Dynamiske Modeller af Termiske Systemer

Transkript

1 Palle Andersen, Tom. Pedersen og teen Tøffner-Clausen U oktober 1996 Afdeling for Proceskontrol, Institut for Elektroniske ystemer Aalborg Universitet, Fredrik Bajers Vej 7, DK-9220 Aalborg Ø, Danmark

2 ide II af VII Forord Disse noter er skrevet til et grundlæggende kursus i dynamisk modellering af termiske systemer på ystemkonstruktionsliniens 8. semester, Institut for Elektroniske ystemer, Aalborg Universitet, 1996 Formålet med noten er at give en indføring i generelle modelleringsmetoder for termiske systemer. Noten introducerer et generelt modelværktøj Γ-ligningen og det illustreres hvorledes de 3 balanceligninger masse-, energi- og impulsbalancen kan udledes som special cases. Noten behandler balanceligningerne både for systemer med koncentrede og fordelte parametre. I forbindelse med energibalancen lægges speciel vægt på varmetransmissionsligninger herunder især tvungen konvektion. Der gives en kort opfriskning til simulering af ulineære differentialligninger med fordelte parametre, men generelt forudsættes det, at simulering af dynamiske systemer er velken stof. Det gives desuden en kort indføring i to-fase systemer. Denne note er en udvidelse af en tidligere note [AP90]. pecielt er introduktionen af Γ- ligningen kommet til, og der er meaget et kapitel omkring systemer med fordelte parametre. For en grundigere behandling af systemer med fordelte parametre se [PA88]. Nøgleord Modellering, balanceligninger, varmetransmission, koncentrerede og fordelte parametre, differentialligninger, simulering. Forfatternes tilhørsforhold Forfatterne er tilknyttet Afdelingen for Proceskontrol, Institut for Elektroniske ystemer, Aalborg Universitet, DK-9220 Aalborg Ø, Danmark. e afdelingens home-page: Forfatternes addresse er: {pa,tom,stc}@@control.auc.dk

3 ide III af VII Forord til 2. Udgave I denne 2. udgave af noten er der foretaget mindre rettelser og forbedringer, uden at notens form og indhold er ændret på væsentlige punkter. De vigtigste ændringer er sket i udledningen af energibalancen (Afsnit 2.5). Desuden er noten omskrevet i L A TEX2ε i report document class med pakkerne lcaption, epsf, theorem, varioref, eepic og amstex.

4 ide IV af VII Indhold 1 Indledning Formål med model ystemets virkemåde ystemets grænseflade Opdeling i delsystemer Antagelser Kontrolvolumener Afrunding Matematiske Modeller af Fysiske ystemer Tætheder trømme og strømtætheder Den Generelle Balanceligning Γ-Ligningen Massebalancen Energibalancen Impulsbalancen Empiri Varmetransmissionsligninger Ledning tråling Konvektion Friktionsuryk ystemer med Fordelte Parametre Γ-Ligningen på Differentialform Massebalancen på Differentialform Impulsbalancen på Differentialform Energibalancen på Differentialform imulering af systemer med fordelte parametre imulering med fysisk sektionering imulering med karakteristikmetoden Flerfasesystemer Tilstandsrelationer

5 ide V af VII Figurer 1.1 Modstrømsvarmeveksler Kausaldiagram for varmeveksler Processtrukturdiagram for varmeveksler ammenhæng mellem delsystemerne Eksempel på indlæggelse af kontrolvolumener impelt eksempel på massebalance Fladestykke A indlagt i tætpakket partikelsystem Kontrolvolumen indlagt i tætpakket partikelsystem Energibalancen anven på rørudsnit Kræfter af kort rækkevidde opdelt i normal- og tangentialkomposant Temperaturprofil varmeledning Temperaturprofil ledning og konvektion Væskegennemstrømmet rør Darcy friktions faktoren f Rørfriktionen ξ for bøjet rør Krydsvarmeveksler (kraftværksoverheder) Infinitesimalt dampelement Karakteristikker Net af karakteristikker til simulering af krydsvarmeveksler , T fasediagram pecifik entalpi af vand og vanddamp som funktion af tryk og temperatur h, - diagram for vand/vanddamp Rør, hvor indgangsflowet er vanddamp og udgangsflowet er mættet vand

6 ide VI af VII Tabeller 1.1 Klassifikation af variable Eksempler på kræfter af kort og lang rækkeviddes effekt Cirka-værdi for varmeledningstal Variable som forsøg har vist har betydning for α

7 ide VII af VII Nomenklaturliste A Areal, [m 2 ]. C trålingsfaktor, [J/(sK 4 )], [m 2 /(s 3 K 4 )]. c pecifik varmekapacitet, [Joule/(kg C)], [m 2 /(s 2 C)]. D Diameter, [m]. E Energi [Joule], [kg m 2 /s 2 ]. E kin Kinetisk energi [kg m 2 /s 2 ]. E pot Potentiel energi [kg m 2 /s 2 ]. F Kraft, [N], [kgm/s 2 ]. G Bevægelsesmængde/impuls, [kgm/s]. h Enthalpi, [Joule/kg], [m 2 /s 2 ]. i trøm. j trømtæthed. L Længde, [m]. M, m Masse [kg]. ṁ Massestrøm [kg/sek]. n Normalvektor. P Effekt [Joule/sek], [kg m 2 /s 3 ]. Q Tilført varmeeffekt, [Joule/sek], [kg m 2 /s 3 ]. R Radius, [m]. r Retningsvektor. T Temperatur, [ C]. U Indre energi [kg m 2 /s 2 ]. u pecifik indre energi [Joule/kg], [m 2 /s 2 ]. V Volumen [m 3 ]. v Hastighed [m/sek]. W Udført arbejde, [Joule], [kg m 2 /s 2 ]. x, y, z Retvinklede rumkoordinater. Nu Nusselts tal. Re Reynolds tal. Pr Pranls tal. α Varmeovergangstal, [Joule/(sek Cm 2 )], [kg/(s 3 C)]. Γ Γ-mængde. γ Γ-mængde for en partikel. f Tryktabsfaktor ved lige rørstykker. λ Varmeledningsevne, [W/(m C)], [kg m/(s 3 C)]. µ Dynamisk viskositet, [Ns/m 2 ], [kg/(ms)]. ν Kinematisk viskositet, [m 2 /s]. ξ Formfaktor for tryktab gennem formstykker. ρ Tæthed. σ Mekanisk spænding [N/m 2 ], [kg/ms 2 ]. Tryk [Pascal], [kg/(ms 2 ].

8 Kapitel 1 Indledning Formulering af matematiske modeller for fysiske systemer er en essentiel ingeniørdisciplin indenfor såsagt samtlige fagretninger. Ved analyse af processystemer af enhver slags (kemiske, termiske, hydrauliske, elektriske, osv.) er det en forudsætning at processen kan beskrives på en tilgængelig matematisk form, f.eks. ved et sæt af sammenhørende differentialligninger. Derfor er kendskab til generelle modelleringsmetoder et must for enhver god ingeniør. Ved opstilling af en matematisk model for et fysisk system skelnes mellem 2 principielt forskellige metoder; enten kan modellen findes som en black box model baseret på en analyse af observationer foretaget på det fysiske system eller modellen kan bestemmes som en fysisk model baseret på en systematisk anvendelse af fysiske grundlove. Black box modeller er normalt simple lineære modeller, hvis fordel er, at de hurtigt kan opstilles. En vigtig disciplin indenfor black box modellering er systemidentifikation, hvor parametre i en parametrisk (lineær) model bestemmes udfra målinger således at kvadratfejlen mellem målt og predikteret output minimeres. Black box modellerne har imidlertid 2 væsentlige begrænsninger: Den fysiske forståelse af systemet mangler. Manglende strukturel overensstemmelse mellem det fysiske system og modellen, f.eks. ved ulineære systemer. De fysiske modeller er normalt et sæt af sammenhørende muligvis partielle og ulineære differentialligninger. Ulempen ved sådanne modeller er, at det som oftest er ret tidskrævende at opstille dem. Ofte er man desuden interesseret i en lineær beskrivelse af systemet, f.eks. til lineært regulatordesign, hvilket betyder at de ulineære differentialligninger må lineariseres omkring et arbejdspunkt. Fordelen ved en fysisk model er, at man opnår en fysisk forståelse for systemet, som senere, f.eks. ved regulatordesign, vil være nyttig. Desuden vil der være en strukturel overensstemmelse mellem det fysiske system og den opstillede (evt. lineariserede) model. Hvis modellen skal anvendes i forbindelse med regulering, vil den lineariserede model vise hvilke fysiske størrelser, der er betydende for tidskonstanter, forstærkninger og tidsforsinkelser, samt hvorledes disse ændres i forskellige driftssituationer (arbejdspunkter). Denne note vil omhandle opstilling af modeller baseret på fysiske love. Ved opstilling af sådanne modeller er det ønskeligt at have en generel procedure, som kan følges hver gang. For termiske systemer vil følgende fremgangsmetode kunne anvendes: 1

9 ide 2 af Formålet med modellen specificeres. F.eks. til regulatordesign/simulering. 2. ystemet virkemåde beskrives, f.eks grafisk. 3. ystemets grænseflader defineres, dvs. input og output fastlægges. 4. ystemet opdeles i undersystemer, hvor hvert delsystems grænseflade defineres. 5. Foreløbige antagelser specificeres. De foreløbige antagelser revideres evt. under pkt I hvert delsystem indlægges der kontrolvoluminer. 7. For hvert kontrolvolumen anvendes de fysiske love systematisk. 8. Parameterværdierne bestemmes. 9. De enkelte delmodeller evalueres. 10. Den samlede model evalueres/verificeres. 1.1 Formål med model. Ved opstilling af en model for et fysisk system er det vigtigt at definere formålet med modellen. For et fysisk system kan der opstilles mange forskellige modeller, som alle kan være rigtige, men sigter på forskellige anvendelser. om et eksempel kan nævnes en varmeveksler. Anvendes denne i et stort system, og ønskes der en dynamisk model af det samlede system til regulatordesign, indgår varmeveksleren måske som en konstant i de samlede model. Er det derimod en konstruktør, der modellerer varmeveksleren, er han måske interesseret i temperaturen på et givet sted til en given tid med givne begyndelsesbetingelser og vil derfor anvende en matematisk model med ulineære instationære partielle differentialligninger. Begge modeller kan være rigtige for de givne anvendelser. Dermed være sagt, at det er svært at vurdere om en model er rigtig, men man kan vurdere, om den kan anvendes til det konkrete formål. Modellerne der opstilles i denne note vil kunne anvendes til opstilling af kontrolkoncepter og simulering. De modeller der er egnede til opstilling af kontrolkoncepter, er dem der gengiver systemernes væsentlige dynamiske og ulineære forhold f.eks baseret på en koncentreret parameterbeskrivelse. Alle de opstillede modeller kan anvendes til simulering. 1.2 ystemets virkemåde En omhyggelig og grundig beskrivelse af systemets komponenter samt dets virkemåde er nødvendig før den matematiske modellering kan påbegyndes. I de allerfleste tilfælde vil det være således, at selve den matematiske model ikke giver nogen yderlig kvalitativ information, dvs. at den matematiske model kun afspejler systembeskrivelsen. Udover selve systembeskrivelsen kan et kausaldiagram eller et processtrukturdiagram være til hjælp. Et kausaldiagram er en afbildning af et system som afspejler de kvalitative sammenhænge mellem et systems tilstande, input og output. om et eksempel anvendes modstrømsvarmeveksleren vist på Figur 1.1.

