Fysik 7. Indhold. Statistisk Fysik Januar 2008 John Niclasen

Transkript

1 Fys 7 Idhold Statsts Fys Jauar 8 Joh Nclase. Kvatemea og varmefylder. Symoler. Varmefylder.3 Kvatemea. Termodyam. Eerg og etro. Fre eerger.3 Etaler.4 Maxwell relatoer 3. Fermoer 3. Symoler 3. Ie-veselvrede artler 3.3 Ferm-statst 4. Bosoer 4. Symoler 4. Bose-statst 5. Flutuatoer og e-lgevægt 5. Lagev's lgg 5. Drfthastghed og moltet 5.3 Dffuso 5.4 Flutuatoer og dssato - Este relatoe. Kvatemea og varmefylder. Symoler Symol A C c E F G H L M N Betydg Målar fyss størrelse Varmefylde Varmefylde r. artel (atom) Egeeerg af 'te tlstad Målar fyss størrelse Eerg Hamltooerator (Eerg) Bølgetal Lægde Magetserg Atal artler Kvatetal (heltal ; ; : : :) S Sadsylghed for 'te tlstad Try Imuls Etro

2 T Temeratur ( = =Ì ) U Mddelværd af eerg V Volume V (s) Potetale utet s Tlstadssum Ì 'Temeratur' ( = =T ) Ï Eerg Õ Lagrage-multlator ï Tlstad Ú Tæthedsmatrce! Sadsylghed! Velfreves (Velhastghed). Varmefylder.. Klasss for faste stoffer Uder ormale etgelser (stuetemeratur), hvor hvert atom etragtes som e 3D harmos oscllator..3 Kvatemea Hvs! er sadsylghede for at et system er tlstade ï gælder: C = 3N c = C N! = ha =! hï j A^ j ï.3. Tæthedsmatrce Ú =! j ï hï j ha = Tr[AÚ] ^ Tr[Ú] =.3. Etro Ú er e hermts matrx, som a dagoalseres, og des egetlstade vl være ortoormale. I dee ass: Ú = j j j h j j = j j j S = À j l j j

3 Uafhægg af ass: S = ÀTr[Ú l Ú].3.3 MaxEt Hvs ma eder mddelværder af fysse størrelser: har flg. tæthedsmatrce de største etro: Yderlgere sammehæge:.3.4 Kvatestatsts fys, Kaos esemle Mddeleerge er edt. Her Hamltooeratore H. Ì er Lagrage-multlator. Sadsylghede for at være 'te tlstad med egeeerge E :.3.5 Fre artler hf = Tr[Ú f ^ ] Ú = e P À Õ f ^ P = F À = Tr[e Õ f l = À S = = Õ Õ Ú = ÀÌH e = e = ÀÌE e ÀÌE ^ F Egetlstadee for dee Hamltooerator er de lae ølger: H = m ï (r) = Ár=Öh e V Eerge af e ølge:, hvor ølgetallee,, er estemt af radetgelser. Imulse er altså: Ï Öh = m = Öh Kvatsergsetgelse: Ù

4 x = Ù x ; x = ; ; : : : L x Betragter ma artel: For N artler: = e ÀÌÏ x; y;z = V Ùm Ó 3= Ìh N = N = V N Ùm Ó 3N= Ìh Afstade mellem to eergveauer: Forholder mellem ÎÏ og T for eerger, der er af samme størrelsesorde som T : Jo større masse, temeratur eller lægde, jo mere lasss er systemet. Oveståede formel a ruges tl at vurdere, hvor meget lasss/vatemeas et system er. Græse går, år tæller er lg æver, hvor røe så lver..3.6 Harmos oscllator Hamltooeratore for e harmos oscllator: Eergsetrum: ÎÏ ' H Öh = m ÎÏ Öh ' T mt L = m! x m + r Ï Öh Ø m L Ï = Öh!( + =) ; = ; ; : : : = = = e ÀÌÏ eàì h Ö!= À eàì h Ö! Mddelværde af l U = À = h À + Ó e Ì Ö! Mddelværde af atallet af eergvater ved e estemt temeratur: Etro: h = e Ì Ö! h À S = l + ÌU S = x ( ) e x À À l À eàx ; x = Ì Ö h!

