Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Transkript

1 Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach

2 Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Paratype Sans Narrow. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium cbna

3 Forord Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx. Indholdet dækker det første år i et studieretningsforløb på B-niveau. Det har ikke været tanken, at noterne absolut skal læses kronologisk; der er dog enkelte af kapitlerne, der hænger naturligt sammen. Noterne er opbygget således, at i. definitioner og sætninger er fremhævet i grå kasser, ii. blå tekst er (klikbare) henvisninger, iii. afslutningen på et bevis er markeret med, og iv. afslutningen på et eksempel er markeret med. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

4

5 Indhold 1 Trigonometri Trekanter Trigonometri i retvinklede trekanter Sinus, cosinus og tangens Inverse trigonometriske funktioner Arealet af en trekant Sinusrelationerne Cosinusrelationerne Rentesregning Indledende procentregning Procentvis vækst Forskellige tidsperioder Gennemsnitlig rente Eksponentielle funktioner Eksponentiel vækst Beregning af forskriften Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentiel regression Logaritmer Titalslogaritmen Den naturlige logaritme Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Grafen for en potensfunktion Potensvækst Proportionalitet Potensregression Polynomier Parallelforskydning af grafer Andengradspolynomier Andengradsligninger Koefficienternes betydning Faktorisering Polynomier af højere grad Bibliografi 63 Indeks 64 5

6

7 1 Trigonometri Trigonometri betyder trekantsmåling. Før man kaster sig over trigonometrien, giver det derfor mening at opsummere et par generelle ting om trekanter. 1.1 Trekanter I en trekant er der tre vinkler. Der gælder følgende kendte sætning, som ikke bevises. Sætning 1.1 Summen af vinklerne i en trekant er 180 : v u + v + w = 180. u w Fra hvert hjørne i en trekant kan man tegne følgende tre linjer: Medianen som er en linje fra en vinkelspids til midten af den modstående side. Vinkelhalveringslinjen som går fra en vinkelspids til den modstående side, sådan at den halverer vinklen. Højden der går fra en vinkelspids vinkelret på den modstående side. Hvis trekanten er stumpvinklet, 1 kan højden ligge uden for trekanten. 1 En trekant kaldes stumpvinklet, hvis en af vinklerne er stump, dvs. større end 90. Disse tre typer af linjer er illustreret på figur 1.1. Højden står som sagt vinkelret på den modstående side. Den side, som højden står vinkelret på, kalder man grundlinjen, og den bruges sammen med højden, når man beregner en trekants areal. Der gælder nemlig følgende. Sætning 1.2 Arealet T af en trekant er det halve af højden ganget med grundlinjen: T = 1 2 h g. g h 7

8 8 1 Trigonometri Figur 1.1: Hvert hjørne i en trekant har tilknyttet en median, en vinkelhalveringslinje og en højde. Bemærk, at en højde kan ligge uden for trekanten. m v (a) Median m. (b) Vinkelhalveringslinje, v. h h (c) Højde, h. (d) Højde, der falder uden for trekanten. Notation AC C BC Når man skal tale om siderne og vinklerne i en trekant, er det vigtigt, at man har en notation, som entydigt forklarer, hvad man taler om. Man følger derfor den konvention, der er illustreret på figur 1.2: Vinkelspidserne benævnes med store bogstaver, og siderne benævnes ved de punkter, de går mellem. A AB Figur 1.2: Sider og vinkler i ABC. C b a A c B B Nogle gange benævner man også siderne ud fra den vinkel, de ligger overfor. Siden over for vinkel A benævnes så med a, osv. Dette ses på figur 1.3. Notationen, hvor man bruger små bogstaver som navne til siderne, duer i princippet kun, hvis man har én trekant at kigge på. Hvis man har en mere kompliceret figur med flere punkter end tre, kan der nemlig være flere sider, der kan siges at ligge over for en bestemt vinkel notationen med små bogstaver bliver da ikke længere entydig. I den situation vil det være fornuftigst at kalde siderne AB, BC osv. Figur 1.3: ABC, hvor siderne benævnes a, b og c. B C Hvis man har en figur med mere end tre punkter, kan der også nogle gange opstå en situation, hvor det ikke er entydigt at benævne en vinkel med ét bogstav, f.eks. A. I disse situationer benævner man i stedet en vinkel vha. 3 bogstaver. C AD er f.eks. den vinkel, man får tegnet op, når man tegner fra punkt C til punkt A til punkt D (se figur 1.4). A C AD Figur 1.4: A kan være 3 forskellige vinkler på denne figur; derfor kalder man den markerede vinkel C AD. D Ensvinklede trekanter To trekanter, hvor vinklerne er parvis lige store, kaldes ensvinklede. Dette kan også defineres på følgende måde. Definition 1.3 Hvis der for to trekanter ABC og A B C gælder, at A = A, B = B og C = C, så kaldes de to trekanter ensvinklede.

9 1.1 Trekanter 9 Hvis to trekanter er ensvinklede, vil den ene være en forstørret eller formindsket kopi af den anden. Der gælder følgende sætning. Sætning 1.4 Hvis ABC og A B C er ensvinklede med så findes der et tal k, sådan at A = A, B = B og C = C, a = k a, b = k b og c = k c. B B c = k c a = k a c a A b C A b = k b C Tallet k kaldes skalafaktoren. Eksempel 1.5 Hvis ABC og DEF er ensvinklede, sådan at A = D, B = E, og C = F, og man tillige ved, at a = 2, b = 3, e = 9 og f = 12, så kan man beregne længden af de resterende sider. Først tegner man en skitse (den behøver ikke være målfast), for at få et overblik: E c =? B a = 2 f = 12 d =? A b = 3 C D e = 9 F Herefter beregner man skalafaktoren k, som er forholdet mellem de sider, der ligger ens. Her kender man siderne b og e, som ligger over for den samme vinkel, dvs. k = e b = 9 3 = 3. Skalafaktoren er altså 3, og det betyder, at d = k a = 3 2 = 6, c = f k = 12 3 = 4. Nu kender man altså alle sidelængderne i de to trekanter.

10 10 1 Trigonometri Figur 1.5: I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange, i en ligesidet er alle sider lige lange, og i en retvinklet trekant er den ene vinkel ret. (a) En ligebenet trekant (b) En ligesidet trekant. (c) En retvinklet trekant. Specielle trekanter Der findes tre typer af trekanter, som det er vigtigt at kende navnene på. Det er ligebenede trekanter, ligesidede trekanter og retvinklede trekanter. Disse er illustreret på figur 1.5. hypotenuse katete katete Figur 1.6: Siderne i en retvinklet trekant I en retvinklet trekant har siderne også specielle navne. Den side, der ligger over for den rette vinkel kaldes hypotenusen, mens de to andre sider kaldes kateter (se figur 1.6). For retvinklede trekanter gælder der følgende sætning. Sætning 1.6 (Pythagoras sætning) I en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel, gælder der, at c B a a 2 + b 2 = c 2. A b C 2 Kvadratet på... betyder»opløftet i 2. potens«. Kvadratet på a betyder f.eks. a 2. Hvis man i stedet for at referere til en konkret trekant ABC bruger de navne, siderne i en retvinklet trekant har, kan Pythagoras sætning også udtrykkes på følgende måde: 2 Sætning 1.7 (Pythagoras sætning) I en retvinklet trekant er summen af kvadraterne på kateterne lig kvadratet på hypotenusen. Eksempel 1.8 Hvis man om en retvinklet trekant ved, at den ene katete har længden 5, og hypotenusen har længden 13, kan man beregne længden af den sidste katete vha. Pythagoras sætning. Længden af den sidste katete, kan man kalde x. Sætter man de oplyste værdier ind i Pythagoras sætning, får man ligningen x 2 = Dvs. x 2 = = = 144. Længden af den sidste katete er så x = 144 = 12.

