MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004

2 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger med konsane koefficiener. Til løsning af differenialligningssysemer og sysemer med forsinkelse anvendes Laplaceransformaion. De forudsæes, a man har en viden svarende il noae Maemaiske Grundbegreber, sam a man har e elemenær kendskab il polynomier svarende il noae Komplekse al. Avancerede lommeregnere som Ti89 og maemakprogrammer som Maple kan le foreage beregninger med komplekse al, finde rødder i polynomier osv. Der vil derfor blive give eksempler på, hvorledes man kan foreage beregningerne med neop disse o regnemidler. De må dog beones, a hvis man ikke er i sand il a manipulere med simple uryk, bliver de næsen umulig a læse en eknisk eks eller forså e foredrag, hvori der indgår nogen maemaik. De er derfor vigig. a man manuel foreager beregningerne af enkle problemer. Dee er også nødvendig for a kunne forså og forolke udskriferne fra maemaikprogrammerne. De forudsæes, a man har rådighed over en maemaiklommeregner som eksempelvis Ti 89. Da man må forudse, a man senere vil skulle kunne anvende e egenlig maemaikprogram, som angives også nogle af ordrerne i programme Maple. En del eksempler er hene fra lærebogssyseme Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Maemaik for Ingeniører. Jeg vil derfor gerne her benye lejligheden il a akke Bjarne Hellesen for mange års inspirerende samarbejde. Andre noer i samme serie er Maemaiske grundbegreber Giver en kor gennemgang af definiioner og regneregler for de mes almindelige reelle funkioner af. variabel, disses differeniaion og inegraion, Vekorer Indhold: ) Vekorer i plan og rum, ) Rumgeomeri (relaioner mellem punk, linie og plan) ) Kurver i plan give ved en parameerfremsilling Komplekse al Indhold: ) Rekangulær og polær form, eksponenialfunkion, ) Binom- og andengradsligning ) Opløsning af polynomier i fakorer og dekomponering Maricer og lineære ligninger Indhold: ) Regneregler for maricer, ) Lineære ligningssysemer, herunder løsning af overbesem ligningssysem Fourieranalyse Indhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks form, ) Fourierransformaion 4) Diskre Fourierransformaion Januar 005 Mogens Oddershede Larsen ii

3 Indhold INDHOLD Differenialligninger af. orden.... Indledning.... Numerisk løsning af. ordens differenialligning.... Differenialligninger, hvor de variable kan adskilles Den lineære differenialligning af. orden Eksempler på anvendelser af lineære differenialligninger af.orden... Differenialligninger af. orden Indledning Den homogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener Den inhomogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener... 5 Differenialligninger af n e orden Indledning Den lineære differenialligning af n e orden med konsane koefficiener Sysem af differenialligninger af 'e orden Indledning Numeriske meoder il løsning af sammenhørende differeialligninger af. orden Laplaceransformaion Indledning Laplace-ransformaion Laplaceransformaion af differenialkvoiener Enhedsrinfunkion Forsinkelsesregel Dirac s delafunkion Appendix 5.. Tabel over Laplaceransformerede Appendix 5.. Tabel over invers- Laplaceransformerede Opgaver Sikord iii

4 Sædvanlige differenialligninger Differenialligninger af. orden. Indledning Ved en sædvanlig differenialligning forsås en ligning, der indeholder en eller flere afledede af en uken funkion y(), og som vi ønsker a finde ud fra ligningen. Eksempelvis er ligningen + y () = sinen sædvanlig differenialligning. Orde sædvanlig beyder, a den ukene funkion er en funkion af variabel (i modsæning il de parielle differenialligninger, hvor den ukene funkion er af eller flere variable). Vi vil i dee noa kun se på sædvanlige differenialligninger, og de vil derfor i de følgende være underforsåe. Ved en differenialligning af. orden forsås en ligning, hvori der indgår en uken funkions. afledede, men ingen højere afledede. Differenialligningen + y () = sin er således af. d orden, mens y + y () = siner af anden orden. Mange fysiske problemsillineg fører il differenialligninger, hvor den uafhængige variabel vil være iden. Dee er begrundelsen for a funkionerne i dee noa er funkioner af (og ikke x) Ved en (parikulær) løsning il en differenialligning forsås en differeniabel funkion y () som er definere i e inerval I og i dee inerval *) ilfredssiller differenialligningen. Grafen for en løsning kaldes en løsningskurve eller en inegralkurve Mængden af samlige løsninger kaldes den fuldsændige løsning.. Eksempel. Radioakiv henfald Eksperimener viser, a e radioakiv sof henfalder med en hasighed der er proporional med dens mængde y() il e give idspunk. Vi har følgelig = ky() hvor k er en konsan. Vi anager i de følgende, a k = ) Lad C være en vilkårlig (arbirær) konsan. Vis, ved indsæelse, a y = Ce er løsning il differenialligningen. ) Tegn løsningskurverne i samme koordinasysem for C=, og 5 ) Find den løsning for hvilke de gælder, a il iden = 0 er sarmængden af de radioakive sof gram, dvs. y( 0) =. Løsning: ) Da y = Ce giver y = 0. e =0. y ses ved indsæelse, a y = Ce er en (parikulær) løsning il differenialligningen. ) Løsningskurverne besår af en skare af kurver svarende il forskellige værdier af C. Maple: plo([exp(-0.*),*exp(-0.*), 5*exp(-0.*)],=-..8); *) Vi vil alid forudsæe, a definiionsinervalle I er valg sørs mulig.

5 . Differenialligninger af. orden )Indsæes = 0 og y = i y = Ce fås = Ce C = Den ønskede (parikulære) løsning med begyndelsesbeingelsen y( 0) = er følgelig y = e k I eksempel. så vi, a der går neop én løsningskurve gennem ehver punk.. Dee gælder prakisk age alid for en differenialligning, der er brag på formen = f (, y). Man kan vise, a er S en åben sammenhængende mængde i y-planen, hvor f (, y) er koninuer og har en koninuer f pariel aflede med hensyn il y, så går der gennem ehver indre punk ( 0, y0) af S én og kun én y løsningskurve il differenialligningen = f (, y). Koninuie besemmes som ved funkioner af en variabel. Eksempelvis er f (, y) = cos( 5y ) koninuer i hele y- planen, ide ( 5y koninuer koninuer ) 5 koninuer cos koninuer cos( 5y ) koninuer.. Numerisk løsning af. ordens differenialligning. I de følgende berages en. ordens differenialligning, der er brag på formen = f(, y). De er ofe umulig a angive eksake uryk for y(). Imidlerid kender man jo i ehver punk (, y) differenialkvoienen, og de kan man udnye il gennem e sor anal punker a egne e kor liniesykke med den kene hældning (kaldes linielemene i punke.. Dee vil så give os e inryk af løsningskurvernes udseende.