5 C = = x e x (e x À ) Eergvatet (forselle mellem veauer): Høj temeratur Ø x Ü. I dee græse:.3.7 Roterede moleyle Hamltooeratore for et roterede moleyle (f.es. N eller CO ): Hvs evægelse deles tygdeutets evægelse og ter relatv evægelse: Hamltooeratore lver så: Der er mmum for s = s, og V sal ræeudvles tl. orde omrg dette mmum. De dre etse egerg, H, sfærse oordater: For rotatoe er Hamltooeratore: h! Ï = Öh! = = h Ù U = = T Ì Ó T S = l Ö h! C = Ved lav temeratur, hvor vateeffeter er domerede: Ó U = Öh! + e ÀÌ hö! ÀÌ hö! S = Ì Ö h! e ÀÌ hö! C = ( Ì Ö h!) e H = + + V (r ) m m À r s = r À r P = + m À m = m + m M = m + m m = m m m + m H = P (s) M + m + V = H T + H H Ù s m! (s ) (s ) m + À s + V + L ms L H r = ; I = m s I I er ertmometet. Imulsmometet er vatseret og har flg. egetlstade og egeværder:

6 Eergegeværdere for H : Dsse er hver l + L j l; m = l (l + )Ö h j l; m ; l = ; ; ; : : : L z j l; m = mh Ö j l; m ; m = Àl; À l + ; : : : ; l r Ï l = l (l + ) Öh I gage udartet. Tlstadssumme: Ô = ÌÖh Õ (l + ) ex Àl(l + ) I l= Summe a e umddelart udføres esat, me højtemeraturgræse, summe erstattes med et tegral: Ô Ì Öh Õ Ù (l + ) ex Àl(l + ) dl I I = Ì Öh Ì Öh Ü a I Mddeleerg og varmefylde: Ì Öh Tlstadssum, mddeleerg og varmefylde lve for µ :. Termodyam. Eerg og etro.. Etro geerelt U Ù T C Ù I Ô Ì Öh Õ Ù + 3 ex À I Ô 3Öh U Ù Ì Öh Õ ex À I I Ô Ì Öh Ó Ì Öh Õ C Ù 3 ex À I I S = l + Ì (U + Õ F ).. Sammelgg af to ærtlggede l À = U À l = Forselle etro mellem to lgevægte med forsellge værder af størrelsere U og = = Ì Õ F

7 ds du df = Ì du + Ì Õ df du = T ds À Õ df Leddet T ds er varme, der er tlført systemet. De øvrge led er forsellge former for arejde, systemet udfører å omgvelsere. Varalee F deles to lasser: Õ F = Õ a F a + Õ F a. Fre eerger For to tætlggede lgevægtsstuatoer:.3 Etaler G = ÀT l À Õ a F a a G = U À T S + F Õ dg = ÀS dt À Õ a df a + dõ a F H = U + a Õ a F a For to tætlggede lgevægtsstuatoer: dh = T ds + F a dõ a À Õ df a For ostat F og Õ lver varmeaactete: a C = Er der yttet om å a Õ F a.4 Maxwell relatoer.4. Esemel: ølesae = SÕ = Ó V N=CV T = T V V F Õ a Se s !.4. Adaats magets ølg

8 du = T ds + Ö HV dm Fa = MV ÀÖ H = Õ a Relato: a a Õ a Ó À = V H Ó = S H c H = V C H Cure-lov:, hvor T c er de rtse temeratur, uder hvle stoffet er ermaet magets. For T > T c : Fæomeet aldes magets ølg. 3. Fermoer 3. Symoler M / T À T c S Symol C E g H N R U V V W Ì Ö Ú Betydg Varmefylde Eerg Udartg Hamltooerator Atal artler Radus Eerg Potetale Volume Arejde Tlstadssum Temeratur Kems otetale Ladgsfordelg

9 3. Ie-veselvrede artler N H = H (r ; ) = For eletroer: H (r) m + V V (r) = V (r) + e Ú(r ) d r 4ÙÏ j r À r j = 3 Se s. 5-5 Samlede atal artler e tlstad: N = Tlstadees eerg: E = Ï 3.3 Ferm-statst Samlede atal artler e gve mageartel-tlstad: N = ; f; g, hvor er atallet af artler e estemt é-arteltlstad,. Eerge samme mageartel-tlstad: E = Ï 3.3. Tlstadssumme = ex [ À Ì(E À ÖN)] = Y ( + ex [ À Ì(Ï À Ö )]) 3.3. Eerg l U À Ö hn = À = (Ï À Ö ex [ Ì(Ï À Ö )] + U À Ö hn = he À Ö N = (Ï À Ö)h ) h = (Ï) F = ex [ Ì(Ï À Ö )] + ex [ Ì(Ï À Ö )] +

