Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Transkript

1 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder at tælle på som fx multplatosprcppet, bomaloeffcete r der er et udtry for på hvor mage måder ma a vælge r ud af, samt mere om bomaloeffceter og Pascals treat I de seere aptler troduceres desude væsetlgt mere omplcerede måder at tælle på som fx at tælle reursvt, tælle vha prcppet om luso og esluso eller at tælle vha frembrgerfutoer I otere er der hele tde fous på tællestrateger, og der er mage opgaver da det er helt ødvedge selv at bruge strategere for at forstå de forsellge prcpper og seere ue avede dem på adre problemstllger Notere har fous på opgavetyper som ofte stlles tl teratoale matematourrecer Der løsgsstser tl samtlge opgaver bagerst, og der er desude et ht tl de opgaver der er mareret med Ht Idhold Kombatoer Pascals treat og bomaloeffceter 6 3 Sllevægge 8 4 Tælle på to måder 9 5 Mere om bomaloeffceter 6 Reurso 7 Prcppet om luso og esluso PIE 4 8 Frembrgede futoer 7 9 Hts 0 Løsgsstser 3 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

2 Kombatoer Multplatosprcppet Ved et valg der består af forsellge delvalg med heholdsvs m,m,,m valgmulgheder, er der alt valgmulgheder m m m Esempel Når ma fx sal udfylde e tpsupo, sal ma træffe 3 valg da ma sal sætte 3 rydser, et hver ræe I hver ræe er der tre mulgheder for at sætte et ryds, dvs ma a udfylde e tpsupo på måder Esempel 3 Ma a også bruge multplatosprcppet tl at bestemme hvor mage forsellge delmægder der fdes af e mægde med elemeter Når ma sal udtage e delmægde, sal ma for hvert elemet afgøre om det sal med eller e med, der er altså to mulgheder for hvert elemet Derfor er der forsellge delmægder af e mægde med elemeter Her er både de tomme mægde og mægde selv talt med Esempel 5 Tl e multple choce-ourrece er der 0 spørgsmål hver med svarmulghedere a, b, c, d og e På hvor mage måder a ma svare på de 0 spørgsmål så der er mdst to spørgsmål træ hvor ma har sat ryds ved samme svarmulghed? Hvs v forsøger at tælle de ombatoer hvor ma sætter ryds ved samme svarmulghed ved to på hade følgede spørgsmål, blver det hurtgt meget omplceret V ue fx starte med at tælle de ombatoer hvor v svarede det samme på de to første spørgsmål Dem er der 5 9 af Tlsvaede er der 5 9 ombatoer hvor v svarer det samme spørgsmål og 3, osv Problemet er bare at v her tæller de samme ombatoer med flere gage, og det blver temmelg omplceret at holde styr på hvor mage gage de eelte ombato egetlg tælles med Hvs v stedet sger at der er 5 0 svarmulgheder alt, og træer de ombatoer fra hvor der e svares det samme på to på hade følgede spørgsmål, så blver det meget lettere Der er ombatoer hvor der e svares det samme på to på hade følgede spørgsmål, ford v har fem mulgheder for at svare på spørgsmål, og derefter fre mulgheder for at svare på hvert af de følgede spørsmål, da v blot e må svare det samme som på det foregåede Dermed er der alt måder at svare på de 0 spørgsmål så der fdes to på hade følgede spørgsmål hvor ma har svaret det samme Tællestrateg 4 Når ma sal tælle hvor mage bladt ogle ombatoer der opfylder e bestemt betgelse, sal ma altd overveje om det er emmest at tælle dem der opfylder betgelse, eller dem der e gør Formuleret med mægder: Hvs T er e delmægde af e mægde M, og ma sal bestemme atallet af elemeter T, sal ma altd overveje om det er emmest at tælle atallet af elemeter T eller atallet af elemeter M som e lgger T Det ee er som regel temmelg vaselgt, mes det adet er overommelgt Opgave E perleplade består af 0 0 perler Georg har fem forsellge farver perler Hvor mage forsellge perleplader a Georg lave år ha vl have at de yderste at er esfarvet? Opgave a) Hvor mage forsellge syvcfrede postve heltal fdes der som e deholder cfferet 7? b) Hvor mage tcfrede postve heltal er der som e deholder to es abocfre? c) Hvor mage sescfrede postve heltal fdes der som er delelge med 9, og som e deholder cfferet 0? d) Hvor mage ottecfrede tal fdes der som består af cfree,, 3 og 4, og som deholder to es abocfre? Kombator, Otober 09, Krste Roselde

3 Opgave 3 Tallee fra tl 00 sal fordeles tre dsjute delmægder så ge af mægdere er tomme, og ge mægde deholder to på hade følgede tal (At to mægder er dsjute betyder at de e har oge elemeter tlfælles) På hvor mage måder a det gøres? Opgave 4 Tyve ugler ummereret,,, 0 sal fordeles fre forsellge såle, e rød, e blå, e gul og e grø På hvor mage måder a det gøres hvs der mdst e af sålee sal være to ugler hvs umre har dfferes eller? Opgave 5 E mægde M består af elemeter Bestem atallet af par af delmægder af M som e har oge elemeter tlfælles (Tlfældet hvor begge delmægder er tomme, tælles med) Esempel 6 I ombator øser ma ofte at bestemme atallet af måder ma a udtage oget på e bestemt ræefølge Tl et stæve er der 4 hold der æmper om guld, sølv og broze Når ma sal bestemme på hvor mage forsellge måder medaljere a fordeles, har ma 4 mulgheder for at uddele guld, 3 for sølv og for broze, dvs der er alt 4 3 måder at fordele medaljere på Udtag med ræefølge 7 Hvs ma sal udtage r ud af elemeter så ræefølge af de r elemeter har betydg, a ma gøre det på måder! ( ) ( (r )) ( r )! Bevs Ma har mulgheder for at vælge det første elemet, mulgheder for det æste, osv Tl slut har ma (r )) mulgheder for at vælge det r te elemet Formle følger derfor af multplatosprcppet Udtag ude ræefølge 8 Symbolet r beteger atallet af måder hvorpå ma a udtage r elemeter ud af ude hesytage tl ræefølge af de elemeter ma udtager, og det aldes e bomaloeffcet Altså atallet af måder hvorpå ma a udtage e delmægde med r elemeter ud af e mægde med elemeter Der gælder at! r r!( r )! Nogle beytter betegelse K (, r ) stedet for r Bemær at 0! per defto, og at formle derfor også gælder for r 0 Hvs r < 0 eller r >, er r 0 pr defto Bevs I første omgag huser v på at ma a udtage r elemeter ræefølge på! ( r )! måder Desude a r elemeter ordes r! forsellge ræefølger, dvs hver delmægde er talt med r! gage, hvs v udtager de r elemeter ræefølge Derfor er r! ( r )! r!! r!( r )! Esempel 9 Sætge a bruges et utal af sammehæge, år ma sal afgøre på hvor mage måder ma a udvælge oget Fx a de syv vdertal lotto, år der er 36 tal at vælge mellem, udtræes på forsellge måder Når ma har fudet atallet af ombatoer, a dette beyttes tl at berege sadsylghede for at opå oget som fx at få syv rgtge lotto Alle ombatoer af syv vdertal er lotto lge sadsylge, og dermed er sadsylghede for at få syv rgtge Kombator, Otober 09, Krste Roselde