6 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.. Grafisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+. ) Tegn i e koordinasysem linielemenerne gennem punkerne (, y)=(-, 0), (, y) = (0, ) og (, y) = (, ) ) Tegn ved hjælp af e edb - program e sor anal linielemener, og skiser på basis heraf løsningskurven gennem punke (0,) ) Ud fra figuren synes en besem løsning ydelig. Angiv funkionsurykke for denne løsning, og vis ved indsæelse i differenialligningen a denne er en løsning.. Løsning: ) Vi har ide α er hældningskoefficienen: (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = (,, ), Linielemenerne ses på figuren il højre. ) Tegnes e sor anal linielemener fås figuren il højre ) En re linie med ligningen y =synes a være en løsning. Dee vises ved indsæelse i differenialligningen = y+. Da = ( ) + 0= 0, er påsanden bevis.

7 . Differenialligninger af. orden Som eksempel. viser, kan linielemenerne give e umiddelbar inryk af løsningskurvernes forløb. Ønsker man en abel over en løsning besem ved begyndelsesbeingelsen ( 0, y0), sker de mere præcis ved ud fra punke ( 0, y0 ) a beregne e ilnærme nabopunk (, y) ud fra dee e ny punk (, y) osv. Eulers meode. Eulers meode bygger på, a man ud fra begyndelsespunke ( 0, y0) beregnes de næse punk (, y ) ved a følge angenen i P 0. Ud fra punke (, y ) beregnes de næse punk (, y) ved a følge angenen i P., osv. (se figur.) Fig.. Eulers meode Fig.. Beregning af k Lad der være give differenialligningen = f (, y) med begyndelsesbeingelsen ya ( ) = y 0 I figur. går vi fra de i'e punk P (, y ) il de næse punk P = (, y ) ved a følge i i i angenen i P i. Denne angen har hældningskoefficienen i P i har derfor ligningen y y = f (, y ) ( ) i i i i = f (, ) i+ i+ i+ y i i punke P i. Tangenen Indsæes = + fås y = y + f (, y ) ( ). Ud fra koordinaerne il punke i i+ i i i i+ i P = (, y ) kan vi så på ilsvarende måde finde koordinaerne il næse punk,. i+ i+ i+ [ ] Ønsker man a lave en abel over løsningen i e inerval a, b, vil man sædvanligvis gøre de b a ved a Inervalle opdeles i n delinervaller med samme længde h = n (se figur.). Indsæes i+ = i + h i yi+ = yi + f ( i, yi) ( i+ i) fås yi+ = yi + f ( i, yi) h. Sæes for korheds skyld k = f ( i, yi) h får vi, a Pi+ = ( i+, yi+ ) = ( i + h, yi + k) Eulers meode kan sammenfaes i følgende algorime: b a h =, n 0 = a k = h f ( i, yi) ilnærme yilvæks Genag for i = 0,,,.,, n i = i + h + næse værdi yi+ = yi + k næse y værdi 4

8 Sædvanlige differenialligninger På grund af den ringe nøjagighed kan Eulers meode ikke anbefales il prakisk brug. En væsenlig mere nøjagig meode er Runge-Kua meode af 4. orden Algorimen for Runge Kua af 4. orden: b a h =, 0 = a n k = h f ( i, yi) h k k = h f i +, y i + h k k = h f y i = n i +, i + Genag for 0,,,.,, k4 = h f ( i + h, yi + k) i+ = i + h næse værdi yi+ = yi + ( k+ k + k+ k4) næse y værdi 6 Eksempel.. Numerisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+, y(0) =, [ 0 ;] ) Ved anvendelse af Eulers meode skal der beregnes punker svarende il en skrilængde på h =, og på h =. ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på 0.5. ) Beny lommeregnerens Runge-Kua program il a finde y() med en skrilængde på ) Beny Maple il a finde y() med en skrilængde på 0.5. Løsning: Sarpunke for algorimen er ( 0, y0) = ( 0, ) ) h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i é skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i o skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 k = h f (,) = ( + ) = = + h= + =, y = y + k = + = 5 ) MODE, GRAPH = Diff.Equaions, ENTER, Y= +y ENTER. yi = Bemærk: y ikke y, og gange skal skrives som * Windows, 0 =0, max =, TSTEP =0.5, plo=0,xmin =0, XMAX=,... YMIN =, YMAX=4, osv.enter., Graph, Man får egne en kurve. Tabellering: (Graph Forma), Axes on, Labels on, Soluion Mehods, Euler, Fields = Fldiff, ENTER Caalog, Blddaa ENTER, skriv euler, ENTER APPS,Daa-Marix, NEW, Variable=eul, APPS,Daa-Marix, Curren Der fremkommer en marix y() ) Som i spørgsmål, men i Graph Forma vælges som Soluion Mehods RK fremfor Euler y()

9 . Differenialligninger af. orden 4) I programme Maple udføres en mege nøjagig numerisk løsning ved ordrerne: g:= dsolve( {diff(y(),) = +y(), y(0)=},y(), numeric, oupu= array( [0,0.5,,.5,] ) ); Resulae bliver [, y() ] 0.. g := I eksempel. ser vi som vene, a Runge- Kua ligger æes ved de rigige resula, selv om vi kun havde anven en skrilænge på 0.5, Med Euler skulle man have anven en mege mindre skrilængde for a få e go resula. Probleme vil så være, a afrundingsfejlene ved så mange beregninger kan bevirke, a resulae alligevel ikke bliver så nøjagig.. Differenialligninger hvor de variable kan adskilles. Vi vil i dee afsni berage en differenialligning af ypen = f () g( y) dx Sæning. (Adskillelse af de variable) Lad f() være koninuer i e inerval I og lad g(y) være koninuer og forskellig fra 0 i e inerval J. Der gælder da: y() er en løsning il = f () g( y) y() er en løsning il dx gy = ( ) f () Bevis: Lad y = h() være en løsning il den givne differenialligning. Vi har nu = f () g( y) = f () da g( y) 0 dx gy ( ) dx = f () h () = f () da y = h() gy ( ) dx gh ( ( )) h () = f () h () = f () + C er o funkioner ens er deres gh ( ( )) gh ( ( )) samfunkioner ens pånær en konsan h () = f () + C = f () + C inegraion ved sunsiuion, ide vi gh ( ( )) gy ( ) sæer y = h() og = h () I de specielle ilfælde, hvor gy ( ) = 0 for y = a er, og man ser derfor, a dx = 0 = f () g( y) 0= f () 0. dx y = a er derfor en reline løsning il differenialligningen. 6

