Elementær kredsløbsteknik OPGAVESAMLING. af Torben Elm Larsen

Transkript

1 Elementær kredsløbsteknk OPGAVESAMLING af Torben Elm Larsen

2 Elementær kredsløbsteknk Opgavesamlng 1. udgave,. oplag 001 Ingenøren bøger, Ingenøren A/S 1996 Forlagsredakton: Søren Flenng DTP: Torben Elm Larsen ISBN Ingenøren bøger Skelbækgade København V Telefon bogredakton@ng.dk

3 5 Forord Hermed forelgger den bebudede opgavesamlng tl lærebogen af samme navn. Enkelte af opgaverne henvser drekte tl forskellge steder denne. Antallet af opgaver, der er knyttet tl de enkelte kaptler, varerer en del, afhænggt af dels naturlgvs kaptlernes omfang, dels de rmelge varatonsmulgheder. Det er tlstræbt, at selvom opgaverne nødvendgvs må udnytte tdlgere ndlært stof, vl de hovedsagelgt behandle problemer, der er ndeholdt de tlsvarende kaptler. Opgaver blver herved sjældent meget komplekse, men sværhedsgraden varerer en del. Samlnger af opgaver, der højere grad ntegrerer flere emner, ekssterer skkert på lokalt plan. Selv om det vlle have været mest korrekt, at tekst og opgavefgur befandt sg på samme sde, har det for at mndske hæftets omfang en del tlfælde kke været mulgt opsætnngsmæssgt at mødekomme dette hensyn. Efter ønske fra mne studerende - og skkert andre - er der et appendks sdst samlngen gvet svar på del af opgaverne, dvs. de ulge-nummererede. For troværdgheden af dsse svar og af opgaveformulerngerne skylder jeg venlge kolleger megen tak, det de har ofret td på en kontrolregnng. Skulle der trods dette forekomme fejl - hvad der erfarngsmæssgt kke kan udelukkes - vl jeg være taknemmelg for at høre om dem, lgesom jeg meget gerne modtager forslag tl ændrnger og forbedrnger. Maj 1997 Torben Elm Larsen

4 6 Indholdsfortegnelse Forord Indholdsfortegnelse Grundbegreber Kredsløbselementerne Netværksanalyse Kondensatorer og spoler Transente forløb Vekselstrømskredsløb Nogle vekselstrømsbegreber Symmetrske trefasesystemer Elektrske målnger Frekvensdomænet Logartmske karakterstkker Frekvensanalyse Laplace transformaton Toporte A Svar på ulge-nummerede opgaver

5 1: Grundbegreber 7 1 Grundbegreber 1.1. Hvor stort er potentalet VA, hvs v har VB = 1 V og U = 6 V? V A U V B Opgave I kaptel 4 møder v komponenter, der har sammenhænge som u = Ld/dt og = Cdu/dt. Er dsse komponenter lneære efter defntonen (1.)? 1.3. Et varmelegeme skal fremstlles af Kanthal A-tråd med en dameter på 0,4 mm. Hvor lang skal tråden være, når spændngen er 0 V, og der ønskes en effekt på 1000 W? 1.4. I tykflmkredse dannes modstande ved, at baner af modstandspasta påføres pladen et 15 µm tykt lag. Efter at kredsen er blevet brændt, kan modstanden fnjusteres, det banens bredde mndskes ved slbnng (hvlket naturlgvs forudsætter, at banen er lagt rgelg bredde). En pasta med ρ = 15 mω m er blevet påført en længde på 1 mm. Tl hvlken bredde skal den slbes ned, for at resstansen er netop 4 kω? 1.5. Resstansen en af vklngerne (kobber) på en elektrsk maskne er ved 0 C målt tl 1,6 Ω. Masknen belastes og arbejder to tmer, hvorefter man kan regne, at den har nået sn drftstemperatur. Resstansen måles gen og er nu 15,. Hvor varm er masknen blevet? 1.6. En bl har et 1 V, 40 Ah batter. Forlygterne bruger hver 40 W og baglygterne samt nummerpladepæren hver 5 W. Batteret er fuldt opladet, men føreren glemmer at slukke lyset, da blen forlades. Det antages, at spændngen holder sg konstant under afladnngen (hvad der vrkelgheden kke er tlfældet). Hvor lang td går der, nden batteret er»dødt«? Hvor stor var øvrgt energen, der var opladet batteret? 1.7. En knapcelle er mærket 1,4 V, 610 mah. a. Hvor mange joule ndeholder den? b. Hvor mange tmer holder den en lommeregner, der forbruger 0 ma, hvs man regner, at spændngen holder sg konstant? 1.8. Pæren tl en cykellygte er ofte mærket 6 V, 0,35 A. Hvor stort et arbejde har cyklsten ydet tl lygten efter en halv tmes kørsel, hvs pæren forsynes fra en dynamo, og det antages, at spændngen har været på 6 V mddel? 1.9. Når v regner et elektrctetsforbrug ud, regner v normalt kwh og kke J. Hvor mange J går der på 1 kwh?

6 8 : Kredsløbselementerne En forældet enhed, der stadg ses forbndelse med angvelse af motorkraft, er HK, som blev defneret ved 1 HK = 75 kg m/s (også forældet denne forbndelse). Prøv, evt. ved tabelopslag, at fnde sammenhængen mellem HK og W En 500 m lang luftlednng er udført med 5»kvadrat«(mm ) alm. kobber. Spændngen er 400 V. Hvor stor en strøm kan lednngen bære, når spændngsfaldet ud tl forbrugeren højst må blve 5 %? 1.1. Afgør, om der modtages eller afgves effekt de tre vste tlfælde. a U b I U I c U I Opgave I et køkken, hvor stkkontakterne er tlsluttet samme fase med 30 V og skret med en 10 A-skrng, er følgende apparater gang: en brødrster med 1000 W, et strygejern med 1100 W og en kaffemaskne med 900 W. Kan skrngen (teoretsk) klare denne belastnng? Kredsløbselementerne.1. To sereforbundne spændngsklder, U 1 = 4 V og U = 3 V, med ndre resstanser på henholdsvs 0,35 Ω og 0,5 Ω afgver strøm tl en belastnng R B = 3,6 Ω. Hvor stor blver spændngen over R B?.. To parallelforbundne strømklder, begge med I = A og R = 00 Ω, forsyner en belastnng R B = 8 Ω. Fnd med tlnærmelse spændngen over RB..3. Fnd strømmen..4. Fnd spændngen U. 5 V V 1 A 5 A U Opgave.3. Opgave Redegør for, om den vste kombnaton er»lovlg«.

7 : Kredsløbselementerne 9.6. Er denne kombnaton»lovlg«? Hvs ja, hvlke effekter afgver henholdsvs modtager hver af de 5 klder? 3 A 5 A 10 A 0 V 5 V 10 V 5 V Opgave.5. Opgave Bestem strømmen. 9 Ω 1 V 3 Opgave En negatv resstans kan frembrnges kunstgt ved hjælp af afhængge klder. Fnd R = U / de to vste kredse. 8 U 1 Ω Ω U 3 Opgave.8. a b.9. Fnd..10. Fnd tomgangsspændngen U t. Ω A 10 Ω 50 V 3 A 40 V 0 Ω 60 V U t Opgave.9. Opgave.10.

8 10 : Kredsløbselementerne.11. Fnd strømmen..1. Bestem R. 5 Ω Ω 3 V A 5 Ω 5 V 7 Ω 5 V 10 Ω R 10 Ω 10 V 0 V Opgave.11. Opgave Bestem R..14. Bestem strømmene 1, og 3 samt spændngen U. A R 3 A 3 A 1 A 5 A 1 30 Ω 5 Ω 1 A 3 5 Ω U 6 Ω A Opgave.13. Opgave Fnd strømgeneratorens I og potentalet V A. U 1 A 10 Ω 5 Ω V A V 1 A 1 Ω 9 V I 3 U 5 U6 7 U 3 U4 U 5 U 8 U 7 Opgave.15. Opgave For de forskellge komponenter er med volt- og amperemeter målt de nedenfor anførte værder: Kontroller ved hjælp af Krchhoffs love, om målngerne er korrekte. Hvs der er uoverensstemmelser: hvlke målnger vlle du foretage gen?

