Manual til. GeoMeter. Allan Bergmann Jensen. Kortfattet manual til den danske udgave af geometriprogrammet»the Geometer s Sketchpad«

Transkript

1 GeoMeter Manual til Allan Bergmann Jensen Kortfattet manual til den danske udgave af geometriprogrammet»the Geometer s Sketchpad«

2 GeoMeter, Manual 2002 L&R Uddannelse, København 2. udgave: Forlag Malling Beck A/S udgave er, med et nyt forlagsnavn, et uændret optryk af 1. udgave, 3. oplag Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af materialet eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. SKETCHPAD DESIGN: Nicholas Jackiw SOFTWARE IMPLEMENTATION: Nicholas Jackiw, Scott Steketee MANUAL: Scott Steketee, Nicholas Jackiw, Steven Chanan SUPPORT: Keith Dean, Jill Binker, Matt Litwin PRODUKTION: Jill Binker, Deborah Cogan, Diana Jean Parks, Caroline Ayres DANSK OVERSÆTTELSE OG BEARBEJDELSE: Allan Bergmann Jensen REDAKTØR: Bent Lindhardt GRAFISK TILRETTELÆGGELSE: WERKTOY v. Søren Ditlefsen ISBN Programmet»The Geometer s Sketchpad«blev oprindeligt skabt i et samarbejde mellem»the Visual Geometry Project«på Swarthmore College og»key Curriculum Press«.»The Visual Geometry Project«blev ledet af Drs. Eugene Klotz og Doris Schattschneider. Dele af dette materiale er baseret på arbejde udført af»kcp Technologies, Inc.«med støtte fra»the National Science Foundation«. Tak til Helge Thygesen og Jesper Hviid for faglig bistand og korrekturlæsning. Tak til de kollegaer og elever fra Tømmerup Fri- og Efterskole, som har hjulpet med korrekturlæsning, fejlfinding og testning af GeoMeter og de tilhørende opgaver. En særlig tak til eleverne for de mange flotte og fantasifulde tegninger.

3 Indhold MANUAL Om GeoMeter og dynamisk geometri Van Hieles teori Kom godt i gang Dokumentvinduet Værktøjspanelet Vælg objekter Flytte og animere Konstruktion og transformering Målinger, beregninger og funktioner Vis Makroer Gemme som html Genvejstaster Esc tasten Højreklikmenuen Mere hjælp KOPIARK Kopiark Leg med figurer Symmetri og mønstre Flade til rum Medianer (1) Medianer (2) Linjens ligning/ grafspillet Perspektivtegning Pythagoras Harmoniske svingninger Projekter med GeoMeter APPENDIKS Appendiks menuoversigter Filer Vis Rediger Konstruer Transformer Mål Graf MANUAL TIL GEOMETER 3

4 Om GeoMeter og dynamisk geometri Matematiske modeller Elever og studerende Undervisere Forskere Kunstnere og designere Programmet GeoMeter er beregnet til at skabe, undersøge og analysere en lang række matematiske problemstillinger. Ved at bruge dynamisk geometri, kan du konstruere interaktive figurer, som spænder fra grundlæggende undersøgelser af former og tal til avancerede, animerede illustrationer af komplekse systemer. Hvis du er elev eller studerende, kan GeoMeter hjælpe dig med at undersøge såvel emnerne fra geometrien, som matematiske ideer fra algebraen, trigonometrien og mange andre områder. Hvis du er underviser, vil GeoMeter være et overbevisende værktøj til præsentation af matematiske ideer, til udarbejdelse af klasseopgaver og til at pirre elevernes nysgerrighed og aktive gætning, uanset om du arbejder i et klasselokale med en enkeltstående computer til rådighed eller i et computerlokale med en pc til hver elev. Forskere og andre matematikentusiaster bruger GeoMeter som hjælp til gennem eksperimenter at stille og besvare spørgsmål af typen:»hvad sker der hvis?«. Og GeoMeter bruges som redskab til tilbundsgående undersøgelser af en konstruktions egenskaber og som hjælp til at skabe ny viden. GeoMeter bruges også til at konstruere matematiske illustrationer i topkvalitet til brug ved formidling og til udarbejdelse af hjemmeopgaver, rapporter og publikationer. Eller illustrationerne skabes af kunstnere og designere alene for deres egen iboende visuelle kvalitet som matematiske kunstværker. Arabisk inspireret mønster. Du finder opskriften i Guidede ture. 4 MANUAL TIL GEOMETER

5 Van Hieles teori Van Hieles teori stammer fra undersøgelser udført af hollænderne Dina van Hiele-Geldof og hendes mand Pierre van Hiele helt tilbage i De to satte sig for at undersøge, hvorfor megen geometriundervisning ikke trængte igennem til eleverne. En del af deres undersøgelser mundede ud i en beskrivelse af fem udviklingstrin, som elever/studerende gennemgår i deres forståelse af geometrien. Hvert af de fem udviklingstrin forudsætter, at eleven fungerer godt på det forrige trin. Med andre ord kan de færreste elever springe udviklingstrin over uden at miste forståelsen. Og det var netop det, der var problemet med geometriundervisningen ifølge ægteparret van Hieles undersøgelser. Eleverne fungerede på et trin, og læreren underviste på et andet. Og det forbedrede ikke situationen, at elever og lærere snakkede forbi hinanden, fordi de oplevede og fungerede på hver deres van Hiele trin. En lærer og en elev kunne benytte de samme ord og alligevel tale om vidt forskellige begreber. Herunder følger en kort beskrivelse af de fire første van Hiele trin: Trin 1: Genkendelse Eleverne kan genkende figurer ud fra deres udseende. De genkender trekanter, kvadrater, parallelogrammer osv. ud fra figurernes form, men de gennemskuer ikke deres egenskaber. De grupperer visuelt. Trin 2: Analyse Eleverne begynder at analysere de geometriske figurers egenskaber, og de lærer sig den tekniske terminologi. Nyere amerikanske undersøgelser viser, at 70% af eleverne fungerer på van Hieles trin 1 eller lavere, når de starter på High School. Trin 3: Organisering Eleverne organiserer figurerne logisk ved hjælp af kortere ræsonnementer, og de forstår slægtskabet mellem figurer. Trin 4: Deduktion Eleverne begynder at udvikle længere forklaringer, de begynder at forstå nødvendigheden af deduktion, betydningen af aksiomer, teorier og beviser. Uanset om eleverne fungerer på det ene eller det andet van Hiele trin, er programmet GeoMeter et effektivt redskab til udvikling af elevernes geometriske og matematiske formåen. Programmet kan bruges fra de først spæde forsøg på at kombinere trekanter, cirkler og andre geometriske figurer, til avancerede analyser af geometriske fænomener. GeoMeter kan bruges fra før van Hieles trin 1 og til langt på den anden side af van Hieles trin 4. MANUAL TIL GEOMETER 5

