problem 1-3 håndterer hun ret tvangfrit indførelsen af variable for at overbevise sin fjende om påstanden, og får hurtigt overbevist fjenden om påstandene i opgaverne, men hun har meget svært ved mundtligt at udtrykke, hvad det er hun har gjort. Hun mangler tydeligvis et sprog til at udtrykke sig om matematiske sammenhænge, det kunne være fordi hun har problemer med kommunikationskompetencen (Niss 2002), men der kunne også være andre ting på spil. Det kan måske være noget af forklaringen på, at hun har svært ved at læse matematiske opgaver, som vi konstaterede i forbindelse med det første interview. Hvis vi ser på A s besvarelse af spørgeskemaet om beliefs, så ser vi, at hun finder, at det meste matematik ikke har noget med virkeligheden eller dagligdagen at gøre. Af de ting, der nævnes i spørgeskemaet, er det kun statistik, hun finder vigtigt, så måske havde hun haft nemmere ved at formulere sig om svar og konklusioner, hvis opgaverne havde ligget inden for statistikken, som i hendes optik er mere virkelighedsnær. En anden faktor, der kan spille ind, er, at vi har at gøre med en elev, hvis motivation for at klare sig godt i matematik ifølge belief spørgeskemaet primært kommer fra et ønske om at få gode karakterer. På den baggrund kan man så undre sig over, at hun ikke udviser større interesse i, hvad det er vi søger at opnå med vores projekt. Elev A kan fint håndtere variable, når hun bliver tvunget til det, men vender tilbage til sit empiriske bevisskema, så snart hun bliver det mindste i tvivl om hvad hun skal gøre. Vi ser også at hun mangler et sprog, som hun kan bruge, hvis hun skal udtrykke sig mundtligt om matematik. Så hvis vi skulle arbejde videre med hende, skulle hun trænes i at læse matematik tekster højt, og så Del 2 side 25 af 53

128 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik skulle hun kigges over skulderen i forbindelse med opgaveløsning og her tvinges til at forklare verbalt, hvad hun gør. Hun er måske et meget godt eksempel på de problemer der omtales i Dreyfus (Dreyfus, 1999) artikel, hvor han diskuterer det problem, at matematiklærere og matematikbøger sjældent er gode til at forklare/beskrive, hvad de forventer af deres elever, når de fx. beder dem vise at, hvad kræves der så for at en besvarelse er dækkende (Dreyfus, 1999 s. 97). Havde Elev A i højere grad været trænet i, at argumentere for sine resultater og hvordan/hvorfor hun var nået frem til dem, så ville det formodentlig heller ikke være så fremmed for hende at forklare, hvad det var hun havde vist med sine udregninger i problemerne fra interviewet. Del 2 side 26 af 53

129 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 4: Diskussion Refleksioner over vores diagnostisering og interventionsforløb Lige fra detektionstesten (bilag A) havde vi en klar forventning til, at elev A havde et empirisk bevisskema. Efterfølgende blev eleven interviewet, og hun arbejdede med spørgsmål i interventionsforløbet. Vores observationer taler for, at hun stadig i vid udstrækning vælger det empiriske bevisskema. Selv når hun får et spørgsmål hvor det skal vises at noget gælder for ethvert tal, så holder hun stædigt fast ved, at man så bare skal prøve med ekstra mange tal indtil, man når et eller andet resultat, der virker tilfredsstillende. Formålet med interventionsforløbet var således at få enten be- eller afkræftet vores hypotese om et empirisk bevisskema. Som angivet tidligere i rapporten fik vi bekræftet, at elevens tilgang til opgaven Rumfanget af kuber var af empirisk art. Hun beviste ikke af sig selv, at en kubes rumfang 8 dobles hvis sidelængderne fordobles. Det var først da hendes lærer foreslog at indføre en variabel for kubens sidelængde, at hun løste problemet. Vi ser også, at eleven (muligvis) ikke har en klar opfattelse af generalitet i de matematiske kontekster hun bliver sat i. Hun opdagede altså slet ikke, at hun faktisk havde udført et generelt bevis for påstanden. I problem 1-3 i interventionen ses det, at eleven faktisk relativt nemt ser/lærer, at tallene kan repræsenteres via symboler (x er) hun når frem til det forventede generelle resultat, men kan så ikke formulere, at det netop er et generelt resultat. Hvordan kan dette være? Efter have observeret eleven i de 2 interviews mener vi, at elevens matematikvanskeligheder er af mere kompleks art end vi først havde forestillet os. Der er med andre ord flere ting på spil. Vi mener, at elevens bevisskema er en blanding af et empirisk og et autoritativt bevisskema. Da hun fik det afgørende hint med indførelse af en variabel, tog det autoritative bevisskema over og drev hende til at komme videre i beviset. Efter interviewet synes vi faktisk, at vi havde rykket hendes bevisskema henimod det ønskelige deduktive. Det som talte for at hendes skema var rykket lidt, var at hun ret hurtigt løste de bevisopgaver hun blev stillet. Dog viste det sig, som tidligere skrevet, at hun var underlig blank, da hun blev præsenteret for opgaven Arealet af kvadrater. Dette undrede os, men vi mener, at dette netop peger på, at der er andre ting på spil. Hvis vi tilføjer, at eleven også har det autoritative bevisskema foruden det empiriske, mener vi at dette giver en mere sikker diagnose. Hvorfor er det så, at vi mener at eleven også er i besiddelse af det autoritative bevisskema? I det øjeblik læreren foreslog at indføre en variabel for sidelængden, fanger eleven dette og opskriver umiddelbart, rumfanget V som x x x. Hun gør hvad læreren siger. Hun indfører en længdevariabel x, men siger så lige efter, at hun skal isolere x. Denne bemærkning understøtter, at hun indfører x, fordi læreren siger det, men har (måske) i øjeblikket ikke forstået, hvad det skal gøre godt for. Bemærkningen om, x skal isoleres kunne pege på, at grunden til, at hun ikke selv indfører x er, fordi dette symbol ikke passer ind i denne sammenhæng, men er noget der hører hjemme i en Del 2 side 27 af 53

130 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik ligning. Hun ser (måske) brugen af symbolet x som noget der hører til i en bestemt sammenhæng. Efter den indledende kube opgave løser hun problem 1, 2 og 3 uden de store problemer. I første omgang var vi forvirrede over dette, men samtidig også imponerede. Vores interventionsforløb havde altså hjulpet! Men desværre må vi nok se i øjnene, at det ikke er det, som er på spil. Eleven har svært ved at starte og få afrundet opgaven, selvom hun kan manipulere med symboler virker det ikke som om, der er en ordentlig forståelse. Hun har meget svært ved at forklare hvad man kan konkludere ud fra hendes resultater. En nærliggende ramme, som dette kan ses i, kunne være, at eleven har et autoritativt bevisskema. Hun lærer, hvordan hun skal løse et matematisk problem i en specifik kontekst, men har, som sagt, problemer med selv at starte processen og problemer med at konkludere på den. Dette understøttes af hendes egne udsagn, hvor hun i interview 1 spørgsmål 11 angiver, at hun har svært ved at forstå, hvad opgaven går ud på, og i opgaverne i interview 2 ikke kan formulere, at hendes resultat er generelt. Alt dette stemmer godt overens med, at vi har at gøre med en manifestation af det autoritative beviskema (jvf. Harel & Sowder, 1998). I opgaven Arealer af kvadrater starter hun nærmest forfra. Hun starter med 2 2 og dernæst 3 3 osv. Denne start på samme måde viser med al tydelighed, at hun vender tilbage til sit empiriske bevisskema. Hvis eleven ikke havde været blank i Arealer af kvadrater ville vi tolke det som, at hun kunne overføre, hvad hun havde lært fra kubeproblemet. Hun havde lært noget, og vi ville mene, at hun var på vej mod det deduktive bevisskema. Når hun derimod ikke kan komme i gang med opgaven mener vi, at dette kan tolkes som, at eleven netop er i besiddelse af det autoritative bevisskema. Hun ser slet ingen overførelsesværdi fra den ene opgave til den anden. Der er derfor meget der tyder på, at hun ikke har forstået kubeopgaven tilfredsstillende, men blot undervejs har ladet sig styre af autoriteten (læreren) og det har været nok for hende. Erfaringer fra interventionsforløbet Forløb vores intervention som det skulle? Ikke helt, på baggrund af vores erfaringer ville vi have valgt at ændre på rammerne for interviewet. Det var som før skrevet formålet med interventionsforløbet, at få rykket ved elevens empiriske bevisskema. Uanset om vores elev er i besiddelse af yderligere et bevisskema, ville det ikke rykke ved det faktum, at vi skulle have bragt eleven i en presset situation, så eleven af sig selv indså nødvendigheden af at indføre en variabel x. Her greb intervieweren for hurtigt ind i kubeopgaven, så eleven aldrig blev bragt i denne pressede situation. Hvis intervieweren derimod havde støttet eleven i hele tiden at regne rumfangene ud med specifikke talværdier og bare havde fortsat med at sige: Jeg er ikke overbevist, hvad nu hvis sidelængden er. Altså, hvor langt kunne hun drives ud? Ville hun bare gøre det? Eleven kunne tænke: Læreren støtter mig hele tiden i at jeg skal regne med tal. Hvor mange forskellige rumfang skulle hun regne ud før hun protesterede? Men den egentlige ide med dette nærmest absurde regnen ud hele tiden, ville være netop at bringe eleven i den føromtalte pressede situation. Dette kunne måske få eleven til at tænke: Hvorfor gør jeg egentlig dette? Kan man ikke gøre dette på en anden måde? Kan dette virkelig være meningen? Det er da for tåbeligt at sætte Del 2 side 28 af 53

