Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik (DM11) & Diskret Matematik med Anvendelser (DM72)

Transkript

1 Gamle eksamensopgaver Diskret Matematik (DM11) & Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner er tilladt. De enkelte opgavers vægt af en fuld besvarelse er angivet i procent. Med mindre andet eksplicit er angivet, må man gerne referere til resultater fra lærebogen. Dette gælder også de opgaver, der har været stillet på ugesedlerne. Specielt må man, med mindre andet eksplicit er angivet, gerne begrunde en påstand med at henvise til, at det umiddelbart følger fra et resultat i lærebogen, eller én af de opgaver, der har været stillet på ugesedlerne (hvis dette altså er sandt!). Henvisninger til andre bøger (ud over lærebogen) om diskret matematik accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål! NB: Pensum for DM11 var ikke det samme som det nuværende DM72 kursus. Pga. dette vil du derfor komme ud for flere af de gamle DM11-opgaver, som du ikke kan lave. Husk at begrunde alle dine påstande!

2 : DM11 eksamen juni Opgave 1 (15 %) [Chinese Remainder Theorem] Compute an integer x in {0, 1,..., 839} such that the following holds true: Opgave 2 (20 %) x 1 mod 5 x 3 mod 8 x 2 mod 21 [Group theory] Let (G, ) be an abelian group with finitely many elements. Define M G to be the set of those elements x G having order at most 2, i.e. x x = 1. i) Show that (M, ) is a subgroup of G. ii) If M G prove that x = 1. x G\M Define u as the product of all elements in G, i.e. u := x G x. iii) Show that u M holds true. iv) Suppose M = 2, i.e. M = {1, a} for some element a G, a 1. Show that a = u holds true. v) Suppose M = 3, i.e. M = {1, a, b} for some elements a, b G, a 1, b 1, a b. Show that 1 = u holds true Opgave 3 (10 %) [Recurrence Relations] Let f : N R be given by f(n) := 3 2 n 8 n for all n N (i.e. n 1). a) Compute the initial values f(1) and f(2). b) Show that f satisfies a recurrence relation of the form Compute c 1 and c 2. f(n) = c 1 f(n 1) + c 2 f(n 2). 2

3 b) G er en vej over n knuder, d.v.s. V := {1,..., n}, E := {(i, i + 1) 1 i n 1}. Grafen altså er n 1 n Opgave 4 (20 %) [Counting] For n N = {1, 2, 3,...} let B n be the set of all strings over {0, 1} having length n, i.e. B n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i {0, 1}}. c) Grafen G givet ved a) How many words over {0, 1} exist that have a length at least 1 and at most n, i.e. what is the cardinality of the set n B i? b) A palindrome is a word which reads the same forward and backward: i=1 x = (x 1, x 2,..., x n ) = (x n,..., x 2, x 1 ) How many palindromes are there in B n for n N? Begrund dine svar! c) How many words exist in B n which do not contain two consecutive zeros at some position? Hints: for b): consider an even n and an odd n separately. for c): write down a recurrence relation for the searched number. Solve this relation Opgave 5 (15 %) a) Suppose there are two colleges A and B. College A contains 50 % females and college B contains 25 % females. In an experiment we select one of the colleges at random; then we select 3 persons (with repetition) out of the chosen college. What is the probability that college A was chosen if the outcome of the experiment is (male, female, female)? b) Let A, B be two events over a discrete sample space S. Suppose the probability of A to be P r(a) = 0.2 and the probability of A B to be P r(a B) = 0.8. What is the probability of B if we assume A and B to be independent? 22 3

