Bjørk Boye Busch. Processtyring. Styringsteori

Transkript

1 Bjørk Boye Busch Processtyring Styringsteori Udgave 2b 2014

2 "Processtyring - Styringsteori" Udgave 2b - Juni 1996 (C) Bjørk Boye Busch Ansat ved: TietgenSkolen Odense Business college Edb-skolen Nørrehus Thomas B. Thriges Gade Odense C

3 FORORD Denne bog er primært udarbejdet til brug ved valgfaget "Processtyring" ved datamatikeruddannelsen. Bogen har primært til hensigt at beskrive den nødvendige teori for styrede systemer. Bogen holder sig til den basale teori og de eksempler der anvendes er derfor forsøgt holdt så simple som muligt. Bogen forsøger ikke at dække hele valgfagets pensum men alene teoridelen for styrede systemer. Alle programeksemplerne er lavet i standard PASCAL, så de ikke er afhængig af en bestemt sprogversion. Det vil med fordel kunne svare sig, at definere controlere og processer som objecter, samt at benytte funktioner frem for procedurer. I programeksemplerne kan der i flere tilfælde optimeres, idet der anvendes ekstra mellemberegninger for, at gøre det lettere for læseren at følge forløbet. Jeg vil gerne takke Jon Jonsen, der velvilligt har bidraget med kommentarer og korrektur på store dele af 1. udgave af bogen. Jeg vil endvidere gerne takke alle i mine omgivelser, der har måttet lægge øre til mine mange besværgelser under udarbejdelsen af bogen. Bjørk Boye Busch Juli 1994

4 INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Indledning til processtyring 1 2. Modeller for systemer med fysiske processer Modeller for manuelle systemer Manuelt system uden opfølgning Manuelt overvågningssystem Manuelt styret system Modeller for systemer med datamatstøtte Manuelt styret system med computerovervågning Styret system med computer anvendt til inputregulering System med computer som styre- og monitorsystem Model for fuldautomatiske system Fuldautomatisk system med computerstyring Styringsmodel for clossed-loop system med computerstyring 9 3. Matematiske modeller for closed-loop systemer Kontinuerte og diskrete signaler Diskret matematisk systemmodel Modeller for fysiske processer Proportionalproces Integralproces ordens integralproces ordens differentialproces Andre procestyper Modeller for controllere Proportional-kontrol (P) Integral-kontrol (I) Differential-kontrol (D) Proportional-integral-kontrol (PI) Proportional-integral-differential-kontrol (PID) Opstilling af model for samlet styret system Samlet system med proportional-kontrol Samlet system med integral-kontrol Udvidede systemmodeller System med feedforward controler System med forstyrelse System med kaskadekontrol System med flere proceser og controlere Systeminput Step funktionen Puls funktionen Rampe funktionen 76

5 5. Systemresponse Eksempler på systemresponse Systemmodeller System med proportional kontrol System med integral kontrol System med proportional-integral kontrol Response på stepinput Response på rampeinput Response på unit-puls Vurdering af controlere Stabilitetsanalyse Eksempel med proportional kontrol Eksempel med integralekontrol Integralcontroller og integralprocesser Eksempel med proportional-integral kontrol 132 Litteraturfortegnelse 133

6

7 1. Indledning til processtyring Begrebet processtyring handler, som ordet siger, om styring af processer. Når man beskæftiger sig med EDB vil man ofte omtale et program som en proces, og man kan derfor godt tale om processtyring i forbindelse med styring af programmer, hvilket er væsentlig i forbindelse med operativsystemer, specielt i forbindelse med multiprogrammering. Der er også tale om processtyring på en computer med flere processorer, hvor disse skal arbejde sammen. Dette gælder også i en PC, hvor CPU, DMA-controler m.m. skal arbejde sammen. I det efterfølgende vil vi imidlertid opfatte processer, som fysiske systemer uden for computeren. Der kan drages mange paralleller mellem styringen af fysiske systemer uden for computeren og styringen af flere processer på den samme computer og flere principper for styring af fysiske systemer kan derfor overføres til styringen af interne processer i computeren, idet der dog vil være den store forskel, at de fysiske processer ofte er analoge kontinuelige systemer, hvorimod computeren er en digial tilstandsmaskine. Denne forskel betyder endvidere, at den datamatiske model af virkeligheden ikke kan rumme den mangfoldighed, der findes i det virkelige system. Det efterfølgende vil omhandle modeller for brug af computere til processtyring, idet der primært vil være tale om systemer hvor computeren anvendes til frembringelsen af fuldautomatisk systemer. Opstillingen af modeller skal tjene flere formål: - Give forståelse for styringsprincipper. - Gøre det muligt af forudse systemers virkemåde. - Designe hesigtsmæssige controlere. - Simulere fysiske processer og styrede systemer. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

8 2. Modeller for systemer med fysiske processer Processer kan styres med og uden opfølgning på resultatet, ligesom computeren kan indgå i mere eller mindre omfang i styringen. I dette afsnit opstilles en række modeler i form af blokdiagrammer for forskellige typer systemer. 2.1 Modeller for manuelle systemer Den første gruppe af modeller omhandler systemer uden brug af computere til inputregulering og overvågning Manuelt system uden opfølgning reguleret input output > > PROCES > input regulator < OPERATØR regulerings- data Denne type systemer kaldes også for åbne-sløjfe eller openloop systemer. Operatøren kan påvirke inddatastrømmen, men denne ændres ikke ind efter processens resultat. Ved denne type systemer vil inputreguleringen normalt være forudberegnet, og kan evt. bygge på observation af input. Manuelle systemer helt uden opfølgning på output er nok sjælne og vil ikke blive behandlet yderlige. Hvis vi f.eks forestiller os et system med en rundsav, hvor vi først indstiller bredden af et bræt vi skal save, herefter saver vi brættet, så har vi et system af ovennævnte type. Vi vil dog sansynligvis kontrolere, specielt hvis vi skal save mange. Hvis klingen har lidt slør, bliver brættet ikke den helt rigtige bredde, hvilket kontrollen viser. Dette vil nok medføre at vi justerer rundsaven og systemet er nu ikke mere et åbent system. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

9 2.1.2 Manuelt overvågningssystem ureguleret ureguleret input output > > PROCES > > måleinstrument OPERATØR < måle data Denne type systemer kan også kaldes monitorsystemer. Systemer af denne type er rene observationssystemer og forekommer mange steder f.eks måling af udendørs temperatur, registrering af ankomne fly. Målingerne bliver ikke brugt til at styre med men er blot informationer, der øge vores gennerelle viden. Det skal bemærkes at det ikke bliver et lukket system fordi informationerne anvendes til regulering i andre systemer, der ikke påvirker denne her proces (C) Bjørk Boye Busch december 2014

