Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Transkript

1 Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var proporional med emperaurforskellen. Alså en differenialligning af formen y' =Kk$ y K slu hvor y er emperauren af kakaoen (mål i C) il iden (mål i minuer) og k en posiiv konsan. Vi anager, a sar = C, dvs. y 0 =, a omgivelsernes emperaur, slu = C, og a parameeren k = 0.1. Vi ser således på ligningen y' =K0.1$ y K Vi vil nu vise, hvordan vi kan løse probleme i Maple på en mege visuel måde. Vi får brug for pakken DETools, og dernæs en ordre, der egner linjeelemener, en slags små angensumper forsyne med rening, nemlig DEplo. (Teorien for linjeelemener er forklare i Ma A3 side og i Ma B il A s ). MJ Nærum Gymnasium s 1 af 8

2 wih DETools : DEplo y' =K0.1 * y K, y, = 0.., y = 0.. figur 1 y Hvis vi vil have en bedre fornemmelse af, hvordan vores løsning ser ud, kan vi indsæe sarværdien (0,) og se, hvad der sker. DEplo y' =K0.1 * y K, y, = 0.., y = 0.., 0, figur 2 y Farven på kurven kan skifes ved a klikke på den, så den er akiv, og dernæs højreklikke og skife farve. Vi kan sæe flere sarværdier ind, så hvis vi f.eks. vil sammenligne o forskellige udgangsemperaurer C og C, skriver vi MJ Nærum Gymnasium s 2 af 8

3 DEplo y' =K0.1 * y K, y, = 0.., y = 0.., 0,, 0, 75 figur 3 y Her er farverne bleve skife som ovenfor beskreve. Øvelse 1 a. Åbn Maple og egn selv figur 1 b. Prøv a ændre på parameeren k og noér, hvad der sker, når du ploer. c. Prøv selv a indsæe sarværdier - gerne en kold sodavand fra køleskabe. MJ Nærum Gymnasium s 3 af 8

4 Vi vil nu udnye de indbyggede differenialløsningsværkøj, så vi ved hjælp af Eulers meode kan finde og undersøge en inegralkurve. 1.Vælg Tools/Assisans/ODE Analyzer Udfyld felerne fra vensre mod højre Tryk Edi under Differenial Equaions Tryk Assis for a få den rigige synaks il vensre side af differenialligningerne Skriv navne på funkionen (her y) og den uafhængige variabel (her ) og vælg order il 1, svarende il en førseordens differenialligning Tryk Inser og dernæs Done Tilføj resen af ligningen ved a klikke og skrive ved siden af den indsae eks og ryk Add, når du er færdig. Gå videre med Condiions dvs. sarbeingelserne, som her skal være y(0)=, svarende il a kakaoen er C il a begynde med. Udfyld il sids Parameers, med værdien 0.1 for k Nu ser de således ud. MJ Nærum Gymnasium s 4 af 8

5 Tryk Solve Numerically og sæ i næse skærmbillede mærke ved Fixed sep mehods, så du løser ligningen med Eulers meode (forward Euler) Tryk Plo Opions og sæ indsillingerne som vis nedenfor. 14. Tryk Done 15. Tryk Plo, så du kan se, om al er, som de skal være 16. Tryk Qui MJ Nærum Gymnasium s 5 af 8

6 figur 4 y Så skulle du have en figur som ovenfor. Hvis farven ikke behager, kan den ændres ved a dobbelklikke på kurven og vælge en ny farve, og man skal som sædvanlig selv ilføje enheder på akserne og navn på kurven. figur 5 emperaur C kakaoens emperaur id i min MJ Nærum Gymnasium s 6 af 8

7 Øvelse 2 Genag punk 1-13 i anvisningerne ovenfor Skif Syle fra Solid line il poin i de nederse fel, hvor alle oplysninger om differenialligningen sår. Tryk Done Nu afsæer Maple de ved Eulers meode beregnede punker, og du er ilbage i skærmen, hvor du kan ændre skridlængde og inegraionsmeode. Variér skridlængden ved a ændre alle ud for forward Euler. Sar med 10 og bevæg dig nedad, og plo kurven for hver skridlængde. Noér dine iagagelser. Sæ skridlængden il 10 igen, udskif forward Euler med 4rh order Runge-Kua og plo punkerne. Noér dine iagagelser. Gå på nee og undersøg, hvad Runge-Kua er og husk a noere sede, du fand oplysningerne. Øvelse 3 Prøv a ændre på parameer (k) og sarbeingelser (y(0) og slu) under Plo Opions, og noér, hvad der sker, ved a ploe efer hver ændring. De kvikke kan med fordel indskrive o differenialligninger, nemlig den vi har brug i de foregående og en mage il hvor funkionen hedder x() og parameeren k1 eller lignende. På den måde kan man få ploe både udgangssiuaionen og inegralkurven med de ændrede beingelser i samme vindue, så de er nemmere a sammenligne. Vi kan i dee ilfælde løse differenialligningen analyisk i Maple ved nedensående ordre. dsolve y' =K0.1$ y K, y 0 = y K 1 10 = C e (1) Bemærk, a Maple opfaer beingelser og differenialligning som e ligningssysem, MJ Nærum Gymnasium s 7 af 8

8 så derfor indsæes ligning og beingelse i en lise (de firkanede klammer). K 1 10 plo C e, = 0.., y = 0.. figur 6 y De er imidlerid lang fra alle differenialligninger, der kan løses analyisk, og derfor er numeriske meoder il løsning af differenialligninger mege vigige. MJ Nærum Gymnasium s 8 af 8