6 Kom godt i gang Seks guidede ture indgår i dokumentsamlingen GeoMeter i undervisningen. Denne manual giver dig en gennemgang af programmets vigtigste funktioner. Hvis du aldrig har arbejdet med lignende programmer før, kan du starte med at gennemgå de Seks guidede ture. Sammen med denne manual, giver turene dig et godt fundament at bygge videre på. De Guidede ture er skrevet i et sprog, så de tillige kan benyttes af elever, der skal lære at bruge programmet. Du finder de Seks guidede ture og GeoMeter i undervisningen som underpunkter til menuen Hjælp. Det er nemt at komme i gang med GeoMeter. De fleste menuer og dialogbokse er selvforklarende. GeoMeter fungerer som andre Windowsprogrammer, og du skal derfor ikke spilde tid på at lære en helt ny programflade. Du finder kopiark med opgaver bagerst i denne manual. Bagerst i dette hæfte finder du kopiark med opgaver, der er udvalgt, så du får en førstehåndsoplevelse af programmets mange muligheder. Da GeoMeter kan bruges af elever fra folkeskolens mellemtrin og opefter, dækker udvalget af opgaver stofområder fra 4. klasse til gymnasieniveau. Du kan således straks uanset hvilket niveau du underviser på teste programmet sammen med dine elever. Under menuen Hjælp finder du en meget omfattende hjælpefunktion, der dækker alle programmets aspekter. Søg under Hjælp, hvis du har brug for flere oplysninger om et emne, end denne kortfattede manual kan tilbyde. Dokumentsamlingen GeoMeter i undervisningen. Her kan du finde inspiration til din undervisning. Du finder GeoMeter i undervisningen som underpunkt til menuen Hjælp. 6 MANUAL TIL GEOMETER

7 Dokumentvinduet Menuerne Hver menu tilbyder en samling kommandoer til løsning af særlige opgaver. Filer: Håndtering og udskrivning af dokumentet. Rediger: Egenskaber, handleknapper og indstillinger. Vis: Formatering af objekter herunder tekst. Konstruer: Vinkelrette linjer, midtpunkter og lignende geometriske konstruktioner. Transformer: Spejling, drejning og andre transformationer. Mål: Måling og beregning. Graf: Koordinatsystem og funktioner. Værktøjspanelet Her vælger du mellem de seks værktøjsknapper: Pil, Punkt, Cirkel, Linje, Tekst eller Makro. Makroer er konstruktioner, som du selv kan programmere. Tegneplanet Her kan du afsætte, tegne og konstruere punkter, linjer og andre objekter ved hjælp af: Punkt, Cirkel, Linje og Tekst. Alle objekter kan vælges og flyttes med pegeværktøjet Pil. Du vælger objekterne ved at klikke på dem. Når objekter er valgt, kan du manipulere dem ved at bruge menuerne. Statuslinjen Statuslinjen beskriver de objekter, du har valgt, eller hvilket værktøj, der er i brug. Hold øje med statuslinjen, da den ofte giver værdifulde oplysninger. Faneblade Hvis dokumentet består af flere sider, kan du skifte mellem de enkelte sider ved at klikke på fanebladene. Du tilføjer nye sider med menupunktet: Filer Dokumentstyring. MANUAL TIL GEOMETER 7

8 Værktøjspanelet Pil til at vælge: Klik. Pil til at flytte: Tryk træk. Punkter: Klik. Cirkel: Klik træk klik. Linjestykker, halvlinjer og linjer: Klik træk klik. Tekst: Dobbeltklik Navn: Peg klik. Makro: Tryk og vælg. Esc afslutter brugen af makroen. Pil. Pegeværktøj til håndtering af objekter. Vælg/fravælg objekterne ved at klikke på dem med pilen. Træk i objekterne for at flytte dem rundt i tegneplanet. Hold venstre musetast nede på knappen et øjeblik for at skifte mellem Pil til parallelforskydning, Pil til drejning og Pil til multiplikation om et punkt. Punkt. Klik på et tomt område i tegneplanet, hvis du vil afsætte et frit punkt. Eller klik på en streg hvis du vil afsætte et punkt, der er bundet til stregen. Cirkel. Klik med musen for at placere cirklens centrum. Flyt musen til cirklen har den ønskede størrelse, og klik igen for at afsætte et punkt på periferien. Punkterne kan enten afsættes som frie punkter eller som bundne punkter. Linje. Værktøj til konstruktion af linjestykker, halvlinjer og linjer. Et klik afsætter en linjes ene styrepunkt. Flyt musen og klik en gang til for at afsætte linjens andet styrepunkt. Hold venstre musetast nede på værktøjsknappen Linje et øjeblik for at skifte mellem: Linjestykke, Halvlinje og Linje. Tekst. Dobbeltklik med værktøjet Tekst i et tomt område for at oprette en tekstboks. Et klik på et objekt viser eller skjuler objektets navn. Du kan flytte navnet ved at trække i det. Dobbeltklik på et navn, en måling, en beregning eller en tekstboks, når du vil redigere eller formatere teksten. Makro. Du åbner makromenuen ved at holde venstre musetast nede et øjeblik, medens du peger på knappen Makro. Fra popop-menuen kan du oprette nye makroer eller vælge mellem de tilgængelige makroer. Vælg en makro fra listen og benyt den efterfølgende i din konstruktion. Du afslutter brugen af makroen ved enten at klikke på en af de andre værktøjsknapper eller ved at trykke på Esc-tasten. (Se også afsnittet om makroer.) 2 Tip Hjulet på musen kan bruges til at skifte mellem værktøjspanelets funktioner. 2 Tip Du kan gå til værktøjet Pil ved (gentagne) tryk på Esc-tasten. 8 MANUAL TIL GEOMETER

9 Vælg objekter Hvis menupunkterne er vist med grå tekst frem for sort, er de pågældende punkter ikke til rådighed. Menupunkterne gøres tilgængelige ved først at vælge de nødvendige objekter. F.eks. skal du vælge netop et punkt og en linje, hvis du vil konstruere en vinkelret linje. (Se afsnittet: Konstruktion og transformering). Sådan vælger du objekter Sådan vælger du et eller flere objekter Sådan vælger du flere eller alle synlige objekter med male over teknikken Sådan fravælger du et eller flere objekter Sådan fravælger du alle objekter Genvejstast til at vælge alt Klik på objekterne et efter et med pegeværktøjet Pil. Klik og hold venstre musetast nede i et tomt område af tegneplanet med pegeværktøjet Pil. Træk diagonalt over skærmen (mal over). Der vises et stiplet rektangel på skærmen. Alle de objekter, der er indfanget i rektanglet, vil blive valgt. Et klik med pegeværktøjet på valgte objekter vil fravælge dem igen. Klik i et tomt område af tegneplanet med pegeværktøjet eller tryk på Esc-tasten. Ctrl+a Objekterne er valgt. Objekterne er ikke valgt. Vælg med»mal over«2 Tip Hold skiftetasten nede, medens du vælger med musen. Så undgår du at fravælge alle objekter, hvis du er uheldig at rammer et tomt område i tegneplanet. Brug skiftetasten når du vælger. 2 Tip Ofte kan det betale sig at vælge alle objekter (ctrl+a) og derefter fravælge de objekter, der ikke skal være en del af udvalget. Geometriske figurer tegnet af elever i en 4. klasse. MANUAL TIL GEOMETER 9

