Geometri - Teori og opgaveløsning

Transkript

1 Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter kendskab til grundlæggende viden om vinkler, retvinklede trekanter og ensvinklede trekanter samt trigonometri. I hvert afsnit er der engelske gloser, og til slut er der en oversigt over teorien. Indhold 1 Trekantens linjer 1 2 irkler og vinkler 6 3 Indskrivelige firkanter 9 1 Trekantens linjer e vigtigste linjer i en trekant udover siderne er medianerne, midtnormalerne, vinkelhalveringslinjerne og højderne. e har alle hver deres særlige egenskaber som vi skal se nærmere på i dette kapitel. Men først ser vi på transversalers egenskaber da vi får brug for dem i det følgende. efinition af transversal En transversal i en trekant er et linjestykke der forbinder to punkter på hver sin side i trekanten. En transversal kaldes en paralleltransversal hvis den er parallel med en af siderne i trekanten, og en midtpunktstransversal hvis den forbinder midtpunkterne af to sider. 4 Et punkts potens 11 M N 5 Multiplikation omkring et punkt 12 6 Radikalakse og radikalcentrum 14 7 evas sætning 17 8 Herons formel 19 Sætning om transversaler En transversal fra punktet M på siden til punktet N på siden er en paralleltransversal netop hvis 9 Trekantens ydre røringscirkler Menelaos sætning 21 M N = eller M N = M N. 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen tolemæus ulighed Inversion Løsningsskitser 31 evis. t M N er parallel med, er ensbetydende med at er ensvinklet med M N, hvilket igen er ensbetydende med at M N = da de to trekanter har en fælles vinkel. En midtpunktstransversal er derfor også en paralleltransversal. t forholdet M N er lig med forholdet, er ensbetydende med at forholdet M N er lig med forholdet M N. ette følger af brøkregnereglen der siger at s t = u v er ensbetydende med at s t = s u t v når t v. 1 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

2 Sætning om midtpunkterne af siderne i en firkant Lad være en firkant og punkterne M, N, og Q midtpunkterne af henholdsvis,, og. a er M N Q et parallellogram. Q evis. Lad være en trekant, og kald medianerne for henholdsvis m a, m b og m c, og medianernes fodpunkter på siderne a, b og c for henholdsvis M a, M b og M c. Medianerne m a og m b skærer hinanden i et punkt vi kalder M. Vi vil nu vise at de skærer hinanden i forholdet 1 : 2. a M a og M b er midtpunkter på henholdsvis a og b, er M a M b midtpunktstransversal og dermed parallel med c. vs. at og M b M a er ensvinklede med forholdet 1 : 2 og specielt 2 M a M b =. M N M b M a M pgave 1.1. Vis ovenstående sætning. efinition af median En median er et linjestykke i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. M esuden er trekanterne M og M a M b M ensvinklede da M a M b og er parallelle, og forholdet mellem trekanterne er netop forholdet mellem M a M b og, dvs. 1 : 2. Her af ses at m a og m b deler hinanden i forholdet 1 : 2. a m a og m b var vilkårlige medianer, må m a og m c også skære hinanden i forholdet 1 : 2, dvs. at alle tre medianer går gennem samme punkt M. efinition af midtnormal En midtnormal til et linjestykke er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, altså mængden af punkter som opfylder at =. Midtnormalen er dermed en linje som går gennem midtpunktet af linjestykket og står vinkelret på, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. Sætning om medianer e tre medianer i en trekant går igennem samme punkt, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Medianernes skæringspunkt betegnes normalt M. 2 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

3 Sætning om midtnormaler I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel som går gennem trekantens tre vinkelspidser. evis. Tegn linjer gennem henholdsvis, og som er parallelle med modstående sider, og lad 1, 1 og 1 være skæringspunkterne mellem disse linjer som vist på figuren. Firkant 1 og firkant 1 er parallelogrammer, dvs. at 1 = = 1. Tilsvarende ses at 1 = 1 og 1 = 1. Højderne i er derfor midtnormaler i 1 1 1, og de går ifølge sætningen om midtnormaler gennem samme punkt. 1 Midtnormalernes skæringspunkt betegnes normalt. pgave 1.2. evis ovenstående sætning. Hint: etragt to af midtnormalerne, og vis at deres skæringspunkt ligger i samme afstand til alle tre vinkelspidser i trekanten. efinition af højde En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og står vinkelret på modstående side. emærk at en højde både kan falde indenfor og udenfor trekanten. 1 1 Man kan også vise sætningen uden brug af resultatet for midtnormaler, fx med trigonometri. efinition af vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben. Sætning om højder I en trekant går højderne gennem samme punkt. Højdernes skæringspunkt betegnes normal H. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. 3 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

4 Sætning om vinkelhalveringslinjer I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel, dvs. den cirkel som tangerer alle tre sider i trekanten. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt betegnes normalt I. En vinkelhalveringslinje deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider. b vs. hvis fodpunktet for vinkelhalveringslinjen v a fra til siden betegnes V, så er V I V V = b c. pgave 1.3. evis ovenstående sætning. Hint: Første del: etragt to vinkelhalveringslinjer, og vis at deres skæringspunkt har samme afstand til alle tre sider i trekanten. nden del: enyt sinusrelationen på V og V, eller indlæg en ny smart trekant. v a c Sætning om areal og radius i den indskrevne cirkel I en trekant betegner r radius i den indskrevne cirkel, s trekantens halve omkreds og T trekantens arealet. er gælder at T = r s. pgave 1.4. evis ovenstående sætningen. Sætning om vinkler I en trekant betegner I centrum for den indskrevne cirkel, og = 2α, = 2β og = 2γ. α γ + α β I α + β β + γ Vinklerne ved I er henholdsvis α + β, β + γ og γ + α som vist på figuren. pgave 1.5. evis ovenstående sætning. pgave 1.6. Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. pgave 1.7. Fra vinkelspidsen i trekant tegnes en ret linje der halverer medianen fra. I hvilket forhold deler denne linje siden? (Georg Mohr- Konkurrencen 1995) pgave 1.8. I en trekant med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for, midtpunktet af medianen m b kaldes for, og midtpunktet af medianen m c kaldes for. γ 4 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

5 estem arealet af trekant. pgave 1.9. Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant, og lad yderligere 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen så I = 1 I = 2 I, 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen så I = 1 I = 2 I, og 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen så I = 1 I = 2 I. Vis at er trekantens omkreds. pgave Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant, og lad yderligere 1, 1 og 1 være spejlingerne af I i henholdsvis a, b og c. irklen gennem 1, 1 og 1 går også gennem. estem vinklen. Gloser centrum for den indskrevne cirkel the incenter centrum for den omskrevne cirkel the circumcenter den indskrevne cirkel the incircle den omskrevne cirkel the circumcircle ensvinklede trekanter similar triangles højde altitude højdernes skæringspunkt orthocenter ligebenet trekant isosceles triangle ligesidet trekant equilateral triangle linjestykke line segment median median medianernes skæringspunkt centroid midtnormal perpendicular bisector omkreds perimeter transversal transversal vinkelhalveringslinje angle bisector 1 1 I 1 5 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

6 2 irkler og vinkler efinition af centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. å figuren er en centervinkel som spænder over buen, og vi skriver =. efinition af periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. Sætning om periferivinkler En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. v 2 v ermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. evis. Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen. Kald centrum for og punktet hvor w rører periferien, for. ntag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene for w i punkterne og. a deler diameteren gennem vinklerne v og w i to vinkler som vi kalder henholdsvis v og v og w og w. Trekant er nu en ligebenet trekant med to lige store vinkler w, og den sidste vinkel er 180 v. a vinkelsummen i en trekant er 180, er 2w = v. Tilsvarende fås 2w = v, dvs. 2w = v. w v w v å figuren er en periferivinkel som spænder over buen. ntag nu at w s ene vinkelben skærer v s vinkelben. iameteren gennem skærer da yderligere periferien i et punkt vi kalder for. Ifølge det vi lige har vist, er 2 = og 2 =, og dermed 2w = 2 2 = = v. 6 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

7 pgave 2.1. I en spidsvinklet trekant kaldes centrum for den omskrevne cirkel og højdernes skæringspunkt for H. Linjen gennem skærer den omskrevne cirkel i et punkt Q forskelligt fra. Vis at Q H er at parallelogram. efinition af korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. en omvendte sætning om korde-tangent-vinkler Lad Q være en korde i en cirkel og l en linje gennem. Lad yderligere R være et punkt på linjen l forskelligt fra og S et punkt på cirkelperiferien så R og S ligger på hver sin side af linjen Q. Hvis R Q = SQ, da er l tangent til cirklen. S R Q pgave 2.3. evis sætningen. Sætning om korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over, og dermed lige så stor som en periferivinkel der spænder over buen. Sætning om vinkler i cirkler m vinklerne v og w på figurerne gælder: v = + 2 og w = 2. v 2 v 2 v v w pgave 2.2. evis sætningen. Hint: Husk at står vinkelret på tangenten. pgave 2.4. evis sætningen. Hint: Vinkel v : Kald skæringen mellem og for. Tegn linjestykket, og betragt og periferivinkler. Vinkel w : Tegn linjestykket, og kald vinkelspidsen ved w for. etragt og periferivinkler. 7 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

8 Sætning om superpunktet I en trekant betegner I centrum for den indskrevne cirkel, og M er skæringen mellem I og den omskrevne cirkel. a er M centrum for cirklen gennem, og I. unktet M kaldes nogle gange for superpunktet, fordi det har mange interessante egenskaber. 2R Tilsvarende ses at sin = b c 2R og sin = 2R, og dermed i alt pgave 2.5. evis sætningen. I M 2R = a sin = b sin = c sin. Ved at benytte formlen for arealet af en trekant T = 1 2 b c sin() fås yderligere 4RT = 2 2R T = 2 a sin 1 2 b c sin = a b c. pgave 2.6. Lad to cirkler 1 og 2 skære hinanden i punkterne og. Tangenten til 1 gennem skærer 2 i punktet, og tangenten til 2 gennem skærer 1 i punktet. esuden oplyses at = 3 og = 4. estem længden af. pgave 2.7. Vis for en trekant at 1 a b + 1 a c + 1 b c = 1 2r R. Sætning om radius i den omskrevne cirkel Lad R være readius i den omskrevne cirkel til trekant, og T arealet af trekanten. a er 2R = a sin = b sin = c sin og 4RT = a b c. evis. Lad være diameter i den omskrevne cirkel til trekant. a er sin = sin = a 2R. Gloser bue arc centervinkel central angle korde chord periferivinkel inscribed angle ret vinkel right angle spids vinkel acute angle stump vinkel obtuse angle tangent tangent 8 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