4 Esempel 0 Ma a også bruge sætge tl at udrege på hvor mage måder ma a udtage syv ort af et sæt almdelge splleort med 5 ort, så ma etop har et par, altså to ort med samme talværd og fem ort med fem adre talværder Der er 3 forsellge talværder, dvs v a udvælge de talværd parret har, på 3 3 måder Desude a v vælge de fem talværder de fem sdste ort sal have, på 5 79 måder For hver talværd er der fre ort, dvs v u a vælge de to ort der dgår vores par, på 4 6 måder Desude a v vælge hvert af de fem adre ort på 4 4 måder I alt er der altså følge multplatosprcppet måder at udtage syv ort på, så ma etop har et par 5 Esempel På et sabræt med 8 8 felter ravler e myre fra det ee hjøre tl det dagoalt modsatte hjøre De ravler u på stregere mellem feltere eller lags ate af brættet, og de sørger for at ture blver så ort så mulg V sal u rege ud hvor mage forsellge ruter myre a vælge Først bemærer v at de samlet sal gå otte felter op og otte felter tl højre, hvs v forestller os at de starter ederste vestre hjøre De sal med adre ord vælge præcs hvle otte af de 6 "srdt"der sal være lodrette, dvs de har forsellge ruter at vælge mellem Opgave 6 Hvor mage frecfrede postve heltal fdes der, hvor cfree står stgede ræefølge fra vestre mod højre, og alle fre cfre er forsellge? Opgave 7 E forsamlg på 5 persoer vl edsætte et udvalg med fem medlemmer, hvor et af de fem medlemmer er formad for udvalget På hvor mage måder a dette gøres? Opgave 8 Bestem på hvor mage måder ma a udtage ses ort fra et sæt splleort, så ma etop har to par Opgave 9 Fra et ortspl træes fre ort Hvor stor er sadsylghede for at der bladt de fre ort e er et par? Opgave 0 I e by har ma et cetrum der u består af veje der går ordsyd og øst-vest Der er syv veje ord-syd og fem veje øst-vest, me pga vejarbejde er vejrydset mellem de mdterste vej ord-syd og de mdterste vej øst-vest totalt spærret så ma e a passere det Joata står det sydvestlge hjøre af cetrum og sal tl det ordøstlge hjøre, og ha øser at gå så ort så mulgt Hvor mage forsellge ruter a ha vælge mellem? Opgave I e sål er der fem røde bolde, tre blå og to grøe Hvad er sadsylghede for at der er e rød, e blå og e grø bold tlbage såle, hvs ma fjerer syv tlfældge bolde? Opgave Lad m, og være postve heltal så og m På et m sabræt sal placeres tåre (højst et på hvert felt) så ge tåre truer hade Vs at det a gøres på m! måder Opgave 3 I e oves -polygo dteges samtlge dagoaler, og det atages at der e fdes tre dagoaler som særer hade samme put (Her er e dagoal et ljestye der forbder to af polygoes hjører, me polygoes sder er dog e dagoaler) a) Vs at atallet af dagoaler er b) Vs at atallet af særgsputer mellem dagoaler er 4 (Ht) c) Vs at atallet af områder som dagoalere deler polygoe, er (Ht) d) Vs at atallet af treater, hvs hjører er polygoes hjører eller e særg mellem to dagoaler, og hvs sder lgger på polygoes sder og dagoaler, er (Ht) 4 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

5 Opgave 4 På e crel er mareret 0 puter Hvor mage ovese polygoer fdes der hvs hjører er e delmægde af de t puter? (Ht) Opgave 5 I e papasse lgger et stort atal løse soer Nogle af soere er røde; de øvrge er blå Det oplyses at det samlede atal soer e overstger 993 Edvdere oplyses det at sadsylghede for at træe to soer af samme farve, år ma på tlfældg måde udtræer to soer fra asse, er Hvad er efter de forelggede oplysger det største atal røde soer der a befde sg asse? (GM993) (Ht) At vælge r elemeter ud af svarer tl at spltte de elemeter op to buer: e med r elemeter og e med r elemeter Nogle gage har ma mdlertd brug for at fordele de elemeter mage flere buer Eller formuleret med delmægder; dele e mægde dsjute delmægder som tlsamme deholder samtlge elemeter Sætg Symbolet r,r,,r m beteger atallet af måder hvorpå ma a dele e mægde med elemeter m dsjute delmægder A, A,, A m med heholdsvs r, r,, r m elemeter hver delmægde, så r + r + + r m Der gælder at! r, r,, r m r!r! r m! Bevs Når v sal dele e mægde med elemeter m dsjute delmægder A, A,, A m med heholdsvs r, r,, r m elemeter hver delmægde, så r + r + + r m, a v tæe på udvælgelse således: Først vælges A bladt de elemeter Det a v gøre på r måder Derefter vælges A bladt de resterede r elemeter Det a v gøre på r r V fortætter på dee måde dtl v tl slut vælger A m bladt de resterede r r r m elemeter Dermed er r r r r r r m r, r,, r m r r r 3 r m! ( r )! r!( r )! r!( r r )! ( r r r m )! r m!( r r r m )!! r!r! r m! Esempel 3 E lasse med tolv elever sal deles tre grupper med fre hver På hvor mage måder a dette gøres? Hvs gruppere beteges A, B og C, a de tolv elever følge sætge fordeles gruppere A, B og C med fre hver på 4,4, måder Me spørgsmålet havde de tre grupper ge betegelse og var altså e ordede, dvs v har talt hver ombato med 3! 6 gage Der er dermed måder at dele lasse på Opgave 6 E ube er sammesat af små ehedsuber På hvor mage måder a ma omme fra det ee hjøre tl det dagoalt modsatte hjøre, år ma u må gå lags atere af ehedsubere og sal vælge e rute der er så ort så mulg? Opgave 7 I e ure lgger bolde ummereret,, 9 Tre persoer træer tlfældgt tre bolde hver Hvad er sadsylghede for at de alle får e ulge sum år de lægger deres tre boldes umre samme? Opgave 8 Vs at (m)! er delelg med (m!) + (!) m+ for alle postve hele tal og m (Ht) 5 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

6 Pascals treat og bomaloeffceter Bomaloeffcetere r vser sg at ue frembrges på e teressat måde, og for at vse dette har v behov for følgede formel Sætg Lad og være e egatve heltal med Da er Bevs Hvs ma sal udtage + elemeter ud af +, a ma ete udtage + ud af de første af de + elemeter, eller ma a udtage elemeter bladt de første samt udtage det sdste ud af de + elemeter Dermed er Bemær at ma år frem tl lghedsteget ved at tælle det samme på to forsellge måder Dette er e meget avedelg metode år ma fx sal vse at to udtry er lg hade, me mere om det et seere afst Alteratvt a ma også blot rege, me det er e helt så elegat: + ( + )! + ( + )!( )!! ( ) + ( + ) ( + )!( )!! ( + )!( ( + ))! +!!( )! + + Pascals treat Bomaloeffcetere a derfor opstlles det ma alder Pascals treat så e bomaloeffcet hele tde er summe af de to ovefor: Kombator, Otober 09, Krste Roselde