131 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik tal ind hele tiden! Hvis eleven begynder at tænke disse tanker, har man den naturlige motivation for at indføre det generelle bevis. Dette understøttes af dette citat students have to feel a need for general proof (Harel & Sowder 2007 / Leng, 2010). Ved således at have sat eleven i en presset situation kunne vi (måske) have motiveret hende til at se fordelen ved det generelle bevis. Beliefs Det virker som om, der er god korrespondance mellem Elev As beliefs og hendes bevisskemaer. Af spørgeskemaet om beliefs fremgår det, at hun har en ekstern motivation, drevet af gerne at ville have gode karaktere og påvirket af, at hun anser matematik som en fordel at beherske i forbindelse med fremtidige studier/jobs. Men dybest set er hun ikke interesseret i matematik. Det var nok også det der kom til udtryk ved at hun nærmest styrtede ud af døren ved afslutningen på det andet interview. Der var altså ingen umiddelbar nysgerrighed omkring, hvad hele seancen gik ud på og hvordan hun havde klaret det. I interventionen i opgaven med kuberne og kvadraterne har eleven altså ikke et indre drive, som f.eks. ansporer hende til at finde en generalitet/et system ud af alle taleksemplerne. Hun har også tidligere angivet, at hun ikke synes, at retvinklede trekanter (geometri) kan anvendes til noget i dagligdagen, så emnet som sådan ansporer hende heller ikke i en motiverende retning. Opsummering Tanken bag ved vores intervention var, at tvinge eleven væk fra det empiriske bevisskema hen mod en mere deduktiv tilgang til bevisførelse. Meningen var, at eleven skulle blive træt af at få det samme resultat ved at sætte en masse forskellige tal ind, og at hun der igennem ville føle nødvendigheden i at udvikle et nyt bevisskema. Vores umiddelbare konklusion er, at interventionen til en vis grad lykkedes. Ifølge teorien har vi ikke bragt eleven i en situation, hvor hun virkelig følte et behov for en mere generel bevisførelse. Vi så at hun hurtigt tog ideen om brug af variable til sig, men også at når hun så opgaver hvor konteksten var lidt anderledes skulle introduceres til ideen om brug af variable igen. Interventionsdesignet tog ikke højde for, at eleven også havde et autoritativt bevisskema, og at hendes beliefs var højt præget af ydre motivation. Vores opgaver vil virke bedst på en elev, der er nysgerrig over for resultatet. Interventionen pressede ikke eleven så hårdt, at hun følte at den didaktiske kontrakt blev brudt så hun blev nødt til at tænke nyt (Brousseau, 1997). Vi havde regnet med, at kontrakten ville blive brudt ved, at eleven skulle vise rumfangsopgaven rigtig mange gange. Men desværre kom vi nok til at afbryde denne proces for tidligt. Alle opgaver lagde også op til, at man skulle vise at noget gjaldt generelt - at noget var sandt. Og det er jo også det vi plejer at gøre i undervisningen, så måske ville det have været bedre at formulere opgaver, hvor eleven skulle vise at noget ikke gjaldt. Del 2 side 29 af 53

132 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 5: Konklusion Gennem vores aktiviteter med elev A kan vi konkludere, at hun som udgangspunkt bruger et empirisk bevisskema til at afgøre sandhedsværdien af de matematiske udsagn/problemer som hun blev præsenteret for. Denne observation er fastlagt gennem vores diagnose på baggrund af detektionstesten, interviews og interventionen. Dog er der stærke indikationer af, at eleven også har et autoritativt bevisskema og måske har hun også problemer med kommunikationskompetencen. Dette kom frem i analysen af interventionen som et muligt forklaringsgrundlag på dels, hvorfor eleven havde svært ved at forstå opgaverne og dels, hvorfor det ikke var muligt for hende at formulere generaliteten af et korrekt generelt resultat. Herudover så vi også en manglende evne til, at løse opgaver af samme type i en anelse modificeret kontekst. Elevens holdninger (beliefs) til matematik indeholder en tydelig ekstern motivation, god selvtillid til egne evner (hun tror på det kan læres hvis man arbejder med det). På den anden side udtrykkes også en manglende interesse for faget både hos hende selv og blandt klassekammeraterne. Hun opfatter ikke matematik i gymnasiet som noget, der kan bruges i dagligdagen. Hun ser helst læreren som initiator til matematikaktiviteter. Elevens holdninger understøtter vores tolkning af, at eleven også anvender det autoritative bevisskema. Vores lille interventionsforløb var designet til en person med et empirisk bevisskema. Vi blev således overrumplet af elevens uselvstændige/autoritative tilgang til opgaverne og har efterfølgende måttet konkludere, at vi kun fik rykket eleven en anelse fra det empiriske henimod den mere deduktive argumentation. Det lykkedes os at få hende til at indføre variable for en specifik type af opgaver. Men selvom hun således var blevet lidt bedre til at starte på denne type opgaver, så havde eleven svært ved at forstå essensen i, hvad det vil sig, at noget er bevist generelt i matematisk forstand. Del 2 side 30 af 53

133 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 6: Litteraturliste Brousseau, G., Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluner Academic Publishers, Dreyfuss, T. (1999), Why Johnny can t prove, educational Studies in mathematics 38, , Kluwer Academic Publishers. Education Committee of EMS (2011). Do theorems admit exceptions? Solid findings In mathematics education on empirical proof schemes. EMS Newsletter, December. Education Committee of EMS (2013). Solid Findings in Mathematics Education: Living with Beliefs and Orientations Underestimated, Nevertheless Omnipresent, Factors for Mathematics Teaching and Learning. EMS Newsletter, March. Harel, G. & Sowder, L. (1998). Students Proof Schemes: Results from Exploratory Studies, CBMS Issuses in Mathematics Education, Vol. 7, 1998 p Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. In: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Mason, J. et. al, Thinking Mathematically, 2. Ed., 2010, Pearson Educaion Limited, s.89 Niss, M. & Jensen, T. H. (Eds.), (2002): Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning, Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsens temahæfte nr. 18. Op t Eynde, P., de Corte, E. & Verschaffel, L. (2002). Framing students mathematics-related beliefs In: G. C. Leder, E. Pehkonen, & G. Tørner (eds.): Beliefs: A hidden Variable in Mathematics Education? (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Shoenfeld, A., Learning to think mathematically, 1992, University of California, Berkeley Yackel, E. and Cobb, P.,Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 27, No. 4 (Jul., 1996), pp National Council of Teachers of Mathematics. Del 2 side 31 af 53

134 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Kapitel 7 BILAG A Del 2 side 32 af 53