9 3 Indskrivelige firkanter efinition af simple firkanter En firkant kaldes simpel hvis dens sider ikke skærer hinanden. I disse noter betegner ordet firkant fremover en simpel firkant. Figuren viser et eksempel på en ikke-simpel firkant. Sætning om indskrivelige firkanter Følgende udsagn om firkanten er ævivalente: Firkant er indskrivelig. Summen af modstående vinkler er 180. = eller tilsvarende. efinition af konvekse firkanter En firkant kaldes konveks hvis der for vilkårlige to indre punkter gælder at linjestykket mellem punkterne er indeholdt i firkanten. e konvekse firkanter er altså netop dem der ikke har en vinkel der overstiger 180. Generelt defineres en konveks figur på tilsvarende måde. efinition af indskrivelige firkanter En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. evis ntag at en firkant er indskrivelig. To modstående vinkler spænder da tilsammen over hele cirkelperiferien, og summen er derfor 180. ntag at det for en given firkant gælder at summen af to modstående vinkler er 180. etragt nu den omskrevne cirkel til trekant, og lad punktet E være skæringen mellem cirklen og linjen gennem og. Hvis firkanten er indskrivelig, er lig E. Vi ved at = 180 = 180 E = E, dvs. at punktet E ligger på linjen og derfor er identisk med. Vi har nu vist at de første to udsagn er ækvivalente. Resten af beviset overlades til læseren i følgende opgave. pgave 3.1. evis resten af sætningen. pgave 3.2. Lad H a og H b være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis og i trekant. Vis at firkant H a H b er indskrivelig (evt. H a H b hvis eller er stump). Vis desuden at og H a H b er ensvinklede. 9 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

10 Sætning om højder og indskrivelige firkanter I trekant betegner H højdernes skæringspunkt og H a og H b fodpunkterne for højderne fra henholdsvis og. 1) Firkant H a H b er indskrivelig (evt. H a H b hvis eller er stump), og og H a H b er ensvinklede. pgave 3.5. Lad være en spidsvinklet trekant, L og K højder i trekanten og M midtpunktet af. Vis at linjen M L og linjen M K tangerer den omskrevne cirkel til trekant K L. pgave 3.6. Tre cirkler 1, 2 og 3 skærer hinanden i et fælles punkt, 1 og 2 skærer hinanden i, 1 og 3 skærer hinanden i Q, og 2 og 3 skærer hinanden i R. H b H b 2 R 3 H a 2) Spejlingen af H i en vilkårlig af trekantens sider ligger på trekantens omskrevne cirkel. H H a H 1 Lad være et punkt på cirkelbuen Q som vist på figuren. Linjen gennem og skærer cirklen 2 i punktet, og linjen gennem og Q skærer cirklen 3 i. Vis at punkterne, og R ligger på linje. pgave 3.7. I rektanglet er M midtpunktet af siden, og H er et punkt på linjestykket M så H står vinkelret på M. Vis at trekant H er ligebenet. pgave 3.8. En firkant er indskrevet i en cirkel med som diameter. Lad S være skæringspunktet mellem diagonalerne og, og lad T være projektionen af S på. Vis at linjen S T halverer vinkel T. Q el 1) er allerede vist i opgave 3.2. el 2) overlades til læseren at bevise. pgave 3.3. evis del 2) af sætningen. pgave 3.4. Lad H a, H b opg H c være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis, og i en spidsvinklet trekant. Vis at H a er vinkelhalveringslinje i H a H b H c. Gloser indskrivelig firkant cyclic quadrilateral konveks firkant convex quadrilateral parallelogram parallelogram simpel firkant simple quadrilateral 10 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

11 4 Et punkts potens efinition af et punkts potens I en given cirkel ω betegnes centrum og radius r. Et punkt s potens mht. cirklen ω er tallet ow(,ω) = 2 r 2. evis i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen Lad være et punkt uden for cirklen, og lad l være en vilkårlig linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Vi viser først at Q = ow(,ω). Q Hvis ligger på cirkelperiferien, er ow(,ω) derfor 0, mens den er positiv hvis ligger uden for cirklen, og negativ hvis ligger inden for cirklen. Sætning om et punkts potens I en given cirkel ω betegnes centrum og radius r. Lad være et punkt og l og m være to linjer gennem, hvor l skærer cirklen i og, og m skærer cirklen i og. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) a gælder at Hvis ligger uden for cirklen, er Hvis ligger inden for cirklen, er =. ow(,ω) =. ow(,ω) =. Tegn tangenten til cirklen gennem som vist på figuren, og kald røringspunktet for Q. Ifølge ythagoras sætning er Q 2 = 2 r 2 = ow(,ω). etragt nu trekanterne Q og Q. Korde-tangent-vinklen Q er lige så stor som periferivinklen Q, ifølge sætningerne om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. ermed er Q og Q ensvinklede, og dette giver Q 2 =. Samlet har vi at = ow(,ω). Lad nu m være endnu en linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Ifølge det vi netop har vist, må også dvs. at = ow(,ω), =. pgave 4.1. evis sætningen om et punkts potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen. Hint: Tegn linjen gennem og centrum, og vis at = (r )(r + ) = r Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

12 en omvendte sætning om et punkts potens Lad l og m være to forskellige linjer med skæringspunkt. Lad og være to punkter på l på hver sin side af, og lad og være to punkter på m på hver sin side af. Eller lad både og ligge på samme side af og og ligge på samme side af. Hvis =, da ligger,, og på samme cirkel. l m I det tilfælde hvor og ligger på samme side af, og og er sammenfaldende, da ligger, og på en cirkel med m som tangent. pgave 4.2. evis sætningen. m pgave 4.3. To cirkler skærer hinanden i punkterne M og N, og den fælles tangent til de to cirkler nærmest N rører cirklerne i og Q. Vis at trekant M N og trekant Q M N har samme areal. pgave 4.4. I den spidsvinklede trekant skærer højden fra cirklen med diameter i og Q og højden fra cirklen med diameter i S og T. Vis at, Q, S og T ligger på samme cirkel. Gloser et punkts potens the power of a point l l m 5 Multiplikation omkring et punkt Her gives en kort introduktion til den affine afbildning multiplikation omkring et punkt samt eksempler på hvordan denne afbildning kan bruges i løsningen af geometriopgaver. Hvis du ønsker en mere teoretisk indføring i affine afbildninger og deres egenskaber, så se Jens-Søren ndersens noter ffine transformationer. efinition af multiplikation omkring et punkt Multiplikation omkring punktet med multiplikationsfaktoren k er en afbildning af planen i sig selv hvor et punkt afbildes i punktet så = k. I det følgende ser vi bort fra tilfældet k = 0. Hvis k = 1 er det blot identitetsafbildningen, mens fx k = 1 giver en drejning på 180 om. Egenskaber Ved multiplikation omkring et punkt afbildes en linje i en linje parallel med linjen. Multiplikation omkring et punkt bevarer vinkler lle figurer afbildes i ligedannede figurer. For to cirkler med forskellige radier findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette med positiv multiplikationsfaktor som afbilder den ene cirkel i den anden. For to cirkler findes netop et punkt og en multiplikation med negativ multiplikationsfaktor som fører den ene cirkel i den anden. 12 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

13 For to ensvinklede trekanter som ikke er kongruente, og hvor ensliggende sider er parallelle, findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette som afbilder den ene trekant i den anden. Sammensætningen af to multiplikationer om to punkter, hvor produktet af de to multiplikationsfaktorer ikke er 1, er igen en multiplikation omkring et punkt, og multiplikationsfaktoren er produktet af de to multiplikationsfaktorer. Eksempel 2 Multiplikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise noget om vinkler fx ved at udnytte sætningen om periferivinkler i en cirkel. etragt en cirkel 1 som tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. Lad l være en tangent til 1 i et punkt Q forskelligt fra. Linjen l skærer 2 i henholdvis og. Vi ønsker at vise at Q er vinkelhalveringslinje i trekant. Multiplikationen i som fører 1 i 2, fører Q i Q og tangenten l til 1 i en tangent l til 2 i punktet Q. Eksempel 1 Multiplikation omkring et punkt kan fx benyttes til at vise at tre punkter ligger på linje, ved at vise at en multiplikation omkring et af punkterne kan afbilde det andet punkt i det tredje. Hvis vi fx betragter tre cirkler med samme radius som skærer hinanden i et fælles punkt S, og den trekant der opstår ved at tegne tangenter som vist på figuren, kan vi vise at S, centrum I for den indskrevne cirkel og centrum for den omskrevne cirkel til trekant ligger på linje. l Q l Q l Q S I Trekanten som opstår når man forbinder centrerne for de tre cirkler, har parvis parallelle sider med trekant da de tre cirkler har samme radius. a I er skæringen mellem vinkelhalveringslinjerne i trekant, og de tre centre ligger på disse vinkelhalveringslinjer, må I være centrum for den multiplikation som afbilder den lille trekant i trekant. unktet S er centrum for den omskrevne cirkel til den lille trekant da de tre cirkler har samme radius, og dermed afbildes S i. ette viser at I, S og ligger på samme linje. a l og l er parallelle, og l er tangent til 2, er cirkelbuerne Q og Q lige store. erfor er Q = Q, og altså Q vinkelhalveringslinje i trekant. emærkning Multiplikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise at nogle punkter ligger på samme cirkel, fx ved at finde en multiplikation som afbilder punkterne i en allerede kendt cirkel. Man kan også vha. af multiplikation omkring et punkt vise at to linjer er parallelle ved at finde en multiplikation der afbilder den ene i den anden, og man kan benytte multiplikation omkring et punkt til at bestemme forholdet mellem forskellige linjestykker ud fra multiplikationsfaktoren. I de følgende opgaver kan du selv prøve kræfter med dette. pgave 5.1. To cirkler 1 og 2 med samme radius tangerer en større cirkel indvendigt i henholdsvis 1 og 2. Lad M være et punkt på forskelligt fra 1 og 2, og lad 1 og 2 være skæringspunkterne mellem henholdvis M 1 og 1 og mellem M 2 og 2. Vis at 1 2 er parallel med Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

14 pgave 5.2. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. En linje l skærer de to cirkler i punkterne M, N, og Q så punkterne ligger i nævnte rækkefælge på linjen. Vis at M N = Q. pgave 5.3. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. m to forskellige linjer gennem oplyses at den ene skærer 1 og 2 i henholdsvis X 1 og X 2 og den anden skærer 1 og 2 i henholdsvis Y 1 og Y 2. Linjerne X 1 Y 2 og X 2 Y 1 skærer hinanden i punktet. Vis at hvis ligger på 1, da tangerer den omskrevne cirkel til X 2 Y 2 cirklen 1. pgave 5.4. unktet er et indre punkt i en spidsvinklet trekant, og X, Y og Z er projektionerne af på henholdsvis a, b og c. irklen gennem X, Y og Z skærer henholdsvis a, b og c i tre nye punkter X 1, Y 1 og Z 1. Vis at linjerne gennem henholdsvis X 1, Y 1 og Z 1 vinkelret på henholdsvis a, b og c skærer hinanden i et punkt. pgave 5.5. I en trekant kaldes midtpunkterne af, og for henholdvis M a, M b og M c. Trekant s Spieker centrum er centrum for den indskrevne cirkel til trekant M a M b M c. Vis at centrum I for den indskrevne cirkel til trekant, medianernes skæringspunkt M og trekantens Spieker centrum S alle ligger på samme linje. pgave 5.6. I trekant kaldes højdernes skæringspunkt for H og fodpunkterne for de tre højder for henholdsvis H a, H b og H c. Lad M a, M b og M c være midtpunkterne af henholdvis H, H og H. Vis at H a, H b, H c, M a, M b og M c ligger på en cirkel. Vis desuden at radius for den omskrevne cirkel til trekant er dobbelt så så stor som radius for den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c. pgave 5.7. (IM 1978) I trekant er =. En cirkel tangerer siderne og i henholdsvis og Q samt den omskrevne cirkel til trekant indvendigt. Vis at midtpunktet af Q er centrum for den indskrevne cirkel til trekant. Gloser multiplikation omkring et punkt homothety muliplikation omkring med multiplikationsfaktor k homothety with center and ratio k 6 Radikalakse og radikalcentrum I kapitlet om punkts potens så vi at et punkt s potens mht. en cirkel ω med centrum og radius r defineres som tallet ow(,ω) = 2 r 2. enne definition og sætningen om punkts potens er grundlaget for at indføre begrebet radikalakse: efinition af radikalakse Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Sætning om radikalakse Kald centrum i de to cirkler for henholdsvis 1 og 2, cirklernes radier for henholdsvis r 1 og r 2, og lad d betegne afstanden mellem de to centre. a er radikalaksen en ret linje der står vinkelret på linjen 1 2. Radikalaksens afstand til henholdsvis 1 og 2 er r 2 1 r d 2 2d og r2 2 r d 2. 2d Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, er radikalaksen netop linjen gennem og. 14 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