10 2.1.3 Manuelt styret system reguleret styret input output > > PROCES > > input måleinstrument regulator < OPERATØR < regulerings- måle data data Denne type systemer kaldes også for lukket-sløjfe eller closed-loop systemer. I simple systemer kan reguleringen ske direkte og der kan anvendes direkte observation istedet for via et måleinstrument. De fleste systemer har tilbagekobling som det manuelle her. Når vi vasker vore hænder og åbner for vandhanen er det et eksempel på et typisk manuelt system med feedback. Vi åbner for vandhanen, normalt stille og roligt til vandtilførslen er passende, men nogen gange lidt for hurtigt, så der kommer for meget og det strinter over det hele, og vi skruer så straks lidt ned igen. Et andet eksempel kan være temperaturreguleringen i en hytte med brændeovn. Vi ønsker en given temperatur, som vi registrerer ved direkte observation at temperaturen er for lav (vi fryser) hvorefter der regulers ved brændeovnen til temperaturen er passende. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

11 2.2 Modeller for systemer med datamatstøtte I dette afsnit opstilles modeller for lukkede systemer hvor der anvendes computere til henholdsvis inputregulering og overvågning, men hvor det stadig er en operatør der tager sig af selve tilbageføringen. Modellerne vedrørende det åbne system og det rene monitorsystem medtages ikke her, men kunne udbygges på tilsvarende måde Manuelt styret system med computerovervågning reguleret styret input output > > PROCES > > computer input interface regulator computer overvågning (monitorsystem) > < OPERATØR < regulerings- proces data overvågningsdata Systemer af denne type kaldes også monitorsystemer. Monitorsystemet kan ligeledes give mulighed for at give informationer om processhistorie. Der er idag mange processer som er yderst komplekse at overvåge, idet der er mange måledata, der skal følges op på og hvor operatøren nærmest kan drukne i informationer og derved overse et vigtigt resultat. Computeren giver mulighed for at overvåge alle informationer fra et sted. Computeren giver også mulighed for at udvælge måledata og få disse i bearbejdet form ligesom den giver mulighed for at vigtige informationer slipper igennem til operatøren og ikke drukner. Computeren giver også mulighed for at opsamle proceshistorie, hvilket kan have stor betydning for senere opfølgning. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

12 2.2.2 Styret system med computer anvendt til inputregulering. reguleret styret input output > > PROCES > > computer måleinstrument interface computer styring (styresystem) > < OPERATØR < proces måle data styredata Systemer af denne type bygger ofte på at procesoutputet kan beregnes så operatørens rolle er kontrol og evt. finjustering. Der kan opnås mange fordele ved brug af computeren til inputreguleringen. Der åbnes for mulighed for registrering og kontrol af reguleringsdata ved dialog med operatøren. Der kan åbnes mulighed for vælge mellem foruddefinerede indstillinger og hermed gøre det enklere, samt undgå fejltagelser. Et eksempel på et system af denne type, hvor måleresultatet dog normalt ikke fører til en direkte justering, kunne være en farveblander ved malerhandlerne. Her vælger operatøren farven ved at angive farvens nummer og mængden af maling. Computeren kan herefter indstile mængden fra hver farvepatroner ud fra foruddefineret datagrundlag. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

13 2.2.3 System med computer som styre- og monitorsystem reguleret styret input output > > PROCES > > computer computer interface interface computer < styre monitor < > system system < < > > < < ( OPERATØR ) > proces proces styredata overvågningsdata Mange systemer hvor computeren anvendes, vil den blive anvendt både til styring og overvågning. Vi kunne kalde sådanne systemer for halvautomatiske styresystemer, idet operatøren stadig foretager justeringer, når processen ikke forløber som beregnet. Numerisk styrede maskiner er ofte med indbygget måleudstyr og systemer der bygges på disse vil derfor bygge på såvel computeranvendelse til styring som til måling af procesoutput. Operatøren er med vilje sat i parrantes, da der her kunne være tale om at erstatte denne med et selvstændigt computersystem, der bliver dog herved tale om et fuldautomatisk styresystem. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

14 2.3 Model for fuldautomatiske system I sidste afsnit nåede vi frem til at computeren kunne anvendes til såvel styring som til overvågning og vi var inde på at operatøren kunne erstattes af et computersystem. Det bliver idag mere og mere almindeligt med fuldautomatiske systemer styret af computere Fuldautomatisk system med computerstyring reguleret styret input output > > PROCES > > computer computer interface interface computer < automatisk styresystem < Proces data ( OPERATØR ) Systemet er nu blevet fuldautomatisk. Operatørens rolle er nu blot, at angive opstartsinformationer hvorefter systemet er selvstyrende. Operatøren kan til stadighed angive nye informationer, hvorefter systemet tilpasser sig disse, samt overvåge om systemet opfører sig som forventet. Systemer af denne karakter, kan være konstrueret så operatøren kan overvåge processen og evt. sætte den automatiske styring ud af kraft og overtage styringen. Når automatikken er slået fra vil systemet så svare til et af de tidligere nævnte. Systemer af denne type er ofte nødvendige når processerne bliver for komplekse at overvåge og styre og hvor der ikke må ske fejl, som f.eks på et atomkraftværk. Autopiloter er også af denne type systemer. Disse kan som beskrevet ofte sættes ud af kraft, idet selve styringensmulighederne og overvægningen kan bibeholdes. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

15 2.4 Styringsmodel for clossed-loop system med computerstyring Mange fyskske systemer er kontinuerlige og arbejder med analoge data. Computere arbejder derimod diskret og med digitale data. For at kunne bearbejde systemernes data og styre dem må der ske en omsætning mellem de to måder at arbejde på. Data må omsættes fra systemernes analoge til digitale og computerens styredata må omsættes fra digitale til analoge. Når man skal styre systemer af typen closed-loop er det hensigtsmæssigt at anvende afvigelsen mellem det ønskede output og det faktiske output som den styrende parameter. Ønsket Faktisk output output = COMPUTER = System- styre Systeminput + fejl STYREENHED var. STYREDE output > > Σ > (controler) > > SYSTEM > > (process) inter- - inter- face face (D/A) interface (A/D) < < Der styres på afvigelsen mellem ønsket output og det faktiske. Computeren får kontakt til og fra omverden gennem forskellige interface, der kan være såvel digitale som analoge. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

