Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 1 af: 76

Transkript

1 Indledning DettedokumenterikkeenegentligvejledningibrugenafTINspire,menihøjeregraden samlingafnyttigetips.samlingenvilbliveudbyggetitaktmedatjegselvellerandre,der henvendersigtilmig,findereksempler,derkanværetilgavnogglædeforenstørrekreds afbrugere. Tipsogeksemplererikkesystematiseret,menprøvatåbneSidesorterer(ikonnr.2i Dokumentværkstøjslinjen)ogse,omderskulleværenoget,dermatcherdet,dusøger. Jegvilforsøgeatholdetipsogeksemplernogenlundesamletiemner,såmanikkeskal ledevilkårligtiheledokumentet.eksempelviserstatistik-tipsholdtsamlet. Seogsåindholdsfortegnelsen. Egentligevejledningerogandetmaterialekanfindesher: LeifThy Indledning 1.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 1 af: 76

2 Indholdsfortegnelse -Generelt -Beregninger.Grafregner -Beregninger.Noter -Ligninger.Anvendelseafsolveoggrafiskløsning -Toligningermedtoubekendte -Differentialligninger -Regression -Grafer -Polynomierogskydeelementer -Vinkelmål -Stamfunktioner -Arealberegninger -Deskriptivstatistik.Ikke-grupperedeobservationer -Deskriptivstatistik.Grupperedeobservationer -χ²-test.gof(goodnessoffit) -χ²-test.testforuafhængighed -Normalfordeling -Regningmedenheder Indholdsfortegnelse 2.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 2 af: 76

3 Generelt Indstillingafvinkelmål,antaldecimalermm.foretagesvedatvælgeFiler>Indstillinger> Dokumentindstillinger... kanmanmedfordelvælgeatbrugegradersomstandardogsåigrafer,mensmanmå overveje,omdeterhensigtsmæssigtpåa-niveau. Manskalherisærværeopmærksompå,atNspiresomstandardbrugergradersom vinkelmåligeometri-applikationenogradianerigraf-applikationen.påb-ogc-niveau Hversidekanopdelesi1-4felterindeholdendeforskelligeapplikationer(værksteder). KlikSidelayout,ogvælg.Enoprettetapplikationkanslettesigenvedaktivereden,taste Ctrlk("flasher")ogbrugeDel-knappenpåtastaturet.Enlisteoverapplikationervises automatisk,nårmanopretterennyopgave.klikpådeenkeltekategorierforatse,hvilke værktøjer,deindeholder. somdufinderidokumentværktøjslinjen(venstresidepanel).klikpåenkeltekategorier foratse,hvilkeværktøjerdehverisærindeholder.denvigtigsteafdeandrefirefanerherer Tilhverapplikationerderknyttetenrækkerforskellgeværktøjer,somafhængerafden Hjælpeprogrammer,hvordublandtandetfinderuundværligeMatematikskabelonerog valgteapplikation.enoversigtoverværktøjernekansesunderfanendokumentværktøjer, Tegn. Hvertenkeltdokumentkanindeholdeenlangrækkeopgaver,oghveropgavekan indeholdefleresider.klikindsætogvælg. Knappenvarviserihverenkeltopgaveenoversigtoverhvilkevariable,dererdefinereti opgaven. Medfotoknappentagesetsnapshotafdetaktivevindue.Kanefterfølgendekopieresindi ettekstdokument.ena4-sidekanindeholdetosnapshot.kanbrugesiforbindelsemed udskrift,menpaspå!hvisf.eks.noteværkstedetindeholdermeretekst,endderkanvisesi vinduet,kommerdenskjultedelikkemed.kanløsesvedændrestørrelsenafdeåbne værkstederelleropretteennysideiopgavenogkopieredenskjultedelindpådennye side. Udskrift:SeovenforellervælgFiler>Udskriv...>PrintWhat:>PrintAll.Herved udskriveshvertværkstedpåensideforsig,ogaltkommermed. Deterogsåiprintmenuen,manangiverdokumentinformation,f.eks.oprettersidehoved medegetnavn,klasseosv.:sætfluebenitilføjoverskriftogklikpåknappenredigertitel ḊennokvigtigstetastaturknaperESC-knappen.Brugden,hvisduviludafnoget,duikke rigtigved,hvader. Generelt 3.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 3 af: 76

4 Beregninger.Grafregner Hvisderskallavesenhurtigrækkeberegninger,derikkekræverenforbindendetekst, gøresdettenemmestiværkstedetgrafregner.sehøjrehalvdelafvinduet. Detudtryk,derskaludregnes,indtastesganskeenkelt,evt.vedhjælpaf MatematikskabelonerogafsluttesmedEnter.Samtidigreduceresresultatet.Vedatbruge kommandoenexpand,kanparenteserregnesud(sef.eks.linje5,6tilhøjre). NårmanhartastetEnter,kanmanikkegåtilbageogretteiudtrykket.Hvisf.eks.7-talleti linje2skullehaveværetet9-tal,pilermanopogmarkererudtrykket,kopiererogsætterind iennyberegning,retter7til9ogtasterenter.prøvselvatrette-6ilinje4til6ogse,hvad dersker. Enforkertberegningslettesigenvedatplaceremarkørenilinjen,højreklikkeogvælge Slet. Beregninger. Grafregner 4.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 4 af: 76

5 2+3 2 x+3+5 x-7 2 x+3+5 x-9 7 x-4 7 x-6 5 solve3 x-6=9,x a+2 b2-a+2 b a-2 b 4 a+2 b b x=5 expand4 a+2 b b 13x2+2x d 4 a b+8 b Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 5 af: 76

6 HvismanskalbrugeenudregningfraGrafregneriNoter,kandenkopieresfradetene værkstedtildetandet,såmanikkebehøveratskriveheleudtrykketéngangtil.nedenforer dettegjortmedlinje2fragrafregner. 2 x+3+5 x-7 7. x Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 6 af: 76