135 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 33 af 53

136 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 34 af 53

137 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 35 af 53

138 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 36 af 53

139 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 37 af 53

140 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 38 af 53

141 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Del 2 side 39 af 53

142 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik BILAG B Interview med elev A, (de indklippede figurer stammer fra besvarelsen i detektionstesten). Lærer: Hvordan vil du beskrive eller forklare, hvad matematik er med dine egne ord? Elev: Altså, den er en problemstilling, altså det er en udregning og resultater. Lærer: OK, det kunne man selvfølgelig godt sige. Men om regning og matematik, vil du kunne forklare forskellen på de to ting? Er der for dig en forskel på dem? Elev: Ikke en stor forskel. Altså regning det er sådan noget med to sammen med to, og trække fra hinanden og sådan noget, og matematik det er sådan noget med beviser, og det er mere kompliceret. Lærer: OK. Det er noget med beviser, siger du? Hvad forstås der ved at bevise noget i matematik? Elev: Altså hvis man har en formel, så skal man bevise det ved at sætte nogle tal ind, og nogle forskellige ting og sådan noget, et eller andet med formlen til sidst ellers. Lærer: Beviser man noget ved at sætte tal ind? Elev: Nej, det er lidt svært at forklare, synes jeg. Lærer: Kan du give nogle eksempler på nogle ting, vi har bevist i matematiktimerne? Elev: Øh, vi har bevist en arealformel i integralregning. Lærer: Ja, det er rigtigt. Har vi snakket om andre? Elev: I 1. G lavede vi noget med cosinus- og sinusrelationerne. Lærer: Ja, det er rigtigt. Elev: Og trigonometri generelet. Noget med 2. gradsligninger. Lærer: Har du en idé om, hvorfor man bruger tid på at bevise noget i matematik. Kunne man ikke bare regne løs? Elev: Sådan at man måske forstår, hvad man gør. Sådan at man (svært at høre) finder ud af, hvad der er bag formlen. Lærer: OK. Det kunne man godt sige. Er der en fordel ved, at man har bevist et eller andet. Altså,du ved at vi har bevist, lad os bare sige cosinusrelationerne. Er der en fordel ved det? Elev: Altså, det synes jeg ikke. Jeg bliver bare mere forvirret selv. Lærer: OK. Du synes måske det er spild af tid? Elev: Ja. Del 2 side 40 af 53

143 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik I det følgende taler læreren med eleven om udvalgte opgaver i detektionstesten: Lærer: Hvis vi starter med at kigge på opgave 3. kan du sige noget om den? Elev: Jeg ville bare prøve at sætte nogle tal ind for at se,om den kunne løses. Lærer: OK. Hvad kunne det være for nogle tal? Elev:???, toere og femmere. Lærer: Hvor mange ville du så sætte ind for at sige at så ville det være rigtigt det der? Der står et ord der Elev: Ethvert et til ti. Det kommer an på, hvad for resultater man får, hvis man får et helt mærkeligt resultat, når man prøver fra et til ti, så skal man vel prøve flere gange for det. Lærer: OK, men lad os nu sige, at vi havde prøvet fra et til ti, og de alle sammen havde vist sig, at det var rigtigt det der. Kunne man så være sikker på at det gjaldt for ethvert (red. Tal) Elev: Nej. Lærer: Hvordan kunne man blive dette, tror du? Elev: Altså prøve med mange tal... Lærer: Hvad så med den næste 17 (Spørgsmål 17). Hvad tænker du omkring den? Del 2 side 41 af 53

144 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Elev: Altså, jeg ville starte med at gange 7,30 med 10 og 20 og så lægge 30 til begge to, og så se om, øhh, gange 7,30 20 gange er der dobbelt af det andet resultat. Lærer: Ja, det er rigtigt, det kunne man gøre. Man kunne simpelthen sætte tallene ind. Men kunne man også komme med et eller andet argument for om det blev det dobbelte eller ikke gjorde det? Kunne man argumentere uden at regne? Elev: At 20 er det dobbelt af 10 Lærer: Ja Så det var så det der kunne tale for at det skulle være det dobbelte, men var der noget som kunne tale i mod at det var det dobbelte? Elev: Så (svært at høre) 30 til begge. Lærer: Ja, præcis. Så det forrykker balancen Ja. Hvad med 20eren? Hvad tænker du om sådan en opgave? Elev: Den synes jeg også er (svært at høre ) ligt. Det er meget formuleringen.. den skal formuleres rigtigt før jeg forstår den matematik. Den er meget kringlet nogen gange. Lærer: Du synes simpelthen, at sproget er svært i denne opgave? Elev: Ja Lærer: Men der er jo givet et eksempel, ikke? Der står, hvis summen af to hele tal er lige så har de her valgt to tal, 3 og 11, og 3 og 11 lagt sammen er 14, og det er et lige tal. Så jeg vælger to tal, Del 2 side 42 af 53

145 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik det har vi gjort her, og summen er lige, så er produktet ulige. 3 gange 11 er 33, så det er i hvert fald rigtigt (eleven gentager / følger med i udregningerne mundtligt). Når vi kigger på 3 og 11. Og så Ali han siger så, hvis produktet af to hele tal er ulige, det var det eksempel vi lige havde, så er deres sum ulige. Det passer også på det der. Elev: Det er det samme. Lærer: Ja, så umiddelbart kunne det se ud til, at de har ret begge to, så man kunne tænke Elev: Men de.. det afhænger jo af hva for nogle tal, man vælger. Lærer: Det kunne man da godt forestille sig. Kunne vi finde et andet eksempel, hvor det ikke passede? Hvor begge påstande ikke passede? Elev: 5 og 4. (Der er stille og der regnes) Lærer: Hvis du lægger 4 og 5 sammen. Men det er jo ikke lige, men det er i hvert fald et problem med det eksempel, kan man sige, i forhold til det der. Så hvad så hvis vi to lige tal som eksempel? Elev: Hvis man tog 2 og 2, så ville det blive 4 i summen, og det ville blive 4 også (red. I produktet). Lærer: Ja, hvordan passer det i forhold til de der påstande? Eleven siger noget, men det kan ikke tydes. Lærer: Ja der i hvert fald et problem, vi kan finde nogle eksempler, hvor det bliver et problem. Så skal vi svare ja eller nej kan du gennemskue det? Elev: Altså, indholdet er vel jo det samme. Men det gælder ikke for alle tal. Det afhænger vel om det er et lige eller ulige tal. Lærer: Ja kan det være det? For hvis vi nu havde.. vi prøver med 2 og 2 - der var summen lige. Hvad med produktet? Elev: Det var også lige. Lærer: Ja, så der passer den der, ikke. Men hvis vi nu prøver hernede med, ja 2 og 2, dur slet ikke her, for 2 og 2 gange med hinanden, det giver et lige tal, så det dur ikke. Så der er i hvert fald et eller andet. Det kan ikke umiddelbart være det samme, vel? Elev: Nej Del 2 side 43 af 53

146 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Lærer: Lad os prøve at se på den sidste. Men der sagde du at formuleringen simpelthen var for mærkelig. Så den har du ikke rigtig nogen fornemmelse af overhovedet? Elev: Det er mærkeligt at lægge dem sammen og sige at (utydeligt) 30 procent. Og 30 procent af. Lærer: Ja det er i hvert fald mærkeligt. Men kunne det simpelthen være fordi det var forkert? Elev: Ja. Lærer: Det kunne man godt forestille sig? Hvad ville du tro ville være de rigtige tal, altså hvis man nu skulle have procentdelen for hele befolkningen? Ville det være større eller mindre en 69? Elev: Ikke meget mindre. Lærer: Har du nogen fornemmelse af, tror du, hvordan det ville være i forhold til 30 og 39? Elev: Jeg tror ikke der er nogen af dem, der kommer ud med mere (lidt utydeligt) jeg det de ligger sådan Lærer: Hvis vi nu forestiller os, at 39 og 30 procent er rigtigt. Og det der er taget af mændende og det der er taget af kvinderne. Hvis vi så skal have for befolkningen, for hele Danmarks befolkning. Tro du så procenten bliver tæt på 39 eller tæt på 30 eller tæt på 69? Hvad vil din fornemmelse være? Elev: Tæt på 39. De ville ligge imellem Lærer: Ok. Det lyder som et godt bud. Hvorfor tror du det, at de skulle lige imellem? Elev: Fordi 30 er lidt for lidt og 60 er lidt for meget. Lærer: OK det ville selvfølgelig være en måde at argumentere på. Kan du prøve at argumentere lidt mere matematik. Det her var så lidt mere fornemmelsesagtigt. Del 2 side 44 af 53

147 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Elev: Det ved jeg ikke. Lærer: Godt nok. Vi stopper her. Del 2 side 45 af 53