4 Opgave 6 (20 %) [Expectation] Suppose you are a trader and have 5 customers; three of them are located in city A and two of them in city B. The distance between A and B is 100 kilometers. You have to visit daily one of your customers; that customer is chosen every morning by random; all are equally likely. In the evening you have to return to your home location. a) Assume your home location is on the line between A and B, say x kilometers away from A. What is the expected distance you then have to travel every day? b) What is the optimal choice for x in part a) in order to minimize the expected travel distance? c) Suppose the cost of a daily trip is the square of the distance traveled during that day. What is the optimal choice for x in order to minimize the expected cost? : DM11 eksamen juni Opgave 1 (10 %) Betragt de to propositioner A og B med og A x N y R : n x k = y B x R y N : (x y y 2 = 0). a) Skriv den logiske negation af både A og B. For B brug ikke den logiske implikation, det vil sige udtryk B kun med, og som logiske operationer. b) Hvilke(n) af propositionerne A eller A og B eller B er sande? Begrund dine svar! Opgave 2 (10 %) Bevis, at der gælder for hele tal n (6 n + 1) = n (3 n + 4) Opgave 3 (15 %) Bevis, at det for alle n N gælder n 2 n 3 k = 2 n 1 (3 n+1 1). k= Opgave 4 (15 %) Efter Klaus har undervist i diskret matematik 30 år, synes alle, at det er nok. Derfor vil Klaus stoppe og fordele alle sine matematiske bøger mellem de tre bedste studerende i kurset DM72. Han har s 4 bøger. Den bedste studerende skal mindst have to bøger, både den anden og den tredje bedste skal mindst have en bog. Hvor mange forskellige muligheder eksisterer for at fordele bøgerne mellem de tre? Angiv resultatet i afhængighed af s. Hint: Benyt principiet af inklusion-eksklusion Opgave 5 (20 %) To spillere, A og B, spiller det følgende spil: Spiller A kaster en ærlig terning fire gange. Hvis terningen alle fire gange viser et lige tal, så får A 20 kroner af B. Forekommer præcis tre lige tal, så får A 10 kroner af B. Ellers skal A betale 4 kroner til B. a) Beregn forventningsværdien af gevinsten for A. b) Hvordan skal man forandre det beløb, A skal betale til B i hvert parti, for at få et rimeligt spil (d.v.s. et spil for hvilket forventningsværdien af A s gevinst er 0)? c) Hvordan skal man forandre beløbet, A får for fire lige tal, for at få et rimeligt spil? Opgave 6 (15 %) Lad G = (V, E) betegne en ikke-orienteret graf (uden loops og uden multiple kanter). En automorfi af G er en bijektiv afbildning f : V V, således at i, j V : (i, j) E (f(i), f(j)) E. Bestem alle automorfier for de følgende grafer: a) G = (V, E) med V := {1, 2, 3}, E := {(2, 3)}. Grafen altså er

5 a) Lad f : N N være en funktion for hvilken det gælder, at f er injektiv og f 2 : N N er surjektiv. Så er funktionen f 3 : N N bijektiv. Husk: f 2 er defineret som kompositionen f f; tilsvarende for f 3. b) For alle a, b, c N gælder: Hvis a og b er inbyrdes primiske ( relatively prime ), så eksisterer s, t N som opfylder c = s a + t b c) Der eksisterer en lineær rekursionsligning af formen som har løsningen f n = 2 f n 1 + c f n 2, c R f n = 3 2 n + 3 n. d) Lad p være et primtal. Så eksisterer der for alle x {1,..., p 3 1} en multiplikativ invers til x modulo p Opgave 2 (15 %) For naturlige tal x, y, z betragter vi de følgende predikater: U(x) : x er ulige L(x) : x er lige P (x) : x er et primtal S(x, y, z) : x + y = z M(x, y, z) : x y = z a) Nedenfor fortolkes alle kvantorer over de naturlige tal. Hvilke af de følgende propositioner er sande, hvilke er falske? Begrund dine svar. i) x y z ({M(x, y, z) L(x) L(z)} = U(y)). ii) x y z (S(x, 2, y) S(y, 2, z) P (x) P (y) P (z)). iii) x y ({S(x, 2, y) P (x) P (y)} = U(y)). b) Angiv negationerne af de tre propositioner i a). Her må du ikke benytte implikationen som operation, d.v.s. du skal udtrykke negationerne kun ved hjælpen af de logiske operatorer,, og kvantorerne og Opgave 3 (20 %) a) Angiv et helt tal x i {0, 1,..., 3849} som opfylder de fire betingelser x 1 mod 2 x 3 mod 7 x 0 mod 11 x 2 mod 25 b) Angiv et andet helt tal y N, y x som også opfylder de fire betingelser i a). Hint til a): Det er ikke nok kun at angive et tal x og bevise at x er en løsning. Du skal bruge den Kinesiske restklasse sætning! Opgave 4 (20 %) a) Lad G := {0, a, b, c} være en gruppe med fire elementer. Vi skriver gruppeoperationen som + og lader 0 betegne det neutrale element i G. Bevis at (G, +) er en abelsk gruppe, det vil sige bevis at x + y = y + x gælder for alle elementer x, y G. b) Lad H := {0, a, b, c, d} være en gruppe med fem elementer. Vi skriver gruppeoperationen som + og lader 0 betegne det neutrale element i H. Bevis at (H, +) er en abelsk gruppe, det vil sige bevis at x + y = y + x gælder for alle elementer x, y H. Hint: Vi ved fra kursus DM 11 at det neutrale element 0 og det inverse element x af x G begge er entydige. Vi ved også at for alle x G gælder 0 + x = x + 0 = x og x + ( x) = ( x) + x = 0 Brug nu et indirekte bevis Opgave 5 (10 %) Lad A := {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 } være en mængde af otte forskellige elementer, som alle tilhører {11, 12,..., 30}. Bevis at der er mindst to mængder S 1 A og S 2 A, så S 1 og S 2 og S 1, S 2 opfylder a = a. a S 1 a S 2 5