7 Beregninger.Noter BeregningerkanogsåudføresiapplikationenNoter.Dettevilmantypiskgøre,hvisdet drejersigomenafleveringsopgave,hvorudregningerskalknyttessammenviaen udføres: 2 a+3+4 b-3 a-5 forbindendetekst.dettekangørespåtoforskelligemåder: 1:ÅbnenmatematikboksvedattasteCtrlM.Derefterskrivesdenudregning,derskal 2:Førstskrivesdetudtryk,derskaludregnes/reduceres:2x-5-7x+8.Dereftermarkeres HvismanbrugerMatematikskabeloner,åbnesautomatiskenmatematikboks. 5. a+4. b-2.. udtrykketogmantasterigenctrlmefterfulgtafenter:2 x-5-7 x x Beregninger. Noter 5.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 7 af: 76

8 Ligninger Løsningafligningerskervedbrugafkommandoensolveellervedgrafiskløsning.Førstet pareksemplerpåløsningafførste-ogandengradsligningervedhjælpafsolve. solve2 x-5=7,x Lægmærketil,atmanindeiparentesenførstskriverdenligning,derskalløses,derefteret kommaogslutterafmedatangivedenubekendte,idettetilfældex. solve2 x2-3 x-5=0,x x=6. Hvismanikkekanhuske,hvilkenkommandomanskalbruge,kanmanklikkepå 6:Beregn..ovenforiværktøjslinjenogvælger3:Algebra>1:Løs.Prøvselv. x= 1. or x=2.5 Prøvogsånogleafdeandremulighederaf,somfindesunder6:Beregn.. Ligninger 6.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 8 af: 76

9 Grafiskløsningafligninger. Førstetsimpelteksempel.Vivilløseligningen 2x-3=-x+9 Detosiderafligningenkanopfattessomudtrykkeneforhversinrettelinje: y=2x-3ogy=-x+9 Linjerneindtegnesietkoordinatsystemigrafapplikationen. Ibundenafskærmbilledetåbnesenindtastningslinje,hvorduf.eks.skriver2x-3efter lighedstegnetif1(x)=efterfulgtafenter. Igrafmenulinjenklikkespå2:Vis>6:Visindtastningslinje(ellerklikpå>>nedersttil venstreigrafvinduet). Skriv-x+9efterf2(x)=. Nuerbeggelinjerindtegnetikoordinatsystemet. Klikpå6:Analysergraf>4:Skæringspunkt.Markørenblivertilenhåndderpegerpåen lodretlinjemarkør.kliktilvenstreforskæringspunktet,flytmarkørenoverpådenandenside afskæringspunktetogklikigen. Nuberegnesskæringspunktetskoordinaterogvisesikoordinatsystemet. Eksempel2:Idetandetgrafvindueervist,hvordanligningen ½x+1=x2-x-2 løsesgrafisk. 6.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 9 af: 76

10

11

12 Toligningermedtoubekendte Foratløseetligningssystemskalman,somitilfældetmedenligning,brugekommandoen solve. EksempelLøsligningssystemet 2x+3y=5 3x-4y=-18 Lægmærketil,atmanførstskriverligningernemedteksten"and"imellemdem.Derskal solve2 x+3 y=5 and 3 x-4 y= 18,x,y ogsåværeetmellemrummellemligningerneog"and".derefterskrivermanetkommaog detoubekendte,somindgåriligningssystemet,idekrølledeparenteser(ogsåkaldet "tuborg-parenteser"). NB:Pådensammemådeløsermantre(flereligninger)med3(flereubekendte): solve4 a+2 b+c=1 and 4 a-2 b+c=13 and a+b+c=1,a,b,c To ligninger med to ubekendte 7.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 12 af: 76

13 Differentialligninger ManskalbrugekommandoendeSolve,hvismanskalløseendifferentialligning.Mankan selvskrivedesolveellerfindedeniværkstøjslinjen6:beregn...>4:calculus> D:Differentialligningsløser. Eksempel:Bestemdenfuldstændigeløsningtildifferentialligningeny'=xy Manskriverdifferentialligningenførst,derefterskrivermanetkomma,denvariabel,som desolvey'=x y,x,y funktionenidifferentialligningenafhængeraf,såskrivermanetkommaigenogslutteraf medatskrivebetegnelsenfordenfunktion,somindgåriligningen.idetbetragtede eksempelerdetvigtigtatskrivegangetegnmellemxogypåhøjresideaflighedstegneti differentialligningen.ellersforstårprogrammetxysomenkonstantogangiverenforkert løsning. c5iresultatetbetegnerdenkonstant,somindgåridenfuldstændigeløsningtil differentialligningen. Mankanogsåløseenopgave,hvormanskalfindedenløsning,hvisgrafgårgennemet bestemtpunkt. EksempelBestemdenløsningtildifferentialligningeny'=xy,hvisgrafgårgennempunktet (1,-e). Dennegangskrivermanførstdifferentialligningensammenmeddenbetingelse,som desolvey'=x y and y1= e,x,y løsningenskalopfylde.derskalstå"and"imellemdem.desudenskalmanhuskeatlaveet mellemrummellemdifferentialligningenog"and"ogmellem"and"ogbetingelsen. Differentialligninger 8.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 13 af: 76