10 ide 3 af 47 Varmeveksler T1ind m1 T2ud m2 T1ud m1 T2ind m2 Figur 1.1: Modstrømsvarmeveksler. For modstrømsvarmeveksleren er man interesseret i sammenhængen mellem de på figuren viste stationære st ørrelser. Denne sammenhæng er vist på kausaldiagrammet Figur 1.2. Her antages det, at en af de seks tilstande får en positiv tilvækst. Hvilke tilstande denne tilvækst påvirker er indikeret med pilene, og fortegnet på pilen angiver i hvilken retning disse tilstande vil blive påvirket. Eksempelvis kan T 1,ind gives en positiv tilvækst, dette medfører at T 1,ud og T 2,ud begge påvirkes i positiv retning, hvilket fremgår af fortegnene på pilene. Kausaldiagrammet er, som det vil kunne ses ved en analyse af varmeveksleren, afhængig af den aktuelle driftsituation. Det viste diagram forudsætter således, at T 1,ind er større end T 2,ind. T1ind + + T1ud + + m1 + - T2ind + T2ud - m2 Figur 1.2: Kausaldiagram for varmeveksler. Et procestrukturdiagram er en grafisk afbildning baseret på blokdiagrammer, hvor blokkene viser grafisk hvorledes variablen på udgangen opfører sig ved stepinput på indgangen. En blok kan også indeholde en statisk ulinearitet. De typiske dynamiske responsetyper i blokkene er f.eks: Første ordens repons. Tidsforsinket første ordens repons. Højere ordens respons. Integralrespons. Ren tidsforsinkelse. Ustabilitet.

11 ide 4 af 47 Diagrammet afspejler hvorledes man før selve modelleringen (dvs. opstilling af modelligninger) antager hvor processens dynamik findes. For varmeveksleren er et forslag til processtrukturdiagram vist på Figur 1.3 (T 2,ind regnes for konstant). Det bemærkes, at man ved opstilling af et processtrukturdiagram ikke tager stilling til kvantitative størrelser (f.eks. tidskonstanter og forstærkninger), som man gør i et normalt blokdiagram. m2 T1ind T1ud T2ud m1 Figur 1.3: Processtrukturdiagram for varmeveksler. 1.3 ystemets grænseflade ystemet der skal modelleres skal afgrænses, således at input og output defineres. Denne afgrænsning samt definition af input/output kan tit volde problemer, når der er tale om termiske systemer, for eksempel vælges flow ud af systemet ofte som input. om et eksempel kan tages en væsketank med et tilløb og et afløb. Tanken ønskes modelleret således at væskehøjden er output (skal måske reguleres). om modelinput vil man vælge masseflowet ud af tanken og masseflowet ind i tanken, hvilket vil gøre modellen uafhængig af, hvad der eventuelt er placeret i og efter afløbet. For at undgå forvirring omkring den terminologi, der anvendes i forbindelse med modellering (f.eks. ordene input og output), er der på Tabel 1.1 en oversigt over hvilke termer, der anvendes af procesingeniører (kemi/maskin), systemingeniører og matematikere.

12 ide 5 af 47 Procesingeniør ystemingeniør Matematiker forstyrrelse input fri,uafhængig variabel belastning input fri,uafhængig variabel manipulator input fri, uafhængig variabel response output afhængig variabel parameter parameter parameter tilstand tilstand afhængig variabel extensiv volumen relateret variabel intensiv punkt relateret variabel 1.4 Opdeling i delsystemer Tabel 1.1: Klassifikation af variable. Det er oftest en fordel at opdele systemet i en række delsystemer, hvor hver enkelt delsystem svarer til en fysisk komponent. For delsystemerne skal grænsefladen (input,output) defineres. ammenhængen mellem delsystemerne kan opdeles i 5 strukturer, nemlig eriel struktur Feedforward (parallel) struktur Feedback struktur Medstrømsstruktur Modstrømsstruktur De 5 strukturtyper er skitseret på Figur 1.4. trukturen kan have betydning hvis der ønskes en simulering af det samlede system. 1.5 Antagelser Før den matematiske modellering påbegyndes er det nødvendigt at lave en række antagelser. Der kan naturligvis ikke opstilles generelle antagelser, men hyppigt anvene antagelser for termiske systemer er følgende Parallelt forbundne rør regnes for ens. Enhver egenskab er i et rørtværsnit givet ved en værdi. For eksempel kan det antages, at væsketemperaturen i et væskegennemstrømmet rør er den samme over et givet tværsnit. Væsker er inkompressible. Mætningstilstande antages ofte, selv om dette ikke helt er opfyl. For væsker antages energiindholdet kun at være afhængigt af temperaturen. Friktionsfaktorer er konstante.

13 ide 6 af 47 eriel Parallel Feedback Medstrøm Modstrøm 1.6 Kontrolvolumener Figur 1.4: ammenhæng mellem delsystemerne. Ud over de nævnte antagelser sker der ved modellering med koncentrerede parametre en antagelse ved indlægning af kontrolvolumener. I denne metode indlægges der i hvert delsystem et antal sammenhængende kontrolvolumener. Et kontrolvolumen vælges således, at alle variable kan tilnærmes som værende ens overalt i volumenet (ens i sted, men ikke i tid). om et eksempel på indlæggelse af kontrolvolumener er på Figur 1.5 vist et væskegennemstrømmet rør. Kontrolvolumen 2 Kontrolvolumen 1 Kontrolvolumen 2 Figur 1.5: Eksempel på indlæggelse af kontrolvolumener. Væskegennemstrømmet rør. På figuren er der indlagt to sammenhængende kontrolvolumener. I det ene volumen, som omfatter væsken, regnes med at temperaturen, massefylden og trykket er ens overalt. Det andet kontrolvolumen er indlagt omkring rørvæggen, her regnes der ligeledes med ens egenskaber, hvilket eksempelvis vil sige ens temperatur. Det vil gælde at flere kontrolvolumener vil give en nøjagtigere model (uendeligt mange giver en model beskrevet med partielle differentialligninger), men denne forøgelse af modelordenen vil ikke nødvendigvis være at foretrække, hvis modellen skal anvendes til regulatordesign.

14 ide 7 af Afrunding I denne indledning er der introduceret en procedure, der kan anvendes, når der skal opstilles en model af et termisk system. De punkter, der ikke vedrører selve matematikken er kort gennemgået.

15 Kapitel 2 Matematiske Modeller af Fysiske ystemer Ved at anvende de styrende fysiske love for det specielle system man ønsker at modellere, kan man som før nævnt opstille en matematisk beskrivelse af systemet, typisk som et sæt af sammenhørende differentialligninger. Disse differentialligninger kan være enten ordinære eller partielle, alt efter om der regnes med koncentrede eller fordelte parametre i modellen. De anvene fysiske love er selvfølgelig helt afhængige af det undersøgte system. For et elektrisk system kan det være Ohms lov eller Maxwell s feltligninger og for et kemisk system kan det f.eks. være reaktionsligninger. I denne note vil modelleringen af termiske systemer blive omhandlet. Hertil anvendes flg. 2 generelle typer af ligninger: Balanceligninger. Empiriske relationer. I det følgende vil der blive opstillet en generel model for vekselvirkende tætpakkede partikelsystemer. Først analyseres dog et simpelt eksempel. Eksempel 2.1 (Massebalance) Betragt det på Figur 2.1 viste cylindriske vandkar med 2 tilløb og 1 afløb. ṁ 1 (t) ṁ 2 (t) h(t) M (t) ṁ 3 (t) Figur 2.1: impelt eksempel på massebalance. Vandkar med 2 tilløb og et afløb. Karrets diameter er D og vandhøjden til et givet tidspunkt er h(t). Vandets massefylde ρ M 8

16 ide 9 af 47 regnes konstant. Da masse hverken kan opstå eller forsvinde vil der således gælde at: hvor M (t) er vandmassen i karret. dm (t) = ṁ 1 (t) + ṁ 2 (t) ṁ 3 (t) (2.1) ρ M πd 2 dh(t) = ṁ(t) (2.2) 4 4 t h(t) = ρ M πd 2 ṁ(t) + h(t 0 ) (2.3) t 0

17 ide 10 af 47 Verbalt kan argumentationen anven i Eksempel 2.1 beskrives som: Den samlede masse i kontrolvolumenet (vandkarret) er lig med massetætheden ρ M multipliceret med volumenet 0.25πD 2 h(t). Ændringen af masse i kontrolvolumenet er lig med summen af massestrømme ud og ind i. I de næste 2 afsnit generaliseres størrelserne massetæthed og massestrøm for at kunne opstille generelle betragtninger for tætpakkede partikelsystemer. 2.1 Tætheder Givet et tætpakket partikelsystem, hvor der indlægges en lille terning med rumfanget V, betragt en egenskab ved dette partikelsystem. Det kunne f.eks. være masse eller energi. Denne egenskab kaldes for Γ. Da egenskaben kan være retningsafhængig, er Γ en vektor. Det antages nu, at terningen V består af et meget stort antal partikler, der alle har samme masse m 1. Γ-mængden, positionen og hastigheden af den k te partikel kaldes henholdsvis γ k, r k og v k. Den samlede Γ-mængde i V til tiden t findes da som summen af γ k for alle partikler i V : Γ(t) = k γ k (t), r k (t) V (2.4) Vi lader nu V 0. Hvis størrelsen Γ V konvergerer mod en grænseværdi, vil denne blive betegnet Γ-tætheden i punktet med stedvektoren r til tiden t med notationen ρ Γ ( r,t): ρ Γ ( r,t) = lim Γ(t) V 0 V = lim k γ k(t), r k (t) V (2.5) V 0 V Det antages, at partikelsystemet forbliver tætpakket for V 0. agt med andre ord går V mod 0 makroskopisk. Et partikelsystem kan nu tilskrives forskellige tætheder, idet Γ kan erstattes med f.eks. masse eller energi. Massetætheden eller massefylden ρ M kan findes som: ρ M ( r,t) = lim V 0 = lim V 0 Γ(t) (2.6) V Γ=M k m k V, r k(t) V (2.7) M(t) = lim (2.8) V 0 V = ρ M ( r,t) (2.9) Da massen m k = m er uafhængig af hastigheden v k er massefylden ρ M ikke en vektor, hvilket er i overensstemmelse med den gængse definition. Bevægelsesmængdetætheden ρ G findes efter 1 Generelt kan partiklerne i V opdeles i et endeligt antal grupper med forskellig masse m i, men dette besværliggør udledningen en del og gør notationen unødvendig indviklet. Interesserede læsere kan konsultere [øl82].