11 1.2 Trigonometri i retvinklede trekanter 11 (2) B Figur 1.7: En retvinklet trekant, hvor vinklen A er lagt i (0,0) i et koordinatsystem. Ud fra den markerede cirkelbue, som vinklen 1 A afskærer, definerer man længderne cos(a) sin(a) og cos(a). c a A sin(a) 1 b C (1) 1.2 Trigonometri i retvinklede trekanter Hvis man skal kunne beregne manglende sider og vinkler i en trekant, er det nødvendigt at finde sammenhænge mellem sider og vinkler i trekanter. I første omgang ses på, hvilken sammenhæng der er mellem sider og vinkler i en retvinklet trekant. Man kan måle en vinkels størrelse ved at se på, hvor stor en cirkelbue, den spænder over. Sammenhængen mellem sider og vinkler må derfor kunne beskrives som en sammenhænge mellem sider og cirkelbuer. På figur 1.7 er en retvinklet trekant tegnet ind i et koordinatsystem. Samtidig er der tegnet en cirkel med radius 1 og centrum i (0,0), 3 hvor A også ligger placeret. 3 En sådan cirkel hedder en enhedscirkel. Man definerer nu to længder, der hører til vinkel A. Disse to længder kalder man»sinus til A«og»cosinus til A«(skrevet sin(a) og cos(a)). De er defineret som den lodrette, hhv. vandrette afstand, man ser på figur 1.7. Ud over sinus og cosinus findes også»tangens til A«, der er defineret på følgende måde: tan(a) = sin(a) cos(a). tan(a) er hældningskoefficienten til linjen AB på figuren. På figuren er der også afmærket en lille trekant inden i cirklen. Denne udfyldte trekant er ensvinklet med ABC. Hypotenusen i den lille trekant er 1, idet den er radius i cirklen. Idet hypotenusen i trekant ABC er c, kan man altså beregne sidelængderne i den lille trekant ved at dele sidelængderne i trekant ABC med c. 4 Da den lodrette katete i den lille trekant er sin(a), og den lodrette katete i ABC er a, må der derfor gælde, at sin(a) = a c. 4 De to trekanter er ensvinklede, og hypotenuserne er hhv. 1 og c. Dvs. ABC er c gange så stor, som den lille trekant; omvendt er den lille trekant altså c gange mindre end ABC. I den lille trekant er den vandrette katete cos(a), og i ABC er den vand-

12 12 1 Trigonometri rette katete lig b. Derfor må cos(a) = b c. Ud fra dette kan man også finde en formel for tan(a), idet tan(a) = sin(a) cos(a) = a / b c c = a c c b = a b. Alt dette kan opsummeres i følgende sætning. Sætning 1.9 I en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel er sin(a) = a c cos(a) = b c tan(a) = a b. Nu er det jo ikke alle trekanter, der hedder ABC. Sætning 1.9 skrives derfor også nogle gange op på følgende måde. Sætning 1.10 I en retvinklet trekant, hvor v er én af de spidse vinkler, er v Hypotenuse Hosliggende katete til v Modstående katete til v Figur 1.8: Sidernes navne i forhold til den spidse vinkel v. modstående katete sin(v) = hypotenusen hosliggende katete cos(v) = hypotenusen modstående katete tan(v) = hosliggende katete. Betegnelserne»modstående«og»hosliggende«katete henviser til, om kateten ligger over for (modstående) eller op til (hosliggende) vinklen. Se også figur 1.8. Vha. formlerne i sætning 1.10 er det muligt at beregne alle sider og vinkler i en retvinklet trekant, hvis blot man kender mindst én side og enten en af de spidse vinkler eller en side mere. Størrelsen af f.eks. sin(32 ) eller cos(51 ) kan nemlig beregnes vha. en lommeregner. Eksempel 1.11 I en retvinklet trekant DEF er D = 30 og EF = 7. En skitse af trekanten ser således ud:

13 1.3 Sinus, cosinus og tangens 13 E 7 D 30 F Siden EF er den modstående katete til D, og DE er hypotenusen, så ifølge sætning 1.10 er sin(30 ) = 7 DE. Denne ligning løses, og man får 5 DE = 7 sin(30 ) = Resultatet regnes ud på en lommeregner. Den sidste side kan nu bestemmes vha. Pythagoras sætning, og den sidste vinkel bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180. Eksempel 1.12 Hvis man skal bestemme længden af kateten DF i trekanten fra eksempel 1.11, kan dette gøres ved at benytte tangens. Siden DF er den hosliggende katete til D, og EF er den modstående, får man ifølge sætning 1.10, at Løser man denne ligning, får man tan(30 ) = 7 DF. DF = 7 tan(30 ) = 12, Sinus, cosinus og tangens I foregående afsnit blev sinus og cosinus defineret vha. en retvinklet trekant. Det viser sig, at det slet ikke er nødvendigt, at bruge en retvinklet trekant til dette, man skal blot kende vinklen, man vil finde sinus og cosinus til. (2) 1 P(cos(v), sin(v)) sin(v) På figur 1.9 er der tegnet en enhedscirkel og vinklen v, hvis ene ben ligger langs førsteaksen, og det andet ben skærer cirklen i punktet P. Punktet P kalder man vinklens retningspunkt. v cos(v) 1 (1) I det foregående afsnit blev sin(v) defineret som den lodrette afstand fra P til førsteaksen, og cos(v) blev defineret som den vandrette afstand fra P til andenaksen. Men dette er jo netop punktet P s koordinater, dvs. de to tal (cos(v) og sin(v)) er hhv. første- og andenkoordinaten til retningspunktet for vinklen v. Figur 1.9: Sinus og cosinus til en vinkel aflæses vha. enhedscirklen. Det smarte ved denne definition er, at man kan tale om cosinus og sinus til en vinkel, der er større end 90. Det er nødvendigt, hvis man skal kunne bruge sinus og cosinus i forbindelse med stumpvinklede trekanter.