14 Regression Inaturvidenskabeligefagogsamfundsfagkommermanofteudforatskulleundersøgeom dererensammenhængmellemtostørrelser,ogigivetfaldomdennesammenhængkan udtrykkesvedhjælpafenligning. Statistik. Hervilvisepå,omdererensammenhængmellemenpersonspulsogiltoptagelse(målti Sammenhørendeværdierafpulsogiltoptagelseindtastesiregnearketmedpulseni litero2pr.minut).tildetteskalvibrugeværktøjernelisterogregnearksamtdataog kolonneaogiltoptagelseikolonneb.dobbeltklikkestilhøjreforhhv.aogb,kanvigive kolonnerne/listernenavne. IDataogStatistikværktøjetvælgespulssomvariabelpå1.aksen(denvandrette)og iltoptagelsesomvariabelpå2.aksen(denlodrette).detilhørendepunkterindtegnesnui koordinatsystemet(sefigurtilhøjre).viser,atpunkternemedenvistilnærmelseliggerpå enretlinje,ogvivilgernehaveprogrammettilatbestemmeligningenfordennelinje.dette gøresvediværktøjslinjenatvælge: 4:Analyser>6:Regression>1:Vislineær. Viser,atresultatetbliver y=0,0305 x-1,57 hvorxstårforpulsenogyforiltoptagelsen. 4:Statistik>1:Stat-beregninger>3:Lineærregression. Dervedfremkommerendialogboks,hvormaniX-listeskalvælgepulsogiY-listeskal Foratfindeforklaringsgradenr2skalvitilbagetilregnearketogvælge: vælgeiltoptagelse. Iregnearketfremkommernuenlangrækkestatistiskedeskriptorer,hvormanudover hældningskoefficientogskæringmed2.aksenkanaflæseforklaringsgradentil0, andrenavne,f.eks.ilt,manmanskalundgåatbrugesammenavnsomy-listen.idette Idialogboksenkanmanogsåangivenavnetpådenfunktion,somresultatetskalgemmesi. Nårmanstarterennyopgaveerdettenavnsomudgangspunktf1,menmankanvælge tilfældemåmanaltsåikkebrugeiltoptagelsesomnavntilfunktionen,selvomdetkunne væreoplagt. f1x Herefterkanmanbrugefunktionentilvidereberegninger: -Indsættelseaftal(iltoptagelsevedenpulspå110): -Forskrift: x-1.57 Regression 9.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 14 af: 76

15 -Indsættelseaftal(iltoptagelsevedenpulspå110): f1110 -Løseligning(bestemmepulsvedeniltoptagelsepå2L/min) solvef1x=2,x x= Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 15 af: 76

16 Apuls Biltoptagelse C D 0.75 Titel RegEqn mbr² 3.4 rresid E=LinRegMx('puls,'iltoptagelse,1 F Lineær regres ): CopyVar Stat. m*x+b {0.135, 0.12, Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 16 af: 76

17 iltoptagelse puls Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 17 af: 76

18 Grafer Funktionerdefineresvedatbenytteettildelingslighedstegn,:= fx:=x3-3 x2+x-1 GrafentegnesvedatåbneværktøjetTilføjgrafer.Herbetegnesdeforskelligefunktioner medf1,f2osv. Udført Somf1(x)vælgesf(x)oggrafentegnesautomatisk.Koordinatsystemetkanflyttesrundti vinduetvedatklikkeogtrække. Mankanzoomevedatpegepåenakse,klikkeogtrække.Dervedændresbeggeakser. Hvismankunvilændredeneneafakserne,skalmanholdeShift-tastennede,mensder trækkes. Koordinatsættettiletpunktpågrafenkanfindesvedatvælge7:Punkteroglinjer> 2:Punktpå...,klikkepågrafenogderefterafsætteetpunkt.HuskattasteESCforat forladedennemenu.punktetskoordinatervises. Nukanmantrækkepunktetrundtpågrafenogf.eks.findeetlokaltmaksimum(træki punktetindtilmaksimummarkeres).ieksempletaflæsesmaksimumstedtil0,1835og maksimumværditil-0,9113. medmusenmarkereetområdeomkringskæringspunktet.skæringspunktetskoordinater Prøvselvpåtilsvarendemådeatfindeminimumstedogminimumværdi. vises. Grafensskæringspunktmed1.aksenkanfindesvedatvælge6:Analysergraf>1:Nulog ogfindskæringspunkternemellemgraferneforf(x)ogg(x). Skæringmellemgrafer Tegngrafenforfunktionengx:=x-5 Udført Grafer 10.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 18 af: 76

19

20 Polynomieroganvendelseafskydeelementer Vivilnøjesmedatsepåandengradspolynomierogderesgrafer. Grafernesbeliggenhedafhængerafværdienafkonstanternea,bogciforskriften. fx:=a x2+b x+c OBS!Hererdetvigtigtatindtastegangetegnenemellemaogx2samtmellembogx. EllersopfatterNspireaxsomnavnetpåénvariabelogbxsomnavnetpåenanden Udført variabel. Opretetgrafvindueogvælgimenulinjenfølgende: 1:Handlinger>A:Indsætskydeelement. Nuindsættesenboksmedetskydeelement.Variablenv1ermarkeret.Tasta,sådetbliver etskydeelementforkonstantenaiforskriftenforf.højreklikpåboksenogvælg 1:Indstillinger.SætMinimumogMaksimumtil-5og5ogSteplængdetil1.KlikOK. Gentagovenstående,såderogsåindsættesskydeelementertilbogc. Åbnindtastningslinjenibundenafgrafvinduetogtastf(x)efterf1(x)=. Nutegnesgrafenforf(x)svarendetilværdierneafa,bogciskydeelementerne. Tagfatiskyderenideforskelligeskydeelementer,trækogse,hvadderskermedgrafen. Animeringafgrafen Vedathøjreklikkepåetskydeelementogvælge3:Animer,kanmananimeregrafen. PRØV! Manfårnokmestudafatanimereétskydeelementadgangen,menalleelementerkan faktiskanimeressamtidig. Prøvatændresteplængdenforf.eks.atil0,5ogforbtil0,2. Polynomier og skydeelementer 11.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 20 af: 76

21

22 Vinkelmål Hvismanietdokumentarbejdermedtoforskelligeopgavermedforskelligevinkelmål,skal mandeaktiveregenberegningafformleridenførsteopgave,indenmanskiftertildetandet vinkelmålidenandenopgave. Ændringafvinkelmål(ogenmasseandreindstillinger)skervedatvælge: Filer>Indstillinger>Dokumentindstillinger... ogforetagedeønskedeændringeridialogboksen. Eksempel: Opgave1:Trigonometriopgave.Vinklerigrader.Check,atprogrammetregnerigrader. solvesinv=0.3,v 0 v 180 Opgave2:Funktionsopgave,hvorvinklerneregnesiradianer. Idenneopgaveskalvinkelmåletaltsåændresiforholdtilopgave1.Hvismanudenvidere v= or v= gørdet,genberegnesresultatetiopgave1ogvinklerneangivesiradianer.foratundgå detteskalmandeaktiveregenberegningiderelevanteformleriopgave1.detgøresvedat højreklikkepåformlen,vælge7.handlinger>4.deaktiver.dervedmalesformlengråforat markere,atdenerdeaktiveret. Vinkelmål 12.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 22 af: 76