9 : Kredsløbselementerne 11 Komponent U V A Komponent U V A 1 7,3 5,0 5-10,7 9,3 3,5, 6 3,8-8,1 3 5,3 7, 7-5,3-3,1 4,9 7, 8 9, 3,1.17. Fnd strømmene 1 og samt spændngen U..18. Hvor stor en effekt afsættes de? 5 A Ω 1 A Ω 1 V A U 15 V U 1 6 Ω U 1 5 V 1 3 A Opgave.17. Opgave Bestem den resstans R, man ser nd fra klemmerne de to tlfælde. 5 Ω 6 Ω 5 Ω Ω 18 Ω Ω 6 Ω a Opgave.19. b.0. Fnd strømmen. 5,1 V Ω 5 Ω 6 Ω _ Opgave Fnd R set fra klemmerne. 5 Ω Ω 6 Ω Opgave.1.

10 1 : Kredsløbselementerne.. Fnd strømmene 1 og. (Tp: Reducer først netværket, ndtl spændngsklden kun ser nd én modstand.) 1 Ω 0 V 6 Ω 0 Ω 6 Ω 1 Ω 6 Ω 18 Ω Opgave Der skal bruges en resstans på 15 Ω, men der er kun 10 Ω-modstande tl rådghed. Hvordan klares det?.4. Der skal bruges en resstans på 8 Ω, og foreløbg er 10 og 0 Ω sat parallel. Hvor stor en resstans skal yderlgere sættes sere med dsse? Der er tale om 1/4 W-modstande. Hvor stor en strøm kan den endelge 8 Ω-kombnaton tåle?.5. Der skal bruges 3 V ± 5 % over en belastnng på 1 kω. Tl rådghed er kun et 4,5 V batter og nogle 1/4 W-modstande på nøjagtg 10 og 0 Ω. Kan det lade sg gøre?.6. Fnd potentalerne A og B med K åben og lukket..7. Fnd spændngerne U A og U B. A B Ω 5 Ω 10 V K 0 V 5 Ω UA 15 Ω 5 V 10 Ω U B Opgave.6. Opgave Bestem strømmen og den effekt P, der afsættes de 5 Ω. 3 A 5 Ω A Ω Opgave.8.

11 : Kredsløbselementerne Fnd spændngen U og strømmen..30. Fnd spændngen U og strømmen. 5 Ω 5 A 15 Ω 18 Ω 6 Ω U 5 V 6 Ω 1 Ω U Opgave.9. Opgave Reducer kredsløbet tl en enkelt spændngsklde sere med en enkelt modstand ved gentagne kldeomformnnger og bestem derefter. kω 30 V 4 kω 15 V 3 kω 10 ma 1 kω Opgave Fnd strømmen. 0 V.33. Bestem resstansen mellem de to klemmer A og B for den vste modstandskombnaton. Alle værder er Ω. 8 Ω 0 Ω 50 Ω V 30 Ω 1 9 Ω 5 Ω 6 6 A 4 4 Opgave.3. Opgave.33. B.34. Det vste netværk af modstande, alle 1 Ω, tænkes at strække sg det uendelge. Fnd resstansen mellem punkterne A og B.... A Opgave.34. B...

12 14 3: Netværksanalyse 3 Netværksanalyse 3.1. Bestem spændngen U. 3.. Bestem strømmen. 10 V U 1 V 6 Ω 5 A 10 Ω 10 A Opgave 3.1. Opgave a. Fnd spændngen U og strømmen. b. Bestem den effekt, som afgves af henholdsvs spændngs- og strømklden. c. Vs energens konstans ved sammenlgnng af de effekter, der således er afgvet, med de effekter, der afsættes de to modstande a. Fnd spændngen U. b. Bestem de effekter, som afgves af de tre klder. 8 Ω 18 V U 6 Ω 4 A 16 V 8 Ω U - 3 A 3 V Opgave 3.3. Opgave Fnd strømmen og spændngen U ved superposton Fnd strømmen ved superposton. 3 V Ω 6 Ω 3 A 18 V 6 V U 4,5 A 9 Ω 11 Ω 3 A 9 Ω Opgave 3.5. Opgave 3.6.

13 3: Netværksanalyse a. Bestem potentalet V A punkt A. b. Fnd de effekter, der afsættes de fre modstande Beregn strømmen med a. afbryderen A åben, og b. A lukket. Ω 6 V 5 ma 5 Ω A kω A 3 A 3 V 10 V 5 kω 3 kω 10 ma Opgave 3.7. Opgave Bestem Thevenn-ækvvalentet set fra klemmerne a - b Fnd Norton-ækvvalentet set fra klemmerne a - b. 7 Ω a 16 Ω 6 Ω 8 Ω 10 V a 15 V 6 V A b b Opgave 3.9. Opgave Fnd R th set fra klemmerne a - b. a b Ω 5 Ω a Ω 4 A Ω 4 V b Opgave Opgave 3.1.

14 16 3: Netværksanalyse 3.1. Bestem såvel Thevenn- som Norton-ækvvalentet for den vste kreds set fra klemmerne a - b Fnd Thevenn-ækvvalentet set fra klemmerne a - b. I Ω 10 kω 30 kω a a 1 ma 30 kω 30 kω 5 V 3I 10 V 10 kω b b Opgave Opgave Fnd Norton-ækvvalentet set fra klemmerne a - b Fnd Norton-ækvvalentet set fra klemmerne a - b og Thevenn-ækvvalentet set fra klemmerne b - c. a I R U R b R R Opgave c Bestem strømmen. (Tp: Åbn kredsløbet ved klemmerne a og b, tegn kredsløbet om og bestem Thevenn-ækvvalentet.) 5 Ω 1,45 Ω 6 Ω a b 6 Ω 5 Ω 1 V 0 V Opgave 3.16.

15 3: Netværksanalyse Fnd strømmen. (Tp: Åbn kredsen ved klemmerne a - b og tegn kredsen om, så den mnder om Wheatstone-broen.) Bestem potentalerne V A og V B ved hjælp af knudepunktslgnnger. A 10 Ω B 7 Ω 10 V 1 Ω a 9 Ω b 9 Ω 15 V 5 Ω 15 Ω 5 V Opgave Opgave Fnd strømmen ved hjælp af knudepunktslgnnger. 6 Ω 10 V 5 V 10 Ω 15 Ω 1 Ω Opgave Bestem potentalet V A ved hjælp af knudepunktslgnnger. 15 Ω 5 Ω 10 V A 10 Ω 7 Ω 3 A Opgave Fnd potentalet V A og strømmen ved hjælp af knudepunktslgnnger. A 4 V 4 A 8 Ω 1 V Ω Opgave 3.1.

16 18 3: Netværksanalyse 3.. Hvor stor en effekt P afsættes de Ω? Brug knudepunktslgnnger tl at bestemme potentalforskellen mellem punkterne A og B. A Ω B A u 3u 5 Ω Opgave Fnd potentalerne punkterne A, B og C. A B C 90 V 6 Ω Ω Opgave Bestem spændngen U Fnd strømmen. 36 V U 16 Ω 5 Ω Ω 33 V 1 Ω 6 V Ω 8 Ω A 8 Ω 6 V Opgave 3.4. Opgave Bestem spændngen U. Ω V 6 Ω 8 V 9 Ω Ω U 3 A Opgave Bestem spændngen U.

17 3: Netværksanalyse Fnd strømmen og spændngen U. 5 Ω 6 Ω A 3 A Ω 5 Ω 5 Ω 10 Ω U 5 Ω 10 Ω 9 Ω A 6 Ω U 10 V 15 V Opgave 3.7. Opgave Fnd strømmen Bestem spændngen U. 6 Ω Ω 3 A Ω U 5 Ω 1 Ω 6 Ω 1 V A 6 V 3 A Opgave 3.9. Opgave Bestem spændngen U u ved hjælp af»stgemetoden«. 100 V 0 kω 15 kω 15 kω 15 kω 0 kω 10 kω Uu Opgave U R hf 1 Ru R hf R u Uu Opgave 3.3.

