Ikke-parametriske tests af forskel i central tendens. Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala

Transkript

1 Statstk for bologer 5-6, moul 7: Tests for forskel cetral tees for ata på oral- og tervalskala Ikke-parametrske tests af forskel cetral tees Vægter forskel mea ve hjælp af ragtal Data skal være på mst oralskal De forskellge stkprøver skal have (omtret) samme uerlggee u-moale forelg omkrg e cetrale tees. M7, sle M7, sle 4 M7, sle Typer af statstske test: Parametrsk statstk: - Tester for forskel µ (eller σ) - Baseret på t- og F-forelgere - Forusætter ata på terval/ratoskala - Forusætter ormalforelte geemst. - Forusætter varashomogetet Statstk baseret på ragtal - Tester for forskel mea - Forusætter ata på mst oralskala me (omtret) samme uerlggee forelg Statstk af frekvesata - Forusætter ku omalskala Tests af forelgers cetrale tees Parametrske tests: µ ( ) Ikke-parametrske tests: mea Tests af forelgers forløb/spreg Parametrske tests: σ (s ) ( F-testet ) Ikke-parametrske tests: D ma største forskel mellem e kummuleree hyppghesforelger M7, sle 5 Hva er et er testes for? Betgelser for parametrske tests M7, sle 3 Observatoere skal være uafhægge Data på mst tervalskala Geemsttee skal være ormalforelte. Hvs er er mere e é stkprøve, skal e to stkprøvers uerlggee forelger have e samme varas (testes me F- test) Test af forelgers forløb Kolmogorov-Smrov test (kke pesum) f() M7, sle Vægter e største relatve forskel mellem e kummuleree hyppghesforelger D ma kumm P(),9,8,7,6,5,4,3,,

2 Test for varashomogetet Forusætg for parametrske tests af µ H : De to stkprøver har es varas (σ σ σ ). H : De to stkprøver har forskellg varas (σ σ ). S F ma Sm atal frhesgraer for S ma og atal frhesgraer for S m. Eksempel: Overstger kvksølvsholet fsk græsevære på ppm? X.45, s.34, 4 SE( X)(.34/4) ½.579 H : µ ppm, H : µ> ppm (NB! oe-tale), α5% µ µ t s SE ( ) v.45 t µ SE ( ) M7, sle 7 (Appe 8 FCJ 998) Appe :.>p>.5. H forkastes H accepteres: Græsevære på ppm er overskreet M7, sle (oe-sample t-test) Tests for forskelle cetral tees Atal stkprøver (uafhægge obs) (afhægge obs) K (uafhægge obs) Parametrske T-test for forskel teoretsk melvær Stuet s t-test t-test for afhægge stkprøver (-way ANOVA) Ikkeparametrske (Sg-testet) χ -sample test Ma-Whtey U-test Wlcoo test (Sg-testet) Kruskall-Walls test Mere e stkprøve: Hvora tester v om e forskel er reel? - F.eks. Effekt af aglæge på kocetrato af stess-homo mus X afhæger af: - Effekt af behalg sgal -Varato ml. ver støj - Varato mellem målger støj K (afhægge obs) (-way ANOVA) (Frema s test) Usat for behalg ( tmer agslys) M7, sle 8 Tests agvet paretes er kke pesum! M7, sle Usat for behalg (4 tmer agslys) t-test for teoretsk melvær. Tester om e stkprøves geemst afvger sgfkat fra e teoretsk melvær (µ). µ µ t s SE( ) v Sasylghesforelge for e værer geemsttee vl atage, hvs µ og SE( ) agver sprege af geemsttee: f() 5 s() staarafvgelse på ekeltobservatoere vær af ekeltobservatoer s( )SE ( ) staarafvgelse af geemsttee Uafhægge stkprøver: Uersøger forskelle I respos mellem forskellge grupper af uafhægge observatoer X afhæger af: - Effekt af behalg sgal -Varato ml. ver støj - Varato mellem målger støj Sasylghee for at H er sa, svarer tl et areal af t-forelge, som lgger lægere borte fra geemsttet e e hypoteteske µ (oe-tale hypotese) eller tl ette areal (two-tale hypotese). M7, sle 9 (oe-sample t-test) µ (hypotetsk vær) M7, sle Usat for behalg ( tmer agslys) Usat for behalg (4 tmer agslys)