23 Stamfunktioner Givetfunktionenfx:=x2+x-3 Vivilførstbestemmesamtligestamfunktionertilf: KlikpåfanenHjælpeprogrammer(nedersttilvenstre)ogvælgMatematikskabeloner Udført (dobbeltklikpåikonetforubestemtintegral). sfx:= x33+x22-3 x+k fxd+k x Udført Enandenmådeatfåkonstantenmedervedatbrugekommandoenintegral(f(x),x,k)iden mat-boks,hvormandefinererstamfunktionen. Vivilnubestemmeogtegnegrafenfordenstamfunktion,hvisgrafgårgennempunktet (1,3): solvesf1=3,k ForattegnegrafenforstamfunktionenskalNspirekendek.Dettegøresvedatdefinerek. Menindenskalvideaktivereberegningideto k= Stamfunktioner 13.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 23 af: 76

24

25 formlerovenfor(højreklikpåformlen,vælg7.handlinger>4.deaktiver). k:=316 sfx x3+0.5 x2-3. x Hvisikkevideaktivererberegning,indsættesværdienforkidenævnteformler Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 25 af: 76

26 Arealberegninger Givetfunktionen gx:= x2+6 x-1 Iførsteomgangskalvifindearealetundergrafenforgiintervallet[1;4].Grafentegnesog detkonstateres,atfunktionenerpositividetrelevanteinterval. Udført KlikpåHjælpeprogrammer>Matematikskabelonerogfinddetrigtigeintegralsymbol: 14 Anvendelseafgrafværkstedet: gxd x 21. Klik:6:Analysergraf>7:Integral. Klikpådenrelevantegraf(hvisdererflere)>tast"("efterfulgtafx-værdienfornedre grænse,tastenter>flytmarkørentilhøjrefornedregrænse>tast"("efterfulgtaf x-værdienforøvregrænse,tastenter.arealetbliversåberegnetogskrivesunder grafen. Hvisderskalændresfarvepåpunktmængden,pegesmedmusenpåénafdelodrette linjer,dermarkerergrænserneforpunktmængden(viserintegrale),højreklik,vælgb:farve >2:Udfyldningsfarve. Arealafpunktmængdemellemgrafenfortofunktioner: fx:=x2-4 x+7 Vitilføjerfølgendefunktion: Førstfindesgrænserneforintegraletvedatløseligningenf(x)=g(x): solvefx=gx,x Udført Dettekanogsågøresigrafværkstedetvedatvælge:6:Analyser>4:Skæringspunkt. Arealetafpunktmængdenfindesnuvedatintegrereforskellenmellemdetofunktioner: x=1. x=4. 14 HUSK:Denstørsteaffunktionerneførst! gx-fxd x 9. Anvendelseafgrafværkstedet: Integraletaffidetrelevanteintervalbestemmespåsammemådesomiførstedel,ogde tointegralertrækkesfrahinanden. Arealberegninger 14.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 26 af: 76

27

28

29 Deskriptivstatistik. Ikke-grupperedeobservationer. Karaktersætietikke-angivetfagforenikke-navngivetklasse: 10,7,7,7,02,10,4,4,4,7,7,02,7,4,7,7,00,7,4,7,7,10,10,12,10,7,4,4,10,7,02 Statistiskedeskriptorer: -observationssættetsstørrelse,n:antalobservationerialt. -typetal:hyppigstforekommendeobservation. -hyppighed:hvormangegangedenenkelteobservationforekommer(nspire:frequency) -frekvens:hyppigheddivideretmedobservationssættetsstørrelse -kumuleretfrekvens:sumaffrekvenser -middeltal:sumafalleobservationerdivideretmedobservationssættetsstørrelse -kvartilsæt:nedrekvartil,median,øvrekvartil.flereforskelligmåderatfastlæggedettepå Hvismanbrugerdetoprindeligedatasætvælges: Nspirekanlaveallestatistikberegningerpåéngang. 4:Statis... 1:Stat-beregning Statistikmedénvariabel. Iboksen,derdukkeropvælgesAntallister:1ogderefterunderX1-liste:denliste,der menyderligereunderfrekvenslistevælgedenliste,derindeholderhyppighederne. indeholderobservationerne.afslutmedok. Hvismanbrugerobservationermedhyppighederskalmangøredetsammesomovenfor, Grafiskpræsentationafdatasæt: -prikdiagram(pinde-ellerstolpediagram)overhyppighederellerfrekvenser -boksplot -trappediagrammedkumuleredefrekvenser Hvismanvilanvendedetoprindeligedatasæt,vælgesdetteblotsomuafhængigvariabel. VælgIndsæt NysideogåbnDataogStatistik-applikationen. Deskriptiv statistik. Ikke-grupperede observationer 15.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 29 af: 76

30 Hvismanvilanvendedetoprindeligedatasæt,vælgesdetteblotsomuafhængigvariabel. Dertegnessomstandardetprikdiagram.Vedathøjreklikkeidiagrammetkanandre præsentationstypervælges. Mankanogsåanvendehyppighedernesammenmeddeoptalteobservationerfradet (X:obs2;Y:hyppiregnearket)idenmenu,derdukkerop.Hvisensøjledækkeroverflere oprindeligedatasæt.fremgangsmåde: observationer,skalmanjusteresøjlebredden.dettegøresvedathøjreklikkeidiagrammet vælgesøjleindstillingerogændrerelevanteindstillingerforsøjlestartogsøjlebredde.i Vælg2.Plotegenskaber TilføjeX-variabelmedhyppighedogvælgderelevantelister detvisteeksempelersøjlestartsattil-0,1ogbreddetil0,2. Prøvogsåathøjreklikkeogvælgandremåderatpræsenteredatasættetpå Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 30 af: 76