10 Sædvanlige differenialligninger Meoden huskes lees ved a man opfaer som en brøk. dx Man samler al med y på vensre side af lighedsegne og al med på højre side (adskiller de variable), og så inegrerer på begge sider. = f () g( y) = f + C dx gy ( ) () I praksis er man ofe kun ineressere i en (parikulær) løsning, som opfylder en begyndelsesbeingelse y ( ) = y dvs. il iden 0 skal funkionsværdien være y Er gy ( 0 ) 0 kan en løsning gennem ( 0, y0 ) findes ved a indsæe ( 0, y0) i løsningen il differenialligningen og besemme C. Er man ikke ineressere i samlige løsninger, men kun i en parikulær løsning gennem (, y ) kan man finde denne direke af y y gy ( ) = 0 0 Meoden illusreres ved følgende eksempel: f () 0 0 Eksempel.4. Adskille variable ) Find samlige løsninger il differenialligningen =4( y4) ) Find og skisér de løsningskurver, som går gennem henholdsvis (, y ) = (,) 0 og (, y ) = (,) 4. Løsning: ) Forudsæes y4 0 y 4 kan de variable i differenialligningen adskilles: Ved inegraion fås: C y C y e y = 4 + ln 4 = = y 4 = e e C y 4= ± e e y = 4+ Ke hvor + C C K = ±, dvs. K 0 y = 4: Ved indsæelse i differenialligningen ses. a den ree linie y = 4 er løsning 0 ) Indsæes (, y ) = (,) 0 fås = 4+ Ke K = y = 4e Da (, y ) = (,) 4 e C ligger på linien y = 4 er denne løsningen. y 4 = De ses. a kurven for y = 4e er symmerisk omkring = 0,har e minimum i punke (0.) og har linien y = 4 som asympoe 7

11 . Differenialligninger af. orden y = 4 e Ti 89: ) desolve(y =-4**(y-4),,y) Resula: y = C e + 4 ) desolve(y =-4**(y-4) and y(0)=,,y) Resula: y = 4 e and findes under MATH, Tes Tegning: MODE, GRAPH = FUNCTION, ENTER, Y= -4*x*(y-4) ENTER. Indsil Window på passende værdier og ryk på Graph Maple: dsolve(diff(y(),)=-4**(y()-4),y()); L:=dsolve({diff(y(),)=-4**(y()-4),y(0)=},y()); y:=unapply(rhs(l),); plo(y(),=-..); 8

12 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.5. Anvendelse i reakionskineik ) Opsilling af differenialligning. Lad A og B være o soffer, der reagerer med hinanden efer reakionsligningen A+ B produker produker. Koncenraionerne af A og B il iden beegnes henholdsvis C A og C B [mol/lier]. Ide der pr. idsenhed dc forsvinder lige mange mol af A og B, må der gælde A dc = B CA = CB + konsan. (4) dc Endvidere anages processen a følge den simple hasighedslov: A =k CA CB (5) hvor k = + er en "hasighedskonsan" ( k afhænger af iden som følge af, a emperauren ændrer sig). Lad koncenraionen af A og B il iden = 0 være C A0 > 0 og C B0 > 0 og lad CA0 CB0 = Heraf følger, a CA0 = + CB0 > Ifølge ligning (4) vil der da il enhver id 0 gælde CA CB = CB = CA Vi får derfor ved indsæelse i (5), a dca = CA ( CA ) + Ersaes for korheds skyld C A med y og C A0 med y 0, bliver probleme a finde den løsning il differenialligningen = ( y ( y ), der går gennem punke (, y) = (, 0 y) og hvor > 0, y > og + 0 y 0 > Løsning af differenialligning. Ved a separere de variable (alernaiv meode) fås y = y yy ( ) Ved hjælp af Ti89 (eller Maple) fås = ln y ln y yy ( ) Vi har derfor y y = [ ln y ln y ] = [ ln + ] y yy ( ) + y Da > 0, y > og y 0 > fås y [ ] [ ] ln y ln y = ln + ln( y ) ln y (ln( y ) ln y ) = ln( + ) y y y + + ln ln 0 ln( ) = ln( + ) = e = ( + ) e y y0 y y0 y y0 y = ( + ) e y0 Tolkning af løsning. Ersaes y med C A og y 0 med C A0 fås CA = e C ( + ) A0 De ses, a C A eferhånden afager mod, i overenssemmelse med a A reagerer med B, således a B eferhånden bliver næsen hel opbrug. 9

13 . Differenialligninger af. orden.4. Den lineære differenialligning af. orden. Ved en lineær differenialligning af førse orden forsås en differenialligning der kan skrives på formen + p () y () = q () hvor p() og q() er funkioner af Beegnelsen "lineær" sammer fra, a de "ukene sørrelser" sørrelser" x og y indgår i en re linies ligning. og y() indgår på lignende måde, som de "ukene Ide vi forudsæer, a funkionerne p og q er koninuere i e inerval I, gælder følgende sæning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il differenialligningen + p () y () = q (), I p() p() p() er da give ved y () = e qe () + Ce, hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. (formlen kaldes populær for panserformlen da den er pansre i inegralegn ) Bevis: Lad P() være en samfunkion il p(). y + p y = q y + p y e P () P () () () () () () () () = q() e [ ] Mulplikaion med e P () P () qe P () () () [ ] ye = P () P () P () P () P () y () e = q () e + C y () = e q () e + Ce Omskrivning(ses ved a differeniere ) Inegraion og division med e P () Panserformlen er re komplicere, så man forerækker ofe følgende omskrivning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il den inhomogene differenialligningen + p () y () = q (), I er give ved y () = y () + C y (), hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. p h p () hvor yh () = e er en løsning il den homogene differenialligning + p () y () = 0 og q () yp() = yh() er en (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning, y () h p () Bevis: Indsæes q ()= 0 i panserformlen fås y () = C yh(), hvor yh() = e Derefer er formlen blo en indsæning af yh () i panserformlen Hvis q() er en sum af flere led, vil man ofe for overskuelighedens skyld berage differenialligninger svarende il hver led for sig (jævnfør de følgende eksempel). 0

14 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.6. Lineær. ordens differenialligning ) Find samlige løsninger il differenialligningen + y () = e +, > 0. ) Find den løsning, der opfylder begyndelsesbeingelsen y() = Løsning: ) Førs normeres differenialligningen ved division med : y e y + = + + = e () () + Homogen løsning:. + y = () 0 yh e ln () = = e = a) Parikulær løsning il y + = e () q. y y e () e p() = h() = = e = yh () b) Parikulær løsning il + y = () q () yp() = yh() = = = = yh () 4 4 Fuldsændig løsning il + y = e + y e ()= + + C 4 () 4 = e 8 C ) Begyndelsesbeingelsen y() = giver = e + + C = e 4 Den søge parikulære løsning er alså y e ()= e. Ti89:MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^,,y) e 4 ( + C) e 8 Resula: y= y (som kan omskrives il samme resula som før. 4. MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^ and y()=,,y) Resula ser igen anderledes ud, men kan omskrives. 4 e + + _C 4 Maple: dsolve(*diff(y(),)+y()=exp(-/)+^,y()); y( ) =