14 14 1 Trigonometri Tabel 1.1: Værdien af cos(v) og sin(v) for forskellige vinkler. v cos(v) sin(v) 20 0,940 0, ,707 0, ,5 0, ,174 0,985 I tabel 1.1 kan man se nogle værdier af cosinus og sinus. Af tabellen kan man f.eks. se, at cos(60 ) = 0,5 og sin(60 ) = 0,866. Det betyder, at hvis vinklen v på figur 1.9 er 60, så har punktet P koordinaterne (0,5;0,866). Af figur 1.9 kan man også se, at hvis vinklen v ligger mellem 90 og 180 er cos(v) negativ. Dette ses også i tabellen. Funktionen tangens er defineret fuldstændigt som i foregående afsnit: tan(v) = sin(v) cos(v). Dvs. tan(v) er hældningskoefficienten for den linje, der går gennem (0, 0) og retningspunktet P. Da sin(v) og cos(v) er koordinater til et punkt på enhedscirklen, som jo har radius 1, følger det i øvrigt, at både sin(v) og cos(v) må ligge mellem 1 og 1, altså at 1 cos(v) 1 og 1 sin(v) Inverse trigonometriske funktioner I afsnit 1.2 blev det gennemgået, hvordan man kan beregne siderne i en retvinklet trekant ud fra sinus, cosinus og tangens. I dette afsnit ses til gengæld på, hvordan man finder en vinkel, hvis man kender dens sinus, cosinus eller tangens. 6 De tre funktioner kaldes undertiden også arccos, arcsin og arctan.»arc«står for arcus, som betyder»bue«på latin. arcsin er altså den bue (vinkel), hvis sinus har en bestemt værdi. I computerprogrammer kaldes de tre funktioner i øvrigt ofte asin, acos og atan. Til dette bruger man de»inverse trigonometriske funktioner«sin 1, cos 1 og tan 1. 6 De tre funktioner bruges til at løse ligninger, hvor man kender sinus, cosinus eller tangens til den ubekendte. Eksempel 1.13 For at løse ligningen cos(v) = 0,8 bruges cos 1 : cos(v) = 0,8 v = cos 1 (0,8). cos 1 (0,8) regnes ud på en lommeregner, og man får v = cos 1 (0,8) = 36,9. Eksempel 1.14 Ligningen sin(b) = 0,5 løses således: sin(b) = 0,5 B = sin 1 (0,5) = 30. Eksempel 1.15 I en retvinklet trekant ABC er AC = 5 og BC = 3. En skitse af trekanten ser således ud: B 3 A 5 C

15 1.5 Arealet af en trekant 15 Siden AC er den hosliggende katete til A, og siden BC er den modstående katete. Ifølge sætning 1.10 er tan(a) = 3 5 = 0,6. Løsningen til ligningen tan(a) = 0,6 finder man ved at benytte tan 1, så tan(a) = 0,6 A = tan 1 (0,6) = 30,96 Den sidste vinkel kan så bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180, og den sidste side kan bestemmes vha. Pythagoras sætning. 1.5 Arealet af en trekant I de foregående afsnit er det blevet gennemgået, hvordan man kan regne sider og vinkler ud i retvinklede trekanter. Der er dog masser af trekanter, der ikke er retvinklede, og for disse gælder der nogle andre sammenhænge. Det viser sig, at man kan udlede formler, der gælder for vilkårlige trekanter 7 ved at dele en trekant op i to retvinklede, og derefter bruge de formler, der gælder for retvinklede trekanter. F.eks. gælder der følgende sætning. 7 At trekanten er»vilkårlig«betyder, at der ikke er nogen specielle krav for hverken sidernes eller vinklernes størrelse; den kan altså se ud på en hvilken som helst måde Sætning 1.16 Arealet T af en trekant ABC er T = 1 2 a b sin(c ) B T = 1 2 a c sin(b) T = 1 2 b c sin(a) c h B a Bevis I ABC tegnes højden h B fra B (se figur 1.10). Iflg. sætning 1.2 er arealet af ABC givet ved T = 1 2 h B b. (1.1) A b Figur 1.10: Trekant ABC med højden h B indtegnet. H C Men da BC H er retvinklet gælder der også (sætning 1.10), at sin(c ) = h B a h B = a sin(c ). Dette udtryk for h B kan sættes ind i ligningen (1.1), og man får så T = 1 2 a sin(c ) b = 1 2 a b sin(c ). Dette er kun et bevis for den ene af formlerne i sætning Men hvis man ser nærmere på formlerne i sætningen, opdager man, at der i alle tre formler optræder to sider og den mellemliggende vinkel.

16 16 1 Trigonometri Det er derfor ikke nødvendigt, at give et selvstændigt bevis for alle tre formler, idet det faktisk drejer sig om den samme formel skrevet på tre forskellige måder. Hvis man blot husker, at der i formlen indgår to af siderne og den mellemliggende vinkel, kan man hurtigt skrive arealformlen op for en hvilken som helst trekant. Eksempel 1.17 I ABC er B = 47, a = 9 og c = 5. En skitse af trekanten ser sådan ud: B c = 5 47 a = 9 A C Arealet af denne trekant er T = 1 2 a c sin(b) = sin(47 ) = 16,5. Eksempel 1.18 I DEF er d = 4 og E = 75. Hvis man yderligere får at vide, at arealet af trekanten er 13, så kan man beregne siden f og derved få tegnet en skitse af trekanten. Først bemærker man, at de sider, der støder op til E er siderne d og f. Derfor kan man vha. sætning 1.16 opstille formlen T = 1 2 d f sin(e). Sætter man de kendte størrelser ind i formlen, får man ligningen 13 = f sin(75 ). Denne ligning har løsningen f = Siden f har altså længden 6, sin(75 ) = 6, Sinusrelationerne Vha. sætning 1.16 kan man udlede følgende sætning. Sætning 1.19 (Sinusrelationerne) I en trekant ABC gælder der sin(a) a = sin(b) b = sin(c ), c

17 Figur 1.12: En trekant med to kendte vinkler og én kendt side. 1.6 Sinusrelationerne 17 og a sin(a) = b sin(b) = c sin(c ). Bevis De tre formler i sætning 1.16 er tre formler for arealet af den samme trekant. Der må derfor gælde, at 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b) = 1 2 a b sin(c ). I denne dobbeltligning kan man dividere med 1 2 a b c på alle»sider«, og man får så 1 2 b c sin(a) a b c = a c sin(b) a b c = a b sin(c ) 1 2 a b c. Nu forkorter man så meget som muligt, og tilbage står der sin(a) a = sin(b) b = sin(c ), c hvorved sætningen er bevist. Sinusrelationerne siger, at forholdet mellem sinus til en vinkel og den side, der ligger over for vinklen er konstant i en given trekant. Hvis man kender en vinkel og en side over for hinanden i en trekant, og man kender en vinkel eller en side mere, er det derfor muligt at beregne resten af siderne og vinklerne i trekanten. A c = 8 B 47 a = 5 C Eksempel 1.20 I ABC er C = 47, a = 5 og c = 8. En skitse af trekanten kan ses på figur Figur 1.11: En trekant med to kendte sider, og én kendt vinkel. Iflg. sinusrelationerne (sætning 1.19) er dvs. sin(a) a = sin(c ), c sin(a) 5 = sin(47 ) 8 sin(a) = sin(47 ) 8 5 = 0,4571. Derfor er A = sin 1 (0,4571) = 27,2. B 34 Vinkel B kan nu bestemmes ud fra, at vinkelsummen er 180, og den sidste side kan så også bestemmes vha. sinusrelationerne (se evt. næste eksempel). A 62 b = 7 C