148 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik BILAG C Spørgeskema om beliefs Bedøm følgende udsagn. Brug følgende skala 1=meget uenig, 5=både/og, 9=meget enig, 0=kan ikke svare Matematik er vigtigt for at forstå andre fag i gymnasiet Det er vigtigt at kunne matematik, hvis man vil uddanne sig videre efter gymnasiet. Beviser i matematik har ikke noget med virkeligheden at gøre. Mine forældre går meget op i, at jeg klarer matematik godt. Jeg føler en tilfredsstillelse, når det er lykkedes for mig at regne en matematikopgave ud. Hvis jeg havde børn ville jeg råde dem til at blive gode til matematik. Jeg oplever ikke, at matematikundervisningen kan anvendes til noget i dagligdagen uden for gymnasiet. Når jeg får en opgave i matematik, går jeg straks i gang med at løse den selvom jeg måske ikke er klar over, hvordan det præcis skal gøres. Læreren bør altid gennemgå lignende opgaver før han/hun stiller en ny opgave, jeg selv skal løse. Man skal være født til at være god til matematik. Matematik handler for det meste om at bruge formler og sætte tal ind i formlerne. De fleste af mine venner synes at matematik i gymnasiet er kedeligt. I gamle dage havde man ikke så meget brug for at lære matematik. Jeg synes det burde være valgfrit, om man ville have matematik i gymnasiet. Hvis man bare skal have et arbejde efter gymnasiet, er det ikke så vigtigt at klare sig godt i matematik. Matematikken i folkeskolen er nok til at man kan klare sig i dagligdagen. Jeg tænker ikke så godt logisk, og det gør at jeg kan have svært ved matematikken. Hvis jeg havde arbejdet dobbelt så meget som jeg har gjort indtil nu med matematikken, ville jeg have kunne få en bedre karakter. Matematik er spændende, fordi det udfordrer mine evner. Del 2 side 46 af 53

149 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Det er meget vigtigt at kunne huske formler udenad i matematik. Jeg er ikke specielt interesseret i matematik, men jeg arbejder på det, fordi jeg gerne vil have det bedst mulige gennemsnit til min studentereksamen. I undervisningen spørger jeg helst ikke om det jeg ikke forstår, fordi jeg synes det er pinligt Blandt mine venner er det OK ikke at være god til matematik i gymnasiet. Problemet med matematik er, at det er for langt væk fra virkeligheden. De, der er gode til matematik, er også gode til at huske ting. Procentregning er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Mine jobchancer efter gymnasiet bliver forbedret, hvis jeg er god til matematik. Viden om cirklers og rektanglers areal er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. I matematik i gymnasiet lærer vi at regne. Retvinklede trekanter er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Statistik er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Jeg har altid brug for hjælp til at komme i gang med at løse en matematikopgave. Rette linjer er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Hvis man er god til matematik i gymnasiet bliver man bedre til at holde orden i ens udgifter. Dybest set er det ulogisk at bruge bogstaver i stedet for tal i matematik. Det er ret vigtigt for sygeplejersker at kunne regne. Det er meget vigtigt for læger at kunne regne. Matematik ville have været meget sjovere, hvis jeg havde arbejdet mere med faget i gymnasiet. Alle kan blive gode til matematik, hvis de arbejder nok med faget. Del 2 side 47 af 53

150 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik BILAG D Kategori Elev A afv Middel Spørgsmål Anvendelse 9 2,7 5,7 Beviser i matematik har ikke noget med virkeligheden at gøre. Anvendelse 5 2,1 4,9 Jeg oplever ikke, at matematikundervisningen kan anvendes til noget i dagligdagen uden for gymnasiet. Anvendelse 5 2,0 3,7 I gamle dage havde man ikke så meget brug for at lære matematik. Anvendelse 1 2,6 4,0 Hvis man bare skal have et arbejde efter gymnasiet, er det ikke så vigtigt at klare sig godt i matematik. Anvendelse 9 2,8 6,4 Matematikken i folkeskolen er nok til at man kan klare sig i dagligdagen. Anvendelse 5 2,5 4,5 Problemet med matematik er, at det er for langt væk fra virkeligheden. Anvendelse 5 1,8 7,6 Procentregning er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Anvendelse 1 2,1 4,4 Viden om cirklers og rektanglers areal er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Anvendelse 1 2,2 3,9 Retvinklede trekanter er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Anvendelse 9 1,9 6,9 Statistik er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Anvendelse 1 1,6 4,3 Rette linjer er et vigtigt emne, som man kan bruge i dagligdagen. Anvendelse 5 2,6 5,7 Hvis man er god til matematik i gymnasiet bliver man bedre til at holde orden i ens udgifter. Anvendelse 2,8 4,6 Det er ret vigtigt for sygeplejersker at kunne regne. Anvendelse 2,2 6,6 Det er meget vigtigt for læger at kunne regne. Evner 1 2,5 3,1 Man skal være født til at være god til matematik. Evner 1 2,5 3,6 Jeg tænker ikke så godt logisk, og det gør at jeg kan have Del 2 side 48 af 53

151 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik svært ved matematikken. Evner 9 2,1 7,5 Hvis jeg havde arbejdet dobbelt så meget som jeg har gjort indtil nu med matematikken, ville jeg have kunne få en bedre karakter. Evner 1 2,6 3,4 Jeg har altid brug for hjælp til at komme i gang med at løse en matematikopgave. Evner 9 2,4 7,5 Alle kan blive gode til matematik, hvis de arbejder nok med faget. Interesse 5 2,6 5,3 Matematik er spændende, fordi det udfordrer dine evner. Interesse 5 2,4 4,5 Matematik ville have været meget sjovere, hvis jeg havde arbejdet mere med faget i gymnasiet. Matematiske normer Matematiske normer Matematiske normer Matematiske normer Matematiske normer Matematiske normer Matematiske normer 5 2,2 5,3 Når jeg får en opgave i matematik, går jeg straks i gang med at løse den selvom jeg måske ikke er klar over, hvordan det præcis skal gøres. 9 1,7 7,2 Læreren bør altid gennemgå lignende opgaver før han/hun stiller en ny opgave, jeg selv skal løse. 5 1,7 5,6 Matematik handler for det meste om at bruge formler og sætte tal ind i formlerne. 9 1,5 6,9 Det er meget vigtigt at kunne huske formler udenad i matematik. 5 2,0 5,0 De, der er gode til matematik, er også gode til at huske ting. 5 2,5 3,7 I matematik i gymnasiet lærer vi at regne. 1 2,5 3,4 Dybest set er det ulogisk at bruge bogstaver i stedet for tal i matematik. Motivation 9 1,8 7,9 Jeg føler en tilfredsstillelse, når det er lykkedes for mig at regne en matematikopgave ud. Motivation 9 2,5 7,3 Jeg er ikke specielt interesseret i matematik, men jeg arbejder på det, fordi jeg gerne vil have det bedst mulige gennemsnit til min studentereksamen. Relevans 5 2,2 4,7 Matematik er vigtigt for at forstå andre fag i gymnasiet Relevans 9 2,0 7,3 Det er vigtigt at kunne matematik, hvis man vil uddanne sig Del 2 side 49 af 53

152 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik videre efter gymnasiet. Relevans 5 3,1 4,1 Jeg synes det burde være valgfrit, om man ville have matematik i gymnasiet. Relevans 9 2,4 7,0 Mine jobchancer efter gymnasiet bliver forbedret, hvis jeg er god til matematik. Socio normer 2,2 5,9 Mine forældre går meget op i, at jeg klarer matematik godt. Socio normer 5 2,0 7,4 Hvis jeg havde børn ville jeg råde dem til at blive gode til matematik. Socio normer 9 1,8 7,5 De fleste af mine venner synes at matematik i gymnasiet er kedeligt. Socio normer 1 3,0 4,3 I undervisningen spørger jeg helst ikke om det jeg ikke forstår, fordi jeg synes det er pinligt Socio normer 5 2,8 6,9 Blandt mine venner er det OK ikke at være god til matematik i gymnasiet. NB Elev A svarer kun mulighederne 1,5 og 9. Hun har sandsynligvis ikke opfattet, at man kunne angive mellemliggende værdier. Det kan få hendes standpunkter til at virke mere yderlige for nogle af spørgsmålene. Del 2 side 50 af 53