15 . Differenialligninger af. orden.5. Eksempler på anvendelse af lineære differenialligninger af. orden. Eksempel.7 Reguleringseknik Skal man dæmpe voldsomme svingninger af e sof A i en srøm, benyes i reguleringseknik bl.a. én eller flere anke som opløsningen pumpes igennem. Dee eksempel er e regneeknisk simpel eksempel herpå. Figuren viser en ank, hvori der foregår en opblanding af e sof A. Koncenraionen c() [kga/m ] i anken er en funkion af iden. Syseme sares il iden = 0, og c(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde c() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find c ( ) i ilfælde c(0) = 0. Løsning: ) For anken opsilles balancen: IND + PRODUCERET = UD + AKKUMULERET. som e differeniel regnskab over, hvor mange on A der passerer ind og ud af søen i e idsinerval [ ; + ] a) IND: Da ilførelseshasigheden il idspunke er [m /min] og koncenraionen af A er [kga/m ] vil der i løbe af iden blive ilfør [kg A]. b) PRODUCERET: Der vil ikke blive producere A i søen. c) UD: Da koncenraionen i anken il idspunke er c() [kg A/m ] og fraløbe er [m /min] vil der i løbe af iden forsvinde c () [kg] fra anken. d) AKKUMULERET: Til iden er den oale mængde A i søen c () [kg ]. I løbe af de infiniesimale idsrum vil der i søens oale A - indhold ske en differeniel ændring d( 4 c( )). Balanceligningen bliver alså + 0= c() + d( 4 c()) Ved division med fås differenialligningen 6= c + 4 dc 4 dc () + c () = 6 dc dc ) 4 + c () = 6 + c () = 4 dc 075. Homogen løsning: c ( ) = 0 ch ( ) = K e e Parikulær løsning: cp () = e = e 5. e = e. = 075. e Fuldsændig løsning: c () = K e +. Indsæes c( 0 ) = 0 fås 0= K+ K = c () = e 075. Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således li mere realisisk være periodisk f.eks. være 5 cos( ) [kg A/m ] ville kun 075.

16 Sædvanlige differenialligninger dc differenialligningens højre side have ændre sig, dvs. 4 + c () = 5cos( ). Eksempel.8. Elekrisk kredsløb Dee eksempel er hene fra læren om elekriske kredsløb. I sådanne kan forekomme følgende elemener: Navn Symbol Noaion Enhed Spændingsforskel Ohms modsand R Ohm Ri Indukor, spole H (henry) L di Kondensaor, Kapacior C F (Farad) Q = C C i () 0 Lad os berage følgende RL- kredsløb, hvor L = 0. Henry, R = 5 ohm or e 5 vol baeri giver den elekromooriske kraf.lad endvidere i(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde i() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find i() i ilfælde i(0) = 0. Løsning: ) Spændingsfalde over modsanden er R i, og spændingsfalde over spolen er L di. Summen af de o spændingsfald er lig den elekromooriske kraf E(), dvs. L di + Ri = E() di Indsæes de givne al fås i =

17 . Differenialligninger af. orden ) di di i = + 50 i = 0 Homogen løsning: di i = 0 ih () = Ce Parikulær løsning: ip () = e = 0e e = = e di i = i() =. 4 + Ce Indsæes i(0) = 0 fås: 0= 4. + C C = 4.. di + 50i = i() =. 4 + Ce Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således være en påryk periodisk elekromoorisk kraf E0 sin( ω ) ville de kun være differenialligningens højre side der ville have ændre sig. 50 4

18 . Differenialligninger af. orden. Differenialligninger af. orden..indledning Vi vil i dee kapiel begrænse os il a se på lineære differenialligninger af. orden, dvs. d y differenialligninger af ypen p q y r, hvor funkionerne p(), q() og r() + () + () () = () anages koninuere i e inerval I. d y Eksempelvis er + + 6y() = sin() en lineær differenialligning af. orden, Eksempel. (differenialligning af. orden). Find den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: dx d y dx x () =, =, indsæes i differenialligningen, og vi får. x () = Denne lineære differenialligning af. orden kan løses efer meoden i afsni.4. Homogen løsning: dx x x h e e ln () = 0 = = = Parikulær løsning: q () xp() = xh() = x () = Vi har derfor: = x () = + C som ved inegraion giver y() = ( + C) + C y() = + C + C h I eksempel. fan vi, a den fuldsændige løsning indehol (arbirære) konsaner C og C. De kan vises a gælde generel, ide man kan vise følgende sæning (der anføres uden bevis): Sæning.. Lineær differenialligning af. orden. ) Lad f( ) og f () være o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning d y + p () + qy () () = 0. I Samlige løsninger il den homogene differenialligning er da besem ved y () = C f() + C f(), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. ) Lad yp () være en parikulær løsning il den inhomogene differenialligning d y p, + () q y r + () () = () I 5

19 Sædvanlige differenialligninger Samlige løsninger il den inhomogene differenialligning er da besem ved y () = y () + C f () + C f (), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. p Eksempel. (illusraion af sæning.). ) Vis, a y ()= C og y ()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene d y differenialligning = 0, > 0 ) Vis, a y ()= er (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning d y =, > 0 ) Angiv den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: ) Da y()= Cikke er lig med en konsan gange med y()= C er funkionerne ikke proporionale. Indsæes y()= C, y = y d y () () = 0 i =0, fås 0 = 0. Indsæes y()= C, y = C y d y (), () = C i =0, fås C C = 0 0 = 0. Heraf ses, a y()= Cog y()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning ) Indsæes y ()=, y = y d y (), () = 6 i =, fås 6, = 0 = 0 dvs. y ()= er løsning il den inhomogene differenialligning ) Af sæning. følger da, a den fuldsændige løsning er y ()= + C + C (svarende il løsningen i eksempel.) Da urykke for samlige løsninger indeholder neop konsaner C og C, skal der o beingelser il a faslægge en besem løsning. De mes almindelige er, a benye såkale begyndelsesbeingelser, hvor man udover for en besem værdi 0 a faslægge y ( 0 ) også faslægger hældningskoefficienen y ( 0 ). Man kan vise, a sådanne begyndelsesbeingelser enydig faslægger løsningen. 6