3 Afhægge stkprøver: Uersøger forskelle respos e for e samme observatosehe X afhæger af: - Effekt af behalg sgal -Varato ml. ver støj - Varato mellem målger støj t-test for uafhægge stkprøver (Stuet s t-test) Agver sasylghee for at to stkprøvers geemst repræseterer e samme melvær: H : De to stkprøver har e samme melvær (µ µ µ). H : De to stkprøver har kke e samme melvær (µ µ ). Betgelser, som skal være opfylte: Uafhægge observatoer og ata på mst tervalskala: De to forelgeres geemst skal være ormalforelte De to stkprøvers forelger skal have e samme varas (σ σ σ ) Usat for behalg ( tmer agslys) M7, sle 3 Usat for behalg (4 tmer agslys) M7, sle 5 (Stuet s t-test) Uafhægge stkprøver Testee vægter forskel stkprøveres cetrale tees forhol tl forelgeres spreg Stkprøve 3 Mea M7, sle 4 Stkprøve 3 4 Mea Afhægge stkprøver Testee baseret på værer af fferecer mellem koblee observatoer Behalg 3 Behalg Dfferece D D 3 D D D 3 D D t-test for uafhægge stkprøver (Stuet s t-test) Uskkerhee omkrg e fferece: t ( ) ( µ µ ) t SE( ) S. E.( ) ( ) s + ( ) s + + ( ) SE( ) ( ) t ; ( + ) ( ) s + ( ) s + + M7, sle 6 (Stuet s t-test) Eksempel: kropslæge hos atugler Tests for uafhægge stkprøver M7, sle 7 (Stuet s t-test) 3

4 Eksempel: kropslæge hos atugler H : og er lge lage H : og er kke lge lage α5% s haer huer Huer 8 Haer Ma-Whtey s U-test Agver sasylghee for at uafhægge stkprøver har samme meavær. Data skal være på mst oralskala Forelgere skal være umoale De ekelte observatoer skal være byres uafhægge 6 6 f() 4 f() Kropslæge (mm) kropslæge (mm) M7, sle 8 (Stuet s t-test) M7, sle (Ma-Whtey s U-test) t-test for uafhægge stkprøver: s haer huer Test for varashomogetet: H : σ σ σ ; H : σ σ ; α5% (Hvs H forkastes, må ata ete trasformeres [om mulgt] eller e kke-parametrsk test vælges steet) S 79. F F 3, ma S m Appe 8, krtske værer: F 3,8.44, F 4,8.38: Iterpolato: F 3,8.44+( ) ([4-3]/[4-3]).38 + (-.6) (9/).43 P>.5 H accepteres: De to stkprøvers varas ka betragtes som es: Betgelser for t-testet er overholt. M7, sle 9 (Stuet s t-test) Ma-Whtey s U-test Bereggsproceure /: ) Erstat værer me ragtal (e laveste værer tleles e laveste ragtal). Ve sammefalee værer (tes), tleles e sammefalee værer et geemstlge ragtal for gruppe ) Summér ragtallee for hver stkprøve (kales R og R ) 3) Bereg teststørrelsere U og U :. U ( + ) ( + ) U + R + R M7, sle (Ma-Whtey s U-test) t-test for uafhægge stkprøver: s haer huer ( ) t ;( + ) ( ) s + ( ) s + + t 49 ( ) 3.56 (9 )3.7 + (3 ) Appe : p<. H forkastes H accepteres: Der er forskel kropslæge på haer og huer: huer er lægere e haer M7, sle (Stuet s t-test) Ma-Whtey s U-test Bereggsproceure /: 4) U fes som e mste af U og U. 5) Hvs eller er mre e, fer ma om e fue vær af U er lavere e e tabuleree vær, som vl føre tl forkastelse af H. De observeree vær af U skal være lavere e tabelvære for at føre tl forkastelse af H. 6) Hvs eller er større e, appromeres z (opslag appe ): U z ( + + ). M7, sle 3 (Ma-Whtey s U-test) 4