16 3. Matematiske modeller for closed-loop systemer. Dette kapitel omhandler opstillingen af diskrete matematiske modeller for automatisk styrede systemer af typen lukketsløjfe (closed-loop). Når vi skal arbejde med fysiske systemer på en computer er det nødvendigt at beskrive dem som matematiske modeller og oftest nødvendigt som ideal-systemer, der ikke påvirkes af ydre omgivelser. Når der skal anvendes en digital computer (tilstands maskine) til styring af kontinuerlige processer (uafbrudt processing) er det nødvendigt at opstille en diskret model af processen, hvor den kan betragtes med veldefinerede tilstande. Med det diskrete menes, at input og output kun kendes på samplingstidspunktet og input til såvel controler som proces regnes som fastlåst mellem to samplingsperioder. Tidsintervallet mellem samplingerne skal skal desuden fastfryses. Det er altså ikke nok blot at opstille en matematisk model for systemerne, modellen skal være diskret. 3.1 Kontinuerte og diskrete signaler Ovenstående figur viser to forskellige kontinuerte (analoge) signaler. Når et kontinuert signal bearbejdes af en datamat opfattes det diskret, således at signalets værdi kun kendes på de målte tidspunkter. Mellem måleværdierne kan det blive nødvendigt at antage, at signalet ikke ændres. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

17 Figuren viser samme signaler som før med en samplingstid på 1 tidenhed og med fastfrossen mellemværdi. Figuren viser samme signaler som før men nu med en samplingstid på 2 tidsenheder. Signalerne antages som før, at være fastfrossene mellem målingerne. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

18 Figuren viser samme signaler som før men nu med en samplingstid på 3 tidsenheder. Signalerne antages som før, at være fastfrossene mellem målingerne. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

19 3.2 Diskret matematisk systemmodel Når et kontinuert system opfattes diskret går der information tabt. Det ses let af de foregående figurer, at samplingstiden har betydning for om systemets detalier kan opfattes. Ud over samplingstiden kommer desuden omformningen af de enkelte signaler fra analoge til digitale og omvendt. Der går også her informationer tabt. Det afhænger her af opløsningsgraden af de analoge signaler. De næste modeller afspejler ideal-tilstande, hvor der ikke regnes med ydre påvirkninger, eller hvor disse er så små, at der kan ses bort fra dem. Man skal dog være opmærksom på, at der ikke i modellerne bliver taget hensyn til den begrænsning, der er i præsitionen af tal på en datamat og interfacet til denne. Modellerne tager således udgangspunkt i at værdier kan udtrykkes præcist. Modellerne opstilles som en overføringsfunktion (transfer function), der beskriver forholdet mellem input og output. For at opstille den matematiske model, definerer vi først en såkaldt backward-shift operator, der kan anvendes til at henføre input og output til et bestemt samplingstidspunkt, som kan forskydes. Definition af backward-shift operatoren er følgende. By n y n-1 B 2 y n y n-2 B j y n y n-j Ved brug af denne backward-shift operator og bearbejdelse af funktioner som almindelige variable, bliver det muligt at opstille modeller for systemer og foretage stabilitetsanalyse af disse, hvilket vi skal se i det efterfølgende. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

20 Styreenhed Styret system (Controler) (Process) r n + e n m n c n > Σ > G c (B) > G p (B) > > - < < < < < Blokdiagram for et lukket-sløjfe styresystem (closed-loop control). n : r n : c n : e n : m n : G c (B): Angiver at der er tale om bestemte diskrete værdier, hvor n er samplings-nummeret på værdierne jævnfør tidligere grafer (værdier antages at være fastlåste i en samplingsperiode). Bemærk at c n både er input og output. Outputværdien fra processen behøver ikke være fastlåst, hvilket jo ikke vil være tilfældet, når processen er analog. Værdien "aflæses" imidlertid af styreenheden og anvendes her diskret. Ønsket værdi. Faktiske proces-værdi. Fejl / afvigelse mellem faktiske og ønskede værdi. Udregnes: e n = r n - c n Styreværdi til proces. Funktion for styreenhed hen over alle trin tilbage kan defineres som forholdet mellem output og input. G c (B) er funktionsudtryk svarende til f(x), der normalt anvendes i matematik. m n Matematisk: G c (B) = e n G p (B): Funktion for process hen over alle trin tilbage kan ligeledes defineres som forholdet mellem output og input. c n Matematisk: G p (B) = m n G(B): Funktion for hele systemet hen over alle trin tilbage kan ligeledes defineres som forholdet mellem output og input. c n Matematisk: G(B) = r n (C) Bjørk Boye Busch december 2014

21 Vi vil nu prøve at opstille modellen for det samlede system udfra funktionerne for henholdsvis controler og process. Jævnfør de foregående definitioner, kan den sammensatte funktion af controler og proces defineres som forholdet mellem output og fejl. c n m n c n c n G c (B)G p (B) = * = = m n e n e n r n - c n Ved omregning fås: <=> <=> <=> G c (B)G p (B)( r n - c n ) = c n G c (B)G p (B)r n - G c (B)G p (B)c n = c n G c (B)G p (B)r n = (1 + G c (B)G p (B))c n c n r n G c (B)G p (B) = 1 + G c (B)G p (B) Herved fås endelig: c n G(B) = r n G c (B)G p (B) = 1 + G c (B)G p (B) Det sidste udtryk beskriver forholdet mellem input og output for hele systemet. Ved mere komplekse systemer, der indeholder delsystemer kan der tilsvarende opstilles en matematisk model. Vi vil dog her holdes os til det simple system, hvor der kun er en controler og en proces. I det efterfølgende opstilles først matematiske modeller for processer, herefter for controlere og til sidst for et samlet styret system. Den funktion der beskriver forholdet mellem input og output på en proces, controler eller et større system kaldes også for overføringsfunktionen. Det er denne funktion, der er cental at få opstillet, hvis man ønsker at opstille en diskret model. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

22 3.3 Modeller for fysiske processer I det efterfølgende vil vi opstille diskrete modeller for forskellige former for fysiske processer. Opstillingen vil kun omhandle de basale typer. De enkelte opstillinger vil ledsages af program til simulering af procestypen. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

23 3.3.1 Proportionalproces Processer der kan udtrykkes ved simpel proportionalitet og dødtid: Figurerne viser et pulsinput og et eksempel på hvordan en proportionalproces med dødtid kunne reagere på dette. Eksempler på proportionalprocesser: - Strøm gennen en modstand, hvor input er spændingen (ingen dødtid). - En effektforstærker (ingen dødtid). - Væske der løber gennem et rør, hvor input er et bestemt tryk og output er den mængde væske der løber ud af røret (både proportional og med dødtid). (C) Bjørk Boye Busch december 2014

