DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

Transkript

1 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies rødder på rekangulær form sam på en gur vise røddernes placering i den komplekse plan. Rødderne er løsningerne il de o ligninger z + = z z + = Den sidse er blo en andengradsligning og har rødderne z = p = 8i = i Den anden er en binom ligning. Vi har Så løsningerne er give ved z = = e i z = p e i( +p ) = e i( +p ) hvor p = ; ; ; ; ;. Hermed nder vi z = e i = p + i z = e i( + ) = e i = i z = e i( + ) = e i = p + i z = z = p i z = z = i z = z = p i

2 Polynomies rødder er derfor i; p i; p i; i. Figur: Opgave Der er give di erenialligningen x () + x () = ( + ). Vi skal førs besemne den fuldsændige løsning for >. Ligningen er lineær og allerede normere. Vi bruger Panserformlen og nder Z P () = p () dy = d = ln således a e P () = e ln = og e P () = e ln = = e ln. Hermed har vi x () = Z ( + ) d + C = Z + d + C = ln ( + ) + C hvor C er en arbirær konsan.. Vi skal besemme den løsning, der opfylder beingelsen x () = ln. Ved indsæelse i den fuldsændige løsning fås ln = x () = ln () + C Heraf ndes C =, således a løsningen er x () = ln ( + ). Vi skal besemme grænseværdien lim x () #

3 for den fundne løsning. Vi ser, a ln ( + )! " " for #. Vi bruger l Hospials regel og nder +! for #. Derfor gælder, a lim # x () =. Opgave Funkionen f er give ved forskrifen f (x; y) = x (y + ) + 8 (x + y) y + 8x + y for alle (x; y) R. I forbindelse med eksremumsbesemmelse for funkionen f er der i Maple indase følgende kommandoer: f:=(x,y)->-x^*(y+)+8*(x+y)*y+8*x+y: fx:=diff(f(x,y),x): fy:=diff(f(x,y),y): solve({fx=,fy=},{x,y}); og Maple viser resulae fx = ; y = g ; x = ; y = ; fx = ; y = g Herefer giver Maplekommandoerne wih(linearalgebra): H:=unapply(VecorCalculus[Hessian](f(x,y),[x,y]),x,y): Eigenvalues(H(,-)); Eigenvalues(H(,-/)); følgende resulaer p p 8 Desuden giver den simple Maplekommando H(,-); resulae Vi skal angive de saionære punker for f og besemme deres ype ud fra de givne oplysninger.

4 Da Mapleoplysningerne viser, a f x (x; y) = ^f y (x; y) =, (x; y) = (; )_(x; y) = ; _(x; y) = (; ) er de saionære punker for f alså (; ) ; ; og (; ). Ifølge Maple er egenværdierne for Hessemaricen i punke (; ) allene 8 p. Den ene egenværdi er derfor posiiv, den anden negaiv, så punke (; ) er e (egenlig) saddelpunk. Ifølge Maple er egenværdierne for Hessemaricen i punke ; allene og 8. Begge egenværdier er alså posiive, så punke ; er e egenlig lokal minimumspunk. Ifølge Maple er Hessemaricen i punke (; ) give ved H = Vi kan nu enen besemme egenværdierne for denne marix, eller vi kan nøjes med a nde dens deerminan og spor. Vi prøver begge meoder. Deerminanen er de H = <, så produke af egenværdierne er negaiv. Alså er den ene posiiv og den anden negaiv: Punke (; ) er e (egenlig) saddelpunk. Egenværdierne er løsning il = dvs. =. Løsningerne er 8 p. Den ene egenværdi er derfor posiiv, den anden negaiv, så punke (; ) er e (egenlig) saddelpunk. Opgave Eksekvering af Maplekommandoerne ligning:=diff(x(),,)+*diff(x(),)+*x()=(+*)*exp(-): dsolve({ligning,x()=,d(x)()=-/}); giver som resula x () = ( + ) e. Vi skal udnye dee resula il a nde den fuldsændige løsning il di erenialligningen x + x + x = ( + ) e Vi kender alså en parikulær løsning il den inhomogene ligning, nemlig ( + ) e og mangler derfor kun den fuldsændige løsning il den homogene ligning x + x + x =

5 Karakerligningen er Løsningerne er R = ligning er derfor R + R + = i. Den fuldsændige løsning il den homogene x () = c e cos () + c e sin () hvor c ; c R. ligning Alså er den fuldsændige løsning il den inhomogene hvor c ; c R. x () = ( + ) e + c e cos () + c e sin (). Lad x = f () være den løsning il di erenialligningen, der opfylder beingelserne f () = og f () =. Vi skal besemme de. Taylorpolynomium P () med udviklingspunk = for løsningen f (). Vi vælger a gøre de direke ud fra di erenialligningen. Polynomie er give ved P () = f () + f () + f () +! f () Her er f () = og f () = jo give, mens f () kan ndes direke ved indsæelse af x = f () og = i di erenialligningen: f () + f () + f () = Heraf ndes f () =. Ved di ereniaion af di erenialligningen fås x + x + x = e ( + ) e = ( ) e Ved indsæelse af x = f () og = heri fås: f () + f () + f () = Heraf fås f () =. Alså har vi P () = + + Opgave. Vi skal løse ligningssyseme x + x = x + x + x + x = x + x = x + x + x + x =

6 men vi skal også berage syseme i spørgsmål. De førse sysem fås ud fra de ande ved a sæe a =. De indledende regninger bliver derfor udfør for generel a. Toalmaricen er T = a a a + Vi laver Gausseliminaion. Rækkeoperaionerne R := R R ; R := R + R ; R := R + R giver maricen a a a + Herefer giver rækkeoperaionen R := R Endelig giver operaionen R := R T G = a a a a + R maricen R maricen a a a a For a løse spørgsmål, sæer vi nu a = i T G. Herved fås maricen Rækkeoperaionen R := R giver Operaionerne R := R R ; R := R R giver

7 De ilsvarende ligningssysem er x = x + x = x = Vi sæer x = og nder løsningerne il ligningssyseme il x = = + hvor R.. Vi skal for enhver værdi af a angive, om ligningssyseme x + x = x + x + x + ax = x + x = x + x + x + a x = a + har én løsning, uendelig mange løsninger eller ingen løsning. Toalmaricen blev ovenfor reducere il T G = a a a a Heraf ses, a hvis a a =, dvs. hvis a = og også =, så har syseme præcis én løsning. Hvis a =, så har syseme ingen løsning, da sidse række svarer il ligningen =. Hvis a =, så har syseme uendelig mange løsninger, og disse fand vi i øvrig under punk. Opgave Der er give planinegrale Z Z S xe y da hvor S er de rekanede område i xy-planen, der begrænses af linierne y = x, x = og x-aksen. Vi skal omskrive planinegrale il e dobbelinegral på o måder og udregne de af de o dobbelinegraler, der forekommer lees a udregne.

8 Vi nder førs ZZ S xe y da = Z x xe y dy dx og med omvend inegraionsorden ZZ S xe y da = y xe y dx dy Vi prøver a udregne begge dobbelinegraler. De førse: Z x xe y dy dx = [xe y ] x dx = (xe x De ande y xe y dx dy = = x) dx = xe x e x x = e e + = x e y y dy = e y y e y dy e y y e y dy = y e y + ye y e y = 8