18 0 3: Netværksanalyse 3.3. Fguren vser et forenklet ækvvalentdagram for to sammenkoblede, dentske transstorer. Bestem forstærknngen A = U u /U, når R = 5 kω, R u = kω og h f = 100. (Tp: Brug»stgemetoden«og gæt på et U u.) Mellem klemmerne a og b ndsættes en modstand R. Hvor stor skal dens resstans være, hvs der skal overføres maksmal effekt tl den, og hvor stor blver denne effekt P? 8 Ω 30 Ω A 10 Ω 30 Ω 30 Ω 10 V a b Opgave Hvor stor skal R B være for at der overføres maksmal effekt tl den, og hvor stor blver denne effekt P? 1 5 Ω 6 Ω 10 V U a 0,U 4 1 RB b Opgave Bestem spændngen U. 5 Ω 1 V U 3U 6 Ω Ω Opgave Bestem spændngen U. 1 Ω U Ω 8 Ω 8 V Opgave 3.36.

19 4: Kondensatorer og spoler 1 4 Kondensatorer og spoler 4.1. En 5 µf kondensator oplades med strømmen (t) = 10e 100t ma. Tl tden t = 0 er spændngen over den 0 V. a. Fnd u C (t) for t > 0. b. Hvor stor en energ W er alt oplagret kondensatoren, når t? 4.. Ladestrømmen tl en 10 µf kondensator C har det vste udseende. Begyndelsesspændngen over C er 0 V. a. Sktser u C (t) for 0 t 5 ms. b. Hvor stor er ladnngen Q på C tl t = 15 ms? c. Hvor stor en energ W er oplagret C tl t = 5 ms? ma C Opgave 4.. t ms 4.3. I tykflmkredse kan små kondensatorer udføres som pladekondensatorer. Prntet påføres et lag ledende pasta, oven på dette en pasta, som er delektrsk, og oven på dette gen et ledende lag. Der ønskes en kondensator på 0 pf. Hvor lang skal længden l af de ledende lag (og delektket) være, når bredden af dem er 10 mm, og delektrket har en tykkelse på 0,5 mm og en delektrctetskonstant ε r = 10? (Multplcer C for»luftkondensatoren«, se sde 75, med ε r.) 4.4. Vs, at hvs der sker en spændngsdelng af en konstant spændng U over to kondensatorer C1 og C, blver spændngen over fx C1 U U C C 1 = C1 C 4.5. To kondensatorer C 1 og C er forbundet sere. Den samlede spændng over dem er 150 V, og spændngen over C 1 er 100 V. Over C sættes nu 15 µf parallel, hvorved spændngen over C 1 stger tl 15 V. Hvor store er kapactanserne af C 1 og C? 4.6. En varabel, tabsfr pladekondensator er ndstllet tl 10 nf og oplades tl 50 V, hvorefter forbndelserne tl den afbrydes. Pladernes stllng ændres, så kapactansen blver 5 nf. a. Hvor stor er spændngen U C over den nu? b. Hvor stor er energen W kondensatoren de to tlfælde? Prøv at forklare ændrngen.

20 4: Kondensatorer og spoler 4.7. Tlstanden den vste kreds er statonær. Hvor stor en energ W 1 og W er oplagret de to kondensatorer? 5 Ω a U 1 6 µf C 1 4 µf 100 V 15 V 6 Ω C 6 µf 3 µf 1 µf b Opgave 4.7. Opgave For den vste kreds skal beregnes a. Den samlede kapactans C mellem klemmerne a og b. b. Størrelsen af spændngen U 1. c. Den samlede ladnng Q på de tre kondensatorer. d. Den samlede oplagrede energ W de tre kondensatorer En spole på 10 mh er strømløs for t < 0. Tl t = 0 sættes en spændngsmpuls u(t) = 5te 50t V over spolen. Bestem L (t) Strømmen tl en 50 mh spole har samme forløb som kondensatorstrømmen opgave 4.. a. Sktser u L (t) for 0 t 5 ms. b. Hvor stor er den maksmalt oplagrede energ W spolen? For den noget teoretske kreds skal fndes a. Den samlede nduktans set fra strømgeneratorens klemmer. b. Spændngen over strømgeneratoren, når strømmen ændrer sg med 15 A/s. H 1 H 1 H 10 Ω 0,3 H 1 H H H 3 H 5 V 5 Ω L 1 L 0, H Opgave Opgave Tlstanden den den vste kreds er statonær. Hvor stor en energ W 1 og W er oplagret de to spoler? I den vste kreds er spændngen over de = 9 V og strømmen C = 1 A tl tden t = 0. Den vste afbryder er lukket, men åbnes tl t = 0. Fnd a. C (0 ) og b. d L (0 )/dt.

21 5: Transente forløb 3 1 t = 0 L u 1 L 1 3 1,5 Ω Ω L 3 15 V C C 0,3 H u L Opgave Opgave u De tre spoler kobler ndbyrdes med de gensdge nduktoner M 1, M 13 og M 3. Opskrv de tre dfferentallgnnger, der udtrykker spændngerne u 1, u og u 3 som funkton af strømmene. 5 Transente forløb 5.1. En kondensator på 10 nf er sere med en modstand på 5 kω. Kondensatoren er uden ladnng tl t = 0, hvor sereforbndelsen tlsluttes en spændngsklde U g = 50 V. Bestem u C (t) og C (t) for t > Kondensatoren 5.1 har nu en ladnng på 0,1 µc tl t = 0, mens forholdene øvrgt er som før. Bestem gen uc(t) og C(t) for t > Kondensatoren 5.1 er opladet tl de 50 V. Den aflades nu gennem en modstand på 500 Ω. a. Bestem u C (t) og C (t) for afladeforløbet. b. Hvor lang td varer det, før spændngen er faldet tl 5 V? 5.4. Den vste kondensator er tl t = 0 opladet tl spændngen u C (0). Tl t = 0 sluttes afbryderen, og kondensatoren aflades. Tl t = 10 s er (t) = 3,68 ma. Fnd a. u C (0) og b. u C (t) for t > Den vste kreds er hvle for t < 0. Tl t = 0 åbnes afbryderen. Beregn den td t 1, hvor u C (t) = 10 V. t = 0 t = 0 5 Ω 7 Ω µf 5 kω 3 A 8 Ω 5 Ω 4 µf Opgave 5.4. Opgave Kredsen er hvle for t < 0, og omskfteren er stllng 1. Tl t = 0 lægges omskfteren stllng. Fnd C (t) for t > 0.

22 4 5: Transente forløb 15 V 3 µf µf 1 t = 0 5 kω C 7 kω 4,5 V 3 kω 1/3 µf 4 kω 1/6 µf t = 0 Opgave 5.6. Opgave Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem (t) Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem (t). 5 Ω 5 Ω 6 A 5 Ω 4 µf C 1 t = 0 5 Ω C 0, µf Opgave Kredsen er hvle for t < 0, og omskfteren er stllng 1. Tl t = 0 lægges omskfteren stllng. Bestem (t). 10 V t = Ω Ω 5 V 5 Ω 7,5 µf Opgave Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 åbnes afbryderen. Bestem u(t). t = 0 6 A 10 Ω u 5 Ω 0 Ω 0,1 H Opgave Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 åbnes afbryderen. Bestem (t).

23 5: Transente forløb 5 t = 0 Ω 6 A 0, Ω 0,5 H 1 Ω Opgave Kredsen er hvle tl t < 0, og omskfteren er stllng 1. Tl t = 0 skftes tl stlng. Bestem L (t) og u(t). 1 9 A 6 Ω Opgave 5-1. t = 0 u Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem L (t). L 6 Ω 0,5 H 7 Ω 8 Ω t = 0 L 5 A 1 Ω 0, H 15 V 5 Ω Opgave Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem u(t). 1 Ω 50 mh 9 V t = 0 u 8 Ω Opgave Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem (t). 90 Ω 150 Ω 36 V t = 0 30 mh 60 mh 300 Ω Opgave 5.15.