31 Aobs1 B Cobs2 10. Antal: 7. Mindste Største 0. Middeltal _ Dhypp 0. =frequency(obs1,obs2) Efrekve Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 31 af: 76

32 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 32 af: 76

33 Fkum_fr G H Titel =OneVar('obs1,1): I CopyVar Stat., J Σx Statistik Stat med é Σx² sx σx := s ₁x nminx σ x Q₁X 0. MedianX 4. Q₃X MaxX 7. SSX := Σ(x- ) Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 33 af: 76

34 15.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 34 af: 76

35 obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 35 af: 76

36 hyp obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 36 af: 76

37 hyp obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 37 af: 76

38 obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 38 af: 76

39 Deskriptivstatistik. Grupperedeobservationer Læsetest:Hvorlangtid(måltisekunder)tagerdetatlæseenkorttekst.18personer. 15,3-17,9-16,2-13,1-14,7-11,2-13,4-12,4-16,5-15,8-11,8-14,6-13,5-11,7-15,7-15,1-17,5-13,0 Statistiskedeskriptorer: -observationssættetsstørrelse,n:antalobservationerialt. -observationsintervaller -intervalhyppighed:hvormangeobservationer,dererihvertenkeltinterval(nspire: frequency) -intervalfrekvens:intervalhyppigheddivideretmedobservationssættetsstørrelse -kumuleretfrekvens:sumafintervalfrekvenser -middeltal:sumafalleobservationerdivideretmedobservationssættetsstørrelse,hvis mankenderalleobservationer(hvisobservationssætteternavngivetobs1somi regnearket,kanmanbrugekommandoenmean:meanobs1 afprodukterneafintervalmidtpunktogintervalfrekvensforalleintervaller(herkanmean ogsåbruges,mensyntaksenerenlidtanden:meanint_midt,int_frekv toberegningerikkegiverheltdetsammeresultat,skyldesdetatdetandetresultateren ).Ellers:summen tilnærmetberegning,dertagerudgangspunkti,atalleobservationerietintervalerplacereti intervalmidtpunktet.detvilkunsjældentværetilfældet,menhvismanikkekenderdet Nårde oprindeligeobservationssæt,erdetdetbedstebudpåenmiddelværdi.iregnearketer denneberegningillustreretikolonnei. -kvartilsæt:nedrekvartil,median,øvrekvartil.flereforskelligmåderatfastlæggedettepå. Sef.eks.nedenforunderSumkurve. Grafiskpræsentationafdatasæt: -histogram:rektangleroverhvertobservationsintervalmedetarealsvarendetil intervalfrekvensen -boksplot -sumkurve:sammenhørendeværdierafhøjreintervalendepunktogkumuleretfrekvensfor hvertinterval,forbundetmedlinjestykker. Deskriptiv statistik. Grupperede observationer 16.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 39 af: 76

40 Frekvensogkumuleretfrekvenskanselvfølgeligberegnespåsædvanligvis,menherer brugtlisteoperationer(klikiformelfelterneforatsesyntaksen). nemmesteerfølgende: ÅbnDataogStatistik,vælglisternehøjre(til1.aksen)ogkum_fr(til2.aksen),højreklikog Sumkurvenmedefterfølgendebestemmelseafkvartilsætkanlavespåfleremåder,mendet vælgforbindpunkter.dereftervælgesanalyser Plotfunktion(vandrettelinjer gennem0.25,0.50og0.75) Analyser Grafsporing.Seeksempelnæsteside). Kvartilsættetaflæsestil: Nedre:12,7 Median:14,5 Øvre: Boksplot: 15,9 Herefterindlæsesmin,maks,kvartilsætienliste(hermednavnetkvartilsæt).Dererdog denfinte,atmedianenskalindlæsestogangeefterhinandenforatboksplottettegnes korrekt.hereftertegnesboksplottetpåsammemådesomunderikke-grupperede observationer(metode1). Histogram: Nspirekankunlavehistogrammernåralleintervallerharsammebredde. Fremgangsmådenerfølgende: ÅbnDataogStatistik klik2:plotegenskaber Tilføj5:X-variabelogvælgvenstre. Klikigen2:Plotegenskaber Tilføj9:Y-værdilisteogvælgintervalfrekvensernesom Y-værdier(idetforeliggendetilfælde:int_frekv)......ellerlidthurtigere: VælgX-variabelpåsædvanligvisvedatklikkei"valgområdet"underaksen.Højreklik derefterpå"valgområdet"tilvenstrefory-aksenogvælgy-værdilisteogvælg intervalfrekvensersomy-værdier. Nårhistogrammetertegnet,højreklikkesogdervælgesSøjleindstillinger.Iden dialogboksderdukkeropindtastesdenintervalbredde,derbruges,ogundersøjlestart vælgesdetførstevenstreintervalendepunkt Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 40 af: 76

41 Hvisman-somidetforeliggendetilfælde-kenderalleoprindeligedata,kanmanlave histogrammetpåenlidtandenmåde.manvælgerblotobservationssættet-herobs1- somvariabel.detresultererietprikdiagramogvedathøjreklikke,kanmanlave prikdiagrammetomtilethistogram.idennesituationkanmanyderligerevælge,hvilken enhedmanvilhavepå2.aksen.omdetskalværeantal,(interval)frekvensellerdensitet. Detteerillustreretside5idetteafsnit Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 41 af: 76

42 Aobs1 B Cvenstre Dhøjre Antal: Mindste: Største: Middel: _ Eint_hypp =frequency(obs1,højre) Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 42 af: 76

43 Fint_fre ='int_hypp/(sum('int_hypp)) Gkum_f =cumulativesum('int_frekv) Hint_m I Middel: J 16.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 43 af: 76

44 2.4 Sumkurve kum_frekv ( , 0.75) ( , 0.5) ( , 0.25) højre Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 44 af: 76