6 Opgave 6 (15 %) Det danske politi har udviklet en test for at finde ud af om en chauffør er fuld. Testen opfylder følgende betingelser: i) testen er positiv for 95% af chauffører som er fulde; ii) testen er negativ for 97% af chauffører som er ikke fulde. Hvis vi antager at 18% af alle kontrollerede chauffører i Danmark er fulde, hvad er da sandsynligheden for, at en chauffør som har en positiv test er fuld? Opgave 7 (15 %) Her vil vi bruge en simpel model for at forudsige vejret. Lad d n være sandsynligheden at den n-te dag i året er tør. Derfor er 1 d n sandsynligheden at dag n er våd. Vi antager at sandsynligheden for at vejret ændrer sig fra en dag til den næste er 1 4. a) Udtryk sandsynligheden d n ved hjælp af d n 1 (når n 2). b) Brug a) til at udtrykke d n ved hjælp af d 1. c) Lad d 1 [0, 1] betegne sandsynligheden for at dag 1 er tør. Hvad er lim n d n? Fortolk dine svar! Hint til c): ( 1 2 )k = 2. k= : DM11 eksamen januar Opgave 1 (10 %) Betragt de to propositioner A og B med og A n N k R : n i=1 n+1 i = k + j j=2 B n N S {1, 2,..., n} : 1 / S S 2. a) Skriv den logiske negation af både A og B. b) Hvilke(n) af propositionerne A, A, B og B er sande? Begrund dine svar! Opgave 5 (10 %) a) Klaus deltager i en skriftlig eksamen på SDU. Opgaverne har multiple-choice formen med m N, m 2 svarmuligheder for hver opgave. Klaus kender det korrekte svar for en opgave med sandsynligheden p [0, 1]. Desuden gælder: - Hvis han kender det korrekte svar, så giver han det. - Hvis han ikke kender det korrekte svar på en opgave, så gætter han bare på, hvad det korrekte svar er. I denne situation vælger han en af de m muligheder med sandsynlighed 1 m. Beregn i afhægighed af p og m sandsynligheden for, at Klaus virkeligt kendte det korrekte svar når han har givet det korrekte svar. b) Find en tupel med konkrete værdier (p, m) [0, 1] N, sådan at sandsynligheden beregnet i del a) bliver Opgave 6 (20 %) Frederik og Henrik spiller med hinanden spillet Hvem vil blive kongen. I spillet benyttes en terning med seks sider; når terningen kastes, forekommer hver side med sandsynlighed 1. Blandt de seks sider viser fire et 1-tal og de andre to et 6 2-tal. a) Spillet foregår efter de følgende regler: Frederik betaler 3 kroner i indsats til Henrik. Derefter kaster Frederik terningen fem gange. Hver gang terningen viser et 1-tal skal Henrik betale 1 krone tilbage til Frederik. Den, som til sidst har en positiv gevinst, bliver konge. Beregn forventningsværdien for Frederiks gevinst. b) For hvilket startbeløb, som Frederik betaler til Henrik, bliver spillet rimeligt, hvis Henrik stadig betaler 1 krone tilbage for hvert 1-tal, d.v.s. for hvilket startbeløb er forventningsværdien i a) lig med 0? c) Hvis nu startbeløbet skal være 3 kroner, hvor meget skal Henrik betale tilbage, hver gang Frederik kaster et 1-tal, for at spillet er rimeligt? : DM72 eksamen august Opgave 1 (20 %) Hvilke af de følgende påstande a) - d) er sande, hvilke er falske. Begrund alle dine svar. 19