24 6 5: Transente forløb Kredsen er hvle tl t < 0. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Fnd a. Strømmen tl t = 6,6 ms. Tl tden t > 5τ åbnes afbryderen gen. b. Beregn spændngen u umddelbart efter åbnngen Kredsen er hvle tl t < 0 med begge afbrydere åbne. Tl t = 0 lukkes afbryderen A 1, og tl t = 0 ms lukkes afbryderen A. Bestem (t). t = H 110 V u 65 Ω 50 Ω t = 0 1 V t = 0 ms A 1 A 15 Ω mf 30 Ω 0 Ω Opgave Opgave Kredsen er hvle tl t < 0, omskfteren O stllng 1. Tl t = 0 skftes tl stllng. Afbryderen A er lukket, men åbnes tl t = 5 ms. Bestem L (t). 1 O A t = 0 t = 5 ms L A 10 Ω 5 Ω 0,1 H 0 Ω Opgave Kredsen er hvle tl t < 0, og begge afbrydere er åbne. Tl tden t = 0 lukkes afbryderen A 1, mens A stadg er åben. Tl tden t = 18 ms lukkes afbryderen A, mens afbryderen A 1 samtdg åbnes gen. Bestem kondensatorspændngen u C (t). (Tp: Overvej, om strømklden med fordel kan transformeres.) t = 18 ms A 1 A 15 V 9 Ω t = 0 5 mf u C t = 18 ms 6 Ω 9 Ω A Opgave Kredsen er hvle tl t < 0, og begge afbrydere er åbne. Tl tden t = 0 lukkes afbryderen A 1, mens A stadg er åben. Tl tden t = 50 ms lukkes også afbryderen A. Bestem a. spolestrømmen L (t) og b. spændngen u over de 30 Ω.

25 6: Vekselstrømskredsløb 7 30 V 10 Ω A 1 t = 0 A t = 50 ms 5 Ω L 0,5 H 30 Ω u Opgave Kredsen er hvle tl t < 0, og begge afbrydere er åbne. Tl tden t = 0 lukkes afbryderen A1, mens A stadg er åben. Når spændngen uc(t) over kondensatoren er blevet 5 V, lukkes også afbryderen A. Bestem u C (t). 5 Ω A 1 A 0 Ω 15 V uc 5 µf 10 V Opgave Vekselstrømskredsløb 6.1. Fguren vser blledet af en spændng u og en strøm. Hver nddelng på abscsseaksen svarer tl ms og hver nddelng på ordnataksen tl 1 V. Strømmen er målt va spændngen over en modstand på 10 Ω. Bestem a. Ampltudeværderne Û og Î. b. Vekselstørrelsernes frekvens f og perodetd T. c. Fasevnklen ϕ mellem u og. d. Spændngens ndkoblngsvnkel θ. u Opgave 6.1.

26 8 6: Vekselstrømskredsløb 6.. Udtryk spændngen u opgave 6.1 som en snusstørrelse og bestem dens størrelse tl t = ms og tl t = 8 ms Spændngen over og strømmen tl en kreds er henholdsvs u = 30 cos (314t 30 ) V og = sn (314t 45 ) A. Fnd fasevnklen ϕ mellem u og En spændng u er sammensat af to led: u = 30 sn (314t 30 ) 0 cos (314t 45 ) V. Beskrv u ved en enkelt snusstørrelse To spændnger er gvet ved u 1 = 10 cos (314t 30 ) V og u = 5 sn (314t 10 ) V. Fnd summen af de to spændnger udtrykt ved en snusfunkton En snusformet spændng har nulgennemgang postv retnng tl t = 1 ms og gen negatv retnng tl t = 6 ms. Tl t = 0 er den 5,88 V. a. Fnd spændngens frekvens f. b. Angv udtrykket for spændngen som en cos-funkton Bestem den strøm, der går kredsen fg. 6.5, når u = 15 sn (50t 30 ) V, R = og L = 60 mh. (Brug formel (6.10).) 6.8. Bestem R og L fg. 6.5, når u = 0 cos (300t 45 ) V og = 4 cos (300t 8,1 ) A. (Brug formel (6.10).) 6.9. Bestem strømmen opgave 6.7 ved hjælp af formel (6.16) Sammensæt de to spændnger opgave 6.5 ved hjælp af vektorbegrebet Tl et knudepunkt løber 4 strømme. De tre af strømmene er 1 = 3 sn (3t 30 ) A, = 4 cos (3t 0 ) A og 3 = 5 sn (3t 30 ) A. Bestem den 4. Strøm 4 som en sn-funkton Sættes spændngen 15e j(3t 45 ) V over en kreds, er strømmen tl kredsen Î = 3e j(3t 8,13 ) A. Nu ændres spændngen tl 10e j(3t 30 ) V. Bestem herefter strømmen Tre mpedanselementer er sat sere. Spændngerne over dem er på vektorform bestemt som U 1 = 60,6 0 V, U = 10,9 80,6 V og U 3 = 164,3 90 V. Fnd den samlede spændng U over de 3 elementer.

27 6: Vekselstrømskredsløb Bestem mpedansen Z set fra klemmerne a - b. a 5 Ω j 10 Ω j5 Ω b 10 Ω j6 Ω Opgave j 7 Ω Bestem admttansen Y set fra klemmerne a - b. a j Ω 5 Ω 10 Ω j6 Ω j j Ω b Ω Opgave I den vste kreds er u = 5 sn (3t 45 ) V. Fnd, når a. Z er en spole med L = 1 H. b. Z er en kondensator med C = 1/9 F. c. Z består af ovennævnte L og C sere. d. Z består af ovennævnte L og C parallel Bestem spændngen u, det strømmen er = cos (t 60 ) A. u Z 1 H 1/4 F u Opgave Opgave Bestem U C V Opgave j j5 Ω UC 45 A

28 30 6: Vekselstrømskredsløb Bestem strømmen, det u 1 = 5 sn 4t V og u = 6 cos (4t 45 ) V Idet u = 10 sn 100t V, skal u L bestemmes. 5 Ω 1/1 F u 1 0,5 H u u 5 Ω ul 10 Ω 0,1 H 5 mf Opgave Opgave Idet 1 = 4 sn 8t A og = 8 cos 8t A. skal spændngen u bestemmes ved knudepunktsmetoden. 0,5 H 1 8 Ω 1/48 F u Opgave Idet = cos (50t 30 ) A, skal strømmen 1 bestemmes ved hjælp af a. Thevenn og b. maskelgnnger a 0, H 5 Ω 10 Ω 1 5 mf b 0,1 H Opgave Bestem V A og V B ved såvel knudepunktsmetoden som ved maskelgnnger. (Tp: Reducer først kredsen passende begge tlfælde.) A j j Ω B 6 Ω 30 A j Ω j Ω 18 0 V Opgave 6.3.

29 6: Vekselstrømskredsløb a. Bestem Norton-ækvvalentet set fra klemmerne a - b. b. Klemmerne a - b belastes med en kondensator, hvs mpedans er Z C = j0 Ω. Beregn strømmen gennem denne kondensator V 5 Ω 5 Ω j10 Ω j0 Ω a Opgave 6.4. b 6.5. a. Generatorspændngen er u = 35 sn 314t V. Beregn strømmen I 1 og spændngen U C. b. Generatorens frekvens f ændres nu (mens spændngens størrelse er uændret). Hvor stor skal f være, hvs strømmen I skal være fase med U? 1 0,1 H 10 Ω u 80 mh 80 µf uc 10 Ω 0 Ω Opgave Den vste T-leder er sammensat af to spoler L 1 og L og en shuntkondensator C. Udgangsklemmerne er belastet med en modstand R på 500 Ω, og spændngen over denne er U u = 1 V. Generatoren på ndgangsklemmerne arbejder ved vnkelfrekvensen ω = 1, 10 5 s 1. a. Tegn et vektordagram over samtlge vste spændnger og strømme. Brug U u som reference. Spændngsmålestok: 10 mm = 0,1 V, strømmålestok: 10 mm = 0,1 ma. b. Bestem ud fra dagrammet størrelse og vnkel for U samt mpedansen Z set fra ndgangsklemmerne. u 1 5 mh u C 3 5 mh 10 nf uu 500 Ω Opgave De kredsen vste spændnger er opgvet tl: U = 100 V, U L = 101,3 V, U R = 77,4 V og U C = 164,3 V. Tegn et vektordagram med 1 V = 1 mm og kontroller, om de opgvne spændnger er sandsynlge.

