Baltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
|
|
- Peder Mathiasen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer: a n+1 > a n 1 ( r n+1 1 ) n + 1 r n+1 > 1 ( r n 1 ) n r n n(r (n+1) 1) > (n + 1)r(r n 1) n(r n+1 + r n + + r + 1) > (n + 1)(r n + r n r + r) n(r n+1 + 1) > r n + r n r + r Dvs. det er nok hvis vi kan vise for 1 k n, og dette gælder idet r n > r n+1 k + r k r n+1 r n+1 k r k + 1 = (r n+1 k 1)(r k 1) > 0.. Find alle reelle funktioner f defineret på de positive reelle tal, der ikke er identisk nul og som opfylder f(x + y) = f(x) + f(1 + e f(y) f(x) ) og for alle x, y > 0. f(x y ) = f(x)e f(y) Løsning: Med x = y = 1 i den første ligning fås f() = f(1) + f() og dermed f(1) = 0. Med x = 1 bliver den derfor f(1 + y) = f(1 + e f(y) ) (*) Eftersom f ikke er nul overalt findes der et a så f(a) 0. Hvis a < 1 giver første ligning med x = a, y = 1 a og b = 1 + a f(y) f(x) at f(a) + f(b) = 0 og dermed f(b) 0. Bemærk at b > 1. 1
2 Vi kan derfor antage at a > 1. Lad z > 1. Med x = a og y = log z/ log a giver den anden ligning f(z) = f(a)ef(log z/ log a) og dermed har f(z) og f(a) samme fortegn. Den første ligning giver nu at f er strengt monoton. Dermed giver (*) 1 + y = 1 + e f(y), dvs. f(y) = log y. Det ses ved indsættelse at denne funktion opfylder begge betingelser. 3. Lad f(x) = ax + bx + c hvor a, b, c Z og a 0. Ligningen f(x) = x har mindst en heltallig løsning. Find f(005) når f(f(005)) = 005. Løsning: Svaret er f(005) = 005. Sæt n = 005 og m = f(n). Så er f(m) = f(f(n)) = n, dvs. vi har an + bn + c = m am + bm + c = n Trækkes disse ligninger fra hinanden fås (a(n + m) + b)(n m) = m n. Antag at m n. Så er b = 1 am an c = m an bn = m an ( 1 am an)n = m + n + amn. Lad x 0 være en heltallig løsning til f(x) = x. Så er Dermed er diskriminanten et kvadrat d ax 0 (am + an + )x 0 + (m + n + amn) = 0. d = (am + an + ) 4a(m + n + amn) = (a(m n)) + 4 dvs. (d a(m n))(d+a(m n)) = 4. Eftersom tallene d±a(m n) har samme paritet, er de begge enten eller, men det giver a(m n) = 0 i modstrid med a 0 og m n. Dermed er m = n, dvs. f(005) = Bevis at der for ethvert positivt heltal n findes to reelle løsninger x 1 og x til ligningen sådan at x 1 x < 1. k= n k x k = 0 Løsning: Sæt f(x) = k= n k x k Sæt N = { n, (n 1),..., n, n 1}. Betragt for ethvert k N intervallet ]k, k+1[. I disse intervaller ses f at være en aftagende funktion, og eftersom f(x) for x k fra højre og f(x) for x k +1 fra venstre, ses det at f har nøjagtig én rod i hvert af
3 intervallerne. Ligningen f(x) = 0 har derfor n rødder n < α 1 < α < < α n < n. Vi bemærker at f( x) = f(x) idet Vi har 1 f f( x) = k= n k x k = ( n + 1 ) = 1 ( f n 1 ) = k=1 n 1 k= n k x + k = k= n k x k = f(x) k n + k 1 1 n n 1 k n k 1 n 1 + n k=1 k=1 k n n n 1 k 3 k=1 = n 1 1 n + 1 (n+1 ) 1 n (n 1 ) ( = n ) + n + 1 n n n 10 = 3(n + 1) n 1 + n n 5 3(n 1). For n 3 er f( n + 1 ) derfor positiv. Endvidere har vi for n = at 1 f( 3 ) = 7 15 > 0 og for n = 1 at 1 f( 1 ) = 3 1+ = 1 3 > 0. Dvs. f( n+ 1 ) > 0 for alle n. Dermed er n+ 1 < α 1. Tilsvarende er α n < n 1, da f(n 1 ) = f( n+ 1 ) < 0. De n rødder α 1,..., α n ligger dermed i et åbent interval af længde n 