15 evis. Lad Q være punktet på linjen 1 2 med Q 1 = r 1 2 r 2 2+d 2 2d og Q 2 = r2 2 r 1 2+d 2 2d. (ette er muligt da r 1 2 r 2 2+d 2 2d + r 2 2 r 1 2+d 2 2d = d ). 1 2 Sætning om radikalcentrum For tre cirkler c 1, c 2 og c 3 med forskellige centre som ikke alle tre ligger på linje, gælder at radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 skærer hinanden i et punkt, og at dette punkt er deres radikalcentrum. Hvis de tre centre ligger på linje, er radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parallelle og evt. sammenfaldende, dvs. i dette tilfælde er deres radikalcentrum den tomme mængde eller en ret linje. ntag at er et punkt på radikalaksen, og lad være projektionen af på 1 2. t er et punkt på radikalaksen, er ensbetydende med at ette er ensbetydende med at 1 2 r 2 1 = 2 2 r 2 2. c 3 c 1 c r 2 1 = 2 + (d 1 ) 2 r 2 2, og yderligere at 1 = r 1 2 r d 2. 2d ette er ensbetydende med at = Q, og dermed at ligger på linjen gennem Q vinkelret på 1 2. Vi har dermed vist at alle punkter på radikalaksen ligger på denne linje. Man kan tilsvarende vise at alle punkter på linjen har samme potens mht. de to cirkler, og altså samlet at radikalaksen netop består af punkterne på denne linje. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, har begge punkter potens nul mht. de to cirkler, og dermed er radikalaksen netop linjen gennem og. efinition af radikalcentrum Radikalcentrum for tre cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de tre cirkler. evis. Hvis de tre centre ikke ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parvis ikke er parallelle, samt at radikalcentrum for de tre cirkler pr. definition er indeholdt i fællesmængden af disse radikalakser. Lad være skæringspunktet mellem radikalaksen for c 1 og c 2 og radikalaksen for c 1 og c 3. ermed er potensen af mht. c 1 lig potensen af mht. c 2, og potensen af mht. c 1 er lig med potensen af mht. c 3. ltså er potensen af mht. c 2 også lig med potensen af mht. c 3, hvilket betyder at ligger på radikalaksen for c 2 og c 3. ermed går alle tre radikalakser gennem, og er dermed radikalcentrum for de tre cirkler. Hvis de tre centre ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 alle er parallelle. Hvis de ikke alle er sammenfaldende, er radikalcentrum for de tre cirkler den tomme mængde, og hvis de alle er sammenfaldende, er radikalcentrum identisk med den fælles radikalakse. 15 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

16 egenererede cirkler med radius 0 åde for radikalakse og radikalcentrum giver definitionen også mening hvis en eller flere af cirklerne er en degenereret cirkel med radius 0, og sætningerne gælder også i dette tilfælde. Eksempel på anvendelse af radikalakse To cirkler c 1 og c 2 tangerer hinanden udvendigt i punktet T. Lad være et punkt på deres fælles tangent gennem T, og lad og være to punkter på c 1 så, og ligger på linje, og lad og være to punkter på c 2 så, og ligger på linje. Vi ønsker at vise at,, og ligger på en cirkel. at vise at to linjer står vinkelret på hinanden ved at vise at den ene er linjen gennem centrum af to cirkler, mens den anden er cirklernes radikalakse. Radikalcentrum kan fx benyttes til at vise at tre linjer skærer hinanden i samme punkt, hvis man kan vise at de tre linjer er radikalakser for hvert par af tre cirkler. pgave 6.1. To cirkler S 1 og S 2 skærer hinanden i punkterne M og N. Vis at hvis rektanglet er placeret så og ligger på S 1, og og ligger på S 2, så vil skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler ligge på linjen M N. N c 1 M T c 2 pgave 6.2. Lad være en trekant, og lad trekanterne, E og F være ligebenede trekanter med henholdsvis, og som grundlinje, så disse tre trekanter ligger uden for trekant. Vis at de tre linjer gennem henholdsvis, og som står vinkelret på henholdsvis E F, F og E, skærer hinanden i samme punkt. Kald cirklen gennem, og for c 3. Linjen T er radikalakse for c 1 og c 2, og linjen er radikalakse for c 1 og c 3. ermed må skæringspunktet mellem og T ligge på radikalaksen for c 2 og c 3, dvs. denne radikalakse er. a radikalaksen yderligere skærer c 2 i, må dette punkt også ligge på c 3. ermed ligger,, og på en cirkel. ette var et eksempel på anvendelse af radikalakse til at vise at fire punkter ligger på en cirkel, men man kan også benytte radikalakser til meget andet. Fx pgave 6.3. unkterne, Q, R og S ligger på cirklen c i denne rækkefølge så Q og RS ikke er parallelle. Lad L være mængden af punkter I for hvilke der findes en cirkel c 1 gennem og Q samt en cirkel c 2 gennem R og S så de to cirkler tangerer hinanden i I. eskriv punktmængden L. pgave 6.4. unkterne, E, og F ligger på en cirkel med centrum (i denne rækkefølge), og korderne og E F skærer hinanden i punktet N. Tangenterne til cirklen i og skærer hinanden i punktet, og tangenterne til cirklen i E og F skærer hinanden i. Vis at N står vinkelret på. 16 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

17 pgave 6.5. Lad være en trekant, og lad,, være punkter på henholdsvis siden, siden og siden. Lad yderligere M, M, være skæringspunktet mellem cirklerne og, og N, N, skæringspunktet mellem cirklerne og. efiner punkterne, Q og R, S, på tilsvarende måde. Vis at da vil mindst en af følgende gælde: (i) e tre linjer, M og N skærer hinanden i et punkt vi kalder, de tre linjer, og Q skærer hinanden i et punkt vi kalder, de tre linjer, R og S skærer hinanden i et punkt vi kalder, og,, ligger på linje. (ii) Linjerne M og N er parallelle med, eller linjerne og Q er parallelle med, eller linjerne R er S paralelle med. pgave 6.6. Lad være diameter i halvcirklen c med centrum, og og to punkter på c så,, og er fire forskellige punkter der ligger på c i den nævnte rækkefølge. Midtpunkterne af henholdsvis, og betegnes E, F og G. Linjen gennem E vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet M, og linjen gennem G vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet N. Lad cirklerne c 1, c 2 og c 3 have henholdsvis, og E G som diameter. F N M E (i) evis at radikalaksen for c 1 og c 3 er M E, samt at radikalaksen for c 2 og c 3 er N G. (ii) Find radikalcentrum for c, c 1 og c 3 samt radikalcentrum for c, c 2 og c 3. (iii) Vis at M N er parallel med. Gloser radikalakse radical axis/power line radikalcentrum radical center G 7 evas sætning efinition af cevian En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Fx er højder, medianer og vinkelhalveringslinjer alle cevianer. evas sætning evas sætning siger at cevianerne, og (hvor ligger på osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis = 1. evas sætning gælder også hvis nogle af cevianerne går fra en vinkelspids til et punkt der ikke ligger på den modstående side men kun dens forlængelsen. I dette tilfælde er det dog nødvendigt at regne længderne med fortegn så postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på, da er negativ. evis. Her beviser vi kun sætningen i tilfældet hvor alle tre cevianer ligger inden for trekanten. Hvis nogle af cevianerne falder uden for trekanten, foregår beviset stort set på samme måde. Først viser vi at hvis de tre cevianer går gennem samme punkt, så vil = Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

18 ntag at cevianerne går gennem samme punkt. er gælder at hvis to trekanter har samme højde, da er forholdet mellem arealerne det samme som forholdet mellem grundlinjerne. Lad T ( ) betegne arealet af en trekant. ermed er Samlet får vi = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). = T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) = T ( ) T ( ). Her har vi benyttet brøkregnereglen der siger at hvis s t = u v, er s t = s u t v, når t v. Tilsvarende fås Samlet giver dette = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). = T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) = 1. Nu viser vi den modsatte vej. ntag at = 1. Kald skæringspunktet mellem og for, og betragt cevianen fra gennem. a cevianerne, og går gennem samme punkt, gælder ifølge det vi lige har vist, at = 1. Ifølge vores antagelse er = 1, dvs. at =. f dette ses at og er samme punkt, og dermed at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt. pgave 7.1. Tidligere har vi benyttet sætningen om midtnormaler til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt. enyt nu i stedet evas sætning til at bevise dette. pgave 7.2. I trekant er og Q punkter på henholdsvis linjestykket og linjestykket så Q er parallel med, og X er skæringspunktet mellem Q og. Vis at X deler linjestykket på midten. Sætning om Gergonne punktet I en trekant tangerer den indskrevne cirkel siderne siderne, og i henholdsvis X, Y g Z. Linjerne X, Y og Z skærer hinanden i et punkt, og dette punkt kaldes trekantens Gergonne punkt. pgave 7.3. evis sætningen om Gergonne punktet. pgave 7.4. I trekant er vinkelhalveringslinje og H højde, og og Q er projektionerne af på henholdsvis og. Vis at H, og Q skærer hinanden i et punkt. 18 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

19 evas sætning med vinkler evas sætning kan også formuleres med de vinkler cevianerne danner med siderne, i stedet for med det forhold de deler siderne i. Lad være en trekant og, og cevianer i trekanten. Lad α 1 =, α 2 =, β 1 =, β 2 =, γ 1 = og γ 2 =. Vinklerne regnes her med fortegn ligesom længderne i evas sætning, dvs. hvis fx ligger på forlængelsen af siden tættest på, da er α 1 negativ. evas sætning siger i denne version at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt, netop hvis sinα 1 sinα 2 sinβ 1 sinβ 2 sinγ 1 sinγ 2 = 1. α 1 α 2 pgave 7.5. evis sætningen. β 2 β1 γ 2 γ 1 pgave 7.6. Lad, og være tre cevianer i trekant som skærer hinanden i et fælles punkt. Lad være skæringen mellem og spejlingen af i vinkelhalveringslinjen til, og lad og være defineret tilsvarende. Vis at de tre cevianer, og skærer hinanden i et punkt. Gloser evas sætning eva s theorem cevian cevian 8 Herons formel Herons formel realet T af en trekant, hvor s betegner den halve omkreds, kan beregnes ud fra trekantens sidelængder vha. Herons formel: evis. Ifølge cosinusrelationen er T = s (s a )(s b )(s c ). (2b c ) 2 cos 2 = (b 2 + c 2 a 2 ) 2. Vi ved at 4T = 2b c sin, og ved kvadrering 16T 2 = (2b c ) 2 sin 2. esuden er sin 2 = 1 cos 2. Samlet giver dette 16T 2 = (2b c ) 2 (2b c ) 2 cos 2 = (2b c ) 2 (b 2 + c 2 a 2 ) 2 = (2b c + b 2 + c 2 a 2 )(2b c b 2 c 2 + a 2 ) = ((b + c ) 2 a 2 )(a 2 (b c ) 2 ) = (a + b + c )(b + c a )(a + c b )(a + b c ) = 16s (s a )(s b )(s c ). Hermed er Herons formel bevist. pgave 8.1. Højderne i en trekant er 12, 15 og 20. Hvad er arealet af trekanten? (altic Way 2006) pgave 8.2. Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgende hele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NM 1995) Gloser Herons formel Heron s formula 19 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