10 Flytte og animere Dynamisk geometri Peg et øjeblik med musens venstre knap på Pil for at skifte mellem de tre pileværktøjer. Dynamisk geometri gør geometrien bevægelig. Du kan trække i en figurs forskellige enkeltdele for at undersøge hvordan de hænger sammen og dermed prøve om der er hold i en antagelse eller et gæt. Eller du kan animere objekter med handleknapper og dermed opbygge komplicerede matematiske præsentationer. Flyt objekter Hold venstre musetast nede, medens du peger på værktøjet Pil. Vælg mellem Pil til parallelforskydning, Pil til drejning og Pil til multiplikation om et punkt. Du flytter de valgte objekter ved at pege og trække med venstre musetast holdt nede. Værktøjet, Pil til parallelforskydning, flytter de valgte objekter i planen uden at ændre hældning, størrelse og afstande. Værktøjet, Pil til drejning, vil dreje de valgte objekter rundt om et punkt, der forlods er markeret som centrum (GeoMeter markerer automatisk det mest centrale punkt som centrum for drejningen, hvis du ikke selv har markeret et). Værktøjet, Pil til multiplikation om et punkt, vil forstørre eller formindske de valgte objekter omkring et punkt, der er markeret som centrum. 2 Tip Med alle objekter valgt, kan Pil til multiplikation om et punkt bruges til at zoome ud og ind på en konstruktion. Animationspanelet Brug menupunktet Vis Vis animationspanel til at vise det valgte objekts animationspanel. Multiplikation om et punkt. Fokus Viser navnet på det objekt, som animationspanelet styrer. Hvis flere objekter animeres samtidig, kan du få vist en liste over samtlige animerede objekter, ved at klikke på den sorte pil. Startknap Starter animationen af de valgte objekter. Stopknap Stopper animationen af de valgte objekter. Hastighedsfelt Fra dette felt kan du styre animationens hastighed. Hvis ingen objekter er valgt, vil dine ændringer påvirke alle de animerede objekter. Indtast et tal eller reguler hastigheden med pilene. Retningsknap Skifter bevægelsesretning på alle de valgte objekter. Virker kun med objekter, der er bundet til streger. Pauseknap Stopper alle animationer midlertidigt. Klik igen for at fortsætte. 10 MANUAL TIL GEOMETER

11 Animerede objekter: Frie punkter Punkter bundet til streger. (dvs. linjestykker, linjer, cirkler, grafer etc.) Parametre Alle andre objekter Deres mulige bevægelse: Tilfældig bevægelse i planen. Bevægelse langs med eller rundt på stregen. Brug handleknapper, hvis du yderligere vil styre og finjustere retning, hastighed etc. Værdien af parameteren ændres enten kontinuerligt eller diskret inden for et værdiområde, som defineres i dialogboksen Parameteregenskaber. Bevæges ved at animere de bagvedliggende objekter (forældreobjekterne). Punkter kan også bindes til og animeres langs: Indre af polygoner, indre af cirkler, cirkelafsnit, cirkeludsnit, grafer og geometriske steder. Animationsknap Vælg et eller flere objekter. Brug menupunktet Rediger Handleknapper Animation til at skabe en animationsknap, der styrer objekternes animering. Animationsknapperne giver flere muligheder til styring af animationen end animationspanelet. Handleknapper: Bevægelsesknap Vælg to punkter og brug menupunktet Rediger Handleknapper Bevægelse til at skabe en bevægelsesknap, der flytter det først valgte punkt hen til det andet valgte punkt, hvor det vil stoppe. Ansigtet ændrer udtryk ved hjælp af bevægelsesknapper. Handleknapper Andre handleknapper kan vise og skjule objekter, skifte til en ny side i dokumentet, linke til Internettet eller skabe komplekse præsentationer ved at kombinere de forskellige handleknapper til en præsentationsknap. MANUAL TIL GEOMETER 11

12 Konstruktion og transformering Vinkelrette linjer, midtpunkter, skæringspunkter etc. konstrueres med kommandoerne i menuen Konstruer. Med menuen Konstruer kan du tegne nye objekter, som bygger på eksisterende objekter. F.eks. vinkelrette linjer, vinkelhalveringslinjer og midtpunkter. Med menuen Transformer kan du bl.a. parallelforskyde, dreje, eller spejle geometriske objekter i dine konstruktioner. Menuen Konstruer Alle kommandoerne i menuen Konstruer kræver, at de rigtige objekter er valgt. Hvis det menupunkt, du ønsker at bruge, er vist med gråt, skyldes det, at du ikke har valgt den rigtige kombination af objekter. Statuslinjen viser, hvor mange objekter du har valgt. Vælg et punkt og en linje når du vil konstruerer en vinkelret linje. Cirkelafsnit Cirkeludsnit Se den Guidede tur nr. 6, for hjælp til konstruktion af geometrisk sted. Når du vil konstruere: Punkt på et objekt Midtpunkt Skæringspunkt Linjestykke, halvlinje eller linje Parallel linje Vinkelret linje Vinkelhalveringslinje Cirkel udfra centrum og punkt Cirkel udfra centrum og radius Cirkelbue Cirkelbue gennem tre punkter Det indre af en polygon Det indre af en cirkel Cirkelafsnit Cirkeludsnit Geometrisk sted Skal du vælge: Et objekt. Et linjestykke. To skærende linjer eller cirkler. To punkter. Et punkt og en linje. Et punkt og en linje. Tre punkter (i rækkefølgen: punkt på første vinkelben punkt i vinkelspids punkt på andet vinkelben). To punkter centrum vælges først. Et punkt og et linjestykke eller et punkt og en afstandsmåling. En cirkel og to punkter på omkredsen. Tre punkter. Tre eller flere hjørnepunkter. Vælges i rækkefølge med eller mod uret. En eller flere cirkler. En eller flere cirkelbuer. En eller flere cirkelbuer. Et styrepunkt og styret objekt 12 MANUAL TIL GEOMETER