1, og der må derfor findes to af dem med afstand mindre end Lad N være mængden af de positive heltal. En funktion f : N N opfylder betingelsen f(m + f(n)) = (f(m)) + f(n) for alle n, m N. Bevis at f(n) = n for alle n. Løsning: Sæt q = f(1). Med m = 1 fås f(1 + f(n)) = f(n) + q. Udskiftes n med 1 + f(n) som induktionsskridt fås følgende for k 0 Sætter vi nu k = q + fås f(1 + kq + f(n)) = f(n) + (k + 1)q. (*) (f(1 + q )) + f(n) = f((1 + q ) + f(n)) = f(n) + (q + 3)q hvilket giver (f(1+q )) = (q +3)q. Eftersom venstresiden er et kvadrat må højresiden og dermed q + 3 også være det. Det giver 3 = (p q)(p + q) og dermed q = 1. Vi har altså f(1) = 1. Sættes nu n = 1 i (*) fås f(k + ) = k + for k 0, og dermed f(n) = n for alle n N. 3
4 6. En følge (a n ) n N kaldes k-sorteret (k 1) hvis enhver af dens delfølger af formen b n = a nk+l er voksende. Betragt en k-sorteret følge af parvis forskellige positive heltal og foretag nu en m-sortering af denne følge, dvs. omarranger tallene i hver delfølge af formen a nm+l i voksende rækkefølge. Vis at følgen efter m-sorteringen stadig er k- sorteret. Løsning: Vi starter med et lemma: Givet to følger a n og b n af positive heltal med a n b n for alle n. Lad ā n og b n være følgerne der opstår ved at sortere a n og b n. Så gælder ā n b n for alle n. Bevis: Lad ā 1 = a q være det mindste tal i den første følge og b 1 = b p være det mindste tal i den anden følge. Antag at p q. Så gælder a q a p b p b q. Dermed er a q b p og a p b q, og vi kan derfor ombytte a p og a q således at a n b n stadig er opfyldt for alle n. Vi kan altså antage at p = q. Da p = q, gælder ā 1 b 1 trivielt og ved at fjerne disse tal fra følgen og gentage argumentet fås ā n b n for alle n. Dermed er lemmaet vist. Givet en k-sorteret følge a n skal vi nu vise ā t < ā t+k for alle t, hvor ā n er følgen a n efter m-sorteringen. Skriv t = qm + r hvor 1 r m. Lad a n være følgen der opstår ved at m-sortere a n, bortset fra den delfølge der indeholder t + k, denne delfølge sorteres først fra r + k. Vi har a nm+r < a nm+r+k for alle n. Ifølge lemmaet har vi derfor ā nm+r < a nm+r+k. Vi mangler nu blot at vise a nm+r+k ā nm+r+k for alle n. Men det gælder, da de tal vi evt. mangler at placere rigtigt i delfølgen indeholdende t + k højst kan få tallet på plads nm + r + k til at stige. 7. Lad a være et lige, positivt heltal. Sæt f(n) = a n + 1 for positive heltal n. Bestem alle positive heltal k så f(n) og f(kn) er indbyrdes primiske for alle n. Løsning: Svaret er alle lige, positive tal. Hvis k er ulige fås f(kn) = (a n ) k + 1 k = (a n + 1)(a (n 1)k + 1), dvs. f(n) går op i f(kn). Antag nu at k er lige og at f(n) og f(kn) har en fælles faktor d > 1. Så er a n 1 (mod d) og vi får 0 f(kn) (a n ) k + 1 ( 1) k + 1 (mod d) dvs. d =, men det strider mod at f(n) er ulige. 8. Tallet 004 skrives som en sum af positive tal, der hver især enten er et kvadrat eller en kube. Hvad er det mindste antal tal der skal til? Løsning: Svaret er 3. Vi har 004 = og skal vise at 004 ikke kan skrives som en sum af to positive kvadrater/kuber. Modulo 9 har vi x 0 når x 0 (mod 3), x 1 når x ±1, x 4 når x ± og x når x ±4. Endvidere har vi x 3 0, ±1 (mod 9) når der henholdsvis 4