5 Eksempel: Bytteuyttelse hos losser: M7, sle 4 (Ma-Whtey s U-test) Uyttelse: % % 5% 75% % Ma-Whtey s U-test ragsum: Uyttelse: f() F() ragtal % % 3 4 3,5,5 34,5 75% % ,5 495 : : + : R : R : I alt: ,5 59,5 Check for korrekt rakg: R +R ½( + ) (+ + ) ½ OK! M7, sle 7 (Ma-Whtey s U-test) H : og m. afkom uytter elagte bytteyr lge tesvt. H : og m. afkom uytter kke elagte bytteyr lge tesvt. (Two-tale), α.5 Uyttelse: m. uger % 4 5 5% 3 75% 5 % 8 I alt: 8 8 To stkprøver, ata på oralskala, uafhægge observatoer: Ma-Whtey s U-test M7, sle 5 (Ma-Whtey s U-test) Ma-Whtey s U-test ragsum: Uyttelse: f() F() ragtal % % 3 4 3,5,5 34,5 75% % ,5 495 : : + : R : R : I alt: ,5 59,5 U ( )+ ½ (+ ) R : U ( )+ ½ (+ ) R : Check for korrekt bereget U: U +U : OK! M7, sle 8 (Ma-Whtey s U-test) Ma-Whtey s U-test Uyttelse: f() F() ragtal % % 3 4 3,5 75% % ,5 : : + : I alt: Ragtal (rt) ve tes: rt() F(-)+[+f()]/ rt(5%) 9 + [ + 4]/ M7, sle 6 (Ma-Whtey s U-test) Ma-Whtey s U-test U 3.5, 8, 8 Da >, ka v kke beytte appe tl gegæl ka v appromere z- forelge: 8 8 U 3.5 z z ( + + ) 8 8(8+ 8+ ) appe : P<. H forkastes H accepteres: og m. afkom uytter kke elagte bytteyr lge tesvt: spser mre af eres elagte bytte e me afkom. M7, sle 9 (Ma-Whtey s U-test) 5

6 K uafhægge stkprøver Kruskall-Walls test Sammelger meaværere for mere e uafhægge stkprøver Data skal være på mst oralskala De k stkprøver skal have (omtret) e samme umoale forelgstype M7, sle 3 (Kruskall-Walls test) Eksempel: Koto hos atugler KONDITION % 8% 6% 4% % mar-maj ju-aug sep-ov ec-feb meget mager 4 mager 5 3 kke mager 5 go sta 6 3 fe meget fe 3 5 % mar-maj ju-aug sep-ov ec-feb M7, sle 33 (Kruskall-Walls test) meget fe fe go sta kke mager mager meget mager Kruskall-Walls test:fremgagsmåe. Erstat e observeree værer me ragtal (laveste vær får et laveste ragtal osv.). Summér ragtallee for hver stkprøve ( R for e te stkprøve) 3. Bereg teststørrelse K k R K N( N + ) 3( N + ) 4. Da K χ ( k-) fes p ve opslag appe 3. M7, sle 3 (Kruskall-Walls test) Eksempel: Koto hos atugler KONDITION mar-maj ju-aug sep-ov ec-feb meget mager 4 mager 5 3 kke mager 5 go sta 6 3 fe meget fe 3 5 H : kotoe hos atugler er e samme hele året. H : kotoe hos atugler varerer løbet af året. α.5 4 uafhægge stkprøver og ata på oralskala: Kruskall-Walls test M7, sle 34 (Kruskall-Walls test) Eksempel: Koto hos trafkræbte atugler M7, sle 3 (Kruskall-Walls test) Koto-score: ) Meget mager: ge uerhusfet overhoveet ) Mager: små rae af uerhusfet her og er 3) Ikke mager: små fetparter rut omkrg 4) Go sta: store tykke fetparter 5) Fe: tykt fetlag over hele kroppe 6) Meget fe: marcpagrs Kruskall-Walls test: KONDITION mar-maj ju-aug sep-ov ec-feb rakg: X A B C D f() F() ragtal meget mager mager 5 3 5,5 kke mager ,5 go sta ,5 fe meget fe ,5 3 4 N: 5 68 ) Beregg af ragtal: Ragtal (rt) ve tes: rt() F(-)+[+f()]/ rt(mager) 5 + /.5 M7, sle 35 (Kruskall-Walls test) 6

