Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som

Transkript

1 Statstk 1, torsdag de 15. marts Leρr regressosaalyse, afst ffl Problemstllg ffl Data Model Estmato og test Dages program: Hvad ka v? 1 V ka sammelge grupper af observatoer, hvor data hver gruppe reprρseterer getagelser uder omstρdgheder, der er karakterstsk for gruppe. V ka sammelge k grupper ved e esdet varasaalyse. V ka sammelge k m kombatoer ved e tosdet varasaalyse. Sammelgge foregνar ved at opspalte de totale varato og sammeholde varatoe mellem grupper med varatoe defor grupper (eller et estmat herfor). Varatoe defor grupper er udtryk for getagelsesvaratoe, ff 2 (forsfgsuskkerhede). 2 Projektopgave 1 V havde fre grupper bfr. Forskelle pνa de fre grupper var testete af trρg. V prfvede at vurdere, om e fget trρg gav tdlg gag. Ved e esdet varasaalyse kue v kke pνavse forskel pνa gruppere. Me, νar v sammelgede de utrρede gruppe med de meget tesvt trρede gruppe, kue v godt ae e forskel. De esdede varasaalyse behadlede dem blot som fre forskellge grupper, ude at tage hesy tl at der var e faldede trρgstestet med gruppeummeret. Det havde vρret samme aalyse, hvs de fre grupper havde vρret karakterseret ved fx fjefarve stedet for trρgstlstad. Hvad har v brug for? 3 har brug for e aalysemetode, der ka beskrve relatoe mellem e kvattatv V og de tlhfrede respos. gruppekarakterstk Eksempel, ph-vρrde slagtet oksekfd pνa forskellge tder efter slagtg. Td log td ph gst gs

2 Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som stokastske varable, for de ekelte vρrder kedes kke ffr v har foretaget mνalge. Tdspuktere kedes ffr mνalge. Dem ka v selv styre. Model Model: Tl hvert tdspukt uafhρgge detsk fordelte getagelser atages at kue beskrves ved e ormalfordelg. j 2 N(μ ;ff 2 ) 5 Samme varas alle grupper, me mddelvρrde ka afhρge af tdspuktet. 6 Getagelsesvarato: V ved godt, hvorda v vl estmere varase, ff 2, emlg ved kvadratafvgelsessumme de for grupper, dvs SAK1 = =1 (x j x ) 2 2 = SAK 1 bff k N P, totalt atal observatoer. N = fνar v b ff 2 2 = 0: = 0:0944 ph-vρrdere For V formulerer hypotese: Hypotese: Forskelle ph-vρrder er proportoal med forskel log td E leρr sammehρg. 7 E[ j ] = μ = a + bt V vl u hellere bruge e ade parametrserg: E[ j ] = μ = ff + f(t t) ff udtrykker ph-vρrde svarede tl geemsttet af log-tdspuktere, t, leddet f(t t) udtrykker korrektoe tl ph-vρrde, hvs tdspuktet er stfrre (eller mdre) ed geemstspuktet. f har ehede [ph/log td] Modelle kaldes e leρr regressosaalysemodel 8

3 Sρtg 5.9 Data: x j ; = 1;:::;k; j = 1; 2;:::; Estmater modelle E[ j ] = ff + f(t t): med Regressosaalyse, Estmato bff = j x j N (x j j x)(t t) b f = = t) P (t 2 bff er bare geemsttet af ph-vρdere Stfrrelse j N = P (x x)(t t) P (t t) 2 = Fortolkg af estmater (x j x)(t t) = 9 (x x)(t t) der dgνar estmatet for f kaldes sap xt, summe af afvgelsere produkter. (Egelsk: SPD, sum of products of devatos). Estmatet for f er et vejet geemst af hρldgere af lere fra puktere (t ; x ) tl tygdepuktet, (t ; x) med vρgtee (t t ) 2. (Bemρrkg 5.6). 10 Ma har: bff = ph-vρder j x j 20 = 6:120 b f = 0: dvs de fttede vρrder (estmerede lepukter) fνas som For t = 0 fνas bμ = 6:120 0: (t 1:1901) bμ0 = 6: : :1901 = 6:9836 Me v havde observeret geemsttet x1 = 6:975. Afvgelse er Er de stor? Afvgelse 11 x1 bμ0 = 6:975 6:9836 = 0:0086 Det skal vurderes relato tl getagelsesvaratoe, dvs tl estmatet for ff 2 emlg tl ff 2 =2, for det var jo et geemst af 2 mνalger, me bff 2 =2 = 0:067 2, sνa afvgelse er kke alarmerede. 12