153 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik BILAG E Oplæg til første interview Forløb Introduktion, spørgsmål 1-3, break, diskussion Jeg giver en kort introduktion til interviewet og forløbet i det hele taget. 1. Hvordan vil du beskrive eller forklare hvad matematik er? (Er der forskel på regning og matematik? Er det vigtigt at løse opgaver?) 2. Hvad mener du et matematisk bevis er for noget? (Du kan evt. give eksempler på matematiske beviser du kender. Kender du forskellige typer af beviser?) 3. Hvorfor tror du man bruger tid på at bevise noget i matematik? (Bevise matematiske sætninger) 4. Break her er der tid til at kigge på spørgsmål 3, 17, 20 og 11 fra testen (side 2 og 3 her) 5. Diskussion om de enkelte opgaver, herunder skulle der gerne blive mulighed for at diskutere: - Hvornår et argument er godt nok - Hvor mange eksempler der skal til før noget er bevist - Hvad det vil betyde at man har et modeksempel - Sproget i opgaverne (fx ethvert i opg. 3) Og så de 4 spørgsmål fra detektionstesten: Spørgsmål 3 Begrund, at ethvert tal er løsning til ligningen 3x - x = 2x Spørgsmål 17 En taxa i Århus tager et startgebyr på kr. 30,00 og kr. 7,30 pr. kørt kilometer. Ali skal køre 10 kilometer med taxa i Århus og Aya skal køre 20 kilometer. - Er det rigtigt at Aya skal betale dobbelt så meget som Ali? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: - Giv en kort begrundelse for dit svar. Spørgsmål 20 Aya og Ali betragter tallene 3 og 11. De bemærker, at deres sum (3 + 11) er et lige tal, mens deres produkt (311) er et ulige tal. Aya siger: Hvis summen af to heltal er lige, så er deres produkt ulige. Ali siger: Hvis produktet af to heltal er ulige, så er deres sum lige. - Er indholdet i Ayas og Alis udsagn det samme? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: - Begrund dit svar Spørgsmål 11 Et dansk folketingsmedlem udtalte i en folketingsdebat i 1999 følgende: Når 39% af den mandlige befolkning og 30% af den kvindelige befolkning aldrig kommer på bibliotekerne, vil det sige, at i alt 69% af hele befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne. - Vurdér denne påstand. Del 2 side 51 af 53

154 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik BILAG F Rumfanget af kuber Eksempler på kuber Hvor mange gange større bliver rumfanget af en terning, når sidelængden fordobles? Brug evt. tabellen i din argumentation. Prøv på bedst mulig måde at argumentere for dit svar. Forestil dig, at du skal overbevise din fjende om at det, du argumenterer for, er korrekt. Rumfanget af en terning Terningen med den fordoblede sidelængde (Hvor mange gange er rumfanget blevet større) 2 x 2 x 2 4 x 4 x 4 3 x 3 x 3 4 x 4 x 4 5 x 5 x 5 6 x 6 x 6 10 x 10 x x 50 x 50 Del 2 side 52 af 53

155 Del 2 Ræsonnementer, beviser og bevisførelse i matematik Arealet af kvadrater Eksempler på kvadrater Hvor mange gange større bliver arealet af en kvadrat, når sidelængden fordobles? Brug evt. tabellen i din argumentation. Prøv på bedst mulig måde at argumentere for dette. Forestil dig, at du skal overbevise din fjende om at det, du argumenterer for, er korrekt. Kvadrat Kvadrat med fordoblede sidelængder (Hvor mange gange er arealet blevet større) 2 x 2 4 x 4 3 x 3 4 x 4 5 x 5 6 x 6 10 x x 50 Del 2 side 53 af 53

156 Del 3 Matematikvejlederuddannelsen Modellering Skrevet af Lars Gråbæk, Anders Marcussen, Mikkel Rønne

157 Del 3 - Modellering Indholdsfortegnelse Indledning... 5 Kapitel Teori... 7 Hvad siger læreplanerne?... 7 Hvorfor modellering i gymnasiet?... 9 Kapitel Empiri Indledning Analyse af detektionstestens besvarelser Endelig identifikation af elev A Elev A s svar på detektionstestens spørgsmål Elev B og Elev C Elev B: Elev C: Opsummering: Afdækning af elev A s modelleringskompetencer Interview 1 den Analyse Interview 2 afholdt mandag den Analyse Diagnose Kapitel Intervention Intervention Beskrivelse af opgaverne i andet modul Beskrivelse af 2. interventionsmodul Konklusioner omkring 2. interventionsmodul Resten af klassen i 2. interventionsmodul Beskrivelse af opgaverne i 3. interventionsmodul Beskrivelse af 3. interventionsmodul Del 3 side 2 af 114

158 Del 3 - Modellering Konklusioner omkring 3. interventionsmodul Beskrivelse af 4. interventionsmodul Konklusion på interventionen Kapitel Sluttest Elev A s besvarelse af sluttesten Kapitel Diskussion Diskussion af diagnose Diskussion af intervention Kapitel Konklusion Kapitel Perspektivering Kapitel Litteraturliste Kapitel Bilag Resultaterne fra detektionstesten Bilag Svar fra detektionstesten opdelt efter kategori Bilag A besvarelse af detektionstesten Bilag B s besvarelase af detektionstesten Bilag C s besvarelse af detektionstesten Bilag Interview Bilag Opgaverne til 2. interview Bilag Elektron hastighedsopgave brugt ved introduktion af modelleringscyklen Del 3 side 3 af 114

159 Del 3 - Modellering Bilag Opgaverne til intervention del Bilag Opsummering af 2. interventionsmodul Bilag Opgaver til intervention del Bilag Sluttest Bilag Elev A s sluttest Del 3 side 4 af 114

160 Del 3 - Modellering Indledning Emnet for opgaven i 3. semester er modellering. Det er et emne, som er meget relevant for os som matematik- og fysiklærere i gymnasiet, da der indgår elementer af modellering i begge fag. Det er en fælles erfaring for os, at vores elever har en noget famlende tilgang til emnet, og de færreste bliver gode til at modellere. De behersker standardopgaverne, men opgaverne skal ikke være ret meget ud over det sædvanlige før en stor del af eleverne står af. I matematik udsættes eleverne for en lidt forenklet form for modellering, hvor de via regression skal tilegne værdier til en given model. Her kan de bliver bedt om at validere modellen i forhold til et punkt, der ligger uden for det område, der har været en del af regressionen. Og vores personlige erfaring viser, at mange elever også har relativt store problemer her. På den baggrund har det været interessant for os at trænge lidt dybere ind i, hvad man ved om fordele og ulemper ved i højere grad at inddrage modellering i den daglige undervisning. Det ser ud til, at modellering kan bidrage til at give eleverne en større selvstændighed i forhold til problemløsning (Lesh 2003, Jensen 2007) men til gengæld knap så sikre færdigheder i forhold til rene færdighedsopgaver (Jensen 2007). Så der er med modellering som med alle mulige andre tilgange, både fordele og ulemper. Vi havde fra begyndelsen en ide om, at vi godt ville arbejde med en eller flere elever, der var flittige og interesserede, men manglede lidt det med at tænke ud af boksen, og som f.eks. havde meget svært med visse typer af modelleringsopgaver i skriftlig fysik. Det er en elevtype, som vi ofte støder på i den daglige undervisning - de findes ofte i den gruppe, som mange steder omtales som de stille piger eller de flittige piger. Det var sådanne elever, vi søgte at lokalisere på baggrund af detektionstesten og lærerens forhåndskendskab til klassen. Vi besluttede os for at afvikle detektionstesten i en 3.g fysikklasse (en Team Danmark klasse der afslutter B-niveau efter 3 år) på Falkonergården og en 1g på Brøndby Gymnasium. I forhold til det videre forløb blev fysik klassen, hvor læreren havde et godt forhåndskendskab til eleverne hurtigt valgt. I vores intervention lod vi en stor del af opgaverne tage udgangspunkt i fysik. Efter at være trængt lidt dybere ned i litteraturen er vi kommet i tvivl om, om det var et klogt valg. I hvert fald er der artikler, der viser, at det med at fysificere en given fysisk problemstilling kan volde en del vanskeligheder (Niss M 2010). På den baggrund har vi måske ved dette valg tilført en ekstra kompleksitet til vores interventionsforløb. Vi spekulerer dog på om ikke det er et helt alment problem, hvis man rammer områder af den ekstramatematiske verden, som de elever, man arbejder med, ikke har noget særligt godt kendskab til. Det kunne se ud til, at problemstillingen bare er mere veldokumenteret i forhold til fysik end i forhold til andre fag. Efter detektionstesten endte vi med kun at udvælge en elev, der skilte sig ud i forhold til resten af klassen uden, at hun i testen hverken lå helt i bunden eller i toppen, og som ud fra lærerens forhåndskendskab til eleverne opfyldte vores kriterier om at være flittig men lidt uselvstændig. Del 3 side 5 af 114