7 Kruskall-Walls test: KONDITION Stkprøve rakg: Sum af ragtal: Kruskall-Walls test: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager mager 5 3 5,5,5 5,5 3,5,5 kke mager ,5 5, go sta ,5 83 4, fe meget fe ,5 66,5 3 4 N: R R R 3 R ) Summato af ragtal: Kotrol for korrekt rakg: ΣR½ N(N+) ½ OK! M7, sle 36 (Kruskall-Walls test) K 5.56, f3: Appe 3: p<. H forkastes, H accepteres: kotoe hos atugler varerer løbet af året. (uglere er feest om vtere og magrest om sommere) M7, sle 39 (Kruskall-Walls test) Kruskall-Walls test: KONDITION Stkprøve rakg: Sum af ragtal: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager mager 5 3 5,5,5 5,5 3,5,5 kke mager ,5 5, go sta ,5 83 4, fe meget fe ,5 66,5 Tests for afhægge stkprøver D D 3 4 N: R R R 3 R D 3) Beregg af K: k R K N( N + ) 3( N + ) 3 3 D 3 D D M7, sle 37 (Kruskall-Walls test) M7, sle 4 (Tests for afhægge stkprøver) Kruskall-Walls test: mar-maj ju-aug sep-ov ec-feb A B C D 5 R ,5 7,5 R / 5,8 534,5 38, ,5 k R 87.7 k R K N( N + ) 3( N + ) f k K (68 + ) f 3 M7, sle 38 (Kruskall-Walls test) t-test for afhægge prøver Tester om geemsttet af fferecere mellem parree observatoer er forskellg fra. H : Melvær af fferece µ -µ ( µ ) µ t SE( ) Samlet formel: t t ( ) SE( ) -; atal observatospar) M7, sle 4 (t-tests for afhægge stkprøver) SE s ( ) ( ) s ( ) D ( ) D 7

8 t-test for afhægge prøver Tester om geemsttet af fferecere mellem parree observatoer er forskellg fra. H : Melvær af fferece µ -µ Samlet formel: t t ( ) SE( ) D Forusætger: Data på mst tervalskala Observatos-parree skal være byres uafhægge De geemstlge fferece ( ) skal være ormalforelt* (* behøver kke at være ormalforelt!) -; atal observatospar) M7, sle 4 (t-tests for afhægge stkprøver) D Eksempel: Effekt af opvækstvlkår for kropshøje Kropshøje (cm) par r. Goe Dårlge 7,9 67,5 4,4 9,36 59,4 55,3 4, 6,8 3 7,3 68,7 3,6, , 6,4,7 7,9 5 69,8 67,,8 7,84 6 7,3 73, -,8,64 7 7,8 68,5 3,3, ,4 66,6,8, ,5 78,6 -,, 8,4 76,6 3,8 4,44 6,5 6,4,, 64,7 6,8,9 3,6 gst. 69,5 67, Σ 7,6 95,7 M7, sle 45 (t-tests for afhægge stkprøver) t ( ) 7.6 t Appe : p<. H forkastes H accepteres: Kropshøje er afhægg af socale kår: kver opvokset uer goe socale kår er højere e kver fra årlge kår. Eksempel: Effekt af opvækstvlkår for kropshøje par af eæggee tvllger (alle kver) bortaopteret som spæe tl forskellge famler uer heholsvst goe og mre goe socale kår. Som vokse måles eres kropshøje. H : Socal baggru har ge betyg for kropshøje H : Socal baggru har betyg for kropshøje α5% M7, sle 43 (t-tests for afhægge stkprøver) Wlcoo s test Vægter forskel mea mellem parree observatoer Forskellee e for parree skal være kvatsérbare (mst på oret metrsk skala) Forskellee mellem parree skal være kvatfserbare (mst på oret metrsk skala) Uerlggee forelg skal være kotuert De to stkprøver skal have e samme uerlggee forelgstype M7, sle 46 (Wlcoo s test) Eksempel: Effekt af opvækstvlkår for kropshøje Kropshøje (cm) par r. Goe Dårlge 7,9 67,5 59,4 55,3 3 7,3 68,7 4 63, 6,4 5 69,8 67, 6 7,3 73, 7 7,8 68,5 8 67,4 66,6 9 78,5 78,6 8,4 76,6 6,5 6,4 64,7 6,8 gst. 69,5 67, Σ Opvokset uer årlge socale kår (cm) M7, sle 44 (t-tests for afhægge stkprøver) -Hvs e el af e samlee varato ka forklares u fra e koblg (afhægghe) mellem e parree observatoer, vl ette gve sg uslag e postv sammehæg år talparree plottes mo hae. -Der vl være e systematsk forskel på e parree observatoer, hvs hoveparte af observatoere lgger ete over eller uer le y Opvokset uer goe socale kår (cm) Proceure for Wlcoo s test ) Ureg fferece for hvert talpar ( - ) ) Erstat e umerske værer af me ragtal 3) Markér ragtal for egatve fferecer me og for postve me + 4) Summér e postve og egatve ragtal hver for sg tl hv. R + og R - 5) Brug teststørrelse T ( m[r +,R -] ) tl opslag appe 7, hvs <34. 6) Hvs >33 ka z-forelge appromeres: M7, sle 47 (Wlcoo s test) z ( + ) / 4 T ( + )( + ) / 4 8