30 3 7: Nogle vekselstrømbegreber U UL I UR UC Opgave I fguren tl opgave 6.7 repræsenterer spolesymbolet nu en fyssk spole med en nduktans L og en resstans R L, mens C kan regnes tabsfr. Målnger på kredsen med volt- og amperemeter ved f = 50 Hz gver: U = 100 V, U L = 10,9 V, U R = 60,6 V, U C = 164,3 V og I = 1,9 A. Tegn et vektordagram med 1 V = 1 mm og beregn L, R L, R og C. 7 Nogle vekselstrømsbegreber 7.1. En spændng er gvet ved u =10 V 0 < t < T/4 og T/ < t < 3T/4 u = 0 T/4 < t < T/ og 3T/4 < t < T Fnd U, U md og ξ. 7.. Bestem I, I md og ξ for den vste strøm I den vste kreds er u 1 = 10 sn (50t 30 ) V og u = 0 cos (100t 60 ) V. Z er en spole med resstansen og nduktansen 80 mh. Bestem effektvværden af strømmen og spændngen u. A 0 π π ωt Opgave 7.. Opgave Ω 5 Ω u 1 u Z u 7.4. To strømme er gvet ved 1 = 7,07 sn (ωt 30 ) A og = 8,48 cos (ωt 170 ) A Bestem effektvværden af 1 ved konstrukton af de tlsvarende vektorer (brug 1 A = 10 mm) og kontroller resultatet ved kompleks beregnng Spændngen u = 3,83 cos (t 30 ) 4,9 sn (3t 45 ) V lgger over en modstand med R = 10 Ω. Hvor stor en effekt P afsættes modstanden?

31 7: Nogle vekselstrømsbegreber En ensrettet strøm = 100 sn 314t ma sendes gennem en modstand med R = 15 Ω. Hvor stor en effekt P afsættes R? Hvor stor blver effekten, hvs strømmen er»enkeltensrettet«, dvs. = 100 sn 314t ma for 0 < t < T/ og = 0 for T/ < t < T? 7.7. Bestem den aktve effekt P, der afsættes Z kredsen fra opgave a. Fjern først belastnngen 4 j mellem klemmerne a og b og fnd Thevenn-ækvvalentet for kredsen set fra dsse klemmer. b. Fnd derefter den effekt P, der afsættes de, når belastnngen ndsættes gen. j a b j 6 Ω V j j8 Ω Ω Opgave En mpedans Z påtrykkes spændngen U = 0 45 V, hvorved den trækker strømmen I = 7,5 15 A. Beregn Z, effektfaktoren cosϕ samt den aktve effekt P, den reaktve effekt Q og den tlsyneladende effekt S, som tlføres Z En belastnng består af tre mpedanser parallel, Z 1 = 3 j, Z = 7 j8 Ω og Z 3 = 15 j. Bestem de effekter, P, Q og S, som den samlede belastnng optager ved en spændng på 30 V, samt dens effektfaktor Fnd den aktve effekt P, der afsættes hver af de to modstande R 1 og R den vste kreds, samt de effekter Pu og P, der afgves af de to klder. H H,83 sn t V R 1 1/4 F R 0,4 A Opgave Fnd de samme størrelser som opgave 7.11, når strømklden stedet for de 0,4 A afgver strømmen = 0,4 0,566 cos (4t 30 ) A Fnd den samlede effektfaktor for to parallelforbundne belastnnger på henholdsvs S 1 = 15 j10 VA og S = 0 j15 VA.

32 34 7: Nogle vekselstrømbegreber En vrksomhed forbruger en effekt på S = 53, j34,7 kva ved en spændng U på 400 V. f = 50 Hz. Bestem a. vrksomhedens effektfaktor cosϕ og b. den mpedans Z, som ækvvalerer belastnngen. Effektfaktoren ønskes forbedret. Fnd c. den kapactans C, der skal anbrnges parallelt over belastnngen for at gve et cosϕ = 0, Hvs spændngsklden skal belastes med en strøm, der er fase med spændngen, skal der øjensynlgt placeres en spole fx sere med klden. Hvor stor skal en sådan spoles mpedans X L være? (Tp: Sæt klden tl fx 10 0 V og omdan strømgeneratoren tl en spændngsgenerator.) Opgave Ω 1/ u 6 Ω u j Ω En vekselstrømsmotor kører ved 400 V, 50 Hz og belaster nettet med 7,5 kw ved cosϕ = 0,81. Hvor stor en kondensator skal anbrnges over dens klemmer for at gve et cosϕ på 0,95? For en spole med jernkerne er målt en mpedans, der ved sererepræsentaton er Z = R jx = 35 j519 Ω. Da tabene jernkernen er spændngsafhængge ønskes dsse værder omregnet tl parallelrepræsentaon. Fnd R p og X p En elektrolytkondensator har opgvet et R C C på 10 ΩF (se sde 79 og sde 139). Hvor stor er kondensatorens seremodstand R s forhold tl R C, hvs den arbejder ved 50 Hz? I kredsen opgave 7.11 erstattes strømklden af en mpedans Z. Hvlken værd skal Z have, for at der overføres maksmal effekt tl den, og hvor stor blver den overførte, aktve effekt P? 7.0. På udgangsklemmerne af et netværk kan tomgang måles en spændng på V. (Netværket kan betragtes som repræsenteret ved st Thevenn-ækvvalent.) Når udgangsklemmerne belastes med en mpedans på Z B = 0 j15 Ω, ændres spændngen over klemmerne tl 77,4 3,18 V. a. Hvor stor en procentdel af kldens afgvne, aktve effekt overføres tl denne belastnng? b. Hvlken mpedans skal tlsluttes klemmerne, hvs der skal overføres størst mulg effekt tl belastnngen? c. Hvor stor en procentdel af kldens afgvne effekt overføres så fald tl belastnngen?

33 8: Symmetrske trefasesystemer 35 8 Symmetrske trefasesystemer I alle opgaver forudsættes symmetrske forhold og fasefølge R-S-T, hvor ntet andet er anført For et Y-koblet system er gvet U S = V. Bestem de øvrge fasespændnger samt lnespændngerne og sktser vektordagrammet. 8.. Ved en fejl har et Y-koblet system fået fasefølgen R-T-S. Fasespændngen er U f = 31 V. Fastlæg en reference og sktser vektordagrammet med alle øvrge fase- og lnespændnger Der er målt en lnespændng U RS = 400 V og en lnestrøm I R = 13, A. Endvdere er vnklen mellem dsse to bestemt tl ϕ = 45 nduktv. Fnd belastnngsmpedansen Z f, når a. belastnngen er Y-koblet b. belastnngen er D-koblet I en Y/Y-koblet overførng som på fg. 8.9 er lnespændngen ved klden (transformeren) 410 V ved tomgang. Transformerens fasempedans Z t,f er 0,3 j0,, overførngens mpedans Z l = 0,3 j0,9 Ω pr. fase og belastnngen Z B,f = 8 j6 Ω. Bestem a. lnestrømmen I L med transformatorens lnespændng som reference b. størrelsen af lne- og fasespændngen ved belastnngen To belastnnger A og B, den ene Y-koblet med Z A,f = 30 j15 Ω, den anden D-koblet med Z B,f = 0 j15 Ω, er parallel tlsluttet et trefasenet med U ST = V. a. Tegn en sktse af belastnngen og b. fnd den samlede lnestrøm I R En D-koblet belastnng med Z B,f = Ω er over en lne med Z l = 0, j0,8 Ω/fase forbundet tl en transformer med U t,l = 405 V. Bestem a. lnespændngen U B,L ved belastnngen og b. effekterne P, Q og S, som belastnngen modtager En trefaset asynkronmotor er bl.a. mærket 380 V, 7,5 HK, cosϕ = 0,8. Dens vrknngsgrad (forholdet mellem afgven og modtagen effekt) er 86 %. Hvor stor en aktv effekt P og hvor stor en strøm I L optager motoren? 8.8. To parallelforbundne belastnnger A og B optager de tlsyneladende effekter S A = kva og S B = 10 0 kva. Hvor stor er den samlede lnestrøm tl belastnngerne, når U L = 400 V? 8.9. En Y-koblet belastnng på Z B,f = 16,7 30 Ω påtrykkes lnespændngen U B,L = 380 V. Sktser belastnngen og bestem a. fasestrømmen I f,