24 Model for proportionalprocesser med tidsforsinkelse: c(t) = Km(t - D) hvor D er dødtiden. Hvis dødtiden er 0, vil der være tale om en ren proportionalproces. Opstillet på diskret form: c n = Km n-d hvor d er dødtiden målt i hele samplingsperioder (d = D/T). Ved brug af backward-shift operator fås: <=> c n = KB d m n c n G p (B) = m n = KB d Det sidste udtryk er det, der anvendes i opstillingen af en total systemmodel. Blokdiagram for den samlede proportionalproces med dødtid: Proportionalproces med dødtid m n c n > KB d > Blokdiagram for samme proces, men opsplittet i en proportional-proces og en dødtids-proces: Proportional- Dødtidsproces proces m n cp n c n > K > B d > > Processen kan opfattes som 2 trin, der efterfølger hinanden, eller en samlet proces. I eksemplet med den opsplittede model er output fra første delproces betegnet som cp n Modellen for den samlede proces kan også fås ved, at multiplicere funktionerne for de to delprocesser, svarende til det tidligere beskrevet. Dette kan anvendes til reduktion på modelniveau. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

25 Simulering af proportionalproces med dødtid. I det efterfølgende opstilles et PASCAL program, der kan simulere den proportionalproces med tidsforsinkelse, der blev vist som eksempel. Der tages udgangspunkt i udtrykket: c n = Km n-d Program SimulerProportionalDeadProces; Const Dmax = -3; { index for max dødtid = -dødtid } Type ProcesDataType = Record K: Real; { Proceskonstant } Dix: Integer; { Dødtid index = -Dødtid } Mn: Array[Dmax..0] of Real; { Procesinput } end; { } { Initiering af Proces ved opstart } { } Procedure InitProces ( Var P: ProcesDataType; K: Real; D: Integer ); Var i: Integer; begin P.K := K; { Proceskonstant } P.Dix := -D; { Dødtid index } For i := P.Dix to 0 do P.Mn[i] := 0; { Procesinput } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure Proces ( Var P: ProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); Var i: Integer; begin For i := P.Dix to -1 do { BEMÆRK der går en sampling } P.Mn[i] := P.Mn[i+1]; { før processen er slut og } P.Mn[0] := Mn; { ny output kan beregnes } Cn := P.K * P.Mn[P.Dix]; { Beregn ny output } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

26 { } { Simulering af proces - reaktion på puls input } { } Var PData: ProcesDataType; SamplTid: Real; DoedTid: Real; PDoed: Integer; PKonst: Real; { Proceskonstant } PInput: Real; { = Controleroutput } POutput: Real; Sampling: Integer; AntalSampl: Integer; StartPuls: Integer; PulsLength: Integer; DataLog: Text; Begin Assign(DataLog,'ProDproc.PRN'); Rewrite(DataLog); SamplTid := 1.0; { Tid mellem samplinger } POutput := 0; PKonst := 1.8; DoedTid := 3.0; PDoed := Round(DoedTid/SamplTid); InitProces (PData, PKonst, PDoed); StartPuls := 3; PulsLength := 20; AntalSampl := 40; For Sampling := 0 to AntalSampl do begin if (Sampling >= StartPuls) AND (Sampling < StartPuls+PulsLength) then Pinput := 1 else Pinput := 0; WriteLN(DataLog,Sampling:4, POutput:20, PInput:20); Proces (PData,PInput, POutput); End; Close(DataLog); End. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

27 Simulering med adskilte proceselementer. I det efterfølgende opstilles et PASCAL program, der som det foregående kan simulere en proportionalproces med tidsforsinkelse, men denne gang tages der udgangspunkt i den opsplittede model. Fra modellen fås følgende funktion for proportionalprocessen: w n GP p (B) = m n = K Heraf udledes følgende til brug i PASCAL programmet. w n = Km n Fra modellen fås følgende funktion for dødtidsprocessen: c n GD p (B) = w n = B d Heraf udledes følgende til brug i PASCAL programmet. c n = w n-d Program SimulerProportionalDeadProces2; Const Dmax = -3; { index for max dødtid = -dødtid } Type PProcesDataType = Record K: Real; { Proceskonstant } end; DProcesDataType = Record Dix: Integer; { Dødtid index = -Dødtid } Mn: Array[Dmax..0] of Real; { Procesinput } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

28 { } { Initiering af Proportionalproces ved opstart } { } Procedure InitPProces ( Var P: PProcesDataType; K: Real ); begin P.K := K; { Proceskonstant } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure PProces ( Var P: PProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); begin Cn := P.K * Mn; { Beregn ny output } end; { } { Initiering af Dødtidsproces ved opstart } { } Procedure InitDProces ( Var P: DProcesDataType; D: Integer ); Var i: Integer; begin P.Dix := -D; { Dødtid index } For i := P.Dix to 0 do P.Mn[i] := 0; { Procesinput } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure DProces ( Var P: DProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); Var i: Integer; begin For i := P.Dix to -1 do { BEMÆRK der går en sampling } P.Mn[i] := P.Mn[i+1]; { før processen er slut og } P.Mn[0] := Mn; { ny output kan beregnes } Cn := P.Mn[P.Dix]; { Beregn ny output } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

29 { } { Simulering af proces - reaktion på puls input } { } Var PPData: PProcesDataType; DPData: DProcesDataType; SamplTid: Real; DoedTid: Real; PDoed: Integer; PKonst: Real; { Proceskonstant } PInput: Real; { = Controleroutput } WOutIn: Real; POutput: Real; Sampling: Integer; AntalSampl: Integer; StartPuls: Integer; PulsLength: Integer; DataLog: Text; Begin Assign(DataLog,'ProDproc.PRN'); Rewrite(DataLog); SamplTid := 1.0; { Tid mellem samplinger } POutput := 0; PKonst := 1.8; DoedTid := 3.0; PDoed := Round(DoedTid/SamplTid); InitPProces (PPData, PKonst); InitDProces (DPData, PDoed); StartPuls := 3; PulsLength := 20; AntalSampl := 40; For Sampling := 0 to AntalSampl do begin if (Sampling >= StartPuls) AND (Sampling < StartPuls+PulsLength) then Pinput := 1 else Pinput := 0; WriteLN(DataLog,Sampling:4, POutput:20, PInput:20); PProces (PPData,PInput, WOutIn); { Første proces } DProces (DPData,WOutIn, POutput); { Anden proces } End; Close(DataLog); End. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