7 Opgave 2 (15 %) Bevis, at det for alle n N gælder n Opgave 3 (15 %) 1 k k! n n. Betragt mængden W 5 af alle strenge, som består af præcis fem af de otte bogstaver T, Y, S, K, L, A, N, D. Hvert element i W 5 nå højest indeholde hvert bogstav én gang. a) Hvor mange elementer har W 5? b) Hvor mange strenge i W 5 indeholder fra venstre til højre delstrengen TYK? Her er det ikke nødvendigt, at delstrengen forekommer på tre efterfølgende positioner, d.v.s. at for eksempel strengen STYLK er tilladt. c) Hvor mange strenge i W 5 indeholder mindst en af strengene TYK, LYS eller AND som delstreng (hvor delstreng har den samme betydning som i del b))? Opgave 4 (20 %) En permutation Π : {1,..., n} {1,..., n} kaldes en involution, hvis og kun hvis der gælder Π Π = id, det vil sige i {1,..., n} Π(Π(i)) = i. Lad I(n) betegne antallet af involutioner for n elementer, hvor n N. a) Beregn I(1) og I(2). b) Find alle permutationer af {1, 2, 3}, som ikke er involutioner. c) Bevis, at for n 3 gælder I(n) = I(n 1) + (n 1) I(n 2). Her må du gerne benytte et kombinatorisk argument, d.v.s. det er ikke nødvendigt at gennemføre et induktionsbevis Opgave 2 (10 %) Bevis, at der gælder for hele tal n 1 Brug induktion. n k k! = (n + 1)! Opgave 3 (25 %) Betragt mængden F af alle funktioner f : R R som kan skrives Her betegner a, b reelle tal og a 0. f(x) := a x + b x R. Definer den følgende operation på F : For f, g F med f(x) := a x + b og g(x) := c x + d, a 0, c 0 definerer vi (f g)(x) := a c x + a d + b. a) Bevis at hvis f, g F, så gælder også f g F. b) Find et element id F så det gælder at f id = id f = f for alle f F. c) Bevis at for ethvert f F eksisterer der et element f F så at f f = id. Her betegner id elementet du har fundet i del b). d) Bevis (f g) h = f (g h) f, g, h F. Delene a) - d) beviser at (F, ) er en gruppe. e) Er (F, ) en abelsk gruppe? Begrund dit svar Opgave 4 (10 %) En test har tre sektioner med fire spørgsmål i hver sektion. Instruktionerne til testen siger at man skal svare på to spørgsmål fra to vilkårlige sektioner og på et spørgsmål fra den tredje sektion. Hvor mange forskellige muligheder kan en student vælge at besvare spørgsmålene på? 7