18 ide 11 af 47 samme opskrift: ρ G ( r,t) = lim Γ(t) (2.10) V 0 V Γ= G k = lim k v k (t), r k (t) V (2.11) V 0 V m k = lim k(t), r k (t) V (2.12) V 0 V mn(t) v(t) = lim V 0 V (2.13) M(t) v(t) = lim V 0 V (2.14) = ρ M ( r,t) v( r,t) (2.15) hvor N er det totale antal partikler i V og v = 1 N partikler i V. k v k er middelhastigheden af samtlige 2.2 trømme og strømtætheder Betragt atter et tætpakket partikelsystem. Nu indlægges istedet et lille tænkt fladestykke med arealet A, se Figur 2.2. Γ-strømmen defineret som den passerede Γ-mængde pr. tidsenhed gennem A vil nu blive fundet. n A v t Figur 2.2: Fladestykke A indlagt i tætpakket partikelsystem. Partikler med hastigheden v vil passere gennem A, hvis de befinder sig i et parallelepipedum med endefladen A og kantlængde v t. Hvis partikler med hastigheden v(t) skal bidrage til Γ-strømmen gennem A i tiden t til t + t, hvor t er en infinitesimal tidstilvækst, må de befinde sig i det på Figur 2.2 viste parallelepipedum af fladen A og længden v(t) t. Volumenet af dette parallelepipedum er: V v (t) = v(t) n A t (2.16) hvor ( ) er skalarproduktet (det indre produkt) og n er den udafrettede enhedsnormal. Det antages nu, at samtlige partikler i V har samme hastighed, nemlig middelhastigheden v = 1 N k v k. Der ses med andre ord bort fra den Γ-strøm, der skyldes individuel partikelbevægelse 2. Γ-mængden indenfor V v findes ved multiplikation med middeltætheden ρ Γ ( r,t) 2 Denne antagelse kan udelades, se [øl82, øl84], men det komplicerer beregningen af strømtætheden og som oftest kan man ved termiske systemer se bort fra strømbidraget fra den individuelle partikelbevægelse.

19 ide 12 af 47 over V v. Γ-strømmen gennem A findes da som: ρ Γ ( r,t) V v (t) i Γ (t) = lim t 0 t (2.17) = ρ ( r,t)( v(t) n) A Γ (2.18) hvor r er stedvektoren til fladen A og ρ Γ ( r,t) er middeltætheden over A. Γ-strømmen gennem en flade kan nu findes ved at beregne fladeintegralet: i Γ (t) = ρ Γ ( r,t)( v( r,t) n) da (2.19) = j Γ ( r,t) nda (2.20) hvor r er stedvektoren til det infinitesimale fladestykke da og det dyadiske (ydre) produkt j Γ er strømningstætheden: ρ Γ,x v x ρ Γ,x v y ρ Γ,x v z j Γ ( r,t) = ρ Γ,y v x ρ Γ,y v y ρ Γ,y v z (2.21) ρ Γ,z v x ρ Γ,z v y ρ Γ,z v z = ρ Γ ( r,t) v( r,t) (2.22) hvor ( ) i henviser til den i te komponent. Bemærk at strømtætheden generelt er en 3 3 matrix. Den kinetiske energistrømtæthed j Ekin er f.eks. givet ved: j Ekin ( r,t) = ρ Ekin ( r,t) v( r,t) (2.23) ( k = lim 0.5m k v k (t) 2 ) v( r,t) (2.24) V 0 V = 1 2 lim m k v k(t) 2 v( r,t) (2.25) V 0 V = 1 2 ρ M( r,t)v 2 ( r,t) v( r,t) (2.26) hvor middelkvadrathastigheden v 2 ( r,t) (som er en skalar) er givet ved: v 2 ( r,t) = 1 v k (t) 2 (2.27) N Bemærk at middelkvadrathastigheden v 2 ( r,t) ikke umiddelbart er lig med kvadratet på middelhastigheden v( r,t), idet: k v 2 ( r,t) = 1 v k v N k = v( r,t) 2 (2.28) N k Den kinetiske energistrømtæthed er en vektor, da ρ Ekin er en skalar. Bemærk, at der i beregningen af den kinetiske energi er meaget både den ordnede (makroskopiske) og uordnede k

20 ide 13 af 47 (mikroskopiske) partikelbevægelse. Den uordnede kinetiske energi kaldes også termisk eller indre energi. For en-fase systemer er den med god tilnærmelse lineært afhængig af temperaturen. Bevægelsesmængdestrømtætheden jg er givet ved: j G ( r,t) = ρ G ( r,t) v( r,t) (2.29) = ρ M ( r,t) v( r,t) v( r,t) (2.30) jævnfør Ligning (2.15). Bemærk at j G er en matrix. 2.3 Den Generelle Balanceligning Γ-Ligningen En generel model for et vekselvirkende tætpakket partikelsystem vil nu blive opstillet udfra de definerede begreber tæthed ρ, strøm i og strømtæthed j. De styrende naturlove, der anvendes ved modellering af termiske systemer er de 3 balanceligninger masse-, impuls- og energibalancen. Disse love gælder i deres oprindelige form for et fast partikelsystem, dvs. en givne lukket stofmængde. Ofte har man imidlertid behov for at opstille ligningerne for et fast kontrolvolumen. Der opstår derfor et behov for at urykke de for et partikelsystem gældende naturlove ved hjælp af størrelser, der gælder for et fast kontrolvolumen. Dette vil nu blive gjort for den generelle egenskab Γ. Der indlægges en tænkt fast lukket flade i det tætpakkede partikelsystem. Området indenfor benævnes, og udgør det analyserede kontrolvolumen, se Figur Partikler, der til tiden t befinder sig indenfor defineres som systempartikler. Det faste partikelsystem består altså af de partikler, der til det specifikke tidspunkt t befinder sig i kontrolvolumenet. Vi vil nu finde den afledede af Γ-mængden af partikelsystemet urykt ved Γ-mængden i kontrolvolumenet. For at understrege sondringen mellem Γ-mængden i partikelsystemet og kontrolvolumenet vil Γ-mængden for partikelsystemet betegnes Γ p. Hvorledes vil Γ-mængden for partikelsystemet ændre sig i tiden t til t + t, hvor t er en infinitesimal tidstilvækst? Til tiden t er Γ-mængden for partikelsystemet givet ved: Γp (t) = ρ Γ ( r,t)dv (2.31) Til tiden t + t er Γ-mængden af partikelsystemet ændret. Nogle af systempartiklerne er nu ikke længere i, men i + (se Figur 2.3), og der er partikler i, nemlig i, der ikke hører til det faste partikelsystem. Γ-mængden til tiden t + t kan findes som: Γp (t + t) = ρ Γ ( r,t + t)dv + ρ Γ ( r,t + t)dv ρ Γ ( r,t + t)dv (2.32) + hvor første led på højresiden er Γ-mængden af partikler, der befinder sig i det være sig både systempartikler og omgivelsespartikler til tiden t+ t, andet led er Γ-mængden i + (systempartikler) og sidste led er Γ-mængden i (omgivelsespartikler). Det infinitesimale volumenelement dv kan omskrives til: dv = v n tda (2.33) 3 For bedre at kunne anskueliggøre problemet er det valgt at illustrere et kasseformet kontrolvolumen, hvor hastighedsvektoren v(t) for partiklerne står vinkelret på kassens endeflade. Betragtningerne gælder selvsagt for et vilkårligt kontrolvolumen samt en vilkårlig hastighedsvektor.

21 ide 14 af 47 + v(t) + Figur 2.3: Kontrolvolumen indlagt i tætpakket partikelsystem. Partikelsystem defineres som de partikler, ser til tiden t befinder sig i. Til tiden t + t har partikelsystemet bevæget sig delvis ud af. De to endeflader, hvor partiklerne bevæger sig ind henholdsvis ud af benævnes henholdsvis og +. hvor n er den udadrettede normalvektor til fladestykket da. Ligning (2.32) kan da omskrives til: Γp (t + t) = ρ Γ ( r,t + t)dv + ρ Γ ( r,t + t) v( r,t + t) n tda + ρ Γ ( r,t + t) v( r,t + t) ( n) tda (2.34) hvor og + er den del af fladen, der danner grænseflade for henholdvis og +, se Figur 2.3. Ved addition af de to sidste led på højresiden af Ligning (2.34) fås: Γp (t + t) = ρ Γ ( r,t + t)dv + ρ Γ ( r,t + t) v( r,t + t) n tda (2.35) Γp (t + t) = ρ Γ ( r,t + t)dv + t j Γ ( r,t + t) nda (2.36) Γ-tilvæksten pr tid er da: d Γ p (t) = lim Γ p (t) t 0 t Γp (t + t) = lim Γ p (t) t 0 t = lim ρ Γ ( r,t + t)dv ρ Γ ( r,t)dv t 0 t ρ Γ ( r,t) = t = ρ t Γ ( r,t)dv + (2.37) (2.38) + j Γ ( r,t) nda (2.39) dv + j Γ ( r,t) nda (2.40) j Γ ( r,t) nda (2.41)