34 36 8: Symmetrske trefasesystemer b. den aktve effekt P f pr. fase og c. den samlede aktve effekt P Den samme belastnng som opgave 8.9 kobles nu trekant. a. Tegn gen en sktse af belastnngen. b. Bestem lnestrømmen samt de samme størrelser som opgave 8.9. c. Sammenlgn fase- og lnestrømme samt effekterne de to tlfælde En Y-koblet belastnng optager ved en lnespændng U B,L på 400 V en samlet aktv effekt på 3,00 kw ved cosϕ = 0,8 nd. a. Bestem belastnngens mpedans Z B, f. Belastnngen forbndes tl en transformer va en lne med mpedansen Z l = 3,54 j3,5 pr. fase. Nu er det transformerens lnespændng U L,t, der er 400 V. Brug U ST,t som reference ved beregnngerne. b. Tegn en sktse af belastnng og lne med angvelse af mpedanser og lnespændnger. c. Bestem de tre lnestrømme I R, I S og I T. d. Bestem de tre spændnger over belastnngen U R, U S og U T I systemet opgave 8.11 blver lednngen fase T afbrudt. Bestem under denne betngelse a. lnestrømmene I R og I S samt b. fasespændngerne U R og U S over belastnngen En D-koblet belastnng med Z B,f = 60 14,5 Ω er over en lne med Z l = 4 80 Ω tlsluttet en transformer med en lnespændng på U t,l = 381 V. Transformerens klemmer er benævnt R, S og T, belastnngens klemmer tlsvarende A, B og C. Bestem a. størrelsen af lnestrømmen I L og fasestrømmen I f belastnngen, b. den samlede aktve effekt P B tl belastnngen og strømvarmetabet P l lnen, c. spændngerne U A, U B og U C fra belastnngens klemmer tl spændngskldens (eventuelt kunstge) nulpunkt, det fasespændngen U R mellem dette og transformerens klemme R bruges som reference Belastnngen opgave 8.13 kobles nu stjerne. Bestem under dsse forhold a. lnestrømmen I L og b. den samlede aktve effekt P t, som transformeren afgver For systemerne opgave 8.13 og 8.14 skal beregnes, hvor store aktve effekter P, reaktve effekter Q og tlsyneladende effekter S, de to systemer optager.

35 9: Elektrske målnger 37 9 Elektrske målnger 9.1. To ens multmetre har opgvelserne: ndre resstans 1 MΩ for området 10 V dc og spændngsfald 100 mv for områderne 1 ma - 1 A. De bruges som henholdsvs volt- og amperemeter tl modstandsmålng ved en spændng på 6 V. Begrund, hvlken målemetode,»sand spændng«eller»sand strøm«, det vl være fornuftgt at bruge, hvs modstanden skønnes at have en resstans på omkrng a. 10 kω, b. 100 Ω? 9.. Den ndre resstans R af en tonegenerator skal måles. Der et voltmeter og en dekademodstand tl rådghed. På hvlken meget smpel måde kan R bestemmes? 9.3 Systemspolen et drejespolenstrument er bygget tl fuldt udslag for 50 mv, 1 ma. Instrumentet skal bruges tl målng af op tl 10 A og forsynes derfor med en shunt. a. Hvlken værd Rsh skal shuntmodstanden have? b. Hvor stor en effekt P afsættes shunten? 9.4. I den vste kreds kan nemt beregnes tl 0 ma. Hvor stor en procentsk afvgelse fra denne værd vl man få, hvs man grenen ndsætter et dgtalt multmeter, der måler denne strøm va spændngen over en modstand på 10 Ω? 1 V 600 Ω 00 Ω R 3 R 4 I L x, R x r Ln, Rn 300 Ω Opgave 9.4. Opgave En spole måles en broopstllng som vst på fguren. Der ndstlles på R 3 og r tl lgevægt. r skal udlgne den relatve forskel tabsmodstandene R x og R n for L x og L n. L n, R n er en nduktonsnormal. a. Vs analog med lgnng (9.3), at lgevægtbetngelsen er L L R 3 R og R R r R 3 = = ( ) x n x n 4 R4 R 4 er ndstllet på 1000 Ω, normalen er L n = 100 mh og R n = 15 Ω. b. Bestem L x og R x, når lgevægt opnås for R 3 = 170 Ω og r = 0, Ω Den vste bro, der kaldes Scherng-broen, bruges tl målng på kondensatorer, specelt tl målng af deres tab. C 1 er den ukendte kapactans, og r 1

36 38 9: Elektrske målnger repræsenterer kondensatorens tab. C er en tabsfr normalkondensator og R 4 en fast modstand. Indstllng af broen tl lgevægt sker med R 3 og C 4. Eftervs analog med lgnng (9.3), at lgevægtsbetngelsen er C 1 R4 = R C og r R C 1 = 3 C 3 4 r 1 C 1 I R 3 C R 4 C 4 Opgave Et wattmeter har en 10 -skala og er koblet tl 40 V, 5 A. Bestem wattmeterkonstanten c W/skalagrad Et amperemeter og et wattmeter er ndkoblede foran en nduktv belastnng va en strømtransformer 10 A/5 A. Amperemeteret har en 100 -skala og vser 63, på 5 A-området. Wattmeteret har en 10 -skala. Det er koblet tl 40 V og 5 A og vser 56,. a. Bestem den (ukorrgerede) strøm I og effekt P tl belastnngen. b. Den målte spændng er 0 V. Bestem Z = R jx Et wattmeter har et måleområde med fuldt udslag for 300 W, hvor formodstanden (ncl.systemresstansen) er R 1 = 15 kω. Bestem de nødvendge formodstande R, R 3 og R 4 for måleområderne 600, 1500 og 3000 W Wattmeteret, hvs skala er vst fg. 9.13, er anvendt tl målng af en mpedans Z ved en»sand spændngsmålng«. Wattmeteret vste 80 på 600 W-området. Spændngen blev målt tl 0 V og strømmen tl 5,75 A. Voltmeterets ndre resstans er 0 kω. a. Tegn et dagram af måleopstllngen. b. Beregn Z, det de målte værder korrgeres for nstrumentforbrug En reaktansspole er mærket 0 V,,6 A, 0,5 H, 50 Hz. Dsse værder skal kontrolleres ved en målng, hvor bl.a. wattmeteret fra fg anvendes. Tl rådghed er også en strømtransformer med prmære områder 0, A og sekundært 5 A. Prmær- og sekundærsden af en strømtransformer kan med kun rnge tab af nøjagtghed byttes om. a. Tegn et dagram af en måleopstllng med»sand spændng«.