8 Opgave 5 (20 %) a) Hvor mange naturlige tal i A := {1, 2,..., 10000} er hverken et multiplum af 3 eller et multiplum af 5? b) Antag at vi tager et tilfældigt element (uniform fordeling) ud af mængden A som var defineret i a). Hvad er sandsynligheden for at tage et element som har mindst et af sine cifre lige med 1? Opgave 6 (25 %) Betragt den følgende sætning: Jeg kan ikke lide datalogi Antag at vi tager et ord tilfældigt (uniform fordeling på mængden af ord i sætningen) fra sætningen. Antag at vi derefter tager 2 bogstaver fra dette ord tilfældigt og uafhængigt (uniform fordeling på bogstaver i ordet vi har taget). Her er gentagelse tilladt. a) Angiv forventningsværdien af længden af ordet vi tager i det første skridt af eksperimentet. Hvad er variansen af den stokastiske variabel som betegner denne længde? b) Hvad er sandsynligheden at tage mindst en vokal? c) Hvad er forventningsværdien af antal vokaler vi tager i alt? Husk at mængden af vokaler er defineret som {a,e,i,o,u,y,æ,ø, å} : DM11 eksamen juni Opgave 1 (20 %) a) Bevis at, hvis m x m y (mod n) for nogle positive heltal x, y, m, and n, da er m x+k m y+k (mod n) for alle heltal k 0. b) Benyt Fermats lille sætning til at beregne de to værdier: 5 74 (mod 7) 5 74 (mod 13) c) Benyt dine resultater fra del (b) og den kinesiske restklassesætning til at finde 5 74 (mod 91). (Hvis du ikke kunne løse del (b), gæt to forskellige værdier og løs del (c) med dem.) 8 Hint for c) og d): Du må benytte uden bevis, at funktionen f(q) := q k, hvor q < 1 er differentiabel og har den afledede f (q) = k q k Opgave 6 (15 %) a) For V := {2, 3, 4,..., 10} definerer vi en ikke-orienteret graf G := (V, E) som følger: (i, j) er en kant i E, hvis og kun hvis i j og et af de to tal i, j går op i det andet. Tegn grafen G. Er G todelt? b) Bevis den følgende påstand: I enhver ikke-orienteret graf med n 2 knuder findes mindst to knuder som har den samme grad (d.v.s. det samme antal naboer) : DM72 eksamen juni Opgave 1 (20 %) Hvilke af de følgende påstande a) - d) er sande, hvilke er falske. Begrund alle dine svar. a) Lad m 1, m 2 N være to naturlige tal som ikke er relatively prime, d.v.s. gcd(m 1, m 2 ) > 1. Så gælder det for alle par (a 1, a 2 ) med 0 a 1 < m 1, 0 a 2 < m 2, at systemet ikke har nogen løsning x N. x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2 b) Lad A := {(n, m) n, m N og n m er lige}. Der eksisterer en bijektiv funktion f : A N. c) Betragt S := {1,..., 10} sammen med den uniforme sandsynligheds-fordeling. Lad X være en stokastisk variabel (m.h.t. S og den uniforme fordeling) med E[X] 0. Så eksisterer en stokastisk variabel Y (m.h.t. S og den uniforme fordeling) som opfylder d) E[X] E[Y ] = 1 { ( n ) } n N : j er et primtal { n > 2 x, y, z N x n + y n z n } j=1 17 k=0

9 og x, y Z g(x, y) := x + y. Undersøg de fire funktioner f, g, f g og g f med hensyn til, hvilke er injektive, hvilke er surjektive og hvilke er bijektive. b) Findes der en funktion h : Z N således at h h : Z N er bijektiv? Begrund dit svar. Hint: Betragt begrænsningen af h til argumenter i N Opgave 3 (15 %) Bevis, at for alle n N gælder 2n 1 ( 1) j 1 j 2 = n (2n 1). j= Opgave 4 (15 %) Bestem alle hele tal x Z, så at der gælder: Opgave 5 (20 %) x 1 mod 20 x 2 mod 27 I undervisningslokalerne på Syddansk Universitet benyttes en speciel type neonrør. Producenten af rørene garanterer det følgende: Sandsynligheden for, at et rør stadigvæk virker efter t år er givet ved ( 1 2) t Opgave 2 (20 %) I dette problem betragter vi en mængde V, der er defineret som alle tripler (1, a 1, a 2 ) med a 1, a 2 {0, 1}. a) Efterfølgende definerer vi tre operationer 1, 2, 3 på mængden V. For hvilke af disse operationer i, i {1, 2, 3} vil (V, i ) være en gruppe? Bevis i hvert tilfælde hvilke love, som er nødvendige for at være en gruppe, der er opfyldt og hvilke love der ikke er opfyldt. I alle tre efterfølgende definitioner forstårs addition + som addition modulo 2, d.v.s = 0. i) (1, a 1, a 2 ) 1 (1, b 1, b 2 ) := (1, a 1 + b 2, a 2 + b 1 ); ii) (1, a 1, a 2 ) 2 (1, b 1, b 2 ) := (1, a 1 + b 1 + 1, a 2 + b 2 + 1); iii) (1, a 1, a 2 ) 3 (1, b 1, b 2 ) := (1, a 1 + b 1, a 2 + b 2 + a 1 b 1 ). b) Betragt de i {1, 2, 3} i del a), for hvilke (V, i ) er en gruppe. Find for alle disse i et element x med maksimal orden i (V, i ) og beregn alle sideklasser af gruppen (V, i ) med hensyn til undergruppen som er frembragt af x Opgave 3 (20 %) Lad n > 1 være et naturligt tal. Vi betragter et skakbræt med n rækker og n søjler. Rækkerne bliver numereret fra bunden mod toppen; søjlerne bliver numereret fra venstre mod højre. Se figuren. i = n a) Beregn for alle t {1, 2, 3} sandsynligheden for, at et rør går i stykker i løbet af år t. b) Beregn sandsynligheden for, at et rør går i stykker i løbet af år t for et vilkårligt t N. i = 3 c) Beregn forventningsværdien af den stokastiske variabel, som angiver det år t i hvilket et rør går i stykker. i = 2 d) Antag, at der i et undervisningslokale hænger tre neonrør af den ovenævnte type. Alle tre arbejder uafhængigt af hinanden. Efter hvor mange år kan vi forvente, at den første af de tre går i stykker? i = 1 j = 1 j = 2 j = 3 j = n 16 9

