Kursusnoter til BasisMat

Transkript

1 Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016

2

3 Indhold 1 De komplekse tal Introduktion til de komplekse tal Regning med komplekse tal Modulus og argument Den komplekse eksponentialfunktion Eulers formel Polynomier Introduktion Andengradspolynomier Binomier Faktorisering af polynomier Polynomier med reelle koefficienter Tredjegradspolynomier Taylorpolynomier Approksimation ved linearisering Taylorpolynomier Funktioner af to variable Graf og niveaukurver Partielle afledede Tangentplan Stationære punkter Førsteordens differentialligninger Introduktion Den fuldstændige løsning til en førsteordens differentialligning Lineære førsteordens differentialligninger Differentialligninger hvor de variable kan separeres Begyndelsesbetingelser Anvendelse af Taylorpolynomier til løsning af førsteordens differentialligninger. 65 i

4 ii INDHOLD 6 Andenordens differentialligninger Introduktion Homogene lineære andenordens differentialligninger med konstante koefficienter Det karakteristiske polynomium En dobbeltrod To ikke-reelle rødder Generel løsningsmetode Begyndelsesværdiproblemer Inhomogene lineære andenordens differentialligninger med konstante koefficienter Gættemetoden Bilag 89 Det græske alfabet Trigonometriske regneregler Enhedscirklen Differentiationsregler Integrationsregler Indeks 92

5 Forord Den indledende fælles undervisning i matematik for diplomingeniørstuderende på Danmarks Tekniske Universitet består fra 2014 af kurset BasisMat. Disse noter er skrevet til brug i dette kursus. Den første udgave af disse noter blev skrevet på engelsk af Peter Beelen til brug for det tidligere kursus DiploMat 1. Efterfølgende blev noterne oversat til dansk og revideret af Søren Thomsen i Adskillige andre personer har deltaget i større eller mindre grad i tilblivelsen af noterne. I den forbindelse vil forfatterne gerne takke Ole Christensen, Rasmus E. Christiansen, Mads S. Jakobsen, Inger Larsen, Gregor Leander, Jakob Martin Pedersen, Jens Starke og Erik Zenner for værdifulde bidrag. Peter Nørtoft har skrevet kapitel 4. Morten Brøns har redigeret noterne og foretaget mindre ændringer i forhold til 2011-udgaven med henblik på brug i BasisMat. Kgs. Lyngby, Januar 2016 Morten Brøns I 2016-udgaven er der foretaget mindre ændringer. Ældre udgaver af noterne kan uden problemer bruges til kurset i 2016.

6

7 Kapitel 1 De komplekse tal I dette kapitel vil vi introducere mængden af såkaldt komplekse tal. For at motivere dette vil vi først kigge lidt på nogle andre talmængder i matematikken. De naturlige tal N = {1,2,...} har, som navnet antyder, en meget naturlig fortolkning. Man bruger dem når man tæller. Lægger man to naturlige tal sammen, får man igen et naturligt tal, men man kan komme i problemer, hvis man ønsker at trække fra. For eksempel har ligningen 7 + x = 3 ingen løsninger inden for de naturlige tal. Indfører man de hele tal Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} er dette problem løst. Der er dog stadig problemer, for man kan ikke uden videre dividere inden for de hele tal. For eksempel har ligningen 3x = 2 ikke nogle heltallige løsninger. Dette kan vi klare ved at indføre mængden af brøker Q, som også kaldes mængden af rationelle tal. I nogen tid troede man, at mængden Q af rationelle tal indeholdt alle de tal, man nogensinde kunne få brug for, men det er ikke tilfældet. Det viser sig for eksempel, at ligningen z 2 = 2 ikke har nogen løsning i Q. En mulig konklusion er, at ligningen simpelthen ingen løsning har, hvilket dog ikke er særligt tilfredsstillende. Derfor udvidede matematikerne mængden af rationelle tal Q til mængden af reelle tal R. I R har ligningen z 2 = 2 to løsninger, nemlig 2 og 2. Mængden R indeholder mange andre interessante irrationelle tal som f.eks. e og π. Igen troede man i nogen tid at mængden R af reelle tal indeholdt alle tal, man nogensinde ville få brug for. Men hvad med en ligning som z 2 = 1? Det er klart, at denne ligning ingen løsning har inden for de reelle tal. Vi er altså i samme situation, som vi var tidligere med ligningen z 2 = 2 indtil de reelle tal blev indført. For at kunne løse ligningen z 2 = 1 vil vi derfor udvide mængden R af reelle tal til en større talmængde C, kaldet de komplekse tal. De komplekse tal viser sig at være enormt anvendelige, hvilket vi skal se flere eksempler på i denne bog. 1.1 Introduktion til de komplekse tal Som nævnt er indførelsen af de komplekse tal motiveret af ønsket om at kunne løse en ligning som z 2 = 1. En måde at løse denne ligning på er ganske enkelt at indføre et nyt (ikke-reelt) tal som løsning. Vi bruger symbolet i for dette tal, som kaldes den imaginære enhed. 1

8 2 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Definition 1.1. Tallet i er defineret som en løsning til ligningen z 2 = 1. Der gælder altså Ud fra tallet i fastlægger vi nu i 2 = 1. Definition 1.2. Et komplekst tal er et tal på formen a + bi, hvor a og b er reelle tal. Mængden af komplekse tal betegnes C. Med denne definition er i et komplekst tal, idet i = i og ethvert reelt tal a er også et komplekst tal, da vi kan skrive a = a + 0i. Ofte repræsenteres mængden R af reelle tal ved en ret linje, som vi vil kalde den reelle tallinje. Ethvert punkt på linjen repræsenterer et reelt tal (se Figur 1.1) π 4 Figur 1.1: Den reelle tallinje. Tallene 2 og π er aftegnet. De komplekse tal kan også repræsenteres grafisk, men nu som den såkaldte komplekse talplan. Et komplekst tal a + bi angives som punktet (a,b) i planen. Det betyder, at tallet i har koordinaterne (0,1), og det vil derfor ligge på andenaksen. Tallet i og nogle andre komplekse tal er markeret i den komplekse talplan på Figur 1.2. Akserne i den komplekse talplan har særlige navne. Den vandrette akse kaldes den reelle akse; den består af alle de reelle tal. Den lodrette akse kaldes den imaginære akse. Koordinaterne for et komplekst tal z i den komplekse talplan har også særlige navne. Førstekoordinaten kaldes realdelen af z (angives ved Re(z)), mens andenkoordinaten af z kaldes imaginærdelen (angivet ved Im(z)). Bemærk, at både realdelen og imaginærdelen af et vilkårligt komplekst tal z er reelle tal. Hvis man kender Re(z) og Im(z), kan man nemt opskrive tallet z, da det gælder at z = Re(z) + Im(z)i. Formen Re(z)+Im(z)i kalder vi den rektangulære form af tallet z. Vi skal i afsnit 1.3 se en anden måde at angive komplekse tal på. Den delmængde af de komplekse tal, der har imaginærdel nul, er lig mængden af reelle tal. Den reelle akse i den komplekse talplan er altså identisk med den reelle tallinje. Et komplekst tal som ikke er reelt kaldes et imaginært tal (for eksempel 3 + 2i). Et rent imaginært tal er et imaginært tal hvor realdelen er nul (for eksempel 2i).

9 1.1. INTRODUKTION TIL DE KOMPLEKSE TAL 3 4 Im 3 2+3i 2 1 i Re i 4 Figur 1.2: Den komplekse talplan. Tallene 2, i, 2 + 3i og 1 4i er aftegnet. Eksempel 1.3. Find real- og imaginærdelen af følgende komplekse tal: i i Løsning. 1. Tallet 2 + 3i er angivet på rektangulær form. Derfor kan vi direkte aflæse realdelen og imaginærdelen. Vi har Re(2 + 3i) = 2 og Im(2 + 3i) = Tallet 2 er allerede skrevet på rektangulær form. Man kan også skrive tallet som 2 = 2 + 0i. Heraf ser vi, at Re( 2) = 2 og Im( 2) = Tallet 2i er også angivet på rektangulær form. For at være mere præcis kunne man også skrive 2i = 0 2i. Vi har derfor Re( 2i) = 0 og Im( 2i) = 2.