161 Del 3 - Modellering Vores problemformulering blev følgende: Ud fra den indledende test ønsker vi at udpege en flittig og relativt matematisk dygtig elev (elev A), som bedømt ud fra testen har problemer med modellering. Hvilke problemer har Elev A med modellering? Kan vi pege på specielle delkompetencer, som volder særligt store vanskeligheder? Hvilke faktorer har særlig betydning for elev A s mangelfulde modelleringskompetencer, og hvilken effekt har et kort klasse- og gruppebaseret interventionsforløb på Elev A's modelleringskompetencer? Vores problemformulering blev til på basis af detektionstesten og to interviews. Efter dette designede vi et kort klassebaseret interventionsforløb. Interventionen forløb over 3 gange, hvor vi to af gangene videofilmede en gruppe under arbejdet med de stillede modelleringsopgaver. Desværre var vi ramt af det kedelige uheld, at vores udvalgte elev var fraværende til den anden interventionsseance. Som en erstatning gennemførte vi yderligere et interview med eleven. Endelig gennemførte vi en sluttest med hele klassen. I det følgende vil vi efter en kort gennemgang af noget af den relevante teori gennemgå forløbet med vores i øvrigt meget imødekommende elev. Hun så selv en fordel i at deltage i forløbet, hvilket har gjort, at der hele vejen igennem har været et godt og positivt samarbejde med hende uanset, om hun skulle interagere med hendes egen lærer eller nogle af de andre af gruppens medlemmer. Efter beskrivelsen af detektionstesten og de 2 diagnosticeringsinterview stiller vi en diagnose. Derefter beskriver vi vores intervention og kan så til sidst konkludere på forløbet. Del 3 side 6 af 114

162 Del 3 - Modellering Kapitel 1 Teori Matematisk modellering skal, ifølge læreplanerne for matematik og fysik i gymnasiet, have plads i undervisningen. Vi vil her fokusere på hvilken rolle modellering skal spille på stx, som er den del af gymnasieverdenen, vi selv kommer fra. Vi vil først se på hvad der står om modellering i læreplanerne for matematik og fysik. Derefter vil med udgangspunkt i litteraturen bl.a. (Niss 2010, Niss 2012, Mass 2006) beskrive modelleringscyklen og se på nogle af de undersøgelser, der er lavet om anvendelse af matematisk modellering i undervisningen (Mass 2006, Lesh et. al 2003). Hvad siger læreplanerne? Hvis vi ser på hvad læreplanerne i matematik siger om modellering, så dukker det op allerede i formålsparagraffen (paragraf 1.2), på alle tre niveauer står der i anden sætning: Endvidere skal de [eleverne] opnå indsigt i, hvorledes matematik kan bidrage til at forstå, formulere og behandle problemer inden for forskellige fagområder Ordet modellering er ikke direkte anvendt, men når man skal forstå, formulere og behandle problemer inden for fagområder, der ligger uden for matematikken vil det uundgåeligt involvere matematisk modellering i et eller andet omfang [Niss 2012]. Går vi videre og ser på de faglige mål (paragraf 2.1), nævnes modeller eksplicit flere steder og der ses en vis progression i kravene fra C- niveauet og op til A-niveauet. Faglige mål - C-niveau anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog anvende variabelsammenhænge i modellering af givne data, kunne foretage fremskrivninger og forholde sig reflekterende til disse samt til rækkevidden af modellerne redegøre for foreliggende geometriske modeller og løse geometriske problemer Faglige mål - B-niveau anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog Del 3 side 7 af 114

163 Del 3 - Modellering anvende simple funktionsudtryk i modellering af givne data, kunne foretage simuleringer og fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne redegøre for foreliggende geometriske modeller og løse geometriske problemer Faglige mål - A-niveau anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog anvende funktionsudtryk og afledet funktion i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne, kunne analysere givne matematiske modeller og foretage simuleringer og fremskrivninger opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer, samt kunne give en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer og udnytte dette til at svare på givne teoretiske og praktiske spørgsmål At der er en vis progression i kravene fra C-niveauet til A-niveauet er vel ikke så unaturligt i og med, at eleverne efterhånden får et større udvalg af matematiske værktøjer til rådighed og dermed også får flere værktøjer, de kan bringe i spil i forbindelse med modelleringsopgaver. På C- niveauet handler det om at anvende modeller, at redegøre for geometriske modeller og om at kunne forholde sig reflekterende til resultater af modelanvendelse (sidste trin i modelleringscyklen (se senere), hvor man skal validere modellen). Først på A-niveauet mødes eleverne af et direkte krav om selv at kunne opstille en model, dog kun inden for geometri. Ser vi på kernestoffet (paragraf 2.2) er der både på A- og B-niveau et krav om, at eleverne skal kende til: principielle egenskaber ved matematiske modeller, modellering. I det supplerende stof (paragraf 2.3) bliver det meget eksplicit både på A- og B-niveau B-niveau: blandt andet omfatte sammenhængende forløb: med matematisk modellering med anvendelse af yderligere mindst én statistisk eller sandsynlighedsteoretisk model A-niveau: blandt andet omfatte sammenhængende forløb: Del 3 side 8 af 114

164 Del 3 - Modellering om differentialligningsmodeller med anvendelse af yderligere mindst én type statistisk eller sandsynlighedsteoretisk model Her kommer så et eksplicit krav om anvendelse af modeller inden for statistik og/eller sandsynlighedsregning og på A-niveau et krav om anvendelse af modeller inden for differentialligninger. Kigger man nærmere efter i de tilhørende undervisningsvejledninger er der ikke meget vejledning at hente til punkterne om modellering. Der er en gennemgang af modelleringscyklussen (se senere), men ellers er det et punkt, hvor den enkelte lærer har meget frie hænder. Vender vi os mod fysik, er der under punktet faglige mål (paragraf 2.1) meget eksplicitte krav om at kunne modellere. C-niveau: kende og kunne anvende enkle modeller, som kvalitativt eller kvantitativt kan forklare forskellige fysiske fænomener B-niveau: kende og kunne opstille og anvende modeller til en kvalitativ eller kvantitativ forklaring af fysiske fænomener og sammenhænge A-niveau kende, kunne opstille og kunne anvende et bredt udvalg af modeller til en kvalitativ eller kvantitativ forklaring af fysiske fænomener og sammenhænge samt kunne diskutere modellers gyldighedsområde Kravene stiger med niveauet. På C-niveau skal man kunne anvende enkle modeller, mens man på B- og A-niveau også skal kunne opstille modeller. Krav om anvendelse af modeller og om opstilling af modeller er altså tydeligt til stede i læreplanerne for matematik og fysik i gymnasiet. Hvorfor modellering i gymnasiet? For at svare på det spørgsmål må vi først dykke ned i hvad der forstås ved modellering, hvordan det kan praktiseres, og hvad man kan forvente at få ud af det. Del 3 side 9 af 114

165 Del 3 - Modellering At kunne udføre matematisk modellering kræver, at man har modelleringskompetence, det er en af de 8 kompetencer der er beskrevet i KOM rapporten (Niss 2002), den hører til den halvdel af kompetencerne der har overskriften: At kunne spørge og svare i og med matematik. At have modelleringskompetence betyder, at man behersker alle trinene i modelleringscyklen, se figur 1. Trinene i modelleringscyklen diskuteres herunder i forhold til et eksempel. Matematisk modellering bliver nødvendig, når løsning af et problem uden for matematikken kræver, at man anvender matematik for at løse problemet. Lad os se på et følgende opgave der er hentet fra (Højgaard 2010) Hvor langt frem skal der være fri vej før du kan foretage en sikker overhaling? Det er en meget åben opgave, som man vel kan sige har sine rødder inden for fysikken. For at løse den bliver vi nødt til at analysere situationen og gøre os nogle idealiserede antagelser, før vi kan begynde at se på matematikken. Vi har altså et problem i den virkelige verden, som vi skal have idealiseret (se figur 1), så vi kan begynde at matematisere. I analysen skal vi have præciseret, hvilken situation vi vil behandle. Vi kan antage, at vi kører på en tør flad vej, hvor den tilladte maksimale hastighed er 80 km/t - endvidere antager vi, at vi kører bag en bil, som et stykke tid har kørt med en hastighed på 75 km/t, endelig kan vi antage, at eventuelle modkørende biler kører med en hastighed på 80 km/t. Nu er vi godt i gang med at specificere præcis, hvad det er for en situation vi forestiller os, og vi har gjort os nogle antagelser om bilernes hastigheder. Dernæst må vi overveje, hvordan den bil, vi kører i, kan accelerere i den givne situation, hvor hurtigt vi vil køre under overhalingen, og hvor langt vi skal være foran bilen, vi overhaler, før vi kan tillade os at trække ind til højre igen? Efter disse overvejelser har vi fået beskrevet den situation vi vil undersøge og kan så begynde at oversætte til matematik. Vi skal i gang med at matematisere problemet (figur 1), dvs. vi skal finde ud af, hvordan vi vil behandle problemet, hvilke teknikker vil vi bruge osv. Når problemet er matematiseret, kan vi (forhåbentlig) løse problemet. Når vi så har fundet en løsning skal vi beslutte, hvordan vi vil præsentere vores svar, og vi skal prøve at validere svaret, dvs. vi skal vurdere om vores svar giver mening i forhold til den virkelighed problemet udsprang af. Virker det beregnede behov for fri vejbane realistisk? Hvis svaret ikke virker realistisk, må vi gennemgå modellen kritisk. Vi må så at sige starte forfra, men nu på et lidt højere niveau, for vi har jo nu alle erfaringerne fra første gennemløb af modelleringscyklen med os. På baggrund af erfaringerne kan vi nu forhåbentlig se, hvor der er problemer. Det kunne være i matematiseringen eller måske i antagelserne (altså præmatematiseringen) om, hvordan en bil accelererer eller måske et helt tredje sted. Efter vi har lavet en kritisk gennemgang af modellen, når vi forhåbentlig frem til et resultat, som kan godtages i valideringsprocessen, hvorved opgaven er løst. Hvis der stadig er problemer med at acceptere svaret i valideringen, må vi igennem modelleringscyklen igen, og sådan kan vi fortsætte, indtil der nås et acceptabelt svar. Del 3 side 10 af 114