22 ide 15 af 47 = d ρ Γ ( r,t)dv + j Γ ( r,t) nda (2.42) = d Γ (t) + i Γ (t) (2.43) da er fast. Γ er Γ-mængden i kontrolvolumenet og i Γ (t) er den samlede Γ-strøm ud af. Ligning (2.43) er en generel kinematisk relation for tætpakkede partikelsystemer. Venstresiden er den tidsafledede af Γ-mængden af vores partikelsystem nemlig det kvantum partikler, der befan sig i til tiden t og højresiden beskriver denne ændring i forhold til kontrolvolumenet. I de flg. afsnit vil Γ-ligningen på formen (2.42) blive brugt på masse-, impuls- og energibevarelsessætningen. 2.4 Massebalancen Massebalancen i den klassiske fysik postulerer, at massen af et lukket system er konstant: dm(t) = 0 (2.44) Indsat i Γ-ligningen (2.42) giver dette: dm(t) = d ρ M ( r,t)dv + j M ( r,t) nda = 0 (2.45) dm (t) = ρ M ( r,t) v( r,t) nda (2.46) dm (t) = i M (t) = ṁ(t) (2.47) hvilket er identisk med Ligning (2.1), der blev anven på vandkareksemplet. 2.5 Energibalancen Energibalancen postulerer, at ændringen i kinetisk energi er lig med de resulterende kræfters effekt, som vi deler op i ydre (uden for ) og indre resulterende kræfters effekt: de kin (t) = Pres ydre indre (t) + Pres (t) (2.48) De indre kræfter er potentialkræfter, hvorfor deres effekt kan skrives som: P indre res (t) = deindre pot (t) (2.49) Ligning (2.48) kan således omskrives til: de kin (t) + deindre pot (t) = Pres ydre (t) (2.50)

23 ide 16 af 47 Almindeligvis opdeles den kinetiske energi i bidrag fra den kollektive (makroskopiske) partikelbevægelse og fra den individuelle (mikroskopiske) partikelbevægelse: E kin (t) = Ekin M (t) + Eµ kin (t) (2.51) hvor Ekin M (t) og Eµ kin (t) er det hhv. makroskopiske og mikroskopiske bidrag. De ydre resulterende kræfters effekt kan opdeles efter kræfter med kort eller lang rækkevidde og ligeledes i en makroskopisk hhv. mikroskopisk del: P ydre res ydre,m ydre,µ (t) = Pres,kort (t) + Pres,kort Eksempler på de forskellige led er givet i Tabel 2.1. (t) + P ydre,m res,lang ydre,µ (t) + Pres,lang (t) (2.52) P ydre,m res,kort Tryk- og gnidningskræfters effekt. P ydre,µ res,kort Effekt ved varmeledning. P ydre,m res,lang Potentialkræfters effekt, f.eks. tyngdekraftens effekt P ydre,µ res,lang Effekt ved varmestråling. Tabel 2.1: Eksempler på kræfter af kort og lang rækkeviddes effekt. Opdelt i mikroskopisk og makroskopiske del. Energibalancen (2.50) kan da formuleres på formen: de M kin (t) + deµ kin (t) + deindre pot (t) = P ydre,m ydre,µ res,kort (t) + Pres,kort (t) + P ydre,m res,lang (t) + P ydre,µ res,lang (t) (2.53) ummen af den indre potentielle energi Epot indre (t) og den mikroskopiske kinetiske energi E µ kin (t) kaldes den indre energi, som normalt benævnes U(t). Ved substitution med U(t) samt indsættelse af venstresiden af (2.53) i gammaligningen (2.42) fås da: de M kin (t) + du(t) = d ( ) ( ) ρ E M ( r,t) + ρ U ( r,t) dv + j kin E M ( r,t) + j U ( r,t) nda (2.54) kin

24 ide 17 af 47 De enkelte led beregnes: ρ E M kin ( r,t) = lim V 0 ρ U ( r,t) = lim V 0 k 0.5m k v M k (t) 2 V k m ku k (t) V = 1 2 ρ M( r,t)v 2 M( r,t) (2.55) = ρ M ( r,t)u( r,t) (2.56) j E M ( r,t) = ρ kin E M ( r,t) v( r,t) = 1 kin 2 ρ M( r,t)v M 2 ( r,t) v( r,t) (2.57) j U ( r,t) = ρ U ( r,t) v( r,t) = ρ M ( r,t)u( r,t) v( r,t) (2.58) hvor u( r,t) er den specifikke indre energi, dvs. indre energi per masseenhed. Den makroskopiske middelkvadrathastighed vm 2 kan omformuleres til: vm = v k,m = v N k = v 2 (2.59) N Den kinetiske energitæthed og -strømtæthed kan derfor omskrives til: k k ρ E M kin ( r,t) = 1 2 ρ M( r,t) v( r,t) 2 (2.60) j E M kin ( r,t) = 1 2 ρ M( r,t) v( r,t) 2 v( r,t) (2.61) Ligning (2.54) kan nu reformuleres som: dekin M (t) + du(t) = d ( 0.5ρM ( r,t) v( r,t) 2 + u( r,t)ρ M ( r,t) ) dv ( ) ρ M( r,t) v( r,t) 2 v( r,t) + u( r,t)ρ M ( r,t) v( r,t) nda (2.62) Energiligningen på Γ-form bliver da: ( ) d ( 0.5ρM v 2 ) 1 + uρ M dv + 2 ρ M v 2 v + uρ M v nda = Pres ydre (t) = P ydre,m ydre,µ ydre,m ydre,µ res,kort (t) + Pres,kort (t) + Pres,lang (t) + Pres,lang (t) (2.63) idet ( r,t) er udela for overskuelighedens skyld. Eksempel 2.2 (Energibalancen) Energibalancen (2.63) vil nu blive anven på det i Figur 2.4 illustrerede rør med fast tværsnit A og fast overflade temperatur T r. Gennem røret strømmer en inkompressibel væske med massefylde ρ M, indløbstemperatur T i, udløbstemperatur T u, massestrøm ṁ samt fla hastighedsprofil. Ergo har samtlige partikler i rørstykket samme makroskopiske hastighed v = ṁ/(aρ M ). For rørstykket fås derfor: ( ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ( )) 2 d ṁ 1 ṁ ṁ ṁ 0.5ρ M + uρ M dv + Aρ M 2 ρm + uρ M nda = Aρ M Aρ M Aρ M P tryk + P frik + P varme (2.64)

25 ide 18 af 47 L m i m u Figur 2.4: Energibalancen anven på rørudsnit. Røret tænkes fasthol ved temperatur T r =konstant. Gennem røret flyder en væske med konstant massefylde ρ M. Der antages fla hastighedsprofil. A hvor P tryk er trykkræfternes effekt og P frik er friktionskræfternes effekt (kræfter af kort rækkevidde, makroskopisk effekt) P varme er den tilførte effekt ved varmeledning (kræfter af kort rækkevidde, mikroskopisk effekt). Det antages, at ingen kræfter af lang rækkevidde afsætter effekt i væsken, specielt at tyngdekraften ikke afsætter effekt, da rørstykket er vandret. Trykkræfternes effekt analyseres udfra den generelle effektligning: P = F v (2.65) hvor F er kraften. Da trykkræfterne på røroverfladen står vinkelret på hastigheden v afsættes her ingen effekt fra trykkræfterne. Ved endefladerne er F og v parallelle, hvorfor effekten her bliver: ( ) ṁ P tryk = ( A n) (2.66) Aρ M hvor er trykket. Gnidningskræfterne afsætter kun effekt langs rørvæggen. Da hastigheden er konstant over rørstykket og modsat rettet friktionen fås: ( ) P frik = F ṁ frik v = F frik (2.67) Aρ M Ligning (2.64) kan da omskrives til: 1 dṁ 2 (t) d dv + ρ 2A 2 M ρ M Lṁ(t) dṁ(t) du(t) + LAρ M Aρ M u(t)dv + 1 ( ) 3 ( ṁ(t) ṁ(t) 2 ρm( A + A) u i(t)ρ MA Aρ M Aρ M ( ) ( ṁ(t) ṁ(t) u u(t)ρ MA = ( i(t) u(t))a Aρ M Aρ M ) + ) F frik (t)v(t) + P varme(t) (2.68) ( = ṁ(t) u i(t) + i(t) u u(t) u(t) ) F frik (t)v(t) + P varme(t) (2.69) ρ M ρ M hvor du(t)/ er den afledede af middelværdien af den indre energi over rørstykket. Ved varmeledning gælder som oftest at: LAρ M du(t) Lṁ(t) dṁ(t) Aρ M (2.70) hvorfor der kan ses bort fra første led på venstresiden af (2.69). Ligeledes antages friktionskræfterne som oftest at være negligeable. Ved indførelse af entalpien h = u + /ρ M kan energiligningen for rørstykket reduceres til: LAρ M dh(t) = LA d (t) + ṁ(t)(h i (t) h u (t)) + P varme (t) (2.71)

26 ide 19 af 47 For en-fase systemer er h c p T, hvor c p er den specifikke varmekapacitet og T er temperaturen. Desuden gælder som oftest at ρ M dh/ d /, hvorfor der ses bort fra den trykafledede. (2.71) reducerer da til: LAρ M c p dt(t) = ṁ(t)c p (T i (t) T u (t)) + P varme (t) (2.72) hvor T er gennemsnitstemperaturen over rørstykket. Mere eksplicitte uryk for den tilførte varmeeffekt vil blive præsenteret i Kapitel Impulsbalancen Impulsbalancen postulerer, at bevægelsesmængdeændringen pr. tidsenhed er lig med summen af de ydre kræfter: d G(t) Hvis venstresiden indsættes i Γ-ligningen (2.42) fås: d G(t) = d = d = F ydre res (t) (2.73) ρ G ( r,t)dv + j G ( r,t) nda (2.74) ρ M ( r,t) v( r,t)dv + ( ρ M ( r,t) v( r,t) v( r,t)) nda (2.75) De ydre resulterende kræfter deles op i kræfter af kort og af lang rækkevidde. Kræfter af kort rækkevidde virker fra de partikler, der ligger tæt udenfor, på de partikler, der afgrænser. Eksempler på kræfter af kort rækkevidde er tryk- og gnidningskræfter. Kræfter af kort rækkevidde rækker kun få atomlængder. Kræfter af lang rækkevidde påvirker ikke kun systempartiklerne i grænsefladen, men alle partikler i. Typiske kræfter af lang rækkevidde er potentialkræfter, f.eks. tyngdekraften. F kort F kort,norm F kort,tang A Figur 2.5: Kræfter af kort rækkevidde opdelt i normal- og tangentialkomposant. Først analyseres kræfter af kort rækkevidde. Betragt Figur 2.5, hvor kraften F ydre kort påvirker fladestykket A på den lukkede flade. Kræfter af kort rækkevidde er proportionale med det fladestykke, hvorpå de virker: F ydre kort (t) = σ(t) A (2.76)

27 ide 20 af 47 Proportionalitetsfaktoren σ kaldes den mekaniske spænding. F ydre kort deles nu op i en tangential- og en normalkomposant, se Figur 2.5. Tilsvarende deles σ op i to komposanter: σ(t) = σ norm (t) + σ tang (t) (2.77) Normalkomposanten af σ er lig med trykket multipliceret med den udadrettede normalvektor n med modsat fortegn. Ergo fås: σ(t) = (t) n + σ tang (t) (2.78) De resulterende kræfter af kort rækkevidde kan da findes ved at integrere over den lukkede flade : F ydre res,kort (t) = ( r, t) nda + σ tang ( r,t)da (2.79) De ydre resulterende kræfter af lang rækkevidde kan skrives som: F ydre res,lang (t) = ρ F ( r,t)dv (2.80) hvor ρ F ( r,t) er krafttætheden i punktet med stedvektoren r til tiden t. For tyngdekraften F T = m g fås f.eks.: idet det forudsættes at g er konstant. ρ FT ( r,t) = lim V 0 = lim V 0 De ydre resulterende kræfter er nu givet ved: F ydre res (t) = F ydre res,kort (t) + F ydre = ( r, t) nda + Γ(t) (2.81) V Γ= FT k m k g (2.82) V g M(t) = lim (2.83) V 0 V = ρ M ( r,t) g (2.84) res,lang og impulsbalancen (2.73) på Γ-form bliver da: d ρ M vdv + (ρ M v v) nda = hvor ( r,t) er udela for overskueligheds skyld. (t) (2.85) σ tang ( r,t)da + ρ F ( r,t)dv (2.86) nda + σ tang da + ρ F dv (2.87) Eksempel 2.3 (Impulsbalancen) Impulsbalancen for det i Eksempel 2 introducerede rørstykke, se Figur 2.4, vil nu blive udle. Der indlægges et retvinklet koordinatssystem i røret med x-akse parallelt med røret, y-akse horisontalt og z-akse vertikalt vinkelret på røret.