5 gælder x 0, ±1 (mod 3). Eftersom (mod 9), er den eneste måde at skrive 004 som en sum af to positive kvadrater/kuber at skrive 004 = x + y 3 med x ±4 (mod 9) og y 1 (mod 3). Ved substitutionen x = 9u ± 4 og y = 3v 1, hvor u 0 og v 1 fås 9u ± 8u + 3v 3 3v + v = 1. Da u er heltallig er 9u ± 8u 0. De tre sidste led kan skrives som v(3v(v 1) + 1) og ses dermed at vokse med v. For v = 5 giver de tre sidste led 305 og vi har derfor 1 v 4. Indsættes disse fire værdier fås ligningen 9u ± 8u = c med c henholdsvis 0, 07, 164 og 73. Men denne andengradslignings diskriminant er ikke noget kvadrat for nogen af de fire værdier af c. 9. Vis at der for alle heltal a, b > 1 findes uendelig mange ulige, positive heltal n for hvilke a n + n b ikke er primtal. Løsning: Antag at p = a n 0 + n b 0 er et primtal. Følgen an mod p er periodisk med periode p 1. Følgen n b mod p er periodisk med periode p. Derfor er følgen a n + n b mod p periodisk med periode p(p 1) og indeholder derfor uendelig mange tal der er delelige med p. 10. Find alle sæt af x, y, z N sådan at x(x y) + y(y z) + z(z x) = 1. Løsning: Ligningen kan omskrives til (x y) + (y z) + (z x) = hvilket giver løsningstriplerne (a, a, a + 1) og (a, a + 1, a + 1) samt permutationer af disse. 11. n stole er opstillet i en kvadratisk n n tabel. På nogle af stolene sidder der mennesker. Vi kender antallet af mennesker i hver række, hver søjle og hver linje parallel med en af diagonalerne. For hvilke n og hvilke sæder kan vi altid afgøre om der sidder en person? Løsning: Hjørnepladserne er altid kendt. For n = 1 og n = kan vi derfor afgøre alle pladser. For n = 3 kan midterpladserne langs kanten afgøres da vi kender hjørnerne og derfra kan centerpladsen afgøres, så i dette tilfælde kan vi også afgøre alle pladser. Betragt tilfældet n = 4. Vi repræsenterer situationen med en 4 4 matrix med et 1-tal hvis der sidder en person og 0 ellers. Da a 1 = a 4 = a 31 = a 43 = 1 og 0 i resten af indgangene giver samme summer som a 13 = a 1 = a 34 = a 4 = 1 og 0 i resten af indgangene, kan vi ikke afgøre kantpladserne. Lad h i og v i for i = 1,..., n betegne hhv. horisontale og vertikale summer, og lad u j og d j for j = 0,..., (n ) betegne de skrå summer (u 0 = a 11, u 1 = a 1 + a 1,..., d 0 = a n1, d 1 = a (n 1)1 + a n,... ). Vi kan nu finde a + a 3 = h + h 1 a 11 u 1 d 5 a 14, tilsvarende kan vi finde a + a 3, og eftersom a 3 + a 3 = u 3 a 41 a14 kan vi nu finde a tilsvarende kan vi finde a 3, a 3 og a 33. For n = 5 er hjørnerne bestemt som før. Vi kan også finde det midterste element som 3a 33 = h 3 v 1 v v 4 v 5 + u 1 + u 7 + u 4 + d 4 + d 1 + d 7. De resterende elementer kan alle placeres som ikke-hjørne kantelementer i en 4 4 delmatrix og de kan derfor ikke afgøres. For n 6 kan alle elementer bortset fra hjørnerne placeres som ikke-hjørne kantelementer i en 4 4 delmatrix og de kan derfor ikke afgøres. 5