20 9 Trekantens ydre røringscirkler efinition af trekantens ydre røringscirkler En trekant har tre ydre røringscirkler, en for hver side i trekanten. en ydre røringscirkel til siden er en cirkel der ligger uden for trekanten, og som tangerer siden samt forlængelserne af og. Sætning om de ydre røringscirklers centre entrum for den ydre røringscirkel til siden i trekant er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og. e tre ydre røringscirklers centre danner en trekant i hvilken vinkelhalveringslinjerne for trekant er højder. på vinkelhalveringslinjen til vinkel samt de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og vinkel. f dette ses at de ydre røringscirklers centre a, b og c danner en trekant hvis sider går gennem henholdsvis, og. Vinkelhalveringslinjen til vinkel står vinkelret på siden b c, da a = a og b = c. ermed er a højde i trekant a b c. Sætning om den ydre røringscirkel Lad være en trekant, s den halve omkreds, ω a den ydre røringscirkel til siden med centrum a, I centrum for den indskrevne cirkel, og M skæringen mellem den omskrevne cirkel til trekant og vinkelhalveringslinjen fra. b I M a c a gælder at i) otensen af mht. ω er s 2. evis.a den ydre røringscirkel til siden tangerer samt forlængelserne af og, må dens centrum ligge i samme afstand til disse tre linjer. a vinkelhalveringslinjen netop er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til de to vinkelben, må den ydre røringscirkel centrum ligge a ii) Røringspunktet mellem og den indskrevne cirkel og røringspunktet mellem og den ydre røringscirkel ω ligger symmetrisk på linjestykket omkring dets midtpunkt. iii) unkterne, I, og a ligger på en cirkel med M som centrum. iv) er gælder at I a =. pgave 9.1. Vis sætningen. 20 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

21 Sætning I trekant indtegnes tre cevianer fra vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. isse tre cevianer skærer hinanden i et punkt. pgave 9.2. Vis sætningen Sætning om radierne i de ydre røringscirkler. For en trekant betegner T arealet, s den halve omkreds, r radius i den indskrevne cirkel og r a, r b og r c radierne i de tre ydre røringscirkler mht. henholdsvis, og. a gælder at T = r a (s a ) og T 2 = r r a r b r c. 10 Menelaos sætning Menelaos sætning Lad være en trekant. Menelaos sætning siger at tre punkter, E og F, som ligger på henholdsvis linjen, linjen og linjen, ligger på samme linje netop hvis E E F F = 1. Her regnes linjestykkerne ligesom ved evas sætning med fortegn så postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på som på figuren, da er negativ. F pgave 9.3. Vis sætningen. E pgave 9.4. Lad I være centrum for den indskrevne cirkel i trekant, og lad Γ være trekantens omskrevne cirkel. Lad linjen I skære Γ i et punkt forskelligt fra. Lad E være et punkt på cirkelbuen som ikke indeholder, og lad F være et punkt på siden så F = E. Lad yderligere G være midtpunktet af linjestykket I F. Vis at linjerne G og E I skærer hinanden på Γ. (IM 2010) F E Gloser centrum for den ydre røringscirkel excenter ydre røringscirkel excircle evis. ntag først at punkterne, E og F ligger på samme linje. emærk at da denne linje skærer trekanten nul eller to gange, vil der i udtrykket E E F F være enten en eller tre længder med negativt fortegn, dvs. udtrykket er altid negativt. Hvis vi kun regner med positive længder, er det derfor nok at vise at udtrykket er lig med 1. Lad x være længden af projektionen fra på linjen E F, y længden af projektionen fra på linjen E F og z længden af projektionen fra på linjen E F, som vist på figuren. 21 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

22 Y z F x E y Z ga. ensvinklede trekanter er = x y, E E = y z og F F = z x, og dette er uafhængigt af om linjen E F skærer trekanten to eller nul gange. ermed er E E F F = 1, når vi regner med fortegn. ntag omvendt at der om, E og F gælder at E E F F = 1. Lad være skæringspunktet mellem E F og. a ved vi fra før at E E F F = 1, og dermed må =, dvs. at, E og F ligger på linje. Monges sætning Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad tilsvarende Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten. X a ligger punkterne X, Y og Z på linje. pgave Vis Monges sætning. Monge-d lemberts sætning Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten. a ligger punkterne X, Y og Z på linje. pgave Vis Monge-d lemberts sætning. Gloser Menelaos sætning Menelaus Theorem 22 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

23 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen Sætning om Eulerlinjen I en trekant kaldes medianernes skæringspunkt som sædvanligt M, højdernes skæringspunkt H og midtnormalernes skæringspunkt. unkterne H, M og ligger på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, og M deler H så 2 M = M H. Sætning om Simsonlinjen Lad være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant, 1 projektionen af på linjen, 2 projektionen af på linjen og 3 projektionen af på linjen. 3 evis. Kald midtpunkterne af og for henholdsvis M a og M b, og skæringspunktet mellem M b og H for. Vi ønsker at vise at = M samt at 2 M = H M. 1 2 a ligger punkterne 1, 2 og 3 på en ret linje, og denne linje kaldes Simsonlinjen. H M a pgave evis sætningen om Simsonlinjen. Hint: Vis at firkanterne 2 1, 3 1 og 2 3 er indskrivelige, og udnyt dette til at vise at 1 2 = 1 3. M b a er parallel med midtpunktstransversalen M a M b, M b er parallel med H da de begge står vinkelret på, og M a er parallel med H da de begge står vinkelret på, er trekanterne H og M a M b ensvinklede med forholdet 2 : 1. esuden er trekant M b ensvinklet med trekant H med samme forhold. ermed er 2 M b =, og heraf ses det ønskede nemlig at = M og 2 M = M H. en omvendte Simson Lad være en trekant, et punkt og 1, 2 og 3 projektionerne af på henholdsvis, og. Hvis punkterne 1, 2 og 3 ligger på en ret linje, da ligger på den omskrevne cirkel til trekant. (eviset udelades). pgave Lad være en trekant hvor, E og F er fodpunkterne for højderne på henholdsvis, og. Lad yderligere, Q, M og N være projekterne af på henholdsvis,, E og F. Vis at punkterne, Q, M og N ligger på linje. 23 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

24 pgave I planen er givet fire ikke-parallelle linjer så der ikke er tre som går gennem samme punkt. Hver trippel af linjer danner en trekant, dvs linjerne danner i alt fire trekanter, og hver af disse trekanter har en omskreven cirkel. Vis at de fire omskrevne cirkler har et fælles punkt. pgave etragt fem punkter,,, og E sådan at firkant er et parallelogram, og firkant E har en omskreven cirkel. Lad l være en linje gennem. ntag at l skærer det indre af linjestykket i F og linjen i G. ntag derudover at E F = E G = E. evis at l er vinkelhalveringslinje for vinkel. (IM 2007) Hint: enyt resultatet om Simsonlinjen til at vise at projektionen af E på linjen netop er skæringspunktet mellem diagonalerne i firkant. Gloser Eulerlinje Euler line Simsonlinje Simson line 12 tolemæus ulighed tolemæus ulighed For alle firkanter gælder tolemæus ulighed + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. I de fleste opgaver har man ikke brug for uligheden, men blot at der for indskrivelige firkanter gælder lighedstegn. ette kaldes tolemæus sætning evis. Givet en firkant lad M være et punkt så trekant M og trekant er ensvinklede og vender samme vej. ermed er = M. M ga. konstruktionen er M =. a trekant M og trekant er ensvinklede, er / M = /. ltså er også trekant og trekant M ensvinklede med = M. I alt giver dette ifølge trekantsuligheden at + = ( M + M ) med lighedstegn netop når M ligger på. unktet M ligger på netop når =, dvs. netop når firkant er indskrivelig. pgave En ligesidet trekant er indskrevet i en cirkel. Lad M være et vilkårligt punkt på cirkelbuen. Vis at M = M + M. 24 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

25 pgave En firkant er indskreven i en cirkel med radius 1, = 1, = 2 og = 2. estem. pgave Lad være et kvadrat, og lad være et punkt på cirkelbuen på den omskrevne cirkel til kvadratet. Vis at er konstant uanset valget af. + pgave Lad E F G være en regulær syvkant. Vis at 1 = (En regulær n-kant er en n-kant hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store.) Gloser tolemæus sætning tolemy s theorem tolemæus ulighed tolemy s inequality 13 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling omformer man problemstillingen til en anden ækvivalent problemstilling. Inversion er derfor et interessant redskab i nogle typer geometriopgaver. ettee kapitel er en indføring i inversion, de centrale egenskaber ved inversion samt hvordan man kan benytte inversion. Inversion Lad være en cirkel med centrum og radius r. Inversion i denne cirkel er en afbildning af planen, fraregnet punktet, på sig selv. Et punkt,, afbildes i det punkt som ligger på halvlinjen fra gennem, og som opfylder at = r 2. et er oplagt at inversionsafbildningen er sin egen inverse, og den er desuden kontinuert hvilket vi ikke vil komme nærmere ind på her. emærk at afbildningen fikserer cirklen og afbilder dens indre på dens ydre og omvendt. eraf navnet. et interessante ved inversion er at den afbilder linjer og cirkler i linjer og cirkler, samt at den bevarer vinkler mellem kurver, hvilket vi skal se nærmere på når det drejer sig om linjer og cirkler. Man kan på helt tilsvarende vis definere inversion i en kugle i rummet. I det følgende ser vi på inversion i en cirkel med centrum og radius r, og vi betegner billedet af et punkt med, billedet af en cirkel α med α, osv. Sætning om vinkler og afstande To punkter og, begge forskellige fra, afbildes i punkterne og så = og =. r 2 25 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

26 evis. Vi viser at er ensvinklet med r med forholdet 2 da det viser sætningen. Først bemærker vi at =. esuden er = r 2 = r 2 og tilsvarende = hvilket giver det ønskede. r 2, Sætning om linjer og cirkler Inversion afbilder som sagt linjer og cirkler i linjer og cirkler. Mere præcist gælder i) En linje gennem afbildes på sig selv. ii) En linje som ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen. åstanden er nu at α er cirklen med diameter. Lad Q være et punkt på α. a gælder at Q = Q = 90, dvs. at Q ligger på cirklen med diameter. er gælder dermed at α afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med α. iii) Tilsvarende afbildes en cirkel gennem på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. iv) Lad β være en cirkel som ikke går gennem, og betragt linjen l gennem og centrum af β. Linjen l skærer β i punkterne og Q, og disse er forskellige fra da β ikke går gennem. Vi viser nu at β afbildes i cirklen med Q som diameter. etragt et punkt S på β forskelligt fra og Q. S S β iii) En cirkel gennem afbildes på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. Q Q iv) En cirkel som ikke går gennem, afbildes på en cirkel som ikke går gennem. evis. i) En linje gennem afbildes oplagt på sig selv. ii) Lad α være en linje som ikke går gennem, og betragt projektionen af på α. α Q α Q a ved vi at Q S = 180 Q S S Q = S Q S = QS S = SQ = 90, hvor vi til slut har udnyttet at Q er diamter i S. ltså ligger S på cirklen med diamter Q, og dette viser at en cirkel som ikke går gennem, afbildes i en cirkel som ikke går gennem. et er vigtigt at bemærke at hvis α er en cirkel som ikke går gennem, da er billedet af centrum som oftest ikke centrum i α. Nu vil vi vise at vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion, men først beviser vi at tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion. 26 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

