Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
|
|
|
- Hanna Dideriksen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus Uge
2 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)= x g(x,y)=k Lagrange situation Calculus Uge
3 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Calculus Uge
4 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus Uge
5 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y) = k kan løses, y = φ(x), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel x f(x,φ(x)). Calculus Uge
6 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y) = k kan løses, y = φ(x), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel x f(x,φ(x)). Hvis løsningskurven til ligningen g(x, y) = k kan parametriceres med (x(t),y(t)), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel t f(x(t),y(t)). Calculus Uge
7 Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen er opfyldt. f(x,y) = x + 3y g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 Calculus Uge
8 Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen f(x,y) = x + 3y g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Løsning Niveaukurverne for f er linjer x + 3y = c. Ekstremum findes når disse tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10. Calculus Uge
9 Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - figur y 1 f(x,y)=0 x f(x,y) = x + 3y, g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 Calculus Uge
10 Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - fortsat Niveaukurverne x + 3y = c tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10 for værdier af c, hvor har dobbeltrod. ( 3y + c) 2 + y 2 10 = 10y 2 6cy + c 2 10 Calculus Uge
11 Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - fortsat Niveaukurverne x + 3y = c tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10 for værdier af c, hvor har dobbeltrod. Diskriminanten ( 3y + c) 2 + y 2 10 = 10y 2 6cy + c c 2 40(c 2 10) = 4c er 0 for c = ±10, som giver punkter (x,y) = ±(1, 3) Calculus Uge
12 Lagrange multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. I ligningen f(x 0,y 0 ) = λ g(x 0,y 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Calculus Uge
13 Lagrange multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. I ligningen f(x 0,y 0 ) = λ g(x 0,y 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrykker at niveaukurven for f i (x 0,y 0 ) tangerer begrænsningskurven g(x, y) = k. Calculus Uge
14 Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. (a) Find x,y,λ så f(x,y) = λ g(x,y) g(x,y) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus Uge
15 Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x,y) = k. f x (x,y) = λg x (x,y) f y (x,y) = λg y (x,y) g(x,y) = k Calculus Uge
16 Multiplikator metode Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(x, y) = x + 3y, når samtidig ligningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Calculus Uge
17 Multiplikator metode Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(x, y) = x + 3y, når samtidig ligningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Lagrangeligningerne er 1 = λ2x 3 = λ2y x 2 + y 2 = 10 Calculus Uge
18 Multiplikator metode Eksempel - igen fortsat Der løses 3x = y og x 2 + (3x) 2 10 = 0 der giver (x,y) = ±(1, 3) Calculus Uge
19 Multiplikator metode Eksempel - igen fortsat Der løses 3x = y og der giver Lagrange multiplikator er x 2 + (3x) 2 10 = 0 (x,y) = ±(1, 3) λ = ± 1 2 Calculus Uge
20 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Calculus Uge
21 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Ligningen g(x, y, z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus Uge
22 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Ligningen g(x, y, z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y, z) = k kan løses, z = φ(x, y), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 2 variabel f(x,y,φ(x,y)) Calculus Uge
23 Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. I ligningen 1 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Calculus Uge
24 Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. I ligningen 1 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x 0,y 0,z 0 ) tangerer begrænsningsfladen g(x, y, z) = k. Calculus Uge
25 Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. (a) Find x,y,z,λ så f(x,y,z) = λ g(x,y,z) g(x,y,z) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus Uge
26 Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. f x (x,y,z) = λg x (x,y,z) f y (x,y,z) = λg y (x,y,z) f z (x,y,z) = λg z (x,y,z) g(x,y,z) = k Calculus Uge
27 Kassefabrikant Eksempel 1 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. Calculus Uge
28 Kassefabrikant Eksempel 1 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. Kantlængder x, y, z. Volumen V = xyz. Overfladeareal g = 2xz + 2yz + xy = 12. Beregn V x = yz,v y = xz,v z = xy g x = y + 2z,g y = x + 2z,g z = 2x + 2y Calculus Uge
29 Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Lagranges ligningssystem opskrives yz = λ(y + 2z) xz = λ(x + 2z) 2xz + 2yz + xy = 12 xy = λ(2x + 2y) Heraf xyz = λ(xy + 2xz) xyz = λ(xy + 2yz) xyz = λ(2xz + 2yz) 2xz + 2yz + xy = 12 Calculus Uge
30 Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Der løses x = y y = 2z 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 Calculus Uge
31 Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Der løses Løsningen er da x = y y = 2z 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 (x,y,z) = (2, 2, 1) Kantlængder for størst rumfang er længde = 2m, bredde = 2m, højde = 1m Calculus Uge
32 Køreplan [S] 11.7 Maximum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: Calculus Uge
33 Køreplan [S] 11.7 Maximum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: 1. Find værdier af f i kritiske punkter i D 2. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra 1. og 2. Calculus Uge
34 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Calculus Uge
35 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Løsning D er lukket og begrænset og f er kontinuert, så maksimum/minimum antages på D. Calculus Uge
36 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - figur z x f(x,y) = x 2 + 2y 2, g(x,y) = x 2 + y 2 1 y Calculus Uge
37 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Calculus Uge
38 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f har kritisk punkt f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} f(x,y) = (2x, 4y) = 0 (x,y) = (0, 0) Calculus Uge
39 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 under begrænsningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 1 giver Lagrange ligninger 2x = λ2x 4y = λ2y x 2 + y 2 = 1 med løsninger (x,y) = (±1, 0), (0, ±1) Calculus Uge
40 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 I alt er der 5 punkter at tabellægge (a, b) (0, 0) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) f(a, b) Calculus Uge
41 Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 I alt er der 5 punkter at tabellægge (a, b) (0, 0) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) f(a, b) På cirkelskiven D er absolut maksimumspunkt og -værdi: f(0, ±1) = 2 absolut minimumspunkt og -værdi: f(0, 0) = 0 Calculus Uge
42 Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem punkter på kugleskallen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som er nærmest og længst fra punktet (3, 1, 1). Calculus Uge