10 Agver atallet af fermoer e é-arteltlstad med eerg Ï, et system med ems otetale Ö Atomer, moleyler, halvleder, solatorer HOMO LUMO Hghest occued molecular ortal Lowest uoccued molecular ortal Det emse otetale for T Ü Ï L À Ï H : s Ï L + Ï H Ö(T) = + T l g H g L Varmefylde: Ô Õ Á CÖ = ( g L Ï L À g H Ï H ) T ex À Á ; T Ü Á T Metaller, tuge erer E-artel-setrum: Öh Ï = Ù ; = ( x ; y ; z ) m L s m e = Öh Atal tlstade uder e gve eerg (f.es. Ferm-eerge): R(Ï) = V 3 6Ù = V 6Ù m Ó 3= Ï 3= Öh Tlstadstæthede: Parteltæthede: Ú(Ï) = 3 V 6Ù = V N = 6Ù m Ó3= Ï Öh m Ó 3= 3= Ï Öh F Degeereret Ferm gas hn = Ú(Ï) (Ï)dÏ F I tlfældet med fre artler, hvor tlstadstæthede er fudet: Varmefylde lver: Ù N = R (Ö) + Ú (Ö)T 6 Ù Ö = Ï F À Ú (Ï ) T 6 Ú(Ï ) Ö F = Ï F À Ù T Ï F F

11 Ù C = Ù Ú(Ö)T = N T 3 Ï F Fermtry: l = T = l 5 T Ï F Hvde dværge og eutrostjerer W (R) R = À (r)4ùr dr M EG = ÀËG ; Ë Ù R M (R) = Ë G 4Ù R 4 V N 4Ù = R 3 3 = M 4m = V N = 3 6Ùm M R 3 3 F = 6Ù Öh 3 Ferm-mulse: Ifælge relatvtetsteore: F = 9Ù M 8 m Ó =3 Öh R q Ï = c + m e c4 q Ï F = c c :7 ev F + m 4 e ' Â 6 Chadrasehar-masse: M c = Ó 3= :5 M Ì = :8 :9Ë M :4M c = Ì Ë 3= M Ì 4. Bosoer 4. Symoler Symol E l m N T V Betydg Eerg Lægde Masse Atal artler Temeratur Volume

12 Ì Ï Ö Ú Tlstadssum Temeratur ^ - Eerg Kems otetale Tlstadstæthed 4. Bose-statst 4.. Tlstadssum N = E = Y = Ï (Ï ) ] = ex [ À Ì À Ö For e eelt harmos oscllator: For Bose-gasse: Det geemstlge atal osoer tlstade : ho = ex [ À ÌÖ h!=] ex [ À ÌÖ h!] = h = Ì Det emse otetale a ereges ved at forlage: hn = B (Ï ) = Ú(Ï) (Ï)dÏ Ö h! = Ï À Ö À ex [ À Ì(Ï À l ex [ Ì(Ï À Ö)] À B Tlstadstæthed: Ú(Ï) = 3 V 6Ù m Ó3= Ï Öh Afstad mellem artler: Ó =3 V l = hn Tys vate eerg for e artel med masse m : Karatersts temeratur for Bose-gasse: Ï l = Öh ml 4=3 T B = Ï l (Ù)

13 Formle for geemstlgt atal artler gver: Ó 3= T = g = (ex [ À ÌÖ]) T B 4.. Kems otetale (Udartg?): Ö = ÀT " Ó ï!# 3 T l À l T B Ù x g = () = dx; x = ÌÏ e x À Måse: x = ÌÖ 4..3 Bose-odesato Krts temeratur: Det marosose atal artler e eelt vatetlstad aldes et Boseodesat Varmefylde Tryet: C = h N À=3 T c = g = () T B Ó 3= T = x + Ö = T c T x (T) = À T c = T 3 " 5 g g 3= = Ó 3= T g T c (z) 9 g À (z) g Ó 3= Ó 3= 3= (z) g () = = À= 5 T g 3=() C = hn ; T c g =() (z) (z) # ; T > T c T < T c 4..5 Foto-gasse, hvor er muls og er ølgetallet. Ï = c = Öh c Atallet af tlstade de e ugle mulsrummet med radus Ï=(Öh c) : ( tlstade relateret tl fotoes olarsato) À Á

14 R(Ï) = 8 À 4Ù Ï 3 höc À Ù L Á 3 Á 3 = V Ù Ï 3 3 (hc) 3 Tlstadstæthede: Ú(Ï) = VÙ Det termodyamse otetale, ÀV, for fotogasse: Ï (hc) 3 V = À Ê = l Ì Ù Ù = V 4 T 3 (hc) 3 5 4, da x 3 dx e x À = Ù4 5 Atal fotoer r. volume:, hvor 3 = : ommer af tegralet: Sammehæge mellem try og tæthed: Eergtæthede aldet Stefas lov:, hvor Û er Stefas ostat dmesoal æde af fjedre hn = V Ù = T (hc) dx = e x À 3 Ù, hvor ølgetallet = N l, hvor l = ÀN=; À N= + ; : : : ; N=. x = Ù3 T = :87T 9 3 u = = À = À = Û Ì À4 = ÛT 4 H = N = " # K(x ) m + À x À À a P Q = N N = = N N = e e À u

15 ) = N u = N e À e P Q H = Ô P P À + m! Q Q m À Õ, hvor frevesere er:! K 4K = ( ()) (=) À cos = s m m Hæve og sæe oeratorer: r m! a = Q + Ó PÀ Öh m! r y a = m! Q P À À Ó Öh m! ) H = y Ó Öh! a a + 5. Flutuatoer og e-lgevægt Symol D F e F J v Ñ Ü f Betydg 'Dssato' Ester raft Gdgsraft (Frto) Dffusosstrøm Hastghed Gdgsoeffcet Relasatostd 5. Lagev's lgg 5.. Newtos. lov dv m = À Ñv dt Løsg: Hvs vase er lgevægt med temerature T, er artleres etse eerg geemst: 5.. Lagev's lgg 5. Drfthastghed og moltet ÀÑ=mt v(t) = v()e mhv = T d x(t) dx(t) m + Ñ À Fe (x(t)) = F (t) dt dt f

16 For fr artel udsat for ostat ydre raft: Gdgsoeffcet: Løsg tl Lagev-lgge: Mddel: 5.3 Dffuso E stuato ude ydre ræfter: For t µ Ü: Det er ulart, hvad A er. De ser ud tl at have ehed af m=s, altså e accelerato. På s. 9 er D deferet som: Kaffe med fløde: Hvs x t etyder, at artle er ostoe x tl tde t : (x À x ) P (x t+át j x t ) dx = A ÜcÜ Át Fordelges redde voser med t som futo af tde. V øser at fde P (v t j x t. ) Bayes' sætg: Ved at ræeudvle omrg z = x: dv m + Ñ v À Fe = F (t) dt f m Ñ = Ü t v(t) = v e Àt=Ü F e Ü F (t + ( À e Àt=Ü À(tÀt f ) )=Ü ) + e dt m m hv(t) = v e Àt=Ü F e Ü + ( À e Àt=Ü ) m hv(t)! Ü F m e F e = hf f (t) = ) hv(t) = v e Àt=Ü + Àt dt t e È(t ) m d =Ü hv(t) = 4ÜA Ü c D = A ÜcÜ Ú(t) = h(x(t) À x()) = A ÜcÜ t v(t) = ( x(t + Át=) À x(t À Át=))=Át P (v t j x t ) = dy dz Î(v À ( y À z)=át) P (y t+át= j x t)p (z tàát= j x t) P (x P (z tàát= j x t j z tàát= ) t ) = P (z tàát=) P (x ) P (z ) (x ) z ) P (x ) tàát= = P t + ( tàát= t

17 Mddelværde af hastghede tl tde t : Futoe P (x t) er sadsylghede for at fde e artel utet x tl tde t. For N artler vl arteltæthede være gvet ved: Sammehæge mellem strømtæthed og arteltæthed aldes Fc's lov. Kotutetslgge: hvt = dv vp (v t j x t ) = AÜ Ü c Át P (x tàát=) P (x Át t Ú(x; t ) = N P (x t) J (x; t ) = hv t Ú(x; t) J (x; t ) = ÀDrÚ(x; t) D = A = À r Á Dffusoslgge: Se esemel s. 9-9! 5.4 Flutuatoer og dssato - Este relatoe Gs' fordelge fortæller sadsylghedstæthede for at fde e artel med hastghed v og osto x : P (x; v ) = Ô ÓÕ ex ÀÌ mv + V (x) Samlet strømtæthed: Ved = D r F e Ü Jtot = J drft + J df = Ú À DrÚ m DrÚ F e Ü = Ú m Ü D(rÚ) = ÀrV Ú m h Ü Ú(x) = C ex À V (x) md Estes relato også aldet flutuatos-dssatos teoremet: Ì = Ü md, D = Ü T m NcomDoc - 9-Ja-8 - clase@fys.u.d