18 18 1 Trigonometri Eksempel 1.21 I ABC er A = 62, B = 34 og b = 7. En skitse kan ses på figur Ifølge sinusrelationerne er dvs. a sin(a) = b sin(b), a sin(62 ) = 7 sin(34 ) a = 7 sin(34 ) sin(62 ) = 11,1. Den sidste vinkel kan beregnes ud fra, at vinkelsummen er 180, og den sidste side, kan bestemmes på samme måde som siden a. Sinusfælden Det viser sig, at man skal være en smule påpasselig, når man bestemmer vinkler vha. sinusrelationerne. Funktionen sin 1, som man bruger til at isolere vinkler med, giver nemlig altid et resultat mellem 0 og 90 ; men i en trekant kan en vinkel være op til 180 og det viser sig, at for en given sinus-værdi, findes der to vinkler, der kan give denne værdi. (2) 1 P P 180 v v (1) 1 Figur 1.13: To vinkler med samme sinus. Ser man på figur 1.13, kan man se, at vinklen v og vinklen 180 v har retningspunkter (P og P på figuren), der har samme andenkoordinat. Dvs. sin(180 v) = sin(v). Ud fra dette kan man argumentere for, at når man har ligningen sin(v) = y, så kan der være to løsninger. De to løsninger er v = sin 1 (y) og v = 180 sin 1 (y). Eksempel 1.22 I trekant ABC er A = 56, a = 7 og b = 8. Vha. sinusrelationerne kan man beregne B, idet sin(b) = sin(a). b a Dette giver ligningen sin(b) 8 = sin(56 ) 7 sin(b) = sin(56 ) 7 8 = 0, Der findes to løsninger til ligningen sin(b) = 0,9475, netop fordi sin(71,3 ) = sin(108,7 ), så begge disse vinkler løser ligningen. Denne ligning har to løsninger, den ene er 8 og den anden er B = sin 1 (0,9475) = 71,3, B = 180 sin 1 (0,9475) = 108,7. Trekant ABC kan altså se ud på to forskellige måder:

19 1.7 Cosinusrelationerne 19 B a = 7 B A a = C A b = 8 b = 8 C Hvis man bliver bedt om at bestemme de resterende sider og vinkler i ABC bliver man altså nødt til at regne på to forskellige trekanter. Der findes derfor ikke én men to løsninger, og den ene er ikke mere rigtig end den anden. Selvom ligningen sin(v) = y altid har to løsninger, er det ikke sikkert at begge løsninger giver mening. Dette ses i næste eksempel. Eksempel 1.23 Her ses på trekanten ABC, hvor A = 45, a = 15 og b = 12. Sinusrelationerne giver sin(b) = sin(a), b a hvorfra man får ligningen sin(b) 12 = sin(45 ) 15 sin(b) = sin(45 ) = 0,5657. Denne ligning har to løsninger, B = sin 1 (0,5657) = 34,4 og B = 180 sin 1 (0,5657) = 145,6. Den sidste løsning ( B = 145,6 ) er godt nok en løsning til ligningen sin(b) = 0,5657, men det er ikke en løsning, der giver mening. Vinkelsummen i en trekant er nemlig 180, og der er i forvejen en vinkel på 45. Så kan der ikke også være en vinkel på 145,6 i trekanten, og denne løsning kasseres derfor. Altså er der kun én mulig størrelse for vinkel B, nemlig 34, Cosinusrelationerne Sinusrelationerne kan bruges i de tilfælde, hvor man kender en vinkel og en side, der ligger over for hinanden. Gør man ikke det, kan man kun beregne yderligere sider og vinkler ved at benytte cosinusrelationerne.

20 20 1 Trigonometri Sætning 1.24 (Cosinusrelationerne) I en trekant ABC gælder der, at a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) cos(a) = b2 + c 2 a 2 2 b c b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c ) cos(c ) = a2 + b 2 c 2. 2 a b Formlerne på højre side i sætning 1.24 er blot en omskrivning af formlerne på venstre side. B c a h A C b x H x Figur 1.14: Trekant ABC med højden h. Hvis man ser nærmere på formlerne på venstre side, bemærker man, at alle tre formler gør det muligt at beregne en side, hvis man kender vinklen overfor og de to andre sider. Indholdet i alle tre formler er altså på sin vis det samme, så det er kun nødvendigt at bevise den ene af dem. Bevis I en trekant ABC tegnes højden h fra B. Fodpunktet for højden kaldes H (se figur 1.14). Bruger man Pythagoras sætning på de retvinklede trekanter AB H og BC H, får man c 2 = h 2 + (b x) 2 og a 2 = h 2 + x 2. I begge disse ligninger kan man isolere h 2, så man får c 2 (b x) 2 = h 2 og a 2 x 2 = h 2. Nu har man to udtryk, der begge er lig h 2. Disse to udtryk må derfor også være lig hinanden, dvs. c 2 (b x) 2 = a 2 x 2 c 2 = a 2 x 2 + (b x) 2 c 2 = a 2 x 2 + b 2 + x 2 2 b x c 2 = a 2 + b 2 2 b x. (1.2) For at komme videre, udnytter man, at BC H er retvinklet, og derfor giver sætning 1.10, at cos(c ) = x a x = a cos(c ). Dette resultat kan indsættes i ligningen (1.2), og man får c 2 = a 2 + b 2 2 b a cos(c ). Hermed er sætningen bevist.

21 1.7 Cosinusrelationerne 21 Cosinusrelationerne kan bruges til at beregne en side, hvis man kender de to andre sider i en trekant, samt vinklen overfor. Dette svarer til formlerne på venstre side i sætning Alternativt kan man bruge cosinusrelationerne til at beregne en vinkel, hvis man kender alle tre sider i en trekant dette svarer til formlerne på højre side i sætningen. Eksempel 1.25 I trekant ABC er C = 39, a = 7 og b = 10. En skitse af trekanten kan ses på figur A B b = 10 a = 7 39 Figur 1.15: Trekant, hvor man kender to sider og en mellemliggende vinkel. C Siden c kan beregnes vha. en cosinusrelation. Iflg. sætning 1.24 er c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c ) = cos(39 ) = 40,20, hvilket betyder, at c = 40,20 = 6,3. Da man nu kender alle sider, kan én af de sidste to vinkler også bestemmes vha. en cosinusrelation (se næste eksempel). Alternativt kan man bestemme en af de sidste to vinkler vha. sinusrelationerne. Eksempel 1.26 I dette eksempel ses på en trekant ABC, hvor a = 3, b = 6 og c = 4 (se figur 1.16). Iflg. cosinusrelationerne kan A beregnes ud fra formlen Heraf får man cos(a) = b2 + c 2 a 2 2bc = A = cos 1 (0,9858) = 26,4. = 0,8958. A c = 4 b = 6 B a = 3 Figur 1.16: Trekant, hvor man kender alle sider. C De resterende vinkler kan beregnes på samme måde.

