Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Transkript

1 H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af et hstogram, der vser atallet af målger et gvet terval. Målgere ka getages det samme pukt (og ka så opfattes som e tdsrække eller de samme størrelse ka måles forskellge pukter på Jorde (og opfattes så som e stedsafhægg størrelse. edefor er vst fordelge af mddel-tygdeværdere for grads blokke fordelt over hele Jorde. Dette eksempel er valgt for at llustrere at også fysske (determstske størrelser ka have e statstsk fordelg. Fordelge vst fgure lger o afgort e ormalfordelg. For målger der getages på det samme sted betragtes typsk afvgelse fra mddelværde som e fel, med mdre v ved at der er e fyssk årsag tl afvgelse (som fx tdekræftere. I statstk er det grudlæggede begreb et udfald (af et forsøg eller e hædelse. I geodæs vl e hædelse være e målg af e afstad eller e tygdeværd. V har e afbldg fra et rum (H af mulge hædelser d et udfaldsrum (de reelle akse (R, e tergs 6 øe, ol.. Afbldge kaldes e stokastsk varable. De svarer tl begrebet e fuktoal fuktoalaalyse hvs udfaldsrummet er de reelle akse. ygde et pukt er e afbldg fra rummet af mulge tygdepotetaler d det reelle talrum. E stokastsk varabel : H -> R ka beskrves ved e sadsylghedstæthed, f(x, der ved

2 tegrato over tervallet [a,b] agver hvor stor sadsylghede (P er for at udfaldet lgger dette terval, P(a x b= b a f(x dx For fordelge ka ma defere mddelværd, varas og det =te momet: der begge ka udtrykkes ved Estmatos operatore E. Varas : Mddelværd : σ x = x= - (x - x f(x dx= E((x - x - te momet : E((x - x f(x dx= E(x Hvs udfaldsrummet er flerdmesoalt (fx tygdevektores 3 kompoeter ka ma på tlsvarede vs defere mddelværd vektore og Varas-Kovaras Matrce: - hvor v ofte beteger x = σ ={ σ }, σ = ( x - ~ x ( x - ~ x σ = σ. f( x,x dx dx, Hvs er tygdevektore, så er matrce e 3 x 3 matrx. V ka så også defere korrelatoe mellem størrelser: ρ = σ [-,] σ σ På grud af estmatosoperatores leartet har v kovaras-propagato : E(a +b = a E( +b E( hvor a og b er reelle tal. Hvs og A er vektorer af dmeso og A er e x m matrx, så gælder

3 Y = A Y + A E Y = A ( = E(( y E( Y ( Y E( Y + A E( = A A De verse P = kaldes ofte vægt-matrce. - Eksempel 3.: Her er = og m =. V betragter summe af observatoer: σ A ={}, A={,}, = σ Y = +, σ YY = σ + σ Hvad er så varase, hvs v betragter dfferese mellem observatoer? 3.. ormalfordelge. E -dmesoal størrelse er ormalfordelt hvs -(x-e( /( σ xx f(x = e π σ xx lsvarede består e vektor af smultat ormalfordelte størrelser hvs -( -E( P ( -E(/ F( x,...,x = / / e (π ( det De kaldes de -dmesoale ormalfordelg. E kosekves af kovaras-propagatoe (og som ses let ved et llle regestykke er at hvs er e -dmesoal ormalfordelt vektor, D e x m matrx, så blver Z = D også ormalfordelt med mddelværd E(Z = D E( og varas-kovaras matrx Hvs e størrelse er ormalfordelt så er det bedste skø (udfra observatoer for mddelværd, varas og ko-varas E( Z = Z = D D 3

4 x= ˆ eller med s = = Stadardafvgelse= = Stadardafvgelse= x x COV(x, y= = = (x - x ˆ (y - y/, ˆ Korrelato = ρ = COV(x, y/( σ x σ y /,, σ x = ss = (ss - x s = ( x - xˆ - //(- Hvs kovarase COV(x,y ka udtrykkes som e fukto af e parameter s, COV(s, så kaldes de for e kovarasfukto. I øvelse. beskrves estmatoe af e kovarasfukto for lokale tygdedata. Bemærk, at hvs v som udgagsdata har data, der er ormalfordelte, så får v et yt sæt af ormalfordelte data, hvs det ye sæt har e leær relato tl det gamle sæt! Det har som kosekves, at v må learsere (aylorudvklg med ku og. ordes led e evetuel kke leær relato. Årsage tl at dette er vgtgt er, at v ofte ved at startdata er ormalfordelte med e kedt varas, og v så øsker at kue sge oget om varase af afledte størrelser. Hvs mddelværde er ukedt, og varasskøet går mod uedelgt år ma får flere og flere data (for eksempel hvs data fordeler sg om e ret le med hældg forskellg fra, så beytter ma stedet varogrammet: var(s= = ( x - x, hvor summe tages over alle par af data, der har afstade s (eller lgger tervallet fra s-ds tl s+ds. Bemærk, at varogrammet har værde for s =. For ormalfordelte størelser er der e meget smpel sammehæg mellem kovarasfukto og varogram. V ka også have uedelg (me tællelg dmesoale ormalfordelger. Atag v har e fukto (P et Hlbertrum af tællelg dmeso. Dee fukto ka udvkles e (Fourer- række (P = = a V (P, V orthoormal bass, De fudametale stokastske varable, er de leære fuktoaler der afblder fra tl Fourer-koeffcetere a. Dsse varable atages at være ormalfordelte med mddelværd og varas σ. Summe af varasere skal være et edelgt tal. Dette er et eksempel på e stokastsk proces. Formelt kræves der, at de smultae (samtdge 4