7 Bomalformle 3 Lad være et e egatvt heltal Da er (x + y ) x + x y + x y + + y 0 Det er dee sammehæg der syldes at bomaloeffceter hedder bomaloeffceter Et bom er e to-leddet størrelse, og bomaloeffcetere er dermed etop oeffcetere der fremommer år ma tager e potes af e to-leddet størrelse Bevs Når ma gager (x + y ) ud, får ma etop x y ved at gage x et fra af paretesere med y et fra de resterede pareteser Dette a ma gøre på måder Sætg 4 Lad være et e egatvt heltal Da er med elemeter Ma a også tælle delmægdere ved at summere atal delmægder med heholdsvs 0,,, elemeter, og det er etop det der står på højresde Sætg 5 Der gælder desude følgede om bomaloeffceter: a) b) c) ( + ) d) ( ) 0 e) f) g) For et prmtal p er p delelg med p for,,,p Opgave Vs sætge Bevs Ifølge bomalformle er (x + y ) x + x y + x y + + y 0 Sættes x y fås ( + ) Rgtg mage sammehæge om bomaloeffceter a vses ved at se på oeffceter polyomer I dette tlfælde og mage adre med bomaloeffceter a ma også beytte trcet med at tælle det samme på to forsellge måder, da begge sder af lghedsteget agver atallet af delmægder af e mægde med elemeter: V har tdlgere set at der fdes etop delmægder af e mægde 7 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

8 3 Sllevægge Bomaloeffcetere fortæller på hvor mage måder ma a udtage r elemeter ud af elemeter Ma a også med bomaloeffceter lave e formel for på hvor mage måder ma a fordele es objeter m ummererede bose Da objetere er es, er det lge meget hvle der haver hvle bose; det teressate er u hvor mage der er hver bos Sætg 3 Ma a fordele es objeter m ummererede bose på + m m måder, hvs ogle af bosede gere må være tomme Ma a fordele es objeter m ummererede bose på m måder, hvs alle bose sal deholde mdst et objet Sætg 3 Sætg 3 er ævvalet med: Atallet af m-tuppler (x, x,, x m ), hvor x er et e-egatvt heltal, og hvor x + x + + x m, er + m m Atallet af m-tuppler (x, x,, x m ), hvor x er et postvt heltal, og hvor x + x + + x m, er m Esempel 33 I et supermared er der fem forsellge slags slposer Når ma sal udrege på hvor mage måder ma a vælge t slposer, a ma bruge sætg 3 Det svarer emlg tl at fordele t objeter fem ummererede bose der hver repræseterer e bestemt slags slpose, dvs følge sætge er der måder at vælge på Bevs Sæt de objeter op på e ræe At fordele dem m ummererede bose svarer tl at sætte m sllevægge op ræe, så ma putter objetere før de første sllevæg første bos osv Det svarer tl at fordele objeter og m sllevægge på e ræe med + m pladser, hvlet a gøres på måder + m m Opgave 3 Bevs sdste del af sætge hvor alle bose sal deholde mdst et objet Esempel 34 I e sbut sælger de vaffels med op tl fem ugler, og de har valle-, jordbær- og choolades Når ma sal udrege hvor mage forsellge vaffels ma a lave, a ma bruge sætge om at fordele objeter m bose V atager at ugleres ræefølge er uderordet Atallet af vaffels svarer u tl at fordele fem ugler fre bose hvor de ee bos repræseterer valle, de ade jordbær, de tredje choolade og de fjerde getg På dee måde får ma alle ombatoer lusv de ude ugler Hvs ma træer de fra, er der derfor forsellge ombatoer 8 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

9 Opgave 3 I et supermared er der fem forsellge slags slposer at vælge mellem, me supermaredet har u ses poser tlbage af tre af slagsee samt syv poser af de to sdste slags Vs at ma a vælge t slposer på 866 måder Opgave 33 Vs at der er etop 46 måder at lægge t -roer og ses 5-roer på e ræe så der mellem to 5-roer lgger mdst e -roe (Ht) Opgave 34 På hvor mage måder a ma vælge t e-egatve heltal x, x, x 0 så deres sum højst er 00? (Ht) Opgave 35 E sat på 50 guldstyer sal fordeles mellem ses prater De beslutter sg for at srve alle ombatoer ed, hvor ge får mere ed halvdele af guldstyere, og alle får mdst fre guldstyer, og derefter træe lod bladt dsse ombatoer Det tager pratere et mut at srve e ombato ed Hvor lag td tager det dem at srve samtlge ombatoer ed? (Ht) Opgave 36 Vs at atallet af bære tal med cfre der har etop m bloe af forme 0, er m+ (Hus at et bært tal har som første cffer) (Ht) Opgave 37 E mægde består af samtlge -cfrede tal som bladt de cfre har etop fem -taller, fre -taller og tre 3-taller Vs at hvs ma træer et tlfældgt tal fra mægde, da er sadsylghede for at få et tal som har mdst to -taller træ, lg med 9 99 (Ht) Opgave 38 I et lottospl udtræes syv tal ud af 36 Ma a som beedt vælge de syv tal på måder Vs at mere ed 3 4 af dsse ombatoer deholder to abotal (Ht) Opgave 39 I et rgspl er der t rge forsellge farver samt fem forsellge målpde tl at aste efter Vs at atallet af forsellge slutofguratoer med syv rge på målpdee og tre rge græsset er!0! 4!7!3! (Bemær at hvs flere rge er på samme målpd, a de lgge forsellg ræefølge på pde) (Ht) 4 Tælle på to måder Tdlgere otere så v flere gage at ma a vse ogle formler hvor der dgår bomaloeffceter, ved at tælle på to måder Esempel 4 Formle + m + m m m 0 a let vses ved at tælle på to måder, mes det er lagt mere rævede hvs ma begyder at omsrve bomaloeffcetere Tallet +m m agver på hvor mage måder ma a fordele es ugler m + asser Ma a også tælle dette på følgede måde: Når der er ugler de første bos, a ma fordele de resterede ugler de m resterede bose på +m m måder Når ma summerer dette, får ma etop vestresde af lghedsteget Esempel 4 Formle a også vses ved at tælle på to måder V beytter u to forsellge metoder tl at tælle på hvor mage måder ma a edsætte et udvalg med e formad år der er persoer at vælge mellem, og udvalget sal bestå af mellem e og persoer: Metode : Først er der mulgheder for at vælge formade Derefter sal ma for de resterede beslutte om de er med eller ej Dette a samlet gøres på måder Metode : Der er måder at edsætte et udvalg med medlemmer på, og for hver af dsse er der måder at vælge formade på Dette gver samlet Dermed er formle vst 9 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

10 Vadermode dettete 43 Lad, m og være e-egatve hele tal Da er Opgave 4 Vs sætge + m m 0 Opgave 4 Vs formlere ( + ) og (Ht) 3 ( + 3) 3 Opgave 43 a) I e by er der et vejet som daer et vadrat med + veje ord-syd og + veje øst-vest, Lags de ordlgste og de østlgste vej løber e flod Vejee ummereres 0,,,, + fra vest mod øst, og fra syd mod ord Ae starter det sydvestlge hjøre af vejettet, dvs (0, 0) Hu vl ed tl flode og går på følgede måde Først slår hu plat og roe Hvs det blver roe, går hu mod ord tl æste vejryds, og hvs det blver plat går hu mod øst tl æste vejryds Såda fortsætter hu tl hu år de ordlgeste eller de østlgste vej ved flode, dvs dtl hu første gag år e af de to veje med ummer Esempel med 8 V N S Ø V at sadsylghede for at hu år flode rydset (3, + ), er b) Vs formle Opgave 44 Vs at (Ht) r + r + r Opgave 45 Lad F (, r ) betege geemsttet af mdste-elemetere samtlge delmægder af {,,,} med r elemeter Vs at (IMO 98) Opgave 46 Vs at ved at tælle på to måder (Ht) F (, r ) + r Opgave 47 I e ourrece er der a deltagere og b dommere, hvor b 3 er et ulge tal Hver dommer bedømmer om hver deltager har bestået eller er dumpet Atag et er et tal så der for to vlårlge dommere gælder at deres bedømmelse højst stemmer overes for deltagere Vs at a b b (IMO 998) (Ht) 0 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