166 Del 3 - Modellering Figur 1 Modelleringscyklussen (Brander og Sonnenborg 2014, Niss 2010) Modellering involverer, som tidligere nævnt, altid en problemstilling, der ligger uden for matematikken, så umiddelbart kunne man jo spørge, hvorfor overhovedet beskæftige sig med modellering, hvis formålet er at lære matematik? Til det spørgsmål er der vel umiddelbart to svar: Det ene svar er, at man kan styrke motivationen hos nogle elever ved at modellere, fordi eleverne på den måde ser, at matematik kan bruges i sammenhænge, der ligger uden for matematikken og dermed, at man skal lære matematik for at kunne modellere. Det andet svar er, at man skal modellere, fordi det ofte vil være nødvendigt at lære matematik for at nå frem til en brugbar løsning på et problem, der kræver modellering (Niss 2012). Begge argumenter for at anvende modellering er naturligvis legitime. Det centrale må være, hvad eleverne får ud af det, hvilke kompetencer bringes i spil og, hvordan de udvikles igennem modellerings aktiviteten? De forskellige trin i modelleringscyklen er beskrevet ovenfor. Behersker man alle trin i modelleringscyklen besidder man modelleringskompetence. Men skal man være god til at modellere, er det også nødvendigt at beherske andre kompetencer, som det f.eks gennemgås i artiklen af K. Maass (Maass 2006). I artiklen beskriver hun, hvilke kompetencer der kræves for at gå gennem de enkelte trin i modelleringscyklen. Når man går gennem listen, springer det i øjnene, at der kræves stor selvstændighed eller man skulle måske sige risikovillighed i arbejdsprocessen. Blandt de ting hun fremhæver er: Del 3 side 11 af 114

167 Del 3 - Modellering man skal kunne gøre antagelser og simplificere situationen man skal kunne lave relationer mellem de indførte variable man skal kunne forenkle de relevante størrelser og relationerne mellem dem og eventuelt reducere antallet af relationer og deres kompleksitet. man skal kunne bruge heuristiske strategier så som at opdele problemet op i mindre dele, kunne se relationer til lignende problemer, være i stand til at omformulere problemet, være i stand til at variere de indgående størrelser eller de tilgængelige data. man skal kunne generalisere løsninger, der var udviklet til én særlig situation. man skal kunne tjekke og reflektere kritisk over de resultater, man når frem til. Det er alt sammen punkter, der kræver et vist mod og et vist overblik, og det er her eleverne tit kommer til kort, fordi de i den traditionelle undervisning ikke bliver udfordret på den måde. I den daglige undervisning vil det normalt være inden for ret snævre rammer, de skal kunne tage beslutninger. Ofte vil det kun være valget af metode, der er overladt helt til eleven. Der kan dog også være mere åbne opgaver, hvor de f.eks. selv skal opstille en ligning, men normalt vil det være tydeligt, hvad det handler om, en førstegrads ligning, en andengradsligning eller lignende eller evt. 2 ligninger med 2 ubekendte. Med de mange implicitte krav til eleverne om, at de skal tage selvstændige beslutninger i forhold til en given modellerings opgave, nærmer det sig et brud på den didaktiske kontrakt (Brousseau, 1997). Udover ovenstående punkter er der meget, der tyder på, at der også kræves et vist mål af metakognition før man bliver god til matematisk modellering. En veludviklet metakognition medvirker til, at man tænker strategisk, at man planlægger, bedømmer og skaber sig overblik i forhold til, hvordan man skal agere i den konkrete situation, og endelig styrker det motivationen med et højt niveau af metakognition (Maass 2006). Et højt niveau af metakognition vil ofte være det, der adskiller en ekspert og en novice. Eksperten lægger hurtigt en fornuftig strategi og kan derfor gå målrettet frem, hvorimod novicen ofte vil eksperimentere på en mere ustruktureret måde. Maass opdeler på baggrund af sin undersøgelse eleverne i 4 kategorier, se figuren herunder: Del 3 side 12 af 114

168 Del 3 - Modellering Figur 2: 4 modelleringstyper fra Mass 2006 Kategori 1: Reality distant modeller Eleverne i denne kategori foretrækker den rene matematik og er uinteresserede i forbindelsen mellem matematik og problemer i den virkelige verden. De sætter på den baggrund en følelsesmæssig barriere op, der gør at de har meget svært ved at lave den matematiske model, og især har de svært ved at validere deres resultater. Kategori 2: Mathematics-distant modeller Eleverne i denne kategori vil gerne arbejde med problemer fra den virkelige verden, men bryder sig ikke meget om matematik og scorer normalt dårligt i den almindelige matematikundervisning. De er til gengæld meget entusiastiske i forhold til modellering og er gode til at strukturere og analysere, de kan fint opstille en model og er gode til at validere resultaterne. De har dog svært ved at matematisere og er ikke gode til at finde de matematiske løsninger. Del 3 side 13 af 114

169 Del 3 - Modellering Kategori 3: Reflecting modeller Her har vi elever, der både er gode til matematik og til at modellere, så her er den perfekte kombination af kompetencer tilstede. Kategori 4: Uninterested modeller Eleverne i denne kategori er hverken interesseret i matematik eller i problemer der kobler til den virkelige verden. For eleverne i denne kategori er der problemer med alle aspekter af modellerings processen. For at blive god til at løse matematiske problemer i almindelighed og i særdeleshed for at kunne udføre matematisk modellering er det nødvendigt med en bevidsthed om ens arbejdsprocesser. Da man i forbindelse med matematisk modellering ofte er nødt til at søge nye veje og tænke anderledes, giver det god mening, at metakognition bliver vigtigt i og med, at metakognition ifølge Sjutts kan beskrives som [det] at tænke over ens egen tænkning og at kontrollere ens egne tankeprocesser, her citeret fra Mass (Mass 2006). Schoenfeld (Schoenfeld 1992) anvendte i et studie disse standardspørgsmål over for sine elever for at udvikle deres metakognitive evner i forhold til løsning af matematiske problemer: Hvad er det helt præcist du laver nu? Kan du beskrive helt præcist, hvad det er du gør? Hvorfor gør du det? Hvordan passer det ind i forhold til den endelige løsning? Hvordan hjælper det dig? Hvad vil du gøre med resultatet, når du når frem til det? Eleverne i dette studie arbejdede typisk sammen i grupper med 3-4 deltagere. Observationer af deres strategier i forhold til løsning af matematiske problemer viste, at de udviklede sig i en retning, som mindede om den strategi en ekspert ville anvende. Hvordan erhverver man så de nødvendige kompetencer for at kunne gennemføre hele modelleringscyklen? Blomhøj og Jensen (Blomhøj 2003) beskriver et forløb med udvikling af et kursus i modellering på Roskilde Universitet. Erfaringerne herfra er, at de studerende har brug for en omfattende personlige erfaringer med modellering før de opnår en god forståelse af, hvad matematisk modellering er. I kurset fokuseres der på træning i matematisering, matematisk analyse og validering af resultaterne, inden de studerende skal gennemføre et projekt, hvor de skal gennemløbe hele modelleringscyklen. En anden erfaring fra kurset er, at dialog er en vigtig brik i forbindelse med udviklingen af de nødvendige kompetencer for at kunne gennemføre trinene i modelleringscyklen. Det har således vist sig at være mere givtigt at understøtte grupperne gennem dialog end ved at give dem fyldige skriftlige vejledninger der skulle guide dem igennem processen. Del 3 side 14 af 114