45 Akvartil B C D E Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 45 af: 76

46 Boksplot kvartilsæt Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 46 af: 76

47 int_frekv venstre Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 47 af: 76

48 Tæthed/Areal obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 48 af: 76

49 Normalfordeling Iregnearketnæstesideerindtastetetdatasætmedbrudstyrkeikgfor50garnprøver(GG, B2,øvelse558). ViladerNspirelavestatistikpåobservationssættet(jf.Ikke-grupperedeobservationer)og fårbl.a.: Middelværdi:stat1. Spredning:stat1.sx Detfuldstændigeresultatafstatistikkenkansesiregnearket.Hererobservationerne inddeltiintervalleraflængde0,25.intervalhyppighed,-frekvensogkumuleretfrekvenser bestemt.deterheltbevidst,atdetsidsteintervalindeholdendeenenkeltobservationer udeladt,idetdetteerudenbetydningforvurderingenaf,hvorvidtobservationssætteter normalfordelt(jf.indtegningpånormalfordelingspapir). Histogramogsumkurve(seside3)antyder,atobservationerneernormalfordelte. Dettekanvurderespåtoforskelligemåder,afhængigafselvedatasættet: 1.Hvisdetoprindeligedatasæt(enkeltobservationerne)erkendte,kanmanbrugeet normalfordelingsplot. 2.Hvisdatasættetalleredeergrupperetanvendeshøjreintervalendepunktersammenmed kumuleredefrekvenser. Førstlidtteori: HvisenstokastiskvariabelXernormalfordeltmedmiddelværdiµogspredningσ(skrives kortsom:xernormalfordeltn(µ,σ)),såvilenstokastiskvariabelydefineretved:y=x-µ værenormalfordeltn(0,1).normalfordelingenfordennestokastiskevariablekaldes standardnormalfordelingen,ogallespørgsmålvedrørendeberegningerafsandsynligheder forxkanomformulerestilberegningervedrørendey(jf.f.eks.hanssloth: σ Højniveaumatematik2,TRIP1999,side ). ad.1)åbndataogstatistikpåennyside(seside4)ogvælgobs(x-værdierneforden stokastiskevariablex)på1.aksen,højreklikidiagrammetogvælg3:normalfordlingsplot. Nuindtegnesenlinjemedligningeny=x-µ spredningen(idettetilfældeµ=2,299ogσ=0,410929ioverensstemmelsemedresultaterne øverstpådenneside).datapunkterfordenobserveredestokastiskevariablexindtegnes σhvorvikanaflæsemiddelværdienog også,ogjotætterepålinjenpunkterneligger,jobedreerobservationssættetnormalfordelt Normalfordeling 17.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 49 af: 76

50 (hvordan2.koordinatentildatapunkterneerfastlagteriskrivendestunduklartformig,så hvisandrekanfindeenforklaring,viljegmegetgerneseden). ad.2)idettetilfælderegnerviførstbaglænsfradekumuleredefrekvensertil standardnormalfordelingen.dettegøresmedlistefunktioneninvnorm,somtilde kumuleredefrekvenserberegnerdetilhørendey-værdierfordenstandardnormalfordelte stokastiskevariabley.dettegøresikolonneiiregnearket(listenernavngivetstandardi regnearket). Derlavesnulineærregressionpålisternestandardoghøjreidennævnterækkefølge, altsåmedstandardsomx-variabeloghøjresomy-variabel,idetenomskrivningaf y=x-µ sammenhørendeværdieraf(standard,højre)sammenmedregressionsligningen(somher kaldesforventet): σgiverx=σ y+µ.endeligåbnesdataogstatistikpåennysideogderindtegnes Iregressionsresultatetaflæsesforklaringsgradentilr²=0,9938ogsammenmedpunkternes beliggenhediforholdtilnormalfordelingsmodellenkanvikonkludere,atdetoprindelige forventetx datasætmedrigtiggodtilnærmelseernormalfordeltmedmiddelværdienµ=2,31og spredningenσ=0,42. Enandenogmåskemereforståeligmetodeerateksperimenteresigfremtilmiddelværdi ogspredning.udfrasumkurvengættespåentilnærmetværdiformiddelværdiog spredning(husk,atforennormalfordelingermiddelværdienligmedmedianen).derefter indsættestoskydeelementermedmiddelværdiogspredningsomparametre.herefter plottesfordelingsfunktionenfordenførstetilnærmedenormalfordeling.dennehar syntaksen:normcdf(-,x,µ,σ)(brugmogssombetegnelserformiddelværdiog spredning).herefterbrugesskydeelementernetilførstatvarieremiddelværdienogtilsidst spredningen,indtildererbedstmuligoverensstemmelsemellemsumkurvenoggrafenfor fordelingsfunktionen.detkanundervejsblivenødvendigtatændreindstillingeri skydeelementerneforatopnådenstørstmuligepræcision.endeligaflæsesmiddelværdiog spredningsomdeaktuelleværdieriskydeelementerne.fremgangsmådenerillustreretside 3idetteafsnit. Kilder: HansSloth:Højniveaumatematik2,TRIP1999 KnudNissen:TI-84familien.Introduktionogeksempler,TexasInstruments2004 FlemmingClausenm.fl.:GyldendalsGymnasiematematik,ArbejdsbogB Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 50 af: 76

51 Aobs B C Titel =OneVar('obs,1): Dvenstre CopyVar Stat., Ehøjre 1.63 Σx Statistik med Stat é Σx² 1.73sx s ₁x σx := σ x nMinX Q₁X MedianX 1.99Q₃X _ MaxX SSX := Σ(x- ) Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 51 af: 76

52 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 52 af: 76

53 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 53 af: 76

54 Fint_hypp =frequency(obs,højre) Gint_fre Hkum_f =invnorm(kum_frekv) Istanda J Titel RegEqn mbr² rResid Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 54 af: 76

55 17.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 55 af: 76

56 17.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 56 af: 76

57 K =LinRegMx('standard,'højre,1 L ): M CopyVar Stat.RegEqn,'forventet: N O Lineær regres CopyVar Stat., Stat2. m*x+b { Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 57 af: 76