11 5 Mere om bomaloeffceter I dette aptel fouserer v på hvorda ma reger med bomaloeffceter Som udgagsput har v de sammehæge om bomaloeffceter som allerede er vst aptel samt Vadermode dettete fra aptel 4 Esempel 5 V øser at vse at for alle postve heltal Dette svarer blot tl Vadermode dettete + m hvor m, da m m m m 0 Opgave 5 Lad p være et ulge prmtal Vs at p (mod p) p Opgave 5 Lad være et postvt heltal Vs at (Ht) 0 Opgave 53 Lad og m være postve heltal hvor m < Vs at ( ) +m 0 m (Ht) m, Esempel 5 Der er mage teressate sammehæge mellem bomaloeffceter og adre matematse fæomeer Her sal v se e sammehæg tl Fboacctallee Lad F, F, være Fboacctallee (F F og F + F + + F for 0) V øser at vse at + F + 0 for alle e-egatve heltal For at opå dee sammehæg, er det smart at beytte duto efter bla ford Fboacctallee er deferet reursvt For 0 er 0 0 Atag at 0 F, og for er 0 F F3 for alle e-egatve heltal < N For at udytte dutosatagelse beyttes de helt grudlæggede sammehæg mellem bomaloeffceter (sætg ) som sger at m m m r r + r : N N + N (N ) + N (N ) N (N ) N 0 N (N ) + N N N (N ) + F N F N + + F N F N + Dermed er dutoe fuldført Kombator, Otober 09, Krste Roselde

12 Opgave 54 Vs at ( ) for alle postve heltal Opgave 55 Lad være et postvt heltal Vs at (Ht) Reurso Når v matemat besrver tallee e følge reursvt, betyder det at v besrver det æste tal følge vha de foregåede Fx er Fboacctallee,,, 3, 5, 8, 3, besrevet reursvt da F F +F med F og F Dette a bruges tl at tælle atallet af forsellge tg Esempel 6 Et lasss esempel på reurso er tåree Hao Her er der rge forsellg størrelse Desude er der et bræt med tre pde Tl at starte med lgger alle rgee på de vestre pd med de største ederst, derefter de æststørste, osv Ma må flytte rgee e ad gage fra e pd tl e ade, me ma må aldrg lægge e større rg ove på e mdre rg V øser u at bestemme hvor mage rge der mdst sal flyttes for at flytte samtlge rge over på de højre pd Tåree Hao, 6 Kald dette atal S Det er lart at S For at flytte de største rg fra højre tl vestre pd sal alle de adre rge først flyttes he på de mdterste pd Det a gøres på S træ, me e færre Derefter a v flytte de største rg fra vestre tl højre pd, og v sal herefter flytte de rge fra mdterste pd tl vestre pd før v er mål Det a gøres på S træ, me e færre Dermed er S S + V har u besrevet S reursvt, me v øser e luet formel for S Ud fra reursoe er det emt at få e dé om at S, og dette a let vses let ved duto efter år v har reursosformle Kombator, Otober 09, Krste Roselde

13 Opgave 6 I plae teges rette ljer såda at der e fdes to som er parallelle, og så der e er tre ljer som særer hade samme put Bestem atallet a af områder som ljere ddeler plae 7 6 Esempel med 3 hvor a Sætg 63 Hvs følge a 0,a, opfylder de leære reursosformel a p a + q a, og r og r er røddere x p x q 0, da er både a r og a r løsger tl reursoesformle, og det er ehver learombato også: a A r + B r og ehver learom- Bevs Det ses emt ved dsættelse at a r, a r bato a A r + B r er løsg Esempel 6 I et sprog er der to bogstaver alfabetet, A og B Et ord er e ræe bogstaver hvor to abobogstaver aldrg begge er b V øser at bestemme atallet af ord med bogstaver For at gøre dette laver v e dobbeltreurso Lad a være atallet af ord af lægde som slutter på A, og lad b være atallet af ord af lægde som slutter på B Da er a og b Desude er Dermed er a a + b og b a a a + b a + a, og a er derfor lg med det + te fboacctal F +, mes b a er lg med det te fboacctal F Altså er det samlede atal ord O af lægde lg med F + +F F + Nu har v besrevet atallet reursvt og a fx udrege atallet af ord på 8 bogstaver ved først at udrege O,O,,O 7 Det er helt ft hvs v øser at bestemme atallet for et llle, me e hvs v fx vl bestemme O 000 Der er det smartere med e luet formel Esempel 64 Hvs v veder tlbage tl esemplet fra før med reursosformle F F + F, F 0 0 og F, a v bruge sætge tl at fde e luet formel for F Røddere x x 0 er r + 5 og r 5 Dermed er F A + B løsg tl selve reursosformle Hvs v a fde ostater A og B såda at formle passer for F og F, er v derfor mål Ved at løse lggere B B 5 0 F 0 A og F A og omsrve, fås de såaldte Bets formel for fboacctallee: F Opgave 6 På hvor mage måder a ma farve ogle af feltere på et 8- bræt sorte år to felter der har e at tl fælles, e begge må være sorte? 3 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

14 Opgave 63 Georg bygger tåre af lodser Ha har røde lodser, og så har ha lodser ses forsellge farver Bestem e luet formel for hvor mage forsellge tåre ha a bygge Opgave 64 Et -bræt består af ehedsvadrater og sal udfyldes med og -brer Bestem e luet formel for atallet a af måder hvorpå det a gøres Opgave 65 Lad a være atallet af måder ma a farve ogle af feltere på et -bræt sorte, år to felter der har e at tl fælles, e begge må være sorte Bestem e luet formel for a (Tp: For e at få alt for besværlge udregger er det e god dé at tage udgagsput a 0 og a stedet for fx a og a ) Opgave 66 Bestem e luet formel for atallet af -cfrede tal der u deholder cfree,, 3, 4, 5, og hvor to på hade følgede cfre altd har dfferes ± Opgave 67 Et -bræt består af ehedsvadrater Atallet af måder hvorpå ma a farve ogle af feltere røde ude at der opstår et rødt - vadrat, aldes C Det største tal så 3 går op C, aldes Bestem 09 Opgave 68 Betragt mægde S {,,,} Atallet af delmægder af S som e deholder to på hade følgede tal, og som har etop elemeter, beteges A (,) Bestem e luet formel for A (,) Opgave 69 Lad være et postvt helt tal I Albertslud er der pger og drege Tallet A(, r ) agver på hvor mage måder ma a vælge r pger og r drege og fordele dem r par med e dreg og e pge hvert I Brødby er der pger p,p,,p og drege d,d,,d Tallet B (, r ) agver på hvor mage måder ma a vælge r pger og r drege og fordele dem r par med e dreg og e pge hvert, med de estra betgelse at pge p u a dae par med d,d,,d for,,, Vs at A(, r ) B (, r ), og fd e luet formel for dsse (Ispreret af opgave fra IMO shortlst 997) 7 Prcppet om luso og esluso PIE I ogle stuatoer har ma behov for at tælle atallet af elemeter e foregsmægde, og det a ma beytte prcppet om luso og esluso tl, også aldet PIE Esempel 7 Hvs ma sal bestemme atallet af elemeter foregsmægde mellem to mægder A og B, ses det emt ved et Vedagram (fgur edefor) at A B A + B A B Tlsvarede ses for tre mægder A, B og C at A B C A + B + C A B A C B C + A B C A B A B Ma luderer med adre ord først alt det der er A og B og C, me så har ma luderet alt det de har tlfælles to gage hvs det lgger to af mægdere, og tre gage hvs det lgger alle tre mægder Derfor esluderer ma u alt det der lgger fællesmægde mellem A og B, fællesmægde mellem A og C samt fællesmægde mellem B og C Nu har ma sørget for at alt det der lgger e eller to af mægdere er luderet præcs e gag De elemeter der lgger alle tre mægder, har ma mdlertd først luderet tre gage, me derefter esluderet tre gage, dvs v sal tl slut ludere dsse elemeter ge C Dette a geeralseres tl følgede sætg: 4 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