10 En brik er placeret på feltet med koordinaterne (1, 1) og skal bevæges til felt (n, n). Der er tre forskellige tilladte træk: i) at bevæge brikken en række mod toppen, d.v.s. fra position (i, j) til position (i + 1, j), hvor i < n; ii) at bevæge brikken en søjle mod højre, d.v.s. fra position (i, j) til position (i, j + 1), hvor j < n; iii) at bevæge brikken et diagonalt skridt, d.v.s. fra position (i, j) til position (i + 1, j + 1), hvor i < n, j < n. a) Beregn for n = 4 antallet af forskellige stier man har for at bevæge brikken fra (1, 1) til (4, 4). Kun de fornævnte regler er tillædt. b) Hvad er, for et vilkårligt n N, n > 1, det minimale og det maksimale antal skridt for at bevæge brikken fra (1, 1) til (n, n)? c) Antag at vi vil benytte præcist k diagonale skridt for at bevæge brikken fra (1, 1) til (n, n) (her hænger værdien k selvfølgeligt sammen med resultatet du har fundet i del b)). Hvor mange muligheder er der? Angiv dit resultat som funktion af n og k. d) Benyt del b) og c) for at bevise, at antallet af forskellige stier for at bevæge brikken fra (1, 1) til (n, n) er n 1 ( ) n 1 + j n 1 j j= Opgave 4 (15 %) ( 2 j Betragt den endelige mængde A := {a, b, c, d, e, f, g, h}. Hvor mange permutationer af elementerne i A eksisterer, hvis vi kræver, at ingen af mønstrene ab, cd, ef, gh forekommer? Brug princippet om inklusion og eksklusion. j ) : DM72 eksamen Januar Opgave 1 (20 %) Hvilke af de følgende påstande a) - d) er sande, hvilke er falske. Giv et fuldstændigt bevis for alle dine svar. a) For alle n, k N med n k gælder ( ) n k = ( ) 2n. 2k b) Lad S := {1, 2, 3, 4} være et sandsynlighedsrum. Så er funktionen P, defineret ved en sandsynlighedsfordeling på S. { 1 x = 3 P (x) := 0 x {1, 2, 4} c) Lad S være en endelig mængde, lad P være en sandsynlighedsfordeling på S og lad X : P(S) R være en stokastisk variabel. Så eksisterer der en elementær hændelse A S med E[2 X] = 2 X(A). d) De følgende tre udsagn er ækvivalente: P 1 P 2 x N y N x 2 > y y N x N y 2 > x P 3 1 > Opgave 2 (15 %) a) Vi definerer to funktioner Opgave 5 (15 %) a) Antag at de tre hændelser A 1, A 2, A 3 er uafhængige. Hver hændelse sker med sandsynligheden 1 4. Beregn sandsynlighederne for hver af de følgende hændelser: som følger: f : Z Z Z og g : Z Z Z x Z f(x) := (x 1, 2) 10 15