5 sadsylghedsfordelg af varable er deferet, dvs. for varable P(a < < b,c < < d er kedt, og lgger tervallet fra tl. Herudfra ka ma fde de -dmesoale fordelg af for eksempel evaluergsfuktoalere, L P ( = (P. De får også mddelværd, og varas lg med = E((P = σ V(P Kovarase mellem værder blver tlsvarede = E(((P (Q= σ V (P V (Q Eksempel 3...: Statoær tdsrække. Betragt Fourerrække (perodsk fukto f(x= = π π ( a cos( x+b s( x, E(( a = E((b = σ Så er kovarasfuktoe COV(x, y= E(f(x f(y= = σ ( cos( x cos( = σ cos((x- y y+ s( x s( y= V ser at kovarasfuktoe ku afhæger af forskelle mellem x og y, dvs. de er statoær. Varasere kaldes power-spektret. Eksempel 3..3: Det aomale tygdepotetale,. Her er rækkeudvklge ( sfærsk tlærmelse 5

6 GM R (P= ( ϕ, λ,r= C V (, R = r ϕ λ =- ϕ = bredde, λ = lægde,r = radusvektors lægde, R = Jordes mddelradus,c GM = produkt af + fuldt - ormalserede koeffceter, gravtatoskostat og Jordes totalmasse. Atag at koeffcetere at er ormalfordelte med de samme varas GM E( ( C = σ = σ /( + R for koeffceter af samme grad. Hermed blver kovarasfuktoe (se orge (99, (.47 COV(P,Q= E((P (Q= = =- σ /(+ + R rr + R σ P ( cosψ, ψ = sfærsk afstad mellem P og Q, = r r P = ( ϕ, λ,r,q = ( ϕ, λ,r, P, Legedre Polyomum af grade. V ( ϕ, λ V ( ϕ, λ = V ser at kovarasfuktoe ku er e fukto af de sfærske afstad, samt r og r=. Fuktoe er sotrop = rotatos-varat. 3.. Learserg. I fysk, geofysk og geodæs står v ofte overfor et parameter estmatos problem - dvs. at fde det bedste skø af m størrelse ud fra adre størrelser, hvor er større ed eller lg med m. V har flere observatoer ed størrelser v øsker at bestemme. Hvs sammehæge er leær, og data er ormaltfordelt, ka ma vse, at de bedste metode (de der gver mdst fel eller varas er mdste kvadraters metode. Ved dee metode fder ma de størrelser der har de mdste kvadratske afvgelse fra de oprdelge størrelser, hvs ma reger baglæs fra de bedste skø. Me ofte er dee leære sammehæg kke tlstede, og må så fdes ved e aylorudvklg. 6

7 De geerelle kke leære sammehæg ka skrves L + v= Φ( eller observatoer + fel = Fukto af parametre Atag v har et første skø for, så L = Φ (, y = L- L, x = -. Så er tlærmet Φ y + v= A x, A= { } A er e matrx der består af de partelle afledede med hesy tl =s kompoeter, evalueret. Hvs der er gvet e række målger, x=(x,...,x, der som udgagspukt er ormalfordelte med varas { σ } og uafhægge, så ka v beytte de learserede sammehæg tl at fde varas-kovaras matrce for y = A x, se afst. y = A { σ } A Eksempel 3..: E afstads afhægghed af koordatforskelle. Φ (, = ( + ( ( 3 3 Dee relato ka learseres udfra et start pukt, her (,, 3 : 3 Φ Φ(, = Φ(, + ( - = Φ - = Φ(, +led af - orde. På matrx form har v med d = ( - Φ(, { d } = Φ(, observeret bereget, eller A x = y Φ(, = 7

8 Hvs O-ordes leddet af aylorudvklge trækkes over på vestre sde, og led af -orde bortkastes, så er forbedrgere tl, - udtrykt ved e leær lgg med 3 ubekedte, emlg (- >s 3 kompoeter. Eksempel 3..: (Jævfør Øvelse, (,, 3 = ( m, 7434 m, m. Der er observeret afstade fra e GPS satellt #6. Koordatere for satellte, de observerede afstad og de beregede (alt m er: Sat. 3 Obser. Bereget Afstad Observatoslgge er derfor med d = ( - (( d + ( d +( d 3 / = ( eller d -.57 d d 3 = -.7 Eksempel 3..3: I fyssk geodæs learseres udtrykket for geodehøde og tygdeaomale ved hælp af aomalpotetalet = W-U: ς = (hødeaomale, γ d Δg = - - (tygdeaomale dr r Herved er de to størrelser udtrykt ved hælp af leære fuktoaler, der er avedt på, hvor betragtes som elemet et leært fuktosrum (af harmoske fuktoer. U (ormalpotetalet, se orge (, Afs ka betragtes som -ordes leddet e aylorudvklg. (I et Hlbertrum kaldes de afledede de Frechet-afledede. 8