15 Sætg 7 PIE - Prcppet om luso og esluso Atallet af elemeter foregsmægde mellem de mægder A, A,, A a bereges således: A A A A A A j + A A j A ( ) + A A A <j <j < Bevs Formle bevses ved at se på et elemet der dgår præcs af mægdere Dette elemet er talt med + ( ) + ( ) ( ) 3 gag Altså er samtlge elemeter talt med præcst é gag, og derfor er formle orret Esempel 73 Når v beytter PIE, starter v som regel med e grudlæggede mægde M som v øser at tælle e delmægde af Derefter ostruerer v delmægder af M som tlsamme deholder alt det v øser at frasortere V beytter altså ge de helt grudlæggede tællestrateg at tælle det der e opfylder de øsede betgelse Hvs v fx vl tælle atallet af tal mægde M {,, 3,, 08} som hvere er delelge med 5 eller 7, så ostruerer v A 5 M som deholder alle tal fra M som er delelge med 5, og A 7 M som deholder alle tal fra M som er delelge med 7 Svaret er dermed M A 5 A 7 som emt a tælles med PIE V har M A 5 A 7 M A 5 + A 7 A 5 A Esempel 74 PIE a også bruges tl at berege på hvor mage måder ma a få øjesumme ved et ast med 6 almdelge terger For at beytte PIE sal v defere ogle mægder som v gere vl fde foregsmægde af I dette tlfælde betragter v grudlæggede mægde M {(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6, x }, der etop svarer tl at srve som e ordet sum af ses postve heltal Problemet er selvfølgelg u at v u øser de elemeter fra M hvor x 6 Derfor deferer v A {(x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6, x > 6, x } for,, 3, 4, 5, 6 da det på dee måde er emt at tælle atallet af elemeter A samt fællesmægder af A ere Atal elemeter foregsmægde A A A 3 A 4 A 5 A 6 a derfor tælles ved PIE og består etop af de summer hvor e af de ses summader er større ed 6, altså alt det v øser at frasortere Atallet T af måder ma a få øjesumme ved et ast med 6 almdelge terger, er altså T M A A A 3 A 4 A 5 A 6 M A A A j + A A 6 6 < j 6 Atal elemeter M er 0 5 følge sætg 3 Tlsvarede er A 4 5 da det svarer tl at de ses tal har sum 5 år v har truet 6 fra x, og lgeledes A A j 8 5, j, da det svarer tl at summe af de ses tal sal gve 9 år v har truet 6 fra både x og x j Fællesmægde af tre eller flere af A ere er tom da det e er mulgt at tre eller flere af de ses tal er større ed ses år summe er Dermed er T Kombator, Otober 09, Krste Roselde

16 Esempel 75 Ma a også beytte PIE tl at tælle atallet af permutatoer af tallee,,, der er fsputsfr, dvs at tet tal afbldes på sg selv Der er alt! permutatoer af de tal Lad A være mægde af permutatoer som fserer elemetet Atallet af fsputsfr permutatoer P er da Ifølge PIE er P! A A A P! A A A j + <j < <j A A j A ( ) + A A Opgave 75 På hvor mage måder a ma udtage tre delmægder A, B og C af e mægde M med elemeter så A B, A C og B C, mes A B C? (Ht) Opgave 76 Lad og være postve hele tal Vs at (Ht)! ( ) ( + ) 0 Opgave 77 Lad S være mægde af permutatoer af tallee,, 3,, E permutato σ S sges at have egesabe P hvs der fdes et {,, 3,, }, så σ( ) σ( + ) Vs at mere ed halvdele af alle permutatoere S har egesabe P (Ht) Atallet af permutatoer som fserer bestemte tal, er ( )!, dvs P! ( )! + ( )! ( ) 0!!! +! ( )! Opgave 7 Beyt PIE tl at tælle hvor mage af tallee M {,, 3,, 000} der hvere er delelge med, 3, 5 eller 7 Opgave 7 Et telefoselsab har etop alle 8-cfrede telefoumre c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 som opfylder at c c c 3 c 4 c 5 c 6, c c c 3 c 5 c 6 c 7 eller c c c 3 c 6 c 7 c 8 Cfree c, c,, c 8 {0,,, 9} Hvor mage telefoumre har telefoselsabet? Opgave 73 På hvor mage måder a ma vælge syv ort fra et almdelgt sæt splleort med 5 ort så ma har mdst et ort af hver af de fre ulører? Opgave 74 Otte persoer der daer par to og to, sal stlles på e ræe så ge står ved sde af deres parter På hvor mage måder a det gøres? 6 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

17 8 Frembrgede futoer Defto af frembrgede futoer 8 Lad A (a 0,a,a,a 3, ) være e uedelg følge, hvor a De frembrgede futo assoceret med A er da potesræe P (x ) a 0 + a x + a x + a 3 x 3 + Koeffcete tl x P beteges fremover [x ]P (x ) lgesom ved polyomer To frembrgede futoer P (x ) og Q (x ) er es etop hvs de er assoceret med de samme følge, dvs etop hvs [x ]P (x ) [x ]Q (x ) for alle 0,,, Bemær at år v har uedelge mage led, gver det e meg at dsætte et tal stedet for x ude først at udersøge hvorår futoe overgerer V a lægge to frembrgede futoer samme, træe dem fra hade og gage dem samme på de oplagte måde Hvs v fx gager P (x ) a 0 + a x + a x + med Q (x ) b 0 + b x + b x +, så er [x ]P (x )Q (x ) a b Nu følger ogle esempler på hvorda ma a bruge frembrgede futoer hvs ma sal tælle oget Der er e hel teor om frembrgede futoer, me her llustreres blot ogle grudlæggede teer tl problemløsg I første omgag ser v u på frembrgede futoer assoceret med følger hvor u edelgt mage led er forsellge fra ul, dvs almdelge polyomer Idée er som oftest at ostruere et polyomum, så det ma gere vl tælle, svarer tl oeffcete tl et bestemt led polyomet 0 Bomalformle 8 V har allerede aptel set Bomalformle (x + y ) x + x y + x y + + y, 0 Dee formel er helt cetral år v aveder polyomer som frembrgede futoer Tdlgere så v hvorda ma ved at sætte heholdsvs x, y og x, y f ( + ) og 0 ( ) ( ) 0 I stedet for at dsætte e værd for x og y, vl v her prmært tælle ved at se på oeffcetere tl forsellge led, me ma a også ombere de to tg Esempel 83 Vadermode dettete m +m 0 (hvor m, og er e-egatve heltal), som er præseteret aptel 4, hvor der er lagt op tl at vse de ved at tælle på to måder, a også vses vha frembrgede futoer Det cetrale her er at m svarer tl oeffcete tl x polyomet (+ x ) m, og tlsvarede svarer tl oeffcete tl x polyomet ( + x ) Dermed er m 0 0 [x ]( + x ) m [x ]( + x ) 0 [x ]( + x ) m+ + m Her havde v e sammehæg mellem bomaloeffceter v sulle vse, og derfor var sammehæge med oeffceter polyomer oplagt Ofte sal ma selv ostruere dee sammehæg 7 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