22

23 2 Rentesregning 2.1 Indledende procentregning Procent kommer af det latinske pro centum, der betyder»pr. hundrede«. F.eks. betyder 3% tre pr. hundrede, dvs. tre hundrededele, eller sagt på en anden måde 3% = = 0,03. I udregninger kan man altså altid erstatte tegnet % med en division med hundrede. 1 Vil man regne et givent tal om til procent, regner man den anden vej. F.eks. er 0,72 = 0, , = = = 72%. I denne udregning ganger man tallet 0,72 med Dette er som regel smart at gøre, idet man så slipper for evt. forvirring omkring, hvad % betyder i den givne situation. 100, som er lig 1.2 Udreg- 2 Man ændrer ikke et tal ved at gange med ningen er dog en smule besværlig, og man kan spare lidt på dette besvær 1, heller ikke selv om 1-tallet er skrevet ved at bemærke, at også kan skrives som 100%: som ,72 = 0,72 100% = 72%. Her ganger man tallet 0,72 med 100%, som er en anden måde at skrive tallet 1 på. Ofte drejer procentregning sig om at finde ud af, hvor meget en procentdel af en given størrelse er, dette gøres som i følgende sætning. Sætning 2.1 p% af en given størrelse K 0 udregnes som p% K 0 = p 100 K 0. Eksempel 2.2 Hvor meget sparer man, hvis en jakke til 800 kr. bliver sat 30% ned? Besparelsen svarer til 30% af 800 kr., dvs. 30% 800 kr. = kr. = 0,3 800 kr. = 240 kr. 100 Man kan også være interesseret i at finde ud af, hvor mange procent en given størrelse udgør af en anden. Dette gøres således: 23

24 24 2 Rentesregning Sætning 2.3 For at finde ud af, hvor mange procent K 1 udgør af K 0 beregnes K 1 K 0 100%. Eksempel 2.4 Hvor stor en procentdel udgør 23 mennesker af 362 mennesker? Svaret fås vha. følgende udregning: 23 = 0,0635 = 0, % = 6,35%. 362 Eksempel 2.5 Hvor mange procent er 465 af 276? 3 Det er vigtigt at huske på, at det altså ikke er tallenes størrelse, der bestemmer, hvilket tal, der skal divideres med; men at man altid dividerer med det tal, der sammenlignes med. Svaret er: 465 = 1,6848 = 1, % = 168,48%. 276 Her giver udregningen et resultat, der ligger over 100%, men det skal det også, idet 465 er større end 276, så det må derfor udgøre mere end 100% Procentvis vækst I foregående afsnit så man på, hvordan man finder en bestemt procentdel af en størrelse, og hvordan man beregner, hvor mange procent en størrelse udgør af en anden. Det sker dog ofte, at man har brug for at beregne, hvad en størrelse vokser til, når man lægger en procentdel til, eller hvor mange procent en størrelse er større (eller mindre) end en anden. Taleksempel måde: Skal man lægge 12% til 140 kan man gøre det på følgende 1) Først finder man 12% af 140: 12% 140 = 0, = 16,8. 2) Dernæst lægger man den fundne værdi til de oprindelige 140, og man får resultatet: ,8 = 156,8. I praksis viser det sig, at denne fremgangsmåde er noget besværlig. Især hvis man skal lægge en procentdel til flere gange det kunne f.eks. være, hvis man skulle finde ud af, hvor mange penge, der står på en konto efter 1, 2, 3 eller flere år. Heldigvis kan den ovenstående udregning forsimples en del. Skriver man de to trin sammen, kan man se, at for at lægge 12% til 140 skal man udregne: % 140 = ,

25 2.2 Procentvis vækst 25 Her kan man sætte 140 uden for parentes, og man får , = 140 (1 + 0,12). Herudfra ses, at man altså skal gange de 140 med 1 + 0,12 = 1,12 for at lægge 12% til. Dette giver anledning til følgende definition: Definition 2.6 1) Vækstraten er tallet r, som angiver den brøkdel, en størrelse vokser med (regnet med fortegn). 2) Fremskrivningsfaktoren er tallet a givet ved a = 1 + r. Her følger to eksempler på, hvordan man beregner vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Eksempel 2.7 Hvis en størrelse vokser med 7,5% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 7,5% = 0,075, a = 1 + r = 1 + 0,075 = 1,075. Eksempel 2.8 Hvis en størrelse aftager med 11% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 11% = 0,11, a = 1 + ( 0,11) = 0,89. Hvis man nu skal lægge 12% til 140, ses som før, at man skal udregne % 140 = 140 1,12. Men det vil sige, at 140 i virkeligheden ganges med fremskrivningsfaktoren som i dette tilfælde er a = 1,12. Heraf følger Sætning 2.9 Skal man lægge en procentdel til en størrelse K 0 får man den nye værdi K 1 = K 0 a, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren.

26 26 2 Rentesregning r +1 1 Figur 2.1: Omregning mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor. a I udregninger, hvor man taler om vækst i procent eller skal se hvor mange procent større/mindre en given størrelse er i forhold til en anden regner man altså ikke direkte med vækstraten r, men med fremskrivningsfaktoren a. Man vil normalt i en given sammenhæng få opgivet vækstraten r. Ud fra denne skal man beregne fremskrivningsfaktoren a, før man regner videre. Hvis det resultat, man leder efter, er den procentvise vækst, får man også en fremskrivningsfaktor som resultat, så denne skal igen regnes om til en vækstrate (se figur 2.1). Her følger et eksempel på, hvorledes man vha. formlen ovenfor lægger en procentdel til en størrelse: Eksempel 2.10 Der skal lægges 25% moms på en vare til 399,96 kr. Hvor meget kommer varen til at koste? Her er vækstraten r = 25% = 0,25. Fremskrivningsfaktoren beregnes: a = 1 + r = 1 + 0,25 = 1,25. Varens pris er derfor 399,96 kr. 1,25 = 499,95 kr. Nu ses på, hvordan man udregner, hvor mange procent en størrelse afviger fra en anden: Eksempel 2.11 En vares pris falder fra 179,95 kr. til 139,95 kr. Hvor mange procent er prisen faldet? Det ses, at formlen K 1 = K 0 a kan omskrives til a = K 1 K 0. Herefter beregnes a = K 1 139,95 kr. = K 0 179,95 kr. = 0,7777. Da dette er en fremskrivningsfaktor beregner vi vækstraten således r = a 1 = 0, = 0,2223 = 22,23%. 4 I dette eksempel ser man igen, at det er vækstraten man taler om, men fremskrivningsfaktoren man regner med. Varens pris er altså faldet 22,23%. 4 Renteformlen I foregående afsnit er beskrevet, hvordan man lægger en procentdel til en given størrelse. Men det kan ske, at man skal lægge en procentdel til flere gange. Hvis man f.eks. sætter penge ind på en konto, der giver renter, kan det være interessant at vide, hvor mange penge der står efter 2, 3 eller flere år.