13 Menuen Transformer Med menupunkterne Parallelforskyd, Drej, Multiplicer om et punkt og Spejl, kan du transformere et eller flere valgte geometriske objekter. Inden du kan transformere, skal du definere dine betingelser for transformationen med kommandoen Marker. F.eks. skal du markere et punkt som centrum for en drejning, inden du kan dreje en figur eller en samling objekter. Drejepunktet vil fortsætte med at fungere som centrum for fremtidige drejninger, indtil et nyt drejepunkt markeres. Bemærk forskellen mellem at markere og vælge: Objekter markeres for at fungere som redskaber for fremtidige transformationer, medens objekter vælges for efterfølgende at kunne spejles, drejes, parallelforskydes etc. Genveje: Et punkt kan markeres som centrum for en drejning eller en multiplikation om et punkt ved at dobbeltklikke på punktet. Og en linje kan markeres som spejlingsakse ved at dobbeltklikke på linjen. I begge tilfælde vises en lille animation som bevis for, at punktet/linjen er markeret. Menupunkt: Virkning: Marker centrum Det valgte punkt markeres som centrum for drejninger og multiplikationer om et punkt. Marker spejlingsakse Den valgte linje markeres som spejlingsakse for spejlinger. Marker vinkel Tre valgte punkter eller en vinkelmåling markeres som drejevinkel for drejninger. Marker forhold Marker vektor Marker afstand To linjestykker, tre punkter på samme linje eller et beregnet forholdstal markeres som det bestemmende forhold til en multiplikationer om et punkt. To valgte punkter markeres som henholdsvis begyndelsespunkt og slutpunkt for en vektor til parallelforskydninger. Parallelforskydning, drejning og spejling. Dobbeltklik på et punkt for at markere det som centrum for drejning eller en multiplikation om et punkt. Dobbeltklik på en linje for at markere den som spejlingsakse. En valgt længde- eller afstandsmåling markeres som afstand til brug med parallelforskydninger. (fortsættes) MANUAL TIL GEOMETER 13

14 Den Guidede tur nr. 5, giver en grundig instruktion i parallelforskydning og drejning. Itereret trekant. Se også iterationskurset i GeoMeter i undervisningen. Menupunkt: Parallelforskyd Drej Multiplicer om et punkt Spejl Iterer Virkning: Parallelforskyder de valgte objekter. Drejer de valgte objekter. Formindsker og forstørrer de valgte objekter. Spejler de valgte objekter. Itererer (gentager) en konstruktion. Fraktal konstrueret af Sheena 8. kl. 14 MANUAL TIL GEOMETER

15 Målinger, beregninger og funktioner Menuen Mål benyttes til at måle geometriske egenskaber på valgte objekter og til at beregne og undersøge forhold mellem målte værdier. Menuen Graf benyttes til at oprette koordinatsystemer og til at definere, plotte og differentiere funktioner. Du kan måle længder, afstande, vinkler, hældninger, arealer etc. Forudsætninger for måling Menupunkterne i menuen Mål forudsætter, at du forlods har valgt bestemte objekter. Hvis et ønsket menupunkt er vist gråt, skyldes det, at du ikke har valgt de rigtige objekter. Til måling af: Længde Afstand Omkreds Periferi Vinkel Areal Centervinkel Buelængde Radius Forhold Koordinater x- og y-koordinat Afstand mellem koordinater Hældningskoefficient Ligning Skal du vælge: Et eller flere linjestykker. To punkter eller et punkt og en linje. Det indre af en polygon, et cirkelafsnit eller et cirkeludsnit. Det indre af en cirkel eller en cirkelperiferi. Tre punkter i rækkefølgen: Punkt på første vinkelben punkt i vinkelspids punkt på andet vinkelben. En eller flere cirkler eller det indre af en polygon, det indre af en cirkel, et cirkelafsnit eller et cirkeludsnit. En eller flere cirkelbuer, cirkelafsnit eller cirkeludsnit. En eller flere cirkelbuer, cirkelafsnit eller cirkeludsnit. En eller flere cirkler, cirkelbuer, cirkelafsnit eller cirkeludsnit. To linjestykker eller tre punkter på samme linje (linjestykke, linjer, halvlinjer). Et eller flere punkter. Et eller flere punkter. To punkter. En eller flere linjer (linjestykker, linjer eller halvlinjer). En eller flere uendelige linjer eller en eller flere cirkler. Længdemål. Det indre af en polygon og det indre af en cirkel. Måling af cirklens ligning. MANUAL TIL GEOMETER 15

16 Du kan også flytte de valgte objekter med piletasterne. 2 Tip til måling Træk i de målte objekter, hvis du vil ændre værdien af en måling. Dobbeltklik på en måling med værktøjet Tekst, hvis du vil ændre målingens navn. Vælg menupunktet Rediger Egenskaber Værdi, hvis du vil ændre antallet af viste decimaler. Bortskaffelse af benævnelse: Vælg menupunktet Rediger Indstillinger Enheder, hvis du vil ændre enhederne på alle fremtidige målte vinkler og længder i dokumentet. Benyt lommeregneren til at dividere en måling med en benævnt enhed, hvis du ønsker at ændre et mål til en ren værdi (Eksempel: 13,5 cm/1 cm = 13,5). Mål og tekst kan samles til et fælles udtryk med menupunktet Rediger Saml tekst. Knappen til potensopløftning. Når lommeregneren er åben, kan du indsætte mål ved at dobbeltklikke direkte på målingerne. Det samme gælder for parametre, taludtryk og funktioner. Lommeregneren Lommeregneren til behandling af tal og mål finder du under menupunktet Mål Lommeregner. Graflommeregneren til behandling af funktionsudtryk finder du enten under Graf Ny funktion eller under Graf Plot ny funktion. Regne- og funktionsudtryk kan enten klikkes ind med musen eller tastes ind med tastaturet. I popop-menuen under Værdier kan du vælge mellem de forlods valgte værdier og parametre, nye parametre samt konstanterne e og. Under Funktioner finder du en liste over valgte funktioner, de trigonometriske funktioner og forskellige matematiske funktioner som f.eks. kvadratrod og numerisk værdi. Under Enheder kan du vælge mellem pixels, cm og tommer til længde- og afstandsmål og grader eller radianer til vinkelmål. Du kan tilføje mål, parametre og funktioner i dine regneudtryk med et dobbeltklik. 16 MANUAL TIL GEOMETER