10 4 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL 1.2 Regning med komplekse tal Nu hvor vi har indført de komplekse tal, kan vi begynde at regne med dem. Man regner med komplekse tal fuldstændig som om de var reelle, bare med den ekstra regel, at i 2 = 1. Vi viser som eksempel nogle regnestykker med de to komplekse tal z 1 = 1 + 2i og z 2 = 3 + 5i. Skal de to tal lægges sammen, gør vi som følger. z 1 + z 2 = (1 + 2i) + (3 + 5i) regnestykket opskrives = 1 + 2i i parenteserne hæves = i + 5i der byttes om på rækkefølgen af leddene = (2 + 5)i i sættes uden for en parentes = 4 + 7i Geometrisk er addition af to komplekse tal det samme som addition af to vektorer i planen, se Figur 1.3. Im 6 4+6i i i Re Figur 1.3: Addition af komplekse tal. Her er det vist grafisk, at (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i. Fremgangsmåden ved subtraktion er helt den samme. z 1 z 2 = (1 + 2i) (3 + 5i) regnestykket opskrives = 1 + 2i 3 5i parenteserne hæves = i 5i der byttes om på rækkefølgen af leddene = (2 5)i i sættes uden for en parentes = 2 3i

11 1.2. REGNING MED KOMPLEKSE TAL 5 Eksempel 1.4. Reducér følgende udtryk og skriv resultatet på rektangulær form. 1. (3 + 2i) + (1 + 4i) 2. (3 + 2i) (1 + 4i) 3. (5 7i) i 4. (5 7i) ( 10 + i) Løsning. 1. (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i 2. (3 + 2i) (1 + 4i) = (3 1) + (2 4)i = 2 2i 3. (5 7i) i = 5 + ( 7 1)i = 5 8i 4. (5 7i) ( 10 + i) = (5 ( 10)) + ( 7 1)i = 15 8i Ligeledes kan vi udføre en multiplikation af de to komplekse tal z 1 = 1 + 2i og z 2 = 3 + 5i: z 1 z 2 = (1 + 2i)(3 + 5i) regnestykket opskrives = i + 2i 3 + (2i) (5i) parenteserne ganges ud = 3 + 5i + 6i + 10i 2 de enkelte led reduceres = 3 + 5i + 6i 10 benytter at i 2 = 1 = i Division er lidt mere kompliceret. Før vi gør det, kan vi få lidt inspiration fra følgende trick til at fjerne kvadratrødder fra en nævner: = = 1 2 (1 + 2)(1 2) = ( 2) 2 = = 1 2 = (vi benyttede i denne udregning kvadratsætningen (a + b)(a b) = a 2 b 2 ). Lad os nu prøve at gøre noget lignende med en brøk af komplekse tal:

12 6 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL z 1 = 1 + 2i z i (1 + 2i)(3 5i) = (3 + 5i)(3 5i) regnestykket opskrives brøken forlænges med 3 5i 3 5i + 6i 10i2 parenteserne i tæller og nævner ganges ud. For nævneren bruges kvadratsætningen (a + b)(a b) = a 2 b 2 = 3 2 (5i) 2 3 5i + 6i + 10 = benytter at (5i) 2 = 5 2 i 2 samt i 2 = = 13 + i 34 = i leddene i tæller og nævner samles Eksempel 1.5. Reducér følgende udtryk og skriv resultatet på rektangulær form. 1. (1 + 2i)(3 + 4i) i 3 + 4i Løsning. 1. (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i 2 = i 8 = i. 2. Efter multiplikation af både tæller og nævner med 3 4i får vi resultatet: 1 + 2i (1 + 2i)(3 4i) 3 4i + 6i 8i2 = = 3 + 4i (3 + 4i)(3 4i) 9 16i 2 = 3 + 2i = i 25 = i. Eksempel 1.6. Reducér følgende udtryk og skriv resultatet på rektangulær form. 1. (1 + 2i)(3 + 4i) i 3 + 4i Løsning. 1. (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i 2 = i 8 = i.

13 1.3. MODULUS OG ARGUMENT 7 2. Efter multiplikation af både tæller og nævner med 3 4i får vi resultatet: 1 + 2i (1 + 2i)(3 4i) 3 4i + 6i 8i2 = = 3 + 4i (3 + 4i)(3 4i) 9 16i 2 = 3 + 2i = i 25 = i. Det er klart, at addition, subtraktion og multiplikation kan gennemføres for alle komplekse tal z 1 og z 2. For division må vi dog kræve, at nævneren ikke er nul. Vi samler dette i en definition af de fire regningsarter for komplekse tal Definition 1.7. Lad z 1 = a + bi og z 2 = c + di være to komplekse tal på rektangulær form. Så defineres regneoperationerne addition: subtraktion: multiplikation: division: z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. z 1 = a + ib ( ) ( ) ac + bd bc ad z 2 c + id = c 2 + d 2 + c 2 + d 2 i I divisionen forudsættes det, at z 2 0. Der er ingen grund til at lære formlerne i definition 1.7 udenad. Man bør bare, som vi har vist i de mange eksempler, regne som man plejer at regne med reelle tal. Det eneste nye er regnereglen i 2 = 1 (som det til gengæld er værd at kunne udenad!) og tricket med at forlænge, når man skal dividere. 1.3 Modulus og argument Et komplekst tal z er entydigt bestemt ud fra dets realdel Re(z) og dets imaginærdel Im(z). Talparret (Re(z),Im(z)) kaldes de rektangulære koordinater for z. I dette afsnit introducerer vi en anden måde, hvorpå man kan beskrive et komplekst tal. Givet et komplekst tal z kan vi tegne en trekant i den komplekse talplan med vinkelspidser i de komplekse tal 0, Re(z) og z (se Figur 1.4). Afstanden fra z til 0 kaldes modulus af z og benævnes z. Vinklen fra den positive del af den reelle akse til linjestykket fra 0 til z kaldes argumentet af z og benævnes arg(z). Vi angiver altid argumentet (og enhver anden vinkel) i radianer. Vinkler angives normalt ved et tal i intervallet ] π,π], men dette er ikke strengt nødvendigt. Vinklen π/4 kan f.eks. også angives som π/4 + 2π = 7π/4. Man siger, at argumentet af et komplekst tal kun er bestemt op til et multiplum af 2π. Det argument, som ligger i intervallet ] π,π], kaldes hovedargumentet. Af Figur 1.4 kan vi udlede, at Re(z) = z cos(arg(z)) og Im(z) = z sin(arg(z)). (1.1)