18 Esempel 84 I et oordatsystem ravler e myre A fra (0, 0) på følgede måde Hvert mut bevæger de sg op eller tl højre, hvor begge dele er lge sadsylgt E ade myre B sdder (000, 600) Hvert mut bevæger de sg ete ed eller tl vestre, hvor begge dele er lge sadsylg Hvor stor er sadsylghede for at de to myrer mødes? Der er 600 srdt af lægde alt mellem de to myrer, og da de tager et srdt af lægde muttet, må de mødes efter 800 mutter, hvs de overhovedet mødes De felter de a mødes, er derfor (800,) for 0,,,, 600 For at ostruere e frembrgede futo der llustrerer stuatoe, er det e god dé at tæe valg Hver gag e af myrere tager et srdt, er der et valg V ostruerer u e frembrgede futo som et produt, hvor hver fator produtet repræseterer de to valgmulgheder myre har For myre A blver de frembrgede futo da polyomet ( + x ) 800, hvor svarer tl at A tager et srdt tl højre, og x svarer tl at A tager et srdt op, og hvor v har 800 fatorer alt, da der sal tages 800 valg For myre B ostruerer v de samme frembrgede futo ( + x ) 800, hvor v lader svare tl et srdt tl vestre og x svare tl at B tager et srdt ed På dee måde er atallet af måder hvorpå A a have putet (800,), etop [x ](+x ) 800, og atallet af måder hvorpå B a have putet (800,), etop [x 600 ](+ x ) 800, da B sal gå præcs 600 srdt ed ud af alt 800 srdt for at ede (800,) Altså er sadsylghede for at de mødes [x ]( + x ) 800 [x 600 ]( + x ) 800 [x 600 ]( + x ) Esempel 85 Summe af e mægde af tal deferes som summe af tallee mægde, og summe af de tomme mægde sættes tl 0 Lad p være et prmtal V øser at bestemme hvor mage delmægder T af mægde S {,, 3,,p} der har e sum som er delelg med p For at ostruere e frembrgerfuto der llustrerer alle de mulge delmægder af S, tæer v ge valg Når v udtager e delmægde, sal v for hvert elemet vælge om det sal med eller ej For elemetet a v derfor beytte fatore + x hvor repræseterer at e er med delmægde, og x repræseterer at er med delmægde Dette valg har de fordel at espoete fortæller hvor meget bdrager tl summe af delmægde Vores frembrgede futo blver på dee måde f (x ) ( + x )( + x )( + x 3 ) ( + x p ) Når ma gager produtet ud, fås p led der etop repræseterer de p delmægder af S, så e delmægde med sum s repræseteres af x s Atallet af delmægder med sum s er derfor oeffcete tl x s f Atallet af delmægder med e sum der er delelg med p, er altså summe af oeffcetere tl x 0, x p, x p, Det er e helt lgetl at udrege dsse, og for at gøre det smart beyttes de omplese p te ehedsrod Lad ξ være de p te ehedsrod Da er ξ r, r,,, etop hvs p r V ved at ξ er rod Dette gver samlet at (x r p ) (x r )( + x r + x r + + x (p )r ) 0 hvs p r + ξ r + ξ r + ξ 3r + + ξ (p )r p hvs p r Lad a [x ]f (x ) Da er 8 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

19 p f (ξ ) a ξ p 0 0 ξ p a p a a p Atallet A p af delmægder af S med e sum der er delelg med p, er dermed 0 p A p f () + f (ξ) + f (ξ ) + + f (ξ p ) p Bemær at v for at å frem tl at summe af alle oeffcetere et polyomum f, hvs des er delelgt med, er gvet ved højresde, edu e har beyttet prmtalsegesabe for p, me u at p er et postvt heltal, samt at v u har beyttet at f er et polyomum, e hvlet polyomum Dette resultat gælder altså for et vlårlgt postvt heltal p og et vlårlgt polyomum f For at bestemme de orete sum, betragter v Hvs p er ulge, har v g (x ) x p (x ξ)(x ξ ) (x ξ p ) g ( ) ( ξ)( ξ ) ( ξ p ) f (ξ), og altså f (ξ) For, 3,,p, er {ξ,ξ,,ξ p } {ξ,ξ,,ξ p } da p er et prmtal, dvs f (ξ ) f (ξ) Altså er A p f () + f (ξ) + f (ξ ) + + f (ξ p ) p Hvs p, er det emt at se at A p + (p ) p p for ulge prmtal p I esemplet bevste v følgede sætg som er rgtg avedelg år ma vl udrege summe af hver te oeffcet et polyomum Sætg 86 Lad m og være postve heltal, f (x ) a 0 + a x + + a m x m og ξ de te ehedsrod Da a v bestemme summe af alle oeffcetere f, hvs des er delelgt med, på følgede måde: m 0 a f () + f (ξ) + f (ξ ) + + f (ξ ) Koverges 87 Nu sal v se et esempel hvor v får brug for e frembrgerfuto assoceret med e følge hvor uedelgt mage led e er ul, og hvs v gere vl omsrve potesræe, blver v ødt tl først at overveje spørgsmålet om overges Her er ogle esempler som a være gode at ede Betragt først potesræe Da er f (x ) + x + x + x 3 + lm ( + x + x + x x x ) lm x, år x <, x f (x ) + x + x + x 3 +, år x < x Ma a tlsvarede vse at f (x ) + x + x + x 3 +, år x < x f (x ) + x + 3x + ( + x + x + x 3 + ), år x < ( x ) 9 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