17 Klik på OK, når dit regneudtryk er færdigindtastet. Allerede eksisterende regneeller funktionsudtryk kan redigeres ved at vælge udtrykket og derefter benytte menupunktet Rediger Rediger funktion/beregning. Genvej: Dobbeltklik på funktionsudtrykket eller beregningen. Plotte funktioner Graf Plot funktion plotter den valgte funktion på det aktuelle koordinatsystem. Træk i grafens endepunkter eller benyt Rediger Egenskaber, når du vil ændre grafens definitionsmængde. Eksempel på en graf plottet med GeoMeter. Dobbeltklik på funktionsudtrykket, når du vil redigere udtrykket. Afsæt punkter på grafen med værktøjet Punkt eller med menukommandoen Konstruer Punkt på objekt. Arbejde med koordinatsystem Graf Definer koordinatsystem opretter et nyt koordinatsystem. (0, 0) og enhedspunkt. Træk i enhedspunktet eller i talmarkeringerne på akserne for at ændre skalaen. Med Graf Gitter kan du skifte mellem kvadratisk, rektangulært og polært gitter. Tabeller En tabel i GeoMeter indeholder måledata, som registreres over tid. Kommandoen er kun til rådighed, når du forud har valgt objekter af typerne målinger, beregninger, parametre, målte koordinater eller målte ligninger. Tabellen oprettes med menupunktet Graf Tabel. Du kan slette og tilføje nye data til tabellen med + og tasterne eller med menupunkterne Graf Tilføj data til tabel og Graf Fjern data fra tabel. Tabeldata kan plottes i et koordinatsystem med menupunkt Graf Plot tabel, og data kan via computerens klippebord eksporteres til et regneark for videre behandling. MANUAL TIL GEOMETER 17

18 Vis Du skifter farve med menuen: Vis Farve. Eller brug højreklikmenuen. Stregobjekter: Alle linjer, cirkler, cirkelbuer, grafer, geometriske steder og spor. Benyt menuen Vis til at ændre udseendet af objekter. F.eks. stregtype og farve. Bevægelsesmønsteret for valgte objekter kan også ændres fra denne menu. Endelig kan objekter efterlade et spor på skærmen, når de flyttes. Hvis det menupunkt, du ønsker at benytte, ikke er til rådighed (vist gråt), skyldes det, at du ikke har valgt de rigtige objekter til den ønskede handling. De tre stregtyper: Stiplet, almindelig og fed. Menupunkt: Stregtype Farve Tekst Skjul objekter Virkning: Vælg mellem stiplet, almindelig eller fed streg. Skifter farven. Ændrer tekstegenskaber. Skjuler de valgte objekter (uden at påvirke objekternes geometriske rolle i konstruktionen). Spor efter punkt og linje. Vis alle skjulte (objekter) Vis/skjul navne Navngiv objekter Spor Slet spor Animer Viser alle skjulte objekter. Viser eller skjuler navnene til de valgte objekter. Navngiver flere valgte objekter alfabetisk i den rækkefølge objekterne er valgt. Viser et spor efter de valgte objekter, når de bevæges på skærmen. (Et flueben er sat, hvis de valgte objekter er sporet). Spor på skærmen slettes. Animerer de valgte objekter. 18 MANUAL TIL GEOMETER

19 Menupunkt: Virkning: Hurtigere Forøger hastigheden på den aktive eller valgte animation. Langsommere Sænker hastigheden på den aktive eller valgte animation. Stop animering Stopper den aktive eller valgte animation. Vis/skjul tekstpanel Viser eller skjuler tekstpanelet. Vis/skjul animationspanelet Viser eller skjuler animationspanelet. Vis/skjul værktøjspanel Viser eller skjuler værtøjspanelet. Tekstpanelet Tekstpanelet benyttes til formatering af alle former for tekster: Tekstbokse, navne, målinger og funktionsudtryk. Fra tekstpanelet kan du vælge skrifttype, skriftstørrelse, skriftfarve og typografi. Endelig er der en samling af matematiske symboler, som kan benyttes til at skrive korrekte formler og matematiske udtryk. Bemærk, at tekstpanelet kun kan benyttes til at formatere tekst. Ønsker du at ændre farven på geometriske objekter, skal det gøres fra menuen Vis Farve. Skrifttype Vælg fra listen. Typografi Vælg mellem fed, kursiv og understreget. Størrelse Indtast eller vælg fra listen. Gentagne tryk på Esc-tasten stopper alle animeringer. Symboler. Symbolsk notation Et klik på knappen viser en liste over tilgængelige symboler. Farve Et klik på pilen viser en liste af menufarver. Et klik på farveprøven åbner for dialogboksen Farve. Objekternes øvrige egenskaber Når du har valgt et objekt, kan du redigere egenskaberne med menupunktet Rediger Egenskaber. Forskellige objekter har forskellige egenskaber. Derfor ser panelet forskelligt ud, alt efter om du har valgt at redigere egenskaberne for et punkt, et navn, en værdi, et plot, en parameter etc. Et højreklik på et objekt vil åbne en højreklikmenu, hvorfra du kan vælge at redigere egenskaberne for det pågældende objekt. MANUAL TIL GEOMETER 19

20 Makroer Makroer er en type værktøj som du selv kan skabe med udgangspunkt i færdige konstruktioner. Når en makro er oprettet, er den en integreret del af dokumentet. Makroer kan bruges i lighed med de øvrige værktøjer i værktøjspanelet. (Se også eksempelsamlingen GeoMeter i undervisningen, hvor mange makroer er integreret.) Vælg alle objekter i en færdig konstruktion og klik på menupunktet Opret nyt makro. Konstruktionen bliver til en makro, der fremover kan bruges i såvel det aktuelle dokument som i andre dokumenter. Med menupunktet Håndtering af makroer kan du omdøbe en makro, du kan fjerne den fra dokumentet, eller du kan kopiere makroen mellem de åbne dokumenter. Vis opskrift viser punkt for punkt, hvordan en makro er konstrueret. Du kan rette i listen og listen kan udskrives. Denne funktion er god til at gennemskue, hvordan forskellige konstruktioner er udført. Resten af popop-menuen viser en liste over de makroer, der er til rådighed: Ovenstående figurer finder du tillige med mange andre færdige makroer i inspirationsmaterialet GeoMeter i undervisningen. Dette dokument: Makroer i det aktive dokument. Andre dokumenter: Makroer i andre åbne dokumenter. Makromappe: Makroer fra dokumenter, der er placeret i denne særlige mappe, vil altid være til rådighed. Makromappen er placeret i samme bibliotek som selve programmet. Gemme som html Hvis du holder Shift-tasten nede medens du peger på menuen Filer, ændres menupunktet Gem som til Gem som HTML. I menuen Filer Gem som kan du vælge at gemme som HTML/JavaSketchpad dokument. Dvs. at GeoMeter-konstruktioner kan udgives på Internettet. Vel at mærke således at konstruktionens dynamik bibeholdes. Se eksempler på forlagets hjemmeside: Læs mere under Hjælp. 20 MANUAL TIL GEOMETER