43 Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem punkter på kugleskallen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som er nærmest og længst fra punktet (3, 1, 1). z x 2 y (3,1, 1) Calculus Uge
44 Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem ekstremumsværdier af under bibetingelsen f(x,y,z) = (x,y,z) (3, 1, 1) 2 = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4 Calculus Uge
45 Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning Lagranges ligningssystem opskrives 2(x 3) = λ2x 2(y 1) = λ2y 2(z + 1) = λ2z x 2 + y 2 + z 2 = 4 Calculus Uge
46 Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning Lagranges ligningssystem opskrives Heraf 2(x 3) = λ2x 2(y 1) = λ2y 2(z + 1) = λ2z x 2 + y 2 + z 2 = 4 x = 3/(1 λ), y = 1/(1 λ), z = 1/(1 λ) = 4(1 λ) 2 Calculus Uge
47 Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning λ = 1 ± 11, f(x,y,z) = 4λ2 2 λ = giver afstand 2 λ = 11 2 og nærmeste punkt (x,y,z) = ( 6 11, 2, 2 ) λ = giver afstand 2 λ = 11+2 og punktet længst væk (x,y,z) = ( 6 11, 2 11, 2 11 ) Calculus Uge
48 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligninger g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c er opfyldt. Calculus Uge
49 Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligninger g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c er opfyldt. Ligningerne g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus Uge
50 Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. I ligningen 16 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) + µ h(x 0,y 0,z 0 ) kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer. Calculus Uge
51 Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. I ligningen 16 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) + µ h(x 0,y 0,z 0 ) kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer. Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x 0,y 0,z 0 ) tangerer begrænsningskurven g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. Calculus Uge
52 Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. (a) Find x,y,z,λ,µ så f(x,y,z) = λ g(x,y,z) + µ h(x,y,z) g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus Uge
53 Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. f x (x,y,z) = λg x (x,y,z) + µh x (x,y,z) f y (x,y,z) = λg y (x,y,z) + µh y (x,y,z) f z (x,y,z) = λg z (x,y,z) + µh z (x,y,z) g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c Calculus Uge
54 To betingelser Eksempel 5 Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for funktion f = x + 2y + 3z under begrænsningen g = x y + z = 1, h = x 2 + y 2 = 1. 1 = λ + µ2x 2 = λ + µ2y 3 = λ x y + z = 1 x 2 + y 2 = 1 Calculus Uge
55 To betingelser Eksempel 5 - fortsat Løsningen giver relevante punkter (x,y,z) = ( 2 29, 5, ) (x,y,z) = ( 2 29, 5 29, ) Calculus Uge
56 To betingelser Eksempel 5 - fortsat Løsningen giver relevante punkter (x,y,z) = ( 2 29, 5, ) (x,y,z) = ( 2 29, 5 29, ) Ved indsættelse i f = x + 2y + 3z fås og Det første punkt er maksimum og det andet punkt er minimum. Calculus Uge
57 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 Minimer funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1. Calculus Uge
58 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 Minimer funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1. Løsning f angiver kvadratet for afstanden fra 0 til planen givet ved bibetingelsen. Fra lineær algebra ved vi at minimum antages. Kandidater til minimumspunkt findes ved Lagrange metoden. Calculus Uge
59 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange metoden anvendes på funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen g(x,y,z) = 2x + y + z = 1. Calculus Uge
60 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange metoden anvendes på funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen g(x,y,z) = 2x + y + z = 1. Løsning De partielle afledede er f x = 2x,f y = 2y,f z = 2z g x = 2,g y = 1,g z = 1 Calculus Uge
61 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssystem bliver 2x = 2λ 2y = λ 2z = λ 2x + y + z = 1 Calculus Uge
62 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssystem bliver 2x = 2λ 2y = λ 2z = λ 2x + y + z = 1 Løsningen giver multiplikator λ = 1 3 og minimumspunkt/værdi (a,b,c) = ( 1 3, 1 6, 1 6 ), f(a,b,c) = 1 6 Calculus Uge
63 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Calculus Uge
64 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Løsning De partielle afledede er h x = 10x + 4y 4,h y = 4x + 4y 2 Calculus Uge
65 Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Løsning De partielle afledede er h x = 10x + 4y 4,h y = 4x + 4y 2 Det kritiske punkt (a,b) = ( 1, 1 ) giver minimums punkt/værdi 3 6 (a,b,c) = ( 1, 1, 1), f(a,b,c) = Calculus Uge
Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Største- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen 34 5. Gradient
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
UGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Ekstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
![Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1](/thumbs/62/47252518.jpg "Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1")
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Lokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/62/46643337.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Funktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/49/20647678.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Pointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable
Projekt 7.. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Indhold 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se C-bogen projekt ).... Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen projekt
N 0 3gleord og begreber 7 0 Dobbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der. 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed
1 3Oversigt 7 4 [S] 12.1, 12.2, 12.3 N 0 3gleord og begreber 7 0 obbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der 7 0 Type I 7 0 Type II 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed Calculus 2-2006 Uge
Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Svar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
![[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0](/thumbs/48/24857099.jpg "[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0")
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
![Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19](/thumbs/63/49989105.jpg "Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19")
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Lineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Løsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
OPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Lineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Løsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Matematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Årsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
MASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Prøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Lineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis
Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen
Anvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Ugesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen
Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering