CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 + 2

Transkript

1 CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS + INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 4

2

3 Indhold Forord 5 I. Differentiation 7. Kontinuitet 7. Partielle afledede 7 3. Tangentplan 5 4. Kædereglen Gradient 4 6. Maksimum/minimum 5 7. Lagrangemetoden 64 II. Integration 75. Dobbelt integral 75. Itereret integral Generelle områder 9 4. Koordinatskift III. Potensrækker 5. l Hospitals regel og uegentlige integraler 5. Talfølger og rækker 3. Potensrækker 9 4. Talorpolnomier 37 IV. Differentialligninger 43. Grafiske/numeriske metoder 43.. ordens ligninger Generelle metoder 58 V. Matricer 67. Vektorer og matricer 67. Lineære afbildninger Lineære ligninger 8 4. Determinanter 9 VI. Egenvektorer og diagonalisering 99. Egenvektorer 99. Diagonalisering 8 VII. Skalarprodukt og projektion 9. Ortogonal projektion 9 VIII. Appendiks 9. Polære koordinater og komplekse tal 9 IX. Opgaver 4. August 4 3

4 4 INDHOLD. Januar Januar August 4 66 Litteratur 7 Stikord 73

5 Forord "Slides" til forelæsningerne i Calculus og er her samlet på tværs. Der er desuden et stikordsregister, som kan være til ntte. Man kan navigere via indholdsfortegnelse og stikordsregister. I øvrigt henvises til hjemmesiden for kurset. De sædvalige forkortelser er: Lærebøger [S] James Stewart: Calculus, concepts and contets. nd. edition. [LA] Anders Kock & H.A. Nielsen: Lineær algebra & Differentialligninger. 5

6

7 I Differentiation. Kontinuitet.. Oversigt [S] 9.6,.,., App. H. Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater Test polære koordinater.. En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces Figur D (,) f(,) D R, f : D R.3. Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. D R Mængden af tal kaldes vœrdimœngden. f(d) = {f(,) R (,) D} 7

8 8 I. DIFFERENTIATION.4. Bestem definitionsmængden [S]. Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(,) = 9 giver en funktion med definitionsmængde D = {(,) 9 } = {(,) + 3} som er cirkelskiven med centrum i og radius 3. Værdimængden er intervallet g(d) = [,3] R.5. Et populært problem [S]. Functions of several variables Eksempel Aktive væsker,,z blandes med proportional virkning V = z Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? + + z = V = ( ) D = {(,) >, >, + < } Bestem maksimum for funktionen V på mængden D..6. Graf og niveaukurve [S] 9.6,. Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R er en flade i rummet R 3. Γ f = {(,,z) (,) D,z = f(,)} Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion f : D R er en kurve i planen R. Koter k vælges fra værdimængden. f (k) = {(,) D f(,) = k}.7. Udseende saddel [S]. Functions of several variables Figur z Grafen af f(,) =

9 . KONTINUITET 9.8. Udseende saddel [S]. Functions of several variables Figur = ± 4 Niveaukurver for f(,) =.9. Halvkugleskal [S]. Functions of several variables Eksempel 3,4,8 Grafen er en halvkugleskal Niveaukurver er cirkler g(,) = 9 Γ g = {(,,z) + 9,z = 9 } = {(,,z) + + z = 9,z } g (k) = {(,) + 9, 9 = k} = {(,) + = 9 k }.. Globus [S]. Functions of several variables Figur z Grafen for g(,) = 9.. Breddegrader [S]. Functions of several variables Figur

10 I. DIFFERENTIATION + = 9 k Niveaukurver for g(,) = 9.. Top og dal [S]. Functions of several variables Figur z Grafen af f(,) = Top og dal [S]. Functions of several variables Figur Niveaukurver for f(, ) = + +

11 . KONTINUITET.4. Udvid til mange variable [S]. Functions of several variables Eksempel Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrkket f(,,z) = ln(z ) + sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(,,z) R 3 z > } Værdimængden er f(d) = R.5. Goddag igen til grænseværdier [S]. Limits and continuit Definition Grænseværdien af f(,) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(,) = L (,) (a,b) f(,) L for (,) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (,) er tilstrækkeligt tæt på (a,b)..6. Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables 5 Definition Grænseværdien lim (,) (a,b) f(,) = L eksisterer, hvis ɛ > δ > : ( a) + ( b) < δ f(,) L < ɛ.7. Ingen grænseværdi [S]. Limits and continuit Eksempel f(,) = + har ingen grænseværdi for (,) (,). Løsning f(,) =, f(,) =,.8. Regneregler som forventet [S].3 Calculating limits using the... Regneregler () Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. () Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. (3) Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. (4) Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. (5) Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne.

12 I. DIFFERENTIATION.9. Kontinuitet på n [S]. Limits and continuit 3 Definition Kontinuitet af f(,) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(,) = f(a,b) (,) (a,b) f(,) f(a,b) for (,) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D... Godt naboskab [S]. Limits and continuit Figur D (,) (a, b) f(,) f(a, b) Kontinuitet.. Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables Definition Kontinuitet lim f(,) = f(a,b) (,) (a,b) hvis der gælder ɛ > δ > : ( a) + ( b) < δ f(,) f(a,b) < ɛ.. Test kontinuitet [S]. Limits and continuit Test Hvis f(,) er en kontinuert funktion defineret i hele R, så er lim f(,) = f(,). (,) (,) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (,). Afkrds:.3. Regler om kontinuitet [S]. Limits and continuit Morale for kontinuitet () De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. ja nej

13 . KONTINUITET 3 () De kendte elementære funktioner sin,cos,tan,arcsin,...,ep,log,... er kontinuerte. (3) Funktionsudtrk er kontinuerte, hvor de er definerede..4. Anvend regler [S]. Limits and continuit Eksempler om kontinuitet () Kontinuert på R + + () Kontinuert på R, pπ cos sin (3) Kontinuert når + > ln( + ).5. Kontinuert de rigtige steder [S]. Limits and continuit Eksempel, 6, 7 { g(,) = +, (,) (,), (,) = er ikke kontinuert i (,), da g(,) ingen grænseværdi har for (,) (,). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(,) er kontinuert på mængden R \{(,)} af alle talpar fraregnet (,)..6. Hul i taget [S]. Limits and continuit Figur z Ikke kontinuert i (,).7. Øvelse [S]. Limits and continuit Eksempel 4, 8 { 3 f(,) = +, (,) (,), (,) = er kontinuert på mængden R.

14 4 I. DIFFERENTIATION Løsning viser, at f(,) = f(,), når (,) (,).8. Øvelse grafisk [S]. Limits and continuit Figur z Kontinuert i (,).9. Udvid det hele til mange variable [S]. Limits and continuit Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Eksempel Funktionen f(,,z) = er kontinuert på mængden R 3 \{(,,)}. + + z.3. Populære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P θ O

15 . KONTINUITET 5.3. Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (,) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (, π ) bestemmer -aksen. P(r cos(θ), r sin(θ)) r θ O.3. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (,), > har polœre koordinater r = +, θ = tan ( ).33. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r,θ) = (, 5π 4 ) = r cos θ = cos 5π 4 = = r sin θ = sin 5π 4 = (,) = (, ).34. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Figur

16 6 I. DIFFERENTIATION P(3,3) 5π/4 3 π/4 P(, ).35. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (,) = (3,3) r = + = = 3 θ = tan = tan 3 3 = π 4 (r,θ) = (3, π 4 ).36. Test polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (,) = (,) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (,π). (b) (r,θ) = (, π ). (c) (r,θ) = (, π 4 ). Løsning (,) Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) r = + = + = tan θ = = = θ = π Delmængder i polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel a b Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater.

17 . PARTIELLE AFLEDEDE 7 I kartesiske koordinater ved {(,) a + b, } I polære koordinater ved {(r,θ) a r b, θ π}.38. Funktioner i polære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Eksempel En funktion g : R \{} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (,) + I polære koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) er funktionen g givet ved (r,θ) (r cos θ) (r sin θ) (r cos θ) + (r sin θ) = (cos θ) (sin θ) = cos(θ). Partielle afledede.. Oversigt [S].7, 3., 3.4,.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk afledede Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning.. Tangenthældning [S].7 Derivatives 3 Definition Den afledede af f() i tallet a er df d (a) = f f(a + h) f(a) (a) = lim h h

18 8 I. DIFFERENTIATION (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) f().3. Botanik for afledte [S] 3., 3.4 Derivatives... d d (n ) = n n d d (e ) = e d d (ln()) = d d (a ) = ln(a)a.4. Botanik for afledte [S] 3., 3.4 Derivatives... d (sin()) = cos() d d (cos()) = sin() d d d (tan()) = + tan () d d (sin ()) = d d (tan ()) = +.5. Vælg og afled [S].3 Partial derivatives Eksempel Givet funktionen f(,) = Hold fast Hold fast d d f(,) = d d f(,) = 3 4

19 . PARTIELLE AFLEDEDE 9.6. Partielt afledt [S].3 Partial derivatives 4 Definition Den partielle afledede af f(,) med hensn til i punktet (a,b) er f f(a + h,b) f(a,b) (a,b) = lim h h Den partielle afledede af f(,) med hensn til i punktet (a,b) er f f(a,b + h) f(a,b) (a,b) = lim h h.7. Skrives forskelligt [S].3 Partial derivatives Notation Ses også f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,).8. Nemt at aflede [S].3 Partial derivatives Eksempel Funktionen f(,) = har partielle afledede f (,) = f (,) = Graf uden kanter [S].3 Partial derivatives Figur - Eksempel z f(,) = 3 + 3

20 I. DIFFERENTIATION.. Nttige regler [S].3 Partial derivatives Morale for Partielle afledede () f beregnes ved at holde fast og differentiere med hensn til. () f beregnes ved at holde fast og differentiere med hensn til. (3) Alle regneregler for differentiation i en variabel, +,,,/, sammensatfunktion, inversfunktion kan benttes... Udregning af partielle afledede [S].3 Partial derivatives Eksempel 3 f(,) = sin( + ) har partielle afledede ( ) f (,) = sin ( + ) d = cos( d + + ) + ( ) f (,) = sin ( + ) d = cos( d + + ) ( + ).. Udregning af partielle afledede [S].3 Partial derivatives Eksempel f(,) = ln( + + ) har partielle afledede ( ) f (,) = ln ( + + ) d d + + = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) og tilsvarende f (,) = ( + + ).3. Test partielle afledede [S].3 Partial derivatives Test Betragt funktionen f(,) = 3 +. (a) f = 3 +. (b) f = (c) f = 3 +. (d) f = 3 +. (a) (b) (c) (d) Afkrds den rigtige påstand: Løsning For fastholdt f (,) = d d (3 + ) = 3 +

21 . PARTIELLE AFLEDEDE.4. Partielt afledt, grafisk [S].3 Partial derivatives Grafisk bestemmelse f(,)= h 3 Niveaukurver omkring (, ) = (,). Sæt g(h) = f( + h, ) og aflæs støttepunkter: h g(h) Partielt afledt, grafisk [S].3 Partial derivatives Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h) z Heraf f.eks. f (, ) = g ().5(.6 +.).85 h.6. Test grafisk afledede [S].3 Partial derivatives Test Betragt niveaukurverne for en funktion f(, ), f(, ) = og bedøm: f= f= f=5 (a) f (,) >. (b) f (,) <. (c) f (,) <. (d) f (,) >. Løsning f(, ) er voksende med voksende afledt. Afkrds to sande: (a) (b) (c) (d).7. Udvid til mange variable [S].3 Partial derivatives Eksempel 5

22 I. DIFFERENTIATION Omtalen af partielle afledede udvides umiddelbart til flere end to variable. har tre partielle afledede f(,,z) = e ln(z) f = e ln(z) f = e ln(z) f z = e z.8. Afled flere gange [S].3 Partial derivatives Notation for højere afledede f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,) f (,) = f (,).9. Mere afledning [S].3 Partial derivatives Eksempel, 6 Afledede og højere afledede f = f = 3 + 3, f = 3 4 f = 6 + 3, f = 6 4 f = 6, f = 6.. Endnu en afledning [S].3 Partial derivatives Eksempel 3 f(,) = sin( + ) Afledede og højere afledede f = cos( + ) + f = sin( + ) ( + ) f = sin( + ) ( + ) 3 + cos( + ) ( + ).. Endnu en afledning [S].3 Partial derivatives

23 . PARTIELLE AFLEDEDE 3 Eksempel 3 - fortsat Afledede og højere afledede f(,) = sin( + ) f = cos( + ) ( + ) f = sin( + ) ( + ) 4 + cos( + ) ( + ) 3 f = sin( + ) ( + ) 3 + cos( + ) ( + ).. Der er kun det halve arbejde [S].3 Partial derivatives Sætning (Clairaut) Antag at f er defineret på en (lille) cirkelskive med centrum i (a,b). Hvis f,f er kontinuerte på cirkelskiven, så gœlder f (a,b) = f (a,b) "Højere partielle afledede afhænger ikke af differentiations rækkefølgen.".3. Overbevis [S] Appendi E A few proofs Bevis (Clairaut) (h) = (f(a + h,b + h) f(a + h,b)) (f(a,b + h) f(a,b)) Omskrives ved middelværdisætningen (h) = (f (c,b + h) f (c,b))h Ved ombtning af, for (c,d),(c,d ) tæt ved (a,b). = f (c,d)h f (c,d )h = f (c,d)h Konklusion ved kontinuitet af de dobbelte afledede..4. Opgaver er sundt [S].3 Partial derivatives Øvelse 53 f(,) = 3 4 Find f og f. f = f = 3 4 f = 48 f = f = Mange opgaver er meget sundt [S].3 Partial derivatives Øvelse 55 f(,,z) = z 3 + z

24 4 I. DIFFERENTIATION Find f z. f = z 3 + z f = z 3 f z = f z = z.6. Sidste opgave [S].3 Partial derivatives Øvelse 77 f(,) = ( + ) 3/ e sin( ) Find f (,). f(,) = ( + ) 3/ e = ( + ) 3/ e f (,) = lim 3 f (,) = lim.7. Sidste opgave [S].3 Partial derivatives Øvelse 77 - fortsat f (,) = lim 3 f (,) = lim ( ) f (,) = lim =.8. Partielle differentialligninger [S].3 Partial derivatives Definition En partiel differentialligning er et udtrk i de partielle afledede. Ligningen u + u = kaldes Laplaces ligning. Ligningen kaldes bølgeligningen. u t = a u.9. Laplaces ligning [S].3 Partial derivatives Eksempel 8 Funktionen u(,) = e sin er løsning til Laplaces ligning Løsning giver u + u = u = e sin, u = e sin u = e cos, u = e sin u + u =

25 3. TANGENTPLAN 5.3. Bølgeligningen [S].3 Partial derivatives Eksempel 9 Funktionen u(t, ) = sin( at) er løsning til bølgeligningen u tt = a u Løsning u t = acos( at), u tt = a sin( at) u = cos( at), u = sin( at) giver u tt = a u.3. Test Laplaces ligning [S].3 Partial derivatives Test Funktionen f(, ) = er en løsning til Laplace s ligning f/ + f/ =. Løsning Udregningen giver f = 3, f =, f = 5, f = f + f = Afkrds: ja nej 3. Tangentplan 3.. Oversigt [S].7,.9,.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approimation i en og flere variable Test approimation Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet 3.. Tangentlinje [S].7 Derivatives

26 6 I. DIFFERENTIATION Figur = f(a) + f (a)( a) (a, f(a)) f() I R, f : I R 3.3. Ligning for tangent [S].7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion = f() i et punkt (a,b), b = f(a) er linjen gennem (a,b), som indeholder tangentvektoren (,f (a)) til grafen (,f()) En ligning for tangentlinjen er b = f (a)( a) 3.4. Find tangentlinjen [S].7 Derivatives Eksempel Find ligningen for tangentlinjen til = i punktet (3, 6). Den afledede er Ligningen for tangentlinjen er = 8, (3) = ( 6) = ( )( 3) eller = 3.5. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear approimations

27 3. TANGENTPLAN 7 Figur D (,) f(,) D R, f : D R 3.6. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(,) i et punkt (,,z ), z = f(, ) er planen gennem (,,z ), som indeholder tangentvektorerne til koordinatkurverne på grafen Γ f. (,,f (, )), (,,f (, )) (,,f(, )), (,,f(,)) 3.7. Ligning for tangentplan [S].4 Tangent planes and linear appro. Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f,f i en lille cirkelskive om (, ). Tangentplanen for grafen i et punkt (,,z ), z = f(, ) har ligning Bevis Indsættes z z = f (, )( ) + f (, )( ) (,,z) = (,,z ) + (,,f (, )) = ( +,,z + f (, )) er ligningen opfldt. Ligeså for den anden tangentvektor Find tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Eksempel Find ligningen for tangentplanen til z = + i punktet (,,3). Løsning De partielle afledede er z = 4,z = z(,) = 3, z (,) = 4, z (,) = I punktet (,,3) er tangentplanen givet ved z 3 = 4( ) + ( )

28 8 I. DIFFERENTIATION 3.9. Tangentplan [S].4 Tangent planes and linear approimations Figur - Eksempel z Tangentplan i (,,3) 3.. Find endnu en tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (,,f(,)). f = f = 3 + 3, f = 3 4 f(,) =, f (,) = 9, f (,) = 4 I punktet (,,z ) = (,,) er tangentplanen givet ved Som giver z z = f (, )( ) + f (, )( ) z = 9( ) + 4( ) 3.. Test tangentplan [S].4 Tangent planes and linear... Test Lad f(, ) = +. Så har grafen for f vandret tangentplan i (,, ). Løsning Udregningen giver f = +, f = f (,) = Afkrds: ja nej 3.. Lineær approimation [S].9 Linear approimations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion kaldet lineariseringen af f i a. L() = f(a) + f (a)( a)

29 3. TANGENTPLAN 9 Approimationen f() f(a) + f (a)( a) kaldes den lineære approimation af f for a Find approimation [S].9 Linear approimations Eksempel Find den lineære approimation af f() = i a =. Løsning Lineariseringen er Approimationen er f () =, f () = L() = + ( ) + ( ), for 3.4. Approimation i to variable [S].4 Tangent planes and lin Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion kaldet lineariseringen til f i (a,b). Approimationen L(,) = f(a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)( b) f(,) f(a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)( b) kaldes den lineære approimation af f for (,) (a,b) Brug approimation [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel f = f = 3 + 3, f = 3 4 f(,) =,f (,) = 9,f (,) = 4 I punktet (,) er den lineære approimation Benttes til tilnærmelse f(,) + 9( ) + 4( ) f(.,.9) + 9(. ) + 4(.9 ) = Test approimation [S].4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approimation til funktionen f(,) = + i punktet (,) = (,). Den er givet ved (a) f(,) (c) f(,) +. ( ) + ( ). (b) f(,). 4 (d) f(,) ( + ).

30 3 I. DIFFERENTIATION Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (,). Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) (d) 3.7. Test approimation [S].4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(,) = + giver i punktet (,) f = ( + ), f = ( + ) f (,) =, f (,) = 4 Approimationen af f for (, ) (, ) skrives f(,) ( ) + ( ) Omskriv differentiabel [S].4 Tangent planes and linear appro. Bemærkning En funktion = f() er differentiabel i a, hvis 5 = f (a) + ɛ hvor ɛ, når 3.9. Tilvækst [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition For funktion z = f(,) er tilvæksten i (a,b) 6 z = f(a +,b + ) f(a,b) Eksempel For z = + er tilvæksten i (a,b) Altså z = (a + ) + (b + ) (a + b ) z = a + b Differentiabilitet i to variable [S].4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(, ) er differentiabel i (a, b), hvis hvor z = f (a,b) + f (a,b) + ɛ + ɛ ɛ,ɛ, når, Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approimation er god.

31 3. TANGENTPLAN Differentiabilitet som forventet [S].4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f,f i en omegn af (a,b). Så er f differentiabel i (a,b). Bemærkning I så fald f(a +,b + ) f(a,b) + f (a,b) + f (a,b) når,. 3.. Brug approimation [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel f = e f = e + e, f = e f(,) =,f (,) =,f (,) = I punktet (,) er den lineære approimation Benttes til tilnærmelse e + ( ) +.e. (.) + (. ) + (.) = 3.3. Differentialet [S].4 Tangent planes and linear approimations Definition Differentialet af en funktion = f() er 9 d = f ()d og for funktionen z = f(,) Bemærk df = f (,)d + f (,)d dz = z z d + d z dz 3.4. Skriv differentialet [S].4 Tangent planes and linear appro. Eksempel 4 f = + 3 Benttes til tilnærmelse f = + 3, f = 3 dz = ( + 3)d + (3 )d f(,3) = 3,f (,3) = 3,f (,3) = f(.5,.96) (.4) = Opgave [S].4 Tangent planes and linear approimations Øvelse 9 f(,) =

32 3 I. DIFFERENTIATION Begrund differentiabilitet om (,4) og find den lineære approimation. Løsning er kontinuerte om (,4). når (,) (,4). f =, f = + ( ) + ( 4) Opgave fortsat [S].4 Tangent planes and linear approimations Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse ( + ) (.) +.4 = Test differentialet [S].4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(a + b). Differentialet er: (a) dz = ad + bd. (b) dz = a a+b d + (c) dz = aln(a + b)d + bln(a + b)d. Løsning Udregningen giver differentialet z = b a+b d. a a+b, z = Afkrds den rigtige: b a+b dz = z d + z d (a) (b) (c) 3.8. Udvid til mange variable [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approimation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(,,z) har tangentplan i punktet (a,b,c,d), d = f(a,b,c) med ligning w d = f (a,b,c)( a) + f (a,b,c)( b) + f z (a,b,c)(z c) 3.9. Udvid til mange variable [S].4 Tangent planes and linear appro. Definition - fortsat Funktionen w = f(,, z) har lineær approimation f(,,z) f(a,b,c) + f (a,b,c)( a) + f (a,b,c)( b) + f z (a,b,c)(z c)

33 3. TANGENTPLAN 33 og differential dw = w w w d + d + z dz 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse Find differentialet af Løsning Beregn først w = ln + + z d w = z d + z = + + z 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse - alternativ Løsning Beregn w = ln + + z = ln( + + z ) w = + + z = + + z 3.3. Afsluttende opgave [S].4 Tangent planes and linear appro. Øvelse - fortsat Ved smmetri Differentialet er w = w = ln + + z w = + + z + + z,w z z = + + z dw = d + d + zdz + + z

34 34 I. DIFFERENTIATION 4. Kædereglen 4.. Oversigt [S] 3.5,.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matriform Test matriform Differentiation af implicit funktion Test implicit funktion 4.. Sammensat funktion [S] 3.5 The chain rule Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g() differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med F () = f (g())g () For = F() = f(g()) skrives d d = d du du d 4.3. Overbevis [S] 3.5 The chain rule Bevis u = g( + ) g(), = f(u + u) f(u) giver der har kædereglen som grænseværdi for. = u u d d = d du du d 4.4. Brug kæderegel [S] 3.5 The chain rule Eksempel Find F () for F() = +. f(u) = u, u = g() = + er differentiable med F = f g er differentiabel med Altså f (u) = u, g () = F () = f (g())g () = + d + = d Kæderegel i en variabel igen [S].5 The chain rule

35 4. KÆDEREGLEN 35 Sætning (Kædereglen) = f(), = g(t) Med differentialer d = g (t)dt, d dt f(g(t)) = f (g(t))g (t) d dt = d d d dt d = f ()d = f ()g (t)dt 4.6. Kædereglen i to variable [S].5 The chain rule Figur t (,) (,) (,) z t z t z Sammensat funktion 4.7. Kæderegel i to variable [S].5 The chain rule Sætning (Kædereglen) Antag at z = f(,) er differentiabel og (t),(t) er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(t) er differentiabel med dz dt = z d dt + z d dt Skrives også kompakt z = z + z 4.8. Differentialer sammensatte [S].5 The chain rule Bemærkning Kædereglen med differentialer, z = f(,). d = d dt dt, d d = dt dt dz = z z d + d ( z d dz = dt + z ) d dt dt 4.9. Overbevis [S].5 The chain rule

36 36 I. DIFFERENTIATION Bevis - kæderegel giver der har kædereglen som grænseværdi for t. z = z z + + ɛ + ɛ z t z t + z t dz dt = z d dt + z d dt 4.. Brug kæderegel [S].5 The chain rule Eksempel z = + 3 4, = sin t, = cos t z = + 3 4, z = + 3 Kædereglen giver = cos t, = sin t z = z + z = ( )cos t + ( + 3 )( sin t) Heraf for t = z () = ( + 3) + ( + ) = Brug kæderegel [S].5 The chain rule Eksempel - fortsat Og videre herfra z = + 3 4, = sin t, = cos t z = ( )cos t + ( + 3 )( sin t) z = (4sin t cos t + 6cos 4 t)cos t (sin t + sin t cos 3 t)sin t 4.. Test kæderegel [S].5 The chain rule Test Lad f(,) =, = t, = t 3. Så giver kædereglen f (t) = (t t 3 ) t Afkrds: ja nej

37 4. KÆDEREGLEN 37 Løsning Udregningen giver f =, f =, = t, = 3t f = f + f = (t t 3 )t t 3t = 4t 3 5t To gange to kæderegel [S].5 The chain rule 3 Sætning (Kædereglen) Antag at z = f(,) er differentiabel og (s,t),(s,t) er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(s,t) er differentiabel med z s = z s + z s z t = z t + z t Altså z s = z s + z s z t = z t + z t 4.4. Kæderegel udregning [S].5 The chain rule Eksempel 3 z = e sin, = st, = s t z = e sin, z = e cos s = t, t = st, s = st, t = s z s = z s + z s = e sin()t + e cos()st = e st sin(s t)t + e st cos(s t)st z t = z t + z t = e sin()st + e cos()s = e st sin(s t)st + e st cos(s t)s 4.5. Udvid til mange variable [S].5 The chain rule 4 Sætning (Kædereglen generelt) Antag at u er en differentiabel funktion af variable,..., n, som hver er differentiable funktioner af variable t,...,t m. Så er Mere kompakt skrives u = u + + u n t i t i n t i u t i = n j= u j j t i 4.6. Kæderegel kan ej undværes [S].5 The chain rule Eksempel 5 u = 4 + z 3 Beregn u s i (r,s,t) = (,,). = rse t, = rs e t, z = r ssin t

38 38 I. DIFFERENTIATION u s = u s + u s + u z z s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t 4.7. Kædereglen [S].5 The chain rule Eksempel 5 - fortsat = rse t, = rs e t, z = r ssin t (,,) =, (,,) =, z(,,) = u s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t u s (,,) = ( 4 + ) + = Jacobimatricen [LA] $. Kædereglen i matri-formulering Definition For en differentiabel afbildning g : R n R m (u,...,u n ) (g (u,...,u n ),...,g m (u,...,u n )) er Jakobimatricen følgende m n-matri g u... d u (g) =..... g m u... g u n g m u n 4.9. Kædereglen [LA] $. Kædereglen i matri-formulering Sætning For differentiable afbildninger er sammensætningen R n g R m f R p R n f g R p differentiabel og Jakobimatricen er matriproduktet d u (f g) = d g(u) (f)d u (g) 4.. Matricer er godt [S].5 The chain rule Eksempel 5 (Matriform) u = 4 + z 3 Beregn u s. = rse t, = rs e t, z = r ssin t

39 4. KÆDEREGLEN 39 d(u) = ( ) u r u s u t = ( ) r s t u u u z r s t z r z s z t 4.. Matriprodukt [S].5 The chain rule Eksempel 5 (Matriform) - fortsat Svaret er u = 4 + z 3, = rse t, = rs e t, z = r ssin t ( ur u s u t ) = ( z 3 3 z ) set re t rse t s e t rse t rs e t rssin t r sin t r scos t u s = 4 3 re t + ( 4 + z 3 )rse t + 3 z r sin t 4.. Test matriform [S].5 The chain rule Test Lad g(,) = (,). Så er Jacobimatricen: ( (a) ). (b) ( ). (c) Løsning Funktionerne g =, g = med ( ). Afkrds den rigtige: g =, g =, g =, g = ( ) ( ) g g giver Jacobimatri =. g g (a) (b) (c) 4.3. Implicit given funktion [S].5 The chain rule Implicit funktion Ligningen F(,) =, F (a,b) definerer en løsningsfunktion () med F(,()) = for tilpas nær a. Kædereglen giver F + F = og deraf 6 () = F F 4.4. Kurve er graf [S].5 The chain rule Figur

40 4 I. DIFFERENTIATION F(,) = 4.5. Inddirekte beregning [S].5 The chain rule Eksempel 8 F = = F = 3 6, F = 3 6 d d = F F = = når F = Test implicit funktion [S].5 The chain rule Test Lad F(,) = e + e. Ligningen F(,) = definerer en funktion () for nær. Der gælder: (a) () =. (b) () =. (c) () =. Løsning Udregningen giver F = e, F = e = F /F Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) 4.7. Udvid til flere variable [S].5 The chain rule Implicit funktion generelt F(,,z) =, F z (a,b,c) definerer en løsningsfunktion z(, ) med F(,, z(, )) = for (, ) tilpas nær (a, b). Kædereglen giver F + F + F z z =

41 4. KÆDEREGLEN 4 og deraf 7 z = F F z, z = F F z 4.8. Inddirekte beregning flere variable [S].5 The chain rule Eksempel 9 F = z 3 + 6z = F = 3 + 6z, F = 3 + 6z, F z = 3z + 6 z = F = 3 6z F z 3z + 6 = + z z + z = F = 3 6z F z 3z + 6 = + z z Opgave [S].5 The chain rule Øvelse 9 u = + + z Beregn u p. = p + r + t, = p r + t, z = p + r t u = + z u = + z ( + z) u z = ( + z) 4.3. Opgave [S].5 The chain rule Øvelse 9 - fortsat = p + r + t, = p r + t, z = p + r t u = + z, u = + z ( + z), u z = ( + z) u p = u p + u p + u z z p u p = + z ( + z) + + z ( + z) + ( + z) = t p

42 4 I. DIFFERENTIATION 5. Gradient 5.. Oversigt [S].6 Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren August, opgave Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition - gentaget De partielle afledede af f(,) i punktet (, ) er når grænseværdierne eksisterer. f (, ) = lim h f( + h, ) f(, ) h f (, ) = lim h f(, + h) f(, ) h 5.3. Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel De partielle afledede af f(,) = sin() i punktet (,) beregnes ved variabel differentiation Højere afledede f (,) = cos() f (,) = cos() f (,) = sin() f (,) = cos() sin() f (,) = f (,) f (,) = sin() 5.4. Delvis afledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur z z = sin

43 5. GRADIENT Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition Den retningsafledede af f(,) i punktet (, ) i retning af en enhedsvektor u = (a,b) er D u f(, ) = lim h f( + ah, + bh) f(, ) h Bemærkning Den partielle afledede af f(,) med hensn til er den retningsafledede i retning e = (,) og den partielle afledede af f(,) med hensn til er den retningsafledede i retning e = (,) Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Definition - figur u = (a, b) (, ) hu = ( + ha, + hb) 5.7. Retningsafledt direkte [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel Den retningsafledede af funktionen f(,) = + i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes direkte f( D u f(,) = lim h, + 4 5h) f(,) h h ( = lim h) h h h = lim 5 h = h Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur

44 44 I. DIFFERENTIATION z u z = +, D (3/5,4/5) z(,) = 5.9. Retningsafledt, grafisk [S].6 Directional derivatives and the... Grafisk bestemmelse 3 4 f(,)= Niveaukurver og retning u = (, ). = (,) og g(h) = z = f( + hu). Aflæs støttepunkter: h g(h) Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h).9 3 z Heraf f.eks. D u f( ) = g ().5(.9/.7 +./.8).33 h 5.. Retningsafledt, formel [S].6 Directional derivatives and the... 3 Sætning

45 5. GRADIENT 45 For en differentiabel funktion f(,) er den retningsafledede punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved D u f(,) = f (,)a + f (,)b Bevis Funktionen g(h) = f( + ha, + hb) har afledt g f( + ah, + bh) f(, ) () = lim = D u f(, ) h h Konklusion fra kædereglen g () = f (, )a + f (, )b 5.. Retningsafledt udregnet [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - gentaget Funktionen f(,) = + har partielle afledede f (,) =, f (,) = Den retningsafledede i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D u f(,) = f (,) f (,) 4 5 = = 5.3. Retningsafledt og vinkel [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Hvis enhedsvektoren u danner en vinkel på θ med -aksen, så er og den retningsafledede kan skrives u = (cos θ,sin θ) 6 D u f(,) = f (,)cos θ + f (,)sin θ u θ (cos θ,sin θ) 5.4. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel Den retningsafledede af f(,) = i punktet (,) i retning π 6 er D u f(,) = f (,)cos π 6 + f (,)sin π 6 3 = (3 3) + ( 3 + 8)

46 46 I. DIFFERENTIATION Specielt er D u f(,) = Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur z (,,) π/6 u Retning π/ Retningsafledt, prikprodukt [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Den retningsafledede af f(,) i punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a,b) kan ved brug af prikproduktet skrives 7 D u f(,) = f (,)a + f (,)b = (f (,),f (,)) (a,b) 5.7. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... 8 Definition For en funktion f(,) er gradienten følgende vektor f(,) = (f (,),f (,)) Bemærkning Ved brug af standard enhedsvektorerne e = (,),e = (,) skrives gradienten f(,) = f (,)e + f (,)e 5.8. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 3 Gradienten af f(,) = sin + e i punktet (,) er f(,) = (cos + e,e ) I punktet (,) = (,) fås f(,) = (cos + e, e ) = (,)

47 5. GRADIENT Gradient og retningsafledt [S].6 Directional derivatives... Sætning For en differentiabel funktion f(,) er den retningsafledede punktet (,) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved 9 Bevis Netop formlen 7. D u f(,) = f(,) u 5.. Retningsafledt og gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - gentaget Funktionen f(,) = + har gradient f(,) = (,) Den retningsafledede i punktet (,) i retningen u = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D u f(,) = f(,) ( 3 5, 4 5 ) = (,) ( 3 5, 4 5 ) = 5.. Gradient [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel - figur u f(,) (,) f(,) = (,), u = ( 3 5, 4 5 ) 5.. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 4 Gradienten af f(,) = 3 4 er f(,) = ( 3,3 4) For den retningsafledede i retning (,5) bruges enhedsvektoren u = 9 (,5) D u f(,) = ( 3,3 4) 9 (,5) = 9 ( )

48 48 I. DIFFERENTIATION 5.3. Retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 4 - fortsat I retning u = 9 (,5) er I punktet (,) = (, ) fås D u f(,) = ( 3,3 4) D u f(, ) = ( 4,8) = (,5) 9 (,5) 5.4. Mange variable [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning For en funktion f i n variable er den retningsafledede i et punkt R n i retning af en enhedsvektor u R n Fra kædereglen følger D u f( ) = lim h f( + hu) f( ) h D u f( ) = n f i ( )u i i= 5.5. Mange variable [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning - fortsat For en funktion f i n variable er gradienten en vektor i R n 3 f = ( f,..., f ) n = (f,...,f n ) For en enhedsvektor u R n er den retningsafledede 4 D u f = f u n = f i u i i= 5.6. Retningsafledt, 3 variable [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 5 Gradienten af f(,,z) = sin z er f = (sin z,z cos z, cos z) For den retningsafledede i retning (,, ) bruges enhedsvektoren u = 6 (,, ) D u f = (sin z,z cos z, cos z) 6 (,, ) = 6 (sin z + z cos z cos z)

49 5. GRADIENT Retningsafledt, 3 variable [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 5 - fortsat I retning u = 6 (,, ) er I punktet (,,z) = (,3,) fås D u f = (sin z,z cos z, cos z) D u f(,3,) = (,,3) 6 (,, ) 6 (,, ) = Maksimal retningsafledt [S].6 Directional derivatives and the... 5 Sætning Betragt en differentiabel funktion f() i mange variable. Den maksimale vœrdi af den retningsafledede D u f() er lœngden f() og denne antages, når u har samme retning som gradienten f(). Bevis D u f = f u = f cos θ Da θ er vinklen mellem f og u følger påstanden af egenskaberne for cos θ Størst variation [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 Gradienten af f(,) = e er f(,) = (e,e ) Den retningsafledede er størst i retning (,) med maksimal værdi f = e + I punktet (,) er den retningsafledede er størst i retning (,) med maksimal værdi f = Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning Betragt et punkt (, ) på niveaukurven f(,) = k. En tangentvektor v til niveaukurven i (, ) er vinkelret paa gradienten Hvis gradienten f(, ), så er en ligning for tangenten til niveaukurven. f(, ) v f(, ) (, ) = 5.3. Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Bemærkning - figur

50 5 I. DIFFERENTIATION tangent: f(, ) (, )= f(,)=k f(, ) (, ) Vinkelret på niveaukurverne vokser og aftager funktionen hurtigst Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 - figur Tangenter til niveaukurver for z = e Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Eksempel 6 - figur Skalerede gradienter. z for z = e Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 Betragt funktionen f(,) = + ln( ).. Angiv gradientvektoren f(, ).. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (,) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5,4/5). Løsning

51 5. GRADIENT 5. Gradienten beregnes f = 3 /( ) f = + /( ) f(,) = (f (,),f (,)) = (,3/3) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 - fortsat f(,). I retning u = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(,) = f(,) u = (,3/3) (3/5,4/5) = 5/5 u (,) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 5 - Ekstra z 3 ++> z= +ln( 3 ++) Definitionsområdet. Grafen Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Opgave 5 - figur

52 5 I. DIFFERENTIATION Tangenter til niveaukurver for z = + ln( ) Gradient og niveaukurve [S].6 Directional derivatives and the... Opgave 5 - figur Skalerede gradienter. z for z = + ln( ). 6. Maksimum/minimum 6.. Oversigt [S].7; [LA] 3 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer August, opgave Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f(,) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. En funktion f(,) har et lokalt minimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en lokal minimumsværdi Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values

53 6. MAKSIMUM/MINIMUM 53 Definition - figur z lokalt maksimum lokalt minimum 6.4. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Velkendt figur z lokalt maksimum lokalt minimum Snit for = 6.5. Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (,) D gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. En funktion f : D R har et absolut minimum i punktet (a,b), hvis der for alle (,) D gælder f(,) f(a,b) f(a,b) er en absolut minimumsværdi i D Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Eksempel Funktion f : R R givet ved f(,) = + +

54 54 I. DIFFERENTIATION opflder f(,) f(,) = Altså har f et absolut maksimum i punktet (,) med en absolut maksimumsværdi på. Der er ikke noget absolut minimumspunkt Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Niveaukurver 3 4 Aflæs: lokalt maksimumspunkt i (3,3) med maksimumsværdi Absolut maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values Sprogbrug For lokalt/absolut maksimum eller minimum bruges betegnelser lokalt ekstremum lokal ekstremumsværdi absolut ekstremum absolut ekstremumsværdi 6.9. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values En variabel - figur lokalt maksimum f ( ) = f ( ) = lokalt minimum 6... ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values Sætning

55 6. MAKSIMUM/MINIMUM 55 Hvis f(,) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er Skrives også med gradienten f (a,b) = = f (a,b) (a,b) lokalt maks/min f(a,b) = 6.. Kritisk punkt [S].7 Maimum and minimum values Definition En funktion f(,) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f (a,b),f (a,b)) = Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt. Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt. 6.. Kritisk punkt [S].7 Maimum and minimum values Kritisk punkt z z lokalt maksimum Saddelpunkt 6.3. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel har kritisk punkt f(,) = f(,) = (, 6) = (,) = (,3) Omskrivningen f(,) = ( ) + ( 3) + 4 viser, at (,3) er et absolut minimum på D = R Absolut minimum [S].7 Maimum and minimum values Eksempel - figur

56 56 I. DIFFERENTIATION z Absolut minimum i (,3) 6.5. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel har kritisk punkt f(,) = f(,) = (,) = (,) = (,) f(,) <, f(,) >, (,) viser, at (,) ikke er et lokalt ekstremum, altså er (,) et saddelpunkt Ekstremumspunkt [S].7 Maimum and minimum values Eksempel - figur z Saddelpunkt i (,) ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values Sætning - (en variabel) Antag den afledede f (a) = Så gœlder (a) f (a) > a lokalt minimum (b) f (a) < a lokalt maksimum

57 6. MAKSIMUM/MINIMUM ordens kriterium, lokalt maksimum [S].7 Maimum and minimum values En variabel - figur lokalt maksimum f ()= f ( )> f ( )< f () er aftagende omkring = : f () < ordens kriterium [S].7 Maimum and minimum values 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(,) har kritisk punkt (a,b) og lad f (a,b) = = f (a,b) D = f (a,b)f (a,b) f (a,b) (a) D >, f (a,b) > (a,b) lokalt minimum (b) D >, f (a,b) < (a,b) lokalt maksimum (c) D < (a,b) saddelpunkt 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - to variable Antag f(, ) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) =. Hesse matricen ( ) f (a,b) f (a,b) f (a,b) f (a,b) har determinant D = f (a,b)f (a,b) f (a,b). Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. (a) D >, f (a,b) > (a,b) lokalt minimum (b) D >, f (a,b) < (a,b) lokalt maksimum (c) D < (a,b) saddelpunkt 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - mange variable Givet f(,..., n ). En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum i et indre punkt P er P (f) = ( f (P),..., f (P)) = n Hesse matricen H P (f) er den smmetriske n n-matri, hvis ij te indgang er (Denne kan diagonaliseres). f i j (P)

58 58 I. DIFFERENTIATION 6... ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - fortsat I det kritiske punkt P : (a) Hvis alle egenværdier er positive, så er P et lokalt minimum. (b) Hvis alle egenværdier er negative, så er P et lokalt maimum. (c) Hvis der forekommer både positive og negative egenværdier, så er P et saddelpunkt ordens kriterium [LA] 3..ordens partielle afledede,... Andenordenstest - Eksempel Funktionen f(,,z) = + 3 z har gradient (f) = (4,6, z) og kritisk punkt P = (,, ). Hesse matricen 4 H P (f) = 6 har egenværdier 4,6 > of <. Andenordenstesten giver: P er et saddelpunkt Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values To variabele - figur z har et saddelpunkt i (,). z = Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 f(,) = har kritiske punkter, hvor De kritiske punkter bestemmes f(,) = (4 3 4,4 3 4) = (,) 3 =, 3 = 3 =, ( 3 ) 3 = (,) = (,),(,),(, ) 6.6. Lokalt maksimum/minimum [S].7 Maimum and minimum values

59 6. MAKSIMUM/MINIMUM 59 Eksempel 3 - figur z z = Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 - fortsat f = 4 3 4, f = giver f =, f = 4, f = D = f f f = D(,) = 6 < (,) saddelpunkt. D(,) = 8 >, f (,) = > (,) lokalt minimum 3. D(, ) = 8 >, f (, ) = > (, ) lokalt minimum 6.8. Populært skema [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 3 - fortsat Konklusions skema (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 6 saddel (, ) 8 minimum (, ) 8 minimum 6.9. Ekstremumspunkters tpe [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 4 f(,) = har kritiske punkter, hvor Foruden (,) = (,) fås, 4 3 =, = 5 =, = 5 =, = (,) (,),(±.64,.9),(±.86,.65) Konklusion [S].7 Maimum and minimum values

60 6 I. DIFFERENTIATION Eksempel 4 - fortsat f = 4 3, f = f =, f =, f = 8 4 (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ).. 8. maksimum (.64,.9) maksimum (.64,.9) maksimum (.86,.65) saddel (.86,.65) saddel 6.3. Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 En kasse uden låg laves af m krdsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. giver med kritiske punkter, hvor V = z, z + z + = V = + V = ( ) ( + ) =, V = ( ) ( + ) = 6.3. Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - figur z Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6

61 6. MAKSIMUM/MINIMUM 6 Relevante punkter,, >, fås for =, = =, = Altså 3 =, = (,) = (,) (,) = ±(,) Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - fortsat V = ( ) ( + ), V = ( ) ( + ) V = ( )( + ) ( )4( + ) 4( + ) 4 V = ( )( + ) ( )4( + ) 4( + ) 4 V = (4 6 )( + ) ( )4( + ) 4( + ) Kassefabrikant [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 6 - fortsat V (,) =, V (,) = V (,) =, V (,) = /, V (,) = (a,b) V (a,b) V (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 4 3/4 maksimum Kantlængder for størst rumfang er (,,z) = (,,) Lukket mængde [S].7 Maimum and minimum values Definition Givet en delmængde D R. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Eksempel D = {(,) + } har randpunkter og er lukket. {(,) + = } Randpunkt [S].7 Maimum and minimum values Definition - figur

62 6 I. DIFFERENTIATION randpunkt D Absolut ekstremum [S].7 Maimum and minimum values 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. D absolut maksimum absolut minimum Køreplan [S].7 Maimum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D:. Find værdier af f i kritiske punkter i D. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra. og Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af f(,) = + på rektanglet f har kritisk punkt D = {(,) 3, } f(,) = (, + ) = (,) = (,) 6.4. Ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - figur

63 6. MAKSIMUM/MINIMUM 63 z 3 (3,) 6.4. Find ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - fortsat f(,) = + Randen opdeles i 4 tilfælde:. f(,) =, 3. f(3,) = 9 4, 3. f(,) = 4 + 4, 3 4. f(,) =, Ekstremumspunkter [S].7 Maimum and minimum values Eksempel 7 - fortsat f(,) = + I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (,) (,) (3,) (3,) (,) (,) f(a, b) 9 4 Absolut maksimumspunkt og -værdi: f(3,) = 9 Absolut minimumspunkt og -værdi: f(, ) = f(, ) = Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 Betragt funktionen f(,) givet ved f(,) = + + for >, >. Det oplses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde.. Angiv dette kritiske punkt.. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning f(,) = + +

64 64 I. DIFFERENTIATION har kritisk punkt f = (, ) = (,) =, = (,) = (,) Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f = 3,f =,f = 3 f (,) =,f (,) =,f (,) = Andenordenstesten giver (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 3 3 minimum Altså er punktet (,) lokalt minimum for f på mængden >, > Opgave Matematik Alfa, August Opgave 3 - Figur z (,) 7. Lagrangemetoden 7.. Oversigt [S].8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August, opgave Skitse [S].8 Niveaukurver

65 7. LAGRANGEMETODEN 65 f(,)= 3 g(,)=k Lagrange situation 7.3. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,), når samtidig ligningen g(,) = k er opfldt. Ligningen g(,) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(,) = k kan løses, = φ(), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel f(,φ()). Hvis løsningskurven til ligningen g(, ) = k kan parametriceres med ((t), (t)), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel t f((t),(t)) Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen f(,) = + 3 g(,) = + = er opfldt. Løsning Niveaukurverne for f er linjer + 3 = c. Ekstremum findes når disse tangerer cirklen + = Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - figur f(,)= f(,) = + 3, g(,) = + =

66 66 I. DIFFERENTIATION 7.6. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - fortsat Niveaukurverne + 3 = c tangerer cirklen + = for værdier af c, hvor har dobbeltrod. Diskriminanten er for c = ±, som giver punkter ( 3 + c) + = 6c + c 36c 4(c ) = 4c + 4 (,) = ±(,3) 7.7. Lagrange multiplikator [S].8 Lagrange multipliers Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,) under begræsningen g(,) = k. I ligningen f(, ) = λ g(, ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrkker at niveaukurven for f i (, ) tangerer begræsningskurven g(,) = k Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,) under begræsningen g(,) = k. (a) Find,,λ så f(,) = λ g(,) g(,) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). blandt disse. Maksimum og minimum er 7.9. Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Ligninger Lagranges ligningssstem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(, ) under begræsningen g(, ) = k. f (,) = λg (,) f (,) = λg (,) g(,) = k 7.. Multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(, ) = + 3, når samtidig ligningen g(,) = + = er opfldt.

67 7. LAGRANGEMETODEN 67 Lagrangeligningerne er = λ 3 = λ + = 7.. Multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - igen fortsat Der løses 3 = og + (3) = der giver Lagrange multiplikator er (,) = ±(,3) λ = ± 7.. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,,z), når samtidig ligningen g(,,z) = k er opfldt. Ligningen g(,,z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(,) = k kan løses, z = φ(,), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i variabel f(,,φ(,)) 7.3. Lagranges multiplikator [S].8 Lagrange multipliers Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,, z) = k. I ligningen f(,,z ) = λ g(,,z ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrkker at niveaufladen for f i (,,z ) tangerer begræsningsfladen g(,,z) = k Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,, z) = k. (a) Find,,z,λ så f(,,z) = λ g(,,z) g(,,z) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). blandt disse. Maksimum og minimum er

68 68 I. DIFFERENTIATION 7.5. Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Ligninger Lagranges ligningssstem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,, z) = k. f (,,z) = λg (,,z) f (,,z) = λg (,,z) f z (,,z) = λg z (,,z) g(,,z) = k 7.6. Kassefabrikant [S].8 Lagrange multipliers Eksempel En kasse uden låg laves af m krdsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. Kantlængder,, z. Volumen V = z. Overfladeareal g = z + z + =. Beregn V = z,v = z,v z = g = + z,g = + z,g z = Kassefabrikant [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - fortsat Lagranges ligningssstem opskrives Heraf z = λ( + z) z = λ( + z) z + z + = z + z + = = λ( + ) z = λ( + z) z = λ( + z) z = λ(z + z) 7.8. Kassefabrikant [S].8 Lagrange multipliers Eksempel - fortsat Der løses Løsningen er da Kantlængder for størst rumfang er = = z 4z + 4z + 4z = (,,z) = (,,) længde = m, bredde = m, højde = m

69 7. LAGRANGEMETODEN Køreplan [S].7 Maimum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D:. Find værdier af f i kritiske punkter i D. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra. og. 7.. Find ekstremumspunkter [S].8 Lagrange multipliers Eksempel, 3 Bestem ekstremumsværdier af f(,) = + på cirkelskiven D = {(,) + } Løsning D er lukket og begrænset og f er kontinuert, så maksimum/minimum antages på D. 7.. Find ekstremumspunkter [S].8 Lagrange multipliers Eksempel, 3 - figur z f(,) = +, g(,) = Find ekstremumspunkter [S].8 Lagrange multipliers Eksempel, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f har kritisk punkt f(,) = + D = {(,) + } f(,) = (,4) = (,) = (,) 7.3. Find ekstremumspunkter [S].8 Lagrange multipliers Eksempel, 3 - fortsat

70 7 I. DIFFERENTIATION f(,) = + under begræsningen g(,) = + = giver Lagrange ligninger med løsninger = λ 4 = λ + = (,) = (±,),(, ±) 7.4. Find ekstremumspunkter [S].8 Lagrange multipliers Eksempel, 3 - fortsat f(,) = + I alt er der 5 punkter at tabellægge (a, b) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) f(a, b) På cirkelskiven D er absolut maksimumspunkt og -værdi: f(, ±) = absolut minimumspunkt og -værdi: f(,) = 7.5. Find mindste afstand [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 4 Bestem punkter på kugleskallen + + z = 4 som er nærmest og længst fra punktet (3,, ). z (3,, ) 7.6. Find mindste afstand [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 4 Bestem ekstremumsværdier af under bibetingelsen f(,,z) = (,,z) (3,, ) = ( 3) + ( ) + (z + ) g(,,z) = + + z = Find mindste afstand [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 4 - løsning

71 7. LAGRANGEMETODEN 7 Lagranges ligningssstem opskrives ( 3) = λ ( ) = λ (z + ) = λz + + z = 4 Heraf = 3/( λ), = /( λ), z = /( λ) = 4( λ) 7.8. Find mindste afstand [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 4 - løsning λ = ±, f(,,z) = 4λ λ = giver afstand λ = og nærmeste punkt 6 (,,z) = (,, ) λ = + giver afstand λ = + og punktet længst væk (,,z) = ( 6,, ) 7.9. Maksimum/minimum under bibetingelse [S].8 Lagrange multipliers Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,,z), når samtidig ligninger g(,,z) = k, h(,,z) = c er opfldt. Ligningerne g(,,z) = k, h(,,z) = c kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen Lagranges multiplikator [S].8 Lagrange multipliers Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,,z) under begræsningen g(,,z) = k, h(,,z) = c. I ligningen 6 f(,,z ) = λ g(,,z ) + µ h(,,z ) kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer. Ligningen udtrkker at niveaufladen for f i (,,z ) tangerer begræsningskurven g(,,z) = k, h(,,z) = c Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Metode

72 7 I. DIFFERENTIATION Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(,,z) under begræsningen g(,,z) = k, h(,,z) = c. (a) Find,,z,λ,µ så f(,,z) = λ g(,,z) + µ h(,,z) g(,,z) = k h(,,z) = c (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). blandt disse. Maksimum og minimum er 7.3. Lagrange multiplikator metode [S].8 Lagrange multipliers Ligninger Lagranges ligningssstem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(,, z) under begræsningen g(,,z) = k, h(,,z) = c. f (,,z) = λg (,,z) + µh (,,z) f (,,z) = λg (,,z) + µh (,,z) f z (,,z) = λg z (,,z) + µh z (,,z) g(,,z) = k h(,,z) = c To betingelser [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 5 Lagranges ligningssstem for bestemmelse af ekstremumspunkter for funktion f = + + 3z under begræsningen g = + z =, h = + =. = λ + µ = λ + µ 3 = λ + z = + = To betingelser [S].8 Lagrange multipliers Eksempel 5 - fortsat Løsningen giver relevante punkter (,,z) = ( 5,, + 7 ) (,,z) = (, 5, 7 ) Ved indsættelse i f = ++3z fås 3+ 9 og 3 9. Det første punkt er maksimum og det andet punkt er minimum Opgave Matematik Alfa, August Opgave 7 Minimer funktionen f(,,z) = + + z under bibetingelsen + + z =.

73 7. LAGRANGEMETODEN 73 Løsning f angiver kvadratet for afstanden fra til planen givet ved bibetingelsen. Fra lineær algebra ved vi at minimum antages. Kandidater til minimumspunkt findes ved Lagrange metoden Opgave Matematik Alfa, August Opgave 7 - fortsat Lagrange metoden anvendes på funktionen f(,,z) = + + z under bibetingelsen g(,,z) = + + z =. Løsning De partielle afledede er f =,f =,f z = z g =,g =,g z = Opgave Matematik Alfa, August Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssstem bliver = λ = λ z = λ + + z = Løsningen giver multiplikator λ = 3 og minimumspunkt/værdi (a,b,c) = ( 3, 6, 6 ), f(a,b,c) = Opgave Matematik Alfa, August Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = og minimer funktionen Løsning De partielle afledede er h(,) = f(,, ) = + + ( ) = h = + 4 4,h = Det kritiske punkt (a,b) = ( 3, 6 ) giver minimums punkt/værdi (a,b,c) = ( 3, 6, 6 ), f(a,b,c) = 6.

74

75 II Integration. Dobbelt integral.. Oversigt [S] 5., 5.4,. Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal Riemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral Riemann dobbeltsummer Nttige regneregler for integral Test integral regneregler.. Genoplev integralet [S] 5. The definite integral Definition Intervallet [a,b] inddeles i n stkker af længde = b a n a = i i i n = b Det bestemte integral af en kontinuert funktion f : [a,b] R er b n f()d = lim f( i ) a n i=.3. Giver areal [S] 5. The definite integral Figur a Integralet er arealet b.4. Riemann summen [S] 5. The definite integral 75

76 76 II. INTEGRATION Bemærkning n f( i ) i= kaldes Riemann summen og tilnærmer integralet b n f()d f( i ) a Hvis f() så tilnærmer Riemann summen arealet under grafen. Det bestemte integral er da dette areal. i=.5. Direkte men besværligt [S] 5. The definite integral Eksempel b d = b a a Løsning b n d = lim (a + (b a) i n n )b a n a i= (b a) = lim a(b a) + n n n i i= (b a) n(n + ) = lim a(b a) + n n = a(b a) + (b a) = b a.6. Areal [S] 5. The definite integral Figur - Eksempel a+b a b Arealet er (b a) a + b = b a.7. Integralet endnu en gang [S]. Double integrals over rectangles Definition Intervallet [a, b] inddeles a = i i i n = b

77 . DOBBELT INTEGRAL 77 Det bestemte integral af en funktion f : [a,b] R er b a f()d = lim n i= n f( i ).8. Udvid til volumen [S]. Double integrals over rectangles Definition Inddelinger a = i ij i m = b c = j ij j n = d deler rektanglet R = [a,b] [c,d] i brikker med middelpunkter ( ij, ij ) [ i, i ] [ j, j ] og areal A =. For en positiv funktion f : R R er volumenet under grafen V tilnærmet m n 3 V f( ij,ij) A i= j=.9. Grænsen er volumen [S]. Double integrals over rectangles Definition 3 V m i= j= n f( ij,ij) A Det eksakte volumen findes ved grænseovergangen m n 4 V = lim f( ij,ij) A m,n i= j=.. Udvid integralet til to variable [S]. Double integrals over rect... Definition Inddelinger a = i ij i m = b c = j ij j n = d deler rektanglet R = [a,b] [c,d] i brikker med middelpunkter ( ij, ij ) [ i, i ] [ j, j ] med areal A =. Dobbelt integralet af en funktion f : R R er m n 5 f(,)da = lim f( ij,ij) A R m,n i= j=.. Inddelinger i to retninger [S]. Double integrals over rectangles Figur

78 78 II. INTEGRATION d ( ij, ij ) c a b Inddelt rektangel R = [a,b] [c,d].. Gør det let [S]. Double integrals over rectangles Bemærkninger Med valg af brikhjørner som middelpunkter kan det bestemte integral af en funktion f : R R skrives simplere m n 6 f(,)da = lim f( i, j ) A R m,n i= j= Hvis f(,), så er volumen over rektanglet R og under grafen z = f(,) V = f(,)da R.3. Riemann summer [S]. Double integrals over rectangles Definition Den dobbelte Riemann sum er m n f( ij,ij) A R i= j= Den bruges til at tilnærme dobbeltintegralet m n f(,)da f( ij,ij) A i= j=.4. Riemann sum til beregning [S]. Double integrals over rect... Eksempel R = [,] [,], f(,) = 6 Inddel hvert interval i halve og brug hjørner. Hjørner (,),(,),(,),(,).

79 . DOBBELT INTEGRAL Riemann sum til beregning [S]. Double integrals over rect... Eksempel - fortsat R = [,] [,], f(,) = 6 Hjørner (,),(,),(,),(,) og A =. Den dobbelte Riemann sum giver (6 )da R f(,) + f(,) + f(,) + f(,) = = Test dobbelt integralet [S]. Double integrals over rectangles Test Lad f(,) =, R = [,] [,]. Et skøn med en dobbelt Riemann sum giver for integralet V = da R (a) V <. (b) V =. (c) V >. (a) (b) (c) Afkrds den rigtige: Løsning Inddel med endepunkter A = ( )( ) = V f(,) A =.7. Integralet som volumen [S]. Double integrals over rectangles Eksempel R = [,] [,], f(,) = Volumenet under grafen er en halvclinder med radius og højde 4. Dobbelt integralet findes som volumenet. da = π 4 R = π.8. Halvclinder [S]. Double integrals over rectangles Figur - Eksempel z

80 8 II. INTEGRATION Grafen for f(,) = Volumen π 4 = π.9. Approimation [S] 5.9 Approimate integration Figur f( i ) f( i ) f( i ) i i i Endepunkter - Midtpunkt- Trapez.. Approimation [S] 5.9 Approimate integration Endepunktsregler Midtpunktsreglen b a b a b a f()d f()d f()d n i= n f( i ) i= n f( i ) i= f( i + i ).. Approimation [S] 5.9 Approimate integration Trapezreglen b n f()d (f( i ) + f( i )) Simpsons regel b a a f()d n i= i= (f( i ) + 4f( i ) + f( i )) 3.. Approimation [S] 5.9 Approimate integration Figur

81 . DOBBELT INTEGRAL 8 f( i ) f( i ) f( i ) i i Simpson i.3. Midtpunktsstrategi [S]. Double integrals over rectangles Midtpunktsreglen Som middelpunkt bruges midtpunkter Tilnærmer dobbeltintegralet R ij = i = i + i ij = ȳ j = j + j f(,)da m i= j= n f( i,ȳ j ) A.4. Midtpunkter til beregning [S]. Double integrals over rectangles Eksempel 3 R = [,] [,], f(,) = 3 m = n = og brug midtpunkter. Midtpunkter =, = 3, ȳ = 5 4, ȳ = Brug midtpunktet [S]. Double integrals over rectangles Eksempel 3 - fortsat Midtpunkter =, = 3, ȳ = 5 4, ȳ = 7 4 A = Den dobbelte Riemann sum giver ( 3 )da R (f(, 5 4 ) + f(, 7 4 ) + f(3, 5 4 ) + f(3, 7 4 )) = 95 8

82 8 II. INTEGRATION.6. Midtpunkter til beregning [S]. Double integrals over rectangles Eksempel - igen R = [,] [,], f(,) = m = n = og brug midtpunkter =, =, ȳ =, ȳ =, A =. Den dobbelte Riemann sum giver π = da 4 3 R Regneregler hjælper [S]. Double integrals over rectangles Regneregler for dobbeltintegral 7 8 R (f(,) + g(,))da = Hvis f(,) g(,), så er 9 R R cf(,)da = c R f(,)da f(,)da + g(, )da R f(,)da R R g(, )da.8. Brug regneregler [S]. Double integrals over rectangles Opgave Lad R = [,] [,]. Afgør om da da Løsning For, er så uligheden er sand ifølge regneregel 9. R R.9. Brug regneregler [S]. Double integrals over rectangles Opgave Lad R = [,] [,]. Afgør om ( + )da 6 R Løsning For, er + 4 så ifølge regneregel 9 R ( + )da R 4dA 6.3. Test integral regneregler [S]. Double integrals over rectangles Test Lad f(,) =, R = [,] [,]. For integralet V = da gælder uligheder R

83 . ITERERET INTEGRAL 83 (a) V 4. (b) 4 < V. (c) V <. Løsning For (, ) R gælder uligheden Heraf, A(R) = ( )( ) =, f(,) 4 A(R) V A(R) 4 Afkrds den rigtige: (a) (b) (c).3. Regneregler og volumen [S]. Double integrals over rectangles Eksempel Lad R = [,] [,]. ( + )da = R da + da R De to dobbelt integraler findes som volumener af halvclindre: I alt ( + )da = π = π R R. Itereret integral.. Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analsens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt.. Analsens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analsens fundamentalsætning) Antag, at f : [a,b] R er kontinuert. Så er g() = a f(t)dt differentiabel og g () = f() For en stamfunktion F(), F () = f(), er b a f()d = F(b) F(a).3. Overbevis [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus

84 84 II. INTEGRATION Sætning (Analsens fundamentalsætning) Bevis g g( + h) g() () = lim h h +h = lim f(u)du h h f( )h = lim h h = f().4. Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner n d = n + n+, n d = ln() e d = e ln()d = ln() a d = ln(a) a.5. Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner - flere sin()d = cos() cos()d = sin() d = sin () + d = tan ().6. Integral smertefrit [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus Eksempel Beregn 4 ( + 3 )d

85 . ITERERET INTEGRAL 85 Løsning 4 [ ( )d = ] 4 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = Integral af integral [S]. Iterated integrals Definition Antag f : [a,b] [c,d] R er kontinuert. For [a,b] er det partielle integral A() = og det itererede integral b a A()d = d c f(,)d b d a c f(,)dd.8. Integral integral avet om [S]. Iterated integrals Definition I modsat rækkefølge Det partielle integral og det itererede integral 3 d c A() = A()d = b a f(,)d d b c a f(,)dd.9. Beregn integral integral [S]. Iterated integrals Eksempel R = [,3] [,], f(,) = Partial integral A() = = [ = = 3 d ] = =.. Fortsat [S]. Iterated integrals

86 86 II. INTEGRATION Eksempel - fortsat A() = 3 Itereret integral 3 dd = 3 3 d [ ] 3 3 = 3 = = Fortsat avet om [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat R = [,3] [,], f(,) = Partial integral A() = = 3 [ 3 3 d ] =3 = = 33 3 = 9.. Sluttelig ens [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat Itereret integral 3 A() = 9 dd = [ = 9 9 d ] = 9( ) = 7.3. Test itereret integral [S]. Iterated integrals Test Lad f(,) =. Det itererede integral dd er (a) 9. (b) 9 4. (c) 6 4.

87 . ITERERET INTEGRAL 87 Løsning dd = [ [ = 3 = 3 3 = 9 4 Afkrds den rigtige: ] ] = d = (a) (b) (c).4. Øvelse gør mester [S]. Iterated integrals Eksempel R = [,] [,], f(,) = + e Partial integral A() = ( + e )d = [ + e ] = = = + e.5. Videre [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat Itereret integral A() = + e ( + e )dd = ( + e )d = [ + e ] = ( + e) ( + ) = e.6. Fortsat avet om [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat Partial integral R = [,] [,], f(,) = + e A() = ( + e )d = [ + e ] = = = ( + e) ( + ) = (e ) +.7. Igen ens [S]. Iterated integrals

88 88 II. INTEGRATION Eksempel - fortsat Itereret integral A() = (e ) + ( + e )dd = ((e ) + )d = [ (e ) + ] = ((e ) + ) ( + ) = e.8. Fubini: Alle veje fører til Rom [S]. Iterated integrals 4 Sætning (Fubinis sætning) Lad R = [a,b] [c,d] og antag f : R R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de itererede integraler b d f(,)da = f(,)dd og R R f(,)da = a c d b c a f(,)dd.9. Overbevis [S]. Iterated integrals Fubinis sætning - begrundelse Lad f(,). Volumenet under grafen er dobbeltintegralet f(,)da Det partielle integral R A() = d c f(,)d er arealet af et snit gennem området under grafen for fast... Mere overbevis [S]. Iterated integrals Fubinis sætning - begrundelse Det itererede integral b tilnærmes af Riemann summen a A()d = b d a c A( i ) i f(,)dd som ved grænseovergang fører til volumenet, der netop er dobbeltintegralets værdi... Fremgangsmåde [S]. Iterated integrals Eksempel R = [,] [,], f(,) = 3

89 R. ITERERET INTEGRAL 89 ( 3 )da = = = ( 3 )dd [ 3 ] = = d ( 7)d [ = 7 = ].. Fortsat [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat ( 3 )da = ( 3 )dd R = = [ 3 ( 6 )d ] = = = [ 3] = Bemærk, at midtpunktsreglen, [S]. Eksempel 3, gav tilnærmelsen 95 8 =,875 d.3. Med sinus og cosinus [S]. Iterated integrals Figur - Eksempel 3 R = [,] [,π], f(,) = sin() z.4. Fortsat [S]. Iterated integrals

90 9 II. INTEGRATION Eksempel 3 - fortsat R sin()da = = = π π π sin() dd [ cos()] = = d ( cos() + cos())d [ = sin() + sin() = ] π.5. Test Fubini [S]. Iterated integrals Test Lad f(,) = ln, R = [,] [,]. Der gælder R ln da = ln dd. Løsning (,) [,] [,] giver ved Fubinis sætning R ln da = ln dd Afkrds: ja nej.6. Produktregel [S]. Iterated integrals Figur - Eksempel 5 R = [, π ] [, π ], f(,) = sin()cos() z.7. Produktregel [S]. Iterated integrals

91 . ITERERET INTEGRAL 9 Eksempel 5 R sin()cos()da = = = π π π π cos() sin() cos() dd π sin() d sin()d d π cos() d = [ cos()] π [sin()] π = ( ( ))( ) =.8. Opgave [S]. Iterated integrals Øvelse 6 R = [,] [,], f(,) = e z.9. Opgave løst [S]. Iterated integrals Øvelse 6 e da = e dd R = = = [e ] = e [e ] = = d (e e )d.3. Test Fubini [S]. Iterated integrals Test Lad f(,) = ln, R = [,] [,]. Der gælder R ln da = d ln d.

92 9 II. INTEGRATION Løsning ln da = R = = ln d ln dd ln dd d Afkrds: ja nej 3. Generelle områder 3.. Oversigt [S].,.,.3 Nøgleord og begreber Dobbelt integral Fubinis sætning Generelle områder Tpe I Tpe II Regneregler Nem ulighed 3.. Inddelinger i to retninger [S]. Double integrals over rectangles Figur d ( ij, ij ) c a b Inddelt rektangel R = [a,b] [c,d] 3.3. Integralet i to variable [S]. Double integrals over rect... Definition Givet rektanglet R = [a,b] [c,d]. Dobbelt integralet af en funktion f : R R er m n 5 f(,)da = lim f( ij,ij) A Når grænseværdien eksisterer. R m,n i= j= 3.4. Fubini: Alle veje fører til Rom [S]. Iterated integrals 4 Sætning (Fubinis sætning)

93 3. GENERELLE OMRÅDER 93 Lad R = [a,b] [c,d] og antag f : R R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de itererede integraler b d f(,)da = f(,)dd og R a c f(,)da = d b R c a f(,)dd 3.5. Generelle områder [S].3 Double integrals over general regions Figur d c a D [a,b] [c,d] b 3.6. Generelle områder [S].3 Double integrals over general regions Definition Givet D [a,b] [c,d] og f : D R en funktion. Dobbeltintegralet er F(,) = { f(,) hvis (,) D hvis (,) [a,b] [c,d]\d D f(,)da = R F(,)dA 3.7. Volumen [S].3 Double integrals over general regions Bemærkning Givet et område D og en positiv f : D R. Legemet i R 3 har volumen V givet ved dobbeltintegralet V = E = {(,,z) (,) D, z f(,)} D f(,)da 3.8. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Figur

94 94 II. INTEGRATION = g () = g () a b Område af Tpe I D = {(,) a b,g () g ()} 3.9. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Tpe I integral 3 For f givet på er integralet et itereret integral D = {(,) a b,g () g ()} D f(,)da = b g() a g () f(,)d d 3.. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel Givet funktionen f(,) = + på Tpe I mængden Dobbelt integralet beregnes itereret f(,)da = D = {(,), + } D + ( + )d d 3.. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - figur = + =

95 3. GENERELLE OMRÅDER 95 D = {(,), + } 3.. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - fortsat + ( + )da = ( + )d d D = = = = [ + ] =+ d = (( + ) + ( + ) ( ) ( ) )d ( )d [ = 3 5 ] 3.3. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Figur d = h () c = h () Område af Tpe II D = {(,) c d,h () h ()} 3.4. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Tpe II integral For f givet på 4 D = {(,) c d,h () h ()} er integralet et itereret integral 5 f(,)da = d h() D c h () f(,)d d 3.5. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions

96 96 II. INTEGRATION Eksempel Givet funktionen på Tpe II mængden f(,) = + Dobbelt integralet beregnes itereret f(,)da = D = {(,) 4, } D 4 ( + )d d 3.6. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - figur 4 = = D = {(,) 4, } 3.7. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - fortsat 4 ( + )da = ( + )d d D 4 [ ] 3 = = 3 + d = = 4 = ( 3 3/ + 5/ )d [ 5 5/ + 7 7/ 3 ] = Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel Givet funktionen f(,) = + på Tpe I mængden D = {(,), }

97 3. GENERELLE OMRÅDER 97 Dobbelt integralet beregnes itereret f(,)da = D ( + )d d 3.9. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - figur 4 = = D = {(,), } 3.. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Eksempel - fortsat ( + )da = ( + )d d D = [ + 3 ] = 3 = = = d ( () + 3 ()3 ( ) 3 ( ) 3 )d [ = 6 35 ] 3.. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Eksempel 3 Givet funktionen f(,) = på Tpe II mængden D = {(,) 4, 3 + } Dobbelt integralet beregnes itereret f(,)da = D d d 3.. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Eksempel 3 - figur

98 98 II. INTEGRATION = = + 5 D = {(,) 4, 3 + } 3.3. Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Eksempel 3 - fortsat 4 + da = d d D = = = 4 4 = 36 3 ] =+ [ = 3 d ( )d [ ] Volumen af hjørne [S].3 Double integrals over general regions Hjørne (Se også eksempel 4) Givet trekanten D = {(,) a, b b a } Et hjørne med kantlængder a,b,c > er givet ved E = {(,,z) (,) D, z c c a c b } Vis at volumenet V = abc Hjørne [S].3 Double integrals over general regions Hjørne - figur

99 3. GENERELLE OMRÅDER 99 z c a b D = {(,) a, b b a } E = {(,,z) (,) D, z c c a c b } 3.6. Volumen af hjørne [S].3 Double integrals over general regions Hjørne - fortsat er en Tpe I mængde. Volumenet af hjørnet er D = {(,) a, b b a } V = = (c c a c b )da D a b b a (c c a c )d d b 3.7. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Hjørne - fortsat V = (c c a c a b b b )da = a (c c a c )d d b = c = bc D a = abc 6 = abc 6 a [ a b ( a ) d [ ( a )3] a ] =b b a = d 3.8. Volumen af kile [S].3 Double integrals over general regions Kile (Se også opgave ) Givet halvcirklen En kile er givet ved Find volumenet V. D = {(,), 4 } E = {(,,z) (,) D, z }

100 II. INTEGRATION 3.9. Kile [S].3 Double integrals over general regions Kile - figur z D = {(,), 4 } E = {(,,z) (,) D, z } 3.3. Volumen af kile [S].3 Double integrals over general regions Kile - fortsat D = {(,), 4 } er en Tpe I mængde. Volumenet af kilen er V = D 4 da = d d 3.3. Tpe I [S].3 Double integrals over general regions Kile - fortsat 4 V = D da = d d [ ] = 4 = 4 d = = = 8 3 = 4 (4 )d [ 3 ] 3.3. Regneregler [S].3 Double integrals over general regions Regneregler for dobbeltintegral 6 (f(,) + g(,))da = D f(,)da + g(, )da D D

101 D D 7 D Hvis f(,) g(,), så er 8 D 3. GENERELLE OMRÅDER cf(,)da = c f(,)da D f(,)da D g(, )da Opdelt område [S].3 Double integrals over general regions Regneregler for dobbeltintegral Hvis området D er opdelt i D,D, så er 9 f(,)da = D f(,)da + f(,)da D D D Opdelt område [S].3 Double integrals over general regions Figur Cirkelring opdelt som to Tpe I områder Cirkelring opdelt som to Tpe II områder Areal [S].3 Double integrals over general regions Definition (Areal som dobbeltintegral) Arealet af et område D er A(D) = da Bemærk D A(D) A ( i, j ) D D da Nttig ulighed [S].3 Double integrals over general regions Sætning (Ulighed om areal) Hvis m f(,) M så er ma(d) f(,)da MA(D) D

102 II. INTEGRATION Bemærk Følger af regneregler for integral og arealformlen ovenfor Et slag på tasken [S].3 Double integrals over general regions Eksempel 6 Givet funktionen sin() cos() f(,) = e på cirkelskiven Funktionen vurderes Dobbelt integralet vurderes e 4π D = {(,) + 4} e e sin() cos() e D e sin() cos() da e4π 4. Koordinatskift 4.. Oversigt [S].4,.5,.7 Nøgleord og begreber Repetition: Polære koordinater Lagkagestkker Koordinatskift Tpe II varianten August, opgave Populære anvendelser Flv højere Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (,) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (, π ) bestemmer -aksen. P(r cos(θ), r sin(θ)) r θ O 4.3. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater = r cos(θ), = r sin(θ)

103 4. KOORDINATSKIFT 3 Et punkt med kartesiske koordinater (,), > har polœre koordinater r = +, θ = tan ( ) 4.4. Lagkageområde [S].4 Double integrals in polar coordinates Polært rektangel (b cos β,b sin β) θ=β r=a r=b θ=α {(r,θ) a r b,α θ β} {(,) = (r cos θ,r sinθ) a r b,α θ β} 4.5. Lagkageområde [S].4 Double integrals in polar coordinates Definition Et polœrt rektangel er et område i R bestemt ved polære koordinater I kartesiske koordinater er området R = {(r,θ) a r b,α θ β} {(r cos θ,r sinθ) a r b,α θ β} 4.6. Lagkageområde [S].4 Double integrals in polar coordinates Inddelt polært rektangel (r i, θ j )

104 4 II. INTEGRATION {(r,θ) a r b,α θ β} 4.7. Lagkageområde, areal [S].4 Double integrals in polar... Areal af polært rektangel (r,θ)=( a+b, α+β ) Areal af {(r,θ) a r b,α θ β} er (β α)(b a ) = a + b (b a)(β α) 4.8. Polær inddeling [S].4 Double integrals in polar coordinates Definition a = r r i r i r i r m = b α = θ θ j θ j θ j θ n = β inddeler det polære rektanglet R = [a,b] [α,β] i brikker med midtpunkter og areal ri = r i + r i, θj = θ j + θ j A = (r i + r i )(r i r i )(θ j θ j ) = r i r θ 4.9. Polær Riemann sum [S].4 Double integrals in polar coordinates Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er m n f( i,j) A = i= j= m i= j= n f(ri cos θj,r i sin θj)r i r θ 4.. Lagkageområde, integral [S].4 Double integrals in polar... Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polœre rektangel er integralet et itereret integral R R = {(r,θ) a r b,α θ β} f(,)da = β b α a f(r cos θ,r sinθ)rdr dθ 4.. Cirkelring [S].4 Double integrals in polar...

105 4. KOORDINATSKIFT 5 Eksempel Halvcirkelringen beskrives i polære koordinater ved Som reduceres R = {(,), + 4} = r cos θ, = r sinθ r sin θ, (r cos θ) + (r sin θ) 4 θ π, r 4.. Cirkelring [S].4 Double integrals in polar... Eksempel Halvcirkelringen R = {(,), + 4} er det polære rektangel {(r,θ) r, θ π} 4.3. Cirkelring [S].4 Double integrals in polar coordinates Eksempel - figur {(r,θ) r, θ π} 4.4. Integral over en cirkelring [S].4 Double integrals in polar... Eksempel - fortsat Givet funktionen f(,) = på halvcirkelringen I polære koordinater er R = {(,), + 4} f(r cos θ,r sinθ) = 3r cos θ + 4(r sinθ) 4.5. Integral over en cirkelring [S].4 Double integrals in polar... Eksempel - fortsat

106 6 II. INTEGRATION Dobbeltintegralet over beregnes ved polært koordinatskift f(,)da = Det itererede integral R R f(,)da = {(r,θ) r, θ π} β b α π a f(r cos θ,r sinθ)rdr dθ (3r cos θ + 4r sin θ)rdr dθ 4.6. Integral over en cirkelring [S].4 Double integrals in polar... Eksempel - fortsat π (3 + 4 )da = (3r cos θ + 4r sin θ)rdr dθ R = = = π π π [ r 3 cos θ + r 4 sin θ ] r= r= dθ (7cos θ + 5sin θ)dθ (7cos θ + 5 ( cos θ))dθ = [7sin θ + 54 ] θ=π (θ sin θ) = 5 π θ= 4.7. Integral over en cirkelskive [S].4 Double integrals in polar... Eksempel Toppen af et æg beskrives i "clinder" koordinater ved {(,,z) +, z } = r cos θ, = r sinθ Det er {(r,θ,z) r, z r } 4.8. Top [S].4 Double integrals in polar coordinates Eksempel - figur

107 4. KOORDINATSKIFT 7 z {(r,θ,z) r, z r } 4.9. Integral over en cirkelskive [S].4 Double integrals in polar... Eksempel - fortsat Volumenet er et integral af funktionen på cirkelskiven f(,) = R = {(,) + } Dobbelt integralet beregnes ved koordinatskift V = R f(,)da = π ( r )rdr dθ 4.. Integral over en cirkelskive [S].4 Double integrals in polar... Eksempel - fortsat V = = = π π π = π [ r ( r )rdr dθ r4 4 4 dθ ] r= r= dθ 4.. Polært Tpe II [S].4 Double integrals in polar coordinates Tpe II - figur

108 8 II. INTEGRATION r=h (θ) θ=β r=h (θ) θ=α D = {(r,θ) α θ β, h (θ) r h (θ)} 4.. Polær Tpe II [S].3 Double integrals over general regions Polœr Tpe II integral 3 For f givet på er integralet et itereret integral D D = {(r,θ) α θ β, h (θ) r h (θ)} f(,)da = β h(θ) α h (θ) f(r cos θ,r sin θ)rdr dθ 4.3. Polær Tpe II, eksempel [S].4 Double integrals in polar... Eksempel 3 Legemet {(,,z) +, z + } beskrives i "clinder" koordinater ved Det er = r cos θ, = r sinθ {(r,θ,z) π θ π, r cos θ, z r } 4.4. Stub [S].4 Double integrals in polar coordinates Eksempel 3 - skitse (lav bedre selv!) z

109 4. KOORDINATSKIFT 9 {(r,θ,z) π θ π, r cos θ, z r } 4.5. Polær Tpe II, eksempel [S].4 Double integrals in polar... Eksempel 3 - fortsat Volumenet er et integral af funktionen på området i polære koordinater f(,) = + D = {(r,θ) π θ π, r cos θ} Dobbelt integralet beregnes ved koordinatskift V = f(,)da = R π/ cos θ π/ r rdr dθ 4.6. Polær Tpe II, eksempel [S].4 Double integrals in polar... Eksempel 3 - fortsat V = = = π/ cos θ π/ π/ π/ π/ =... = 3π π/ [ r 4 4 r rdr dθ ] r= cos θ r= 4cos 4 θ dθ dθ 4.7. Kilen [S].4 Double integrals in polar... Kile Kilen med radius a og højde b er i "clinderkoordinater": Vis, at volumenet V er D = {(r,θ) r a, θ π} E = {(r,θ,z) (r,θ) D, z b r sin θ} a V = 3 a b 4.8. Kile i polære koordinater [S].4 Double integrals in polar... Kile - figur

110 II. INTEGRATION z b a a D = {(r,θ) r a, θ π} E = {(r,θ,z) (r,θ) D, z b r sin θ} a 4.9. Volumen af kile [S].4 Double integrals in polar... Kile - fortsat D = {(r,θ) r a, θ π} er et polært rektangel. Volumenet af kilen er D b a da = π a b r sin(θ)rdr dθ a 4.3. Volumen af kile [S] [S].4 Double integrals in polar... Kile - fortsat b π a D a da = b r sin(θ)rdr dθ a π [ ] r=a b = 3a r3 sinθ dθ = π a b 3 sinθ dθ = a b 3 [ cos θ]π = 3 a b r= 4.3. Opgave Matematik Alfa, August Opgave Lad R betegne kvartcirkelskiven + 4,,. (Tegn.) Udregn R da. Løsning

111 4. KOORDINATSKIFT R = {(,),, + 4} 4.3. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - figur z R = {(r,θ) r, θ π } Opgave Matematik Alfa, August Opgave - fortsat er et polært rektangel. Integralet er R R = {(r,θ) r, θ π } da = π/ r 3 cos (θ)sin(θ)rdr dθ Opgave Matematik Alfa, August Opgave - fortsat π/ da = r 3 cos (θ)sin(θ)rdr dθ R = = = π/ π/ [ 5 r5 cos θ sin θ 3 5 cos θ sin θ dθ [ 3 5 cos3 θ = 3 5 ] π/ ] r= r= dθ Opgave Matematik Alfa, August Opgave - n figur

112 II. INTEGRATION z R = {(,), 4 } Opgave Matematik Alfa, August Opgave - alternativt er et Tpe I område. Integralet er R = {(,), 4 } da = 4 R d d Opgave Matematik Alfa, August Opgave - alternativt - fortsat 4 da = d d R = = = [ ] = 4 = (4 4 )d [ = 3 5 ] d Populært [S].5 Applications of double integrals Anvendelser Beregn nttige integraler i en variabel. Find areal, volumen, tngdepunkt og moment. Bestem ladning af elektriske fordelinger. Statisktiske fordelinger for stokastiske variable. Fortsæt med 3 variable...

113 4. KOORDINATSKIFT Flere variable [S].7 Triple integrals Udvidelse Volumenet af en kasse er produktet af kantlængderne. Riemannsummen for en funktion i 3 variable defineret på en kasse er tripelsummen af funktionsværdi gange volumen for kassen opdelt i klodser. Tripelintegralet er grænseværdien af Riemansummerne for finere klodsinddeling. Tripelintegralet beregnes ved Fubinis sætning som 3 itererede integraler. Fortsæt med 4 eller flere variable...

114

115 III Potensrækker. l Hospitals regel og uegentlige integraler.. Oversigt [S] 4.5, 5. Nøgleord og begreber Ubestemte udtrk l Hospitals regel l Hospitals regel Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Sammenligning.. Ubestemt udtrk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempler Ubestemte udtrk lim ln() ln() lim.3. Ubestemt - udtrk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s... Definition Lad f(),g() når a. Udtrkket kaldes ubestemt af form. f() lim a g() Eksempel er ubestemt af form. lim.4. Ubestemt udtrk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Definition Lad f(),g() når a. Udtrkket f() lim a g() 5

116 6 III. POTENSRÆKKER kaldes ubestemt af form. Eksempel er ubestemt af form. ln lim.5. l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Sætning (l Hospitals regel) Antag, at f,g er differentiable og g () for a tilpas nœr a. Hvis f() lim a g() er et ubestemt udtrk af form, så er f() lim a g() = lim f () a g ().6. Overbevis [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Bevis Fra den udvidede middelværdisætning Beregn nu f()g ( ) = f ( )g(), a < < f() lim a g() = lim f ( ) a g ( ) = lim f () a g ().7. Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel lim ubestemt af form. f() =,f () = Heraf fås g() =,g () = lim = lim =.8. l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Sætning (l Hospitals regel) Antag, at f,g er differentiable og g () for a tilpas nœr a. Hvis f() lim a g() er et ubestemt udtrk af form, så er f() lim a g() = lim f () a g ().9. Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule

117 . L HOSPITALS REGEL OG UEGENTLIGE INTEGRALER 7 Eksempel (6) er ubestemt af form. ln lim Heraf fås lim f() = ln,f () = g() =,g () = ln = lim = lim =.. Brug reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel ln() lim ubestemt af form. f() = ln(),f () = Heraf fås g() =,g () = ln() lim = lim =.. Brug reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel e lim ubestemt af form. f() = e,f () = e,f )) = e Heraf fås g() =,g () =,g () = e lim = lim e = lim e =.. Øvelse [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel 9 lim + omformes ved ln( lim ln() ) = lim ln() = lim Fra eksempel følger lim ln() = ep( lim + + ) = e =.3. Test l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Test lim sin (a). (b). (c).

118 8 III. POTENSRÆKKER Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning f() =,g() = sin har f() =,g() = og er ubestemt af form. f () =,g () = cos har f () =,g () =, så f () lim g () = f () g ().4. Uendelige intervaller [S] 5. Improper integrals Eksempel Integralet t [ A(t) = d = ] t = t har grænseværdi ( lim A(t) = lim ) = t t t.5. Uendelige intervaller [S] 5. Improper integrals = t Uendeligt interval, endeligt areal.6. Uegentligt integral [S] 5. Improper integrals Definition Det uegentlige integral er konvergent, hvis grænseværdien findes; i modsat fald divergent. (a) a f()d = lim t t a f()d (b) (c) b f()d = f()d = lim t a b t f()d + f()d a f()d.7. Uendelige intervaller [S] 5. Improper integrals Eksempel

119 . L HOSPITALS REGEL OG UEGENTLIGE INTEGRALER 9 Det uegentlige integral er divergent. Det uegentlige integral er konvergent. t d = lim t = lim t lnt = d = lim t [ln]t t d = lim t d =.8. Uendelige intervaller [S] 5. Improper integrals = t Uendeligt interval, uendeligt areal.9. Arctan integral [S] 5. Improper integrals Eksempel 3 + d = π Løsning t + d = [Arctan]t = Arctan t Grænseovergange lim t ± Arctan t = ± π giver + d = + d + + d = π.. Reciprok potens [S] 5. Improper integrals Eksempel 4 Det uegentlige integral p d = lim p t t = lim t p [ d = lim p t p ( ) t p ] t p er konvergent for p > med værdi og divergent for p. p d = p

120 III. POTENSRÆKKER.. Test uegentlig integral [S] 5. Improper integrals Test Integralet 3 d er konvergent. Løsning t /3 d = (Alternativt p = /3 < i Eksempel 4) [3 /3] t for t = 3t /3 3 Afkrds: ja nej.. Uendelige funktioner [S] 5. Improper integrals 3 Definition Det uegentlige integral er konvergent, hvis grænseværdien findes; i modsat fald divergent. (a) b a f()d = lim t b t a f()d (b) (c) b a b a f()d = lim t a + f()d = c a b t f()d + f()d b c f()d.3. Uendelige funktioner [S] 5. Improper integrals Eksempel () Det uegentlige integral er divergent. d = lim t + t = lim t + ln t = d = lim [ln] t + t.4. Uendelige funktioner [S] 5. Improper integrals Eksempel () Det uegentlige integral er konvergent. d = lim t + t = lim t + t = [ / d = lim /] t + t.5. Uendelige funktioner [S] 5. Improper integrals

121 . L HOSPITALS REGEL OG UEGENTLIGE INTEGRALER = t t Uendelige værdier, endeligt areal.6. Uendelige funktioner [S] 5. Improper integrals Eksempel (4) Det uegentlige integral p d = lim p t + t = lim t + p [ d = lim p t + p ( ) t p er konvergent for p < med værdi p d = p og divergent for p. ] p t.7. Test uegentlig integral [S] 5. Improper integrals Test Integralet 3 d er konvergent. Løsning t /3 d = 3 [3 /3] for t t = 3 3t /3 Afkrds: ja nej.8. Sammenligning af uegentlige integraler [S] 5. Improper integrals Sætning (Sammenligning) Antag at kontinuerte funktioner f, g opflder uligheden f() g() for a. (a) a f()d konvergent g()d konvergent. a

122 III. POTENSRÆKKER (b) a g()d divergent f()d divergent. a. Talfølger og rækker.. Oversigt [S] 8., 8. Nøgleord og begreber Grænseværdi af talfølge Test grænseværdi Monotone og begrænsede talfølger Talrække og afsnitssum Konvergente rækker har små led Regneregler.. Grænse for talfølge [S] 8. Sequences Definition En talfølge {a n } har grænseværdi L lim a n = L n Hvis a n kommer vilkårligt tæt på L, når n er tilstrækkeligt stor. Skrives også a n L når n Følgen kaldes da konvergent og i modsat fald divergent..3. Grænse tdeligere [S] 8. Sequences Definition præcis En talfølge {a n } har grænseværdi L Hvis der for ethvert ɛ > findes et tal N så lim a n = L n a n L < ɛ for n > N.4. Simpel følge [S] 8. Sequences Eksempel Talfølgen {a n } a n = n n + har grænseværdi For ɛ > er når n > ɛ. lim n n n + = n n + = n + < ɛ.5. Funktion af talfølge [S] 8. Sequences Sætning Hvis lim f() = L og a n = f(n), så lim a n = L n

123 . TALFØLGER OG RÆKKER 3 Eksempel 3 lim n n r = hvis r >.6. Test grænseværdi [S] 8. sequences Test lim n n cos n (a). (b). (c). (a) (b) (c) Afkrds den rigtige: Løsning f() = cos er kontinuert med f() =. lim f( n n ) =.7. Regneregler [S] 8. Sequences Regneregler lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n lim a nb n = lim a n lim n n a n = lim n a n b n lim n b n lim n lim n ap n = ( lim n a n) p n b n.8. Absolutværdi vinder [S] 8. Sequences 4 Sætning lim a n = lim a n = n n Paspå! lim n ( )n = Men talfølgen a n = ( ) n er divergent..9. Potenser [S] 8. Sequences 6 Sætning Talfølgen {r n } er konvergent for < r med lim n rn = Talfølgen er divergent for øvrige r. { hvis < r < hvis r =.. Monotone følger [S] 8. Sequences Definition Betragt en talfølge {a n }. voksende: a n < a n+, ( ) aftagende: a n > a n+, ( )

124 4 III. POTENSRÆKKER monoton: voksende eller aftagende opadtil begrænset: a n M nedadtil begrænset: m a n begrænset: opadtil- og nedadtil begrænset.. Monoton og begrænset er konvergent [S] 8. Sequences 7 Sætning Enhver monoton begrœnset talfølge er konvergent. Eksempel Følgen a n = n n + = + n, 3, 3 4, 4 5, 5 6,... er voksende og begrænset. Følgen er dermed konvergent... Rekursiv følge [S] 8. Sequences Eksempel Talfølgen {a n } er begrænset og voksende a =, a n+ = (a n + 6) a n 6 a n+ = a n + 3 a n.3. Rekursiv følge [S] 8. Sequences Eksempel - fortsat Talfølgen har en grænseværdi L som opflder a =, a n+ = (a n + 6) L = (L + 6) I alt lim a n = 6 n.4. Uendelig række [S] 8. Series Definition Givet en talfølge {a n }. Udtrkket a + + a n +... kaldes en uendelig række. Skrives også n= a n

125 . TALFØLGER OG RÆKKER 5.5. Harmonisk række [S] 8. Series Eksempel Talfølgen { n } giver rækken n +... Skrives også n n=.6. Harmonisk række [S] 8. Series Eksempel Talfølgen { n } giver rækken Skrives også n +... n= n.7. Afsnitssum [S] 8. Series Definition Rækken n= a n har n-te afsnitssum n s n = a + + a n = Rækken kaldes konvergent, hvis talfølge {s n } er konvergent og i modsat fald divergent. s = lim n s n kaldes rækkens sum og skrives a n = s n= i= a i.8. Enkel udregning [S] 8. Series Eksempel 6 Rækken n(n + ) +... har led og afsnitssum a n = n(n + ) = n n + s n = n n + = n +.9. Enkel udregning [S] 8. Series Eksempel 6 - fortsat Afsnitssummen er konvergent s n = n + når n

126 6 III. POTENSRÆKKER Rækken er da konvergent n= n(n + ) =.. Geometrisk række [S] 8. Series 4 Sætning (Geometrisk række) Den geometriske række ar n = a + ar + ar +... n= er konvergent for r < med sum ar n = a r n= Rækken er divergent for øvrige r (a )... Bevis geometrisk række [S] 8. Series Bevis Afsnitssummen findes som kvotientrække s n = a + ar + ar + + ar n = a rn+ r Så rækken er konvergent for r < med sum ar n = a r n=.. En sum findes [S] 8. Series Eksempel Den geometriske række n har r = og er konvergent. n= Summen findes n= n = =.3. Led forsvinder [S] 8. Series 6 Sætning Hvis rœkken n= a n er konvergent, så gœlder lim a n = n Bevis Antag s n s når n. når n. a n = s n s n s s =.4. Divergente rækker [S] 8. Series

127 . TALFØLGER OG RÆKKER 7 Eksempler Den geometriske række er divergent. Rækken er divergent. ( ) n = n= Divergent med forsvindende led [S] 8. Series Eksempel 7 (Paspå) Den harmoniske række n har led Men rækken er divergent. n= n når n.6. Divergent med forsvindende led [S] 8. Series Eksempel 7 (Paspå) - fortsat Afsnitssummen giver en divergent følge. s n = + + ( 3 + ) + ( ) + + n n n n = + n.7. Kriterie for divergens [S] 8. Series 7 Sætning Hvis lim n a n ikke eksisterer eller lim n a n, så er rœkken divergent. Bevis Omformuler Sætning 6. n= a n.8. Divergente rækker [S] 8. Series Eksempel Rækken ( n ) n=

128 8 III. POTENSRÆKKER har led som konvergerer og er da divergent. a n = n for n.9. Nttige regler [S] 8. Series 8 Sætning (Regneregler) (i) ca n = c (ii) (iii) n= n= n= n= a n (a n + b n ) = a n + n= n= n= (a n b n ) = a n.3. Opgave [S] 8. Series Øvelse 8 Undersøg rækken n ln( n + ) n= Ledene konvergerer n ln( ) ln() = for n + n så divergenstesten giver os intet. n=.3. Opgave [S] 8. Series Øvelse 8 - fortsat Om afsnitssummen s n = ln( ) + ln( 3 ) + + ln( n n + ) = ln( 3 n n + ) = ln( n + ) gælder s n for n b n b n.3. Opgave [S] 8. Series Øvelse 8 - fortsat Altså er rækken n ln( n + ) divergent. n= Men det går langsomt s 6 ln( 6 ) 4

129 3. POTENSRÆKKER 9 3. Potensrækker 3.. Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8. Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensradius Differentiation og integration af potensrækker Talor og MacLaurin rækker August, opgave 4 Løsning af diff.-ligninger ved hjælp af rækker 3.. Den geometriske række og eksponentialrækken [S] 8.7 Talor... Den geometriske række For alle tal med < gælder = Eksponentialrækken For alle tal R gælder e = +! +! + 3 3! Cosinus og Sinus rækkerne [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Cosinusrækken For alle tal R gælder Sinusrækken For alle tal R gælder cos =! + 4 4!... sin = 3 3! + 5 5! Logaritme- og Arctan rækkerne [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Logaritmerækken For alle tal med < gælder ln = ( ) Arctan rækken For alle med gælder ( ) + ( )3 3 Arctan = (En svende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtrk af form c n erne kaldes rækkens koefficienter. c + c ( a) + c ( a) + c 3 ( a)

130 3 III. POTENSRÆKKER Skrives også c n ( a) n n= Bemærk c ( a) = c, da ( a) = Logaritmerækken [S] 8.5 Power series Eksempel Logaritmerækken ( ) ( )3 ln = ( ) + 3 er en potensrække med centrum i a =. Koefficienterne er c =,c =,c =,c 3 = 3, Eksponentialrækken [S] 8.5 Power series Eksempel Eksponentialrækken e = +! +! + 3 3! +... er en potensrække med centrum i a =. Koefficienterne er c =,c = /!,c = /!,c 3 = /3!, Konvergens [S] 8.5 Power series 3 Sætning For en potensrœkke med centrum i a c n ( a) n n= er der netop 3 muligheder (i) Konvergerer kun for = a (ii) Konvergerer for alle (iii) Der findes et tal R > så rœkken er konvergent for a < R og divergent for a > R 3.9. Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = (ii) R = + (iii) R > Konvergensradius skiller konvergens og divergens. (a R,a + R) er konvergensintervallet. Sommetider er det ene, eller begge, endepunkter med i konvergensintervallet. 3.. Konvergens af logaritmerækken [S] 8.5 Power series Eksempel Logaritmerækken ln = ( ) ( ) + ( )3 3...

131 3. POTENSRÆKKER 3 har centrum i a =, konvergensradius R er = : rækken er konvergent for < <, divergent for < og for >. Logaritmerækken er konvergent i højre endepunkt, ln = Ledvis differentiation [S] 8.6 Representations of functions... Sætning Hvis en potensrœkke har konvergensradius R >, så er sumfunktionen f() = c n ( a) n n= differentiabel i konvergensintervallet, og har afledet f givet ved ledvis differentiation. Bemærk Den ledvis differentierede række har samme konvergensradius som den oprindelige række. 3.. Ledvis integration [S] 8.6 Representations of functions... Sætning Hvis en potensrœkke har konvergensradius R >, så kan en stamfunktion til sumfunktionen f() = c n ( a) n n= angives ved ledvis stamfunktion-dannelse. Bemærk Den ledvis integrerede række har samme konvergensradius som den oprindelige række Bestemt integration [S] 8.6 Representations of functions... Bemærkning Også bestemt integration kan udføres ledvis i konvergensintervallet, b a f() d = b a c d + b (forudsat at a og b tilhører konvergensintervallet). a c d + b a c d Ledvis diff. og int., igen [S] 8.6 Representations of functions... Sætning f() = c n ( a) n (i) f () = (ii) n= nc n ( a) n n= f()d = C + n= c n ( a)n+ n Geometrisk række [S] 8.6 Representations of functions... Eksempel 5

132 3 III. POTENSRÆKKER Differentier den geometriske række = = ( ) = = n= n (n + ) n Konvergensradius er, centrum er, rækken er konvergent for < <, divergent for >. I konvergensintervallet fremstiller rækken /( ) Geometrisk række [S] 8.6 Representations of functions... Eksempel 6 Integrerer den geometriske række n= = = n= n ln( ) = = Konvergensradius er, centrum er, rækken er konvergent for < <, divergent for > En logaritmerække [S] 8.6 Representations of functions... Eksempel 6 - fortsat n= ln( ) = for < < ln( ( z)) = ( z) + ( z) eller (z ) lnz = (z ) + (substituer z for ; gælder for < z ). + (z )3 3 n n ( z) Arctan rækken [S] 8.6 Representations of functions... Eksempel 7 For < er <, så for sådanne fås ved substitution i den geometriske række + = Integreres ledvis fås Arctan() = Gentagen differentiation [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Udregning f() = c + c + c + c c f () = c + c + 3c 3 + 4c f () = c + 3 c c f () = 3 c c

133 3. POTENSRÆKKER 33 f (4) () = 4 3 c c Gentagen differentiation [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Udregning - fortsat Indsættes =, fås f() = c, f () = c, generelt eller f () = c, f () = 3 c 3, f (4) () = 4 3 c 4,... f (n) () = n (n )... c n f (n) () = n! c n 3.. Gentagen differentiation [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Udregning - fortsat f (n) () = n! c n eller c n = f(n) () n! 3.. MacLaurin [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Observation f() = c + c + c + c kan skrives eller f() = f() + f () + f ()! f() = n= + f () ! f (n) () n n! 3.3. Talor-udvikling, centrum a [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Observation kan skrives eller f() = c + c ( a) + c ( a) + c 3 ( a) f() = f(a) + f (a)( a) + f (a)! f() = n= ( a) + f (a) ( a) ! f (n) (a) ( a) n n! ( Talor-rækken for f med centrum i a, eller Talor-udviklingen af f ud fra a ) 3.4. Koefficienter [S] 8.7 Talor and Maclaurin series 5 Sætning

134 34 III. POTENSRÆKKER Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius R >, så har sumfunktionen f() = c n ( a) n koefficienter n= c n = f(n) (a) n! 3.5. Talorrække [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Definition En vilkårlig ofte differentiabel funktion f() har Talorrække om a 6 f() = og Maclaurinrække, a =, n= 7 f() = f (n) (a) ( a) n n! n= f (n) () n n! 3.6. Eksponentialrækken som Maclaurin række [S] 8.7 Talor... Eksempel For f() = e er f (n) () = e for alle n. Så er f (n) () = e = for alle n, så Maclaurin rækken for e er e = n! n n= 3.7. Sinusrække som Maclaurin række [S] 8.7 Talor... Eksempel 4 For f() = sin er sin = cos og cos = sin. Så Maclaurin rækken er f() =,f () =, f () =,f () =, f 4 () =,,,,,,,,,,,,,,... 5 sin = 3 3! + 5 5! 7 7! Cosinusrække som Maclaurin række [S] 8.7 Talor... Eksempel 5 For f() = cos, Maclaurin rækken er f() =,f () =,f () =,f () =,...,,,,,,,,,,,... cos =! + 4 4!...

135 3. POTENSRÆKKER 35 Denne rækkeudvikling kan også udledes ved at differentiere sin = 3 3! + 5 5! Gauss fejlintegral [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Eksempel 8 Substitueres for i eksponentialrækken, fås e = +! 4 3! eller (for alle ). ( ) n e = n! n= n 3.3. Gauss fejlintegral [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Eksempel 8 - fortsat For f() = e d (med f() = ) er en rækkeudvikling med centrum i ( ) n e d = n n! e d = n= n= ( ) n (n + )n! n Gauss fejlintegral (fortsat) Eksempel 8 - fortsat e d = 3 3! + 5 5! 7 7 3! !... ] e d = [ 3 3! + 5 5! 7 7 3! !... = 3! + 5! 7 3! + 9 4!... Sum af de anførte led, sand værdi Opgave Matematik Alfa, August Opgave 4 Angiv en potensrække i, der for fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f() = cos( ) 4 lim f() Opgave Matematik Alfa, August Opgave 4 - Løsning

136 36 III. POTENSRÆKKER Divideres ledvis med 4 fås cos =! + 4 4!... cos( ) = ( 4! + 8 4! +...) 6! = 4! + 8 4! !! + 4 4! 8 6! Opgave Matematik Alfa, August Opgave 4 - Løsning fortsat Dermed er f() = ( ) n n= (n)! 4(n ) =! + 4! 4 6! 8 + 8!... Det følger, at lim f() = Potensrækkeløsning [S] 8. Using... diff. eq. Eksempel + = Vi søger en løsning af form () = c + c + c + c () = c + c + 3 c c () = c + 3 c c c Potensrækkeløsning [S] 8. Using... diff. eq. Eksempel - fortsat () + () = (c + c ) + (c + 3 c 3 ) + (c c 4 ) +... Fra + = fås at alle koefficienterne må være, altså c + c = c + 3 c 3 = c + 4 3c 4 = Potensrækkeløsning [S] 8. Using... diff. eq. Eksempel - fortsat

137 4. TAYLORPOLYNOMIER 37 c og c kan vælges frit, derefter bestemmes c,c 3,c 4,... ved rekursion. Med f.eks. c = og c = fås c =, c 3 =, c 4 = 3 4 c = ( 3 4 )( ) = 4!. () = + 4! 4 6! netop cosinus rækken! () = cos er en løsning til + =, med () = og () =. 4. Talorpolnomier 4.. Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Talor polnomier Vurdering af Talor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen 4.. Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a a b + 3 ab + b 3 (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a b + 4 ab 3 + b 4 (a + b) k = k n= ( ) k a k n b n, n 4.3. Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k k(k )(k )...(k n + ) = n 3... n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra ). ( ) 4 = 4 3 = = Binomialformler [S] 8.8 The binomial series ( ) k k(k )(k )...(k n + ) = n 3... n

138 38 III. POTENSRÆKKER giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) (.4) = =.384 = Hvis k er et positivt helt tal, så (k ) = og ( ) k = k 4.5. Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k b + a k b + a k 3 b ( ) k... + a b k + kab k + b k k Specielt (sæt a = og b = ) ( + ) k = + k + ( ) k + ( ) k k Maclaurin række for f() = ( + ) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f() = ( + ) k f () = k( + ) k f () = k(k )( + ) k f () = k(k )(k )( + ) k 3 f() = f () = k f () = k(k ) f () = k(k )(k ) 4.7. Maclaurinrække for f() = ( + ) k [S] 8.8 The binomial series Koefficienter i Maclaurin rækken: f (n) () = k(k )(k )...(k n + )( + ) k n c n = f(n) () n! f (n) () = k(k )(k )...(k n + ) = k(k )(k )...(k n + ) n! Maclaurinrække for ( + ) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8. = ( ) k n 4.8. Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for ( + ) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k + k E. : Maclaurin række for = ( + ) ( + )

139 4. TAYLORPOLYNOMIER 39 ikke at forveksle med (jvf. E. i [S] 6.6.) + = Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin række for = ( + ) ( + ) Binomialrække med k =. (Konvergensradius ) ( ) ( ) =, =, ( ) = ( )( 3) = 3! ( ) = ( )( 3)( 4) = 4 3 3! 4.. Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begnder rækken: F.eks. (med =.) (.) = Talor-polnomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) ( a) + f (a) }{{! }! T () ( a) }{{} T () + f (a) 3! ( a) } {{ } T 3() T () er den lineære approimation til f i a; T () kaldes det approimerende.grads polnomium, eller Talor-polnomiet af grad for f i a. 4.. Talor-polnomier [S] 8.8 The binomial series T () = f(a) + f (a) ( a)! T () = f(a) + f (a)! T 3 () = f(a) + f (a)! ( a) + f (a)! ( a) + f (a) ( a)! ( a) + f (a) ( a) 3 3! 4.3. Kubikrod [S] 8.9 Applications of Talor polnomials Eksempel

140 4 III. POTENSRÆKKER Approimer f() = 3 = 3 i omegnen af a = 8 med et.grads polnomium. f() = 3 ;f(8) = 8 3 = f () = 3 3 ;f (8) = f () = ;f (8) = Kubikrod [S] 8.9 Applications of Talor polnomials Eksempel - fortsat T () = f(8) + f (8)! = + /! ( 8) + f (8) ( 8)! ( 8) + /44 ( 8)! = + ( 8) ( 8) Restled [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Hvor god en approimation til f() er Talor polnomiet T n ()? Specielt: hvor god er den lineære approimation T ()? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n () := f() T n ()? Hvis f (k) (a) f() = ( a) k k! så er R n () = k= k=n+ - men det siger ikke noget om hvor stor den er f (k) (a) ( a) k k! 4.6. Talor s restled [S] 8.7 Talor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+) () M for alle med a d, så for alle med a d. R n () M ( a) n+ (n + )! Sammenlign udtrkket i vurderingen med det næste led i Talor-rækken, som jo er f (n+) (a) ( a)n+ (n + )! 4.7. Hvor god er den lineære approimation? [S] 8.7 Talor and Mac... f() T () M a! hvor f () M for all i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f() = sin. Da f() = og f () = cos() =, er den lineære approimation til sin i a = givet ved T () = + =

141 4. TAYLORPOLYNOMIER 4 Da f () = sin() er numerisk for alle, har vi for alle fejlvurderingen R ()! 4.8. Talors restled som itereret integral [S] 8.7 Talor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F() = F(a) + anvend på F = f f() = f(a) + anvend på F = f inden under integraltegnet: = f(a) + (f (a) + a a s a a F (s) ds; f (s) ds f (t) dt) ds 4.9. Talors restled [S] 8.7 Talor and Maclaurin series = f(a) + a (f (a) + = f(a) + ( a)f (a) + s a s a f (t) dt) ds a f (t) dt ds. 4.. Talors restled [S] 8.7 Talor and Maclaurin series f() = f(a) + ( a)f (a) + s a a f (t) dt ds. De to første led er Talor-polnomiet T () for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R (). 4.. Talors restled [S] 8.7 Talor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtrk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s,t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = (lodret linie) og linien s = t Trekanten D har areal! ( a). Da f (t) M for alle punkter i D, er! ( a) M = M ( a)! D 4.. Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Talor... Eksempel T n () = +! + n ! n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke gælder For hvilke gælder For alle! THI: T n () e for n? R n () for n? 4.3. Eksponentialrækken [S] 8.7 Talor and Maclaurin series

142 4 III. POTENSRÆKKER tag et d. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+) () = e e d R n () for d. Men n+ (n+)! for n. Altså R n () for n Altså T n () f() = e for n. e d (n + )! n+

143 IV Differentialligninger. Grafiske/numeriske metoder.. Oversigt [S] 7., 7., 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begndelsesværdiproblem.. Fri Vækst [S] 7. Modelling with differential equations Fri vækstmodel Løsninger t tid og P(t) kvantitet C fastlægges ved en begndelsesværdi. dp dt = kp P(t) = Ce kt.3. Dæmpet vækst [S] 7. Modelling with differential equations Dæmpet vækstmodel Løsninger t tid og P(t) kvantitet P kp for P << K P < for K < P dp dt = kp( P K ) P(t) = K + Ce kt.4. Bevægelse [S] 7. Modelling with differential equations Bevægelsesligning t tid og (t) udsving hastighed = k m acceleration 43

144 44 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER 3 Løsninger d dt = k m k k (t) = C cos( m t) + C sin( m t).5. Fjeder [S] 7. Modelling with differential equations Fjeder t tid og (t) udsving hastighed = k m acceleration 3 Løsninger d dt = k m k k (t) = C cos( m t) + C sin( m t).6. Pendul [S] 7. Modelling with differential equations Pendul tilnærmet t tid og (t) udsving hastighed = k m acceleration 3 Løsninger d dt = k m k k (t) = C cos( m t) + C sin( m t).7. Differentialligning [S] 7. Modelling with differential equations Generel ligning 4 = eller 4 Løsning d d = = f() f () = f().8. Differentier funktion [S] 7. Modelling with differential equations Eksempel = + cet ce t er løsning til 4 = ( ) Gør prøve = cet ( ce t ) + ( + ce t )ce t ce t ( ce t ) = ( ce t )

145 . GRAFISKE/NUMERISKE METODER 45 ( ) = ( + ce t ) ( ce t ) ce t ( ce t ) = ( ce t ).9. Grafisk løsning [S] 7. Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen = + prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne () med små tangentstkker. I et givet punkt (, ) vil en tangent have ligning = + ( )( ) I dette tilfælde = + ( + )( ) Skitsen kaldes et retningsfelt... Grafisk løsning [S] 7. Direction fields and Euler s method Retningsfelt I punktet (,) tegnes et kort linjestkke med hældning () = +. En graf skitseres... Grafisk løsning [S] 7. Direction fields... Eksempel - Retningsfelt d d = 3 + e.. Grafisk løsning [S] 7. Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen = + prøver vi at tilnærme grafen for løsningerne () med små tangentstkker.

146 46 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER I et givet punkt (, ) vil en tangent have ligning = + ( + )( ).3. Grafisk løsning [S] 7. Direction fields and Euler s method Retningsfelt.4. Eulers metode [S] 7. Direction fields and Euler s method Eulers metode For begndelsesværdiproblemet = +, () = prøver vi at tilnærme løsningen () med differentialet i små intervaller. I et givet punkt ( n, n ) vil differentialet være og d = ( n + n )d n + ( n + n )( n ).5. Eulers metode [S] 7. Direction fields and Euler s method Eulers metode n + ( n + n )( n ) giver rekursionen For en inddeling på -aksen n+ = n + ( n + n )( n+ n ),,..., n, n+,... tabellægges tilnærmelser til funktionsværdierne n ( n ).6. Eulers metode [S] 7. Direction fields and Euler s method Eulers metode Tabellæg løsning til = +, () =

147 . GRAFISKE/NUMERISKE METODER 47 n n n =, = n n n Eulers metode [S] 7. Direction fields and Euler s method Eulers metode For begndelsesværdiproblemet = +, () = prøver vi at tilnærme løsningen () med differentialet i små intervaller. I et givet punkt ( n, n ) vil differentialet være og d = ( n + n )d n + ( n + n )( n ).8. Eulers metode [S] 7. Direction fields and Euler s method Eulers metode Tabellæg løsning til = +, () = n n n n n n Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En. ordens differentialligning kaldes separabel. Løsning Integration Fastlægger løsninger optil en konstant. d d = g()f() d f() = g()d.. Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel er separabel. d d = 6 + cos()

148 48 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsning ( + cos())d = 6 d Giver løsning bestemt ved ligningen 3 + sin() = 3 + C.. Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel. ordens differentialligningen kaldes den logistiske ligning. Løsning Ligningen er separabel dp dt = kp( P K ) dp P( P/K) = kdt.. Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel - fortsat dp P( P/K) = kdt integreres til løsninger 4 P(t) = hvor K + Ae kt A = K P() P().3. Vækst [S] 7.4 Eponential growth and deca Definition d dt = k Vækstligningen er separabel med løsninger d = kdt A fastlægges ved ln = kt + C = Ae kt () = Ae = A.4.. ordens ligning [S] 7.4 Eponential growth and deca Sætning Løsningen til begndelsesværdiproblemet d dt = k () =

149 .. ORDENS LIGNINGER 49 er givet ved (t) = e kt.. ordens ligninger.. Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 4, 5 Nøgleord og begreber Separable ligninger. ordens lineær ligning August, opgave 7 Rovdr-Bttedr sstem. ordens lineært sstem Opgave.. Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En. ordens differentialligning kaldes separabel. Løsning Integration Fastlægger løsninger optil en konstant. d d = g()f() d f() = g()d.3.. ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Definition Den lineœre. ordens differentialligning er d = a() + b() d En partikulær løsning er en differentiabel funktion () som opflder () = a()() + b() Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen d d = a() kaldes homogen og er den homogene part af den inhomogene, b, ligning ovenfor..4. Superposition [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning Hvis z (),z () er løsninger til den homogene lineœre differentialligning så er enhver linearkombination også en løsning. d d = a() z() = C z () + C z ().5. Superposition [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning - fortsat

150 5 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Hvis z () er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning så er enhver løsning af formen d = a() + b() d () = z() + z () hvor z() er en løsning til den homogene part af sstemet..6.. ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning 3 Den lineœre ligning med konstante koefficienter d d = a + b har fuldstœndig løsning givet ved a = : () = C + b a : hvor C er arbitrœr. () = Ce a b a.7.. ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning 4 Den homogene lineœre ligning d d = a() har fuldstœndig løsning () = Ce A() hvor C er arbitrœr og A() = a() d.8.. ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning 4 - Bevis d d = a() er separabel med løsninger d = a()d ln = A() + K () = Ce A().9.. ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning 5 Den generelle lineœre ligning d = a() + b() d har fuldstœndig løsning () = Ce A() + B()e A()

151 .. ORDENS LIGNINGER 5 hvor C er arbitrœr og A() = a() d, B() = e A() b()d... ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Sætning 3, 5 - Bevis opflder ligningen som integreres til og forlænges til z() = e A() () dz d = e A() b() z() = B() + C () = Ce A() + B()e A()... ordens lineær ligning [LA] 4 Lineær differentialligning Metode d = a() + b() d. Bestem en stamfunktion A() = a() d. Bestem en stamfunktion B() = e A() b()d 3. Skriv løsningen () = Ce A() + B()e A().. Opgave Matematik Alfa, August Opgave Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen + = e + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning (), der opflder () =. Løsning giver = + (e + 3) a() =,b() = e Opgave Matematik Alfa, August

152 5 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Opgave - fortsat A() = B() = a()d = d = e A() b()d = e (e + 3)d = + 3 e Som giver.4. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - fortsat fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce + ( + 3 e )e = Ce + e Opgave Matematik Alfa, August Opgave - fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved () =. () = Ce + 3 = I alt er løsningen C = 3 = () = e + e + 3 = ( + )e Rovdr-bttedr [S] 7.6 Predator-pre sstems Lotka-Volterra ligningerne dr = kr arw dt dw = rw + brw dt er et sstem af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af rovdr W(t) (ulve) og bttedr R(t) (harer) med tiden t. Det er ikke muligt at løse disse analtisk (ved udtrk i elementære funktioner af t)..7. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Definition Ved et lineœrt differentialligningssstem ( ligninger) med konstante koefficienter forstås d d = a + a + b d d = a + a + b En løsning er differentiable funktioner

153 .. ORDENS LIGNINGER 53 (), () som indsat opflder lignningerne..8. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Definition - matriform For -matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og -søjlerne b = (b i ), () = ( i ()) skrives differentialligningssstem eller En løsning skrives ( d ) d d = d d d = A + b ( a a a a () = )( ) + ( ) () () ( b b ).9. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Notation Givet -matricen A = (a ij ) og -søjlerne b = (b i ), () = ( i ()) kaldes sstemet d d = A homogent og er den homogene part af det inhomogene, b, sstem d d = A + b.. Superposition [LA] 5 Lineært sstem Sætning 6 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlen () = ( i ()). Hvis z (),z () er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssstem så er enhver linearkombination også en løsning. d d = A z() = C z () + C z ().. Superposition [LA] 5 Lineært sstem Sætning 6 - fortsat Betragt derligere -søjlen b. Hvis z () er en løsninger til det inhomogene lineœre differentialligningssstem d d = A + b så er enhver løsning af formen () = z() + z () hvor z() er en løsning til den homogene part af sstemet... Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Eksempel

154 54 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Sstemet = λ = λ har diagonalmatricen ( ) λ Λ = λ som koefficientmatri. e,e er egenvektorer og basis for R..3. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Eksempel - fortsat Fra Særning.3 fås den fuldstændige løsning () = C e λ, () = C e λ på vektorform giver dette ( ) ( ) () C e () = = λ () C e λ eller udtrkt ved egenvektorerne () = C e λ e + C e λ e ( ) ( ) e λ = C + C e λ.4. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Sætning 7 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlen () = ( i ()) samt det homogene lineœre differentialligningssstem d d = A Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. () = Ce λ u.5. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Sætning 8 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlerne b = (b i ), () = ( i ()) samt det lineœre differentialligningssstem d d = A + b En konstant funktion () = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis derligere u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. () = Ce λ u + v.6. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Sætning 9 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlen () = ( i ()) samt det homogene lineœre differentialligningssstem d d = A

155 .. ORDENS LIGNINGER 55 Hvis = C u + C u er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ,λ, Au j = λ j u j, så er () = C e λ u + C e λ u en løsning, der opflder () =..7. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Sætning 3 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlen () = ( i ()) samt det homogene lineœre differentialligningssstem d d = A Hvis matricen U med søjler u,u diagonaliserer A med egenvœrdier λ,λ, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved hvor C,C er arbitrœre. () = C e λ u + C e λ u.8. Lineært sstem [LA] 5 Lineært sstem Sætning 3 Betragt -matricen A = (a ij ) og -søjlerne b = (b i ), () = ( i ()) samt det lineœre differentialligningssstem d d = A + b En konstant funktion () = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u,u diagonaliserer A med egenvœrdier λ,λ, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved () = C e λ u + C e λ u + v hvor C,C er arbitrœre..9. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave Betragt differentialligningssstemet = + = 8 Det oplses, at vektoren u = (,) er en egenvektor for matricen ( ) A = 8 Angiv den løsning () = ( (), ()) der opflder () = u, altså ( (), ()) = (,)..3. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( ) ( ) ( ) 3 Au = = = 3u 8 6 I følge [LA] Sætning 7 er () = Ce 3 ( )

156 56 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER løsninger for alle valg af C..3. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat ( ) () = Ce 3 som opflder ( (), ()) = C(,) = (,) fås for C =. Den ønskede løsning skrevet ud () = e 3 () = e 3.3. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssstemet Løsning Koefficientmatricen er = + 8 = + 7 A = ( ).33. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polnomium A λi = λ λ Egenværdier = λ λ 3 λ =, λ = Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien : giver egenvektorer A + I = ( ( ) ( ) = ) ( ) ( ) =.35. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 3: A 3I = ( ) ( )

157 .. ORDENS LIGNINGER 57 giver egenvektorer ( ) = ( ) ( ) =.36. Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Den fuldstændige løsning til den homogene part = + = + er i følge [LA] Sætning 3 ( ) ( ) () = C e + C e 3 Skrevet ud () = C e + C e 3 () = C e + C e Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat En konstant løsning () = v = (v,v ) skal opflde Løsning Dette løses = v + v 8 = v + v 7 v = ( ) Opgave [LA] 5 Lineært sstem Opgave - fortsat Den fuldstændige løsning til sstemet = + 8 = + 7 er i følge [LA] Sætning 3 ( ) ( ) () = C e + C e 3 + Skrevet ud () = C e + C e 3 + () = C e + C e ( ) Ingen egenværdier [LA] 5 Lineært sstem Eksempel Betragt det lineære sstem = Koefficientmatricen = + A = ( )

158 58 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER har karakteristisk polnomium λ λ + med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier..4. Ingen egenværdier [LA] 5 Lineært sstem Eksempel - Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer Skrevet ud () = C e ( cos sin ) + C e ( sin cos () = C e cos C e sin () = C e sin + C e cos ).4. egenværdi [LA] 5 Lineært sstem Eksempel 3 Betragt det lineære sstem = 3 + = 3 Koefficientmatricen A = har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e ). ( ) egenværdi [LA] 5 Lineært sstem Eksempel 3 - Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer ) ) () = C e 3 ( + C e 3 ( Skrevet ud Gør prøve! () = C e 3 + C e 3 () = C e 3 3. Generelle metoder 3.. Oversigt [S] 7., 7.5, 7.6; [LA] 7, 8 Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

159 3. GENERELLE METODER Ligning og løsning [LA] 7 Generel ligning Definition Lad I,J være åbne intervaller og F(,) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen d d = F(,) er en differentiabel funktion () : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver () = F(,()), I 3.3. Eksistens og entdighed [LA] 7 Generel ligning Sætning 3 Antag at F(,) er kontinuert og F (,) eksisterer og er kontinuert i I J. For et givet (, ) I J findes entdigt bestemt et maimalt delinterval I I og en differentiabel funktion () : I J, som er en løsning til differentialligningen og opflder d d = F(,) ( ) = 3.4. Eksistens og entdighed [LA] 7 Generel ligning Bemærkning Den udvidede ligning d d = F(,),( ) = kaldes et begndelsesværdiproblem. Eksistens- og entdighedssætningen for begndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssstemer Eksistenseksempel [LA] 7 Generel ligning Eksempel Differentialligningen d d = 3 + e har løsningskurver igennem ethvert (, ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart udtrkkes ved kendte elementære funktioner Elementære funktioner [LA] 7 Generel ligning Eksempel Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er eksponentialfunktionen d =, () = d () = e 3.7. Elementære funktioner [LA] 7 Generel ligning Eksempel - fortsat

160 6 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner d d = d d = () =, () = () = cos () = sin 3.8. Grafisk løsning [S] 7. Direction fields... ; [LA] 7 Generel ligning Eksempel - Retningsfelt d d = 3 + e 3.9. Logistisk ligning grafisk [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For den logistiske ligning dp dt =.8P( P ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstkker. I et givet punkt (t,p ) vil en tangent have ligning P = P +.8P ( P )(t t ) 3.. Grafisk løsning [S] 7.5 The logistic equation Retningsfelt P t

161 3. GENERELLE METODER Logistisk ligning - Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For det logistiske begndelsesværdiproblem dp dt =.8P( P ), P() = prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (P n,t n ) vil differentialet være og dp =.8P n ( Pn )dt P P n +.8P n ( Pn )(t t n) 3.. Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eulers metode Tabellæg løsning til dp dt =.8P( P ), P() = n t n P n n t n P n Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel For Lotka-Volterra sstemet dr = kr arw dt dw = rw + brw dt er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne ( dr dt, dw ) = (kr arw, rw + brw) dt 3.4. Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel For Lotka-Volterra sstemet k =.8, a =., r =., b =. dr =.8R.RW dt dw =.W +.RW dt tegnes hastighedsfeltet i RW -planen Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel - figur

162 6 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER W Hastighedsfeltet R 3.6. Eulers metode [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel - Eulers metode For Lotka-Volterra sstemet k =.8, a =., r =., b =. dr =.8R.RW dt dw =.W +.RW dt prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n,w n ) vil differentialet være dr = (.8R n.r n W n )dt dw = (.W n +.R n W n )dt 3.7. Eulers metode [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel - Eulers metode Tabellæg løsning til R = og W = 75 månedsvis: n R n W n n R n W n n R n W n Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Eksempel Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære sstemer. figur To positive egenværdier figur En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet figur 4 Ingen reelle egenværdier

163 3. GENERELLE METODER Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Figur To positive egenværdier 3.. Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Figur En positiv og en negativ egenværdi 3.. Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 3.. Grafisk [S] 7.6 Predator-pre sstems Figur 4 Ingen reelle egenværdier

164 64 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER 3.3. Ligevægt og stabilitet [LA] 8 Stabilitet Definition En differentialligning d d = F() kaldes et autonom sstem. En konstant løsning () = b,f(b) = kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning () som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsstemer Ligevægt og stabilitet [LA] 8 Stabilitet Bemærkning I en omegn af en ligevægt () = b, F(b) = kan det autonome begndelsesværdiproblem d d = F(),( ) = b + ɛ tilnærmes med den lineære ligning hvor () b + z(). dz d = F (b)z,z( ) = ɛ 3.5. Ligevægt og stabilitet [LA] 8 Stabilitet Bemærkning For en ligevœgt () = b, F(b) = for det autonome sstem gœlder F (b) < : Stabil ligevœgt. F (b) > : Ustabil ligevœgt. F (b) = : Ingen konklusion. d d = F() 3.6. Ligevægt og stabilitet [LA] 8 Stabilitet Bemærkning - figur

165 3. GENERELLE METODER 65 Fasediagram = F() 3.7. Logistisk stabilitet [LA] 8 Stabilitet Eksempel Den logistiske ligning dp dt = kp( P K ) har ligevægts løsninger P(t) =, P(t) = K og F (P) = k K P + k F () = k > : Ustabil ligevœgt. F (K) = k: K Stabil ligevœgt Logistisk stabilitet [LA] 8 Stabilitet Eksempel - figur P P Fasediagram P = kp( P K ) 3.9. Lotka-Volterra stabilitet [LA] 8 Stabilitet Eksempel For Lotka-Volterra sstemet, a,b,k,r >, dr = kr arw dt dw = rw + brw dt

166 66 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER er der to ligevægtsløsninger (R,W) = (,), (R,W) = (r/b,k/a) 3.3. Lotka-Volterra stabilitet [LA] 8 Stabilitet Eksempel - fortsat I (R, W) = (, ) er den lineære approimation som giver en ustabil ligevægt. dr dt = kr dw = rw dt 3.3. Lotka-Volterra stabilitet [LA] 8 Stabilitet Eksempel - fortsat I (R,W) = (r/b,k/a) er den lineære approimation for ( R, W) = (R r/b,w k/a) som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne d R dt = ar b W d W = bk dt a R t (R(t),W(t) for det oprindelig sstem er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cklisk udvikling i modellen.

167 V Matricer. Vektorer og matricer.. Oversigt [LA],, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matri Matri multiplikation Test matri multiplikation Standard vektorer Identitetsmatricen.. Taltupler [LA] Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler ( = ) af reelle tal og betegnes = (,..., i,..., n ) R n Taltuplen kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat i. Vektoren, hvis koordinater alle er kaldes nulvektoren. = (,...,).3. Planen [LA] Koordinatvektorer Figur b (a, b) a Talplanen R 67

168 68 V. MATRICER.4. Rummet [LA] Koordinatvektorer, [S] 9. Three-dimensional co... Figur z c (a, b, c) b a Talrummet R 3.5. Addition [LA] Koordinatvektorer Definition Sum af vektorer Eksempel + =.. + n.. n = = n + n.6. Skalering [LA] Koordinatvektorer Definition Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor Eksempel α = α.. n = 3 3 = α. α n.7. Regneregler [LA] Koordinatvektorer Regneregler () Kommutativ lov u + v = v + u () Associativ lov u + (v + w) = (u + v) + w

169 . VEKTORER OG MATRICER 69 (3) Distributive love r(u + v) = ru + rv (r + s)u = ru + su.8. Associativ addition [LA] Koordinatvektorer, [S] 9. Vectors Figur a + b + c b + c c b a a + b Associativ lov for vektorer i planen.9. Linearkombination [LA] Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u,...,u k og koefficienter (skalarer) λ,...,λ k giver linearkombinationen λ u + + λ k u k Eksempel = Span [LA] Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ u + + λ k u k Et span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et span {(,) = } = span((,)) R.. Vektorrum [LA] Koordinatvektorer, [S] 9. Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Eksempel Et underrum i R n er et vektorrum. Eksempel

170 7 V. MATRICER Mængden af alle reelle funktioner f : X R er et vektorrum... Test linearkombination [LA] Koordinatvektorer Test Enhver vektor R 3 kan skrives som en linearkombination = λ (,, )+λ (,,). Løsning = λ (,, ) + λ (,,) = (λ λ )(,, ) som alle har samme. og. koordinat. Afkrds:.3. Matri indgang [LA] Matricer Definition En m n-matri er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) A = = (a ij ) i=...m,j=...n a... a n.. a ij a m... a mn ij-te (matri)indgang a ij Matricen = () med alle indgange lig kaldes nulmatricen..4. Matri række/søjle [LA] Matricer Definition En m n-matri A = (a ij ) i=...m,j=...n har i-te række og j-te søjle a i = ( a i... a in ) a j = a j. a mj ja nej.5. Rækker og søjler [LA] Matricer Eksempel m = rækkevektor/rækkematri ( a... a n ) n = søjlevektor/søjlematri a.. a m matri [LA] Matricer Eksempler

171 . VEKTORER OG MATRICER matri rækkematri ( 6 9 ) 3-søjlematri Addition skalering [LA] Matricer Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matri. En matri kan skaleres. Eksempel ( ) + 8 A = B = A + B = λa = ( ) = 8 (a ij ) i=...m,j=...n (b ij ) i=...m,j=...n (a ij + b ij ) i=...m,j=...n (λa ij ) i=...m,j=...n ( ) 4 = 6 ( ) 8.8. Matri multiplikation [LA] Matricer Definition (Multiplikation) En m n-matri og en n p-matri kan multipliceres (ganges sammen) til en m p- matri. A = B = AB = (a ij ) i=...m,j=...n (b jk ) j=...n,k=...p (c ik ) i=...m,k=...p n c ik = a i b k + + a in b nk = a ij b jk j=.9. Gange er nemt [LA] Matricer Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matri og den k-te søjle i anden matri. c ik = ( ) a i...a ij...a in b k.. b jk.. b nk = a i b k + + a ij b jk + + a in b nk

172 7 V. MATRICER.. Øvelse [LA] Matricer Eksempel ( )( ) ( ) [ 3 + 4] [ ( 5) + ] = [( ) ] [( ) ( 5) + 8 ] ( ) 5 = Regneark [LA] Matricer Eksempel Rækkesum Søjlesum a... a n. a ij... a m... a mn. = a + + a n. a m + + a mn a... a n ( ),...,.. a.. ij a m... a mn = ( ) a + + a m,..., a n + + a mn.. Vigtigste regneregel [LA] Matricer Sætning (Associativ lov) Matri multiplikation er associativ. Givet A en m n-matri, B en n p-matri og C en p q-matri, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl.3. Multiplikation og linearkombination [LA] Matricer Sætning Givet A en m n-matri og en n-søjlematri, så er produktet = A = a + + a n n den m-søjlematri, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i. Bevis Udregn i = j a ij j

173 . VEKTORER OG MATRICER Nemme regneregler [LA] Matricer Bemærkning Simple regneregler For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder Associativ lov Distributive love A + (B + C) = (A + B) + C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC.5. Pas på [LA] Matricer Advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er ( AB BA )( ) ( = ) Nulreglen gœlder ikke ( )( ) = ( ) A, B, AB =.6. Test matri multiplikation [LA] Matricer Test Hvilket matriprodukt er rigtigt? ( )( ) ( (a) = ( )( ) ( ) 7 6 (b) = Løsning ( ) ( ) = ). ( ) [ + ] [ + 4]. [3 + 4 ] [ ] Afkrds det rigtige:.7. Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er og alle øvrige er.. e i =. e i = (,...,,..., ) (a) (b)

174 74 V. MATRICER.8. Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e,...,e n ) = R n En vektor R n har fremstillingen Eksempel = n i e i i= (,, 3) = (,,) + (,,) 3(,,).9. Multiplikation af enhedsvektorer [LA] Matricer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matri A er produktet den j-te søjle i A og produktet den i-te række i A. Ae j = a j e i A = a i.3. Kvadratisk matri, identitetsmatri [LA] Matricer Definition En kvadratisk matri er en n n-matri. En diagonalmatri er en kvadratisk matri, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Identitetsmatricen... I n =.... med i diagonalen og udenfor er en diagonalmatri..3. Multiplikation af identitetsmatri [LA] Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matri. Så gœlder I m A = A = AI n "Matri multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matri." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j

175 . LINEÆRE AFBILDNINGER 75. Lineære afbildninger.. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matri til afbildning Fra afbildning til matri Test matri-afbildning Inverse matricer Test invers matri Matri potens Lineære ligningssstemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde.. Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition f : R n R m er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares f(λ u + + λ k u k ) = λ f(u ) + + λ k f(u k ) Bemærk Det er nok, at sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u).3. Lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Afbildningen f : R R givet ved er lineær. Bevis f(,) = (, + ) f((, ) + (, )) = f( +, + ) Tilsvarende for skalarmultiplikation. = ( +, ) = (, + ) + (, + ) = f(, ) + f(, ).4. Matri til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Definition For en m n-matri A defineres en afbildning R n R m ved u Au

176 76 V. MATRICER Eksempel ( u u ) ( 3 4 ) ( ) ( ) u u + u = u 3u + 4u.5. Matri til lineær afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 4 Funktionen f : R n R m f(u) = Au defineret ved en m n-matri A er lineœr Bevis f(u + v) = f(u) + f(v) f(αu) = αf(u) A(u + v) = Au + Av, Fra de simple regneregler for matri multiplikation. A(αu) = αau.6. Lineær afbildning til matri [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 5 Enhver lineœr afbildning f : R n R m fremkommer fra en entdig bestemt m n-matri A = f(u) = Au Matr(f) Bemærk f(e j ) = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n..7. Opgave [LA] 3 Lineære funktioner Opgave Find M atr(f) for den lineære afbildningen f(, ) = (, + ). Løsning Søjlerne i Matr(f) er ( ) ( ) ( ) f(e ) = f( ) =, f(e ) = f( ) = ( ) Heraf Matr(f) = Prøve ( )( ) = ( ) + ( ).8. Multiplicere = sammensætte [LA] 3 Lineære funktioner Sætning 6 Lad f,g vœre lineœre afbildninger R n R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineœr og Bevis f Matr(g f) = Matr(g)Matr(f)

177 . LINEÆRE AFBILDNINGER 77 For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u.9. Test matri-afbildning [LA] 3 Lineære funktioner Test Den lineære afbildning f(, ) = ( +,, ) har tilhørende matri Matr(f): (a). (b) Løsning Søjlerne i 3 -matricen er. (c) f(,) = (,,), ( ). Afkrds den korrekte: f(,) = (,,) (a) (b) (c).. Invers matri [LA] 4 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matri A har en invers matri B, hvis B er entdigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. Bevis Entdighed: For AC = I = CA er AB = I n = BA B = A B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.. Invers diagonalmatri [LA] 4 Inverse matricer Eksempel En diagonal n n-matri Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i er invertibel. Den inverse er λ... Λ =.... λ n.. Inverter produkt [LA] 4 Inverse matricer Sætning Lad A,B vœre invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gœlder (AB) = B A

178 78 V. MATRICER "Pas på rœkkefølgen." Bevis (AB)(B A ) = A(BB )A = AI n A = AA = I n.3. Test invers matri [LA] 4 Inverse matricer Test Lad A,B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) = A B. ja nej Afkrds: Løsning Den rigtige formel er (AB) = B A.4. Matri potens [LA] Matricer Definition For en kvadratisk n n-matri A defineres potens, k =,,,..., Hvis A er invertibel, så er For enhedsmatricen er A = I n, A k = A k A A k = (A ) k = (A k ) I n k = I n.5. Pas på matri potens [LA] Matricer Bemærkning Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er For eksempel (A l ) m = A lm A m B m (AB) m A B = (AA)(BB) (AB)(AB) = (AB).6. Potens af diagonalmatri [LA] Matricer Eksempel For en diagonal n n-matri Λ = λ λ n

179 . LINEÆRE AFBILDNINGER 79 og k =,,,... er potensen λ k... Λ k =.... λ k n.7. Matri potens [LA] Matricer Opgave Beregn matri potensen ( ) k a Løsning Bemærk ( )( ) ( ) + = Heraf ( ) k a = ( ) ka.8. Ligninger på matri form [LA] 5 Lineære ligningssstemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a a n n = b a a n n = b. a m a mn n = b m På matri form A = (a ij ) m n-matri, b = (b i ) m-søjle, = ( j ) n-søjle A = b.9. Ligninger på matri form [LA] 5 Lineære ligningssstemer Definition - fortsat Matri form A = b skrevet ud a... a n b a... a n.. = b.. a m... a mn n b m.. Koefficient matri [LA] 5 Lineære ligningssstemer Notation Givet ligningssstemet A = b () A koefficientmatri () b = homogent sstem (3) b inhomogent sstem

180 8 V. MATRICER (4) Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger.. ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel 4 3 = = 6 () Vælg 3 = og løs = 6. Indsæt i første ligning () Dette giver partikulær løsning 6 = 8 (,, 3 ) = (,6,).. ligninger 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel - fortsat Den fuldstændige løsning er 3 = = hvor 3 kan vælges frit. = = ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel = () Vælg 3 = = og løs = () Det giver partikulær løsning (,, 3 ) = (,,).4. ligning 3 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel - fortsat Den fuldstændige løsning er = = hvor både og 3 kan vælges frit. = Løsningsrummet [LA] 5 Lineære ligningssstemer Sætning 7 Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssstem med n ubekendte A =

181 . LINEÆRE AFBILDNINGER 8 er et lineœrt underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Bevis Simple regneregler for matri multiplikation giver A =, A = A( + ) =.6. ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel + = = () 3 = 4 og =. () 4 og kan vælges frit..7. ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel - fortsat 3 = 4 = Løsningsrummet er span af vektorerne,.8. Løsninger og nulrum [LA] 5 Lineære ligningssstemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u til det lineœre ligningssstem med n ubekendte så er løsningsmœngden A = b { R n A = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matri multiplikationen giver Au = b, A = A(u + ) = b.9. Test Løsningsmængde [LA] 5 Lineære ligningssstemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssstem A = b (b ). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) er altid en løsning. (b) er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. (a) (b) (c) Afkrds det sande:

182 8 V. MATRICER Løsning Gør prøve A = b.3. ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel () 3 =, = og = 4 = () Giver en partikulær løsning + = = (,, 3, 4 ) = (,,,).3. ligninger 4 ubkendte [LA] 5 Lineære ligningssstemer Eksempel - fortsat 3 = 4 = Løsningsmængden er (,,, ) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne (,,,), (,,,) 3. Lineære ligninger 3.. Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matri Enten-eller princippet Test ligningssstem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matri 3.. To ubekendte grafisk [LA] 5 Lineære ligningssstemer Figur

183 3. LINEÆRE LIGNINGER 83 = (,) skæringspunkt + = To ligninger i to ubekendte ligninger 4 ubekendte [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel (Rækkereduktion) = = = = = = Eliminer en ubekendt [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat = = = = = = Eliminer endnu en [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat = = = = = = En ubekendt er fri [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat = = = 6

184 84 V. MATRICER Heraf 3 = = = 9 4 = = Brug matriform [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat Løsning 3 = = 9 4 = På matri form = = Eliminations strategi [LA] 6 Løsningsteknik Definition Rœkkeoperationer Ombtning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal Addition af et multiplum af en ligning til en anden () Bevarer løsningsmængden. () Bringer ligningssstemet på rœkke-echelon form (trappeform). (3) Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution Skalpellen frem, fjern ubekendte [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel = = = = = = Skær videre [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat = = = = = = Videre [LA] 6 Løsningsteknik

185 3. LINEÆRE LIGNINGER 85 Eksempel - fortsat = = = = = = Afslut bagfra [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat Heraf = = = 6 4 = = = 6 3 = = 3.3. En fri tre bundne [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - fortsat Løsning 4 = = 6 3 = På matri form 3 = = Rækkeoperationer reduceret matri [LA] 6 Løsningsteknik Definition Rœkkeoperationer på en matri Ombtning af to rækker Multiplikation af række med tal Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) rœkke-echelon form (trappeform), på pivot indgange?????? 3.5. Strategi på matri form [LA] 6 Løsningsteknik Observation Fra et lineært ligningssstem tilordnes en augmenteret matri A = b (A b)

186 86 V. MATRICER Rækkeoperationer på et ligningssstem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matri. Det reducerede ligningssstem opskrives fra den reducerede matri Strategi på matri form [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - igen = = = Øvelse gør mester [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - igen fortsat Atter øvelse [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - igen fortsat Afslut elegant [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - igen fortsat Det reducerede ligningssstem = + 3 = 6 4 = 3.. En fri tre bundne [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel - igen fortsat

187 3. LINEÆRE LIGNINGER 87 Løsning På matri form hvor 3 vælges frit. 4 = = 6 3 = 3 = = Enten-eller [LA] 6 Løsningsteknik Enten-eller-princip () En kvadratisk matri kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matri med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform? 3.. Struktur er sagen [LA] 6 Løsningsteknik Sætning 9 Et homogent ligningssstem, hvor der er flere ubekendte end ligninger, har altid uendelig mange løsninger. Bevis Koefficientmatricen har flere søjler end rækker. Den reducerede matri har mindst pivotfri søjle. Altså er der parametre i løsningen Test ligningssstem [LA] 6 Løsningsteknik Test Et homogent lineært ligningssstem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst løsning. Løsning Sætning 9 sikrer uendelig mange løsninger. Afkrds de to rigtige: (a) (b) (c) (d) 3.4. En sjov variation [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel 4 Løs matriligningen ( 5 3 )( ) = ( )

188 88 V. MATRICER Skrives som ligningssstemet + = = + = = 3.5. Det er rigtig sjovt [LA] 6 Løsningsteknik , ( ) = ( 3 ) Operationer og multiplikation [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning Rœkkeoperationer på en m n-matri fremkommer ved Udfør rœkkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en rækkeoperationsmatri Venstre multiplicer den oprindelige matri med den fremkomne rækkeoperationsmatri 3.7. Smart overbevisende [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Ombtning af to rækker ( )( ) ( ) a a a a = a a a a Multiplikation af række med tal r ( )( ) ( ) a a a a = r a a ra ra Addition af et multiplum af en række til en anden ( )( ) ( ) r a a a + ra = a + ra a a a a 3.8. Ensidig invers er tosidig [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning Lad A,B vœre kvadratiske matricer af samme størelse. Så gœlder En højre invers er også en venstre invers. AB = I BA = I Bevis Hvis AB = I har alle ligningssstemer A = b en løsning = Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en -række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matri C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B Invers ved operationer [LA] 7 Rækkeoperations-matricer

189 3. LINEÆRE LIGNINGER 89 Sætning En kvadratisk matri A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matri (A I) (I A ) Den inverse matri beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matri Invers -matri Eksempel 4 Løs matriligningen, i.e. beregn invers, ( )( ) = 5 3 ( 5 3 ) ( ) 5 ( 6 5 ) ( ) [LA] 6 Løsningsteknik ( 5 ( 3 5 ) ) 3.3. Invers -matri [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel 4 - fortsat Rækkereduktionen ( 5 3 ) ( 3 5 ) giver den inverse ( ) = 5 3 ( 3 ) Invers -matri [LA] 6 Løsningsteknik Eksempel 4 - forsat Gør prøve Udregn ( ) = 5 3 ( )( ) ( 3 ) 5 = ( )

190 9 V. MATRICER 4. Determinanter 4.. Oversigt [LA] 8 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel Potensreglen Entdig løsning Test entdig løsning 4.. Nemme determinanter [LA] 8 Determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matri -matri a = a -matri a a a a = a a a a 3-matri a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 = a a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 a 33 + a 3 a a a 3 a Udregn determinanter [LA] 8 Determinanter Eksempler 3 4 = ( ) 4 3 = = = (5 6 3) (4 6 ) +3(4 3 5 ) = = 4.4. Nem vej til areal [LA] 8 Determinanter Eksempel Areal b a b a

191 4. DETERMINANTER 9 Areal = (a + b )(a + b ) a a b b a b = a b a b = a a b b 4.5. Determinant ved rækkeudvikling [LA] 8 Determinanter Definition Lad A ij være den (m ) (n )-matri, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matri A. Determinanten af en kvadratisk n n-matri A er givet ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( ) i+j a ij A ij Kan skrives j= A = ( ) i+ a i A i + ( ) i+ a i A i Determinant mange veje [LA] 8 Determinanter Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling n A = ( ) i+j a ij A ij i= Determinanten er uafhængig af valgt række/søjle. Eksempel 3 ( ) = = Udregn determinant af orden 4 [LA] 8 Determinanter Eksempel 7 7 = ( ) 4+4 = ( ) 3+3 = 4.8. Trekantsmatri [LA] 8 Determinanter Eksempler -række/søjle a a a a.... =.... =

192 9 V. MATRICER Øvre trekantsmatri a a a n a a n a nn = a a a nn 4.9. Rækkeoperationsmatricer [LA] 8 Determinanter Observation Ombtning af to rækker: = Multiplikation af række med tal : r = r Addition af et multiplum af en række til en anden: r = 4.. Rækkeregneregler [LA] 8 Determinanter Regler Beregning af determinant Ombtning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret 4.. Søjleregneregler [LA] 8 Determinanter Regler Beregning af determinant Ombtning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret 4.. Determinanten er nul [LA] 8 Determinanter Bemærk Observationer om determinant nul En -række eller en -søjle: Determinanten er To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er

193 4. DETERMINANTER 93 Eksempel = 4.3. Test determinant nul [LA] 8 Determinanter Test Gælder der altid, at determinanten 3 3 z =. Løsning Første og tredje søjle er ens. Afkrds: ja nej 4.4. Udregn determinanter [LA] 8 Determinanter Eksempler Reducer til øvre trekantsmatri ) 3 4 = = ( ) = ) = = = ( 3) ( 4) = 4.5. Determinant af matriprodukt [LA] 8 Determinanter Sætning (Produktreglen) For to kvadratiske n n-matricer A,B gœlder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatri er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matri med en -række nederst. Produktreglen følger heraf Brug produktreglen [LA] 8 Determinanter Eksempel 3 A = = 5 5 AA = = AA = A A = =

194 94 V. MATRICER 4.7. Determinant af potens [LA] 8 Determinanter Eksempel Potensers determinant 3 4 = ( ) 4 3 = ( ) k 3 4 = 3 4 k = ( ) k 4.8. Determinant af invers matri [LA] 8 Determinanter Sætning (Inversreglen) En kvadratisk matri A er invertibel, hvis og kun hvis A. Der gœlder hvis A. A = A Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A så kan A skrives som produkt af rækkeoperations- matricer, som hver er invertible. A er da invertibel Brug inversreglen [LA] 8 Determinanter Eksempel Matricen 3 A = har determinant A = A er invertibel og den inverse har determinant A = A = 4.. Test inversregel [LA] 8 Determinanter Test Determinanten af en invertibel matri er altid. ja nej Afkrds: Løsning Sætning giver svaret direkte. 4.. Test produktreglen [LA] 8 Determinanter Test Givet en kvadratisk matri A. Hvis det(a ) =, så er det(a) =. Afkrds: ja nej

195 4. DETERMINANTER 95 Løsning Af produktreglen følger det(a) = det(a ) = 4.. Determinant af negative potenser [LA] 8 Determinanter Eksempel Negative potensers determinant 3 4 = ( ) 4 3 = ( ) 3 4 = ( ) k 3 4 = ( ) k 4.3. Determinant af alle potenser [LA] 8 Determinanter Eksempel Potensreglen for determinant Hvis A så A k = A k for alle hele tal k. Hvis A = så for alle hele tal k >. A k = 4.4. Jacobimatricen [LA]. Kædereglen i matri-formulering Definition For en differentiabel afbildning g : R n R n (u,...,u n ) (g (u,...,u n ),...,g n (u,...,u n )) er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen g g u... u n d u (g) = g n g u... n u n 4.5. Jacobimatricen [LA]. Kædereglen i matri-formulering Eksempel For afbildning g : R R (u,u ) (u + u,u u ) er Jacobideterminanten g g d u (g) = u u g g u u d u (g) = u u u u = u u

196 96 V. MATRICER 4.6. Ligningssstem og determinant [LA] 8 Determinanter Sætning 3 (Entdig løsning) () Et homogent ligningssstem med en kvadratisk koefficientmatri A har en egentlig løsning ( ) (uendelig mange), hvis og kun hvis A =. () Det inhomogen ligningssstem A = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A Bestem entdig løsning [LA] 8 Determinanter Opgave For hvilke tal t har det homogene ligningssstem med koefficientmatri A = t t en entdig løsning. Find løsningsrummet for alle t Bestem entdig løsning [LA] 8 Determinanter Opgave - løsning Beregn determinanten A = t t = t = (t ) t For t har det homogene ligningssstem entdig løsning =. A = 4.9. Bestem alle løsninger [LA] 8 Determinanter Opgave - løsning For t = er den reducerede form af ligningssstemet Dette giver løsninger = = Test entdig løsning [LA] 8 Determinanter Test a Gælder der altid, at alle ligningssstemer med koefficientmatri b har en entdig løsning. Afkrds: ja nej

197 4. DETERMINANTER 97 Løsning a b = ( ) =

198

199 VI Egenvektorer og diagonalisering. Egenvektorer.. Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Egenrum Hvordan findes egenværdier Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum.. Vektorer skaleres [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Definition Lad A være en n n-matri. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Hvis u kaldes λ en egenværdi for A og u er en egentlig egenvektor. Nulvektoren er altid en egenvektor..3. Vektorer skaleres [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer u Au = λu For en egenvektor gælder Au span(u).4. Mange egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Identitetsmatricen I n opflder I n u = u for alle vektorer u. Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet er eneste egenværdi. 99

200 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING.5. Mange egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Nulmatricen n opflder n u = for alle vektorer u. Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet er eneste egenværdi..6. Gættet eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Matricen ( ) A = 3 har egentlige egenvektorer med tilhørende egenværdier u = e = ( ),u = e = λ =,λ = 3 ( ).7. Gættet eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat Dette følger af udregningerne ( )( ) ( ) ( ) = = ( ) 3 ( ) ( ) 3 Au = λ u = Au = λ u ( ) ( ) = Gættet eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat - figur Au = 3u u Au = u u

201 . EGENVEKTORER.9. Note eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Af udregningen ( ) ( ) ( ) ( ) = = 4 ( ) 3 3 fås, at matricen A = har en egentlig egenvektor u = 4 λ =. ( ) 3 med egenværdi.. Note eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat - figur Au = u u = ( 3,).. Ligninger og egenværdi [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Bemærkning Lad A være en n n-matri. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssstemet har ikke-nul (egentlige) løsninger. a a n n = λ a a n n = λ. a n a nn n = λ n.. Matriligning og egenværdi [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Bemærkning - fortsat Lad A være en n n-matri. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssstemet A = λ har ikke-nul (egentlige) løsninger R n. Dette kan skrives (A λi n ) = og er dermed et homogent lineært ligningssstem med koefficientmatri A λi n.3. Determinant og egenværdi [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Sætning 4 Lad A vœre en n n-matri. Et tal λ er en egenvœrdi, hvis og kun hvis determinanten A λi n =

202 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING Bemærkning n-te grads polnomiet ovenfor kaldes det karakteristiske polnomium for matricen A. Egenværdierne er altså netop rødderne i det karakteristiske polnomium..4. Karakteristisk polnomium [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Definition - skematisk Det karakteristiske polnomium af en n n-matri A er n-te grads polnomiet a λ a a n a a λ a n a n a n a nn λ = ( ) n λ n + + A = A λi n.5. Karakteristisk polnomium [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Det karakteristiske polnomium af en -matri A er andengrads polnomiet a λ a a λ a = (a λ)(a λ) a a = λ (a + a )λ + (a a a a ).6. Trekantsmatri [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel Udregningen a λ a a n a λ a n a nn λ = (a λ)(a λ) (a nn λ) viser at egenværdierne i en trekantsmatri netop udgøres af diagonal indgangene..7. Egengenrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Sætning 5 Lad A vœre en n n-matri og λ en egenvœrdi. Så er mœngden af egenvektorer for A et lineœrt underrum af R n. Dette kaldes egenrummet hørende til λ og betegnes E λ Bevis Egenrummet er løsningsrummet for det homogene ligningssstem med koefficientmatri A λi n..8. Andengradsligning [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel

203 . EGENVEKTORER 3 Fra andengradspolnomiet 3 λ 3 4 λ = (3 λ)( 4 λ) 3 ( ) = λ + λ 6 fås, at matricen ( ) 3 3 A = 4 har de to rødder λ = 3, λ = som egenværdier..9. Beregn egenrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssstem med matri ( ) ( ) ( ) 3 λ = 4 λ Heraf fås egenvektorerne hvor vælges frit. ( ) = ( ) ( ) =.. Beregn egenrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat For λ = beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssstem med matri ( ) ( ) ( ) 3 λ = 4 λ 6 Heraf fås egenvektorerne hvor vælges frit. ( ) ( ) 3 = ( ) 3 =.. Egenrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat Matricen ( ) 3 3 A = 4 har egenværdier og egenrum ( E 3 = span{ λ = 3, λ = ) }, E = span{ ( 3 ) }.. Egenrum underrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel - fortsat - figur

204 4 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING E 3 E ( 3,) (.5,).3. Tredjegradsligning [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3 λ λ λ = ( λ) λ λ λ + λ har tre rødder = λ 3 + 3λ λ λ =,,.4. Egenværdier [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3 - fortsat 3 3-matricen A = har karakteristisk polnomium og egenværdier A λi 3 = λ 3 + 3λ λ λ =, λ =, λ 3 =.5. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 For λ = er koefficientmatricen A = Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssstem hvor 3 er en fri variabel. + 3 = + 3 =

205 . EGENVEKTORER 5.6. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver = 3 = 3 Heraf fås egenvektorerne hvor 3 vælges frit. 3 = 3 = Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ = er koefficientmatricen A I = Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssstem hvor er en fri variabel. = 3 =.8. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver = 3 = Heraf fås egenvektorerne hvor vælges frit. = 3 =.9. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ 3 = er koefficientmatricen Heraf fås egenvektorerne hvor 3 vælges frit. A I = 3 = 3 = Egenrum [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer

206 6 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING Eksempel 3, 4 - fortsat A = har egenværdier λ =, λ =, λ 3 = og egenrum E = span{ }, E = span{ }, E = span{ }.3. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 3, 4 - figur (,,) z (,,) (.5,,) Egenvektorer.3. Tredjegradsligning [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 λ λ = ( λ) λ λ λ har en rod og en dobbelt rod = ( λ) ( + λ) λ =,.33. Egenværdier [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 - fortsat 3 3-matricen A = har karakteristisk polnomium og egenværdier λ siges at have multiplicitet. A λi 3 = ( λ) ( + λ) λ =, λ =.34. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer

207 . EGENVEKTORER 7 Eksempel 7 - fortsat For λ = er koefficientmatricen A + I = Heraf fås egenvektorerne hvor 3 vælges frit. = 3 = Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er koefficientmatricen A I = Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssstem hvor, 3 er en frie variable. 3 =.36. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 - fortsat Dette giver = 3 Heraf fås egenvektorerne = 3 = hvor, 3 vælges frit..37. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 - figur (,,) z (,,) (,,) Egenvektorer

208 8 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING.38. Egenvektorer [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er egenrummet E = span{ } For λ = er egenrummet E = span{, }. Diagonalisering.. Oversigt [LA], ; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatri Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matripotens August, opgave Skalarprodukt Længde.. Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er og alle øvrige er.. e i =. e i = (,...,,..., ).3. Multiplikation af enhedsvektorer [LA] Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matri A er produktet den j-te søjle i A og produktet den i-te række i A. Ae j = a j e i A = a i

209 . DIAGONALISERING 9.4. Kvadratisk matri, identitetsmatri [LA] Matricer Definition En kvadratisk n-matri er en n n-matri. En diagonalmatri er en kvadratisk matri, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Identitetsmatricen (enhedsmatricen)... I n =.... med i diagonalen og udenfor er en diagonalmatri..5. Multiplikation af identitetsmatri [LA] Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matri. Så gœlder I m A = A = AI n "Matri multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matri." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j.6. Diagonalmatri [LA] Diagonalisering Bemærkning En diagonalmatri er en kvadratisk matri, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Skrives skematisk λ... Λ =.... λ n.7. Diagonalmatri [LA] Diagonalisering Bemærkning - fortsat For en diagonalmatri Λ er det karakteristiske polnomium Λ λi = (λ λ) (λ n λ) Egenvædierne er netop diagonal indgangene λ,...,λ n. Udregningen Λe i = λ i e i viser at for egenværdien λ i er e i en egentlig egenvektorer..8. Simpel udregning [LA] Diagonalisering Eksempel = 3

210 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING = = 3 = = At diagonalisere [LA] Diagonalisering Definition At diagonalisere en kvadratisk matri A vil sige at finde en invertibel matri B og en diagonalmatri Λ så A = BΛB Skrives også eller AB = BΛ B AB = Λ.. Diagonalisering og egenvektorer [LA] Diagonalisering Sætning 6 Lad A vœre en n n-matri og b,...,b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenvœrdier λ,...,λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gœlder AB = BΛ hvor Λ er diagonalmatricen med egenvœrdierne som diagonalindgange. Hvis B er invertibel, vil den diagonalisere A... Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel, Matricen ( ) 3 3 A = 4 har egenvektorer ( ) ( ) 3 b =, b = med tilhørende egenværdierne λ =,λ = 3... Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel, - fortsat Dette giver ( ) ( ) ( ) A =, B =, Λ = 4 3 som opflder matriidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = 5 er B invertibel og diagonaliserer A..3. Matripotenser [LA] Diagonalisering Eksempel - Potens

211 . DIAGONALISERING Hvis B diagonaliserer A så er potensen A = BΛB A k = BΛ k B λ k... Λ k =.... λ k n.4. Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel, - fortsat ( ) ( ) A =, B = 4 ( ) ( ) B = 5 5, Λ = 3 opflder matriidentiteten A = BΛB.5. Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel, - fortsat ( ) k ( )( )( ) 3 = k ( 3) k ( ) 6 k ( 3) k 3 k 3 ( 3) k = 5 k + ( 3) k k + 6 ( 3) k.6. Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel, - fortsat ( ) ( ) 6 ( 3) 3 3 ( 3) = 5 + ( 3) + 6 ( 3) ( ) = Nt eksempel [LA] Diagonalisering Eksempel - Opgave! Betragt matricen ( ) 6 A = 6 ) Angiv egenværdierne for A. ) Angiv egentlige egenvektorer for hver af disse egenværdier. 3) Diagonaliser A ved brug af en matri B.

212 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING.8. Nt eksempel, egenværdier [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat Fra det karakteristiske polnomium λ 6 6 λ = ( λ)( 6 λ) ( 6) = λ 5λ + 6 fås, at matricen har de to rødder som egenværdier. A = ( ) 6 6 λ =, λ = 3.9. Nt eksempel, egenrum [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat For λ = beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssstem med matri ( ) ( ) λ = 6 λ 8 Heraf fås egenvektorerne ( ) ( = 3 ) ( ) = 3 hvor vælges frit. ( 3.. Nt eksempel, egenrum [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssstem med matri ( ) ( ) λ = 6 λ 9 Heraf fås egenvektorerne ( ) ( 3 = 4 ) ( 3 ) = 4 hvor vælges frit. ( Nt eksempel, diagonalisering [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) ( ) ( ) ( ) 6 3 A =, B =, Λ = som opflder matriidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = er B invertibel og diagonaliserer A... Nt eksempel, potens [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat ( ) ( ) 6 3 A =, B = ( ) ( ) B 8 6 =, Λ = 3 3 ) )

213 . DIAGONALISERING 3 opflder matriidentiteten og giver potensen A = BΛB A k = BΛ k B.3. Nt eksempel, potens [LA] Diagonalisering Eksempel - fortsat ( ) ( )( ) ( ) = ( ) = Advarsel! [LA] Diagonalisering Eksempel 3 (Pas på) Betragt matricen ( ) 3 A = 3 Matricen A kan ikke diagonaliseres. λ = 3 er eneste egenværdi. Egenrummet er nulrum for matricen A 3I 3 = ( ).5. Advarsel! [LA] Diagonalisering Eksempel 3 - fortsat Egenrummet er E 3 = span(e ) En matri B, hvis søjler er egenvektorer B = har determinant og dermed ikke invertibel. Altså kan A ikke diagonaliseres. ( ) b b.6. Opgave Matematik Alfa, August Opgave Det oplses, at matricen A givet ved 3 3 A = har egenværdier λ = og λ =, og at der ikke er andre egenværdier.. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien.. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B AB = Λ

214 4 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING.7. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - Løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien : A I = giver det reducerede ligningssstem og dermed = = 3.8. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - Løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien : 3 = = hvor, 3 vælges frit. Egenrummet udtrkkes E = span(, ).9. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - Løsning Egenvektorer hørende til egenværdien : 3 3 A + I = = 3 3 = hvor 3 vælges frit..3. Opgave Matematik Alfa, August Opgave - Løsning. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B AB = Λ Søjler af egenvektorer giver B =, Λ = det(b) = sikrer invertibilitet..3. Opgave, gør prøve Matematik Alfa, August Opgave - Gør prøve! AB = B Λ

215 . DIAGONALISERING = 3 3 = Så prøven stemmer!.3. Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor a betegnes a. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer a,b er a b = a b cos(θ) Udtrkt ved den vinkelrette projektion b a af b på a a b = a b a.33. Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b, b ) I koordinater fås θ (a, a ) a b = a b + a b a = a a = a + a a b cos(θ) = a b = a b + a b a + a b + b.34. Vinkel [S] 9.3 The dot product a=(,3) b=(,) θ Vinkel mellem vektorer

216 6 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING.35. Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (, 3) og b = (, ) har prikprodukt og længder og vinkel mellem sig a b = ( ) + 3 = 4 a = a a = b = b b = 8 θ = cos 4 ( ) Skalarprodukt [LA] Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a,...,a n ),b = (b,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen er i= a = a a.37. Enhedsvektor [LA] Skalarprodukt i R n Bemærkning For en vektor a = (a,...,a n ) er længden a = a + + a n En vektor med længde kaldes en enhedsvektor a =.38. Skalarprodukt udregnet [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (,3,4,) og b = (,,,5) har prikprodukt og længder a b = ( ) = a = a a = 7 b = b b = Enhedsvektor i given retning [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektoren a = (,3,4,) har længde Enhedsvektoren i a s retning er a a = ( 7, a = a a = 7 3 7, 4 7, 7 )

217 . DIAGONALISERING 7.4. Skalarprodukt, regneregler [LA] Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b () a a = a () a b = b a (3) a (b + c) = a b + a c (4) a (λb) = λ(a b) (5) a a = a =

218

219 VII Skalarprodukt og projektion. Ortogonal projektion.. Oversigt [LA],, 3 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pthagoras formel Kortest afstand August, opgave 6 Cauch-Schwarz ulighed.. Prikprodukt [LA] Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a,...,a n ),b = (b,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i i= og lœngden, normen a = a a og afstanden mellem vektorer a og b a b.3. Vinkelret [LA] Skalarprodukt i R n Definition b a Vinkerette vektorer To vektorer a,b i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis a b =. Det skrives også a b a b =.4. Komplement [LA] Skalarprodukt i R n Definition For en delmængde af vektorer X V = R n er det ortogonale komplement underrummet X = {v v u =, u X} 9

220 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION Der gælder = V, V =.5. Komplement [LA] Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For u = (3,) R er det ortogonale komplement bestemt ved ligningen, v = (v,v ), Løsning ( v v ) = {v v u = } 3v + v = ( 3 v ) v ( ) = v 3.6. Komplement [LA] Skalarprodukt i R n Komplement - figur span(u) ( 3,) u = (3,).7. Tømrersvend [LA] Skalarprodukt i R n Sætning (tømrerprincippet) For en delmængde af vektorer X V = R n som udspænder et underrum U V er det ortogonale komplement X = U Altså gælder w U w, X.8. Komplement [LA] Skalarprodukt i R n Komplement - eksempel For U = span((,,),(,3,4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u =, u U}

221 . ORTOGONAL PROJEKTION bestemt ved ligningssstemet, v = (v,v,v 3 ), v + v + v 3 = v + 3v + 4v 3 = Løsning v v 3 v = v 3 = v 3 v 3 v 3.9. Komplement [LA] Skalarprodukt i R n Komplement - figur (,,) z U=span((,,),(,3,4)).. Nedfæld vinkelret [LA] Ortogonal projektion Projektion - figur v w = v u U u Ortogonal projektion på underrum U.. Projektion [LA] Ortogonal projektion Definition For et underrum U V = R n er den ortogonale projektion af en vektor v på U den vektor u U som opflder v u = w U Der gælder v = u + w, Den ortogonale projektion betegnes u U, w U proj U (v) = u.. Projektion på koordinatplan [LA] Ortogonal projektion Eksempel For underrumet U = span(e,e ) R n er den ortogonale projektion af en vektor v = (v,v,...,v n ) på U givet ved proj U (v) = u = (v,v,,...,)

222 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION Ses let da v u = (,,v 3,...,v n ) U.3. Projektion på en vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R n udspændt af netop én vektor a er den ortogonale projektion af en vektor v på U givet ved u = v a a a a Det skrives proj a (v) = v a a a a.4. Projektion på vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel - figur v w = v u U u = λa U = span(a) Ortogonal projektion u = proj a (v) på span(a) λ = v a a a.5. Projektion på en vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel - argument For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved u = proj a (v) = v a a a a Eftervis altså (v v a a a a) a (v v a a a a) a = v a v a a a a a =.6. Projektion på en vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (,,) er den ortogonale projektion af en vektor v = (v,v,v 3 ) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = v + v + v 3 3 (,,)

223 . ORTOGONAL PROJEKTION 3.7. Projektion på vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel - figur v = (,8) proj a (v) = (9,) a = (3,4) Ortogonal projektion proj a (v) på span(a).8. Projektion på en vektor [LA] Ortogonal projektion Eksempel For et underrum U = span(a) R udspændt af vektoren a = (3,4) er den ortogonale projektion af en vektor v = (,8) på U givet ved proj a (v) = v a a a a = (3,4) = 3(3,4) = (9,).9. Projektion på basis [LA] Ortogonal projektion Sætning 7 Lad u,...,u k R n vœre inbrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspœnder underrummet U. Så gœlder proj U (v) = k proj uj (v) j= er den ortogonale projektion af en vektor v på U. Bevis Eftervis ved tømrerprincippet, at v k j= proj u j (v) U.. Projektion på basis [LA] Ortogonal projektion Eksempel

224 4 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION Lad u = (,,),u = (,,) R 3 være inbrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet U. Så er den ortogonale projektion proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) = v u u u u + v u u u u = v v + v 3 3 = ( v + v 3 (,,) + v + v + v 3 6,v, v + v 3 ) (,,).. Projektion på basis [LA] Ortogonal projektion Eksempel 3 Betragtu = (,,, ),u = (,,,3) R 4 samt underrummet U = span(u,u ).. Vektorerne u og u er ortogonale: u u = =.. Projektion på basis [LA] Ortogonal projektion Eksempel 3 - fortsat Betragtu = (,,, ),u = (,,,3) R 4 samt underrummet U = span(u,u ).. Lad v = (,,8, 6) og beregn proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) = v u u u u + v u u u u = 9 9 (, 8,, ) + (,,,3) 8 4 = (,,, 7).3. Pthagoras [LA] Ortogonal projektion Sætning 8 (Pthagoras) Hvis a b, så er a + b = a + b Bevis a + b = (a + b) (a + b) = a a + a b + b b = a + b.4. Pthagoras [LA] Ortogonal projektion Pthagoras - figur

225 . ORTOGONAL PROJEKTION 5 a + b b Pthagoras som du kender den a a + b = a + b.5. Afstand til underrum [LA] Ortogonal projektion Sætning 9 Lad U V = R n vœre et underrum. Antag at vektoren v har ortogonal projektion u på U. Så er u den vektor i U, der har kortest afstand til v. Bevis For en vektor u u U gælder v (u u ) = (v u) + u i følge Pthagoras, Sætning 8, da (v u) u. = v u + u.6. Mindste afstand [LA] Ortogonal projektion Sætning 9 - figur v v u v (u u ) u u U Mindste afstand til underrum.7. Afstand til linje [LA] Ortogonal projektion Eksempel For en linje U = span(a) R 3 udspændt af vektoren a = (,,) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor v = (v,v,v 3 ) givet ved proj a (v) = v a a a a Kvadratafstanden er = v + v + v 3 3 (,,) v proj a (v) = (v m) + (v m) + (v 3 m)

226 6 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION hvor m = v+v+v Middelværdi [LA]. Mindste kvadraters metode Eksempel 4 For,..., n vil middelværdien minimerer kvadratsummen m = + + n n ( m) + + ( n m) Løsning Sæt = (,..., n ) og a = (,...,). Så er m bestemt ved ma = proj a () = a a a a = + + n n a.9. Opgave Matematik Alfa, August Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u = (,,, ) og u = (,,,). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (,,3,4). Løsning I følge Sætning 9 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u.3. Opgave Matematik Alfa, August Opgave 6 - fortsat Vektorerne u = (,,, ) og u = (,,,) har u u = + + ( ) + ( ) = Fra Sætning 7 fås projektionen af v = (,,3,4) u = proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) = v u u u u + v u u u u = 4 4 (,,, ) + 5 (,,,) = (, 3, 7,).3. Opgave Matematik Alfa, August Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (,,3,4) (, 3, 7,) = (,,,3)

227 . ORTOGONAL PROJEKTION 7 har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (,,,3) 7 = = Tømrermester [LA]. Projektion på -dim. underrum Tømrermester - figur w = v proj u (v) v proj u (v) u To vektorer rettet op.33. Tømrermester [LA]. Projektion på -dim. underrum Bemærkning Lad u,v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u,w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren på U er da proj U () = proj u () + proj w () = u u u u + w w w w.34. Tømrermester [LA]. Projektion på -dim. underrum Eksempel (delvis 7 side 84) Lad u = (,, ), v = (,, 3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u = (,,3) (,,) = (,,) Den ortogonale projektion af vektoren = (3,3.6,6) på U er da proj U () = proj u () + proj w () = u u u u + w w w w

228 8 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION.35. Tømrermester [LA]. Projektion på -dim. underrum Eksempel - fortsat For u = (,,),w = (,,), = (3,3.6,6) er projektion af vektoren på U = span(u, w) proj U () = proj u () + proj w () = u u u u + w w w w =.6 3 (,,) + 3 (,,) = (.7,4.,5.7).36. Cauch-Schwarz ulighed [LA] 3 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning (Cauch-Schwarz ulighed) For vektorer u,v gœlder u v u v Bevis Fra Pthagoras, Sætning 8, på de ortogonale vektorer v proj u (v),proj u (v) fås ( v u ) v proj u (v) = u u u Forlæng med u og uddrag kvadratroden..37. Trekantsuligheden [LA] 3 Andre sætninger om skalarprodukt Sætning (Trekantsuligheden) For vektorer u,v gœlder u + v u + v Bevis Fra Cauch-Schwarz ulighed Uddrag kvadratroden. u + v u + v + u v = ( u + v ).38. Trekantsulighed [LA] 3 Andre sætninger om skalarprodukt Trekantsulighed - figur u + v v u Indlsende trekantsulighed u + v u + v

229 VIII Appendiks. Polære koordinater og komplekse tal.. Oversigt [S] App. I, App. H. Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion.. Komplekse tal [S] Appendi I Comple numbers Definition Ved et kompleks tal forstås et udtrk z = a + bi hvor a = Re z og b = Imz er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i =, altså i =. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er. Det er et (overraskende) faktum, at de sædvanlige regneregler for reelle tal udvider meningsfuldt fra realdel til alle komplekse tal..3. Komplekse plan [S] Appendi I Comple numbers Definition Talplanen R med rektangulære koordinater (,) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved = (, ) og i = (, ), så Im a + bi = (a,b) bi a+bi i a Re 9

230 3 VIII. APPENDIKS.4. Komplekse plan [S] Appendi I Comple numbers Definition - fortsat -aksen kaldes den reelle akse og -aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a + b = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Eksempel 3 4i = = 5 = 5.5. Addition og multiplikation [S] Appendi I Comple numbers Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac bd) + (ad + bc)i Morale Regn løs med sædvanlige regneregler og reducer til standardform ved at bruge i =..6. Addition i planen [S] Appendi I Comple numbers Figur - parallellogramreglen Im z + z z i z Re.7. Addition og multiplikation [S] Appendi I Comple numbers Eksempel Addition: ( i) + (4 + 7i) = ( + 4) + ( + 7)i = 5 + 6i

231 . POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 3 Multiplikation: ( + 3i)( 5i) = ( )( 5i) + (3i)( 5i) = + 5i + 6i 5i = ( + 5) + (5 + 6)i = 3 + i.8. Kompleks konjugering [S] Appendi I Comple numbers Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse så z = a bi Re z = z + z, Imz = z z i.9. Kompleks konjugering [S] Appendi I Comple numbers Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er Bevis zw = z w z z = a + b = z z z = (a + bi)(a bi) = a (bi) = a + b = z.. Kompleks absolutværdi [S] Appendi I Comple numbers Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Multiplikativitet zw = z w.. Kompleks reciprok [S] Appendi I Comple numbers Sætning For et kompleks tal w = c + di er det reciproke tal w = w w w = w w c + di = c c + d d c + d i For et kompleks tal z = a + bi er brøken z w = z w w w = z w w a + bi (a + bi)(c di) = c + di c + d

232 3 VIII. APPENDIKS.. Kompleks brøk [S] Appendi I Comple numbers Eksempel + 3i Angiv på formen a + bi. + 5i + 3i + 5i ( + 3i)( + 5i) = ( + 5i)( + 5i) ( + 3i)( 5i) = ( + 5i)( 5i) ( + 5) + (5 + 6)i = + 5 = i.3. Test komplekse tal [S] Appendi I Comple numbers Test Det komplekse tal z = +i er: (a) z = i. (b) z = i. (c) z = + i. (a) (b) (c) Afkrds den rigtige: Løsning + i = ( i) ( + i)( i) ( i) = + = i.4. Kompleks kvadratrod [S] Appendi I Comple numbers Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = ci Løsningerne til ligningen + c = er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen a + b + c = er da = b ± b 4ac a Ligningen + + = har løsninger = ± 4 = ± 3 = ± 3i.5. Populære koordinater [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem

233 . POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 33 polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P θ O.6. Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (,) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (, π ) bestemmer -aksen. P(r cos(θ), r sin(θ)) r θ O.7. Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H. Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (,), > har polœre koordinater r = +, θ = tan ( ).8. Kompleks polarform [S] Appendi I Comple numbers Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrkt i polære koordinater kaldes polarformen. Hvis a z = a + bi = r(cos θ + isin θ) r = z = a + b, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær pπ.

234 34 VIII. APPENDIKS Im bi a+bi r i θ a Re.9. Kompleks polarform [S] Appendi I Comple numbers Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = + i på polarform. Løsning r = z = + = tan θ = = Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cos θ + isin θ) = (cos π 4 + isin π 4 ) Im i π 4 +i Re.. Multiplikation på polarform [S] Appendi I Comple numbers Sætning Multiplikation ickan udtrkkes ved additionsformlerne. For z = r (cos θ +isin θ ), z = r (cos θ + isin θ ) gœlder z z = r r [cos(θ + θ ) + isin(θ + θ )] Så for komplekse tal z,z er z z = z z arg(z z ) = arg z + arg z.. Multiplikation på polarform [S] Appendi I Comple numbers Figur - multiplikation

235 . POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 35 z z Im z z θ θ θ + θ Re.. Division på polarform [S] Appendi I Comple numbers Sætning - udvidelse Division i C kan udtrkkes på polarform. For z = r (cos θ +isin θ ), z = r (cos θ + isin θ ) gœlder z = r [cos(θ θ ) + isin(θ θ )] z r Så for komplekse tal z,z er z z = z z arg( z z ) = arg z arg z.3. Potens på polarform [S] Appendi I Comple numbers Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + isin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cos θ + isin θ)] n = r n (cos nθ + isin nθ) n-te potens af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te potens af modulus og n gange argument. z n = z n arg(z n ) = narg z.4. Potens på polarform [S] Appendi I Comple numbers Eksempel 6 ( Find + ) i. Løsning z = + i = π (cos 4 + isin π 4 )

236 36 VIII. APPENDIKS så z = ( ) (cos π 4 + isin π 4 ) = 5 (cos 5π + isin 5π ) = 3 i.5. Test komplekse tal [S] Appendi I Comple numbers Test Det komplekse tal z = (cos π + isin π) er: (a) z =. (b) z = 4. (c) z = 4. Løsning Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) (cos π + isin π) = ((cos π + isin π)) = (cos π + isin π) = 4.6. Rod på polarform [S] Appendi I Comple numbers 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cos θ + isin θ) og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) hvor k =,,...,n. ( ) ( )] θ + kπ θ + kπ w k = r [cos /n + isin n n n-te rødder af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te rod af modulus og n-te del af alle argumenter. z /n = z /n arg(z /n ) = arg z + kπ n.7. Kvadratrod på polarform [S] Appendi I Comple numbers Figur - kvadratrod

237 . POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 37 Im z i θ θ z Re.8. Rod på polarform [S] Appendi I Comple numbers Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cos π + isin π) så ( ) ( )] π + kπ π + kπ w k = 8 [cos /6 + isin 6 6 hvor k =,,...,5. For eksempel w = [ ( π ) ( π )] cos + isin = ( ) i.9. Algebraens fundamentalsætning [S] Appendi I Comple numbers Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen n z = har n rødder w,w,...,w n. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polnomiumsligning a n n + a n n + + a + a = af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Algebraens fundamentalsætning blev vist af Gauss..3. Kompleks eksponentialfunktion [S] Appendi I Comple numbers Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = + i, 7 e z = e +i = e (cos + isin ) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e i = cos + isin

238 38 VIII. APPENDIKS Eksponentialfunktionen opflder den sædvanlige regneregel 5 e z+z = e z e z.3. Kompleks eksponentialfunktion [S] Appendi I Comple numbers Figur - eksponentialfunktion Im e e +i Re.3. Kompleks eksponentialfunktion [S] Appendi I Comple numbers Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e +iπ/ Løsning (a) (b) e iπ = cos π + isin π = ( e +iπ/ = e cos π + isin π ) = i e.33. Kompleks logaritmefunktion [S] Appendi I Comple numbers Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær kπ og givet ved, z = r(cos θ + isin θ), log z = lnr + iθ Kan skrives log z = ln z + iarg z Der gælder e log z = z, log e z = z + kπ og log z z = log z + log z + kπ.34. Komplekse trigonometriske funktioner [S] Appendi I Comple numbers

239 . POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 39 Eksempel Eulers formel 6 e i = cos + isin giver cos = ei + e i, sin = ei e i i Definition De komplekse trigonometriske funktioner defineres ved cos z = eiz + e iz, sinz = eiz e iz i.35. Komplekse trigonometriske funktioner [S] Appendi I Comple numbers Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfldte cos(z + z ) = cos z cos z sinz sin z sin(z + z ) = sinz cos z + cos z sinz Der er inverse funktioner. For w = cos z er Tilsvarende for w = sin z er z = arccos w = i log(w ± w ) z = arcsinw = i log(wi ± w )

240

241 IX Opgaver. August.. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger.. Oversigt Matematik Alfa, August Opgaver. Beregn et dobbeltintegral. Diagonaliser en 3 3 matri 3. Bestem kritiske punkter og ekstrema 4. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 5. Find gradient og retningsafledt 6. Beregn en ortogonal projektion 7. Løs en lineær differentialligning.3. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave Lad R betegne kvartcirkelskiven + 4,,. (Tegn.) Udregn R da. Løsning R = {(,),, + 4}.4. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - figur 4

242 4 IX. OPGAVER z R = {(r,θ) r, θ π }.5. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - løsning er et polært rektangel. Integralet er R R = {(r,θ) r, θ π } da = π/ r 3 cos (θ)sin(θ)rdr dθ.6. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - løsning R da = = = = π/ π/ π/ r 3 cos (θ)sin(θ)rdr dθ [ 5 r5 cos θ sin θ 3 5 cos θ sin θ dθ [ 3 5 cos3 θ = 3 5 ] π/ ] r= r= dθ.7. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - n figur

243 . AUGUST 43 z R = {(,), 4 }.8. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - alternativt er et Tpe I område. Integralet er R = {(,), 4 } da = 4 R d d.9. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, August Opgave - alternativt 4 da = d d R = = = [ ] = 4 = (4 4 )d [ = 3 5 ] d.. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave Det oplses, at matricen A givet ved 3 3 A = har egenværdier λ = og λ =, og at der ikke er andre egenværdier.

244 44 IX. OPGAVER. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien.. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B AB = Λ.. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien : A I = giver det reducerede ligningssstem og dermed = = 3.. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - løsning. Egenvektorer hørende til egenværdien : 3 = = hvor, 3 vælges frit. Egenrummet udtrkkes E = span(, ).3. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - løsning Egenvektorer hørende til egenværdien : 3 3 A + I = = 3 = hvor 3 vælges frit..4. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - løsning. Angiv en invertibel matri B og en diagonal matri Λ så at B AB = Λ

245 . AUGUST 45 Søjler af egenvektorer giver B =, Λ = det(b) = sikrer invertibilitet..5. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - gør prøve! AB = B Λ = 3 3 = Så prøven stemmer!.6. Diagonaliser en matri Matematik Alfa, August Opgave - figur z (,,) (,,) (,,) Egenvektorer.7. Bestem ekstrema Matematik Alfa, August Opgave 3 Betragt funktionen f(,) givet ved f(,) = + + for >, >. Det oplses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde.. Angiv dette kritiske punkt.. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt..8. Bestem ekstrema Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning f(,) = + +

246 46 IX. OPGAVER har kritisk punkt f = (, ) = (,) =, = (,) = (,).9. Bestem ekstrema Matematik Alfa, August Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede Anden ordenstesten giver f = 3,f =,f = 3 f (,) =,f (,) =,f (,) = (a,b) f(a,b) f (a,b) D(a,b) Tpe (, ) 3 3 minimum Altså er punktet (,) lokalt minimum for f på mængden >, >... Bestem ekstrema Matematik Alfa, August Opgave 3 - figur z (,).. Angiv potensrække Matematik Alfa, August Opgave 4 Angiv en potensrække i, der for fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f() = cos( ) 4 lim f()... Angiv potensrække Matematik Alfa, August Opgave 4 - løsning

247 . AUGUST 47 Bent potensrækken til at få cos = ( ) n (n)! n n= cos = ( ) n (n)! 4n n=.3. Angiv potensrække Matematik Alfa, August Opgave 4 - løsning Dermed er f() = ( ) n Det følger, at n= (n)! 4(n ) =! + 4! 4 6! 8 + 8!... lim f() =.4. Angiv potensrække Matematik Alfa, August Opgave 4 - figur Grafen for = cos( ) 4.5. Find gradient Matematik Alfa, August Opgave 5 Betragt funktionen f(,) = + ln( ).. Angiv gradientvektoren f(, ).. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (,) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5,4/5). Løsning. Gradienten beregnes f = 3 /( ) f = + /( ) f(,) = (f (,),f (,)) = (,3/3).6. Find gradient Matematik Alfa, August Opgave 5 - løsning

248 48 IX. OPGAVER f(,). I retning u = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D u f(,) = f(,) u = (,3/3) (3/5,4/5) = 5/5 u (,).7. Find gradient Matematik Alfa, August Opgave 5 - ekstra z 3 ++> z= +ln( 3 ++) Definitionsområdet. Grafen.8. Find gradient Matematik Alfa, August Opgave 5 - figur Tangenter til niveaukurver for z = + ln( )..9. Find gradient Matematik Alfa, August Opgave 5 - figur

249 . AUGUST 49 Skalerede gradienter. z for z = + ln( )..3. Beregn projektion Matematik Alfa, August Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u = (,,, ) og u = (,,,). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (,,3,4). Løsning I følge [LA] Sætning 8 er u den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u.3. Beregn projektion Matematik Alfa, August Opgave 6 - løsning Vektorerne u = (,,, ) og u = (,,,) har u u = + + ( ) + ( ) = Fra [LA] Sætning 7 fås projektionen af v = (,,3,4) u = proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) = v u u u u + v u u u u = 4 4 (,,, ) + 5 (,,,) = (, 3, 7,).3. Beregn projektion Matematik Alfa, August Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (,,3,4) (, 3, 7,) = (,,,3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (,,,3) 7 = = 3 6

250 5 IX. OPGAVER.33. Beregn projektion Matematik Alfa, August Opgave 6 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U.34. Løs differentialligning Matematik Alfa, August Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen + = e + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning (), der opflder () =. Løsning a() =,b() = e Løs differentialligning Matematik Alfa, August Opgave 7 - løsning A() = a()d = d = B() = e A() b()d = e (e + 3)d Som giver = + 3 e.36. Løs differentialligning Matematik Alfa, August Opgave 7 - løsning fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce + ( + 3 e )e = Ce + e Løs differentialligning Matematik Alfa, August

251 . JANUAR 3 5 Opgave 7 - retningsfelt I punktet (,) tegnes et kort linjestkke med hældning () = + e Løs differentialligning Matematik Alfa, August Opgave 7 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved () =. I alt er løsningen () = Ce + 3 = () = e + e Løs differentialligning Matematik Alfa, August Opgave 7 - figur Løsningskurve. Januar 3.. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums metoder Potensrækker Differentialligninger

252 5 IX. OPGAVER.. Oversigt Matematik Alfa, Januar 3 Opgaver. Find gradient og retningsafledt. Angiv egenvektorer 3. Beregn et dobbeltintegral 4. Beregn en ortogonal projektion 5. Løs en lineær differentialligning 6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi 7. Bestem kritiske punkter og ekstrema.3. Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave Betragt funktionen f(,) = + + for >, >. ) Angiv f (5,). ) Angiv f(5,). 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5,) er..4. Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - løsning ) De partielle afledede beregnes ) Gradienten angives f = ( + ) f = ( + ) f (5,) = 3 49 f(5,) = (f (5,),f (5,)) = ( 3 49, 4 49 ).5. Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - løsning 3. I retning u = (u,u ) er den 7 f retningsafledede (5,) u 5 6 D u f(5,) = f(5,) u = ( 3 49, 4 49 ) (u,u ) = 49 ( 3u + 4u ).6. Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - løsning Den retningsafledede D u f(5,) = 49 ( 3u + 4u ) =

253 . JANUAR 3 53 for En løsning er 3u + 4u = u + u = u = ( 4 5, 3 5 ).7. Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - ekstra z Grafen z = Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - figur Tangenter til niveaukurver for z = Find gradient Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - figur

254 54 IX. OPGAVER Skalerede gradienter 4 z for z = Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 3 Opgave Betragt matricen A = 6. 4 ) Det oplses, at vektoren (,,) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. ) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t (,,)... Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - løsning. Egenværdi hørende til egenvektoren (,,): = = 8 giver egenværdi 8.. Egenvektorer hørende til egenværdien 8: A 8I = Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - løsning giver det reducerede ligningssstem = og dermed = = = hvor, 3 vælges frit. Som egenvektor ej på form t (,,) kan vælges ( 4,,)..3. Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - gør prøve! = 8 = 8 4 Så prøven stemmer! = 4 8 = 8.4. Angiv egenvektor Matematik Alfa, Januar 3 Opgave - figur 3

255 . JANUAR 3 55 z (,,) ( 4,,) (3,,) Egenvektorer.5. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 3 Lad T betegne trekanten i -planen med hjørner (,),(,),(,) (tegn!). ) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(,) da. ) Udregn dobbeltintegralet T T sin( 3 ) da..6. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 3 - figur (,) T = {(,), } = {(,), }.7. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 3 - løsning Dobbeltintegralet er Tpe I: Dobbeltintegralet er Tpe II: T = {(,), } T T = {(,), } f(,)da = f(,)da = f(,)d d f(,)d d

256 56 IX. OPGAVER.8. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 3 - løsning sin( 3 )da = sin( 3 )d d T = = = [ sin( 3 ) sin( 3 )d [ 3 cos(3 ) ] = ( cos()) 3.3 ] = = d.9. Beregn et dobbeltintegral Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 3 - figur z E = {(,,z) (,) T, z sin( 3 )}.. Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 4 Betragt følgende vektorer i R 4, u = (,,,) u = (,,,) u 3 = (,,,) Det oplses at disse vektorer er indbrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u,u og u 3. Lad v betegne vektoren v = (,,,5). ) Angiv projektionen (= den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. ) Angiv afstanden fra v til U... Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 4 - løsning

257 . JANUAR 3 57 ) Fra Sætning 7 fås projektionen af v = (,,,5) på u = (,,,),u = (,,,),u 3 = (,,,) proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) + proj u3 (v) = v u u u u + v u u u u + v u 3 u 3 u 3 u 3 = (,,,) + (,,,) + 6 (,,,) 3 = (, 5, 3,).. Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 4 - løsning Restvektoren v proj U (v) = (,,,5) (, 5, 3,) = (, 3, 3,3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (, 3, 3,3) 7 = = Beregn projektion Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 4 - figur v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U.4. Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 Angiv den fuldstændige løsning () til differentialligningen (for > ) + =. Angiv endvidere den løsning, der opflder betingelsen () = Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 - løsning + = a() =,b() =

258 58 IX. OPGAVER A() = a()d = d = ln B() = e A() b()d = e ln d =.6. Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 - løsning Som giver fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce ln + e ln = C +.7. Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 - retningsfelt I punktet (,) tegnes et kort linjestkke med hældning () = Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 - løsning I den partikulære løsning bestemmes C ved () = 5. I alt er løsningen () = C + = 5 () = Løs differentialligning Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 5 - figur

259 . JANUAR 3 59 Løsningskurve () = Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 6 ) Angiv en potensrækkefremstilling for sin. ) Angiv grænseværdien Løsning ) Bent potensrækken sin = sin lim 3 cos. ( ) n (n + )! n+ n=.3. Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 6 - løsning til at få skrevet ud sin =! 3! 3 + 5! 5... sin = ( ) n+ (n + )! n+ n= sin = 3! 3 5! Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 6 - løsning ) Dermed er Det følger, at f() = sin 3 = ( ) n+ (n + )! n n= = 3! 5!... sin lim 3 cos = lim f() cos = f() cos = 6

260 6 IX. OPGAVER.33. Angiv potensrække Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 6 - figur Grafen for = sin 3 cos.34. Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 7 Minimer + + under bibetingelsen + = 8. Det kan frit benttes at et sådant minimum eksisterer. Løsning Sæt f(,) = + + og g(,) = + = 8. De partielle afledede er f = +,f = + g =,g =.35. Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssstem bliver + = λ + = λ + = 8 Løsningen giver = ± og videre fire punkter Indsættelse giver minimumspunkter/værdi ( 3, 3),( 3,3),(3, 3),(3,3) (a,b) = ( 3,3),(3, 3), f(a,b) = Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 7 - figur

261 3. JANUAR 4 6 z (3, 3,9) ( 3,3,9) Grafen for f.37. Bestem ekstrema Matematik Alfa, Januar 3 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, = ± 8 og minimer funktionen Løsning Den afledede er h() = f(, ± 8 ) = 8 ± 8 h () = 8 4 De kritiske punkter a = ±3 giver minimumspunkter/værdi (a,b) = ( 3,3),(3, 3), f(a,b) = 9 3. Januar 4 Opgave. Lad T betegne trekanten i -planen med hjørner (,),(,) og (,) (tegn!). ) Opstil et itereret integral til beregning af dobbeltintegralet f(,) da (hvor f er en vilkårlig kontinuert funktion). ) Beregn T T da. Løsning. ) Området tegnes Et Tpe I integral opstilles ([S].3 Theorem 3) f(,) da = T f(,)d d.

262 6 IX. OPGAVER (,) (,) = (,) Trekanten T = {(,), } ) Fra ) fås T da = = = d d [ 3 3 ] = = d 3 (3 3 )d = 3 [8 4 4 ] = = 7. (Man kunne også have brugt et Tpe II integral.) Opgave. Betragt funktionen f(,) = +. ) Angiv gradientvektoren f(p), hvor P er punktet (3,4). ) Angiv størrelsen af den maimale retningsafledede af f i punktet (3,4). Løsning. ) De partielle afledede er f = +, f = +, hvorfra gradienten beregnes f(3,4) = (f (3,4),f (3,4)) = ( 3 5, 4 5 ). ) Den største retningsafledede er ([S].6 Theorem 5) længden af gradientvektoren f(3,4) = ( 3 5, 4 5 ) = =. Opgave 3. Lad a betegne et vilkårligt reelt tal, og lad A betegne matricen 3 A = a. 3 ) Gør rede for, at (,,) er en egenvektor for A, og angiv den tilhørende egenværdi.

263 3. JANUAR 4 63 f (3,4) f(,) = 5 ) Betragt matricen B = 3 3 (fremkommet af matricen A fra Sp. ) ved at sætte a = ) Det oplses, at λ = 3 er en egenværdi for B. Angiv det tilhørende egenrum E 3. Løsning. ) Fra udregningen 3 a 3 = = 3 ses ([LA] (5)), at den opgivne vektor er en egenvektor og egenværdien er 3. ) Det søgte egenrum er løsningsrum for det homogene ligningssstem med koefficientmatri 3 3 B 3I = 3 =. 3 3 Det reducerede ligningssstem er + z =. Eliminationsmetoden giver et løsningsrum beskrevet ved to parametre,z z = = + z. z z Det følger ([LA] Sætning 5), at egenrummet også kan udtrkkes som underrummet E 3 = span(, ).

264 64 IX. OPGAVER Opgave 4. Angiv en potensrække i, der fremstiller en stamfunktion til Arctan() (= tan ()) i intervallet (,). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Løsning. Man har ([S] 8.6 Eample 7) Arctan() = + d og + = Heraf ved ledvis integration (eller: direkte fra [S] 8.7 side 68) Arctan() = og fortsat integration giver den søgte stamfunktion Arctan()d = = n= ( ) n+ (n )n n. Opgave 5. Lad U betegne det lineære underrum af R 4 udspændt af vektorerne u = (,,,) og u = (,,,). Betragt vektoren v = (,4,6,8). ) Angiv projektionen proj U (v). ) Angiv afstanden fra v til U. Løsning. Problemstillingen er illustreret på figuren v v u U u = proj U (v) Ortogonal projektion på underrum U ) Udregningen u u = = viser at u og u er ortogonale. Man får ([LA] Sætning 7) projektionen af v = (,4,6,8) på u = (,,,),u = (,,,) proj U (v) = proj u (v) + proj u (v) = v u u u u + v u u u u = (,,,) + (,,,) = (,5,5,).

265 3. JANUAR 4 65 ) Restvektoren v proj U (v) = (,4,6,8) (,5,5,) = (,,,8) har en længde, som er afstanden fra v til U (,,,8) = 66. Opgave 6. ) Angiv egenværdierne for matricen [ ] 4. 4 ) Undersøg om funktionen har et lokalt ekstremum i (,). f(,) = Løsning. ) Det karakteristiske polnomium er λ 4 4 λ = λ 4λ. Egenværdierne er rødderne og 6 ([LA] Sætning 4). ) De partielle afledede er I (,) er gradienten f = + 4 +, f = f(,) = (f (,),f (,)) = (,), så den nødvendige betingelse for et lokalt ekstremum er opfldt. De dobbelte partielle afledede er f = +, f = f = 4 +, f =. I (,) er Hessematricen [ f f f f ] = [ 4 4 netop matricen fra ). Da egenværdierne er og ikke har samme fortegn, så er (,) ikke et lokalt ekstremum ([LA] 3 side 89). Alternativt giver andenordenstesten ([S].7 Theorem 3) en størrelse D = f f f =. Da D <, er (,) ikke et lokalt ekstremum. Opgave 7. Betragt differentialligningen = +. ) Angiv den fuldstændige løsning. ) Angiv den løsning (), der opflder () =. Løsning. ) Graferne for den fuldstædige løsning kan skitseres ud fra retningsdiagrammet af små linjestkker igennem (,) med hældning () Med notationen ([DL].5,.6) a() =, b() = ]

266 66 IX. OPGAVER Retningsdiagram og to skitserede grafer er stamfunktionerne A() = B() = a()d = d =, e A() b()d = e d = e. Dette giver den fuldstændige løsning ([DL].5,.6 samt rettelser fra Us. 5) () = Ce A() + B()e A() = Ce + e e = Ce +, hvor C er en arbitrær konstant. ) I den partikulære løsning bestemmes C ved () =. () = Ce + = C =. Det ses, at den søgte partikulære løsning er konstant () =. 4. August 4 Opgave. Lad D betegne den del af cirkelskiven + 4, der ligger i. kvadrant (tegn!). ) Beskriv D i polære koordinater. ) Beregn dobbeltintegralet + + da. D Løsning. ) Området tegnes D er i polære koordinater givet ved = r cos θ, = r sinθ {(r,θ) r, θ π }

267 4. AUGUST 4 67 Kvartcirklen D = {(,),, + 4} ) Dobbelt integralet opstilles i polære koordinater π/ f(,) da = f(r cos θ,r sin θ)r dr dθ. og beregnes D D + + da = π/ r r dr dθ + = π [ ln(r + )] r= r= = π 4 ln 3. Opgave. Betragt funktionen f(,) = ln( + + ) defineret i halvplanen + >. ) Angiv gradientvektoren f(, ) for et vilkårligt punkt (, ) i funktionens definitionsområde. ) Beregn den retningsafledede af f i punktet (,), i retningen Nordøst, dvs. i retning givet ved enhedsvektoren (,). Løsning. ) De partielle afledede er hvorfra gradienten angives f = ln( + + ) + f(,) = (f,f ) = (ln( + + ) + ) Den retningsafledede i retning u = (,) er f(,) u = (ln,) + +, f = + +, + +, + + ). (,) = ln. Opgave 3. Det oplses, at vektoren v = (,) er en egenvektor for en matri A af formen [ ] A =, a 3 hvor a er et vist reelt tal. ) Angiv den tilhørende egenværdi ) Beregn tallet a. Løsning. ) Udregningen A v = [ a 3 ] [ ] [ = 4 a + 6 ] [ = λ ]

268 68 IX. OPGAVER viser at egenværdien ) a opflder altså a =. λ = 4. a + 6 = λ = 8 Opgave 4. Betragt funktionen f() = sin( ). ) Angiv nogle af de første led i en potensrække i, der på hele den reelle akse fremstiller funktionen f(). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad 6.) ) Beregn tallet f (4) () (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f). Løsning. ) Fra [S] haves Indsæt = Altså sin = 3! 3 + 5! 5... sin( ) = 3! ( )3 + 5! ( )5... sin( ) = ) I en potensrække f() = a n n gælder Heraf f (4) () =. Opgave 5. Betragt følgende vektorer i R 3, Det oplses, at f (n) () = n!a n. u = (,,), u = (,,), u 3 = (,,). span(u,u ) = span(u,u 3 ) = span(u,u 3 ). Dette lineære underrum (plan) kaldes U. ) Beregn den ortogonale projektion af vektoren v = (6,4,8) ind på U. ) Angiv en egentlig vektor vinkelret på U. Løsning. Problemstillingen er illustreret på figuren v v u U u = proj U(v) Ortogonal projektion på underrum U ) Udregningen u u 3 = ( ) + + =

269 4. AUGUST 4 69 viser at u og u 3 er ortogonale. Fra [LA] Sætning 7 fås projektionen af v = (6,4,8) på u = (,,),u 3 = (,,) ) Restvektoren er egentlig og vinkelret på U. proj U (v) = proj u (v) + proj u3 (v) = v u u u u + v u 3 u 3 u 3 u = 8 3 (,,) + (,,) = (5,6,7). v proj U (v) = (6,4,8) (5,6,7) = (,,) Opgave 6. Det oplses, at funktionen f(,) = + antager et minimum under bibetingelsen g(,) =, hvor g(,) = 5. ) Angiv samtlige de punkter, hvori dette minimum antages. ) Beregn minimumsværdien. Løsning. ) De partielle afledede er Lagrange ligningerne er I dette tilfælde f =, f =, g =, g =. f = λg, f = λg, g = k. = λ, = λ, = 5., er ikke nul og har samme fortegn. Det følger, at λ =, =. Mulige minimumspunkter er da (,) = ±( 5, 5) Da funktionsværdien i disse punkter er ens, er dette de to søgte punkter. ) Minimumsværdien er f( 5, 5) =. Opgave 7. Bestem den funktion () (for > ), der opflder og begndelsesbetingelsen () =. = + Løsning. En analtisk løsning kan med notation fra [DL] beskrives ved og stamfunktionerne a() =, b() = A() = a()d = d = ln, B() = e A() b()d = e ln d = d = 5 5.

270 7 IX. OPGAVER Dette giver fuldstændig løsning () = Ce A() + B()e A() = Ce ln + 5 e ln 5 = C + 3 5, hvor C er en arbitrær konstant. I den partikulære løsning bestemmes C ved () =. () = C = C = 4 5. Det ses, at den søgte partikulære løsning er () =

271 Litteratur Arnold, Ordinar differential equations, MIT press 98. (Frisk velskrevet og moderne tilgang). Birkhoff & Rota, Ordinar differential equations, Wile and Sons 978. (Fine figurer, meget populær). Bohr & Mollerup, Lœrebog i matematisk analse, Gjellerup 949. (En gedigen dansk klassiker). Braun, Differential equations and their applications, Springer Verlag 975. (Udførlige eksempler og gennemregninger af konkrete modeller). Coddington & Levinson, Theor of ordinar differential equations, McGraw-Hill 955. (Omfattende, men alligevel tilgængelig). Edwards & Penne, Differential equations, computing and modeling, Prentice Hall 996. (Elementær, supplerer forfatternes calculus bog). Hartmann, Ordinar differential equations, Wile & Sons 964. (Den mest omfattende nere bog om emnet). Hirsh & Smale, Differential equations, dnamical sstems and linear algebra, Academic Press 974. (Bogen om lineære sstemer). Ince, Ordinar differential equations, Dover Publ. 97. (Klassisk bog med mange ikke-lineære tper). Iversen, Reelle funktioner af en variabel, Aarhus Universitetsforlag 988. (Har et godt afsnit om lineære sstemer med udførlige beviser). Iversen, Reelle funktioner af flere variable, Aarhus Universitetsforlag 988. (Udførlige beviser). Kock & Nielsen, Lineœr algebra og differentialligninger, Aarhus Universitet 4. (Noter til kurset). Poulsen, Funktioner af en og flere variable, Gad. (Noter til kurset for matematikstuderende). Simmons, Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill 97. (Fornøjelig læsning med mange oplsninger). Stewart, Calculus - concepts and contets, Brooks/Cole. (Lærebogen, lidt magert omkring differentialligninger og modelering). 7

272 7 LITTERATUR

273 Stikord -række/søjle, 9 n-te afsnitssum, 5 (koordinat)vektor, 67 (lokal) stabil, 64 (matri)indgang, 7 Øvre trekantsmatri, 9 Reducer til øvre trekantsmatri, 93 absolut ekstremum, 54 absolut ekstremumsværdi, 54 absolut maksimum, 53 absolut maksimumsværdi, 53 absolut minimum, 53 absolut minimumsværdi, 53 absolut værdi, 3 adderes, 7 afledede, 7 afstanden, 9 aftagende:, 3 Algebraens fundamentalsætning, 37 Arctan rækken, 9 Argand planen, 9 argumentet, 33 associativ, 7 Associativ lov, 68, 73 augmenteret matri, 85 autonom sstem, 64 bølgeligningen, 4 begrænset:, 4 begrœnsningen, 65, 67, 7 begndelsesværdi, 43 begndelsesværdiproblem, 59 begndelsesværdiproblemet, 48 Beregning af determinant, 9 bestemte integral, 75 bibetingelsen, 65, 67, 7 binomialrækken, 9 Cosinusrækken, 9 definitionsmængden, definitionsmœngden, 7 Den geometriske række, 9 Den kommutative lov holder ikke, 73 Determinanten, 9, 9 diagonalisere, diagonalmatri, 74, 9 differentiabel, 3 Differentialet, 3 differentialligningen, 59 dimensionale koordinatvektorrum, 67 Distributive love, 69, 73 divergent, 8,,, 5 Dobbelt integralet, 77, 9 dobbelte Riemann sum, 78 Dobbeltintegralet, 93 egenrummet, egentlig, 99 egentlig løsning, 96 egenværdi, 99 egenvektor, 99 Eksponentialrækken, 9, 3 enhedsvektor, 6 Enten-eller-princip (), 87 Eulers formel, 37 fuldstændig løsning, 8 fuldstœndige løsning, 49 funktion af to variable, 7 Gør prøve, 89 geometriske række, 6 Grænseværdien, gradienten, 46, 48 Grafen, 8 hastighedsfeltet, 6 Hesse matricen, 57 homogen, 49 homogene part, 49, 53 homogent, 53, 79 hovedkvadratroden, 3 Identitetsmatricen, 74 Identitetsmatricen (enhedsmatricen), 9 ikke-nul (egentlige), imaginærdel, 9 imaginære enhed, 9 imaginœre akse, 3 inhomogene, 49, 53 inhomogent, 79 invers matri, 77 invertibel, 77 itererede integral, 85 Jacobideterminanten, 95 Jakobimatricen, 38 73

274 74 STIKORD karakteristiske polnomium, koefficienter, 9, 69 koefficientmatricen, 53 koefficientmatri, 79 Kommutativ lov, 68 kompleks tal, 9 komplekse eksponentialfunktion, 37 komplekse logatitmefunktion, 38 komplekse plan, 9 komplekse tal, 58 komplekse trigonometriske funktioner, 39 konjugerede tal, 3 kontinuert i D, Kontinuitet, konturlinjen, 8 konvergensintervallet, 3 konvergensradius, 3 konvergent, 8,,, 5 koordinat, 67 kritisk punkt, stationœrt punkt, 55 kvadratisk, 9 kvadratisk matri, 74 løsning, 5, 59 løsningsrummet, 8 lœngden, normen, 6, 9 Lagrange multiplikator, 66, 67 Lagrange multiplikatorer, 7 Laplaces ligning, 4 ligevægt, 64 lineær afbildning, 75 lineære approimation, 9 lineære ligninger, 79 lineœre. ordens differentialligning, 49 lineœrt differentialligningssstem, 5 lineariseringen, 8, 9 linearkombinationen, 69 Logaritmerækken, 9, 3 logistiske ligning, 48 lokal ekstremumsværdi, 54 lokal maksimumsværdi, 5 lokal minimumsværdi, 5 lokalt ekstremum, 54 lokalt maksimum, 5 lokalt minimum, 5 Lotka-Volterra ligningerne, 5 lukket, 6 Maclaurinrække, 34 matri, 7 matri form, 79 matrimultiplikation, 7 modulus, 3 monoton:, 4 multipliceres, 7 multiplicitet, 6 nedadtil begrænset:, 4 Niveaukurven, 8 nulmatricen, 7 Nulreglen gœlder ikke, 73 nulrummet, 8 nulvektoren, 67 Observationer om determinant nul, 9 opadtil begrænset:, 4 ortogonale komplement, 9 ortogonale projektion, ortogonale, vinkelrette, 9 partiel differentialligning, 4 partielle afledede, 9 partielle integral, 85 Partikulær løsning, 8 partikulær løsning, 49 pivot indgange, 85 polæraksen, 4, 3 polært koordinatsstem, 4, 3 Polœr Tpe II integral, 8 polœrt rektangel, 3 polarformen, 33 polen, 4, 3 potens, 78 potensrække, 9 Potensreglen for determinant, 95 Prikproduktet, skalarproduktet, 5 række, 7 rækkeoperationsmatri, 88 rækkevektor/rækkematri, 7 rœkke-echelon form, 84, 85 Rœkkeoperationer, 84 Rœkkeoperationer på en matri, 85 randpunkt, 6 realdel, 9 reelle akse, 3 Regneregler for skalarprodukt, 7 rekursionen, 46 retningsafledede, 43, 48 retningsfelt, 45 Riemann summen, 76 rækker, 7 søjle, 7 søjler, 7 søjlevektor/søjlematri, 7 saddelpunkt, 55 separabel, 47, 49 Simple regneregler, 73 Sinusrækken, 9 skalar, 68 Skalarmultiplikation, 68 skalarproduktet, 6, 9 skaleres, 7 span, 69 standard enhedsvektor, 73, 8 sum, 5 Sum af vektorer, 68 Sum, Skalarmultiplikation, 7 Tangentlinjen, 6 Tangentplanen, 7 Talorrække, 34 tilvæksten, 3 Tpe I integral, 94 Tpe II integral, 95 ubekendte, 79

275 STIKORD 75 ubestemt af form, 5 ubestemt af form, 6 uegentlige integral, 8, uendelig række, 4 underrum, 69 ustabil, 64 Vækstligningen, 48 Værdimængden, vœrdimœngden, 7 vektorer, 69 vektorrum, 69 voksende:, 3