27 Sætning om tangens mellem linjer og cirkler En linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i punktet,, afbildes ved inversion på en linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i. evis. a antallet af skæringspunkter forskellig fra bevares ved inversion, følger det let. pgave Lad α være en cirkel som ikke går gennem. Vis at centrum af α, centrum af α og ligger på linje. pgave Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Vis at den ydre røringscirkel til siden c afbildes på sig selv ved inversion i en cirkel med centrum og radius s. pgave I en trekant kaldes røringspunkterne mellem den indskrevne cirkel og siden og siden for henholdsvis M og N. Vis at ved inversion i den indskrevne cirkel afbildes i midtpunktet af linjestykket M N. Nu skal vi se på hvorfor inversion i nogle sammenhænge er rigtig smart. Fx er tolemæus ulighed helt lige til hvis man inverterer problemstillingen. tolemæus ulighed Som vi så i et tidligere kapitel siger tolemæus ulighed at der for en firkant gælder at + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. Sætning om at vinkler bevares ved inversion Vinklen mellem to linjer, en linje og en cirkel samt to cirkler bevares ved inversion. evis. Hvis to linjer skærer i punktet bevares vinklen oplagt ved inversion. Lad α og β være to linjer som skærer hinanden i,. a vil α og β have netop to skæringspunkter og. Vinklen mellem α og β i vil være identisk med vinklen mellem dem i. a en linje gennem afbildes på sig selv, og en linje der ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen, vil vinklen mellem α og β i være identisk med vinklen mellem α og β i. Lad α være en linje og β en cirkel som skærer hinanden i,. Lad γ være tangenten til β i. a er vinklen mellem α og β i lig med vinklen mellem α og γ i som ifølge det vi lige har vist er identisk med vinklen mellem α og γ i som er lig med vinklen mellem α og β i da tangens bevares ved inversion. evis. Vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r. ette giver og + = r 2 r 2 + r 2 r 4 = ( + ) = r 2 r 2 r 4 =. tolemæus ulighed er i den inverterede situation derfor blot trekantsuligheden + hvor der gælder lighedstegn netop hvis, og ligger på en linje i nævnte rækkefølge. I det ikke inverterede tilfælde er dette netop ækvivalent med at, og ligger på en cirkel gennem, så ikke ligger ved siden af, dvs. at firkant er indskrivelig. r 2 å tilsvarende vis ses at vinklen mellem to cirkler bevares ved inversion. 27 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

28 I beviset for tolemæus ulighed benyttede vi kun formlen for hvordan afstande ændres ved inversion, samt at en cirkel gennem inversionscirklens centrum afbildes på en linje der ikke går gennem centrum og omvendt. g så selvfølgelig trekantsuligheden. Inversion i en cirkel med centrum i Ved inversion i en cirkel med centrum og radius r afbildes linjerne gennem på sig selv, linjen ST afbildes i en cirkel gennem, og cirklen afbildes i en cirkel som tangerer linjerne S og T som vist på figuren. Eksempel med NM-opgave fra 2007 En linje gennem skærer en cirkel i to punkter, og, på en sådan måde at ligger mellem og. Fra punktet tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad være skæringspunktet mellem linjerne S T og. S S Nu skal vi først udregne hvad det er vi skal vise: T Vi skal vise at T = 2. llerførst skal vi overveje hvilket punkt vi skal invertere i. e to mest centrale punkter er og, og man kan faktisk invertere i dem begge med succes. Her ser vi på en inversion i. = r 2 / r 2 /( ) = 2 = 2 r 2 / r 2 /( ) = 2. Vi skal altså i det inverterede tilfælde blot vise den simplere sammenhæng at = 2. Lad være diameter i cirkel S T. a er S = T = 90, og derfor er centrum i cirkel T S. er gælder yderligere at = 90, hvilket betyder at radius fra gennem i cirkel T S står vinkelret på korden, og derfor deler den på midten. ltså er = 2 som ønsket. 28 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

29 Nu skal vi se på en IM-opgave fra 1996 hvor inversion er et utroligt effektivt redskab. Eksempel fra IM 1996 pgaven lyder: Lad være et indre punkt i trekant så =. Lad og E være centrene for henholdsvis de indskrevne cirkler i trekant og trekant. Vis at linjerne, og E skærer hinanden i et punkt. Når vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r, svarer ligheden vi skal vise til den væsentlige simplere lighed =. Vi har endnu ikke benyttet oplysningerne om vinklerne, så derfor ser vi på hvad disse giver os af information i den inverterede situation. Tilsvarende er = =. = =. Ifølge antagelsen om vinklerne har vi nu at =, dvs. at som ønsket. = Først bemærker vi at linjen er vinkelhalveringslinjen fra i trekant, og det er kendt at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to hosliggende sider. Linjen deler altså linjestykket i forholdet /. å tilsvarende vis ses at linjen E deler linjestykket i forholdet /. t vise at de tre linjer, E og går gennem samme punkt, er altså ækvivalent med at vise at =. Nu skal vi overveje hvilket centrum vores inversionscirkel skal have. I dette tilfælde er der en del vinkler hvis ene vinkelben går gennem, og i sådan et tilfælde er det ofte en god ide at invertere i en cirkel med centrum i. Valget af radius er derimod ikke væsentligt. E Ved først at udnytte at vinkelhalveringslinjer deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende cirkler, og efterfølgende invertere omformes problemstillingen til en problemstilling der nærmest giver sig selv. Kunsten er selvfølgelig at gennemskue at inversion i en cirkel med centrum i forsimpler problemstillingen. pgave Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. unkterne ogq ligger på linjen så = Q = s. Vis at den omskrevne cirkel til trekant Q tangerer den ydre røringscirkel til siden c i trekant. pgave Fire cirkler tangerer hinanden så 1 og 3 tangerer 2 og 4, samt så cirklerne ikke overlapper hinanden. Røringspunkterne mellem 1 og 2, 2 og 3, 3 og 4 samt 4 og 1 betegnes henholdsvis,, og. Vis at disse fire punkter enten ligger på en ret linje eller på en cirkel. 29 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

30 pgave Tre cirkler Γ, Γ og Γ har et fælles skæringspunkt. et andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er, det andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er, og det andet skæringspunkt mellem Γ og Γ er. Linjen skærer cirklen Γ i et punkt X forskelligt fra. Ligeledes skærer linjen cirklen Γ i et punkt Y forskelligt fra, og linjen skærer cirklen Γ i et punkt Z forskelligt fra. Vis at (NM 2010) Y Z X Z X Y = 1. pgave Lad 1 og 1 være midtpunkterne af henholdsvis og i trekant. Skæringspunktet mellem de omskrevne cirkler til trekant 1 og trekant 1 betegnes, og skæringspunktet forskelligt fra mellem linjen og den omskrevne cirkel til trekant 1 1 betegnes 1. Vis at 2 = 3 1. (altic Way 2006) pgave Fire cirkler α 1, α 2, α 3 og α 4 går alle gennem et punkt så α 1 og α 3 tangerer hinanden udvendigt i, og α 2 og α 4 ligeledes tangerer hinanden udvendigt i. ntag yderligere at α 1 og α 2, α 2 og α 3, α 3 og α 4 samt α 4 og α 1 skærer hinanden i henholdsvis,, og alle forskellige fra. Vis at α 0 Kald røringspunktet mellem α i og α i +1, i = 1, 2,..., for i. Vis at alle røringspunkterne 1, 2, 2,... ligger på en cirkel. pgave Lad α være en halvcirkel med diameter Q, β en cirkel som tangerer linjestykket Q og halvcirklen α, førstnævnte i punktet, og γ en linje som tangerer β og står vinkelret på Q i punktet, så ligger mellem og Q. Kald det andet skæringspunkt mellem α og γ for. Vis at er vinkelhalveringslinje i trekant. β γ α 1 α α = 2 2. Q pgave Lad være en konveks firkant så de to diagonaler står vinkelret på hinanden. Kald skæringspunktet mellem diagonalerne for, og kald fodpunkterne for højderne fra i trekant,, og for henholdsvis, Q, R og S. Vis at punkterne, Q, R og S ligger på en cirkel. Gloser inversion inversion pgave Lad α være en halvcirkel med diameter, et punkt på linjestykket forskelligt fra og, og α 0 en halvcirkel med som diameter så α og α 0 ligger på samme side af. Nu definerer vi en følge af cirkler på følgende måde. irklen α 1 er cirklen med diameter, og cirklen α n er cirklen som tangerer α, α 0 og α n 1 som vist på figuren. 30 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

31 14 Løsningsskitser pgave 1.1 a M N er midtpunktstransversal i trekant, og Q er midtpunktstransversal i trekant, er både M N og Q parallelle med og derfor også med hinanden. å samme måde ses at N og M Q er parallelle. erfor er firkant M N Q et parallelogram. b v a c pgave 1.2 Lad være en trekant, tegn midtnormalerne på og, og kald deres skæringspunkt for. V Ved at udnytte at a midtnormalen på er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, og midtnormalen på er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, må afstandene fra til henholdsvis, og være lige store. unktet er dermed centrum for den omskrevne cirkel, og midtnormalen på vil på tilsvarende vis gå gennem. pgave 1.3 Lad være en trekant, tegn vinkelhalveringslinjerne fra og, og kald deres skæringspunkt for I. a vinkelhalveringslinjerne er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben, må afstandene fra I til alle tre sider være lige store. unktet I er dermed centrum for den indskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjen fra vil på tilsvarende vis gå gennem I. I får vi sin( V ) = sin(180 V ) = sin( V ) b V sin( V ) sin( V ) = sin( 2 ) = sin( 2 ) = c V. Heraf ses at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende sider. Sidste del kan også vises på en anden måde uden brug af trigonometri: Lad være skæringspunktet mellem linjen gennem parallel med og linjen V. a er = V = V =, dvs. trekant er ligebenet med = c. Trekanterne V og V er pr. konstruktion ligedannede, hvilket giver som ønsket. b V = V = c V 31 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