14 8 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Im z z Im(z) arg(z) Re(z) Re Figur 1.4: Modulus og argument af et komplekst tal z. Kender vi z og arg(z) kan vi derfor beregne de rektangulære koordinater for z. Det betyder, at parret ( z,arg(z)) entydigt bestemmer det komplekse tal z, da z = Re(z) + iim(z) = z (cos(arg(z)) + isin(arg(z))). (1.2) Parret ( z,arg(z)) kaldes de polære koordinater for z. Omvendt, hvis man kender de rektangulære koordinater for z kan man finde de polære koordinater på følgende måde. Vi har altså givet et komplekst tal z hvor vi kender Re(z) og Im(z) og vil gerne bestemme argumentet arg(z) samt modulus z. Vi kan igen af Figur 1.4 udlede, at z = Re(z) 2 + Im(z) 2, (1.3a) tan(arg(z)) = Im(z)/Re(z). (1.3b) Ligning (1.3a) giver modulus som ønsket. At bestemme argumentet ud fra (1.3b) kræver lidt omhu. Vi begynder med at undersøge en ligning af formen tan(x) = k (1.4) hvor k er et givet, reelt tal. Da tan er en periodisk funktion, har denne ligning uendelig mange løsninger. Den løsning, der ligger i intervallet ] π/2,π/2[ betegnes arctan(k) (eller undertiden atan(k) eller tan 1 (k)). Man udtaler det arcus tangens. Grafen for funktionen arctan er vist på Figur 1.5. Vi vender nu tilbage til ligning (1.3b), som svarer til x = arg(z) og k = Im(z)/Re(z). Hvis z ligger i 1. eller 4. kvadrant gælder det at arg(z) ] π/2,π/2[, og vi har derfor at arg(z) = arctan(im(z)/re(z)). Hvis z ligger i 2. kvadrant, ser vi på Figur 1.6, at arg(z) = arg( z) + π. Da z ligger i 2. kvadrant gælder der arg( z) = arctan ( Im( z) Re( z) ) = arctan og dermed arg(z) = arctan(im(z)/re(z)) + π. ( ) Im(z) = arctan Re(z) ( ) Im(z) Re(z)

15 1.3. MODULUS OG ARGUMENT 9 π 2 z Im arg(z) arg( z) Re π 2 Figur 1.5: Grafen for arctan-funktionen. z Figur 1.6: For z i 2. kvadrant gælder arg(z) = arg( z) + π. Bemærk, at arg( z) < 0, der er markeret ved, at vinkelpilen går i den negative omløbsretning. På samme måde (lav selv en tegning!) kan man vise, at hvis z ligger i 3. kvadrant, gælder arg(z) = arctan(im(z)/re(z)) π. Disse overvejelser er opsummeret i Figur 1.7. Im π 2 2. kvadrant: arg(z) = arctan(b/a) + π 1. kvadrant: arg(z) = arctan(b/a) Re 3. kvadrant: arg(z) = arctan(b/a) π 4. kvadrant: arg(z) = arctan(b/a) π 2 Figur 1.7: Formler for hovedargumentet af z = a + bi. Vi har stiltiende antaget, at Re(z) 0, da vi ellers kommer til at dividere med 0, og må derfor behandle dette tilfælde særskilt. Hvis Re(z) = 0 og Im(z) > 0, ligger z på den positive del af den imaginære akse. Derfor er arg(z) = π/2. Tilsvarende gælder arg(z) = π/2 hvis Re(z) = 0 og Im(z) < 0. Vi samler omregningen mellem rektangulære og polære koordinater i nedenstående

16 10 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Sætning 1.8. Lad z være et komplekst tal forskelligt fra 0 med polære koordinater (r,α). Da er Re(z) = r cos(α) og Im(z) = r sin(α). Lad nu omvendt z være et komplekst tal forskelligt fra 0 med rektangulære koordinater (a,b). Da er z = a 2 + b 2 og hovedargumentet er givet ved arctan(b/a) hvis a > 0, π/2 hvis a = 0 og b > 0, arg(z) = arctan(b/a) + π hvis a < 0 og b 0, π/2 hvis a = 0 og b < 0, arctan(b/a) π hvis a < 0 og b < 0. Modulus af et komplekst tal spiller omtrent samme rolle som numerisk værdi (absolut værdi) blandt de reelle tal. Modulus af et reelt tal er faktisk det samme som tallets numeriske værdi, idet vi for det reelle tal z = a + 0i får z = a = a. Eksempel 1.9. Beregn modulus og argument af følgende komplekse tal (sinus, cosinus og tangens af forskellige vinkler samt diverse trigonometriske regneregler kan findes i bilaget): 1. 4i i i Løsning. Vi finder løsningen ved hjælp af Sætning i = = 4, arg(4i) = π/ = ( 7) = 7, arg( 7) = arctan(0/( 7)) + π = π i = = 3 2, arg(3 + 3i) = arctan(3/3) = π/ i = ( 2) 2 + ( 5) 2 = 29, arg( 2 5i) = arctan(( 5)/( 2)) π = arctan(5/2) π

17 1.3. MODULUS OG ARGUMENT 11 Eksempel Følgende polære koordinater er givet. Skriv de tilhørende komplekse tal på rektangulær form. 1. (2,π/3) 2. (10,π) 3. (4, π/4) 4. (2 3, 2π/3) Løsning. Vi bruger ligning (1.2) til at beregne de komplekse tal z med de givne polære koordinater. Derefter skriver vi de komplekse tal på rektangulær form. 1. z = 2(cos(π/3) + isin(π/3)) = 2(1/2 + i 3/2) = 1 + 3i 2. z = 10(cos(π) + isin(π)) = z = 4(cos( π/4) + isin( π/4)) = 4( 2/2 i 2/2) = i 4. z = 2 3(cos( 2π/3) + isin( 2π/3)) = 2 3( 1/2 i 3/2) = 3 3i

18 12 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Indtil nu har vi ikke forsøgt at forklare, hvorfor vi indfører polære koordinater. Det viser sig, at det er særligt bekvemt at multiplicere og dividere komplekse tal, når de polære koordinater er kendt. Dette tydeliggøres i følgende sætning. Sætning Lad z 1 og z 2 være to komplekse tal begge forskellige fra nul. Da gælder følgende: z 1 z 2 = z 1 z 2 og Vi har desuden og arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). z 1 /z 2 = z 1 / z 2 arg(z 1 /z 2 ) = arg(z 1 ) arg(z 2 ). Lad n Z være et heltal og z C et komplekst tal. Da gælder z n = z n og arg(z n ) = narg(z). Før vi beviser sætningen, præsenterer vi et lemma. Lemma Der gælder (cos(α 1 ) + isin(α 1 )) (cos(α 2 ) + isin(α 2 )) = cos(α 1 + α 2 ) + isin(α 1 + α 2 ). Bevis. Ved at gange parenteserne sammen kan vi beregne realdelen og imaginærdelen af produktet (cos(α 1 ) + isin(α 1 ))(cos(α 2 ) + isin(α 2 )). Det viser sig, at realdelen er givet ved og imaginærdelen er givet ved cos(α 1 )cos(α 2 ) sin(α 1 )sin(α 2 ), cos(α 1 )sin(α 2 ) + sin(α 1 )cos(α 2 ). Ved at benytte additionsformlerne for cosinus og sinus (se bilaget) når vi frem til lemmaet. Bevis for Sætning Vi viser kun den første del af sætningen. Lad os indføre r 1 = z 1, r 2 = z 2, α 1 = arg(z 1 ) og α 2 = arg(z 2 ). Ifølge ligning (1.2) har vi z 1 z 2 = r 1 (cos(α 1 ) + isin(α 1 )) r 2 (cos(α 2 ) + isin(α 2 )) = r 1 r 2 (cos(α 1 ) + isin(α 1 ))(cos(α 2 ) + isin(α 2 ))

19 1.3. MODULUS OG ARGUMENT 13 Vi bruger nu Lemma 1.12 og ser, at z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(α 1 + α 2 ) + isin(α 1 + α 2 )), hvilket beviser sætningen. Im z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z 2 1 z 1 1 Re Figur 1.8: Grafisk illustration af Sætning Sætning 1.11 kan bruges til at give en geometrisk beskrivelse af multiplikationen af to komplekse tal: længden (modulus) af produktet er produktet af længderne, og argumentet af produktet er summen af argumenterne (se Figur 1.8). Sætningen er også meget anvendelig når man skal beregne potenser af komplekse tal, hvilket vi viser i de følgende eksempler. Eksempel Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form. Løsning. 1. (1 + i) (1 + i) 13 /( 1 3i) Tallet 1 + i har argument π/4 og modulus 2. Af Sætning 1.11 ser vi, at arg((1 + i) 13 ) = 13π/4. Da vi altid kan lægge et multiplum af 2π til argumentet, kan vi i stedet vælge 13π/4 4π = 3π/4 som argument for (1 + i) 13. Af Sætning 1.11 ser vi desuden, at (1 + i) 13 = 1 + i 13 = ( 2) 13 = = 64 2.

20 14 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Da vi nu kender både modulus og argument af tallet (1 + i) 13, kan vi skrive tallet på rektangulær form vha. ligning (1.2): (1 + i) 13 = 64 2(cos( 3π/4) + isin( 3π/4)) = 64 ( 2 2/2 i ) 2/2 = 64 64i. 2. Vi har allerede set, at π/4 er et argument for 1 + i, samt at 1 + i = 2. Nu beregner vi argument og modulus for 1 3i. Ifølge Sætning 1.8 gælder det, at og arg( 1 3i) = arctan(( 3)/( 1)) π = 2π/3 1 3i = ( 1) 2 + ( 3) 2 = 2. Det næste skridt er at beregne modulus og argument af det ønskede tal. Vha. Sætning 1.11 finder vi, at ( arg (1 + i) 13 /( 1 3i) 15) = 13arg(1 + i) 15arg( 1 3i) og = 13π/4 15( 2π/3) = 53π/4. (1 + i) 13 /( 1 3i) 15 = 1 + i 13 / 1 3i 15 = 2 13 /2 15 = 2/512. Vi kan også vælge 53π/4 14π = 3π/4 som argument. Nu kender vi både modulus og argument af (1 + i) 13 /( 1 3i) 15, og vi finder: (1 + i) 13 ( 1 3i) 15 = = 2 (cos( 3π/4) + isin( 3π/4)) ( 2/2 i 2/2) = i Den komplekse eksponentialfunktion Vi har set at mange af de beregninger, man kan gøre med reelle tal (f.eks. addition, subtraktion, multiplikation og division), også kan gøres med komplekse tal. Det betyder, at en funktion som f.eks. f (t) = t 2 + 2t + 5 også kan defineres på mængden af komplekse tal. Med andre ord: udtrykket t 2 +2t +5 giver mening for ethvert t C. Den sædvanlige eksponentialfunktion f (t) = e t er defineret for ethvert reelt tal t (se Figur 1.9). Kan vi også definere eksponentialfunktionen på de komplekse tal? Svaret er ja, og definitionen er som følger.

21 1.4. DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION Figur 1.9: Grafen for eksponentialfunktionen som funktion af en reel variabel. Definition Lad z C være et komplekst tal med rektangulær form z = a + bi. Så defineres e z = e a+bi = e a (cos(b) + isin(b)). Bemærk, at hvis b = 0, dvs. hvis z = a er et reelt tal, så er e z = e a. Definition 1.14 er altså i overensstemmelse med den sædvanlige eksponentialfunktion på de reelle tal. Eksempel Skriv følgende udtryk på rektangulær form: 1. e 2 2. e 1+i 3. e iπ 4. e ln(2)+iπ/4 (når vi skriver ln, mener vi logaritmen med grundtal e) 5. e 2πi Løsning. Vi bruger Definition 1.14 og reducerer indtil vi kommer til den ønskede rektangulære form. 1. Vi ved allerede, hvordan man beregner e 2, da 2 er et reelt tal. Der gælder, at e 2 er cirka lig 7,389. Hvis vi alligevel bruger Definition 1.14, finder vi, at e 2 = e 2+0i = e 2 (cos(0) + isin(0)) = e 2 (1 + i0) = e 2. Udtrykket e 2 er på rektangulær form, da vi kan skrive e 2 = e 2 + i0. 2. e 1+i = e 1 (cos(1) + isin(1)) = ecos(1) + esin(1)i 3. e iπ = e 0+iπ = e 0 (cos(π) + isin(π)) = 1( 1 + 0) = 1

22 16 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL 4. e ln(2)+iπ/4 = e ln(2) (cos(π/4) + isin(π/4)) = 2( 2/2 + i 2/2) = 2 + 2i 5. e 2πi = cos(2π) + isin(2π) = 1 Hvis man skal beregne real- og imaginærdelen af et udtryk e z, kan man også bruge følgende formler: Re(e z ) = e Re(z) cos(im(z)) og Im(e z ) = e Re(z) sin(im(z)). Den komplekse eksponentialfunktion har mange egenskaber til fælles med den sædvanlige reelle eksponentialfunktion. Vi nævner nogle eksempler i følgende sætning. Sætning Lad z, z 1 og z 2 være komplekse tal og n et heltal. Da gælder e z 0 1/e z = e z e z 1e z 2 = e z 1+z 2 e z 1/e z 2 = e z 1 z 2 (e z ) n = e nz Bevis. Vi viser kun at e z 1e z 2 = e z 1+z 2. Først skriver vi z 1 og z 2 på rektangulær form: z 1 = a 1 +b 1 i og z 2 = a 2 + b 2 i. Nu finder vi, at e z 1 e z 2 = e a 1 (cos(b 1 ) + isin(b 1 ))e a 2 (cos(b 2 ) + isin(b 2 )) = e a 1 e a 2 (cos(b 1 ) + isin(b 1 ))(cos(b 2 ) + isin(b 2 )) = e a 1+a 2 (cos(b 1 ) + isin(b 1 ))(cos(b 2 ) + isin(b 2 )) = e a 1+a 2 (cos(b 1 + b 2 ) + isin(b 1 + b 2 )) (vha. Lemma 1.12) = e a 1+a 2 +(b 1 +b 2 )i = e z 1+z 2. Lad nu r være et positivt reelt tal, og α et reelt tal. Så gælder re iα = r(cos(α)+isin(α)). Som vi har set i ligning (1.2) og derefter, har tallet re iα altså modulus r og argument α (se Figur 1.10). Vi kan også omskrive ligning (1.2) som z = z e iarg(z). Denne måde at skrive et komplekst tal på har et særligt navn: Definition Lad z være et komplekst tal forskelligt fra 0. Da gælder z = z e iarg(z). Højresiden af denne ligning kaldes den polære form af z. Hvis z 0 kan vi ud fra de polære koordinater (r,α) for z direkte skrive z på polær form, nemlig som z = re iα. Givet et udtryk på formen z = re iα, hvor r er et positivt reelt tal og α er et vilkårligt reelt tal, kan vi omvendt direkte aflæse de polære koordinater (r,α) for z.

23 1.4. DEN KOMPLEKSE EKSPONENTIALFUNKTION 17 Im z=re iα z =r arg(z)=α Re Figur 1.10: Polær form af et komplekst tal z. Eksempel Skriv følgende komplekse tal på polær form: i i 3. e 7+3i 4. e 7+3i ( 1 + i) Løsning. Et komplekst tal på rektangulær form omskrives til polær form ved at finde modulus og argument; i andre tilfælde kan man bruge potensregning i = = 2 og arg( 1 + i) = arctan(1/( 1)) + π = 3π/4. På polær form er tallet 1 + i altså givet ved 2e i3π/ i = = 29 og arg(2 + 5i) = arctan(5/2). Vi finder derfor, at 2 + 5i har den polære form 29e iarctan(5/2). 3. e 7+3i = e 7 e 3i. Højresiden af denne ligning er allerede den polære form af tallet, da det har formen re iα (hvor r > 0 og α R). Vi kan aflæse modulus af tallet e 7+3i til e 7, mens argumentet er Vi så i første del af dette eksempel, at 1 + i = 2e i3π/4. Så får vi: e 7+3i 1 + i = e7 e 3i = e7 2e i3π/4 2 e 3i e7 = ei3π/4 2 e (3 3π/4)i. Det sidste udtryk er den ønskede polære form. Vi kan nu umiddelbart se, at tallet e7+3i 1+i har modulus e 7 / 2 og argument 3 3π/4. I foregående eksempel så vi, at modulus af tallet e 7+3i er lig e 7, mens argumentet er 3. Det gælder generelt, at e z = e Re(z) og arg(e z ) = Im(z).

24 18 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL 1.5 Eulers formel Den komplekse eksponentialfunktion forbinder trigonometri og komplekse tal. Vi kigger nærmere på denne forbindelse i dette afsnit. Lad t være et reelt tal. Formlen e it = cos(t) + isin(t) (1.5) kaldes Eulers formel og er en direkte konsekvens af Definition Den medfører, at e it = cos( t) + isin( t) = cos(t) isin(t). (1.6) Ligningerne (1.5) og (1.6) kan ses som ligninger i de ubekendte cos(t) og sin(t). Løser vi for cos(t) og sin(t) får vi: cos(t) = eit + e it og sin(t) = eit e it. (1.7) 2 2i Ligning (1.7) kan bruges til at omskrive produkterne af cosinus- og sinus-funktioner til en sum af cosinus- og sinus-funktioner. Denne slags beregninger er almindelige i frekvensanalyse, hvor man forsøger at skrive vilkårlige funktioner som en sum af såkaldte rene harmoniske funktioner. De kan også bruges til at beregne integraler af trigonometriske udtryk, som vi ser i følgende eksempel. Eksempel Beregn sin(3t)cos(t)dt. Løsning. Vi benytter først Eulers formel til at omskrive udtrykket sin(3t)cos(t): sin(3t)cos(t) = ei3t e i3t 2i eit + e it 2 = (ei3t e i3t )(e it + e it ) 4i = ei4t + e i2t e i2t e i4t 4i = 1 2 ( e i4t e i4t 2i + ei2t e i2t ) 2i = sin(4t) 2 + sin(2t). 2 Dette resultat er illustreret på Figur Nu får vi ( sin(4t) sin(3t) cos(t)dt = + sin(2t) ) dt = cos(4t) cos(2t) + c,c R En anden anvendelse af Eulers formel findes i følgende sætning.

25 1.5. EULERS FORMEL sin(3t) cos(t) sin(4t)/2 sin(2t)/2 0.5 π π/2 0 π/2 π Figur 1.11: Der gælder, at sin(3t)cos(t) = sin(4t) 2 + sin(2t) 2. Sætning 1.20 (DeMoivre). Lad n N være et naturligt tal. Så gælder følgende formler: cos(nt) = Re((cos(t) + isin(t)) n ) og sin(nt) = Im((cos(t) + isin(t)) n ). Bevis. Nøglen til beviset er følgende ligning: cos(nt) + isin(nt) = e int = (e it ) n = (cos(t) + isin(t)) n. Sætningen følger ved at tage real- og imaginærdelen af begge sider af denne ligning. Fordoblingsreglerne cos(2t) = cos 2 (t) sin 2 (t) og sin(2t) = 2cos(t)sin(t) kan nu let udledes. Man kan også finde tredoblingsregler som i følgende eksempel. Eksempel Udtryk cos(3t) og sin(3t) ved cos(t) og sin(t). Løsning. Ifølge DeMoivres sætning har vi og Efter nogle beregninger finder vi, at cos(3t) = Re((cos(t) + isin(t)) 3 ) sin(3t) = Im((cos(t) + isin(t)) 3 ). (cos(t) + isin(t)) 3 = (cos(t) 3 3cos(t)sin(t) 2 ) + i(3cos(t) 2 sin(t) sin(t) 3 ).

26 20 KAPITEL 1. DE KOMPLEKSE TAL Der gælder åbenbart: og cos(3t) = cos(t) 3 3cos(t)sin(t) 2 sin(3t) = 3cos(t) 2 sin(t) sin(t) 3.

27 Kapitel 2 Polynomier 2.1 Introduktion I dette kapitel undersøger vi en særlig type udtryk kaldet polynomier. Polynomier optræder i mange sammenhænge, hvilket vi skal se flere eksempler på også i de efterfølgende kapitler. Vi starter med at definere, hvad et polynomium er. Definition 2.1. Et polynomium p(z) i en variabel z er et udtryk på formen p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, hvor n er et naturligt tal. Symbolerne a 0,a 1,a 2,...,a n betegner komplekse tal, og de kaldes koefficienterne i p(z). Det største j, for hvilket a j 0, kaldes graden af p(z) og benævnes deg(p(z)); graden af polynomiet p(z) = 0 er ikke defineret. Eksempel 2.2. Hvilke af følgende udtryk er polynomier i z? For de udtryk, der er polynomier, angiv graden. 1. z z z 1 3. i 4. sin(z) + z z z z z z (z + 1) 2 21

28 22 KAPITEL 2. POLYNOMIER Løsning. 1. z 2 +1 er et polynomium i z. Hvis vi vil skrive det på samme form som i Definition 2.1, kan vi vælge n = 2, a 0 = a 2 = 1 og a 1 = 0. Da a 2 0, er polynomiets grad z z 1 er ikke et polynomium i z på grund af leddet z 1. Alle eksponenter til z i et polynomium p(z) er større end eller lig nul. 3. Det komplekse tal i kan betragtes som et polynomium. Man vælger n = 0 og a 0 = i i Definition 2.1. Polynomiet i har derfor grad sin(z) + z 12 er ikke et polynomium pga. leddet sin(z). 5. 0z z z + 1 er et polynomium. Leddet af grad 11 kan slettes, da koefficienten til z 11 er 0. Den største potens af z med koefficient forskellig fra nul er derfor 10. Det betyder, at deg(0z z z + 1) = z z + 1 er ikke et polynomium pga. leddet z 2.5. Eksponenterne til z skal være naturlige tal. 7. (1 + z) 2 er et polynomium, selvom det ikke er skrevet på samme form som i Definition 2.1. Det kan dog omskrives til denne form, da (z + 1) 2 = z 2 + 2z + 1. Vi finder, at deg((z + 1) 2 ) = 2. Eksempel 2.3. Skriv følgende polynomier på samme form som i Definition 2.1. Løsning. 1. (3z + 5) 2 2. (3z + 2)(3z 2) 3. (z + 5)(z + 6) 4. (z 1)(z 2 + z + 1) 1. (3z + 5) 2 = (3z) z = 9z z (3z + 2)(3z 2) = (3z) = 9z (z + 5)(z + 6) = z(z + 6) + 5(z + 6) = z 2 + z6 + 5z + 30 = z z (z 1)(z 2 + z + 1) = z(z 2 + z + 1) (z 2 + z + 1) = z 3 + z 2 + z z 2 z 1 = z 3 1 Bemærk, at hvis et polynomium er produktet af to andre polynomier, f.eks. p(z) = p 1 (z)p 2 (z), så gælder deg p(z) = deg p 1 (z) + deg p 2 (z). Hvis p(z) er et polynomium, så kaldes ligningen p(z) = 0 en polynomiumsligning. Løsninger til en polynomiumsligning har et særligt navn:

29 2.2. ANDENGRADSPOLYNOMIER 23 Definition 2.4. Lad p(z) være et polynomium. Et komplekst tal ρ C kaldes en rod i p(z) hvis og kun hvis p(ρ) = 0. Ethvert polynomium af grad mindst 1 har mindst én kompleks rod (dvs. en rod i mængden af komplekse tal). Dette faktum er kendt som algebraens fundamentalsætning. Sætning 2.5 (Algebraens fundamentalsætning). Lad p(z) være et polynomium af grad mindst 1. Så har p(z) en rod ρ C. Vi beviser ikke denne sætning. Bemærk, at ikke alle polynomier har en reel rod. Polynomiet z har f.eks. ingen reel rod, men det har de komplekse rødder i og i. Givet et polynomium kan det være svært eller ligefrem umuligt at finde et eksakt udtryk for dets rødder, men der er tilfælde, hvor det kan lade sig gøre. Vi kigger på to sådanne i de følgende to afsnit. 2.2 Andengradspolynomier I dette afsnit forklarer vi, hvordan man finder rødder i et andengradspolynomium, dvs. et polynomium af grad to. Vi antager, at polynomiet har reelle koefficienter. Et sådant polynomium p(z) kan skrives på formen p(z) = az 2 + bz + c, hvor a,b,c R og a 0. Før vi beskriver, hvordan man finder rødderne, må vi indføre en udvidelse af den sædvanlige kvadratrodsfunktion, således at det bliver muligt at tage kvadratroden af negative tal. Den væsentlige egenskab ved den sædvanlige kvadratrodsfunktion er, at ( x) 2 = x. Denne egenskab ønskes bibeholdt af den udvidede kvadratrodsfunktion, hvilket opnås med følgende definition. Definition 2.6. Lad x være et reelt tal. Så definerer vi x = { x hvis x 0 i x hvis x < 0. Hvis x 0, så er x præcist det samme som vi er vant til, og det gælder, at ( x) 2 = x. Hvis x < 0, så gælder det, at ( x) 2 = (i x) 2 = i 2 ( x) 2 = 1 ( x) = x. Denne udvidelse af kvadratrodsfunktionen har altså den ønskede egenskab. Vi vender nu tilbage til beregningen af rødderne i polynomiet p(z) = az 2 + bz + c, a 0. For at finde polynomiets rødder, skal vi løse polynomiumsligningen az 2 + bz + c = 0. Nu gælder følgende: az 2 + bz + c = 0 4a 2 z 2 + 4abz + 4ac = 0 (2az) 2 + 2(2az)b + b 2 = b 2 4ac (2az + b) 2 = b 2 4ac

30 24 KAPITEL 2. POLYNOMIER Udtrykket b 2 4ac kaldes diskriminanten af polynomiet az 2 + bz + c. Vi benævner diskriminanten D. Nu hvor vi har defineret en udvidelse af kvadratrodsfunktionen så den også kan benyttes på negative tal, kan vi fortsætte og isolere z. Vi får az 2 + bz + c = 0 (2az + b) 2 = b 2 4ac = D (2az + b) = ± D z = b ± D 2a Vi kommer frem til den sædvanlige formel for løsningen til en andengradsligning, men kvadratrodstegnet er nu defineret for ethvert reelt tal. Vi har altså vist følgende sætning. Sætning 2.7. Andengradspolynomiet az 2 + bz + c (a 0), med reelle koefficienter a, b og c og diskriminant D = b 2 4ac, har rødderne: Mere præcist har polynomiet z = b ± D. 2a 1. to forskellige reelle rødder z = b ± D 2a 2. en reel rod z = b 2a hvis D = 0, 3. to ikke-reelle rødder z = b ± i D 2a hvis D > 0, hvis D < 0. På Figur 2.1 er graferne for nogle andengradspolynomier indtegnet. Reelle rødder i et andengradspolynomium markerer skæringspunkter mellem førsteaksen og grafen for polynomiet. I tilfældet D = b 2 4ac = 0 rører grafen akkurat førsteaksen i ét punkt. Vi siger i dette tilfælde, at polynomiet har en dobbeltrod. Hvis grafen ikke skærer førsteaksen, har polynomiet ingen reelle rødder, men det har komplekse rødder. Eksempel 2.8. Find alle (komplekse) rødder i polynomiet 2z 2 4z Løsning. Diskriminanten af polynomiet 2z 2 4z + 10 er D = ( 4) = 64.

31 2.3. BINOMIER 25 D<0 D=0 D>0 Figur 2.1: Et andengradspolynomium har to reelle rødder hvis D > 0, en dobbeltrod hvis D = 0, og to ikke-reelle rødder hvis D < 0. Ifølge Definition 2.6 finder vi nu, at D = 64 = i 64 = 8i. Polynomiet 2z 2 4z + 10 har derfor to ikke-reelle rødder, nemlig z = ( 4) ± 8i 2 2 = 1 ± 2i. 2.3 Binomier I dette afsnit betragter vi polynomier på formen z n a for et naturligt tal n N og et komplekst tal a C forskelligt fra 0. Tallet n er graden af polynomiet z n a. Da et polynomium på formen z n a kun har to led, nemlig z n og a, kaldes det ofte et binomium. Vi ønsker at finde et eksakt udtryk for alle rødder i binomiet z n a. Vi ønsker altså med andre ord at finde alle z, som opfylder ligningen z n = a. Det viser sig, at den polære form af a spiller en vigtig rolle. Sætning 2.9. Ligningen z n = a (a C \ {0}) har netop n forskellige løsninger: z = n arg(a) i( a e n +p 2π n ), p {0,...,n 1}. Her betegner udtrykket n a det unikke, positive reelle tal r, som tilfredsstiller ligningen r n = a. Aftegnet i den komplekse talplan danner løsningerne til ligningen z n = a vinkelspidserne i en regulær n-kant med centrum i 0.

32 26 KAPITEL 2. POLYNOMIER Bevis. Idéen i beviset er, at man forsøger at finde alle løsninger z til ligningen z n = a på polær form. Vi skriver derfor z = z e iu, og vi prøver at finde alle mulige værdier af z og u således, at z n = a e iarg(a). I første omgang har vi z n = ( z e iu ) n = z n e inu, og dette udtryk skal være lig a e iarg(a). Dette gælder hvis og kun hvis a = z n og forskellen mellem arg(a) og nu er et multiplum af 2π, dvs. hvis og kun hvis a = z n og nu = arg(a) + p2π for et heltal p, hvormed z = n a og u = arg(a) n + p 2π n. Alle løsninger til z n = a er derfor på formen z = n arg(a) a ei( n +p 2π n ). Vi finder i princippet en løsning for ethvert valg af p, men når p gennemløber mængden {0,...,n 1}, får vi alle de forskellige løsninger. Da alle n løsninger har samme modulus, og da der for hver løsning, hvis argument vi benævner α, findes en anden løsning med argument α + 2π/n, danner løsningerne vinkelspidserne i en regulær n-kant med centrum i 0, når de aftegnes i den komplekse talplan. Eksempel I dette eksempel vil vi finde alle rødderne i polynomiet z i8 3 og skrive dem på rektangulær form. Løsning. Vi bruger Sætning 2.9 med n = 4 og a = (8 i8 3). Først skriver vi det komplekse tal (8 i8 3) = 8 + i8 3 på polær form. Vi har 8 + i8 3 = ( 8) 2 + (8 3) 2 = 16 og arg( 8 + i8 3) = arctan(8 3/( 8)) + π = 2π/3. Vi har derfor 8 + i8 3 = 16e i2π/3, hvilket er den ønskede polære form. Ifølge Sætning 2.9 er alle løsninger til z 4 = 8 + i8 3 givet ved z = 4 2π 16e i( 3 4 +p 2π 4 ),hvor p frit kan vælges fra mængden {0,1,2,3}, så z = 2e i π 6 z = 2e i 2π 3 z = 2e i 7π 6 z = 2e i 5π 3. Vi mangler at skrive disse rødder på rektangulær form. Vha. formlen e it = cos(t)+isin(t) får vi: z = 3 + i z = 1 + i 3 z = 3 i z = 1 i 3. Ifølge Sætning 2.9 burde disse løsninger danne vinkelspidserne i en regulær firkant (dvs. et kvadrat) med centrum i 0. At dette er tilfældet kan ses på figuren herunder. De stiplede linjer er blot tegnet for at man bedre kan se, at der er tale om et kvadrat.

33 2.4. FAKTORISERING AF POLYNOMIER 27 3 Im Re Faktorisering af polynomier I de foregående afsnit har vi undersøgt rødderne i polynomier. Vi har set, at et polynomium (af grad mindst 1) altid har en kompleks rod, men ikke nødvendigvis en reel rod. I dette afsnit skal vi se, at et polynomium af grad n altid har n rødder, når vi tæller rødderne på en bestemt måde. Vi skal også se, at der er en sammenhæng mellem et polynomiums rødder og dets faktorer. Vi starter med følgende observation: Lemma Lad p(z) være et polynomium og antag, at der findes to polynomier p 1 (z) og p 2 (z) således at p(z) = p 1 (z)p 2 (z). Så er ρ C en rod i p(z) hvis og kun hvis ρ er rod i p 1 (z) eller i p 2 (z). Bevis. Tallet ρ er rod i p(z) hvis og kun hvis p(ρ) = 0. Da p(z) = p 1 (z)p 2 (z) er dette ækvivalent med p 1 (ρ)p 2 (ρ) = 0, og derfor gælder det at p 1 (ρ) = 0 eller p 2 (ρ) = 0. Dette er ensbetydende med, at ρ er rod i p 1 (z) eller i p 2 (z). Hvis man ønsker at finde alle rødder i et polynomium, så er det ifølge Lemma 2.11 en god idé at forsøge at skrive polynomiet som et produkt af polynomier af lavere grad. Hvis p(z) = p 1 (z)p 2 (z) som i Lemma 2.11, så siger man, at p 1 (z) og p 2 (z) er faktorer i polynomiet p(z). Det er vigtigt at kunne afgøre, hvorvidt et givet polynomium er faktor i et andet polynomium. Vi forklarer, hvordan man gør dette i nogle eksempler.

34 28 KAPITEL 2. POLYNOMIER Eksempel Løsning. 1. Afgør om polynomiet z + 3 er en faktor i polynomiet 2z 2 + 3z Afgør om polynomiet z + 4 er en faktor i polynomiet 3z 3 + 2z Afgør om polynomiet 2z 2 + z + 3 er en faktor i polynomiet 6z 4 + 3z z 2 + 5z Vi prøver at finde et polynomium q(z) således, at (z + 3)q(z) = 2z 2 + 3z 9. Hvis q(z) eksisterer, så skal det have grad 1, så det skal have formen q(z) = b 1 z + b 0 for nogle tal b 1 og b 0. Vi prøver først at finde tallet b 1. Uden at reducere produktet (z + 3)(b 1 z + b 0 ) kan vi allerede se, at den højeste potens af z i produktet er 2, og koefficienten til z 2 er b 1. Det betyder, at (z + 3)(b 1 z + b 0 ) = b 1 z 2 + led af grad mindre end 2. Da vi ønsker at finde b 1 således, at (z + 3)(b 1 z + b 0 ) = 2z 2 + 3z 9, kan vi se, at b 1 skal være lig 2. Når vi ved, at b 1 = 2, kan vi prøve at bestemme b 0. Vi kræver, at (z + 3)(2z + b 0 ) = 2z 2 + 3z 9, og vi kan skrive (z + 3)(2z + b 0 ) = (z + 3)2z + (z + 3)b 0. Vi kan derfor konkludere, at (z + 3)b 0 = 2z 2 + 3z 9 (z + 3)2z = 3z 9. (2.1) Det væsentlige her er, at vi allerede har valgt b 1 sådan, at leddet z 2 forsvinder i ligning (2.1). Ved at se på koefficienten til z kan vi konkludere, at b 0 = 3. En kontrol bekræfter, at 2z 2 + 3z 9 = (z + 3)(2z 3). Man opskriver normalt ovenstående beregninger således: z + 3 2z 2 + 3z 9 2z 2z 2 + 6z 3z 9 Første linje indeholder de givne polynomier z + 3 og 2z 2 + 3z 9, samt de led i q(z), vi har beregnet indtil nu. Anden linje indeholder det multiplum af z + 3 som vi har trukket fra 2z 2 + 3z 9 i ligning (2.1). Efter nogle reduktioner får vi tredje linje ud fra udtrykket 2z 2 + 3z 9 2z(z + 3). Det fik vi også på højre side af ligning (2.1). Det næste skridt var at finde b 0. Vi får igen, at b 0 = 3, og nu får vi følgende: z + 3 2z 2 + 3z 9 2z 3 2z 2 + 6z 3z 9 3z 9 0 Dette betyder blot, at 2z 2 + 3z 9 = (z + 3)(2z 3) + 0. Dette sidste nul kommer fra den sidste linje i skemaet ovenfor. Konklusionen er altså, at z + 3 er en faktor i polynomiet 2z 2 + 3z 9. Vi kan endda opskrive faktoriseringen, da vi viste, at 2z 2 + 3z 9 = (z + 3)(2z 3).

35 2.4. FAKTORISERING AF POLYNOMIER Denne gang undersøger vi om polynomiet z + 4 er en faktor i polynomiet 3z 3 + 2z + 1. Vi leder efter et polynomium q(z) således at (z+4)q(z) = 3z 3 +2z+1. Vi ser, at q(z) må have grad 2, dvs. q(z) = b 2 z 2 + b 1 z + b 0, og vi ønsker at bestemme dets tre koefficienter. Ved at kigge på den største potens af z ser vi, at b 2 = 3. Denne gang bruger vi kun den skematiske procedure vi beskrev i den første del af eksemplet. Vi får først z + 4 3z 3 + 2z + 1 3z 2 3z z 2 12z 2 + 2z + 1 Nu ser vi, at z-leddet i q(z) skal være 12z, og vi finder videre: z + 4 3z 3 + 2z + 1 3z 2 12z 3z z 2 12z 2 + 2z z 2 48z 50z + 1 Til sidst ser vi, at konstantleddet b 0 i q(z) skal være 50, og vi får: z + 4 3z 3 + 2z + 1 3z 2 12z z z 2 12z 2 + 2z z 2 48z 50z z Denne gang får vi ikke nul i sidste linje. Det ovenstående viser, at 3z 3 + 2z + 1 = (z + 4)(3z 2 12z + 50) 199. Det betyder, at z + 4 ikke kan være en faktor i 3z 3 + 2z + 1, da z + 4 så også skulle være faktor i 3z 3 + 2z + 1 (z + 4)(3z 2 12z + 50) = 199. Dette er ikke muligt, da graden af z + 4 er større end graden af Denne gang opskriver vi blot skemaet: 2z 2 + z + 3 6z 4 + 3z z 2 + 5z z z 4 + 3z 3 + 9z 2 10z 2 + 5z z 2 + 5z + 15 Konklusionen er, at 6z 4 + 3z z 2 + 5z + 15 = (2z 2 + z + 3)(3z 2 + 5) + 0, og derfor er 2z 2 + z + 3 en faktor i polynomiet 6z 4 + 3z z 2 + 5z