9 Eksempel: effekt af atpræatorafær for føetagelse hos musvtter Forsøgesg: X atal besøg ve foerautomat kl 9 -. > age volere: tlvæg, ge forstyrrelse Dag : besøgsrate oteres kl 9 - Dag : ekspoerg af flyvee spurvehøgattrap kl 9 5 og 9 45 (stor ræsel) Dag 3: besøgsrate oteres kl 9 - H : er er ge forskel besøgsrate ve foerautomat på ag og ag 3 H : er er forskel besøgsrate ve foerautomat på ag og ag 3 (Two-tale), α.5 M7, sle 48 (Wlcoo s test) Wlcoo s test: Besøg/tme ragtal Mejse # ag ag 3 I I rt rt+ rt ) Bereg ragtal (rt) og summér op tl R + og R -. M7, sle 5 (Wlcoo s test) R+ R T m(r+,r-) Eksempel: effekt af atpræator-afær For føetagelse hos musvtter Besøg/tme Mejse # ag ag (le efteret ve y) besøgsrate ag Afhægge ata på ratoskala, me ormalforelte fferecer ka kke tages for gvet. For at være skre vælger v erfor Wlcoo s test M7, sle 49 (Wlcoo s test) besøgsrate ag Wlcoo s test: T,5 N Appe 7:.<p<.5 H forkastes; H accepteres: Der er forskel besøgsrate ve foerautomat på ag og ag 3 (musvttere reucerer eres besøgsrate efter besøg af spurvehøg) M7, sle 5 (Wlcoo s test) Wlcoo s test: Sg test (svagere alteratv): Besøg/tme Mejse # ag ag 3 I I ) Bereg fferece, Besøg/tme Mejse # ag ag 3 I I postve og egatv fferecer M7, sle 5 (Wlcoo s test) M7, sle 53 (sg [bomal-] test) 9

10 Sg test (svagere alteratv): H : pq.5, H : p q k! ( k ) P( ) p ( p) Observeret: :!( k )! Forvetet: 6:6 k- P() Σ P() P(two-tale).3.63,,,9,3 - I ette tlfæle gav sg-testet,6,93 faktsk e lavere p-vær e 3 9,537,73 Wlcoo s test. Dette skyles at 4 8,8,938 e ee egatve fferece, som 5 7,934,387 ekssteree have e relatv høj 6 6,56,68 umersk vær. Er betgelsere 7 5,934,86 8 4,8,97 for Wlcoo s test opfylte, vl 9 3,537,987 ette test oftere resultere e,6,9968 lavere p-vær e sg-testet.,9,9998,, M7, sle 54 (sg [bomal-] test)