20 m + m + m + 3 f (x ) + x + x + x 3 + m m m ( + x + x + x 3 + ) m+, år x < ( x ) m+ Dette er blot et llle btte udvalg Esempel 88 Lad s () betege atallet af måder at srve som e sum af postve heltal, hvor hvert tal højst må dgå e gag Lad t () betege atallet af måder at srve som e sum af ulge postve tal Fx er s (5) t (5) 3 da der er følgede ombatoer 5, 4 +, 3 + og 5, 3 + +, V vl u vse at s () t () for alle postve heltal For at ostruere e frembrgede futo der llustrer alle mulge summer af postve heltal, hvor hvert tal højst dgår e gag, tæer v ge valg For hvert tal sal v beslutte om sal med summe eller ej Dette valg a repræseteres af fatore + x, hvor svarer tl at e er med summe, mes x svarer tl at er med summe Som esemplet før opår v på dee måde at v espoete holder styr på hvor meget bdrager tl summe E avedelg frembrgerfuto for s () er altså f (x ) ( + x )( + x )( + x 3 ) Bemær at dette gver meg da alle oeffceter er edelge Atallet s () af måder at srve som e sum af forsellge postve heltal er u s () [x ]f (x ) For t () er det e llle smule mere omplceret at ostruere e frembrgerfuto Her må summe u bestå af ulge postve heltal, me de må tl gegæld dgå lge så mage gage det sal være Dvs for hvert ulge tal sal v vælge hvor mage gage sal dgå summe Dette a repræseteres ved fatore +x +x +x 3 + frembrgerfutoe E mulg frembrgerfuto for t () er dermed g (x ) ( + x + x + )( + x 3 + x 6 + )( + x 5 + x 0 + ) Bemær ge at dette gver meg da alle oeffceter er edelge Her er t () [x ]g (x ) At s () t () svarer u tl at vse at [x ]f (x ) [x ]g (x ) for alle,, 3,, og dermed tl at f og g er detse evt på ær ostatleddet V omsrver u f og g, me først blver v ødt tl at overveje spørgsmålet om overges For x <, er det edt at + x + x + x 3 + x V a u omsrve f og g på følgede måde uder atagelse af at x < g (x ) ( + x + x + )( + x 3 + x 6 + )( + x 5 + x 0 + ) x x 3 x 5 f (x ) ( + x )( + x )( + x 3 ) x x 4 x 6 x x x 3 x x 3 x 5 Hermed er f (x ) g (x ), og altså s () t () for alle,, 3, 0 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

21 Opgave 8 Astrd slår plat og roe 0 gage, Bertram og Cecl slår plat og roe 0 gage, og Davd slår plat eller roe 03 gage Vs at sadsylghede for at Astrd og Davd får roe samme atal gage, er de samme som at Bertram får roe etop e gag mere ed Cecl Bestem desude dee sadsylghed Opgave 8 Vs at for alle postve hele tal 4 0 Opgave 83 E myre ravler lags x -ase et oordatsystem Hvert mut går de ete e tl højre, e tl vestre eller blver ståede og glor Der er lge stor sadsylghed for at de blver ståede som at de bevæger sg, og hvs de bevæger sg, er sadsylghede for at de går tl højre, de samme som for at de går tl vestre Hvs de starter x 0, hvad er så sadsylghede for at de efter mutter er ved x? Opgave 84 Der er gvet møter M,M,,M så sadsylghede for at få roe med møte M er + Hvs alle møter astes, hvad er da sadsylghede for at få roe med et ulge atal af de møter? Opgave 85 Lad være et postvt heltal, og lad a være atallet af polyomer med oeffceter mægde {0,,, 3} og P () Bestem a Opgave 86 Lad a () betege atallet af måder at srve som e sum af postve heltal hvor hver summad højst dgår tre gage Fx er a (5) 6 da der er følgede ombatoer + + +, + + 3, + +, + 4, + 3, 5 Lad b () betege atallet af måder at srve som e sum af postve heltal hvor hver lge summad højst dgår e gag Fx er b (5) 6 da der er følgede ombatoer Opgave 87 På hvor mage forsellge måder a ma få øjesumme ved et ast med ses almdelge terger? (Du sal tælle med frembrgede futoer og e med PIE) Opgave 88 Bestem atallet af delmægder af mægde {,, 3,, 007} hvs sum er delelg med 7 Opgave 89 Lad være et postvt heltal Vs at (Ht) + j j j j 0 0 Opgave 80 Bestem atallet af tal med cfre som u består af cfree 6, 7, 8 og 9, og som har rest ved dvso med 3 Opgave 8 Lad α() betege atallet af måder at srve som e sum af og -taller, hvor ræefølgede af summadere tæller Fx er α(4) 5 da der er følgede ombatoer + + +, + +, + +, + +, + Lad β() betege atallet af måder at srve som e sum af hele tal større ed, hvor ræefølgede af summadere tæller Fx er β(6) 5 da der er følgede ombatoer + +, + 4, 4 +, 3 + 3, 6 Vs at α() β( + ) for alle postve heltal (Ht) Opgave 8 (IMO shortlst 998) De vosede følge a 0,a,a, af eegatve heltal opfylder at hvert e-egatvt heltal a srves etydgt på forme a +a j +4a, hvor, j og er e ødvedgvs forsellge eegatve heltal Bestem a 998 (Ht) , + + +, + + 3, + 4, + 3, 5 Vs at a () b () for alle postve heltal Kombator, Otober 09, Krste Roselde

22 9 Hts Opgave 3 b) Der er e bjeto mellem mægde af særgsputer og mægde af alle mægder der består af fre af polygoes hjører c) Tæ på at dagoalere dteges e ad gage, og at polygoe tl at starte med u består af et område Hvor mage flere områder ommer der for hver gag ma teger e y dagoal, forhold tl det atal særgsputer de daer med allerede dtegede dagoaler? d) Tæl atallet af treater der har heholdsvs 3,, eller 0 hjører tlfælles med polygoe, hver for sg Opgave 4 Hvor mage delmægder fdes der af e mægde med 0 puter? Hvor mage af dsse delmægder a e assoceres tl e polygo? Opgave 5 Kald atallet af soer for og atallet af røde soer for r Fd et udtry for sadsylghede for at træe to soer af forsellg farve, og beyt dette tl at bestemme r Opgave 8 Vs at dermed er et helt tal ((m)!) (m!) + (!) m+ svarer tl et atal ombatoer af oget og Opgave 33 Stl de t -roer op på e ræe, og tæ på at 5-roere sal dsættes som sllevægge Opgave 34 Tæ på sætg 3 og esempel 34 Opgave 35 Fordel først fre guldmøter tl hver prat, og udreg derefter på hvor mage måder de resterede guldmøter a fordeles ude bdge om at ge prat må få mere ed halvdele Træ bagefter de ombatoer fra hvor e prat har fået mere ed halvdele Opgave 36 Sæt et 0 på det -cfrede tal tl slut, og betragt stedet atallet af + -cfrede bære tal som starter med og slutter på 0 Hvor mage sft mellem og 0 sal der være, hvs der etop sal være m 0-bloe? Opgave 37 Tæl stedet de tal der e deholder to -taller som abotal Opgave 38 Tæl alle de ombatoer der e deholder to abotal, ved at betragte de udtrue tal som sllevægge mellem de resterede 9 elemeter eller før det første eller efter det sdste Opgave 39 Tæl først på hvor mage måder syv es rge a fordeles på fem pde Overvej derefter for hver af dsse ombatoer hvor mage ombatoer der er år ma har t rge med forsellg farve, hvor syv sal fordeles på de syv forsellge postoer Opgave 4 a) Atal måder at vælge et udvalg med e formad og e referet ud af persoer b) Atal måder at vælge et udvalg med e formad, e referet og e asserer ud af persoer Opgave 44 Se på atallet af måder ma a udtage delmægder med r + elemeter af mægde {,,, + } med fous på det æstmdste elemet Opgave 46 Tæl atal måder at vælge x, y og z på så x, y, z {,,, + } med yderlgere betgelser på x, y og z Opgave 47 Vurder atallet N af trpler (dommer, dommer, deltager) for hvle de to dommere er forsellge og har gvet deltagere samme bedømmelse, på to forsellge måder Opgave 5 Brug Vadermode dettete Opgave 53 Vs at m m m m Opgave 55 Iduto efter Se på + +, og omsrv ved at ædre des de ee sum Opgave 75 Tæ på at hvert af de elemeter sal lgge etop e af følgede syv dsjute mægder M \(A B C ), A\(B C ), B \(A C ), C \(A B ), (A B )\C, (A C )\B og (B C )\A, hvs A B C Lad X være mægde af trpler (A, B,C ) hvor A B, osv Opgave 76 Betragt mægde 0 S {(x, x,, x ) x j {,, 3,, + }}, og lad A,,,,, være delmægde af S som deholder de elemeter hvor e er repræseteret bladt x, x,, x Kombator, Otober 09, Krste Roselde