32 pgave 1.4 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. M M a b r I c r realet af trekant I er da 1 2 r c da r er højden, og c er grundlinjen. Tilsvarende er arealet af trekant I og I henholdsvis 1 2 r b og 1 2 r a. a arealet af trekant netop er summen af arealerne af disse tre trekanter, er T = 1 (a + b + c )r = s r. 2 pgave 1.5 Lad være fodpunktet for vinkelhalveringslinjen fra. α γ + α β I r α + β β + γ a α + β + γ = 90, er = 180 β 2γ = 2α + β. ermed er I = 180 (2α + β) γ = β + γ. e andre vinkler vises på tilsvarende måde. pgave 1.6 Lad M betegne medianernes skæringspunkt og M a betegne fodpunktet for medianen på siden a. a γ a 3 M M a = M a, er højden fra i trekant tre gange så stor som højden fra M i trekant M. ermed udgør arealet af trekant M en tredjedel af arealet af trekant. esuden har trekant M M a og trekant M M a samme areal da de har samme højde og lige store grundlinjer. ermed deler medianerne en trekant i seks små trekanter med samme areal. pgave 1.7 Kald fodpunktet af medianen m a på a for M a. Tegn en linje gennem parallel med M a, og lad 1 være skæringspunktet mellem denne linje og forlængelsen af. M a m a Trekanterne M a og 1 er ensvinklede med forholdet 1 : 2, dvs. at = 1. Linjen gennem som halverer m a, halverer også 1 da m a og 1 er parallelle. enne linje og er derfor begge medianer i trekant 1, og linjen deler dermed i forholdet 1 : 2. pgave 1.8 Først viser vi at siderne i trekant er parallelle med siderne i trekant. Indtegn midtpunktstransversalen m gennem siderne og Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

33 pgave 1.10 Lad 2 være skæringspunktet mellem I 1 og. m 1 I 2 1 enne midtpunktstransversal går gennem og er parallel med. unkterne og ligger lige langt fra linjen m og linjen, og dermed er siden parallel med. Tilsvarende gælder for de andre to sider i trekant. Vi har nu at siderne i trekant og siderne i trekant er parallelle. a midtpunktstransversalen m deler siden på midten, må linjen dele siden i forholdet 1 : 3, dvs. at = 4. ermed er forholdet mellem siderne i trekant og siderne i trekant 1 : 4, dvs. at forholdet mellem arealerne er = realet af trekant er derfor pgave 1.9 Lad, og være den indskrevne cirkels røringspunkter med henholdsvis a, b og c. 1 Trekant 2 I er retvinklet, og I = 2 2 I. ermed er I 2 = 30. a I er vinkelhalveringslinje, er vinkel = 60. pgave 2.1 a Q er diameter i den omskrevne cirkel, står Q vinkelret på og er dermed parallel med H som også står vinkelret på. Q 1 H 2 I å samme måde ses at Q er parallel med H. ermed er Q H et paralellogram. pgave 2.2 Vi skal vise at korde-tangentvinklen w er halvt så stor som den centervinkel v der spænder over korden. a linjestykket fra centrum til tangentens røringspunkt står vinkelret på tangenten, er w = 90 = v 2 = v 2. Trekanterne I 1, I 2, I og I er kongruente, dvs. at 1 2 = = +. å tilsvarende vis fås 1 2 = + og 1 2 = +. ette giver det ønskede. pgave 2.3 ntag at R Q = SQ = α. Ifølge sætningen om korde-tangentvinkler danner tangenten i en vinkel α med Q. ermed er l sammenfaldende med denne tangent. 33 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

34 pgave 2.4 etragt trekant. a vinkelsummen i en trekant er 180, er v = 180 = + = v emærk først at = 180 = 180 a vinkelsummen i en trekant er 180, er w = w 2 2 = etragt nu trekant. pgave 2.5 a I er vinkelhalveringslinje i trekant, må M være midtpunktet af cirkelbuen. ermed er M = M. Lad som sædvanligt α, β og γ være de halve vinkler. I M 2. pgave 2.6 Ifølge sætningen om korde-tangentvinkler er trekant og trekant ensvinklede. ette giver 2 = = 12, og altså = 12. pgave 2.7 emærk først at 4 1 a b + 1 a c + 1 b c = a + b + c. a b c Kald arealet af trekanten for T. a er a + b + c = 2T r som ønsket. a + b + c a b c 3 = 2T r 4RT = 1 2r R. og a b c = 4RT. Vi har nu pgave 3.1 Lad være en firkant hvor =. Tegn den omskrevne cirkel til trekant, og lad være skæringspunktet mellem og den omskrevne cirkel. a ligger på cirkelperiferien, er = =. Trekanterne og er dermed kongruente da de også har vinklen ved fælles og siden. ermed er = og firkant indskrivelig. Vi mangler at bevise at I M = M. Ved at benytte sætningen om vinkler ved I fås at I M = α + β. esuden er M I = M + I = M + β = α + β. ermed er I M = M, og M er centrum for cirklen gennem, og I. Lad omvendt være en indskrivelig firkant. a gælder ifølge sætningen om periferivinkler at =. 34 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

35 pgave 3.2 Vi ser på tilfældet hvor vinkel og er spidse. Firkant H b H a er indskrivelig da H a = 90 = H b. a H b H a er indskrivelig, må H a H b = 180 H a H b =. ermed er ensvinklet med H a H b. eviset foregår stort set tilsvarende hvis vinkel eller er stump. pgave 3.3 Vi viser det i tilfældet hvor er en spidsvinklet trekant. Lad H være skæringen mellem H og den omskrevne cirkel til trekant. K H M L a er H = H = 90 = H. a H står vinkelret på, følger det at H er spejlingen af H i siden. eviset foregår stort set på samme måde hvis trekant er stumpvinklet. pgave 3.4 a firkant H b H a er indskrivelig, er H a H b = H b. Tilsvarende er H a H c = H c. a H b og H c er retvinklede og har vinkel fælles, er de ensvinklede, og dermed er H b = H c. Samlet er H a vinkelhalveringslinje i H a H b H c. H H a M er midtpunktet af hypotenusen i den retvinklede trekant L, er L = M L. ermed er vinklen mellem linjen M L og korden H L den samme som periferivinklen H L der spænder over korden H L. ltså er M L tangent til cirklen ifølge den omvendte sætning om korde-tangentvinkler. Helt tilsvarende vises at M K er tangent til cirklen. pgave 3.6 Kald punktet hvor alle tre cirkler skærer hinanden, for S. a summen af modstående vinkler i indskrivelige firkanter er 180, er RS = S = SQ og SQ + SR = 180. ermed er SR + SR = 180 som ønsket. pgave 3.7 a M H = M = 90, er firkant M H indskrivelig. H M pgave 3.5 Kald højdernes skæringspunkt for H. a firkant K H L er indskrivelig, ligger H på den omskrevne cirkel til trekant K L. a højderne skærer hinanden i samme punkt, er linjen H også højde i trekanten. erfor er L = 90 = H. ermed er H = M = M = H, hvilket viser at = H. 35 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

36 pgave 3.8 Vinkel og vinkel er rette da de spænder over en diameter i cirklen. S pgave 4.2 ntag at og ligger på l på hver sin side af, og at og ligger på m på hver sin side af. ntag yderligere at =. l m T Firkanterne ST og ST er derfor indskrivelige da de har to modstående rette vinkler, og firkant er pr. konstruktion indskrivelig. ermed er T S = S = = = S = ST, hvilket viser at linjen S T halverer vinkel T. pgave 4.1 Lad være et punkt inden i cirklen, så. M Lad ω være cirklen gennem, og, og lad være skæringen (forskellig fra ) mellem ω og linjen m. a ligger på korden, må være et indre punkt i ω. ermed ligger også på korden, dvs. at og ligger på samme side af på linjen m. Ifølge sætningen om et punkts potens er =. ermed er = og altså =. e fire punkter,, og ligger derfor på samme cirkel. eviset føres stort set tilsvarende når både og ligger på samme side af, og og ligger på samme side af. I dette tilfælde er blot et punkt der ligger uden for cirklen. pgave 4.3 Lad R være skæringspunktet mellem N M og Q. Ifølge sætningen om punkts potens er R 2 = R N R M = Q R 2, og altså R = Q R. M N N Tegn linjen gennem og, og kald skæringspunkterne med cirklen for M og N. Trekanterne M og N er ensvinklede ifølge sætningen om periferivinkler. ltså er = M N = (r )(r + ) = r 2 2 = ow(,ω). ermed har trekant M R og trekant M RQ samme areal, og trekant N R og trekant N Q R samme areal, og dermed har også trekant M N og trekant M N Q samme areal. R Q 36 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

37 pgave 4.4 Lad være skæringspunktet mellem de to cirkler. a er vinklerne og begge rette da de spænder over en diameter, og dermed er fodpunktet for højden fra på siden. S a 1 og 2 har samme radius, betyder det at k 1 = k 2. ltså vil en multiplikation omkring M med multiplikationsfaktor 1 k k 1 1 afbilde 1 i 1 og 2 i 2, og dermed 1 2 i 1 2. e to linjer er derfor parallelle. pgave 5.2 er findes en multiplikation omkring som afbilder 1 i 2. Ved denne multiplikation afbildes N i N og i som vist på figuren. N M H T l 1 N l 2 Højdernes skæringspunkt H ligger derfor på, hvilket ifølge sætningen om et punkt potens giver at H S H T = H H = H H Q. ermed ligger, Q, S og T på en cirkel ifølge den omvendte sætning om et punkts potens. pgave 5.1 er findes en multiplikation omkring 1 med multiplikationsfaktor k 1 som fører 1 i, og tilsvarende en multiplikation omkring 2 med multiplikationsfaktor k 2 som fører 2 i. Q Linjerne l og l er parallelle og cirkelbuerne M N og Q derfor ligestore. ltså er M N = Q. pgave 5.3 er findes en multiplikation omkring som afbilder 1 i 2, og multiplikationsfaktoren for denne afbildning kaldes k. ermed er X 2 Y 2 = k X 1 Y 1. X 2 Q X 1 M Y 1 Y 2 37 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

38 Trekanterne X 1 Y 1 og Y 2 X 2 er derfor ensvinklede så Y 2 = k X 1 og X 2 = k Y 1. En multiplikation omkring med multiplikationsfaktoren k fører dermed X 1 i Y 2 og Y 1 i X 2, og altså cirklen 1 i den omskrevne cirkel til X 2 Y 2. ermed tangerer 1 og den omskrevne cirkel til X 2 Y 2 hinanden (overvej). pgave 5.6 Ifølge sætning om højder og indskrivelige firkanter ligger spejlingen af H i linjen på den omskrevne cirkel til trekant. pgave 5.4 Linjen gennem X 1 vinkelret på a og linjen gennem X vinkelret på a er parallelle, og da de begge står vinkelret på korden X X 1 i cirklen, må de have samme afstand til cirklens centrum. H c M a Z Z 1 Y 1 Y M b H a H M c H b X 1 X Ved en multiplikation i cirklens centrum med multiplikationsfaktor 1 føres linjen gennem X 1 vinkelret på a derfor i linjen gennem X vinkelret på a. Tilsvarende føres linjen gennem Y 1 vinkelret på b i linjen gennem Y vinkelret på b, og linjen gennem Z 1 vinkelret på c i linjen gennem Z vinkelret på c. a de tre linjer føres i tre linjer som skærer hinanden i et punkt, må de tre linjer også selv skærer hinanden i et punkt. pgave 5.5 En multiplikation i M med multiplikationsfaktor k = 1 2 fører i M a, i M b og i M c. ermed føres I i S, og punkterne I, M og S ligger på linje. Ved en multiplikation omkring H med multiplikationsfaktor 2 bliver H c derfor afbildet i et punkt på den omskrevne cirkel. Tilsvarende bliver H a og H b afbildet i punkter på den omskrevne cirkel. unkterne M a, M b og M c bliver afbildet i henholdsvis, og. e seks punkter H a, H b, H c, M a, M b og M c bliver dermed alle afbildet på den omskrevne cirkel, og derfor ligger de alle på samme cirkel. en omskrevne cirkel til trekant H a H b H c afbildes desuden i den omskrevne cirkel til trekant, hvilket viser at radius i den omskrevne cirkel til trekant er dobbelt så stor som radius i den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c. pgave 5.7 etragt multiplikationen i som fører trekant i en trekant så ligger på, og kald multiplikationsfaktoren for k. Kald midtpunktet af Q for I. Vi vil vise at multiplikationen fører I i centrum for cirklen gennem Q da denne cirkel er indskreven cirkel til trekant og dette derfor viser det ønskede. Trekanterne I,, og er ensvinklede da de er retvinklede og deler vinklen ved. ermed er I = I = = = k. ltså afbildes I i, og I er derfor centrum for den indskrevne cirkel til trekant. 38 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