28 ide 21 af 47 De samme antagelser vedrørende inkompressibilitet og hastighedsprofil gøres og impulsbalancen (2.87) udskrives efter koordinater: d ρ M ṁ(t) ρ M A 0 0 dv + L dṁ(t) ρ M = ṁ(t) ρ M A 0 0 [ ṁ(t) ρ M A 0 0 (t) nda + ( i(t) u(t))a F tryk,res,y (t) F tryk,res,z (t) + ] nda = σ frik (t) 0 0 F frik (t) 0 0 da + + ρ M 0 0 g 0 0 ρ MgAL dv (2.88) (2.89) hvor F tryk,res,y og F tryk,res,z er de resulterende kræfter i henholdsvis y og x-aksens retning. Vi har således ligningsættet: L dṁ(t) = ( i (t) u (t))a F frik (t) (2.90) F tryk,res,y (t) = 0 (2.91) F tryk,res,z (t) = ρ M gal (2.92) Hvis man multiplicerer begge sider af ligning (2.90) med hastigheden v = ṁ/(ρ M A) fås: Lṁ(t) dṁ(t) = ( i (t) u ρ M A (t))ṁ(t) F frik (t)v(t) (2.93) ρ M Ovenstående uryk indgår i energiligningen for rørstykket på formen (2.69). Ved kombination af de to uryk opnås: ( du(t) LAρ M = ṁ(t) u i(t) + i(t) u u(t) u(t) ) ( i(t) u(t))ṁ(t) + P varme(t) (2.94) ρ M ρ M ρ M LAρ Mc p dt(t) = ṁ(t)c p (T i(t) T u(t)) ( i(t) u(t))ṁ(t) ρ M + P varme(t) (2.95) Ergo kan vi undgå de i Eksempel 2 gjorte antagelser om negligeabel friktion og hastighedsændring ved at tilføje leddet ( i u )ṁ/ρ M på højresiden af energiligningen (2.72).

29 Kapitel 3 Empiri I dette kapitel behandles den empiri, der er nødvendig for at kunne løse masse, energi -og impulsbalancerne. Afsnittet omhandler følgende: Varmetransmissionsuryk Friktionsuryk Tilstandsrelationer behandles i Kapitel Varmetransmissionsligninger I den generelle energibalanceligning (2.63) indgår der følgende uryk: P ydre,µ res,kort Effekt ved varmeledning og -konvektion. P ydre,µ res,lang Effekt ved varmestråling. I det efterfølgende beskrives de tre varmetransmissionsformer hver for sig Ledning Ledning er energitransmission i et homogent materiale, hvor varmen forplanter sig gennem selve materialet. På Figur 3.1 er temperaturprofilen i et volumen afgrænset af to planparallelle flader vist. Eksperimenter har vist, at effekten P l (t) (varmeflowet) gennem materialet er givet ved (Fourier s lov): T(x,t) T(x + x,t) P l (t) = λa (3.1) x hvor A [m 2 ] er fladearealet, x [m] er materialetykkelsen og λ [J/sek m o C] er varmeledningstallet. For x 0 findes P l (t) = λa T(x,t) x (3.2) Varmeledningstallet er eksperimentelt bestemt og kan findes ved opslag i diverse tabeller. I Tabel 3.1 er ca. værdier vist for udvalgte materialer. 22

30 ide 23 af 47 Temperatur T(x,t) T(x+ x,t) Pledning x x+ x ted Figur 3.1: Temperaturprofil varmeledning. Materiale Varmeledningstal kobber 370 messing 100 stål 50 glas 1 teglsten 0.5 glasuld 0.05 Tabel 3.1: Cirka-værdi for varmeledningstal [J/(sek m o C)] Eksempel 3.1 (Varmeledning) Det klassiske eksempel på varmeledning er den endimensionale varmeledning i et isotropt materiale. Tages der udgangspunkt i Ligning (2.63) for den generelle energiligning på Γ-form findes, idet der ses bort fra varmestråling: d udv = P ydre,µ res,kort (t) (3.3) hvor u er den indre energi, som i dette tilfælde er givet ved c p T, hvor c p er den specifikke varmekapacitet og T er temperaturen. Idet temperaturen er en funktion af både tid og sted findes ydre,µ c p T(x,t)dV = P t res,kort (t) = P l(t) (3.4) Betragtes et lille stykke x findes c p A x+ x x T(x,t)dx = P(x,t) P(x + x,t) (3.5) t Ved division på begge sider med x og for x 0 findes c p A T(x,t) t = P(x,t) x (3.6) Denne ligning giver sammen med Fourier s varmeledningsligning (3.2) λ 2 T(x,t) x 2 = c p T(x,t) t (3.7)

31 ide 24 af 47 I modeller af dynamiske systemer meages uryk for ledning i faste legemer sjældent, idet det som oftest enten er stærkt varmeledende stoffer (f.eks. metaller i rørvægge), hvor man kan regne med ens temperaturer over et kontrolvolumen, eller stærkt varmeisolerende stoffer (f.eks. sten- eller glasuld), hvor man kan se bort fra varmeakkumuleringen tråling Ved stråling transmitteres energien i form af elektromagnetiske bølger. om eksempel er effekten ved stråling P s mellem to planparallelle flader med temperaturene T 1 [K] og T 2 [K] givet ved: P s (t) = C(T 1 (t) 4 T 2 (t) 4 ) (3.8) hvor C [J/(sekK 4 )] betegnes som strålingsfaktoren. Effekt fra stråling er kun betydende ved meget høje temperaturer Konvektion Konvektion er varmetransmission hvor effekt overføres fra et sted i et strømmende fluid til et andet sted i fluidet. Den faktiske energitransmissionsproces fra en fluidpartikkel til en anden er stadig ledning, men energien kan transporteres fra et sted i rum et til et andet sted ved transport af selve partiklen. Denne sammensatte varmetransmissionsform forekommer når der er tale om effekt der overføres mellem et strømmende fluid og et fast stof. Man skelner imellem tvungen og fri konvektion. Tvungen konvektion opstår hvis fluidstrømningen er skabt af eksterne mekaniske mekanismer, som f.eks. en pumpe. Ved fri konvektion skyldes fluidbevægelsen udelukkende indre forskelle i massefylde, som f.eks. ved opvarmningen af vand i en kedel. Temperatur T1 T2 T3 T4 væskestrøm 0 L væskestrøm ted Figur 3.2: Temperaturprofil ledning og konvektion. Figur 3.2 viser temperaturprofilen i en plan væg, hvor der på begge sider strømmer en væske. om det ses af figuren regnes der med en konvektiv varmeovergang mellem væskens middeltemperatur (midlet over et tværsnit i stedaksen) og væskens temperatur tæt ved væggen

32 ide 25 af 47 variabel benævnelse enhed væskehastighed v m s 1 rørdiameter D m væske massefylde ρ kg m 3 væske varmekapacitet c m 2 s 2 o C 1 væske viskositet µ kg m 1 s 1 væske ledningsevne λ kg m s 3 o C 1 varmeovergangstal α kg s 3 o C 1 Tabel 3.2: Variable som forsøg har vist har betydning for α. (denne temperatur er lig med væggens temperatur i det ene endepunkt). Effekten P k er givet ved (Newton s afkølingslov) P k (t) = P ydre,µ kort (t) = αa[t 1 (t) T 2 (t)] (3.9) hvor A [m 2 ] er arealet og α [J/(s C m 2 )] er varmeovergangstallet. I modsætning til varmeledningstallet er varmeovergangstallet ingen stofkonstant, men afhænger af det strømmende fluids beskaffenhed, af strømningshastigheden og af strømningsarten. Varmeovergangstallet I energiligningen spiller den konvektive varmetransmission, og dermed varmeovergangstallet α, ofte en stor rolle. Ønskes en værdi af α vil man ofte blive præsenteret for et funktionsuryk af formen Nu = f(re,pr) (3.10) hvor Nu er Nusselts tal, Re er Reynolds tal og Pr er Pranls tal. Hvordan denne relation fremkommer, og hvordan den skal anvendes til bestemmelse af α, beskrives i det følgende eksempel. Eksempel 3.2 (Dimensionsanalyse) På Figur 3.3 er vist et væskegennemstrømmet rør. T2(t) P(t)= αa[t1(t)-t2(t)] v v D µ ρ T1(t) c λ Figur 3.3: Væskegennemstrømmet rør. Varmeovergangstallet α fra væskens middeltemperatur (midlet i et rørtværsnit) til væskens temperatur lige ved rørvæggen (som er lig med temperaturen på indersiden af røret) ønskes bestemt. Forsøg har vist, at variablene angivet i Tabel 3.2 har indflydelse på α.