20 Eksempel.. Løsning il differenialligning. Differenialligninger af. orden d y Lad der være give differenialligningen : =, > 0 (jævnfør eksempel.) Vi ønsker a besemme den løsning y (), der opfylder begyndelsesbeingelsen y() =, y () = 0 Løsning: Fra eksempel. er den fuldsændige løsning y ()= + C + C. Indsæes begyndelsesbeingelsen haves: = + C + C C + C = 0 = ( C, C ),. y ()= + 0= + C C = Løsningsmeoden i eksempel. kan kun anvendes i de ilfælde, hvor den lineære differenialligning ikke indeholder for differenialligninger af ypen + p () = 0. d y Dee er også mulig for visse andre yper lineære differenialligninger af anden orden, men generel er de imidlerid ikke mulig a angive en løsningsmeode, der som panserformlen urykker løsningen ved formler indeholdende inegraler. De må i sådanne ilfælde anbefales eksempelvis a anvende e program som Maple, og håbe på, a den kan løse probleme. Som de følgende afsni viser, er de imidlerid forholdsvis le a angive en løsningsmeode for den ved anvendelserne vigigse ype differenialligninger. Den homogene lineære differenialligning af. orden med konsane koefficiener. Differenialligningen A d y + B + Cy() = 0 A 0 () dx dx siges a være homogen og lineær med konsane koefficiener A, B, C. Da en eksponenialfunkion opråe i løsningen il den homogene lineære differenialligning af. orden, er de naurlig a søge en løsning af ypen y ()= e λ hvor λ er en konsan. λ λ λ Indsæes y () = e, y () = λe, y () = λ e i differenialligningen (), fås λ λ λ λ Aλ e + Bλe + Ce = 0 e Aλ + Bλ+ C = 0 Aλ + Bλ+ C = 0 (da e λ 0 ) ( ) 7

21 Sædvanlige differenialligninger Funkionen y ()= λ er alså en løsning il differenialligningen, hvis og kun hvis λ er en rod e i den såkale karakerligning Aλ + Bλ+ C = 0. B B 4 AC B D Da Aλ + Bλ+ C = 0 λ = ± λ = ±, hvor D= B 4 AC A A bliver løsningerne afhængige af om : D > 0 : To reelle rødder D = 0 : En reel dobbel rod D < 0: To komplekse rødder Sæning. (løsning il homogen differenialligning med konsane koefficiener). Den lineære homogene differenialligning med konsane koefficiener A d y + B + Cy() = 0 A 0, A, B, C er reelle al. () dx dx har karakerligningen Aλ + Bλ+ C = 0, med diskriminanen D= B 4 AC Der gælder da: Rødder i karakerligning. Fuldsændig løsning il () D > 0: To reelle rødder λ og λ, hvor λ λ λ y () = Ce + Ce λ D = 0: En reel dobbelrod λ λ y () = Ce + C e λ D < 0: To komplekse rødder r± iω r r y () = Ce cos( ω) + C e sin( ω) r eller y () = K e cos( ω+ ϕ ) r eller y () = K e sin( ω+ ϕ ) C, C,K og ϕ er reelle vilkårlige (arbirære) konsaner. K = C + C ( C C ) ϕ ( C C ) ϕ = arg,, = arg,, ϕ ϕ Bevis: I alle ilfælde, er den fuldsændige løsning af ypen y () = Cf() + C f(). Ifølge sæning. er de ilsrækkelig, ved indsæelse i differenialligningen, a vise, a de o funkioner f( ) og f () opfylder ligningen (),og a de ikke er proporionale. 8

22 . Differenialligninger af. orden I: D > 0 To forskellige reelle rødder. Af udledningen af karakerligningen ses, a y()= e λ λ og y()= e er o forskellige løsninger il λ differenialligningen. Da de o funkioner ikke er proporionale er y Ce λ () = + Ce den fuldsændige løsning il differenialligningen. II: D = 0.To ens reelle rødder. Lad dobbelroden være Af udledningen af karakerligningen følger, a y( )= e λ er en løsning il λ = B A λ y ()= e differenialligningen. For a vise, a er en løsning indsæes λ y( )= e, y () = λ e λ + e λ = e λ ( λ + ) og y λ ( ) λ λ e e e ( ) () = λ λ + + λ = λ λ + i (): ( ) λ λ λ λ λ A( λ e ( λ + ) + B e ( λ + ) + C e = 0 e Aλ + Bλ + C + ( Aλ + B) e = = λ Aλ + B = 0 λ = B A Da Aλ Bλ C 0 (fordi er rod i karakerligningen) og (da ) λ ses, a y ()= e er løsning il () Da funkionerne y( )= e λ λ og y ()= e ikke er proporionale følger af sæning. a den fuldsændige løsning il differenialligningen er λ y Ce ()= λ + C e Man kan undre sig over hvorledes man førse gang har gæe, a den anden løsning er y( )= e λ. De kunne være ske ved, a man opfaer dobbelroden som o nærliggende rødder λ + λ og λ og derpå lade λ 0 ( λ+ λ) λ Samlige løsninger er y () = Ce + Ce. Sæes C = og C = ( λ+ λ) λ e e, fås y () = λ λ λ λ df f ( λ + λ, ) f ( λ, ) d f de Da er definere ved for λ 0 fås y () = e λ for λ 0 d λ λ d λ dλ De er derfor nærliggende a formode, a urykke y( )= e λ er en løsning il differenialligningen. III: D < 0: To komplekse rødder. Karakerligningen har de o komplekse rødder r± iω. y () ( e r + i ω ) ( = og y e r i ω ) () = er da komplekse ( r+ iτω ) r r løsninger il (). Da e = e cos( ω) + ie sin( ω) er de rimelig a anage, a realdel og imaginærdel hver for sig er reelle løsninger il (). Ved indsæelse i ligning () ses (beregningen udfør nedenfor), a de er løsninger, og da de o funkioner ikke er r r proporionale, er den fuldsændige løsning: y () = Ce cos( ω) + Ce sin( ω) y e r r () = cos( ω), y () = e r cos( ω) ω sin( ω) Beregning: ( ) r ( ) ( cos( ω ) ω sin( ω ) ω sin( ω ) ω cos( ω )) ( ( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω )) ( Ar ( ω ) B r C) cos( ω) ω( A r B)sin( ω) 0 y = e r r r indsæes i () r e A r A r + B r B + C = = Vi har λ = B± i D = ± ω = B r i r ω = D A A 4 A 9

