Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:

Transkript

1 Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til Skalaen er kardinal: 4. Utilitarisme: Maximere summen af individelle nytter. 5. Læs mere om utilitarisme her: 1

2 Jeremy Bentham, Problemer med det "gamle" syn på nytte: 1. Hvordan måler vi nytten? 2. Kan vi overhoved sammenligne nytten mellem individer? 3. Hvordan fortolker vi kardinal nytte? 4. Kan vi nøjes med et mindre vanskeligt nyttebegreb? 2

3 Hvad er nytte? - det nye syn: 1. Udgangspunktet er en præferencerelation 2. Nytte er en funktion som repræsenterer præferencer. 3. Nyttefunktionen tildeler et tal til hvert alternativ så at det foretrukne varebundt får højest nytteværdi og vice versa: 4. u repræsenterer hvis: u(x 1 ; x 2 ) > u(y 1 ; y 2 ), (x 1 ; x 2 ) (y 1 ; y 2 ): 5. Ordinal nytte: Kun rangordning af alternativer har betydning. 6. Operationelt nyttebegreb: Kender vi præferencerelation kan vi (som regel) konstruere en nyttefunktion. 3

4 1. Nej! Finder der altid en nyttefunktion? 2. Eksempel: Tre alternativer x; y og z. (a) x y (b) y z (c) z x 3. (VIS AT DER IKKE FINDES EN NYTTEFUNK- TION). 4

5 Hvornår ndes en nyttefunktion? 1. Sætning: Hvis der er et endeligt antal alternativer, da er følgende ækvivalent: (a) er komplet og transitiv. (b) kan repræsenteres ved en nyttefunktion. 2. (Vi udelader bevis). 3. POINTE: Så længe at vi antager komplethed og transitivitet, da kommer det ud på et om vi starter med præferencerelation eller nyttefunktion u. 5

6 4. Ofte betragter vi uendeligt mange alternativer (alle mulige tænkelige størrelser varebundter i R 2 + ). 5. Her ndes eksempler på komplette og transitive præferencer som ikke kan repræsenteres ved en nyttefunktion. 6. Eksempel: Leksikograske præferencer L To goder. (x 1 ; x 2 ) L (y 1 ; y 2 ) hvis [x 1 > y 1 eller x 1 = y 1 og x 2 y 2 ]. 7. Komplet? 8. Transitiv? 9. MEN, kan ikke repræsenteres ved en nyttefunktion. 10.PROBLEMET: Den leksikograske præferencerelation L ikke kontinuert i varerummet R I praksis kan vi roligt antage at præferencer er kontinuerte. 6

7 Er nyttefunktion entydig? 1. SPØRGSMÅL: Hvis der ndes en nyttefunktion u der repræsenter præferencerelation, er u da entydigt bestemt ud fra? 2. SVAR: 7

8 Konstruktion af nyttefunktion 1. Fra indifferenskurver: Se gur 4.2! 8

9 2. Eller direkte ud fra fortolkning af præferencer: (a) Perfekte substitutter 1:1 (b) Perfekte substitutter generelt (c) Perfekte komplementer 1:1. (d) Perfekte komplementer generelt. 9

10 Konstruktion af indifferenskurver fra nyttefunktion 1. Eksempel: u(x 1 ; x 2 ) = x 1 x x 1 x 2 = k, x 2 = k x 2 : 3. Plot kurve for k = 1; 2; 3; :::etc. 10

11 To vigtige eksempler på nyttefunktioner 1. Kvasi-lineær nytte: u(x 1 ; x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 : (a) Nytte lineær i x 2. v(x 1 ) kan være p x 1, log(x 1 ),... (b) Indifferenskurver vertikalt parallelle. 2. Cobb-Douglas nytte: u(x 1 ; x 2 ) = x c 1x d 2: (a) Kan normalisere koefcienter til at summe til 1: (b) (u(x 1 ; x 2 )) 1 c+d = (x c 1 x d 2) 1 c c+d = x (c) a c c+d. bu(x 1; x 2 ) = x a 1x2 1 a : c+d 1 x d c+d 2 = bu(x 1 ; x 2 ): (d) Kan gøres additiv ved en logaritmisk transformation : (e) log u(x 1 ; x 2 ) = log x a 1x2 1 a = a log x 1 +(1 a) log x 2. 11

12 Marginalnytte 1. Hvis u(x 1 ) er funktion af én variabel, da er 1 ) = u 0 (x 1 ): 2. Hvis u(x 1 ; x 2 ) er funktion af to variable, da kan vi også udregne marginalnytte af x 1 for fastholdt x 2 - den partielle 1 ; x 2 ) = u 0 x 1 (x 1 ; x 2 ): 12

13 Eksempler 1. Eksempel 1: u(x 1 ; x 2 ) = ax 1 + bx 1 ; x 2 ) = a: 2. Eksempel 2: u(x 1 ; x 2 ) = x a 1x2 1 1 ; x 2 ) = ax a 1 1 x2 1 a : 13

14 Sammenhæng mellem MRS og partielle aedede 1. Husk: MRS i et punkt er hælding på indifferenskurve. 2. I punktet (x 1 ; x 2 ) lad (dx 1 ; dx 2 ) være (lille) ændring i x 1 hhv x 2 så at u(x 1 ; x 2 ) = u(x + dx 1 ; x 2 + dx 2 ): Altså: du 1; x 2 ) dx 1 1; x 2 ) dx 2 = 2 Hvilket giver: 3. dx 2 dx 1 1 ;x 2 1 ;x

15 Transformationer, partielle aedede, MRS 1. Hvis u transformeres, da transformeres partiel aedet også! 2. Men MRS ændres ikke: 3. u(x 1 ; x 2 ). MRS 1 ;x 2 1 ;x 2 2 : 4. v(x 1 ; x 2 ) = f(u(x 1 ; x 2 )). 5. @x

16 Eksempel: Cobb-Douglas 1. u(x 1 ; x 2 ) = x c 1x d 2 2. MRS 1 ;x 2 1 ;x 2 ) c 1 1 x d 2 = cx x c dxd = c x 2 d x 1 : 3. v(x 1 ; x 2 ) = log(u(x 1 ; x 2 )) = c log x 1 + d log x 2 4. MRS 1 ;x 2 1 ;x 2 ) x 1 d 2 = c 1 x 2 = c d x x 1 : 2 16

17 Anvendelse: Bil eller bus til arbejde? 1. Lad x 1 være rejsetid i bil, y 1 rejsetid i bus. 2. Lad x 2 være omkostning ved at køre bil, y 2 være omkostning ved at køre bus Antag lineær nytte: u(x 1 ; :::; x n ) = 1 x 1 + ::: + n x n. 5. Estimér i 'ere ud fra observerede valg. 6. Domenich-McFadden (1975): Nyttefunktion gav korrekt forudsigelse af valg i 93% af tilfælde. 7. Med estimeret nyttefunktion kan vi: (a) Udregne MRS mellem to attributter. F.eks.: Hvad er værdi målt i $ for kortere rejsetid? (b) Lave forudsigelser. F.eks. hvor mange skifter til bus hvis rejsetiden forkortes? (c) Udregne velfærdsgevinster: Hvad er værdien (målt i $) for en rejsetidsforkortelse for dem der allerede tager bussen? 17