21 Genvejstaster GeoMeter kan i udstrakt grad styres via tastaturet med genvejstaster. Brugen af genvejstaster gør arbejdet med konstruktioner mere effektivt. Genvejstast: Ctrl + c Ctrl + v Ctrl + x Ctrl + a Ctrl + h Ctrl + z Ctrl + r Ctrl + o Ctrl + n Ctrl + s Ctrl + w Ctrl + q Ctrl + k Ctrl + m Ctrl + i Ctrl + l Ctrl + p Ctrl + f Ctrl + g Alt + + Shift + Enter Virkning: Kopierer de valgte objekter til klippebordet Indsætter objekter fra klippebordet Klipper de valgte objekter til klippebordet Vælger alle objekter, der er synlige på siden Skjuler de valgte objekter Fortryder sidste punkt i konstruktionen Genopretter det, der tidligere er fortrudt Åbner et dokument Opretter et nyt dokument Gemmer det aktive dokument Lukker det aktive dokument Afslutter GeoMeter Skjuler/viser navne til de valgte objekter Konstruerer midtpunkter på de valgte linjestykker Konstruerer skæringspunkt mellem f.eks. linjer og cirkler Konstruerer linjestykker mellem valgte punkter Konstruerer det indre af en polygon, det indre af en cirkel etc. Ny funktion Plot ny funktion Åbner for lommeregneren Venstrejusterer tekstbokse og knapper Udover de her nævnte genveje kan mange menupunkter og indstillinger i dialogbokse også nås med brug af Alt-tasten. Hvilke bogstavkombinationer, der skal bruges sammen med Alt-tasten, fremgår af de understregede bogstaver i menuer og dialogbokse. FORLAG MALLING MANUAL TIL GEOMETER 21

22 Esc tasten Tasten Esc afslutter forskellige tilstande. Tryk flere gange på tasten når du vil: Stoppe redigeringen af en tekstboks Skifte til værktøjet Pil Fravælge alle objekter Stoppe alle animationer Slette alle spor Højreklikmenuen Højreklikmenuen er en popop-menu, der vises, når du højreklikker på et objekt. Herfra kan du vælge mellem menupunkter, der er relevante for det valgte objekt (f.eks. stregtype, farve, egenskaber etc.). Hvis du højreklikker i et tomt område af vinduet, vises der relevante menupunkter gældende for dokumentet som helhed som eksemplet her til venstre. Mere hjælp Under menuen Hjælp finder du en dansk oversættelse af The Geometer s Sketchpad Reference Manual. Denne elektroniske manual er ganske omfattende, og den omhandler alle programmets aspekter. Søg under hjælp for flere oplysninger. Du kan også downloade manualen i det printervenlige pdf-format fra forlagets hjemmeside. Se også eksempelsamlingen: GeoMeter i undervisningen, hvor du finder seks guidede ture, mange eksempler på konstruktioner, mange nyttige makroer samt forslag til undervisningsforløb. Endelig henvises til GeoMeter hjemmesiden: Her finder du bl.a. en aktuel linksamling. Desuden vil fremtidige opdateringer og rettelser blive offentliggjort på webstedet. 22 MANUAL TIL GEOMETER

23 Kopiark 1. Leg med figurer (fra 3. klasse. En til to lektioner) 2. Symmetri og mønstre (fra 5. klasse. En til to lektioner) 3. Flade til rum (4.-7. klasse. To lektioner. Hjælpemidler: Lim, saks, centicubes, lineal) 4. Medianer (1) og Medianer (2) (fra 8. klasse. To lektioner) 5. Linjens ligning/grafspillet (8-9. klasse. 20 minutter) 6. Perspektivtegning (fra 8. klasse. To lektioner) 7. Pythagoras (10. klasse, gymnasiet, hf, seminarier etc. En til to lektioner.) 8. Harmoniske svingninger (Gymnasie, hf, seminarie etc. En lektion) 9. Fem projekter med GeoMeter ( klasse, gymnasie, hf, seminarie etc. En eller flere dage) MANUAL TIL GEOMETER 23

24 Leg med figurer Knappen Makro I denne opgave skal du tegne med trekanter, firkanter, cirkler osv. Klik på knappen makro og vælg Leg med figurer. 1 Tegn et kvadrat, en trekant og en cirkel 2 Giv de tre figurer nye farver. Højreklik på dem og vælg en ny farve. 3 Tegn et hus, et ansigt og et skib Du kan sætte punkterne oven i hinanden, så de hænger sammen Prøv få de næste figurer til at hænge sammen. 4 Tegn en blomst, en søstjerne, en Dinosaurer tegnet af Alexander 1. klasse. 24 KOPIARK TIL GEOMETER

25 Symmetri og mønstre 2 I denne opgave skal du undersøge mønstre bygget med regulære polygoner. (Polygon betyder mangekant). Se den Guidede tur nr. 1, hvis du er i tvivl om hvordan du tegner polygoner med makroer. Klik på knappen makro og vælg Regulære polygoner. Aftal med din lærer hvordan du skal aflevere opgavebesvarelserne: Som print, som GeoMeter-dokument etc. Knappen Makro 1 Kan du forklare, hvad der er regulært ved polygonerne? 2 Åbn et nyt dokument (ctrl+n) og konstruer følgende figurer (polygonerne skal hænge sammen): a) b) c) d) 3 Byg videre på mønstrene herover, sådan at der ikke opstår huller og mellemrum. KOPIARK TIL GEOMETER 25

26 2 4 Konstruer mønstre uden huller og mellemrum, hvor du bruger: a. Samme slags regulære polygoner. b. To forskellige slags regulære polygoner. c. Tre forskellige slags regulære polygoner. d. Fire forskellige slags regulære polygoner. 5 Find symmetrier i de mønstre du har skabt ovenfor. (spejlingsakser, drejepunkter og parallelforskydninger). 6 Kan du skabe et symmetrisk mønster kun med femkanter? (Der må gerne være huller og mellemrum). Ekstra Udfyld skemaet herunder. Mål den indvendige vinkel i polygonerne med GeoMeter: Antal sider (n) Vinkel Sådan måler du en vinkel: Vælg punkterne i rækkefølge A-B-C Brug menupunktet Mål Vinkel. Vis at følgende formel kan bruges til at udregne den indvendige vinkel i polygonerne (n = antallet af sider): 26 KOPIARK TIL GEOMETER

27 Flade til rum 3 I denne opgave skal du undersøge rumfanget af forskellige kasser. Du skal tegne kasserne ved hjælp af en makro. Klik på knappen makro og vælg Flade til rum. Knappen Makro 1 Tegn udfoldede kasser med makroen Kasseformet prisme. Kasserne skal have et rumfang på ca. 20 cm 3. Print dem ud og lim dem sammen. Undlad at lime låget fast. 2 Hvor mange centicubes gætter du på, at der kan være i kassen? Prøv efter. 3 Byg en kasse med det dobbelte rumfang, 40 cm 3. Sammenlign med kasserne på 20 cm 3. Beskriv forskellene? 4 Prøv om du kan tegne og lime kasser, som passer til netop 24, 25, 27, 28, 30, 32, 36 eller 40 centicubes. Det er nemmest, hvis du bygger kasserne med centicubes, før du tegner og limer kasserne. Hvis du har tid, kan du dekorere kasserne, inden du limer dem sammen. Kasseformet prisme KOPIARK TIL GEOMETER 27