23 Sædvanlige differenialligninger B Heraf fås, a r = B D B A r + B= 0 og Ar ( ) + B r+ C= A B C A A A + ω + A B ( ( B 4 AC) = + = + + = A BA C B C B 4 4A A C 0 Hermed ses, a r y( ) = e cos( ω) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y( ) = e sin( ω) er løsning il (). Ifølge addiionsformlerne fås: r r r Ke cos( ω + ϕ) = Ke (cos( ω) cos( ϕ) sin( ω) sin( ϕ)) = e ( Ccos(( ω) + Csin( ω) ) hvor C = Kcos( ϕ) C = Ksin( ϕ), Heraf ses, a r y( ) = Ke cos( ω + ϕ) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y () = Ke sin( ω + ϕ ) er løsning il (). Endvidere følger heraf omregningen mellem C, C og K, ϕ Eksempel.4. Homogen lineær differenialligning med konsane koefficiener ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + 6y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y 4 + 0y () = 0, sam den pari- kulære løsning, der opfylder begyndelsesbeingelserne y(0)= - og y () 0 = r r Løsningen ønskes angive på såvel formen Ce cos( ω) + Ce sin( ω) som på formen Ke ω + ϕ ) Løsning: ) Karakerligningen: λ + λ 6= 0 λ = ± ( ) λ = ± λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + Ce ± 4 λ λ+ = 0 λ = ) Karakerligningen: λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + C e 0

24 ) Karakerligningen:. Differenialligninger af. orden λ 4λ+ 0= 0 λ = ± λ = ± λ = ± i λ = ± 4i Samlige løsninger: y () = Ce cos( 4) + Ce sin( 4) Parikulær løsning svarende il y( 0) = og y () 0 = : y () = Ce cos( 4) + Ce sin( 4) differenieres: y ( ) = C e cos( 4) 4C e sin( 4) + C e sin( 4) + 4C e cos( 4) Ved indsæelse af begyndelsesbeingelserne fås y() 0 = C =, y () 0 = C + 4C = Heraf ses, a C = og C = Den søge parikulære løsning er alså y () = e cos( 4) + e sin( 4) Parikulær løsning på formen y () = Ke cos( 4+ ϕ). Af sæning. fås K = C + C = ( ) + =, π ϕ = arg( C, C) = arg(, ) = 4 π y () = e cos 4 4 Ti89: MATH, Calculus, desolve,enter desolve(y``-4*y`+0*y=0,,y) Resula: y () = Ce cos( 4) + Ce sin( 4) Parikulær løsning: desolve(y``-4*y`+0*y=0 and y(0)=- and y`(0)=,,y) Maple: dsolve( diff( y(),, ) - 4 * diff( y(), ) + 0*y() =0, y() ); L := dsolve( {diff( y(),, ) - 4 * diff( y(), ) + 0*y() =0, y(0)=-, D(y)(0)=}, y() ); Ønskes grafen egne i inervalle fra - il sker dee med følgende ordrer: y:=unapply( rhs(l), ): plo( y(), =-.. );

25 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.5. Svingning med lufmodsand E lod med massen m er fasgjor il en fjeder. I sarsiuaionen er syseme i ligevæg, ide den nedadgående yngdekraf og den opadgående fjederkraf er lige sore. (se figuren) Vi rækker nu ned i lodde il en passende afsand, og slipper lodde. Lodde vil nu bevæge sig op og ned. Vi ønsker a besemme loddes bevægelse som funkion af iden. Lad os som på figuren indføre en y - akse. Til ligevægsillingen svarer y = 0, og il iden er lodde placere i en afsand y() fra ligevægsillingen (posiiv når lodde ligger under og negaiv når lodde ligger over ligevægsillingen) Ifølge Newons anden lov er Kraf = masse acceleraion, dvs. K m d y =. Ifølge Hookes lov er fjederkrafen proporional med afsanden fra ligevægsillingen, dvs. K = k y, hvor k > 0 Harmonisk svingning. Anager vi a dæmpningen (f. eks. lufmodsanden) er forsvindende, vil K være den enese kraf der påvirker bevægelsen, dvs. m d y k y m d = () y + k y() = 0 Dee er en homogen differenialligning med konsane koefficiener. k k Karakerligningen m λ + k = 0 λ = i.sæes = ω 0 bliver løsningen y () = Acos( ω0 + ϕ) m m π ω Bevægelsen er en harmonisk svingning med en periode på. Legeme udfører følgelig 0 svingninger pr. sekund. ω0 π Dæmpe svingning. Anager vi a dæmpningen ikke er forsvindende (Eksempelvis fordi lodde er bre, eller bevægelsen foregår i vand), så er dæmpningskrafen K (med ilnærmelse) proporional med loddes hasighed og modsa ree bevægelsen, dvs. K c = Vi har nu differenialligningen m d y = k y() c m d y + c + k y() = 0. Vi har igen en harmonisk d i f f e r e n i a l l i g n i n g. K a r a k e r l i g n i n - c c 4 m k c c k gen mλ + cλ + k = 0 λ = ± = ± m m m m Vi kan nu dele op i ilfælde afhængig af foregne for diskriminanen D= c 4 m k

26 I: D < 0 Dæmpede svingninger. Dee ilfælde inræffer, når dæmpningen c er så lille, a c < 4 m k rødder: λ = r ± iω r Samlige løsninger il differenialligningen bliver y () = Ae cos( ω+ ϕ) Fakoren e r. Differenialligninger af. orden Karakerligningen har komplekse bevirker, a svingningernes ampliude nærmer sig il 0 (dæmpede svingninger, se figuren): D = 0, Kriisk dæmpning. Dee ilfælde inræder, når dæmpningen c er nåe op på en besem kriisk sørrelse, sådan a c = 4 m k hvorved svingninger neop ikke kan forekomme. c c 4 m k c Vi har da mλ + cλ + k = 0 λ = ± λ = m m Samlige løsninger er y Ce cm c ()= + C e m De ses, a y () 0 for 0 D > 0: Overkriisk dæmpning. Dee ilfælde inræffer, når dæmpningen c er sørre end den kriiske værdi, sådan a c > 4 m k Så har karakerligningen o forskellige reelle rødder: r og r Samlige løsninger il differenialligningen er y Ce r r ()= + C e De ses, a y () 0 for 0 (se figuren)