27 2.2 Procentvis vækst 27 Taleksempel Hvis man sætter kr. ind på en konto, der giver 2,5% i rente p.a., 5 hvor mange penge står der så efter 5 år? 5 pro anno, dvs. pr. år Bruger man sætning 2.9, ser man, at man skal gange de kr. med fremskrivningsfaktoren a = 1+2,5% = 1,025 for at finde beløbet efter 1 år. Det beløb man udregner skal man så igen gange med 1,025 for at finde beløbet efter 2 år osv. I alt skal man altså gange kr. med 1,025 fem gange: kr. 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025. Som man ser, skal man altså udregne kr. 1,025 5 = ,08 kr., så efter 5 år står der ,08 kr. på kontoen. Dette kan generaliseres til en formel, som kaldes renteformlen. Sætning 2.12 (Renteformlen) En størrelse K 0, der vokser med vækstraten r pr. termin, er efter n terminer vokset til K n = K 0 a n, hvor a = 1+r er fremskrivningsfaktoren. Formlen kan også skrives som K n = K 0 (1 + r ) n. Der findes flere forskellige spørgsmål, man kan få svar på ved at bruge renteformlen. Et par af dem gennemgås i følgende eksempler Eksempel 2.13 Hvis man sætter kr. ind på en bankkonto, hvor stor skal renten så være p.a. for at beløbet er steget til kr. på 10 år? I dette tilfælde kender man K 0 = kr., K 10 = kr. og n = 10. Indsættes disse tal i renteformlen fås K n = K 0 a n = a 10. Regner man videre på denne ligning, får man = a = a = a. a kan altså nu beregnes: a = = 1,0184. Da dette er en fremskrivningsfaktor, findes den tilsvarende vækstrate ved r = 1, = 0,0184 = 1,84%. For at beløbet vokser til det ønskede, skal renten altså være 1,84% p.a.

28 28 2 Rentesregning Eksempel 2.14 I en bestemt by har der gennem de sidste 20 år været en konstant vækst i indbyggertallet på 3% om året. Hvis der på nuværende tidspunkt bor mennesker i byen, hvor mange indbyggere var der så for 12 år siden? For at løse dette problem, kan man anvende renteformlen, hvor man sætter n = 12, idet man jo skal gå 12 år tilbage. Man har, at K 0 = , r = 3%, dvs. a = 1,03, samt at n = 12. Renteformlen giver da svaret K 12 = 27,541 1,03 12 = For 12 år siden havde byen altså indbyggere. Eksempel 2.15 I Danmark er der 5,6 mio. indbyggere. Vækstraten er på nuværende tidspunkt ca. 0,4% om året.[2] Hvis denne vækst holder sig konstant, hvor mange år går der så, før der er 6 mio. danskere? Regner man i mio. er K 0 = 5,6. Fremskrivningsfaktoren er a = 1 + 0,4% = 1,004 og K n = 6. n er derimod ukendt. De kendte størrelser indsættes i renteformlen, og man får K n = K 0 a n 6 = 5,6 1,004 n. 6 Her udnyttes, at ligningen a x = b har løsningen x = log(b) log(a). 6 = 5,6 1,004 n Denne ligning løses: 6 6 5,6 = 1,004n ( ) log 6 5,6 log(1,004) = n 17,3 = n Der går altså 17,3 år, før Danmarks befolkningstal overstiger 6 mio., hvis væksten holder sig konstant på 0,4%. 2.3 Forskellige tidsperioder I dette afsnit gennemgås, hvordan man omregner mellem fremskrivningsfaktorer (dvs. i princippet også vækstrater) for forskellige perioder. Taleksempel Hvis man starter med at se på en størrelse, der vokser med 0,5% pr. måned, hvordan finder man så ud af, hvor meget det svarer til om året? Renteformlen giver, at man for at fremskrive størrelsen K 0 én måned skal gange med fremskrivningsfaktoren a måned = 1 + 0,5% = 1,005.

29 2.3 Forskellige tidsperioder 29 Går man nu et år frem i tiden, svarer det til 12 måneder. Ifølge renteformlen skal man altså nu gange K 0 med a 12 måned = 1, Den årlige fremskrivningsfaktor er derfor givet ved a år = 1, = 1,0617. Dette svarer til vækstraten r år = 1, = 6,17%. En månedlig rente på 0,5% svarer således til en årlig rente på 6,17%. Generaliserer man ovenstående udregning, får man følgende Sætning 2.16 Hvis den årlige fremskrivningsfaktor betegnes med a år og den månedlige med a måned gælder a år = a 12 måned. Denne sætning kan sagtens udvides til også at gælde for omregninger mellem andre tidsperioder end måned og år, hvilket illustreres i eksemplerne nedenfor. Eksempel 2.17 Hvis en størrelse K 0 vokser med 4% om året, hvor mange procent vokser størrelsen så på 10 år? Den årlige fremskrivningsfaktor er a 1 år = 1 + 4% = 1,04. Herudfra beregnes fremskrivningsfaktoren for 10 år som a 10 år = a 10 1 år = 1,0410 = 1,4802. Denne fremskrivningsfaktor svarer til en vækstrate på r 10 år = 1, = 0,4802 = 48,02%. Hvis en størrelse vokser med 4% om året, vokser den altså med 48,02% på 10 år. Man kan også anvende sætning 2.16 til at omregne fra år til måned dvs. den modsatte vej: Eksempel 2.18 Hvis en bank giver 2,1% i rente p.a., hvor mange procent svarer det så til i månedlig rente? Først bemærkes, at der jo går 12 måneder på et år, så omvendt må 1 måned svare til 1 12 af et år. Herefter anvendes sætning 2.16 således: a måned = a 1 12 år. Indsætter man nu den årlige fremskrivningsfaktor a år = 1+2,1% = 1,021, får man a måned = 1, = 1, En årlig rente på 2,1% svarer således til en månedlig rente på 0,173%.

30 30 2 Rentesregning 2.4 Gennemsnitlig rente Tabel 2.1: Renten r i og fremskrivningsfaktoren a i på en konto over 3 år. År r i a i 1 2,7% 1, ,0% 1, ,5 % 1,015 I alle de foregående afsnit ses på en fremskrivning med en fast vækstrate. Hvis vækstraten forandrer sig undervejs, hvad kan man så sige om udviklingen? Taleksempel Man sætter 1000 kr. ind på en konto. Pengene får lov at stå i 3 år, og undervejs ændrer renten sig som vist i tabel 2.1. For at kunne bestemme, hvor mange penge, der står, efter de 3 år er gået, skal man kende de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Disse er beregnet i sidste kolonne i tabel 2.1. Nu kan det indestående beløb beregnes som K 3 = K 0 a 1 a 2 a 3 = 1000 kr. 1,027 1,030 1,015 = 1073,68 kr. (2.1) Hvis man i stedet havde fået en fast rente, hvilken størrelse skulle denne så have, for at der står det samme beløb på kontoen efter 6 år? Her er man altså ude efter at finde en gennemsnitlig vækstrate. For at svare på dette spørgsmål, kan man igen se på renteformlen. Hvis man kalder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for a, har man nemlig K 3 = K 0 a 3. Da dette skal give det samme resultat som ovenfor, nemlig at K 3 = 1073,68 kr., kan man ved at sammenligne med (2.1) konstatere, at der må gælde a 3 = a 1 a 2 a 3. Herudfra ses, at a = 3 a 1 a 2 a 3. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor bliver altså i dette tilfælde a = 3 1,027 1,030 1,015 = 1, Den tilsvarende gennemsnitlige vækstrate bliver så r = a 1 = 1, = 2,398%. Mere generelt kan man sige, at der gælder følgende Sætning 2.19 (Gennemsnitlig rente) Hvis en størrelse vokser gennem n terminer med fremskrivningsfaktorerne a 1, a 2,..., a n, er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor pr. termin givet ved a = n a 1 a 2 a n. Den gennemsnitlige vækstrate er derfor givet ved r = (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r n ) 1.