30 3.3.2 Integralproces Processer der kan udtrykkes som en integralfunktion: Figurerne viser et pulsinput og et eksempel på hvordan en integralproces kunne reagere på dette. Eksempler på integralprocesser: - Sted som funktion af hastighed. - Hastighed som funktion af accelleration. - Temperatur i lukket rum som funktion af effektafgivelse fra varmeelement. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

31 Model for integralprocesser: t c(t) = Km(j)*dj - svarende til: dc(t) = Km(t) dt Opstillet på diskret form: <=> <=> <=> n-1 c n = Σ Km j T j=- n-2 c n = Σ Km j T + Km n-1 T j=- c n = c n-1 + KTm n-1 c n - c n-1 = KTm n-1 hvor T er samplingstiden. Bemærk sidste led er n-1, idet processens input er et trin gammel når ny output-værdi måles. Ved brug af backward-shift operator fås: <=> <=> c n - Bc n = KTBm n (1 - B)c n = KTBm n c n G p (B) = m n KTB = 1 - B Bemærk forskellen mellem modellen for denne process og så integral-controllen, der beskrives senere. Det sidste udtryk er det, der anvendes i opstillingen af en total systemmodel. Blokdiagram for Integralprocessen: m n KTB c n > > 1 - B (C) Bjørk Boye Busch december 2014

32 Simulering af integralproces. I det efterfølgende opstilles et PASCAL program, der kan simulere den integralproces, der blev vist som eksempel. Der tages udgangspunkt i udtrykket: c n = c n-1 + KTm n-1 Program SimulerIntegraleProces; Type ProcesDataType = Record K: Real; { Proceskonstant } T: Real; { Samplingstid } Cn: Real; { Procesoutput } end; { } { Initiering af Proces ved opstart } { } Procedure InitProces ( Var P: ProcesDataType; K, T: Real ); begin P.K := K; { Proceskonstant } P.T := T; { Samplingstid } P.Cn := 0; { Procesoutput } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure Proces ( Var P: ProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); Var Mn_1: Real; Cn_1: Real; begin Mn_1 := Mn; { BEMÆRK der går en sampling før } { processen er slut og ny output } Cn_1 := P.Cn; { kan beregnes } Cn := Cn_1 + (P.K * P.T * Mn_1); { Beregn output } P.Cn := Cn; { Gem proceoutput til næste gang } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

33 { } { Simulering af proces - reaktion på puls input } { } Var PData: ProcesDataType; SamplTid: Real; PKonst: Real; { Proceskonstant } PInput: Real; { = Controleroutput } POutput: Real; Sampling: Integer; AntalSampl: Integer; StartPuls: Integer; PulsLength: Integer; DataLog: Text; Begin End. Assign(DataLog,'IntProc.PRN'); Rewrite(DataLog); SamplTid := 1.0; { Tid mellem samplinger } POutput := 0; PKonst := 0.1; InitProces (PData, PKonst, SamplTid); StartPuls := 3; PulsLength := 20; AntalSampl := 40; For Sampling := 0 to AntalSampl do begin End; if (Sampling >= StartPuls) AND (Sampling < StartPuls+PulsLength) then Pinput := 1 else Pinput := 0; WriteLN(DataLog,Sampling:4, POutput:20, PInput:20); Proces (PData,PInput, POutput); Close(DataLog); (C) Bjørk Boye Busch december 2014

34 ordens integralproces Processer der kan udtrykkes som en 2. ordens integralfunktion: Figurerne viser et pulsinput og et eksempel på hvordan en 2. ordens integralproces kunne reagere på dette. Eksempel på 2. ordens integralproces: - Sted som funktion af accelleration. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

35 Model for 2. ordens integralprocesser: t c(t) = Km(j)*dj 2 - svarende til: d 2 c(t) = Km(t) dt 2 Opstillet på diskret form: (1) c``n = Km n-1 c`` betyder: c differentieret 2 gange. (2) c`n = c`n-1 + Km n-1 T c` betyder: c differentieret 1 gang. 1 (3) c n = c n-1 + c`n-1 T + - Km n-1 T 2 2 Målet er i det næste at få opstillet et udtryk, hvor output direkte udledes af input og ikke gør brug af de diferentierede udtryk. Vi vil starte med, at tage udgangspunkt i udtryk (3) hvor det første differentierede led c`n-1 erstattes med funktionsværdien, som indtrager en differentiering af næste orden. c`n-1 fås fra udtryk (2) idet alle led skubbes et trin bagud, således at vi får udtrykket: (2a) c`n-1 = c`n-2 + Km n-2 T Ved indsættelse af funktionsværdi for c`n-1 i udtryk (3) fås: 1 c n = c n-1 + (c`n-2 + Km n-2 T) T + - Km n-1 T 2 2 <=> 1 (4) c n = c n-1 + c`n-2 T + Km n-2 T Km n-1 T 2 Der er stadig et led som er differentieret i det nye udtryk, men det er et trin ældre end i det oprindelige. Hvis vi fortsatte med indsættelse helt tilbage til et kendt starttidspunkt, ville vi have en løsning, men det ville kunne give en uendelig række, hviket ikke er hensigtsmæssigt. Vi vælger derfor en anden teknik, hvor vi opstiller et udtryk for forskellen mellem to samplinger, svarende til at differentiere. Herved kan vi eliminere det differentierede led, idet det imidlertid så skal være fra samme sampling og det var derfor vi får brug for udtryk (4). 2 (C) Bjørk Boye Busch december 2014

36 Ved opstillingen af differencen mellem to samplinger (svarende til c n - c n-1 ) skal c n hentes fra udtryk (4) og c n-1 fra det oprindelige (3), idet alle trin rykkes et trin baglæns så vi får: 1 (3a) c n-1 = c n-2 + c`n-2 T + - Km n-2 T 2 2 Vi kan nu opstille differencen mellem to samplinger ved at kombinere udtrykkene (4) og (3a) hvorved fås: 1 c n - c n-1 = ( c n-1 + c`n-2 T + Km n-2 T Km n-1 T 2 ) - 2 <=> 1 ( c n-2 + c`n-2 T + - Km n-2 T 2 ) 2 KT 2 KT 2 c n - 2c n-1 + c n-2 = m n-1 + m n Ved brug af backward-shift operator fås: <=> <=> <=> KT 2 KT 2 c n - 2Bc n + B 2 c n = Bm n + B 2 m n 2 2 KT 2 KT 2 (1-2B + B 2 )c n = ( B + B 2 ) m n 2 2 KT 2 (1 - B) 2 c n = ( (B + B 2 ) ) m n 2 KT 2 (1 + B)B c n 2 G p (B) = = m n (1 - B) 2 Det sidste udtryk er det, der anvendes i opstillingen af en total systemmodel. Blokdiagram for 2. ordens integralproces: KT 2 m n (1+B)B c n > 2 > (1 - B) 2 (C) Bjørk Boye Busch december 2014