39 I Q pgave 6.2 Lad S 1 være cirklen med centrum i gennem og, S 2 være cirklen med centrum i E gennem og, og 3 cirklen med centrum i F gennem og. Radikalaksen for S 1 og S 2 er linjen gennem deres fælles punkt som står vinkelret på linjen gennem deres centre, dvs. vinkelret på linjen E. Tilsvarende er radikalaksen for S 1 og S 3 linjen gennem vinkelret på linjen F, og radikalaksen for S 2 og S 3 linjen gennem vinkelret på E F. Ifølge sætningen om radikalcentrum skærer de tre linjer hinanden i et punkt, hvis de ikke alle er parallelle. et sidste er ikke en mulighed da de tre linjer står vinkelret på hver sin side i trekant E F. E pgave 6.1 Radikalaksen for S 1 og S 2 er linjen M N. Kald den omskrevne cirkel til rektanglet for S. Radikalaksen for S og S 1 er, og radikalaksen for S og S 2 er. Ifølge sætningen om radikalcentrum skærer de tre radikalakser hinanden i et punkt, eller også er de alle tre parallelle. et sidste er ikke muligt her da og er diagonalerne i et rektangel. ermed ligger skæringen mellem og på linjen M N. N F M pgave 6.3 Lad T være skæringspunktet mellem Q og RS, og lad c 1 og c 2 være to cirkler gennem henholdsvis og Q samt R og S som tangerer hinanden i I. a T ligger på radikalaksen for c og c 1, samt på radikalaksen for c og c 2, må T være radikalcentrum for de tre cirkler, hvilket betyder at T I = T T Q uanset valget af c 1 og c 2. vs. at L er en delmængde af cirklen med T som centrum og T T Q som radius. Lad omvendt I være et punkt på denne cirkel som ikke ligger på nogen af linjerne SR og Q og ikke på cirklen Q RS. a vil T være radikalcentrum for cirklen c samt de omskrevne cirkler til trekant Q I og trekant RS I. Fordi T I = T T Q må de omskrevne cirkler til trekant Q I og trekant RS I tangere hinanden i I ifølge sætningen om et punkts potens. ermed er L cirklen med centrum i T og radius T T Q 39 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

40 fraregnet punkterne på linjerne R R og Q og punkterne på cirklen Q RS. (isse punkter opfylder oplagt ikke betingelsen). c S I c 2 c 1 pgave 6.4 Kald cirklen gennem, E,, F for ω, cirklen med centrum i og radius for ω 1 og cirklen med centrum i og radius E for ω 2. Vi ønsker at vise at og N ligger på radikalaksen for ω 1 og ω 2 da dette viser at N står vinkelret på linjen. ω 1 E R Q N T F ω 2 a er tangent til ω og dermed står vinkelret på, må være tangent til ω 1. Tilsvarende er F tangent til ω 2. erfor er (,ω 1 ) = 2 = E 2 = (,ω 2 ), dvs. at ligger på radikalaksen for ω 1 og ω 2. esuden er (N,ω 1 ) = N N = (N,ω) = E N F N = (N,ω 2 ). ermed ligger også N på radikalaksen for ω 1 og ω 2, og det ønskede er vist. pgave 6.5 Linjerne, M og N er radikalakserne for de tre par af cirklerne, og. erfor er de enten parallelle, eller også går de gennem samme punkt. Hvis de ikke er parallelle, kaldes det fælles punkt. Helt tilsvarende er, og Q radikalakserne for de tre par af cirklerne, og. Hvis de ikke er parallelle, kaldes det fælles punkt. Igen helt tilsvarende er, R og S radikalakserne for de tre par af cirklerne, og. Hvis de ikke er parallelle, kaldes det fælles punkt. Hvis (ii) ikke er opfyldt, har vi derfor tre punkter, og som beskrevet. unktet har samme potens mht. cirklerne, og, dvs. = M = N. ermed har også samme potens mht. cirklerne og, dvs. ligger på deres radikalakse. Helt tilsvarende ses at og ligger på radikalaksen for og, og dermed ligger de tre punkter på linje. pgave 6.6 (i) Kald centrene i cirklerne c 1, c 2 og c 3 for henholdsvis 1, 2 og 3. Firkant E F G er pr. konstruktion et parallelogram, diagonalerne skærer dermed hinanden på midten, og 3 er derfor deres skæringspunkt. Linjen gennem 1 3 er derfor midtpunktstransversal i trekant F, og altså parallel med F, og dermed ortogonal med M E. unktet E ligger på c 1 da E er midtpunktet af korden i cirklen c, og vi dermed ved at E = 90. Radikalaksen for c 1 og c 3 er derfor M E da E ligger på begge cirkler, og M E står vinkelret på linjen gennem cirklernes centre. Tilsvarende ses at N G er radikalakse for c 2 og c 3. (ii) Radikalaksen for c og c 1 er deres fælles tangent i, og dermed er radikalcentrum for c, c 1 og c 3 skæringen mellem denne tangent og radikalaksen 40 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

41 for c 1 og c 3, dvs. punktet M. å tilsvarende vis ses at radikalcentrum for c, c 2 og c 3 er N. (iii) f ii) følger at M N er radikalakse for c og c 3, og dermed står N M vinkelret på 3. Vi ved desuden at står vinkelret på 3, da 3 halverer. ermed er M N parallel med. pgave 7.1 Kald fodpunkterne for højderne i trekant for H a, H b og H c. c H c Ifølge evas sætning er Q M Q M = 1. a Q Q M = 1, må M = 1, og M deler dermed på midten. pgave 7.3 a den indskrevne cirkel tangerer og, er afstanden fra til de to røringspunkter Y og Z den samme. ltså er Y = Z, og tilsvarende X = Z og X = Y. Z Y a er cos = H b c b H b = H c, og dermed H b b H c = c b. et tilsvarende gælder for de andre sider. erfor er ltså må X Z X Z X Y Y = 1. H b H c H b H c H a H a = a b c a b c = 1. Ifølge evas sætning går højderne dermed gennem samme punkt. pgave 7.2 a Q er paralleltransversal i trekant, er Q = Q ifølge sætningen om transversaler. Kald skæringen mellem X og for M. Ifølge evas sætning betyder dette at X, Y og Z skærer hinanden i et punkt. pgave 7.4 Trekant og trekant Q er kongruente da de har en fælles side, = Q og = 90 = Q, dvs. at = Q. Q Q X M H 41 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

42 Trekant H og trekant Q er ensvinklede da de begge har en ret vinkel samt den fælles vinkel. ermed er Q H =. Tilsvarende er H =. a er vinkelhalveringslinje, er. Samlet er H H Q Q = H = Q H = = 1. Ifølge evas sætning skærer linjerne H, og Q hinanden i et punkt. pgave 7.5 Vi viser at da dette viser det ønskede. sinα 1 sinβ 1 sinγ 1 = sinα 2 sinβ 2 sinγ 2 α 1 α 2 β 2 β1 γ 2 γ 1 Ifølge sinusrelationen er sinα 1 = 1 sin og sinα 2 = sin. (emærk at dette også holder i tilfældes hvor ligger på forlængelsen af tættest på, da både og α 1 og dermed sinα 1 er negative i dette tilfælde). ermed er sinα 1 = sin sinα 2 sin. a det tilsvarende gælder for de andre vinkler, er sinα 1 sinβ 1 sinγ 1 = sin sinα 2 sinβ 2 sinγ 2 sin sin sin sin sin = pgave 7.6 et ønskede følger af evas sætning med vinkler, da α 1 = = = α 2 osv. pgave 8.1 Kald trekanten og de tre højder for h a, h b og h c, så h a = 12, h b = 15 og h c = 20. ga. ensvinklede trekanter er a b = h a h b, og altså b = h a h b a = 4 5 a. Tislvarende c = h a h c = 3 5 a. ermed er trekantens halve omkreds s = 1 2 (a + b + c ) = 1 2 (a a a ) = 6 5 a. realet T af trekant er derfor T = 1 2 a h a = 6a. Vi ved yderligere ifølge Herons formel at T = 6 s (s a )(s b )(s c ) = 5 a 1 5 a 2 5 a 3 5 a = 6 25 a 2. ltså er a = 25 og T = 150. pgave 8.2 Lad n 3, og lad n 1, n og n +1 være sidelængderne i en trekant. en halve omkreds er da 3n 2. Ifølge Herons formel er arealet 3n 3n 3n 3n T n = 2 2 n n 2 n 1 = n (n 2 4). For n = 4 er T = 6, så vi har mindst en trekant der opfylder betingelserne. Vi viser nu at vi ud fra en trekant der opfylder betingelserne, kan konstruere endnu en trekant med den ønskede egenskab og større sidelængde. ette giver nemlig at der findes uendeligt mange. Lad n være et lige tal, n 4, og antag at 3 4 (n 2 4) er et kvadrattal. etragt trekanten med sidelængderne m 1, m og m + 1 hvor m = n 2 2. a er m > n, m er lige, og ermed er 3 4 (m 2 4) = 3 4 (m 2)(m + 2) = 3 4 (n 2 4)n 2. T m = m (m 2 4) et helt tal. er findes altså uendeligt mange trekanter med de ønskede egenskaber. 42 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

43 pgave 9.1 Lad 1, 1 og 1 være røringspunkterne for den indskrevne cirkel med henholdsvis, og, og lad 2, 2 og 2 være røringspunkterne mellem den ydre røringscirkel ω a og henholdsvis, og. 2 a er I a = 180 a I a I = 180 a I a I = 180 (α + γ) β (α + β) = γ = I ermed er firkant I a indskrivelig, og, I, og a ligger på en cirkel med M som centrum. iv) Trekanterne I og a er ensvinklede da I = a, og a = a I = I = I. ermed er I a =. i) otensen af mht. ω er 2 2, og 2 = 1 2 ( ) = 1 2 ( ) = 1 2 ( ) = s. ltså er potensen af mht. ω lig s 2. ii) Ifølge i) er 2 = s = s ( ), og da s = , er 1 = 2. ltså ligger 1 og 2 symmetrisk på linjestykket omkring dets midtpunkt. pgave 9.2 Kald røringscirklernes røringspunkter med siderne, og for henholdsvis, og og den indskrevne cirkels røringspunkter med siderne, og for henholdsvis 1, 1 og 1. Fra sætningen om de ydre røringscirkler ved vi at = = 1. evas sætning giver nu at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. pgave 9.3 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I, og røringspunktet mellem cirklen og linjen for. etragt den ydre røringscirkel til siden a, kald centrum for a og røringspunktet mellem cirklen og linjen for. I M a I iii) Ifølge sætningen om superpunktet ligger punkterne, og I på en cirkel med M som centrum. Sæt = 2α, = 2β og = 2γ. 43 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