6 1. På planeten Automoria lever der et (muligvis uendeligt) antal automorianere. De er alle af samme køn, men de har stadig følelser som kærlighed og respekt. Det er velkendt at (a) enhver automorianer elsker netop en automorianer og respekterer netop en automorianer; (b) hvis A elsker B så elsker alle automorianere der respekterer A også B; (c) hvis A respekterer B så respekterer alle automorianere der elsker A også B; (d) hver automorianer har en der elsker ham. Gælder det at alle automorianere respekterer den automorianer som han elsker? Løsning: Svaret er ja. Betegn for en automorianer x den automorianer som han elsker f(x) og den som han respekterer g(x). Den første betingelse sikrer at f og g er funktioner. Vi skal nu bevise at disse to funktioner er ens. Betragt en automorianer x, han respekterer g(x), der elsker f(g(x)). Den anden betingelse giver nu f(g(x)) = f(x). (*) Tilsvarende giver den tredje betingelse Den fjerde betingelse giver at f er surjektiv. g(f(x)) = g(x). (**) Fra (**) får vi f(g(f(x))) = f(g(x)) og vha. (*) bliver det til f(f(x)) = f(x). Da f er surjektiv har vi derfor f(x) = x. Ligningen (*) giver nu g(x) = f(g(x)) = f(x) = x og dermed f(x) = g(x) = x, dvs. automorianere elsker og respekterer kun sig selv. 13. Der er 004 drenge til en speed-dating fest i downtown Sorø og endnu flere piger n > 004. Pigerne er skal fordeles mellem drengene sådan at ingen dreng er bliver ladt alene. Derfor er pigerne blevet fordelt i 004 ikke-tomme mængder, der senere skal fordeles tilfældigt til drengene. Pludselig forlader en dreng og en pige festen sammen. Vis at pariteten af antallet af måder at indele pigerne på ikke ændrer sig. Løsning: Betegn antallet af opdelinger af n piger i m ikke-tomme mængder S(n, m). Vi skal vise at S(n, 004) S(n 1, 003) (mod ). Vi starter med at vise den generelle formel S(n, m) = S(n 1, m 1) + ms(n 1, m) Tag en pige. Nu kan hun enten placeres for sig selv, hvilket giver S(n 1, m 1) måder at fordele resten eller hun kan placeres i en af m ikke-tomme mængder der kan konstrueres på S(n 1, m) måder. Da (mod ) fås det ønskede direkte af formlen med m =
7 Bemærk: S(n, m) kaldes Stirling tal af anden orden og betegnes også j ff n m. 14. Mængderne A 1, A,..., A opfylder A i = 5 for i = 1,,..., og A i A j = for 1 i < j. Vis at der findes to elementer der er indeholdt i alle mængder. Løsning: og Antag at der ikke findes sådan to elementer. Sæt S = A i i=1 a(x, y) = {i {x, y} A i } for x, y S. Antag at der er fem mængder der indeholder 1 og, f.eks. A 1, A, A 3, A 4, A 5. Så må en mængde A j med {1, } A j indeholde et element fra hver af mængderne A i \ {1, } for i = 1,, 3, 4, 5. Dermed er {1, } A j = og vi får en modstrid med A 1 A j =. Vi kan derfor antage at a(x, y) 4 for alle x, y S. Der er præcis 10 uordnede par i A 1 og hver A i for i =, 3,..., indeholder netop et af dem. Dermed er et af parrene indeholdt i A 1 og tre andre mængder. Dvs. der findes x, y med a(x, y) = 4. Vi kan antage at x = 1, y = og at de fire mængder er A 1, A, A 3, A 4 : A 1 = {1,, 3, a, b}, A = {1,, 4, c, d}, A 3 = {1,, 5, e, f}, A 4 = {1,, 6, g, h}. Vi kan endvidere antage at A 5 = {1, 3, 4, 5, 6}. For at overholde A i A j = for i = 1,, 3, 4 må ethvert A j med j > 4 indeholde enten 1 eller. Antag at 1 A j for 10 af disse, f.eks. j = 5, 6,..., 14. Hver af de ni mængder A j, j = 6,..., 14 må så indeholde 3, 4, 5 eller 6 pga. A 5 A j =. Dermed findes der et x {3, 4, 5, 6} med a(1, x) 5, en modstrid. Dermed indeholder højst ni af mængderne A j, j = 5,..., 1. Tilsvarende kan højst ni af dem indeholde. Dermed indeholder præcis ni af dem 1, f.eks. A 5,..., A 13. Udfylder vi nu mængderne får vi, idet vi husker a(x, y) 4 og herefter kan vi ikke udfylde A 1. A 6 = {1, 3, c, e, g}, A 7 = {1, 3, d, f, h}, A 8 = {1, 4, a, e, h}, A 9 = {1, 4, b, f, g}, A 10 = {1, 5, a, d, g}, A 11 = {1, 5, b, c, h}, 7