37 9: Elektrske målnger 39 b. Angv den bedste kombnaton af måleområde for wattmeteret og transformerens omsætnngsforhold, det cosϕ ud fra de opgvne data må formodes at være mndre end 0,5. c. Hvor stort må cosϕ egentlg være, før wattmeteret slår ud over de 10? 9.1. Et wattmeter er af en eller anden grund koblet som vst på fguren, hvor U 1 = 0 0 V, U = 0 10 V, Z 1 = Ω og Z = 45 Ω. a. Hvor mange watt måler det? b. Hvor mange watt vlle det måle, hvs de to spændnger blev byttet om? U 1 I 1 Z 1 U I Opgave 9.1 W Z En spole er mærket med følgende data: 0 V, 0,6 A, cosϕ = 0,. Beregn ud fra dsse data spolens mpedans Z = Z ϕ = R jx samt varmetabet spolen P, når den tlsluttes 0 V Data for spolen opgave 9.13 ønskes kontrolleret. Der benyttes det fg vste wattmeter, et voltmeter tl 300 V, fuldt udslag 300, R V = 60 kω, klasse 0,5, et amperemeter tl 6 A, fuldt udslag 3, klasse 0,5 samt en måletransformer med prmære områder 0, A, sekundært 5 A. a. Tegn et dagram over opstllngen. Angv anvendt omsætnngsforhold for måletransformeren, måleområde for wattmeteret samt udslagene for nstrumenterne under forudsætnngen, at de opgave 9.13 opgvne data er korrekte og nstrumenterne deelle. b. Opstllngen realseres, og der aflæses følgende værder på nstrumenterne med omsætnngsforholdet 1/5 for strømtransformeren: Voltmeter: 0, amperemeter: 1,6, wattmeter: 5,0 Beregn Z og P, det der korrgeres for nstrumentforbrug. I de følgende opgaver forudsættes symmetrsk system og fasefølge R-S-T, hvs kke andet er angvet En trefaset spændng med U L = 380 V er tlsluttet en Y-koblet belastnng med Z B,f bestående af en modstand R sere med en kondensator C. Effekten tl belastnngen måles med to wattmetre Aronkoblng. De vser henholdsvs 1655 W og 655 W. Bestem a. Belastnngens effektfaktor cosϕ f,

38 40 9: Elektrske målnger b. lnestrømmen I L og c. resstansen R og kapacteten C En D-koblet belastnng med fasempedansen Z B,f er tlsluttet et trefasesystem med lnespændngen U L = 380 V. Effekten tl belastnngen måles med to wattmetre Aronkoblng. I fase R aflæses en strøm I R (= I S = I T ) på 13, A og på wattmeteret denne fase P I = 600 W. a. Bestem værden af Z B,f. b. Tlførslen tl belastnngens T-klemme afbrydes ved et uheld. Hvlken strøm I R og effekt P aflæses nu på henholdsvs ampere- og wattmeter fase R? 9.17 En Y-koblet belastnng med Z B,f = 5 30 Ω er tlsluttet et trefaset spændngssystem med U L = 400 V som vst på fguren. Nullednngen er kke tlsluttet stjernepunktet. Idet U ST benyttes som reference, skal beregnes a. lnestrømmene I R, I S og I T, b. den samlede aktve effekt P tl belastnngen c. de effekter P I og P II, der kan aflæses på de to wattmetre. R I R Z B,f O 1 S UR WI * * I S O * T * WII 0 Opgave I T U I kredsen opgave 9.17 løsnes belastnngen fase R fra stjernepunktet, dvs. forbndelsen mellem O 1 og O afbrydes. Bestem under dsse forhold a. de ændrede værder af I R, I S og I T b. wattmetervsnngerne P I og P II, c. spændngen U 0 punkt O samt d. hvordan et enkelt wattmeter kan tlsluttes, så det måler den samlede tlførte effekt P, og udregn denne Den vste Y-koblede belastnng har ZB,f = 1 j40 Ω 41,8 73,3 Ω. Lnespændngen U L er 380 V. Ved en fejl er fasefølgen blevet R-T-S. Bestem a. den effekt, som hvert af de tre wattmetre vser,

39 10: Frekvensdomænet b. den samlede, tlførte aktve effekt P og den samlede, tlførte reaktve effekt Q ud fra dsse wattmetermålnger. c. Kontroller resultaterne ved beregnng på anden vs. 41 R WI * * * * WIII Z B,f S * * W II T Opgave Frekvensdomænet Hvlke vektorer og komplekse frekvenser s = σ jω er knyttet tl a. u = 5e 3t sn (t 45 ) V? b. u = 10e 3t V? c. u = 3V? d. u = 4cos (3t 30 ) V? 10.. Hvlke tdsfunktoner er knyttet tl følgende vektorer og frekvenser: a. U = 30 V, s = 1 j s 1? b. U = 4 0 V, s = 3 s 1? c. U = 5 30 V, s = j4 s 1? d. U = 3 0 V, s = 0? Bestem overførngsfunktonen H(s) = U u /U for den vste kreds Bestem overførngsfunktonen H(s) = Iu/U for den vste kreds. u L C R u u u R 1 L C R u Opgave Opgave Ω 0,5 H u 0,1 F uu 10 Ω Opgave 10.5.

40 4 10: Frekvensdomænet a. Fnd netværksfunktonen Z (s) = U /I for den vste kreds. b. Fnd svarene og u u fra alene påvrknngen, når denne er u = 10e t sn (3t 30 ) V Bestem svaret L for alene de påtrykte påvrknnger u = 1e t sn (3t 30 ) V og = 3e t A. u Ω 5 Ω 1/6 F L 1 H Opgave Fnd nulpunkter og poler for overførngsfuntonerne a. H s H ( ) b. s ( ) s s = s s s 8s 15 = 3 s s s To mpedanser har følgende nulpunkter og poler: Z 1 : z 1, z, z 3, p 1, p, p 3 og Z : z 1, z 3, z 4, p, p 4, p 5. Hvlke nulpunkter og poler vl den resulterende mpedans have, hvs de to mpedanser forbndes a. sere, b. parallel? a. Fnd overførngsfunktonen H(s) = U u /U for den vste kreds og angv dens nulpunkter og poler. b. Bestem svaret u u for alene et påtrykt sgnal u = 10e 3t cos (4t 30 ) V Fnd det fuldstændge svar L (t), når påvrknngen er u = 10e t cos6t V, og kredsen er hvle (L = 0 og uc = 0) tl t = 0. u H 6 H 1 Ω u u 1 Ω L u 40 mf 0,1H Opgave Opgave Fnd det fuldstændge svar L (t), når påvrknngerne er = e 4t cos4t A, u = 9 V, og L (0) = 0. 6 Ω H L u Opgave

41 11: Logartmske karakterstkker Afbld nulpunkter og poler s-planen for overførngsfunktonen H( s) = 3 s s s s s s Afbld nulpunkter og poler s-planen for overførngsfunktonen ( s 5 j3)( s 5- j3) H( s) = 30 ( s 3 j4)( s 3 - j4) og fnd H θ for ω = 7 s 1 ved udmålng planen Overførngsfunktonen H(s) = U/I har nulpunkt og poler som vst tl højre for kredsen. Bestem komponentværderne for R og C. jω R C 1 H u x x o σ 1 Opgave Logartmske karakterstkker a. Bestem overførngsfunktonerne H(s) = U u /U for de to vste kredse. b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonerne, når R = 1 kω, C = 10 µf og 1 ω 10 4 s 1. u Opgave C R uu I u R C u u II 11.. a. Bestem overførngsfunktonerne H(s) = U u /U for de to vste kredse. b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonerne, når R = 10 Ω, L = 1 H og 0,1 ω 10 3 s 1. u L R Opgave 11.. uu I u R L uu II a. Bestem overførngsfunktonen H(s) = U u /U for den vste kreds. b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen, når R 1 = 10 kω, R = 1 kω, C = 0,5 µf og 10 ω 10 5 s 1.

42 44 11: Logartmske karakterstkker a. Bestem overførngsfunktonen H(s) = U u /U for den vste kreds. b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen, når R 1 = 330 Ω, L 1 = 0,1 H, R = 100 Ω, L = 1 H og 1 ω 10 4 s 1. c. Beregn de nøjagtge værder af A og θ for ω = 50, 100, 00 og 500 s 1. R 1 R1 L 1 R u C R u u u L u u Opgave Opgave H(s) = Uu/U for den vste kreds kan jf. sde 4 skrves 1 s H( s) = 1F R 1I s s H L RCK 1 LC Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen, når R = 10 Ω, L = 0,1 H, C = 1 mf og 1 ω 10 3 s a. Vs, at overførngsfunktonen H(s) = U u /U for den vste kreds kan skrves C1 s z1 H( s) =, hvor C C s p R1 R z1 = og p1 = RC 1 1 ( C1 C ) R1R b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen, når R 1 = 16 kω, R = 8 kω, C 1 = 5 nf, C = 50 nf og 10 Hz f 100 khz (husk ω = πf). c. Undersøg, hvad der sker med karakterstkkerne, hvs C ændres, så den blver 10 nf. R 1 R C C 1 u L uu R u R u u C Opgave Opgave 11.6.