31 2.4 Gennemsnitlig rente 31 Eksempel 2.20 Indbyggertallet i en by vokser med en varierende procentdel over en 5- års periode. Væksten ses i tabel 2.2. At r 3 er negativ, betyder blot, at indbyggertallet falder i det pågældende år. For at finde frem til den gennemsnitlige vækst i procent i løbet af de 5 år, beregnes de 5 fremskrivningsfaktorer (se tabel 2.2). Nu kan den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor findes: Tabel 2.2: Vækstrate (r i ) og fremskrivningsfaktor (a i ) for indbyggertallet i en by i år i. i r i a i 1 2,2% 1, ,1% 1, ,2% 0, ,2% 1, ,0% 1,060 a = 5 1,022 1,031 0,988 1,042 1,060 = 1, Den gennemsnitlige vækstrate i løbet af de 5 år er derfor r = 1, = 0,02832 = 2,832%.

32

33 3 Eksponentielle funktioner En eksponentiel funktion eller eksponentialfunktion defineres på følgende måde 1 Definition 3.1 En eksponentiel funktion er en funktion af typen 1 I nogle beskrivelser er det kun funktioner af typen f (x) = a x, der kaldes eksponentielle funktioner, mens f (x) = b a x kaldes en eksponentiel udvikling. Her bruges»eksponentiel funktion«dog i begge tilfælde. f (x) = b a x, hvor a og b er to positive tal. Tallet a i definition 3.1 kaldes fremskrivningsfaktoren 2 og b kaldes begyndelsesværdien. 2 Dette svarer fuldstændigt til fremskrivningsfaktoren i renteformlen K n = K 0 a n. At b kaldes begyndelsesværdien skyldes, at grafen for funktionen skærer andenaksen i punktet (0,b). Dette følger af, at f (0) = b a 0 = b 1 = b. g (2) f Et eksempel på grafer for eksponentielle funktioner kan ses på figur 3.1. For eksponentielle funktioner gælder der specielt, at deres grafer ikke skærer førsteaksen. Det skyldes, at funktionsværdierne ikke kan blive negative (eller 0), idet a x altid er positivt, så længe a er et positivt tal uanset værdien af x. 1 1 (1) 3.1 Eksponentiel vækst Hvis man sammenligner forskriften for en eksponentiel funktion f (x) = b a x med renteformlen K n = K 0 a n, kan man se, at der er tale om samme type vækst. Figur 3.1: Graferne for de to eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,4 x og g (x) = 4 0,8 x. y 0 a 3 (2) Man kan derfor forvente, at eksponentielle funktioner vokser på den måde, at man ganger med fremskrivningsfaktoren a, for hver gang x stiger med 1. Dette er illustreret på figur 3.2. Generelt gælder følgende sætning y 0 a 2 y 0 a y (1) 33 Figur 3.2: Vækst af en eksponentiel funktion.

34 34 3 Eksponentielle funktioner Sætning 3.2 For en eksponentiel funktion gælder, at hver gang x vokser med x, ganges funktionsværdien med a x. Når x vokser med en fast værdi, vokser funktionsværdien altså med en fast procentdel. Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, så vokser funktionsværdien fra y 1 = f (x 1 ) = b a x 1 til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = b a x 1+ x = b a x1 a x = y 1 a x. Tabel 3.1: Vækst af f (x) = 8 2 x. Den nye funktionsværdi y 2 er altså netop y 1 a x. Sætningen er hermed bevist. Eksempel 3.3 I tabel 3.1 ses, hvordan en eksponentiel funktion vokser x y Her ses, at for funktionen f (x) = 8 2 x gælder der, at hver gang, x vokser med 3, ganges funktionsværdien med 2 3 = Hver gang x stiger med 1, vil funktionsværdien blive ganget med a 1 = a. Størrelsen af a afgør derfor, om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende, og man kan derfor argumentere for følgende 3 3 Argumentet er, at ganger man et hvilket som helst tal med et andet tal, som er større end 1, så vil resultatet blive større end det oprindelige tal. Hvis man omvendt ganger med et tal, som ligger mellem 0 og 1, får man et resultat, som er mindre end det oprindelige. Sætning 3.4 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder: 1) Hvis a > 1 er funktionen voksende. 2) Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Da en eksponentiel funktion er udtryk for procentvis vækst, giver det mening at definere vækstraten, som er r = a 1. Dette tal angives ofte i procent. For vækstraten gælder følgende, som følger af sætning 3.4. Sætning 3.5 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x defineres vækstraten Der gælder så, at r = a 1. 1) Hvis r > 0 er funktionen voksende. 2) Hvis r < 0 er funktionen aftagende.

35 3.2 Beregning af forskriften 35 Når man ved, at procentvis vækst beskrives vha. eksponentielle funktioner, kan man udnytte dette til at opstille matematiske modeller for procentvis vækst. Eksempel 3.6 I Honduras bor der 8,6 mio. mennesker i 2014, og befolkningsvæksten er på 1,7%.[4] Honduras befolkning kan altså beskrives ved en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi 8,6 og vækstrate 1,7%. Da vækstraten er 1,7% er fremskrivningsfaktoren a = 1 + 1,7% = 1 + 0,017 = 1,017. Befolkningstallet er altså givet ved funktionen f (x) = 8,6 1,017 x, hvor x er antal år efter 2014, og f (x) er befolkningstallet i mio. Eksempel 3.7 En bakteriekultur vokser eksponentielt, sådan at antallet af bakterier kan beskrives ved funktionen B(t) = 364 1,72 t, hvor t er tiden i timer, og B(t) er antallet af bakterier. Ud fra forskriften kan man udlede følgende: Til tiden t = 0 er der 364 bakterier. Fremskrivningsfaktoren er 1,72, hvilket vil sige at vækstraten er r = 1,72 1 = 0,72 = 72%. Antallet af bakterier vokser altså med 72% i timen. (2) 3.2 Beregning af forskriften Q(x 2, y 2 ) Hvis man har to punkter på grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x, kan man bestemme konstanterne a og b i forskriften (se figur 3.3). P(x 1, y 1 ) Sætning 3.8 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(x 1, y 1 ) og Q(x 2, y 2 ) er a = x 2 x 1 y2 og b = y 1 y 1 a x. 1 (1) Figur 3.3: Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P og Q. Bevis Hvis P(x 1, y 1 ) ligger på grafen for f (x) = b a x, gælder der, at Da Q(x 2, y 2 ) også ligger på grafen for f, er y 1 = b a x 1. (3.1) y 2 = b a x 2. (3.2)