8 15. Lad P være en mængde af n 3 punkter i planen, sådan at der ikke findes tre på linje. Lad T være en mængde af n(n+3) 18 trekanter med hjørnepunkter i P, sådan at ingen af dem har en fælles side. Vis at alle punkter fra P er indeholdt i det samme antal trekanter fra T. Løsning: For x P lader vi t x betegne antallet af trekanter fra T der indeholder x. Summerer vi t x over P tæller vi alle trekanter netop 3 gange og dermed har vi t x = x P Eftersom ingen trekanter deler en kant har vi n(n + 3) 6 (1) t x + t y + t z n 3 for alle xyz T. Summeres () over T fås x P t x n(n + 3) = n + 3 () (3) Den aritmetisk-kvadratiske ulighed giver der ifølge (1) er ækvivalent med 1 n t x x P 1 n t x (4) x P n(n + 3) 36 x P t x (5) Ifølge (3) og (5) må der altså gælde lighedstegn i (4) hvilket giver det ønskede. 16. Vi har givet en konveks femkant ABCDE sådan at AB CE, BC AD, CD BE og AE BD. Lad D 1 være skæringspunktet mellem AC og BE, og lad C 1 være skæringspunktet mellem AD og BE. Vis at BD 1 = C 1 E. Løsning: Lad T (ABC) betegne arealet af en trekant. Vi påstår at DE AC. Vi har T (ADE) = T (ABE) = T (ABC) = T (BCD) = T (CDE) hvilket giver at DE er parallel med AC. Dermed er BCDC 1 og CDED 1 parallelogrammer, så BC 1 = CD = D 1 E hvilket giver at BD 1 = C 1 E. 17. En myre går tilfældigt rundt. Efter et stykke tid har myren bevæget sig en meter. Bevis at den hele tiden har holdt sig inden for en halvcirkel med radius 1 meter. 8
9 Løsning: Lad A og B være myrens start og slutpunkter. Stien myren har bevæget sig benævnes Γ. Betragt linjen a = AB (eller en tilfældig linje gennem A i tilfældet A = B). Lad C være punktet på stien længst væk fra a. Træk linjen b parallel med a gennem C. Så finder hele turen sted på den ene side af b. Spejl stien i b. Følg stien fra A til C og derfra videre ad den spejlede sti til B, der er spejlingen af B. Denne sti Γ er stadig en meter lang. Midtpunktet D af AB ligger på b. Roter nu Γ i D over i Γ. Sammensætningen af stierne Γ = Γ Γ er en lukket sti med længde meter. Hvis P og P er to punkter på Γ symmetrisk omkring D, så deler P og P Γ i to identiske dele hver med længde 1 meter, dvs. P P er højst 1 meter og DP er højst 1 meter. Dvs. hele Γ er indeholdt i skiven med radius 1 meter og centrum D. Det betyder at Γ er indeholdt i halvskiven der fås ved at skære skiven med b. 18. Cirklerne C 1 og C med forskellige radier rører i punktet P. Lad l være linjen tangerende begge cirkler i P. For et vilkårligt punkt L P på l betegner Q L 1 og QL røringspunkterne på de to cirkler til de to andre tangenter gennem L. Vinklen Q L 1 LQL π betegnes γ L. Lad et punkt M P på l være givet sådan at γ M γ L for et hvert punkt L P på l. Find P MQ M 1 + P