33 ide 26 af 47 At sammenknytte disse 7 variable har vist sig meget vanskeligt ved hjælp af fysikkens love, derfor anvendes en metode, som kaldes dimensionsanalyse. En særlig interesse knytter sig til den del af dimensionsanalysen, som fører til dimensionsløse størrelser. I det følgende gennemgås dimensionsanalysen punkt for punkt med særligt henblik på det valgte eksempel: 1. Find de relevante variable, der har indflydelse på det betragtede problem. I eksemplet er variablene fundet til α = f(v,d,λ,ρ,c,µ) (3.11) 2. Dimensionen af variablene kan urykkes som en kombination af fundamentale dimensioner. I eksemplet er de fundamentale dimensioner givet som [kg], [m], [s] og [ o C]. Dimensionen af variablene kan derefter urykkes som vist i Tabel Indenfor et begrænset område, kan enhver funktion tilnærmes med produktet af de variable opløftet i hver sin eksponent hvor der må gælde at α = Kv a1 D a2 ρ a3 c a4 µ a5 λ a6 (3.12) Dim(α) = Dim(v) a1 Dim(D) a2 Dim(λ) a6 = [kg s 3 C 1 ] (3.13) idet K er dimensionsløs. Indsættes de fundamentale dimensioner findes (kgs 3 C 1 ) = (ms 1 ) a1 (m) a2 (kgm 3 ) a3 (m 2 s 2 C 1 ) a4 (kgm 1 s 1 ) a5 (kgms 3 C 1 ) a6 (3.14) 4. Ligning 3.14 løses med hensyn til a 1 a 6. Udskrives ligningerne for kilogram, meter, sekunder og grader celsius findes kg : 1 = a3 + a5 + a6 (3.15) m : 0 = a1 + a2 3a3 + 2a4 a5 + a6 (3.16) s : 3 = a1 2a4 a5 3a6 (3.17) C : 1 = a4 a6 (3.18) Dette giver 4 ligninger med 6 ubekene, hvorved arbitrære værdier tilskrives 2 af de indgående eksponenter, hvorefter de resterende 4 eksponenter kan bestemmes af de 4 ligninger. I [JW76] gives en mere omfattende beskrivelse af denne problemstilling, blan andet bestemmes, hvor mange indbyrdes uafhængige dimensionsløse størrelser der kan dannes (i dette eksempel 3). 5. De dimensionsløse størrelser bestemmes. Vælges a1 = a og a4 = b som kene, findes a2 = a 1, a3 = a, a5 = b a og a6 = 1 b. Indsættes dette i Ligning 3.12 findes α = Kv a D a 1 ρ a c b µ b a λ 1 b = Kv a D a D 1 ρ6ac b µ b µ a λλ b (3.19) ( ) ( ) αd Dρv a ( ) µc b = K λ µ λ (3.20)

34 ide 27 af 47 Ligning (3.20) er dimensionsløs. De tre indgående størrelser er givet ved Nu = αd λ Re = Dρv µ Pr = µc λ (3.21) (3.22) (3.23) De tre dimensionsløse produkter indgår i mange andre strømningssammenhænge og har fået navnene Nusselts tal, Reynolds tal og Pranls tal. Dette betyder at det konvektive varmeovergangstal er givet ved relationen Nu = KRe a Pr b (3.24) Eksperimenter, hvor sammenhørende værdier af Nu, Re og Pr måles, giver herefter den ønskede funktionssammenhæng. om det fremgår af blan andet [VDI84] og [Cha84] er mange konvektive varmetransmissionsproblemer løst ved hjælp af denne eksperimentelle metode. Eksempelvis gælder ifølge [Cha84] følgende relation ved tvungen konvektion for væsker Nu = 0.023Re 0.8 Pr n (3.25) hvor urykket gælder for n = 0.4 ved opvarmning (3.26) n = 0.3 ved afkøling (3.27) 0.7 < Pr < 160 (3.28) 10 4 < Re < 10 6 (3.29) 3.2 Friktionsuryk Der tages udgangspunkt i Ligning (2.90) som gælder for et vandret rørstykke L dṁ(t) = ( i (t) u (t))a F frik (t) (3.30) F frik, friktionskraften, opdeles i friktionskræfter langs en lige rørvæg F frik,lige og i friktionskræfter i formstykker (f.eks. bøjninger, indsnævringer, udvidelser, ventiler og blænder). For friktionskraften langs en lige rørvæg benyttes: F frik,lige = f 1 2 LAρ Mv 2 1 D (3.31) hvor f er en empirisk bestemt størrelse (Darcy friktions faktor), og D er rørets diameter. For formstykker anvendes den lignende formel: F frik,form = ξ 1 2 ρ MAv 2 (3.32)

35 ide 28 af 47 hvor ξ er en empiriske bestemt størrelse (formfaktoren). Den samlede friktionskraft findes til: F frik = ΣF frik,lige + ΣF frik,form (3.33) = (Σf L D + Σξ)1 2 ρ MAv 2 (3.34) Indføres urykket for friktionskrafterne i impulsligningen findes L dṁ(t) = ( i (t) u (t))a (Σf L D + Σξ)1 2 ρ MAv 2 (t) (3.35) Indsættes at v = ṁ/(ρ M A) og divideres med A findes: (t) = i (t) u (t) = L dṁ(t) + Σf L D + Σξ A 2A 2 ṁ 2 (t) (3.36) ρ M Darcy friktions faktoren f, som indgår i friktionsurykket for lige rørstykker er empirisk bestemt. F. eks. kan f findes efter det i Figur 3.4 viste Moody Diagram udfra rørdiameteren, Reynolds tal og den estimerede rørruhed. Figur 3.4: Darcy friktions faktoren f som funktion af rørdiameter, Reynolds tal og rørruhed [Cha84]. Formfaktoren, ξ, dækker over friktion gennem diverse formstykker. Formfaktoren kan findes ved tabelopslag i f.eks. Wärmeatlas [VDI84]. om eksempel kan ξ findes for rørbøjninger hvis Reynolds tal er større end 10 5 udfra Figur 3.5.

36 ide 29 af 47 Figur 3.5: Rørfriktionen ξ for bøjet rør, Re > 10 5, [VDI84].

37 Kapitel 4 ystemer med Fordelte Parametre I Kapitel 2 analyseredes systemer, der kunne karakteriseres udelukkende ved parametervariationer i tiden. ådanne systemer betegnes ofte som systemer med koncentrede parametre. Nu undersøges systemer, hvor parametrene er både sted- og tidsafhængige. Bemærk at den generelle Γ-ligning (2.42) gælder for systemer beskrevet både med koncentrede og med fordelte parameter. Problemet ved systemer beskrevet med fordelte parametre er, at man skal kende Γ-fordelingen over stedet indenfor for at evaluere integralerne. 4.1 Γ-Ligningen på Differentialform For at imødegå ovennævnte vanskeligheder ved systemer, der bedst beskrives med fordelte parametre, omskrives den generelle Γ-ligning til en differential ækvivalent. Jævnfør Ligning (2.42) gælder: d Γ(t) = d ρ Γ ( r,t)dv + j Γ ( r,t) ñda (4.1) Ved at anvende Gauss sætningen eller divergens-sætningen: F nda = FdV (4.2) på fladeintegralet i Γ-ligningen fås: d Γ(t) = d = ρ Γ ( r,t)dv + ( t ρ Γ ( r,t) + j Γ ( r,t) j Γ ( r,t)dv (4.3) ) dv (4.4) 30

38 ide 31 af 47 j Γ er divergensen af Γ-strømtætheden: ( ) j Γ ĩ j Γ = + x ) (ρ Γ,x v x = x x x (ρ Γ,x v y ) ( ) j Γ j y + y + y (ρ Γ,x v z ) + y ( j Γ k ) + z ) (ρ Γ,y v x (ρ Γ,y v y ) + z + z (ρ Γ,y v z ) + z (ρ Γ,z v x ) (ρ Γ,z v y ) (ρ Γ,z v z ) (4.5) (4.6) i, j og k er enhedsvektorer i henholdsvis x-, y- og z-retningen og subscripts x, y og z henviser til vektorkomposanten i disse retninger. Hvis man begrænser i Ligning (4.4) til et infinitesimalt volumenelement V fås i grænsen V 0: d ( ) Γ(t) = t ρ Γ ( r,t) + j Γ ( r,t) V, V 0 (4.7) Her er Γ Γ-mængden af de partikler, der til tiden t befan sig indenfor det infinitesimale volumenelement V. Ligning (4.7) er differentialformen af den generelle Γ-ligning. Denne form er generelt udgangspunktet for en modellering af systemer beskrevet med fordelte parametre. Dog kan man med fordel anvende Γ-ligningen på integralform (4.1) som udgangspunkt, hvis stedafhængigheden er begrænset til en dimension f.eks. i x-retningen. 4.2 Massebalancen på Differentialform Da massen af et fast partikelsystem er konstant får massebalancen på differentialform følgende udseende: t ρ M( r,t) + j M ( r,t) = 0 (4.8) I det flg. vil massebalancen blive anven på det i Eksempel 2 introducerede rørstykke dels med udgangspunkt i differentialformen (4.8) og dels med udgangspunkt i integralformen (2.45). Massefylden ρ M antages nu at variere i tid og sted, dog kun i x-aksens retning. Eksempel 4.1 (Massebalancen på Diffentialform) Lad det på Figur 2.4 viste rørstykke med tværsnitsareal A og længden L være givet. Der indlægges koordinatssystem med x-akse i rørets retning. Antag at massefylden ρ M er funktion af både tiden t og af stedet i x-aksens retning, men ikke i y og z-retningen. Der gøres ingen antagelser vedr. hastighedsprofilet på tværs af røret eller vedr. hastighedskomposanter i y og z-aksens retning. Vi har da ifølge massebalancen på differentialform (4.8): ρm(x,t) + jm(x,y,z,t) = 0 (4.9) t t ρm(x,t) + (ρm(x,t)vx(x, y,z, t)) + x y (ρm(x, t)vy(x, y, z, t)) + (ρm(x, t)vz(x,y, z, t)) = 0 (4.10) z For overskueligheds skyld udelades tids- og stedsindex og man får: t ρm + ρm x vx + vx x ρm + ρm y vy + ρm vz = 0 (4.11) z