36 36 3 Eksponentielle funktioner Dividerer man nu ligning (3.2) med ligning (3.1) får man y 2 = b ax2 y 1 b a x 1 y 2 = ax2 y 1 a x 1 y 2 = a x 2 x 1 y 1 og formlen for a er så bevist. x 2 x 1 y2 y 1 = a, For at bevise formlen for b isolerer man b i ligning (3.1) og får y 1 = b a x 1 Formlen for b er dermed også bevist. y 1 a x 1 = b. Eksempel 3.9 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(2, 12) og Q(5, 96) er x 1 = 2, y 1 = 12, x 2 = 5 og y 2 = 96. Benytter man nu formlerne fra sætning 3.8 fås a = x 2 x 1 y2 96 = 5 2 y 1 12 = 3 8 = 2, b = y 1 a x = = 12 4 = 3. Funktionens forskrift er så f (x) = 3 2 x. 3.3 Fordoblings- og halveringskonstant Funktionsværdien af en eksponentiel funktion vokser ifølge sætning 3.2 med en fast procentdel, når x vokser med et fast tal. Hvis en eksponentiel funktion er voksende, giver det derfor mening at undersøge, hvor meget x skal vokse, for at funktionsværdien vokser med 100% dvs. fordobles. Dette tal kalder man fordoblingskonstanten T 2. 4 Idet en fordobling (som er det samme som at lægge 100% til) svarer til at gange med 2. 5 Husk, at ligningen a x = c har løsningen x = log(c) log(a). Ifølge sætning 3.2 ganges funktionsværdien med a x, når x stiger med x. For at bestemme T 2 skal man derfor finde ud af, hvornår a x = 2. 4 T 2 er altså løsningen til ligningen Løsningen til denne ligning er 5 a T 2 = 2. T 2 = log(2) log(a).

37 3.4 Eksponentiel regression 37 (2) På figur 3.4 er fordoblingskonstanten illustreret. En vigtig pointe er her, at funktionsværdien fordobles hver gang man lægger T 2 til x. At funktionsværdien fordobles, hver gang man går et bestemt stykke ud ad førsteaksen, gælder kun for eksponentielle funktioner. For aftagende eksponentielle funktioner giver det i øvrigt ikke så meget mening at tale om en fordobling; her bestemmer man i stedet en halveringskonstant. Halveringskonstanten T 1 defineres helt analogt til fordoblingskonstanten, sådan at der gælder 2 følgende. 2 y 0 y 0 T 2 (1) x 0 x 0 + T 2 Sætning 3.10 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder Figur 3.4: Når man lægger T 2 til x 0, fordobles funktionsværdien. 1) Hvis f er voksende er fordoblingskonstanten T 2 = log(2) 2) Hvis f er aftagende er halveringskonstanten T 1 2 log(a). = log( ) 1 2 log(a). Eksempel 3.11 Den eksponentielle funktion f (x) = 3 1,7 x har fremskrivningsfaktoren a = 1,7. Fordoblingskonstanten er derfor T 2 = log(2) log(a) = log(2) log(1,7) = 1,31. Dvs. at hver gang x stiger med 1,31 fordobles funktionsværdien. En stigning fra x = 5 til x = 6,31 vil således give en fordobling af funktionsværdien, og det vil en stigning fra x = 100 til x = 101,31 også. 3.4 Eksponentiel regression Hvis man har en række målepunkter, der tilnærmelsesvist følger en eksponentiel udvikling, er det muligt at bestemme den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest muligt på alle punkterne, vha. en metode, der kaldes eksponentiel regression. Metoden er ligesom lineær regression indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer. Man indtaster her sine målepunkter, og får programmet til at beregne forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest på alle målepunkterne. Ligningen på figur 3.5 er fundet på denne måde. 10 (2) y = 5,37 1,68 x 1 (1) Figur 3.5: En eksponentiel udvikling fundet vha. eksponentiel regression.

38

39 4 Logaritmer 4.1 Titalslogaritmen Titalslogaritmen (log) er en funktion som bl.a. anvendes, når man skal løse ligninger af typen 10 x = k, hvor k er et tal. Funktionen log er defineret på følgende måde: Definition 4.1 Tallet log(k) er det tal, som løser ligningen 10 x = k. Ud fra definition 4.1 kan man bl.a. udlede, at log(10) = 1 da 10 1 = 10 log(100) = 2 da 10 2 = 100 log(1000) = 3 da 10 3 = 1000 (2). y = x 2 log(10 n ) = n 49 På samme måde som x virker modsat x 2, virker log(x) modsat 10 x. Hvis man skal løse ligningen x 2 = 49 får man som bekendt løsningen x = 49. Tallet 49 kan bestemmes grafisk ved at se på grafen for y = x 2. Her finder man 49 på andenaksen, og finder dernæst 49 på førsteaksen. 5 2 = = 7 (1) Skal man løse 10 x = 60, kan man benytte samme fremgangsmåde. Her tegner man blot grafen for 10 x, finder 60 på andenaksen og finder så log(60) på førsteaksen. Det kan her aflæses, at log(60) = 1,78 (se figur 4.1). (a) Her aflæses 5 2 og 49. (2) Det er selvfølgelig besværligt at skulle aflæse, hver gang man skal løse en ligning, og derfor er det heldigt, at lommeregnere er udstyret med en log-knap. Eksempel 4.2 Hvis man skal løse ligningen 10 x = 6, gøres følgende: 10 x = 6 x = log(6) x = 0, y = 10 x (1) 1 log(60) = 1,78 Tallet log(6) regnes ud på lommeregneren. 39 (b) Her aflæses log(60). Figur 4.1: På samme måde som x virker modsat x 2, virker log(x) modsat 10 x.

40 40 4 Logaritmer Nu er det jo ikke specielt interessant kun at kunne løse ligninger, hvori der indgår 10 x hvad nu, hvis der stod 2 x eller 7 x? For at løse disse ligninger bruger man følgende sætning, som bevises i afsnit 4.1 nedenfor. Sætning 4.3 Ligningen a x = k har løsningen x = log(k) log(a). Eksempel 4.4 Ligningen 4 x = 23 løses på følgende måde 4 x = 23 x = log(23) log(4) x = 2,262. Regneregler for titalslogaritmen 1 Dette skyldes, at f.eks. log(10 2 ) er løsning til ligningen 10 x = 10 2, som har løsningen x = 2. En lignende udregning kan man lave for alle positive tal. Da titalslogaritmen virker modsat 10 x gælder der, at 1 log(10 x ) = x og 10 log(x) = x. Det kan udnyttes til at vise tre regneregler: Sætning 4.5 For titalslogaritmen gælder følgende: 1) log(a b) = log(a) + log(b). 2) log ( a b ) = log(a) log(b). 3) log(a r ) = r log(a). 2 I beviset udnytter man desuden, at 1) 10 n 10 m = 10 m+n, 10 2) n 10 m = 10 n m og 3) (10 n ) m = 10 n m. Bevis For at bevise de tre regneregler udnyttes, at a = 10 log(a) og b = 10 log(b). 2 1) For log(a b) gælder, at log(a b) = log (10 log(a) 10 log(b)) ( = log 10 log(a)+log(b)) = log(a) + log(b). 2) For log ( a b ) gælder, at ( ( a ) log = log b 10 log(a) 10 log(b) ) ( = log 10 log(a) log(b)) = log(a) log(b). 3) For log(a r ) gælder, at (( log(a r ) = log 10 log(a)) r ) ( = log 10 r log(a)) = r log(a). Hermed er sætningen bevist.