MQM. Løsning: Svaret er π. Antag først at de to cirkler ligger på hver sin side af l. Hvis L P ligger på en fælles tangent for de to cirkler forskellig fra l er γ L = π. Hvis vi på den anden side har γ L = π må punkterne Q L 1, L, QL alle ligge på en fælles tanget for de to cirkler. M er altså et sådant punkt. Dermed er P MQ M 1 + P MQ M = Q M 1 MQ M = γ M = π. Antag dernæst at de to cirkler ligger på samme side af l. Betegn cirklernes centre med hhv. O 1 og O og deres radier med r 1 og r. Vi kan antage at r 1 > r. Vi har γ L = P LQ L 1 P LQL. Eftersom γl < π kan vi lede efter maksimum for g(l) = tan γl i stedet for γl. Vi har Sæt f(a) = a(r 1 r ) a +r 1 r g(l) = tan P LQL 1 P LQL = tan P LO 1 P LO = tan P LO 1 tan P LO 1 + tan P LO 1 tan P LO r 1 P L r P L r = 1 + r 1 P L P L = P L (r 1 r ) P L + r 1 r f (a) = 0 (r 1 r )(a + r 1 r ) a (r 1 r ) = 0 r 1 r = a 9
10 Dvs. vi har r 1 r = P M hvilket giver tan P MO 1 = r 1 P M = = cot P MO P M r dvs. P MO 1 + P MO = π, og dermed er P MQM 1 + P MQM = π. 19. Givet en trekant ABC tegnes fra midtpunktet af hver side en linje der deler trekantens omkreds i to lige store dele. Vis at disse tre linjer skærer i samme punkt. Løsning: Vi starter med at vise at de pågældende linjer fra en sides midtpunkt er parallelle med det modstående hjørnes vinkelhalveringslinje. Lad M være midtpunktet af BC og AD vinkelhalveringslinjen fra A. Antag uden tab af generalitet at C < B. Tegn linjen MX parallel med AD så X ligger på forlængelsen af AB og MX skærer AC i Y. Så er AY X = MY C = DAC = DAB = Y XA og dermed er trekant AXY ligebenet. Tegn linjen CZ parallel med AD og MX så Z ligger på forlængelsen af AB. Så er også AZC ligebenet, dvs. XZ = Y C. Da BM = MC og MX CZ har vi BA + AY = BA + AX = BX = XZ = Y C og dermed deler MY trekantens omkreds i to lige store dele. Betragt nu ABC denne trekants siders midtpunkter A, B og C. Da linjerne der deler omkredsen i ABC er parallelle med vinkelhalveringslinjerne, er de vinkelhalveringslinjer i A B C og skærer dermed i samme punkt. 0. I ABC er A = 90 + B. Lad D være fodpunktet af højden fra C til AB og lad M være midtpunktet af AB. Vis at DM = R, hvor R er radius i trekantens omskrevne cirkel. Løsning: Lad O være den omskrevne cirkels centrum. Lad CE være en diameter i den omskrevne cirkel. Ved periferivinkler og A = 90 + B, fås at EAB = CBA, så OC må stå vinkelret på DC. Dermed er CDMO et rektangel og DM = R. 10
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereSorø 2004. Opgaver, geometri
Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereFacitliste til elevbog
Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMAT B GSK juni 2007 delprøven uden hjælpemidler
MAT B GSK juni 007 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 Grafen for funktionen f er vist på bilag 1. Løs ligningen f() = 4 og uligheden f() < 4. Svar : f() = 4 =, = 1, = 1 eller = 3 ; L = { ; 1;1;3} (ses
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereLøsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereLøsning til aflevering uge 11
Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:
Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mere