39 ide 32 af 47 Ved integration over rørtværsnittet A fås: ( t ρmdydz + ρ M x vxdydz + v x ρmdydz + ρm x A t ρm + ρm x vxdydz + ( x ρm v xdydz + ρ M y vydydz + y vydydz + ) z vzdydz ) z vzdydz = 0 (4.12) = 0 (4.13) Desuden gælder: v x (x,y,z,t)dydz = v(x,y,z,t) idydz = ṁ(x,t) ρ M (x,t) = Av x(x,t) (4.14) x v x(x,y,z,t)dydz = v x (x,y,z,t)dydz = ṁ(x, t) x x ρ M (x,t) = A x v x(x,t) (4.15) hvor v x (x,t) er middelhastighedskomposanten i x-aksens retning over tværsnittet A. Hvis R er rørradius har man også at: R y v y(x,y,z,t)dydz = = = R R R R R h(z) h(z) y v y(x,y,z,t)dydz (4.16) (v y (x,r,z,t) v y (x, R,z,t)) dz (4.17) 0dz = 0 (4.18) da hastighedskomposanten i y-aksens retning er 0 ved røroverfladen. Tilsvarende gælder, at z v z(x,y,z,t)dydz = 0. Indsat i Ligning (4.13) giver dette: A t ρ M(x,t) + ρ M (x,t) ṁ(x, t) x ρ M (x,t) + ṁ(x,t) ρ M (x,t) x ρ M(x,t) = 0 (4.19) A t ρ M(x,t) + = 0 (4.20) xṁ(x,t) Ved indførelse af middelhastigheden v x (x,t) kan massebalancen også skrives som: t ρ M(x,t) + ρ M(x,t) v x x (x,t) + ρ M (x,t) v x (x,t) x = 0 (4.21) Eksempel 4.2 (Massebalancen på Integralform) Massebalancen for rørstykket i Eksempel 6 kan også udledes udfra integralformen: d ρ M ( r,t)dv + j M ( r,t) ñda = 0 (4.22)

40 ide 33 af 47 om kontrolvolumen tages nu et skiveudsnit af røret vinkelret på x-aksen med tykkelsen x. Massebalancen (4.22) brugt på rørskiven bliver således: d ( ρm (x,t)a x ) + ρ M (x,t) v(x,y,z,t) nda = 0 (4.23) A x d ( ) ρ M(x,t) + ρ M (x,t)v x (x,t) i ( i) + ρ M (x + x,t)v x (x + x,t) i i A = 0 (4.24) d ρ M(x,t) = ρ M(x + x,t)v x (x + x,t) ρ M (x,t)v x (x,t) = 0 (4.25) x Her er ρ M (x,t) middeltætheden over x og v x (x,t) middelhastighedskomposanten over A i x-aksens retning. For x 0 gælder: t ρ M(x,t) + x (ρ M(x,t)v x (x,t)) = 0 (4.26) A t ρ M(x,t) + = 0 (4.27) xṁ(x,t) hvilket er det samme som (4.20). Det bemærkes, at for dette tilfælde kræver integralformen af den generelle massebalance færrest manipulationer for at nå et resultat. 4.3 Impulsbalancen på Differentialform Ved indførelse af impuls P i differentialformen af den generelle Γ-ligning (4.7) fås: d P(t) = ( ) t (ρ M( r,t) v( r,t)) + (ρ M ( r,t) v( r,t) v( r,t)) V (4.28) Det kan vises, at det sidste led kan omskrives som: (ρ M v v) = ρ M ( v v) + ρ M ( v v) (4.29) = ρ M ( v v) + ρ M ( v) v + ρ M v ( v) (4.30) idet ( r,t) er udela for overskueligheds skyld. Her er ρ M gradienten af massefylden, ( v v) gradienten af det ydre produkt v v, v divergensen af hastighedsvektoren v og endelig v givet som: v x v x v x x y z v = v y v y v y (4.31) x v z x Da divergensen af hastigheden v desuden er en skalar er v ( v) = v( v). Impulsligningen på differentialform kan da skrives: ( ) t (ρ M v) + ρ M ( v v) + ρ M ( v) v + ρ M v ( v) V = F res ydre (4.32) hvor F ydre res er de ydre resulterende kræfter på det infinitesimale volumenelement V. y v z y z v z z

41 ide 34 af 47 Eksempel 4.3 (Impulsligningen på Differentialform) Differentialformen af impulsligningen vil nu blive anven på rørstykket fra Eksempel 2. Det antages, at massefylden er både tids- og stedafhængig, dog kun langs røret (i x-aksens retning). Det antages desuden, at hastighedsvektoren v kun har en komposant i x-aksens retning og der ses bort fra tyngdekraften samt trykkræfter på røroverfladen (i y og z aksens retning). Vi vælger et skiveudsnit med tykkelsen x som volumenelement V og impulsbalancen (4.32) giver: ρ M t v x ρ M x 0 0 vx ρ M 1 A x v x 0 0 v x x xa x hvor D er rørdiameteren. Ledene på højresiden fremkommer ved: + ρ M v x 0 0 σ frik πd x 0 0 vx x = (4.33) F = ( (x,t) (x + x,t)) A i = x xa i (4.34) F frik = σ frik (x,t)πd x i (4.35) hvor σ frik (x,t) er tangentialkomposanten af den mekaniske spænding. Ligningen i x-aksens retning bliver nu: ( ) ρm v x (ρmvx) + t x v2 x + ρ Mv x x + v x ρmvx A x = x x xa σ frikπd x (4.36) ved division med A x fås impulsligningen for rørstykket: v x ρ M t + v ρ M x t + ρ M x v2 x + 2ρ v x Mv x x = x σ πd frik A (4.37) Hvis man multiplicerer massebalancen for rørstykket, se Ligning (4.21), med hastigheden v x og subtraherer i impulsbalancen fås den forenklede form: v x ρ M t + ρ v x Mv x x = x σ πd frik A (4.38) 4.4 Energibalancen på Differentialform Hvis Γ erstattes med den kinetiske energi E kin i Ligning (4.7) fås: ( ) d E kin (t) = t ρ E kin ( r,t) + j Ekin ( r,t) V (4.39) d E kin (t) = ( ( ( 0.5ρM v 2 t M + vµ 2 )) ( ( + 0.5ρM v 2 M + vµ 2 ) ) ) v V (4.40) hvor den kinetiske energi er opdelt i et makroskopisk og et mikroskopisk bidrag. Ved indførelse af den specifikke indre energi u = 0.5vµ 2 og v2 M = v 2 fås energibalancen: ( 1 ( ρm v 2) + 2 t t (ρ Mu) + ( ) 1 x 2 ρ M v 2 v x + ρ M uv x + ( ) 1 y 2 ρ M v 2 v y + ρ M uv y + ( )) 1 z 2 ρ M v 2 v z + ρ M uv z V = Pres ydre (4.41)

42 ide 35 af 47 hvor P ydre res er de ydre resulterende kræfters effekt på det infinitesimale volumenelement V.

43 Kapitel 5 imulering af systemer med fordelte parametre I dette kapitel behandles to metoder til simulering af systemer med fordelte parametre, nemlig fysisk sektionering og karakteristikmetoden. Eksempel 5.1 (Krydsvarmeveksler) om gennemgående eksempel anvendes en krydsvarmeveksler som vist på Figur 5.1. Røggas Tg Metalrør Tr Vanddamp Td Figur 5.1: Krydsvarmeveksler (kraftværksoverheder). Et eksempel på en krydsvarmeveksler er en kraftværksoverheder. Igennem overhederen strømmer der damp. Dampen opvarmes af røggas, som strømmer vinkelret på overhederrørene. I eksemplet regnes med konstant røggastemperatur T g. Der opstilles 2 partielle differentialligninger, en for dampen og en for rørvæggen. om indeks anvendes d for damp, g for røggas og r for metalrør. For at opstille en ligning for på Figur 5.2 viste infinitesimale dampelement, anvendes energiligningen på integralform, se Ligning (2.63). d (0.5ρ M v 2 + ρ M u)dv + (0.5ρ M v 2 v + ρ M u v) nda = Pres ydre (x, t) (5.1) 36

44 ide 37 af 47 Tr(x,t) Ud k md Ad md j i x Ud(x) Td(x) x+ x Ud(x+ x) Td(x+ x ) Figur 5.2: Infinitesimalt dampelement. Der antages at være samme hastighed over hele tværsnittet og hele længden af røret. v = Det antages ligeledes at ρ M = ρ d er konstant. P ydre ṁ d ṁd ρ M A d i (5.2) res (x,t) = d (0.5ρ d( ) 2 A d x) + d ρ d A d (ρ du d A d x) + 0.5ρ d ( ) 3 i ( ia d + ia d ) ρ d A d ṁ d + ρ d u d (x) i ( ia d ) + ρ d u d (x + x) i (+ ia d ) (5.3) ρ d A d ρ d A d = x ρ d A d ṁ d d (ṁ d) + ρ d A d x d (u d) + ṁ d (u d (x + x) u d (x)) (5.4) u d er midddelværdien af den indre energi i volumenet. Det antages at første led på venstre side er lille i forhold til de øvrige led (se evt. Eksempel 3). Det antages at den indre energi u kan skrives som u = c p T. Endvidere antages de ydre kræfter kun at være de mikroskopiske kræfter der giver varmetransmission: ṁ d P ydre res (x,t) = xu dr α rd (T r (x,t) T d (x,t)) (5.5) hvor U dr er omkredsen af røret, T r er rørtemperaturen og T d er damptemperaturen. Dvs. ρ d A d x d (c p,dt d ) + ṁ d (u d (x + x) u d (x)) = Pres ydre (x,t) (5.6) ættes de to ligninger sammen, divideres med x og x 0 findes ṁ d c p,d ρ d A d T d (x,t) t + c p,d ṁ d T d (x,t) x = U dr α rd (T r (x,t) T d (x,t)) (5.7) På tilsvarende måde kan den anden partielle differentialligning for et infinitesimalt rørvolumen findes til: c p,r ρ r A r T r (x,t) t = U rg α rg (T g T r (x,t)) U dr α rd (T r (x,t) T d (x,t)) (5.8) hvor A r er tværsnitsarealet af metalrørvæggen og U rg ydre omkreds af metalrøret.

45 ide 38 af imulering med fysisk sektionering Ved simulering af systemer med fordelte parametre foretages en diskretisering af de aflee med hensyn til stedet på en måde således at for hver enkelt sektion opstilles en fysisk meningsfuld model. Det vil sige, at der opstilles en model med koncentrede parametre for sektionen vha. f.eks. masse-, energi- eller impulsbalancen. I Eksempel 9 opnås de to ordinære differentialligninger: d c p,d ρ d A d T T d (x,t) T d (x x,t) d(x,t) + ṁ d c p,d = U dr α rd (T r (x,t) T d (x,t)) (5.9) x c p,r ρ r A r d T r(x,t) = U rg α rg (T g T r (x,t)) U dr α rd (T r (x,t) T d (x,t)) (5.10) teddiskretiseringen er analog med tidsdiskretisering, hvorfor de metoder, der anvendes ved tidsdiskretisering også kan anvendes her. I eksemplet er Backward diskretisering anven, det betyder at temperaturen i volumenet sættes lig med udløbstemperaturen i volumenet, indløbet er ved x x og udløbet ved x, hvilket er den normale notation ved Backward Euler metoden. Dvs. at hver sektion nu kan beskrives ved de to ordinære differentialligninger, som kan løses f.eks. v.h.a. en Euler eller en Runge-Kutta metode. 5.2 imulering med karakteristikmetoden Her tages igen udgangspunkt i de to partielle differentialligninger Ligning (5.7) og Ligning (5.8) som beskriver krydsvarmeveksleren. Ideen i karakteristikmetoden er at undersøge ligningerne i x t planet. Her viser det sig, hvilket vil fremgå af det følgende, at der fra ethvert punkt (x,t) vil udgå linier t dx(t) = C + og dx(t) = C (5.11) C- C+ x,t x Figur 5.3: Karakteristikker.