4 Test for leartet, varatosopspaltg Der gρlder varasopspaltge, sde 455: =1 (x j x) 2 = =1 +b f 2 (x j x ) 2 + (t t) 2 =1 Med boges forkortelser, opspaltg af total varato: SAK0 = SAK1 + SAK2 + SAK3 (x x b f(t t)) 2 =1 'getagelsesvarato', varato omkrg le, og les varato omkrg vadret 13 Test for leartet, varasaalyseskema Varato SAK frh.gr. Test Regressosle SAK3 = b f 2 P (t t) 2 1 Omkrg le SAK2 k 2 SAK1 = j (x j x ) 2 N k grupper for Ide I alt Leartet testes ved j (x j x) 2 N 1 SAK2 = 3 SAK 02 =f 02 SAK 2 =f 2 SAK 1 =f 1 SAK ( b f(t t)) 2 =1 = SAK 2=f2 Z SAK1=f1 der sammelges med fraktlere e F(k 2;N k)-fordelg. Hvs der ka atages leartet, ka ma bruge som estmat for ff = SAK 02 S f02 SAK 1 + SAK2 = + f2 f1 14 Varasaalyseskema, ph-vρrder Varato SAK f SAK/f Test Regressosle Omkrg le Ide for tdsp Total F(3; 5)0:95 = 5:61 ; Altsνa kke sgfkat afvgelse fra leartet Forbedret estmat over ff 2 : Test for afvgelse fra vadret, (f = 0): 2 : :00892 = 0:00677 = bff 3+5 = 3:0065 z = 441:31 0:00677 F(1; 8)0:95 = 5:32 ; Altsνa hρldge afvger sgfkat fra ul. sde 454 Fordelg af estmater Uder atagelse af de leρre model E[ j ] = ff + f(t t) gρlder 15 2 N(ff; ff2 bff ) N ff 2 N(f; b ) f 2 t SAK Ka bruges tl kofdestervaller for ff og f og for ff + f(t t) (se sρtg 5.10). og tl test af hypoteser fx om bestemt hρldg, bemρrkg 5.7 sde

5 Regressosaalyse, resume ffl Data: Samhfrede vρrder af uafhρgg varabel, t, og afhρgg varabel, x fx lagfgerlρgde og rgfgerlρgde hos e rρkke persoer Eks 5.6 vadhastghede e elv efter regskyl fejlvsg af kvartsur som fkt af tde efter justerg ffl Model: afhρgg varabel ormalfordelt for hver vρrd af uafhρgg varabel Evt flere getagelser, x j for hver vρrd af de uafhρgge varable evt forskellge mddelvρrder, me samme varas, ff 2. ffl Hypotese: Leρr effekt μ = a + bt ffl Estmato, helst modelle μ = ff + f(t t) Sρtg Eksempel 5.6, Varasaalyseskema Varato SAK f SAK/f Test Regressosle Omkrg le Ide for dage Total F(8; 20)0:95 = 2:48 ; Altsνa kke sgfkat afvgelse fra leartet Forbedret estmat over ff 2 : Test for afvgelse fra vadret, (f = 0): 2 29: :15851 = 1:256 = bff 20+8 = 14:30644 z 1:256 = 11:4 F(1; 28)0:95 = 4:20 ; Altsνa hρldge afvger sgfkat fra ul. 18 sde 462: Sammelgg med esdet varasaalyse Esdet varasa. Regressosaalyse Varato SAK f Varato SAK f Mel. dage Omkr. vadret Omkrg le Idef. dage Idef. dage Total Total ffl V kue godt have lavet esdet varasaalyse, se sde 462 ffl Ved regresssosaalyse har v yderlgere opspaltet varatoe mellem dage ved at ρdre dage fra at vρre kvaltatv tl at vρre kvattatv. ffl E afvgelse fra vadret blver kocetreret et ekelt kvadratafvgelsesled 19