43 11: Logartmske karakterstkker En kreds har overførngsfunktoenen H( s) s 40s 18 Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen nden for et rmelgt nterval af ω En kreds har overførngsfunktoenen s 9s 8 Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen nden for et rmelgt nterval af ω En kreds har overførngsfunktoenen = H( s) s H( ) s s = s = - 4 s s s s ( 100) Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen nden for et rmelgt nterval af ω På fguren er vst den asymptotske ampltudekarakterstk for ndgangsmpedansen Z n for en kreds bestående af to lneære komponenter. Bestem kredsen og angv størrelsen af de to komponenter. db s 1 Opgave På fguren er vst ampltude- og fasekarakterstk for en kreds. Bestem dens overførngsfunkton H(s) Indgangsmpedansen Z n for en kreds har overførngsfunktonen H( s) s = R RC s LC R 1 1 F H I K s s L Den asymptotske ampltudekarakterstk for funktonen er vst på fguren. Bestem størrelsen af R, L og C.

44 46 11: Logartmske karakterstkker db s 1 θ , s 1 Opgave db 39, s 1 Opgave For en kreds er gvet overførngsfunktonen H( s) = 600 s 6 s 10s 400 a. Bestem ω n og ζ. b. Tegn de asymptotske ampltude- og fasekarakterstkker for funktonen for et rmelgt nterval af ω. c. Beregn de nøjagge værder af A for 0,5ω n, ω n og ω n.

45 1: Frekvensanalyse 47 1 Frekvensanalyse 1.1. For serekredsen på fguren skal bestemmes resonansfrekvensen f0, grænsefrekvenserne f 1 og f, båndbredden B og godhedsfaktoren Q. u 10 Ω 10 mh 1 µf Opgave Der ønskes opbygget en sereresonanskreds med R s = 50 Ω, f 0 = 15,9 khz og Q = 100. Bestem Ls og Cs Der ønskes opbygget en sereresonanskreds med en båndbredde på 10 khz og øvre grænsefrekvens ω = 955 khz. Indgangsmpedansen ved ω skal være 500 Ω. Bestem R, L og C For parallelkredsen på fguren skal bestemmes resonansfrekvensen f 0, grænsefrekvenserne f 1 og f, båndbredden B og godhedsfaktoren Q. mh 0,5 mf 0 Ω u Opgave En parallelresonanskreds ønskes konstrueret med en 1 µf kondensator. f 0 = skal være 10 khz og båndbredden 500 Hz. Bestem R p og L p samt godhedsfaktoren Q Parallelkredsen på fguren skal opbygges med en resonansfrekvens f 0 på MHz og et Q på 00. Tl rådghed er en spole med L = 0,63 mh og r = 15 Ω. Bestem størrelserne af den kondensator og den modstand, der skal bruges. (Tp: se eksempel 1. lærebogen.) C r L R u Opgave 1.6.

46 48 1: Frekvensanalyse 1.7. På fguren repræsenterer klden og modstanden tl venstre en antennekreds med ndgangssgnalet u og en ndre resstans R = 75 Ω. Bestem R p, L p og C p den tlsluttede resonanskreds, når der skal overføres mest mulg effekt tl denne ved en resonansfrekvens på f 0 = 106 MHz, og godhedsfaktoren skal være 100. u R R p Lp Cp uu Opgave a. Bestem overførngsfunktonen H(s) = U u /U for kredsen og angv med begrundelse, hvlken fltertype der er tale om. b. Fnd resonansfrekvensen f 0 og båndbredden B a. Bestem overførngsfunktonen H(s) = U u /U for kredsen og angv med begrundelse, hvlken fltertype der er tale om. b. Flteret skal realseres med resonansfrekvensen f 0 = 318 khz og en båndbredde på 10 khz. Bestem R og L, hvs C vælges tl 5 nf. u r L C R uu u R C L uu Opgave 1.8. Opgave Forklar ud fra en fyssk betragtnng, hvorledes dette flter vrker a. Fnd overførngsfunktonen H(s) = U u /U for det vste båndstopflter. b. Udled et udtryk for mnmumsværden af H(jω), når R >> r. u L C C L Opgave Opgave R uu 1.1. Bestem C det vste højpasflter, når der ønskes en grænsefrekvens på f c = 10 khz, og belastnngsmodstanden er R = 10 kω Bestem L det vste lavpasflter, når de ønskes en grænsefrekvens på f c = 0 khz, og belastnngsmodstanden er R = 1 kω. u r C L R uu

47 1: Frekvensanalyse 49 u C R uu u L R uu Opgave 1.1. Opgave Forklar, hvorledes dette flter vrker. (Opstl overførngsfunktonen for flteret. Tp: se Wheatstone-broen sde 53 samt sde lærebogen.) Udled overførngsfunktonen H(s) = U u /U for det vste flter og angv dets type. (Tp: se Wheatstone-broen sde 53 lærebogen.) Passer den fundne type med en fyssk betragtnng? L C u R R L L Opgave Opgave u u - u R R uu Det vste båndpasflter er dmensoneret med en overførngsfunkton U s H() s = = 01, I s 01, s 1 det der er set bort fra spolens resstans. Der ønskes nu en resonansfrekvens på f 0 = 100 khz og en ndgangsmpedans ved resonans på 10 kω. Bestem L og C, så dsse krav opfyldes. C L R u Opgave I en håndbog fnder v det vste standard-lavpasflter med R g = R B = 1 Ω, L = H og C = F, dvs. ω c = 1 s 1. V ønsker at bruge flteret en telefonforbndelse, hvor R g = R B afpasses tl 600 Ω, og hvor grænsefrekvensen skal være,5 khz. Bestem L og C. u R g L C RB uu Opgave 1.17.

48 50 13: Laplace transformaton 13 Laplace transformaton Vs, at den Laplace transformerede af den vste funkton kan skrves Lmua tf F F r= e s I HG s K J I - - shg s K J s (Tp: se eksempel 13. lærebogen) V 1 u -1 Opgave t s 13.. Som foreløbgt resultat af en opgave er fundet Bestem (t) Dekomponer brøken og bestem u(t) Fnd u(t), når en udregnng har gvet Dekomponer brøken og bestem u(t). af= I s af= U s af U s = U s s 1 3 s s s 4s 0 3 s 14s 30s s s s s s af= a 8fd s 0 3 s s s Den vste kreds er statonær for t < 0, og afbryderen er lukket. Tl t = 0 åbnes afbryderen. a. Fnd (t) og u(t) for t > 0 ved hjælp af Laplace transformatonen. b. Løs den samme opgave ved hjælp af metoderne kaptel I den vste kreds er strømmen og spændngen over kondensatoren begge 0 for t < 0, det afbryderen er åben. Tl t = 0 lukkes afbryderen. Bestem (t) for t > 0, når a. u = 10 V. b. u = 10e 4t V.

49 13: Laplace transformaton 51 1 H t = 0 1 V 6 Ω 6 Ω u 1 H t = 0 u 1/6 F 5 Ω Opgave Opgave Den vste kreds er hvle med afbryderen åben for t < 0. Afbryderen lukkes tl t = 0. Bestem u C (t) for t > 0, når a. = 5 A. b. = 5snt Kredsen er statonær og afbryderen lukket for t < 0. Tl t = 0 åbnes afbryderen. Bestem (t) for t > 0. t = 0 1/ F uc 1 H t = 0 1/16 F 4 V H 5 Ω Opgave Opgave Bestem (t) for t > 0 den vste kreds, det kredsen er hvle for t < 0 med afbryderen lukket, og denne åbnes tl t = 0. 6 Ω 1/ u t = 0 0 V u 1 H Ω 1/4 F Opgave Fnd strømmene 1 (t) og (t) for t > 0 kredsen, det afbryderen lukkes tl t = 0. Begge spoler er strømløse for t < 0, hvor afbryderen er åben I den vste kreds er omskfteren O stllng 1 for t < 0, og kredsen er statonær. Tl t = 0 lægges omskfteren stllng. Bestem (t) for t > 0.