28 Medianer (1) Se den Guidede tur nr. 2, hvis du er i tvivl om, hvordan du skal konstruere trekanten og dens medianer. I denne opgave skal du undersøge medianerne i en trekant. Konstruer en trekant med kun en median: Vælg de farvelagte områder af trekanten. Mål arealet med Mål Areal. 1 Mål og sammenlign arealerne af ABD og ACD. Hvad gælder der for arealerne? 2 Undersøg højder og grundlinjer for de to trekanter. Hvorfor har de to mindre trekanter altid samme areal? Vælg to punkter. Mål afstanden mellem punkterne med Mål Afstand. 3 Skriv dine opdagelser og forklaringer ind i dit GeoMeter-dokument. 28 KOPIARK TIL GEOMETER

29 Medianer (2) 4 Konstruer en trekant med tre medianer. I GeoMeter i undervisningen finder du et eksempel på Klassens elektroniske logbog. Der kan du læse hvad en ottende klasse skrev om medianerne i en trekant. 4 Passer det at trekantens medianer altid skærer hinanden i samme punkt? 5 Er der trekanter, der har fælles højder? Vær opmærksom på, at der er mere end seks trekanter. F.eks. har AFC og FBC samme højde. Du skal prøve at finde dem alle! Du indsætter ekstra sider i dit GeoMeter-dokument med: Filer Dokumentstyring. 6 Er der på samme måde trekanter, der har grundlinjer af samme længde? 7 Hvilke trekanter har grundlinjer af samme længde og samtidig ens højder? Hvad må da gælde for sådanne trekanternes arealer? 8 Skriv alle jeres opdagelser ind i GeoMeter-dokumentet. Lad dokumentet indgå i klassens Elektroniske logbog. 9 Undersøg på samme måde trekanternes midtnormaler, højder og vinkelhalveringslinjer. Skærer disse linjer hinanden i samme punkt? Undersøg hvad der sker når du bevæger trekantens hjørner. KOPIARK TIL GEOMETER 29

30 5 Linjens ligning/ grafspillet Spillet går ud på at gætte en linjes ligning. Linjestykke, halvlinje og linje. I skal bruge linje til grafspillet. Spilleregler: Spilles parvis. Konstruer et koordinatsystem med menupunktet: Graf Definer koordinatsystem. Spiller A tegner en linje (ikke et linjestykke eller en halvlinje). Spiller B gætter på ligningen til linjen ved at indtaste sit gæt ved hjælp af menupunktet: Graf Plot ny funktion. Spillerne kontrollerer ligningen ved at vælge den linje, som spiller A tegnede, hvorefter linjens ligning måles med menupunktet Mål Ligning. Spillerne forhandler point således, at der gives nul point for et vildskud og tre point for et helt rigtigt bud. Nyt spil: Ctrl+n. Spillerne spiller tre gange mod hinanden, hvorefter der skal dannes nye spillepar. Klassens vinder er den spiller, som har opnået det højeste pointtal efter 20 minutter. Varier spillet ved at vælge rektangulært gitter: Graf Gitter Rektangulært 30 KOPIARK TIL GEOMETER

31 Perspektivtegning 6 I denne opgave skal du tegne en kasse i frontperspektiv. Dybden/længden af kassen afsættes på øjemål. 1 Konstruer kassens forside: a. Konstruer et rektangel med fede linjestykker midt på skærmen. b. Afsæt et punkt lidt oppe til højre for rektanglet. Kald punktet for forsvindingspunkt. Vær sikker på at din konstruktion er et rektangel. Brug: Konstruer Vinkelret linje og Konstruer Parallel linje, til din konstruktion, således at rektanglet hænger sammen og er vinkelret i hjørnerne, uanset hvilke punkter og linjer du trækker i. c. Tegn linjestykker fra hjørnerne af rektanglet til forsvindingspunktet. 2 Konstruer kassens bagside: a. Afsæt et punkt på linjen, der går mellem kassens øverste højre hjørne og forsvindingspunktet. b. Konstruer en lodret og en vandret linje gennem punktet. Den lodrette og vandrette linje er parallelle med forsidens kanter KOPIARK TIL GEOMETER 31

32 6 c. Konstruer de to skæringspunkter: d. Konstruer lodrette linjer gennem skæringspunkterne og konstruer punkterne mellem bundens linjer og de lodrette linjer: e. Skjul den vandrette og de lodrette hjælpelinjer fra de to forrige trin. Brug skæringspunkterne til at tegne bagsiden af kassen. Anvend fede linjestykker til de kanter, du ville være i stand til at se. Som i figuren til højre. 3 Farvelæg kassen a. Farvelæg siderne. Vælg på skift sidernes fire hjørnepunkter. Benyt derefter menupunktet: Konstruer Indre af polygon. b. Farvelæg siderne med menupunktet: Vis Farve. 4 Fuldfør tegningen af kassen. a. Skjul hjælpelinjerne, der går til forsvindingspunktet. Brug menupunktet Rediger Fortryd hvis du ved et uheld kommer til at skjule noget forkert. (Genvejstast: Ctrl + z ). b. Skjul alle punkter undtagen forsvindingspunktet og de tre punkter, der kontrollerer kassens højde, bredde og dybde. 32 KOPIARK TIL GEOMETER

33 5 Undersøg a. Eksperimenter med at trække i de forskellige kontrolpunkter. Kontroller, at din tegning fungerer hensigtsmæssigt. Hvad styrer hvert af kontrolpunkterne i tegningen. 6 b. Mål højden og bredden på forsiden af din kasse. Træk i kontrolpunkterne indtil målene af højden og bredden er ens, så forsiden af kassen er kvadratisk. Træk derefter i kontrolpunktet, der styrer kassens dybde. Brug dit øjemål til at vurdere, hvornår kassen ser ud som en perfekt terning. c. Hvordan sikrede du dig, at kassens forside var et kvadrat? Hvordan besluttede du dig, da du fastsatte dybden af kassen? Hvad var forskellen på de to metoder? d. Eksperimenter med forskellige placeringer af forsvindingspunktet og forskellige placeringer og former på kassen. Nedskriv din viden. 6 Flere opgaver a. Konstruer en trappe med tre eller fire trin. b. Konstruer et hus set mod gavlen i frontperspektiv. c. Find selv på KOPIARK TIL GEOMETER 33