23 Opgave 77 Lad A,,,,, være mægde af permutatoer σ hvor der fdes et så σ( ) og σ( + ) + eller σ( ) + og σ( + ) Brug PIE, og vurder summe Opgave 89 Vs at begge sder er lg med [x ]( + x ) ( + x ) Opgave 8 Beyt f (x ) + (x + x ) + (x + x ) + (x + x ) 3 + og g (x ) + (x + x 3 + ) + (x + x 3 + ) + Opgave 8 Sæt p(x ) x a 0 + x a + x a + Udyt at p(x )p(x )p(x 4 ) + x + x + x Løsgsstser Opgave De 8 8 mdterste perler a vælges på 5 64 måder da v for hver af de 64 perler har fem valgmulgheder Derudover a farve på ate vælges på fem måder Der er altså samlet 5 65 forsellge ombatoer Opgave a) Det første cffer må hvere være 0 eller 7, derfor er der otte valgmulgheder for det første cffer For hver af de æste ses cfre er der valgmulgheder Derfor er der syvcfrede tal som e deholder cfferet 7 b) Det første cffer a vælges på måder Hvert af de følgede cfre a vælges på måder, da de e må være dets med det foregåede Dermed er der 9 0 tcfrede tal som e deholder to es abocfre c) Et tal er delelgt med 9 etop hvs tværsumme er det For hvert af de første fem cfre er der valgmulgheder Hvs tallet sal være delelgt med 9, er det sdste cffer dermod etydgt fastlagt ud fra summe af de fem foregåede Dermed er der alt 9 5 sescfrede tal som er delelge med 9 og e deholder cfferet 0 d) Da det er meget emmere at tælle de tal som e deholder to es abocfre, gør v stedet det Der er 4 8 ottecfrede tal som u består af cfree,, 3 og 4 Hvs v tæller atallet af dsse som e deholder to es abocfre, så har v fre mulgheder for at vælge det første cffer, og derefter tre mulgheder for hvert af de æste Dette gver Der er altså ottecfrede tal som deholder to es abocfre og u består af cfree,, 3 og 4 Opgave 3 Kald delmægde som deholder, for A, delmægde som deholder, for B og de sdste for C Der er u to mulgheder for at placere tallet 3, da ge mægde må deholde to på hade følgede tal Da dette gælder for alle de resterede tal, er der altså forsellge måder at fordele tallee på I e eelt af dsse ombatoer blver mægde C dog tom, dvs resultatet er 98 Opgave 4 For at tælle på hvor mage måder ma a fordele de 0 ugler de fre forsellge såle så der fdes e sål som deholder to ugler hvs umre har e dfferes på eller, tæller v stedet atallet af måder at fordele de 0 ugler de fre forsellge såle, og træer atallet af ombatoer fra hvor der e fdes e sål som deholder to ugler hvs umre har e 3 Kombator, Otober 09, Krste Roselde

24 dfferes på eller Der er alt 4 0 måder at fordele de 0 ugler på da v for hver ugle har fre valgmulgheder Hvs v tæller atallet af dsse ombatoer som e deholder to ugler hvs umre har e dfferes på eller, så har v fre valgmulgheder for ugle ummer Derefter er der tre valgmulgheder for ugle ummer da de e må omme samme sål som ugle ummer For hver af de efterfølgede ugler er der etop to mulge såle hvor de a placeres, da de e må ommer samme sål som ogle af de to foregåede ugler Dette gver ombatoer Der er altså ( 0 3) måder at placere de 0 ugler så der fdes e sål der deholder to bolde hvs umre har e dfferes på eller Opgave 5 Først udreger v mægde af ordede par af delmægder (A, B ) som e har oge elemeter tlfælles Hvert elemet a ete lgge A, B eller ge af de to mægder, dvs at atallet af ordede par (A, B ) er 3 Der er etop et af dsse tlfælde hvor A og B er detse, tlfældet hvor de begge er tomme, dvs atallet af e ordede par af delmægder som e har oge elemeter tlfælles, er Opgave 6 Et frecfret tal der opfylder det øsede, a e deholde cfferet 0, dvs det består af etop fre af cfree,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, og det er etydgt bestemt ud fra valget af dsse fre cfre Dermed er der alt måder, og derudover Opgave 7 Udvalgets medlemmer a vælges på 5 5 er der fem måder at vælge udvalgets formad på Samlet er der derfor mulgheder for at edsætte udvalget Opgave 8 Ma a vælge de to pars talværder på 3 78 måder og talværdere for de sdste to ort på 55 måder Når talværdere er bestemt, a de to par hver vælges på måder og de to adre ort på 4 måder Der er altså alt måder Opgave 9 Der er alt ombatoer af fre ort fra et almdelgt sæt splleort med 5 ort, og alle dsse er lge sadsylge Atallet af dsse som e deholder et par, bestemmes: Der sal vælges fre bladt de 3 talværder, og for hver af dsse sal der vælges ulør Dermed er der ombatoer med fre ort som e deholder et par Sadsylghede for at de fre true ort e deholder et par, er derfor Opgave 0 V beteger vejrydsee (a,b) så Joata står ved (0,0) og sal tl (4,6), og det spærrede vejryds beteges (,3) Joata sal gå fre gage op og ses gage tl højre Hvs ma ser bort fra at det mdterste vejryds er spærret, måder Nu træer v atallet af ruter geem (, 3) fra dette atal Ma a omme fra (0, 0) tl (, 3) på 5 måder, og tlsvarede a dette gøres på 0 4 fra (, 3) tl (4, 6) på 5 måder Dermed er det samlede atal ruter Joata a vælge mellem, Opgave Der er alt forsellge ombatoer af tre bolde Ud af dsse er der etop med e bold af hver farve følge multplatosprcppet Dermed er sadsylghede Opgave Hvle af de søjler bladt de der sal deholde et tår, a vælges på m måder Tlsvarede a ma på vælge hvle bladt de m ræer der sal deholde et tår Når ma placerer et tår de første af de valgte søjler, sal ma vælge et felt bladt feltere de udvalgte ræer Når ma derefter placerer et tår de æste valgte søjle, sal ma vælge et felt bladt feltere på de resterede ræer der stadg magler et tår, osv Dermed a de tåre placeres på måder m! Opgave 3 a) For hvert par af hjører er der e dagoal, på ær hvs hjørere er abohjører Da der er par af abohjører, er der alt dagoaler 4 Kombator, Otober 09, Krste Roselde