46 ide 39 af 47 På C + linien gælder følgende sammenhæng d T d(x(t),t) = f 1 (T d (x(t),t),t r (x(t),t),parametre) (5.12) På C linien gælder følgende sammenhæng d T r(x(t),t) = f 2 (T d (x(t),t),t r (x(t),t),parametre) (5.13) Det vil sige, at på karakteristikkerne reduceres ligningerne til ordinære differentialligninger, hvilket medfører, at ligningerne i stedet kan løses med hensyn til T d (x(t),t) og T r (x(t),t) på de udspæne karakteristikker. Karakteristikretningerne C og C + bestemmes ved at eliminere de partielle afledede i Ligning (5.7) og Ligning (5.8). Dette kan gøres ved at indføre de totale afledede d T d(x(t),t) = T d(x(t),t) t d T r(x(t),t) = T r(x(t),t) t + dx(t) T d (x(t),t) x + dx(t) T r (x(t),t) x (5.14) (5.15) Ved at bestemme den partielt aflede af T d m.h.t. tiden af Ligning (5.14) og indsætte denne i Ligning (5.7) findes c p,d ρ d A d dt d (x(t),t) Heraf ses, at ligningen bliver ordinær hvis dx(t) T d (x(t),t) T d (x(t),t) c p,d ρ d A d + c p,d ṁ d = x x U dr α rd (T r (x(t),t) T d (x(t),t)) (5.16) c p,d ρ d A d dx(t) = c p,d ṁ d (5.17) hvilket svarer til karakteristikretningen C + = dx(t) = ṁd ρ d A d = v d (5.18) På tilsvarende måde kan man ved at bestemme den partielt aflede af T r m.h.t. tiden af Ligning (5.15) og indsætte denne i Ligning (5.8) finde c p,r ρ r A r dt r (x(t),t) dx(t) T r (x(t),t) c p,r ρ r A y = x U rg α rg (T g T r (x(t),t)) U dr α rd (T r (x(t),t) T d (x(t),t)) (5.19) Her ses, at ligningen bliver ordinær i karakteristikretningen C = dx(t) = 0 (5.20)

47 ide 40 af 47 I karakteristikretningen C + = v d gælder den ordinære differentialligning c p,d ρ d A d dt d (x(t),t) = U dr α rd (T r (x(t),t) T d (x(t),t)) (5.21) I karakteristikretningen C = 0 gælder den ordinære differentialligning c p,r ρ r A r dt r (x(t),t) = U rg α rg (T g T r (x(t),t)) U dr α rd (T r (x(t),t) T d (x(t),t)) (5.22) De to ordinære ligninger kan nu løses tilnærmet ved at udspænde et net af karakteristikker som vist på Figur 5.4, hvorefter T d (x,t) og T r (x,t) bestemmes i alle skæringspunkterne. En mere generel metode til beregning af karakteristikker er beskrevet i [PA88].

48 ide 41 af 47 t C- C+ x Figur 5.4: Net af karakteristikker til simulering af krydsvarmeveksler.

49 Kapitel 6 Flerfasesystemer Dette kapitel gives en introduktion til opstilling af modeller for systemer hvor der sker faseskift. Først gives en generel introduktion til emnet, hvorefter der gives et simpelt eksempel. 6.1 Tilstandsrelationer Et afgrænset systems tilstand kan beskrives ved hjælp af et antal tilstandsstørrelser. Relationer mellem tilstandene beskriver systemets egenskaber. Af særlig interesse er tilstandsrelationerne for et vand/dampsystem, da vand spiller en stor rolle som medium for transport af energi. Vand kan som en række andre stoffer beskrives ved hjælp af tilstandsstørrelserne tryk ( ), specifik volumen (v) og temperaturen (T). Kender man to af de tre tilstandsstørrelser kan den tredje bestemmes ved tilstandsrelationerne for det pågældende stof: = f p (T,v); v = f v (,T); T = f T (,v) (6.1) Afhængig af tryk og temperatur kan et stof optræde i forskellige faser; den faste fase (F), væskefasen (V) og gas eller dampfasen (D). Inegnes grænserne mellem de forskellige faser i et T, -koordinatsystem fås et fasediagram, som vist på Figur 6.1 I grænserne mellem faserne eksisterer to faser samtidigt. I triplepunktet (t) sameksisterer de tre faser. For vand er denne tilstand bestemt til 0.01 C og bar. Fordampningskurven ender ved det kritiske punkt (c), over hvilket forskellen mellem væske -og dampfasen forsvinder. Det kritiske punkt for vand er bestemt til C og bar. I de tidligere opstillede masse -energi -og impulsbalancer indgår massefylde og entalpi for materialet. Det er derfor interessant at urykke disse ved hjælp af tilstandsstørrelser. For vand er væske og dampfaserne tabelleret i f.eks. [ch82]. Massefyldes findes som På Figur 6.2 er vist et uddrag af denne tabel. Den specifikke entalpi h [J/kg] er indført i Eksempel 2 som: ρ = f h (,T) (6.2) h = u + /ρ M (6.3) Entalpi er som energi et relativt begreb, idet nulpunktet kan fastlægges vilkårligt, det er dog almindeligt, at fastlægge nulpunktet for vands entalpi, som entalpien i væskefasen ved 42

50 ide 43 af 47 Tryk F+V F+D F t V D c V+D Temperatur Figur 6.1:,T fasediagram. tripelpunktet. Det kan endvidere være hensigtsmæssig at operere med den specifikke varmekapacitet ved konstant tryk: c p = h T = 0 (6.4) Da c p i visse temperaturintervaller er tilnærmelsesvis konstant, kan man i systemer, hvor der kun optræder en fase, lave tilnærmelsen: h c p T (6.5) Optegnes h som funktion af (eller T) med fasthol T (eller ), vil faseovergangene optræde som diskontinuiteter. Det samme gælder, hvis man tilsvarende optegner v som funktion af eller T. På Figur 6.3 er vist et h, - diagram for vand/damp. For at beskrive tilstanden ved faseovergang anvendes blandingsforholdet mellem faserne. For væske/damp anvendes tørhedsgraden (dampkvaliteten) x defineret som masseandelen af damp i væske/dampblandingen. M x = M + M (6.6) hvor M er massen af mættet væske og M er massen af mættet damp. ammen med egenskaberne ved mættet vand og mættet damp ved det pågældende tryk (eller temperatur, en af de to størrelser beskriver mætningstilstanden) bestemmer x egenskaberne ved blandingen v = v ( )(1 x) + v ( )x (6.7) h = h ( )(1 x) + h ( )x (6.8) Eksempel 6.1 (Kondensering) I eksemplet undersøges et rør som vist på Figur 6.4. Til røret ledes overhedet damp med en temperatur på 340 C og et tryk på 110 bar. Igennem røret afgiver dampen energi til rørvæggen, og det antages at ud af røret løber mættet vand. Det antages at trykket langs røret er konstant lig med 110 bar. Af h, -diagrammet ses, at temperaturen af dampen langs røret falder inil mætningstemperaturen, som er 318 C ved 110 bar, er nået. Herefter er temperaturen konstant, men

51 ide 44 af 47 Figur 6.2: pecifik entalpi af vand og vanddamp som funktion af tryk og temperatur. Uddrag af [ch82].

52 ide 45 af p-h diagram for vand/damp T=750 C T=700 C T=650 C T=600 C T=550 C T=500 C T=450 C x= x=0.8 T=400 C Entalpi [kj/kg] 2000 x=0.6 x= x=0.2 x=0 T=350 C T=300 C 1000 T=250 C T=200 C 500 T=150 C T=100 C T=50 C 0 T=0 C Tryk [bar] Figur 6.3: h, - diagram for vand/vanddamp. Diagrammet er optegnet udfra formler givet i [ch82].

53 ide 46 af 47 Mættet damp Overhedet damp Mættet vand Temperatur Dampkvalitet ted ted Figur 6.4: Rør, hvor indgangsflowet er vanddamp og udgangsflowet er mættet vand. dampkvaliteten x falder inil den er lig med 0. Energiligningen for rørstykket er givet ved Ligning (2.71): d(h u (t)m(t)) = LA d (t) + ṁ(t)(h i (t) h u (t)) P varme (t) (6.9) hvor M(t) er massen af vand og damp i røret. Antages M(t) konstant og LAd (t)/ for lille findes: P varme (t) = ṁ(t)( ) 10 3 = ṁ(t) (6.10) Tallet J/kg (den specifikke entalpi af mættet vand ved 110 bar) kan ikke findes i Tabel 6.2, men er givet i [ch82, side 35] og kan desuden aflæses af h, -diagrammet i Figur 6.3. Det vil sige, at med de givne antagelser er den energi der afgives til rørvæggen proportional med flowet gennem røret.

54 Litteratur [AP90] P. Andersen and T.. Pedersen. Dynamiske modeller af termiske systemer. Technical report, Afdeling for Proceskontrol, Institut for Elektroniske ystemer, Aalborg Universitetscenter, [Cha84] A.J. Chapman. Heat Transfer. Macmillian Publishing Company, 866 Third Avenue, New York, NewYork 10022, 4th edition, [JW76] R.E. Wilson J.R. Welty, C.E.Wicks. Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley and ons Inc., [PA88] T.. Pedersen and P. Andersen. Dynamiske forhold i systemer med fordelte parametre. Technical Report R 88-31, Afdeling for Proceskontrol, Institut for Elektroniske ystemer, Aalborg Universitetscenter, Frederik Bajers Vej 7, DK-9220 Aalborg Ø, Danmark, Oktober [ch82] E. chmi. Properties of Water and team in I-Units. pringer Verlag, [øl] [øl82] [øl84] Carl-Erik ølberg. A simple microscopic theory of fluid dynamics. Technical report, Aalborg University, Physics Laboratory. Carl-Erik ølberg. Everybody s energy book. Technical report, Aalborg University, Physics Laboratory, Carl-Erik ølberg. On the concept of stress in fluids. European Journal of Physics, [VDI84] VDI-verlag, GmbH. VDI-Wärmeatlas, 4 edition,