37 Simulering af 2. ordens integralproces. I det efterfølgende opstilles et PASCAL program, der kan simulere en dobbelt integrale proces, idet der tages udganspunkt i udtrykkene: c`n = c`n-1 + Km n-1 T 1 c n = c n-1 + c`n-1 T + - Km n-1 T 2 2 Vi kunne dog også have brugt udtrykket: <=> KT 2 KT 2 c n - 2c n-1 + c n-2 = m n-1 + m n KT 2 KT 2 c n = 2c n-1 - c n-2 + m n-1 + m n (C) Bjørk Boye Busch december 2014

38 Program Simuler2ordenIntegralProces; Type ProcesDataType = Record K: Real; { Proceskonstant } T: Real; { Samplingstid } Cxn: Real; { C`n } Cn: Real; { Procesoutput } end; { } { Initiering af Proces ved opstart } { } Procedure InitProces ( Var P: ProcesDataType; K, T: Real ); Var i: Integer; begin P.K := K; { Proceskonstant } P.T := T; { Samplingstid } P.Cxn := 0; { C`n } P.Cn := 0; { Procesoutput } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure Proces ( Var P: ProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); Var Mn_1: Real; Cxn_1: Real; { C`n-1 } Cn_1: Real; Cxn: Real; { C`n } begin Mn_1 := Mn; { BEMÆRK der går en sampling før } Cxn_1 := P.Cxn; { processen er slut og ny output } Cn_1 := P.Cn; { kan beregnes } Cxn := Cxn_1 + (P.K * P.T * Mn_1); { Beregn } Cn := Cn_1 + (Cxn_1 * P.T) + { ny } 0.5*(P.K * P.T*P.T * Mn_1); { output } P.Cxn := Cxn; { Gem procesoutput } P.Cn := Cn; { til senere brug } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

39 { } { Simulering af proces - reaktion på puls input } { } Var PData: ProcesDataType; SamplTid: Real; PKonst: Real; { Proceskonstant } PInput: Real; { = Controleroutput } POutput: Real; Sampling: Integer; AntalSampl: Integer; StartPuls: Integer; PulsLength: Integer; DataLog: Text; Begin Assign(DataLog,'2IntProc.PRN'); Rewrite(DataLog); SamplTid := 1.0; { Tid mellem samplinger } POutput := 0; PKonst := 0.1; InitProces (PData, PKonst,SamplTid); StartPuls := 3; PulsLength := 20; AntalSampl := 40; For Sampling := 0 to AntalSampl do begin if (Sampling >= StartPuls) AND (Sampling < StartPuls+PulsLength) then Pinput := 1 else Pinput := 0; WriteLN(DataLog,Sampling:4, POutput:20, PInput:20); Proces (PData,PInput, POutput); End; Close(DataLog); End. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

40 ordens differentialproces Processer der kan udtrykkes som en 1. ordens differentialfunktion: Figurerne viser et pulsinput og et eksempel på hvordan en 1. ordens differentialproces kunne reagere på dette. Eksempel på 1. ordens differentialproces: - Opfyldning af trykbeholder. - Væskeregulering med stabiliseringsbeholder. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

41 Model for 1. ordens differentalprocesser: dc(t) τ + c(t) = Km(t) dt Hvor τ (tau) repræcenterer tidskonstanten. Denne værdi svarer til tangenten for processen i starttidspunktet, og er et udtryk for processens reaktioshastighed, idet tallet svarer til den tid processen ville tage for at nå referenceværdien, hvis den fortsatte med samme hastighed som den startede. Løsning: c(t) = Cexp -t/τ + Km 0 Hvor C kan udledes i starttidspunktet til: C = c 0 - Km 0 Opstillet på diskret form: <=> <=> <=> c n = Cexp -T/τ + Km n-1 & C = c n-1 - Km n-1 c n = (c n-1 - Km n-1 )exp -T/τ + Km n-1 c n = exp -T/τ c n-1 + K(1 - exp -T/τ )m n-1 c n - exp -T/τ c n-1 = K(1 - exp -T/τ )m n-1 Ved brug af backward-shift operator fås: c n - exp -T/τ Bc n = K(1 - exp -T/τ )Bm n <=> (1 - exp -T/τ B)c n = K(1 - exp -T/τ )Bm n <=> c n K(1 - exp -T/τ )B G p (B) = = 1 - exp -T/τ B m n Det sidste udtryk er det, der anvendes i opstillingen af en total systemmodel. Blokdiagram for 1. ordens differentialprocessen: m n K(1-exp -T/τ )B c n > > 1 - exp -T/τ B (C) Bjørk Boye Busch december 2014

42 Simulering af 1. ordens differentialproces. I det efterfølgende opstilles et PASCAL program, der kan simulere en 1. ordens differentialproces, idet der tages udganspunkt i udtrykket: c n = exp -T/i c n-1 + K(1 - exp -T/i )m n-1 Program SimulerDifferentialProces; Type ProcesDataType = Record K: Real; { Proceskonstant } T: Real; { Samplingstid } Tau: Real; { Procestidskonstant } Cn: Real; { Procesoutput } end; { } { Initiering af Proces ved opstart } { } Procedure InitProces ( Var P: ProcesDataType; K,Tau,T: Real ); begin P.K := K; { Proceskonstant } P.Tau := Tau; { Procestidskonstant } P.T := T; { Samplingstid } P.Cn := 0; { Procesoutput } end; { } { Beregning af et proces-trin (ny output ved sampling) } { } Procedure Proces ( Var P: ProcesDataType; Mn: Real; Var Cn: Real); Var ExpTTau: Real; Mn_1: Real; Cn_1: Real; begin Mn_1 := Mn; { BEMÆRK der går en sampling før } { processen er slut og ny output } Cn_1 := P.Cn; { kan beregnes } ExpTTau := Exp(-P.T/P.Tau); { Beregn } Cn := (ExpTTau * Cn_1) + { ny } (P.K * (1-ExpTTau) * Mn_1); { output } P.Cn := Cn; { Gem proceoutput til næste gang } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