11 Opgave 5 (20 %) Du behøver penge til at købe en bil, men du har kun 100 kroner. Nu læser du i en tysk avis om Meers Agentur For Investerings Anlæg MAFIA. Agenturet tilbyder en investeringsmodel med de følgende regler: Du indbetaler et beløb. Dernæst får du renter som følger: Hvis efter n, n 0 år et beløb på K kroner står på din konto i MAFIA, så får du efter året n + 1 en gang 100 procent renter på K og efter året n + 2 en gang til 300 procent renter på K; Du skal reinvestere dine penge. a) Find en rekursionsligning som beskriver, hvordan din kapital forøges i MA- FIA en. b) Find værdien efter et år, hvis du i året n = 0 starter med at indbetale f(0) := 100 kroner, d.v.s. beregn f(1). c) Løs rekursionsligningen, d.v.s. find et eksplicit udtryk for f(n), n N. d) Hvor mange år skal du vente indtil du kan købe en bil der koster kroner (hvis MAFIA en arbejder ifølge reglerne)? Opgave 6 (10 %) Vi definer en graf G := (V, E) som følger: Knuderne i V er alle tripler (x 1, x 2, x 3 ) med komponenter x i {0, 1}. To knuder x, y V er forbundet med en kant hviss a) Tegn grafen G. (x 1 + x 2 + x 3 ) mod 3 = (y 1 + y 2 + y 3 ) mod 3. b) Betragt en anden graf G = (V, E ) hvor V := {1, 2,..., 8} og E := {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 5)}. Er de to grafer G og G isomorfe? i) mindst en af hændelserne A 1 ellr A 2 forekommer; ii) A 1 eller A 2 forekommer, men ikke begge to; iii) mindst en af hændelserne A 1, A 2 eller A 3 forekommer. b) En hat indholder n mønter, hvoraf s er ægte og t er falske. De falske mønter giver plat med sandsynlighed 2 3. Antag at en mønt er trukket tilfældigt fra hatten, og derefter kastes to gange. Resulatet er (PLAT,KRONE). Hvad er under denne antagelse sandsynligheden for, at mønten er ægte? Angiv dit resultat som funktion af s og t. c) Antag i del b), at vi 120 gange trækker en mønt fra hatten, kaster den, noterer resulatet og placerer mønten tilbage i hatten. Hvordan skal vi vælge s (i forhold til n), hvis det forventede antal af KRO- NER skal være lige med eller større end 50? Opgave 6 (10 %) Lad f : N R være givet som for alle n N (d.v.s. n 1). f(n) = 5 3 n n a) Beregn begyndelsesværdierne f(1) and f(2). b) Funktionen f er løsningen til en rekursionsligning af formen: Beregn c 1 og c 2. f(n) = c 1 f(n 1) + c 2 f(n 2) c) Brug induktion til at bevise, at f er en løsning til rekursionsligningen defineret med de beregnede værdier. Vink: To grafer kaldes isomorfe hviss der eksisterer en bijektiv funktion f : V V så at (v, w) E ((f(v), f(w)) E

12 : DM72 eksamen juni Opgave 1 (15 %) Lad A := {1, 3, 5, 7, 9}. Vi betragter en funktion f : A A, defineret som f(1) = 3, f(3) = 3, f(5) = 7, f(7) = 7, f(9) = 7. a) Beregn kompositionen f f, det vil sige beregn for alle x A værdien f(f(x)). b) Find en enkelt funktion g : A A så at der gælder g f = f og f g f. c) Eksisterer der en funktion h : A A så at h f er injektiv? Opgave 2 (15 %) Bevis med induktionsmetoden, at der for alle n N gælder n k k n 1 2 n (n+1). Vink: Husk at definitionen af n for vilkårlige værdier (a k ) k N. a k n a k er Opgave 3 (20 %) := a 1 a 2... a n a) Betragt Z 11 sammen med dets delmængde K := {0, 2, 3, 4, 8}. For alle x, y K, x y beregn resultatet x y Z 11. Skriv dine resultater i en tabel lignende tabellen i figur 1. b) Lad m N. En delmængde K Z m kaldes en differensmængde af Z m hvis og kun hvis ethvert z Z m, z 0 forekommer lige mange gange mellem resultaterne x y hvor x, y K, x y. y = x = Opgave 3: Fyld resultaterne ind her og aflever siden! Figur 1: Tabel til opgave a. c) Bevis, at der ikke eksisterer en differensmængde K af Z 120 så at K = 20 (d.v.s. så at K har 20 elementer). Vink: Betragt sammenhængen mellem K og m for en almindelig differensmængde K af Z m Opgave 4 (20 %) a) To spillere kaster en fair mønt flere gange. Spillet er forbi, når resultatet både har været mindst tre gange KRONE og mindst tre gange PLAT. Beregn sandsynligheden for, at spillet ikke er forbi efter 10 kast. b) Betragt en kvadratisk ligning i en reel variabel x: ( ) x 2 + a x + b = 0. Vi antager, at koefficienter a og b vælges uafhængigt en gang under den uniforme fordeling fra mængden { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Beregn forventningsværdien af antallet af forskellige reelle løsninger til ( ). Vis, at mængden K i del a) er en differensmængde af Z