27 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.6 Harmonisk svingning, Dæmpe svingning Lad de i eksempel.8 angivne lod have massen m =4, og lad fjederen have proporionalieskonsanen k = 7. Lad endvidere lodde il iden = 0 befinde sig i en afsand af fra hvilesillingen og der have hasigheden 0, dvs. y( 0) = og y ( 0) = 0 ) Lad dæmpningsfakoren c = 0. a) Opsil differenialligningen for bevægelsen b) Angiv den løsning, der svarer il ovennævne begyndelsesbeingelse, og skiser grafen for [ 0π ; ] ) Lad dæmpningsfakoren c = 4. a) Opsil differenialligningen for bevægelsen b) Angiv den løsning, der svarer il ovennævne begyndelsesbeingelse, og skiser grafen for [ 0π ; ] Løsning: ) a) y () + 7y() = 0 7 b) Da ω 0 = k 7 = er y () = Acos( + ϕ) m 7 7 Ved differeniaion fås: y () = Asin( + ϕ) Acosϕ = y() 0 = ϕ 0, dvs. den søge løsning er: y () 0 = 0 7 = 7 Asinϕ = 0 A = y () = cos( ) Maple: > plo(*cos(sqr(7)/*), =0..*Pi); ) a) 4y + 4y () + 7y() = b) Karakerligning: 4λ + 4λ + 7= 0 λ = ± 4, y () = Ae cos + ϕ ( ) y () = Ae cos( + ϕ) Ae sin( Acosϕ = A y() 0 = = y ( 0) = 0 Acosϕ Asinϕ = y () = 005. e cos ( ) 4

28 . Differenialligninger af. orden.. Den inhomogene lineære differenialligning af. orden med konsane koefficiener. Lad der være give differenialligningen A d y + B + Cy() = q() dx dx A 0 () hvor er koninuer i e inerval I og A, B og C er reelle konsaner. q () Hvis q () 0 siges differenialligningen a være inhomogen. Hvis q ()= 0 fås den ilsvarende homogene differenialligning, hvis fuldsændige løsning blev funde i afsni.. Den følgende sæning viser, a den homogene løsning indgår i løsningen il den inhomogene ligning. Sæning. (løsningens srukur). Samlige løsninger il den inhomogene lineære differenialligning () fremkommer ved il en vilkårlig parikulær løsning yp () il () a lægge den fuldsændige løsning il den ilsvarende homogene ligning yh () = Cy() + Cy() Den inhomogene løsning kan alså skrives y () = y () + Cy() + C y () p Bevis. For en vilkårlig løsning y il () kan der alid findes en funkion f, sådan a y = yp + f. Ved indsæelse i () fås da A( y p + f ) + B( y p + f ) + C( y p + f ) = q Ay p + By p + Cy p + Af + Bf + C = q q + A f + B f + C= q (da y p er en løsning il ()) A f + B f + C= 0 Da vi le kan finde samlige løsninger il den homogene differenialligning, er probleme 5

29 Sædvanlige differenialligninger reducere il a finde en parikulær løsning yp () il den inhomogene ligning (). Som nedensående sæning viser, er de mulig a urykke yp () ved inegraler. Sæning.4 (Inegralmeoden il besemmelse af pariel løsning af inhomogen differenialligning med konsane koefficiener). Den lineære differenialligning med konsane koefficiener A d y + B + Cy() = q() A 0, A, B, C er reelle al. () dx dx har karakerligningen Aλ + Bλ+ C = 0, med diskriminanen D = B 4 AC Der gælder da: Rødder i karakerligning. Parikulær løsning yp () il () D > 0: To reelle rødder λ og λ, hvor λ λ y () = p λ λ e λ e qe () A( λ λ ) A( λ λ ) qe () λ D = 0: En reel dobbelrod λ yp D < 0:To komplekse rødder r± iω y () e = λ λ e λ e () = qe () qe () A A r e + r sin( ω) A ω cos( ω) A ω r qe () cos( ω ) r qe () sin( ω ) Bevise for sæningen kan findes i Maemaik for Ingeniører side 94. Som de fremgår af formlerne bliver inegralerne ofe mege komplicerede, og de vil ikke alid være mulig a finde en samfunkion. De kan dog vises, a hvis q () enen er e polynomium med reelle koefficiener, en af funkionerne sin(), cos(), eller en sum eller e produk af disse, så kan man finde den parielle løsning uryk ved de kene funkioner. På grund af de besværlige inegraler er de dog i alle ilfælde ilrådelig a benye e inegralprogram (som i Ti89 eller Maple) Hvis differenialligningens højre side q () er en sum eller differens af flere led, er de endvidere klog a simplificere inegralerne ved a berage differenialligninger hvor højre side kun besår af e enkel led. (som de allerede skee i eksempel.6, og i de følgende eksempel 7 ) e r λ Eksempel.7 (Inegralmeoden). 6

30 . Differenialligninger af. orden Find samlige løsninger il differenialligningen d y y () = cos( e) + e cos( ) Løsning: d y Homogen løsning: y () = 0 Karakerligning: λ + 6λ+ 4= 0 λ = ± λ = ± λ = 4 λ = 4 4 Ifølge sæning. har den homogene differenialligning den fuldsændige løsning: y ()= C e + C e h Parikulær løsning: d y ) y () = cos( e ) y p e e () = cos( e ) e ( ( )) ( ( )) cos( e ) e e e yp () = cos( e ) e cos( e ) e Benyes Ti 89 il udregningen fås yp () = e cos( e ) d y ) y () = e cos( ) y p e () = ( ( )) e e cos( ) e ( ( )) y () = e e cos( ) e e cos( ) p e p 5 Samlige løsninger il differenialligningen e cos( ) e Benyes Ti 89 il udregningen fås y () = ( cos( ) + 5sin( ) ) e y ( ) = ( cos( ) + 5sin( ) ) e cos( e ) + Ce + Ce 5 Li leere er de, direke a løse differenialligningen: Ti 89: desolve(* y + osv.= osv.,,y) Resulae bliver mege sor, men hvis man reducerer de med propfrac(urykke) fås samme faci som ovenfor. Ovennævne inegralmeode har den begrænsning, a den kun kan anvendes for differeniallig- 7