44 Trekanterne I og a er oplagt ensvinklede. esuden ved vi at = s a og = s. ette giver s a r = s r a, og altså Nu har vi Fra Herons formel fås yderligere at ette giver samlet T = s r = r a (s a ). T = r s = r a (s a ) = r b (s b ) = r c (s c ). T 2 = s (s a )(s b )(s c ). viser at E I og G spænder over samme buestykke i Γ, og dermed at G og E I skærer hinanden på Γ. pgave 10.1 Kald centrene for de tre cirkler 1, 2 og 3 og deres radier for r 1, r 2 og r 3. Lad desuden 1 og 2 være røringspunktet på henholdsvis 1 og 2 for en af de fælles tangenter. a er trekanterne X 1 1 og X 2 2 ensvinklede, og altså X 1 X 2 = r 1 r 2. Tilsvarende ses at Y 2 Y 3 = r 2 r 3 og Z 3 Z 1 = r 3 r 1. Y 2 T 2 = T 4 T = r s r a (s a )r b (s b )r c (s c ) 2 s (s a )(s b )(s c ) = r r a r b r c. Z 1 3 pgave 9.4 Lad a være centrum for den ydre røringscirkel til siden. Ifølge Sætning om den ydre røringscirkel iv) er I a =. Trekanterne F og E er ensvinklede fordi F = E pr konstruktion og F = E da de spænder over samme buestykke. I G F E ermed er F E = = I a, hvilket viser at a F og E I er ensvinklede. Ifølge Sætning 2 om den ydre røringscirkel i) er G midtpunktstransversal i trekant I a F, dvs. G = a F = E I, hvilket a X etragt trekanten unkterne X, Y og Z er henholdsvis punkter på linjerne 1 2, 2 3 og 3 1. Nu benytter vi Menelaos sætning til at vise at X, Y og Z ligger på linje. Hvis vi regner med fortegn, er 1 X 2 Y X 2 Y 3 3 Z Z 1 = r 1 r 2 r 3 = 1. r 2 r 3 r 1 ermed ligger de tre punkter X, Y og Z på linje. pgave 10.2 Kald centrene for de tre cirkler 1, 2 og 3 og deres radier for r 1, r 2 og r 3. Som i opgave 10.1 ses at X 1 X 2 = r 1 r 2, Y 2 Y 3 = r 2 r 3 og Z 3 Z 1 = r 3 r 1. etragt trekanten unkterne X, Y og Z er henholdsvis punkter på linjerne 1 2, 2 3 og 3 1. Nu benytter vi Menelaos sætning til at vise at X, Y og Z ligger på linje. Hvis vi regner med fortegn, er 1 X 2 Y X 2 Y 3 3 Z Z 1 = r 1 r2 r3 = 1. r 2 r 3 r 1 ermed ligger de tre punkter X, Y og Z på linje. 44 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

45 pgave 11.1 Lad være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant, og antag wlog at ligger på buestykket så projektionen 2 af på linjen ligger på linjestykket, mens projektionen 3 af på linjen ikke ligger på linjestykket, men dets forlængelse. 3 Tilsvarende ligger på den omskrevne cirkel til trekant H F, hvilket betyder at M, N og ligger på linje. ette viser samlet at alle fire punkter, Q, M og N ligger på en ret linje. pgave 11.3 Lad være skæringen mellem den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 4, og den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 3 og l 4. Lad yderligere punkterne 1, 2, 3 og 4 være projektionerne af på henholdsvis l 1, l 2, l 3 og l l 2 Firkant 2 1 er indskrivelig da begge diagonaler star vinkelret på en side, og dermed er 1 2 = 2. Firkant 1 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og dermed er 1 3 = 3. Firkant 2 3 er indskrivelig da to modstående vinkler er rette, og da firkant pr. konstruktion er indskrivelig, er 3 2 = 180 =. f dette følger at 3 = 2, og samlet at 1 2 = 1 3, dvs. at punkterne 1, 2 og 3 ligger på en ret linje. pgave 11.2 Firkant H E er cyklisk da den har to modstående rette vinkler. ermed ligger på den omskrevne cirkel til trekant H E, hvilket betyder at Q, M og N ligger på en linje (Simsonlinjen) l 3 l 1 a ligger både på den omskrevne cirkel til trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 4 og trekanten dannet af linjerne l 1, l 3 og l 4, ligger 1, 2, 3 og 4 på linje ifølge sætningen om Simsonlinjen. Men dermed må også ligge på den omskrevne cirkel for trekanten dannet af linjerne l 1, l 2 og l 3 og trekanten dannet af l 2, l 3 og l 4 ifølge den omvendte Simpson. ltså går alle fire omskrevne cirkler gennem. l 4 F M H E N Q pgave 11.4 Lad, M og N være midtpunkterne af linjestykkerne, F og G. a punkterne, F og G ligger på linjen l, ligger, M og N på en linje som er parallel med l. a er et parallelogram, er skæringspunktet mellem diagonalerne. unktet E ligger på den omskrevne cirkel til trekant, og da E F = E G = E må projektionen af E på henholdsvis og være M og N. rojektionen af E på ligger ifølge sætningen om Simsonlinjen på linjen gennem M og N, dvs. at er projektionen af E på. 45 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

46 N G M F E a firkant E er indskrivelig, er E = E, hvilket giver at trekant E og trekant E M er ensvinklede, dvs. at E = M E. Firkant M E N er også indskrivelig da to modstående vinkler er rette, dvs. at N M = E M. lt dette giver samlet ythagoras sætning giver dermed at = 3 og = 2. Ved at anvende tolemæus sætning får vi nu at 6 2 = =. 2 pgave 12.3 Kald kvadratets sidelængde for x. F = N M = E M = E = 1 2 E = 1 2 = 1. 2 Hermed har vi vist at linjen l er vinkelhalveringslinje for vinkel pgave 12.1 Ifølge tolemæus sætning gælder at M = M + M. Ifølge tolemæus sætning anvendt på firkant er + = og dermed x + x = 2x. a trekant er ligesidet, fås M = M + M. M pgave 12.2 emærk at er diameter i cirklen, og dermed at trekanterne og er retvinklede. Samlet er uanset valget af. + = 2 46 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

47 pgave 12.4 a syvkanten er regulær, er =, = E, = E og = E. Ved at benytte tolemæus sætning på firkant E som er indskrivelig da syvkanten er regulær, fås: s s Q E + E = E + = = 1. pgave 13.1 etragt diameteren hvis forlængelse går gennem. enne diameter vil af symmetrigrunde afbildes i diameteren til α, og da linjer gennem afbildes på sig selv følger det at centrum for α, centrum for α og punktet ligger på linje. pgave 13.2 Kald røringspunkterne for den ydre røringscirkel og linjerne og for henholdsvis M og N. et er velkendt fra kapitlet om ydre røringscirkler at M = N = s. unkterne M og N fikses derfor ved inversionen, dvs. at den ydre røringscirkel afbildes i en cirkel gennem M og N som tangerer billederne af linjerne og. a og afbildes på sig selv, må også cirklen afbildes på sig selv. pgave 13.3 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Firkant M I N er indskrivelig da M I = N I = 90. M I N M N irklen M N afbildes derfor i en linje gennem M og N da disse to punkter ligger på inversionscirklen. illedet af er altså skæringspunktet mellem linjestykket N M og linjen I. ette skæringspunkt er netop midtpunktet af M N, da I er vinkelhalveringslinje til vinkel N M og M = N. pgave 13.4 I Ved inversion i en cirkel med centrum og radius s afbildes den ydre røringscirkel på sig selv ifølge opgave Vi skal altså vise at billedet af den omskrevne cirkel til trekant Q tangerer den ydre røringscirkel. a og Q afbildes på sig selv, vil den omskrevne cirkel til trekant Q afbildes i linjen Q som tangerer røringscirklen. pgave 13.5 Ved inversion i en cirkel med centrum i afbildes 1 og 2 i to parallelle linjer, og 3 og 4 afbildes i to cirkler der tangerer hinanden samt henholdsvis billedet af 2 og 1. 3 Ved at regne på vinklerne ses let at, og ligger på linje. Hvis denne linje går gennem, vil,, og ligge på linje, og hvis linjen ikke går gennem, vil,, og ligge på en cirkel Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

48 pgave 13.6 Ved inversion i punktet afbildes cirklerne Γ, Γ og Γ i linjer såldes at er en trekant, og X, Y og Z cevianer i trekanten som går gennem samme punkt. 1 og 1 som medianer. a linjen gennem, og 1 går gennem skæringspunktet mellem 1 og 1, er 1 også median i trekant 1 1. a medianerne skærer hinanden i forholdet 1 : 2, får vi X Γ Z Γ Γ Y Γ Γ X Y Γ Z r Ved at udnytte at Y = 2 Y Y osv. ses at ligningen vi skal vise, i det inverterede tilfælde er ækvivalent med ette er sandt ifølge evas sætning. Y Z X Z X Y = 1. pgave 13.7 Inverter i en cirkel med centrum i og radius r. Linjerne, og afbildes på sig selv, cirklen gennem,, 1, afbildes på en linje gennem, 1 og, cirklen gennem, 1,, afbildes i en linje gennem 1, og, og cirklen gennem afbildes i en linje gennem 1, 1 og a 1 og 1 er midtpunkt på henholdsvis og, er og midtpunkt på henholdsvis linjestykkerne 1 og 1. ermed er 1 1 en trekant med = 2 r 2 = 3 r 2 1 = 3 1. pgave 13.8 a er det centrale punkt, inverterer vi i en cirkel med centrum i og radius r. ermed er α 1 og α 3 to parallelle linjer, og α 2 og α 4 er to parallelle linjer. Firkant er derfor et paralellelogram. og Nu regner vi på begge sider af lighedstegnet: = r 2 r 2 r 2 r = r 4 2 = r 4 2 = 2 2, 2 2. Ligheden som vi skal vise, reduceres dermed til = 1, hvilket er sandt da er et parallelogram. pgave 13.9 emærk først at firkant S, Q, R Q og S R er indskrivelige, og kald deres omskrevne cirkler for henholdsvis α, α, α og α. a og er diameter i henholdsvis α og α, tangerer α og α begge linjen i. Tilsvarende tangerer α og α linjen i. 48 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.

49 R S Q S R Q a linjen gennem,, Q og er parallel med linjen β, må de to cirkler α og γ have samme radius. erfor er = = =, dvs. at er vinkelhalveringslinje i trekant. Inverter i en cirkel med centrum i. a afbildes α og α i to linjer som er parallelle med, og α og α i to linjer parallelle med. Skæringspunkterne mellem de fire cirkler er netop, Q, R og S, dvs. at Q R S er et rektangel og dermed indskrivelig. unkterne, Q, R og S ligger derfor også på en cirkel. pgave Inverter i en cirkel med centrum i, da α og α 0 derved afbildes i to parallelle linjer som alle billederne af cirklerne i følgen tangerer. Røringspunkternes billeder 1, 2, 3,... ligger derfor på en ret linje, dvs. at 1, 2, 3,... ligger på en cirkel gennem. pgave Inverter i en cirkel med centrum i. a afbildes linjen Q på sig selv, cirklen β i en linje parallel med Q, halvcirklencirklen α i en halvcirkelcirkel som tangerer β og har Q som diameter, og linjen γ i en cirkel som tangerer β og har som diameter. β α γ Q 49 Geometri - Teori og opgaveløsning, april 2017, Kirsten Rosenkilde.