58 17.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 58 af: 76

59 17.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 59 af: 76

60 int_hyp Histogram venstre Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 60 af: 76

61 kum_frekv Sumkurve m= s= brudstyrke højre Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 61 af: 76

62 8 Normalfordelingsplot 6 Forventet z obs Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 62 af: 76

63 højre standard Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 63 af: 76

64 χ²-test."goodnessoffit"ellergof. Omtalesogsåsomstatistisktestforfordelingafenstikprøve. GOFdrejersigomsammenligningafdatamedenpåforhåndkendtfordeling. Hervilmetodenblivebeskrevetmedudgangspunkti DanmarksStatistiksopgørelseafindkomstfordelingenår2007fordanskereover15år, somviserfølgendebillede: Indkomstfordelingenerindtastetiregnearketnæsteside. % af befolkning i 1000 kr0;5050;100100;150150;200200;300300;400400;500500; A-kolonnenviserindkomstkategorierne(skalindtastesmedanførselstegnforatopfattes somtekststrengeogikkeformler). B-kolonnenviserdeforventedehyppighederienstikprøvepå1000personersomdevilse udpåbaggrundafopgørelsenfradanmarksstatistik. C-kolonnenviserresultatetafenstikprøvepå1000personer,hvormaniforbindelsemed enundersøgelseafkendskabtiletdyrtfladskærmsproduktogsåharspurgtom indkomstforholdenefordeltagerneistikprøven. Hypotesen,vivilteste,erfølgende: H₀:Indkomstfordelingenerdensammeistikprøvensomindkomstfordelingeni populationen. Førstskalviberegneχ²-teststørrelsen(somoftebetegnesmedq): q=σobserveret Dettegørespåfølgendemåde,idetvibenytterlistebetegnelserneiregnearket: forventet antal - forventet antal antal2 q=sumobs_hypp-forv_hypp2 Dernæstskalvivælge,hvilketsignifikansniveauviviltestepå.Hervælges1%, q= Derertomåder,hvorpåmankankommefremtilenkonklusion: 1)Bestemmelseafdenkritiskeq-værdi,qk,svarendetilsignifikansniveauetog efterfølgendesammenligningafstikprøvensq-værdimeddenkritiskeværdi.denkritiske arealetundergrafenforχ²-fordelingeniintervallet[qk; [erligmed0,01(segrafside3i værdierfastlagtudfraetkravom,atderskalvære1%'ssandsynlighed (signifikansniveauet)foratfindeenteststørrelseiintervallet[qk; [.Detbetydersamtidig,at Chi2-test. GOF 18.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 64 af: 76

65 detteafsnit;markeretmedgult). Hvisstikprøvensq-værdierstørreenddenkritiskeværdi,forkastesnulhypotesen. 2)Bestemmelseafteststørrelsenforstikprøvenogdentilhørendep-værdi.Hvisp-værdien ermindreendsignifikansniveauet,forkastesnulhypotesen. ad.1)denkritiskeq-værdisvarendetilsignifikansniveauetberegnesvedhjælpafden omvendteχ²-fordelingmed7frihedsgrader. Grundentilatviskalanvendedenχ²-fordeling,derhar7frihedsgrader,er,atderer8 indkomstkategorier,ogiengof-testerantalletaffrihedsgraderaltidligmeddetteantal minus1. qk=invχ²0.99,7 Grundentilatderskalstå0,99ikommandoenovenforer,atdenanvendtekommando "regnerbaglæns"fraarealet(markeretmedblåt,side3)undergrafeniintervallet[0;qk]tilq k. ad.2)p-værdienforteststørrelsenberegnes: p=χ²cdf33.88,,7 Dvs.sandsynlighedenforatfåenstikprøve-teststørrelsepå33,88ellerderoverer 0,0018%ogdermedlangtunderdetvalgtesignifikansniveau.Vivælgerderforatforkaste p= =0,0018% nulhypotesen.iberegningenovenforstårχ²cdf(0,33.88,7)fordenkumulerede sandsynlighedforq-værdien33,88vedenfrihedsgradpå7. Denhurtigstemådeatbestemmeteststørrelseogp-værdipå,eratbenytteden indbyggedefunktionχ²gof: obs_hypp,forv_hypp,7 Udført stat.results " PVal "" Titel df χ² " " χ² GOF 7. " Endeligkanspørgsmåletom,hvorvidtnulhypotesenskalforkastesellerej,løsesveden " CompList" "{...}" simuleringafnulhypotesen.fremgangsmådenidennemetodeerlidtforomfattendetil nærværendedokument,ogderhenvisestildokumentetgof-simulering,somkanfindes pålectio:dokumenter>egnegrupper>alle>vejledninger>nspire Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 65 af: 76

66 Akat_indkomst 0;50 50; ; ; ; ; ; ;inf Bforv_hypp Cobs_hypp D Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 66 af: 76

67

68 χ²-test.testforuafhængighed Omtalesogsåsomstatistisktestforuafhængighedmellemtoinddelingskriterer. Hergennemgås,hvordaneksempletiBjørnGrønskursusmaterialekanbehandlesiNspire. Eksempletdrejersigomkvindersogmændstøjforbrug: køn\forbrug< kvinder mænd kr/måned kr/månedi alt Grafiskillustration. I alt SkemaetovenforindtastesiListerogRegneark,idetderdogbyttesompårækkerogsøjler, ogforbrug,kvinderogmændgivesliste/variabelnavne(forbekvemmelighedensskyld kaldesforbrugskategorierneforhhv.lavtoghøjt.senæsteside). ItoDataogStatistikapplikationertegnesdereftercirkeldiagrammerforhhv.kvindersog mændsforbrug. Anvendkat_forbrugsomuafhængigvariabel,højreklikogvælgCirkeldiagram.Højreklik derefterpå2.aksen,vælgtilføjy-værdilisteogvælghhv.kvinderogmændideto vinduer. Nuvisesforbrugetforkvinderogmændrelativtogviser,atfleremændendkvinderharet højtforbrug. Testforuafhængighed: Skemaetovenforindtastesietnytregneark(OBSERVERET,side3).Skemaetkopieresto Viopstillernulhypotesen gange.iskemanr.2beregnesdeforventedeværdier(se"kursusmateriale",side6)ogi H₀:Dereruafhængighedmellemforbrugogkøn. skemanr.3beregnesdeenkeltekategoriersbidragtilteststørrelsenq("kursusmaterielet", s.8.i"kursusmateriale"betegnesteststørrelsenqblotmedχ²). FORVENTEDE:IcelleB9indtastesfølgendeformel:=B$5 tilrestenafcellerneidenindredelafskemaetvedattrækketilhøjreogderefterned.såer deforventedeværdierberegnet.dollartegnenesikrer,atderelevanterækker,kolonnerog $D$5 $D3.Denneformelkopieres cellererlåstevedkopieringenafformlen. B3-B92 Chi2-test. Test for uafhængighed 19.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 68 af: 76