43 { } { Simulering af proces - reaktion på puls input } { } Var PData: ProcesDataType; SamplTid: Real; PKonst: Real; { Proceskonstant } PTidsKonst: Real; { Proces tidskonstant } PInput: Real; { = Controleroutput } POutput: Real; Sampling: Integer; AntalSampl: Integer; StartPuls: Integer; PulsLength: Integer; DataLog: Text; Begin Assign(DataLog,'DifProc.PRN'); Rewrite(DataLog); SamplTid := 1.0; { Tid mellem samplinger } POutput := 0; PKonst := 1.8; PTidsKonst := 2.5; InitProces (PData, PKonst, PTidsKonst, SamplTid); StartPuls := 3; PulsLength := 20; AntalSampl := 40; For Sampling := 0 to AntalSampl do begin if (Sampling >= StartPuls) AND (Sampling < StartPuls+PulsLength) then Pinput := 1 else Pinput := 0; WriteLN(DataLog,Sampling:4, PInput:20, POutput:20); Proces (PData,PInput, POutput); End. End; Close(DataLog); (C) Bjørk Boye Busch december 2014

44 3.3.5 Andre procestyper Vi har nu set hvorledes, der kan opstilles modeller for proportionalprocesser med og uden dødtid, for integralprocesser af 1. og 2. orden samt for diferentialprocesser af 1. orden. På tilsvarende måde kan der udarbejdes modeller for mere komplekse processer. Ofte kan mere komplekse processer dog opstilles ved kombination af proportional-, dødtids-, integrale- og 1. ordens diferential-funktioner. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

45 3.4 Modeller for controllere I det efterfølgende opstilles modeller for forskellige typer controlere. De enkelte controllertyper ledsages af skitse til program. Programskitserne holdes "rene", forstået på den måde, at kun overføringsfunktionen beskrives i controllerene. Fejlen udregnes således særskilt, hvilket føres videre i de simuleringsprogramme, der senere bliver beskrevet. Når computeren skal anvendes til praktiske controllere, er det selvfølgelig hensigtsmæssigt, at medtage beregningen af fejlen i selve controllerdelen. Den praktiske controller vil således komme til at bestå af følgende trin: 1. Indlæsning af målt procesværdi fra port. 2. Beregning af fejl. 3. Beregning af ny styreværdi. 4. Udskrift af ny styreværdi på port. 5. Efterbehandling til næste sampling. Som det fremgår vil der være en tidsmæssig forskydning fra processens måles og til den nye styreværdi bringes i brug. Det er vigtigt, at gøre sig dette forhold klar, idet den diskrete model forudsætter, at det sker samtidig. Det skal bemærkes, at alle 5 trin skal kunne nåes inden for samme sampling, hvilket giver en minimums samplingstid. I de efterfølgende modeller antages den nye styreværdi, at ligge tættest på indlæsning af den målte værdi, der danner grundlag for beregningen, således at værdierne hører til samme samlpling. Hvis den nye styreværdi ligger tidsmæssigt tættere på indlæsningen af den efterfølgende målte procesværdi, kan modellerne modificeres, ved at forskyde styreværdien med eet trin i forhold til den målte værdi. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

46 3.4.1 Proportional-kontrol (P) Figuren viser grundlaget for diskret proportionalkontrol i sampling 7. Controleren styrer alene ud fra den aktuelle fejl her og nu. Model for proportional-kontrol: m(t) = K p e(t) Opstillet på diskret form: <=> m n = K p e n m n G c (B) = e n = K p Bemærk vi ikke her får brug for backward-shift operatoren. Blokdiagram for proportionalcontroleren: e n m n > K n > (C) Bjørk Boye Busch december 2014

47 Definition af proportionalcontroler i PASCAL. I det efterfølgende vises hvordan controlerberegningen kan foretages i PASCAL. Der tages udgangspunkt i udtrykket: m n = K p e n Type PControlerDataType = Record Kp: Real; { Controlerkonstant } end; { } { Initiering af Controler ved opstart } { } Procedure InitPControler (Var C: PControlerDataType; Kp: Real); begin C.Kp := Kp; { Controlerkonstant } end; { } { Beregning af et controler-trin (ny output ved sampling)} { } Procedure PControler ( Var C: PControlerDataType; En: Real; Var Mn: Real); begin Mn := C.Kp * En; end; Var PControlerData: PControlerDataType; SamplingsTid: Real; Reference: Real; { Ønsket procesoutput } PControlerKonst: Real; Fejl: Real; ProcesInput: Real; { = Controleroutput }... Begin SamplingsTid := 1; PControlerKonst := 0.5; InitPControler (PControlerData, PControlerKonst); Fejl := Reference - ProcesOutput; PControler (PControlerData, Fejl, ProcesInput); (C) Bjørk Boye Busch december 2014

48 3.4.2 Integral-kontrol (I) Figuren viser grundlaget for diskret integralkontrol i sampling 16. Controleren styrer udfra den samlede fejl igennem tiden frem til og med nu. Der tages altså hensyn til hvorlænge fejlen har varet. Model for integral-kontrol: t m(t) = K i e(j)*dj 0 Opstillet på diskret form: Bemærk der startes i j=1, da der regnes bagud. Bemærk ligeledes, at ny styreværdi og fejl regnes som samtidig, da de begge hører til samme sampling og der arbejdes diskret (i hele samplinger). <=> <=> <=> n m n = K i Σ e j T j=1 n-1 m n = K i Σ e j T + K i e n T j=1 m n = m n-1 + K i Te n m n - m n-1 = K i Te n hvor T er samplingstiden. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

49 Ved brug af backward-shift operator fås: <=> <=> m n - Bm n = K i Te n (1 - B)m n = K i Te n m n G c (B) = e n K i T = 1 - B Bemærk forskellen mellem modellen for denne controler og så integralprocesser. Hvis det tager for lang tid, at beregne nyt output i controleren, og output derfor ligger tættere på næste input, end det aktuelle input, vil det være mere korrekt at beskrive input som en sampling forskudt for output. I så tilfælde vil det svare til integralprocessen. Blokdiagram for integralcontroleren: e n K i T m n > > 1-B (C) Bjørk Boye Busch december 2014