170 Del 3 - Modellering Undersøgelser tyder på, at modellering kan understøtte/forstærke den udvikling eleverne naturligt vil gennemløbe ifølge udviklingspsykologer som f.eks. Piaget (Lesh 2003). I artiklen beskrives f.eks. det såkaldte Big Foot problem, hvor en gruppe ikke særligt matematik stærke elever bliver præsenteret for et fodaftryk og ud fra det skal udvikle en model, der kan give et bud på den pågældende persons højde. Observationer af elevernes arbejde med dette problem viste, at de i løbet af den time, de arbejdede med problemet, gennemførte adskillige argumenter, hvor de argumenterede ud fra størrelsesforhold (proportioner) uden at have fået nogen formaliseret undervisning i dette. At nå fortrolighed med dette, sker ifølge udviklingspsykologerne normalt over lang tid, her nåede de på egen hånd dertil i løbet af en time. At eleverne argumenterer ud fra størrelsesforhold i et modelleringsforløb er selvfølgelig ikke det samme som, at de har opnået fuld fortrolighed med begreberne. Man må dog forvente, at det vil gå væsentligt nemmere med at aktivere en sådan tankegang næste gang, de støder på et problem, hvor det er relevant. Det antyder således, at der med veldesignede modelleringsforløb kan opnås traditionel matematiklæring uden traditionel undervisning. For de elever, der er observeret i den undersøgelse, der er omtalt i artiklen (Lesh 2003), ser man, at de er i stand til at udvikle eller i hvert fald modificere, forfine og tilpasse den nødvendige matematik på et niveau, der ligger udover, hvad man kunne forvente af elever på deres niveau. Man observerer dog også, at disse elever ikke umiddelbart kunne overføre deres matematiske erfaringer fra et modelleringsproblem til det næste, selvom den underliggende matematik var den samme. Thomas Højgaard Jensen (Jensen 2007) har i forbindelse med sit Ph D projekt gennemført et projekt med en gymnasieklasse i Allerød. Hele klassens matematikforløb, der strakte sig over 2 år, var tilrettelagt med fokus på udvikling af elevernes 8 matematikkompetencer, som de er beskrevet i KOM-rapporten (Niss 2002). Et af fokuspunkterne var derfor udvikling af elevernes modelleringskompetence. Eleverne havde stort udbytte af at arbejde på den måde og udtrykte stor tilfredshed med den del af forløbet, hvor de arbejdede med modellering og problemstillinger, de opfattede som virkelighedsnære. Eleverne udtrykte gennemgående tilfredshed med den del af forløbet, hvor der var lagt vægt på modellering. De var glade for at arbejde med virkelighedsnære problemstillinger og følte, at de fik mod på at gå i gang med mere åbne opgaver. De følte sig til gengæld noget mere usikre, når det kom til opgaver som krævede meget specifikke færdigheder. Modelleringskompetencen er som nævnt ovenfor en af de 8 kompetencer der beskrives i KOMrapporten (Niss 2002) og handler om at beherske trinene i modelleringscyklen (figur 1), som den er beskrevet ovenfor. I diskussionen af hvorvidt en given person behersker modellerings kompetencen, beskrevet ved KOM-rapportens 3 dimensioner (dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau) kommer man lidt til kort i kraft af modelleringskompetencens komplekse natur. Skal man give en dækkende beskrivelse af en given persons beherskelse af modelleringskompetencen, bliver man næsten nødt til at se på, hvordan denne person behersker de enkelte trin i modelleringscyklen hver for sig. Da der kan være personer, der har en god Del 3 side 15 af 114

171 Del 3 - Modellering beherskelse af matematiseringsdelen, men som derimod ikke er særligt gode til at validere eller omvendt, som det også kommer til udtryk i Maass 4. kategorier ovenfor (figur2). Del 3 side 16 af 114

172 Del 3 - Modellering Kapitel 2 Empiri Indledning I dette kapitel vil vi fremlægge den empiri vi har indsamlet undervejs i dette semester. Kapitlets opbygning følger omtrent den rækkefølge, som vi har arbejdet i. I hovedafsnittet kvantitativ analyse af detektionsbesvarelser fremlægger vi, hvordan vi har rettet detektionstesten, som vi har givet til en 3.g klasse på Falkonergårdens gymnasium og en 1.g klasse på Brøndby gymnasium. Vi har valgt at udtage en enkelt elev fra 3.g klassen, og det er arbejdet med hende, der vil være det egentlige fokus i denne rapport. I afsnittet endelig identifikation af elev argumenterer vi for vores endelige valg af elev A. Vi afslutter dette kapitel med at gennemgå den elev, der klarede sig henholdsvis bedst og dårligst i detektionstesten for at give læseren en ide om, hvordan disse ekstreme elever på dette niveau har besvaret detektionstesten. Detektionstesten (se bilag 3 for at se spørgsmålene) blev givet til en 1.g klasse på Brøndby Gymnasium med studieretningen (Samfundsfag A, Idræt B og Matematik B) og en 3g Team Danmark klasse på Falkonergården (klassen fortsætter til og med 4.g). Klassen er en blandet studieretningsklasse med Matematik A, Fysik B og Kemi B hhv. Matematik A, Fysik B og Idræt B. Der var virkelig en markant forskel mellem de to klassers detektionstest (se bilag 2). Eleverne på Brøndby Gymnasium kom med svar, der tydede på, at her skulle vi arbejde med at tale om, hvad det egentlig vil sige at løse en matematisk opgave og, hvad vil det sige at lave matematik? Eksempelvis svarede nogle elever, at dér, hvor man fik mest pizza for pengene, var pizzaen til 40 kr., fordi den jo var størst. Nogle svarede i en anden opgave, at Aya ikke havde ret, når hun påstod, at olien ikke ville slippe op, fordi vi jo alle ved, at olien slipper op en dag. Derfor havde Ali ret. Nogle havde også svaret, at Hans og Gretes tur ville tage 6 min, fordi Grete kunne jo bare følge efter Hans, hvis de skulle følges (her kommer det sikkert ind at nogle fra Brøndby Gymnasium dyrker meget idræt). Men alt i alt skønnede vi, at der var for meget støj for eleverne på Brøndby Gymnasium i forhold til vores intentioner med opgaven, og vi valgte så at fortsætte med klassen på Falkonergården. Analyse af detektionstestens besvarelser De 13 opgaver i detektionstesten kan inddeles i forskellige kategorier. I nogle opgaver skal man hele vejen rundt i modelleringscyklen mens fokus i andre opgaver blot er delelementer af modelleringscyklen som fx præmatematiseringen osv. For at rette opgaverne på en meningsfuld måde har vi derfor groft taget inddelt hvert opgavesvar i to dele, hvor den første del går på om Del 3 side 17 af 114

173 Del 3 - Modellering eleven får et korrekt svar, mens den anden del går på alt det andet. Det vil sige, første del går på den matematiske problemløsning, mens anden del af opgavesvaret er alt det andet dvs. præmatematiseringen, matematiseringen, afmatematiseringen og validering. Denne meget (ad hoc) grove opdeling har den fordel, at vi derved for første del kunne give 0 point, hvis svaret var forkert og 1 point for korrekt svar, mens 0,75 og 0,5 point blev givet ved delvist korrekt svar. Den anden del systematiserede vi ved at opdele i de forskellige typer elevsvar, vi stødte på. På baggrund af ovenstående (rette)strategi skal vi nu her foretage en analyse af de 26 elevers detektionstest og kan således nærme os de elever, der har læringsvanskeligheder indenfor modellering. I bilag 1 ses de behandlede svar fra de enkelte elever. I bilag 2 har vi opdelt elevsvarene efter de kategorier vi er stødt på. Klassens gennemsnit (korrekte svar) er 73 %. Af de 26 elever er der ingen der laver en helt korrekt besvaret detektionstest og i bunden ses en elev der kun har 42 % korrekte svar. Altså på dette niveau er der en forholdsvis stor spredning. På figur 3 ses en grafisk præsentation af elevernes samlede svarprocent på de 13 spørgsmål. Figur 3 viser resultatet for detektionstesten. 3. g. klassen fra Falkonergårdens Gymnasium. De 3 røde søjler fra venstre mod højre er hhv. elev B, A og C. Udvælgelsesprocessen har i en meget grov førsteapproksimation været at se, hvor mange procent rigtige svar eleven havde (første del) som ses på figur 3, men da dette billede jo ville være alt for unuanceret har vi udover at give point også opdelt elevernes svar i kategorier (A, B, C ) som det ses i bilag 2. Del 3 side 18 af 114