36 30 KAPITEL 2. POLYNOMIER Algoritmen beskrevet i Eksempel 2.12 kaldes divisionsalgoritmen. I denne algoritme ender man helt generelt med at have udfyldt et skema, der ser ud som følger: Vi har altså følgende: d(z) p(z) q(z) r(z) Algoritme Givet to polynomier p(z) og d(z) begge forskellige fra nul, finder divisionsalgoritmen to polynomier q(z) og r(z) således at: 1. p(z) = r(z) + d(z)q(z), og 2. polynomiet r(z) er lig nul eller deg(r(z)) < deg(d(z)). Polynomierne q(z) og r(z) kaldes normalt kvotienten og resten af divisionen af p(z) med d(z). Hvis restpolynomiet r(z) er nul, betyder det, at d(z) er en faktor i p(z). Med vores kendskab til divisionsalgoritmen kan vi nu vende tilbage til vores undersøgelse af rødderne i et polynomium. Lemma Lad p(z) være et polynomium af grad n 1, og lad ρ C være et komplekst tal. Tallet ρ er rod i p(z) hvis og kun hvis z ρ er en faktor i p(z). Bevis. Hvis z ρ er en faktor i p(z), så eksisterer der et polynomium q(z) således, at p(z) = (z ρ)q(z). Det gælder derfor, at p(ρ) = 0 q(ρ) = 0. Dette viser, at ρ er rod i p(z) hvis z ρ er en faktor i p(z). Antag nu, at ρ er rod i p(z). Ved hjælp af divisionsalgoritmen kan vi finde polynomierne q(z) og r(z) således, at p(z) = r(z) + (z ρ)q(z), (2.2) hvor deg(r(z)) < deg(z ρ) = 1. Da deg(r(z)) < 1, ser vi, at r(z) faktisk er et komplekst tal r. Ved at sætte z = ρ i ligning (2.2) får vi, at p(ρ) = r + 0 = r. Vi har derfor vist, at p(z) = p(ρ) + (z ρ)q(z). Hvis ρ er rod i p(z) (dvs. p(ρ) = 0), har vi altså, at z ρ er en faktor i p(z). Ved hjælp af dette lemma kan vi definere multipliciteten af en rod. Definition Lad ρ være en rod i polynomiet p(z). Multipliciteten af roden ρ er defineret som det største naturlige tal m N således, at (z ρ) m er en faktor i p(z). Man siger, at ρ er rod i p(z) med multiplicitet m. Bemærk at Lemma 2.14 medfører, at enhver rod i et polynomium har multiplicitet mindst 1.

37 2.4. FAKTORISERING AF POLYNOMIER 31 Eksempel Afgør om 3 er rod i følgende polynomier. Angiv i bekræftende fald dens multiplicitet. Løsning. p 1 (z) = 2z 2 + 3z 9. p 2 (z) = z 2 + 3z + 1. p 3 (z) = z 3 + 3z 2 9z 27 p 4 (z) = (2z 2 + 3z 9)(z 3 + 3z 2 9z 27) = 2z 5 + 9z 4 18z 3 108z Vi har p 1 ( 3) = = 0. Derfor er 3 rod i polynomiet 2z 2 + 3z 9. Vi så i Eksempel 2.12, at 2z 2 + 3z 9 = (z + 3)(2z 3). Det betyder, at multipliciteten af roden 3 er 1. Vi ser også, at faktoren 2z 3 afslører en anden rod i p 1 (z), nemlig 3/2. Denne rod har også multiplicitet Vi har p 2 ( 3) = 1. Derfor er 3 ikke rod i p 2 (z). 3. Denne gang har vi p 3 ( 3) = 0, så 3 er rod i p 3 (z). Ved hjælp af divisionsalgoritmen får vi: z + 3 z 3 + 3z 2 9z 27 z 2 9 z 3 + 3z 2 9z 27 9z 27 0 Det gælder derfor, at z 3 +3z 2 9z 27 = (z+3)(z 2 9). Tallet 3 er også rod i polynomiet z 2 9, så multipliciteten af roden 3 er mindst 2. Det gælder faktisk, at z 2 9 = (z+3)(z 3), så z 3 +3z 2 9z 27 = (z+3)(z 2 9) = (z+3) 2 (z 3). Det betyder, at roden 3 i p 3 (z) har multiplicitet 2. Vi viste også, at 3 er rod i p 3 (z), og at denne rod har multiplicitet Vi har p 4 (z) = p 1 (z)p 3 (z). Af første og tredje del af dette eksempel får vi p 4 (z) = (z + 3) 3 (2z 3)(z 3). Det betyder, at roden 3 har multiplicitet 3. Vi ser også, at tallene 3/2 og 3 er rødder i p 4 (z), begge med multiplicitet 1. Grafen for p 4 (z), med z R, er vist på Figur 2.2. Ovenstående eksempel viser, at der er en entydig sammenhæng mellem faktorer af grad 1 i et polynomium, og rødderne i polynomiet. Algebraens fundamentalsætning (Sætning 2.5) siger, at ethvert polynomium af grad mindst 1 har en rod. Dette har følgende konsekvens: Sætning Lad p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 være et polynomium af grad n > 0. Da findes komplekse tal ρ 1,...,ρ n således, at p(z) = a n (z ρ 1 ) (z ρ n ).

38 32 KAPITEL 2. POLYNOMIER Figur 2.2: Grafen for polynomiet 2z 5 + 9z 4 18z 3 108z , betragtet som funktion af en reel variabel. Bevis. Ifølge algebraens fundamentalsætning findes der en rod ρ 1 i polynomiet p(z). Ved hjælp af Lemma 2.14 kan vi skrive p(z) = (z ρ 1 )q 1 (z) for et polynomium q 1 (z). Bemærk at graden af q 1 (z) er én mindre end graden af p(z). Hvis q 1 (z) er en konstant, er vi færdige. Ellers kan vi bruge algebraens fundamentalsætning på polynomiet q 1 (z), og finde roden ρ 2 i q 1 (z). Igen kan vi vha. Lemma 2.14 skrive q 1 (z) = (z ρ 2 )q 2 (z). Dette medfører, at p(z) = (z ρ 1 )(z ρ 2 )q 2 (z). Ved at fortsætte på denne måde kan vi skrive p(z) som et produkt af polynomier af grad 1, samt konstanten a n. Eksempel Skriv polynomiet p 4 (z) = 2z 5 + 9z 4 18z 3 108z fra Eksempel 2.16 på samme form som i Sætning Løsning. Vi har allerede set, at p 4 (z) = (z + 3) 3 (2z 3)(z 3). Ved at trække to-tallet ud af faktoren 2z 3 får vi: p 4 (z) = 2(z + 3) 3 (z 3/2)(z 3) = 2(z + 3)(z + 3)(z + 3)(z 3/2)(z 3). Med notationen i Sætning 2.17 finder vi, at ρ 1 = 3, ρ 2 = 3, ρ 3 = 3, ρ 4 = 3/2 og ρ 5 = 3. Dette illustrerer igen, at multipliciteterne af rødderne 3, 3/2 og 3 er henholdsvis 3, 1 og 1. Bemærk at summen af alle multipliciteterne er 5, hvilket er graden af p 4 (z). Det gælder faktisk altid, at summen af alle multipliciteterne af rødderne i et polynomium er lig med polynomiets grad. Med andre ord kan man omformulere Sætning 2.17 til følgende: et polynomium af grad n har netop n rødder, når rødderne tælles med deres multiplicitet.

39 2.5. POLYNOMIER MED REELLE KOEFFICIENTER Polynomier med reelle koefficienter De fleste af de polynomier, man støder på i praktiske anvendelser, har reelle koefficienter. I dette afsnit samler vi nogle fakta om disse polynomier. Det viser sig, at følgende definition er nyttig: Definition Lad z = a + bi være et komplekst tal skrevet på rektangulær form. Da definerer vi z = a bi. Tallet z kaldes den kompleks konjugerede af z. Denne definition kan også skrives på følgende måde: z = Re(z) Im(z)i. Der gælder følgende bekvemme regneregler for den kompleks konjugerede. Lemma Lad z,z 1,z 2 C være komplekse tal og n Z et heltal. Det gælder, at 1. z = z, 2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, 3. z 1 z 2 = z 1 z 2, 4. z n = (z) n, 5. 1/z = 1/z (z 0). Bevis. Vi beviser punkt 2 og 3 af lemmaet. For en sum af to komplekse tal z 1 = a + bi og z 2 = c + di på rektangulær form gælder det, at z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i = (a + c) (b + d)i = (a bi) + (c di) = z 1 + z 2. For et produkt af to komplekse tal z 1 = a + bi og z 2 = c + di på rektangulær form har vi z 1 z 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. Derfor gælder z 1 z 2 = (ac bd) (ad + bc)i = (a bi)(c di) = z 1 z 2. Eksempel Udtryk følgende komplekse tal på rektangulær form i 2. π 3. 97i Løsning.