50 Definition af integralcontroler i PASCAL. I det efterfølgende vises hvordan controlerberegningen kan foretages i PASCAL. Der tages udgangspunkt i udtrykket: m n = m n-1 + K i Te n Type IControlerDataType = Record Ki: Real; { Controlerkonstant } T: Real; { Samplingstid } Mn_1: Real; { Controleroutput sidst } end; { } { Initiering af Controler ved opstart } { } Procedure InitIControler (Var C: IControlerDataType; Ki, T: Real); begin C.Ki := Ki; { Controlerkonstant } C.T := T; { Samplingstid } C.Mn_1 := 0; { Controleroutput sidste gang } end; { } { Beregning af et controler-trin (ny output ved sampling)} { } Procedure IControler ( Var C: IControlerDataType; En: Real; Var Mn: Real); begin Mn := C.Mn_1 + (C.Ki * C.T * En); C.Mn_1 := Mn; { Gem controleroutput til næste gang } end; Var IControlerData: IControlerDataType; SamplingsTid: Real; Reference: Real; { Ønsket procesoutput } IControlerKonst: Real; Fejl: Real; ProcesInput: Real; { = Controleroutput }... Begin SamplingsTid := 1; IControlerKonst := 0.5; InitIControler(IControlerData, IControlerKonst, Samplingstid); Fejl := Reference - ProcesOutput; IControler (IControlerData, Fejl, ProcesInput); (C) Bjørk Boye Busch december 2014

51 3.4.3 Differential-kontrol (D) Figuren viser grundlaget for diskret proportionalkontrol i sampling 5. Controleren styrer udfra hvordan fejlen udvikler sig. Den forsøger hermed kun at holde fejlen stabil og ikke eliminere den. Model for differential-kontrol: de(t) m(t) = K d dt Opstillet på diskret form: <=> e n - e n-1 m n = K d T K d m n = (e n - e n-1 ) T (C) Bjørk Boye Busch december 2014

52 Ved brug af backward-shift operator fås: <=> <=> K d m n = (e n - Be n ) T K d m n = (1 - B)e n T m n K d G c (B) = = (1 - B) e n T Blokdiagram for differentialcontroleren: e n K d m n > (1-B) > T Definition af differentialcontroler i PASCAL. I det efterfølgende vises hvordan controlerberegningen kan foretages i PASCAL. Der tages udgangspunkt i udtrykket: K d m n = (e n - e n-1 ) T Type DControlerDataType = Record Kd: Real; { Controlerkonstant } T: Real; { Samplingstid } En_1: Real; { Fejl sidst } end; { } { Initiering af Controler ved opstart } { } Procedure InitDControler (Var C: DControlerDataType; Kd, T: Real); begin C.Kd := Kd; { Controlerkonstant } C.T := T; { Samplingstid } C.En_1 := 0; { Fejl sidste gang } end; Fortsættes på næste side (C) Bjørk Boye Busch december 2014

53 { } { Beregning af et controler-trin (ny output ved sampling)} { } Procedure DControler ( Var C: DControlerDataType; En: Real; Var Mn: Real); begin Mn := (C.Kd/T)*(En - C.En_1); C.En_1 := En; { Gem fejl til næste gang } end; Var DControlerData: DControlerDataType; SamplingsTid: Real; Reference: Real; { Ønsket procesoutput } DControlerKonst: Real; Fejl: Real; ProcesInput: Real; { = Controleroutput }... Begin SamplingsTid := 1; DControlerKonst := 0.5; InitDControler(DControlerData, DControlerKonst, Samplingstid); Fejl := Reference - ProcesOutput; DControler (DControlerData, Fejl, ProcesInput); Differentialcontoleren er normalt ikke særlig anvendelig alene. (C) Bjørk Boye Busch december 2014

54 3.4.4 Proportional-integral-kontrol (PI) Denne controler er en sammesætning af proportionalcontroleren og integralcontroleren. Proportionaldelen styrer på her og nu fejlen og integraledelen medtager den tidligere fejl og den tid fejlen har varet. Model for proportional-integral-kontrol: t m(t) = K p e(t) + K i e(j)*dj 0 Opstillet på diskret differens form ud fra de tidligere: <=> m n - m n-1 = (K p e n - K p e n-1 ) + (K i e n T) Hvor T er samplingstiden. m n - m n-1 = (K p + K i T)e n - K p e n-1 Ved brug af backward-shift operator fås: m n - Bm n = (K p + K i T)e n - K p Be n <=> (1 - B)m n = ((K p + K i T) - K p B)e n <=> m n (K p + K i T) - K p B K i T + (1 - B)K p G p (B) = = = e n 1 - B 1 - B Blokdiagram for sammensat proportional-integral-controler: e n K i T + (1-B)K p m n > > 1 - B Definition af proportional-integral-controler i PASCAL. I det efterfølgende vises hvordan controlerberegningen kan foretages i PASCAL. Der tages udgangspunkt i udtrykket: m n G p (B) = <=> <=> e n K i T + (1 - B)K p = 1 - B m n - m n-1 = (K p + K i T)e n - K p e n-1 m n = m n-1 + (K p + K i T)e n - K p e n-1 (C) Bjørk Boye Busch december 2014

55 Type PIControlerDataType = Record Kp: Real; { Controlerkonstant proportionaldel } Ki: Real; { Controlerkonstant integraledel } T: Real; { Samplingstid } En_1: Real; { Fejl sidst } Mn_1: Real; { Controleroutput sidst } end; { } { Initiering af Controler ved opstart } { } Procedure InitPIControler (Var C: PIControlerDataType; Kp, Ki, T: Real); begin C.Kp := Kp; { Controlerkonstant proportionaldel } C.Ki := Ki; { Controlerkonstant integraledel } C.T := T; { Samplingstid } C.En_1 := 0; { Fejl sidste gang } C.Mn_1 := 0; { Controleroutput sidste gang } end; { } { Beregning af et controler-trin (ny output ved sampling)} { } Procedure PIControler ( Var C: PIControlerDataType; En: Real; Var Mn: Real); begin Mn := C.Mn_1 + (C.Kp + (C.Ki*C.T))*En - C.Kp*C.En_1; C.Mn_1 := Mn; { Gem controleroutput til næste gang } C.En_1 := En; { Gem fejl til næste gang } end; Var PIControlerData: PIControlerDataType; SamplingsTid: Real; Reference: Real; { Ønsket procesoutput } ContrKp: Real; ContrKi: Real; Fejl: Real; ProcesInput: Real; { = Controleroutput }... Begin SamplingsTid := 1; ContrKp := 0.75; ContrKi := 0.25; InitPIControler (PIControlerData, ContrKp, ContrKi, Samplingstid);... Fejl := Reference - ProcesOutput; PIControler(PIControlerData, Fejl, ProcesInput); (C) Bjørk Boye Busch december 2014