69 TESTSTØRRELSE:IcelleB15indtastesfølgendeformel:B3-B92 formelindtastesic15.beggeformlertrækkesned.tilsidstsummeressøjlerogrækker(i alt:).inederstehøjrehjørne(detgulefelt)findervinuteststørrelsenq=4,77. B3.Entilsvarende DerertomåderattesteH₀på(ligesomvedχ²-test,GOF.Seforrigeafsnit): Enten: 1)bestemmervidenkritisketeststørrelseqkudfradetvalgtesignifikansniveau(SN=1% eller: ellersn=5%)ogforkasterhypotesen,hvisq>qk 2)bestemmervip-værdienfordatamaterialetudfrateststørrelsenogforkasterhypotesen, hvisp<sn. RenttekniskerdetheltsammemetodesomiGOF,blotmeddenlilleændringatviskal brugeχ²-fordelingenmed1frihedsgrad. Identeoretiskestatistikkanmanvise,atdergenereltgælder,atnårmanlaverχ²-testpå krydstabeller,såerantalletaffrihedsgraderligmed(antalrækker-1) (antalkolonner-1). ad.1): SN=5%:qk=invχ²0.95,1 SN=1%:qk=invχ²0.99, Herafservi,athypotesenmåforkastespå5%signifikansniveau,idetqk>3,84menikkepå %signifikansniveau,idetqk<6,63. ad.2): p=χ²cdf4.77,,1 Igenservi,athypotesenmåforkastespå5%signifikansniveau,idetp<0,05menikkepå 1%signifikansniveau,idetp>0,01. p= =2,9%. LigesomvedGOFkanvitegnegrafenforχ²-fordelingen,hermed1frihedsgrad,og vurdereteststørelsensbeliggenhediforholdtildenkritiskeværdi(seside4). Testmetodenerherbeskrevetmedudgangspunktien2 2krydstabel,dvs.med2rækker og2kolonneritabellen.metodenkanselvfølgeligudvidestilkrydstabellermedflererækker ogkolonner.blotskalmanhuskeatanvendedenrigtigeχ²-fordelingmeddetrigtigeantal frihedsgrader(seovenfor) Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 69 af: 76

70 Metodenillustreresmeddetovenforanvendteeksempel,dvs.en2 2krydstabel,men gælderogsåmedetandetantalrækkerogkolonneritabellen. n mkrydstabeller.dennemmemetode. Nspireharenindbyggetfunktiontilberegningafsåvelteststørrelseogp-værdisom forventedeværdierogdeenkeltebidragtilteststørrelsen. Viskalblotdefineredenobserverede2 2krydstabelsomen2 2matrix,somkanfindes undermatematikskabelonerne: obs:=98102 χ²2way Udført stat.results " PVal Titel "" χ² df " " χ² vejstest 1. " Herfårvidirekteteststørrelsen4,77ogp-værdien0,029. "" CompMatrix ExpMatrix" " "[...] Vikanogsåbedeomatsedeforventedeværdierogbidragenetilteststørrelsen: " stat.expmatrix stat.compmatrix Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 70 af: 76

71 Akat_fo lavt højt Bkvinder C mænd D E Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 71 af: 76

72 højt kvinder lavt kat_forbrug 19.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 72 af: 76

73 mænd højt lavt kat_forbrug 19.2 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 73 af: 76

74 A OBSERVERET køn\forbrug kvinder mænd I alt: FORVENTET køn\forbrug kvinder mænd I alt: TESTSTØRRELSE køn\forbrug kvinder mænd I alt: B C D lavt 98. højt I alt: lavt højt I alt: lavt højt I alt: Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 74 af: 76

75

76 Regningmedenheder Iallenaturvidenskabeligefagharmanbrugforatregnemedenheder.DetteklarerNspire også. Alleenhederstartesvedattaste_(underscore).Hvisderertaleomensammensatenhed skalhverenkeltenhedindledesmed_.manbehøverikketastegangetegnet(seeksemplet nedenfor).detsætternspireselv. IhjælpeprogrammetEnhedsomregnerfindesenoversigtoverhvilkefysiske/kemiske konstanterogenheder,somnspirekender. Eksempel1:Tilførtenergivedopvarmningafvand 850gramvandopvarmes35.Dentilførteenergiberegnes. m:=0.85 _kg δt:=35 _ C 35. _ C 0.85 _kg c:=4180 _J _kg _ C _m2 e:=m c δt Idetteresultatkanmanmåskeikkeumiddelbartgenkendeenenergienhed.Inæste _J _s2 _ C udregningervist,hvordanmanfåromskrevettiljoule. e _J Eksempel2.Omskrivningmellemenheder _J(sorthøjre-pegendetrekanthentesihjælpeprogrammetTegn) p:= _Pa Hvismanf.eksharettrykopgivetiPaogønskerdetomskrevettilatm.,foregårdetpå p _atm sammemådesomislutningenafforrigeeksempel _atm 3. 6 _Pa Regning med enheder 20.1 Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns 76 af: 76