34 Pythagoras Følgende bevis for Pythagoras læresætning, er muligvis ældre end Pythagoras selv! En tegning svarende til figuren her til højre, er fundet i gamle kinesiske skrifter fra år før vores tidsregning. 1 Konstruktion a. Opret et nyt GeoMeter-dokument. Konstruer et kvadrat ABCD. b. Konstruer linjestykket DT. Giv punktet T navnet (Træk), da det er konstruktionens vigtigste styrepunkt. c. Konstruer en linje parallelt med linjestykket DT gennem punktet B og to linjer vinkelret på linjestykket DT gennem A og C. d. Du har nu et mindre kvadrat på skrå inden i det store kvadrat. Konstruer hjørnerne af det lille kvadrat (skæringspunkter). Skjul linjerne og linjestykket e. Konstruer siderne af det skrå kvadrat og konstruer det indre af de omgivende trekanter som vist her. 34 KOPIARK TIL GEOMETER

35 2 Undersøg a. Træk i punktet T, og observer, hvad der sker med de retvinklede trekanter og det lille skrå kvadrat. Er trekanterne altid retvinklede, og er kvadratet altid kvadratisk? Hvorfor? 7 b. Hvis du klipper figuren herunder i fem dele, får fire ens retvinklede trekanter og et lille kvadrat Delene vil passe i formen til højre. Formen er bygget op over kateternes kvadrat. Prøv selv! Åbn GeoMeter i undervisningen, Pythagoras for at se andre interessante beviser for pythagoras læresætning. c. Hvilke ligheder og forskelle er der mellem den figur du konstruerede og den kinesiske figur du fik præsenteret i starten af denne opgave? d. Er det rimeligt at betragte figuren som et bevis for Pythagoras læresætning. Eller er det en overfortolkning, når mange matematikere og historikere mener, at den kinesiske figur er et generelt bevis for sætningen? Hvad mener du? KOPIARK TIL GEOMETER 35

36 8 Harmoniske svingninger I denne opgave skal du undersøge graferne for harmoniske svingninger ved hjælp af grafmenuen i GeoMeter. Du kan bruge opgaven til at simulere et oscilloskopbillede af f.eks. lydsvingninger. Funktionen for en harmonisk svingning er vist her. Parametrene A, v og f, kontrollerer følgende bølgeegenskaber: A = amplituden; v = bølgelængden; f = fasen 1 Konstruktion a. Opret tre parametre med menupunktet: Graf Ny parameter i et nyt tomt dokument. Kald dem for henholdsvis A, v og f. Dobbeltklik på en parameter når du vil indsætte den i funktionsudtrykket Du skifter enheder fra grader til radianer i menuen: Rediger Indstillinger Enheder. b. Indtast funktionen for den harmoniske svingning. Brug de tre parametre som henholdsvis amplitude, bølgelængde og fase. Benyt menupunktet: Graf Plot ny funktion. c. Vælg radianer som foretrukne enhed for vinkelmål. d. Farv kurve, parametre og funktionsudtryk røde. 2 Undersøg a. Undersøg parametrene en for en. Du kan enten dobbeltklikke på parameteren og indtaste en ny værdi, eller du kan højreklikke på parameteren og vælge Animer parameter, eller du kan vælge parameteren og trykke på tastaturets + og -. b. Beskriv sammenhængen mellem parameterværdierne og amplitude, bølgelængde og fase. 36 KOPIARK TIL GEOMETER

37 3 Konstruktion a. Vælg de røde parametre og det røde funktionsudtryk ved at klikke på objekterne med musen. Kopier dem med ctrl+c og sæt dem ind med ctrl+v. Farv de nye parametre og det nye funktionsudtryk mørkeblå. Du har nu to sæt sammenhørende parametre og funktioner: Et rødt sæt og et blåt sæt. b. Vælg det blå funktionsudtryk og plot funktionen med menupunktet Graf Plot funktion. Farv plottet af den nye funktion mørkeblåt Kontroller at de røde parametre styrer den røde graf og de blå parametre styrer den blå graf. 8 Du kan finjustere en parameters egenskaber: Vælg parametrens Egenskaber fra højrekliksmenuen. c. Vælg Graf Plot ny funktion og indtast summen af de to funktioner. d. Farv den nye funktion sort med fed streg. e. Skjul evt. den røde og den blå graf efter behov. Skjul de valgte objekter med ctrl+h. Find dem igen med Vis Vis alle skjulte. KOPIARK TIL GEOMETER 37

38 8 4 Undersøg a. Hvad sker der, når du ændrer A rød? b. Hvad sker der, når du ændrer A blå? c. Undersøg på samme måde de andre parametre og beskriv samspillet mellem dem. 4 Ekstra Herunder ser du funktionsudtrykkene for henholdsvis et firkantsignal og et savtaksignal. Prøv at plotte graferne. 38 KOPIARK TIL GEOMETER

39 Projekter med GeoMeter Brug projekterne på de følgende side til f.eks. tema- og flexdage, til selvstændige opgaver eller til holdarbejde. Selvom projekterne præsenteres med få ord, rummer de meget arbejde og giver mulighed for mange forskelligartede undersøgelser og opdagelser. Selve konstruktionerne med GeoMeter kan være ganske krævende. Modne elever bør dog ud over konstruktionsløsninger også afkræves formelle beviser for deres opdagelser. I arbejdet med projekterne kan der let opstå nye ideer, nye opdagelser eller nye indfaldsvinkler til såvel matematikken i selve projekterne som matematikken i afledte problemer. Den grundlæggende ide med at arbejde med matematikprojekter, er netop at præsentere eleverne for nogle opgaver, der gerne skulle sætte eleverne i gang med selv at problemformulere, undersøge og sandsynliggøre for til slut at bevise og formidle deres egne opdagelser. Det er meget vigtigt, at eleverne er klar over hvilken arbejdsform, der tilstræbes med denne type opgaver, så de ikke blot opfatter projekterne som reproduktionsopgaver med en færdig facitliste. Lærerens rolle vil ofte være at give inspirerende indspark i form af opfordringer til undersøgelser af nye synsvinkler, inddragelse af nye problemstillinger, faglig afklaring af opståede problemer mm. GeoMeter er oprindelig skabt og tænkt til at være drejepunktet for sådan en undersøgende og eksperimenterende matematikundervisning. KOPIARK TIL GEOMETER 39

40 Projekt nr. 1 Konstruer et GeoMeter-dokument, som kan bruges til at undersøge grafen for tredjegradspolynomiet: y = ax 3 + bx 2 + cx + d samt graferne af den første og den anden afledte funktion, y og y. Parametrene a, b, c og d skal styres med kontroller, således at alle tre grafer ændrer sig, når der trækkes i kontrollerne. Som alternativ til kontroller, kan der oprettes parametre, der styres med animationsknapper. Projekt nr. 2 Du spiller billard på et cirkelrundt bord uden huller og med kun en kugle. Konstruer et GeoMeter-dokument, hvor du frit kan flytte kuglen og justere køens (og dermed slagets) retning. Konstruktionen skal vise, hvilken sti kuglen vil følge, når den rammer kanten et (stort) antal gange. ø 40 KOPIARK TIL GEOMETER