31 Sædvanlige differenialligninger ninger af. orden med konsane koefficiener. De samme gælder desolve i Ti89, som kun kan løse differeniallignnger af. og. orden. Maple kan derimod go løse differenialligninger af højere end anden orden. Skal man løse differenialligninger af højere orden, eller har man ikke rådighed over en avancere lommeregner er den følgende gæemeode anbefalelsesværdig, også fordi den kun kræver viden om differeniaion. Gæemeoden. Denne meode kan anvendes, hvis q () er en funkion, hvis førse il n e afledede er af samme ype som funkionen selv. Mere konkre drejer de sig om a q () enen er e polynomium med reelle koefficiener, en af funkionerne sin(), cos(), Ideen bag meoden er, a man skal gæe på en parikulær løsning e r eller en sum eller e produk af disse. yp () af lignende ype som højresiden q (). Er højresiden eksempelvis q ()= 5 + gæes på e andengradspolynomium yp ()= a + b + c. Den gæede funkion yp () indsæes derpå i differenialligningen () og de ukene konsaner a, b og c kan nu faslægges. Andre eksempler på gæ er: q ()= 4e 5 5 Gæ: y ()= ae q () = cos( ) Gæ: yp () = a cos( ) + b sin( ) q ()= 4 + e Gæ: y p ()= ( a + b + c) e p ( ) ( 6 ) Gæ: p = ( + + ) + ( + + ) q () = + e sin( ) y () a b c e cos( ) f g e sin( ) Grunden il a der må gæes på en sum besående af både cosinus og sinus er, a ved indsæelse af cosinus-led i differenialligningen vil der også fremkomme sinus-led (og omven). I visse ilfælde kan konsanerne (a, b, c osv.) ikke besemmes (bl.a. når q () er løsning il den homogene differenialligning). I alle sådanne ilfælde kan man muliplicere de oprindelige gæ med, og hvis de ikke hjælper, kan man muliplicere med endnu e, osv. *). Eksempel.8. Gæemeoden. *) r + iω r + iω De ændrede gæ er nødvendige, når og kun når er en rod i karakerligningen. Hvis er neop p gange rod i karakerligningen, så vil neop de oprindelige gæ muliplicere med p føre il en parikulær løsning. 8

32 Find samlige løsninger il differenialligningen d y 4 + 6y () = 6e 0sin( ) + 6 Løsning: d y Homogen løsning: + 6y () = 0. Differenialligninger af. orden 48 Karakerligning: λ + λ 6= 0 λ = ± + λ = λ = 4 Samlige løsninger il den ilsvarende homogene differenialligning: y ()= Ce + Ce Inhomogen ligning: Da højre side q() er en sum af e polynomium, en rigonomerisk funkion, og en eksponenialfunkion berages disse funkioner hver for sig: d y 4 ) + 6y () = 6e 4 Gæ: y ()= ae (giver med sikkerhed en løsning, da ikke løsning il den homogene) p y () =4ae p ( ) 4 4, y () = 6ae indsæes i ligningen: p ae 4ae 6ae = 6e a 4a 6a = 6 a = yp ()= e d y ) + 6y () = 0sin( ) Gæ: y () = acos( ) + bsin( ) y ( ) = a sin( ) + b cos( ) p y () = 4 acos( ) 4 b sin( ) p p indsæes i ligningen: ( 4acos( ) 4bsin( )) + ( asin( ) + bcos( )) 6( acos( ) + bsin( )) =0sin( ) ( 8a+ b 6a) cos( ) + ( 8b a 6b) sin( ) = 0sin( ) Heraf fås + = = a = 4a b 0 b 7a 5. a 4b = 0 a 98a = 0 7 b = 5 d y ) + 6y () = 6 Gæ: yp a b, y () =, y p () =, indsæes i ligningen: p 4 yp () = cos( ) + 7 sin( ) a 6( a+ b) = 6 6a = 6 a 6b= 0 a = b= yp ()= 6 6 Samlige løsninger: y e 4 7 () = + cos( ) + sin( ) + Ce + Ce Eksempel.9. Gæemeoden. 9

33 Sædvanlige differenialligninger Find samlige løsninger il differenialligningen d y + 6y () = 7e Løsning: d y Homogen løsning: + 6y () = 0 48 Karakerligning: λ + λ 6= 0 λ = ± + λ = λ = 4 Samlige løsninger il den ilsvarende homogene differenialligning: y ()= Ce + Ce Inhomogen ligning: Da q ()= 7e er løsning il den homogene ligning, gæes ikke på ae, men på y ()= ae p. y () = ae ae = ae ( ) p y () =ae ( ) ae =ae ( + ) =4ae ( ) p 4ae ( ) + ae ( ) 6ae = 7e 7a = 7 a = yp ()= e Fuldsændig løsning: y ()= e + Ce + Ce,. Eksempel.9. Tvungen svingning, resonans. Indledning: I eksempel.5 så vi på e lod med massen m der var fasgjor il en fjeder. Vi ænker os nu samme siuaion, men anager yderligere, a fjederens fasspændingspunk bevæger sig frem og ilbage på en sådan måde, a afvigelsen fra de oprindelige fasspændingspunk il iden er Fsin( β) (se figuren), Fsin( β ) Fsin( β ) Hermed ændrer fjederens længde med y () Fsin( β ), og fjederkrafen bliver k( y( ) Fsin( β )). Bevægelsesligningen bliver nu: m y () + c y () + k y() = k F sin( β ) () Den fuldsændige løsning il differenialligningen () er en sum af en parikulær løsning yp () il () og den fuldsændige løsning yh () il den ilsvarende homogene differenialligning m y () + c y () + k y() = 0 () I eksempel.5 løse vi den homogene differenialligning (), og her fan vi, a på grund af dæmpningen c, vil den 0

34 . Differenialligninger af. orden homogene løsning yh( ) 0 gå mod 0 for, dvs. løsningen il () vil for sore værdier af være lig den parikulære løsning. Umiddelbar vil parikulær løsning derfor være en løsning af samme ype som inpu k Fsin( β ) med samme frekvens, dvs. yp( ) = Asin( β + ϕ). For visse værdier af β kan der opså resonans, dvs. ampliuden for oupu bliver mege sor. Dee kan bevirke a syseme ødelægges. Maskiner, biler, skibe, flyvemaskine og broer er svingende mekaniske sysemer, og de er her vigig a de er fri for uønske resonans. Problem: ) Find en pariel løsning il differenialligningen m y () + c y () + k y() = k F sin( β ) () i de ilfælde, hvor dæmpningen er lille, dvs. hvor karakerligningens diskriminanen D= c 4 m k < 0. ) Find den værdi af β for hvilken der er resonans. Løsning: ) For a finde en parikulær løsning il differenialligningen () kunne vi anvende inegralmeoden under benyelse af Ti89 (eller Maple), men de fremkomne uryk viser sig a blive mege lang og svær a reducere. I sede benyes gæemeoden, selv om de også giver besværlige regninger: y ( ) = acos( β ) + bsin( β ), y ( ) = aβsin( β ) + bβcos( β ), y ( ) =aβ cos( β ) bβ sin( β ) Ved indsæelse i () og ordning efer cos og sin fås: m ( aβ ) + c b β + k a cos( β ) + m ( bβ ) c a β + k b sin( β ) = k F sin( β ) ( ) ( ) dvs. ( m β + k) a + c β b= 0 ( mβ + k) bc β a = k F ( mβ + k) ( ) ) = m β + k a b c β ( m β + k) a) c β a = k F c β = ( k m β ) a = ( k m β ) a b b c β c β k F c ( k m β ) β ( c β) a = a = k F ( k m β ) + ( c β) c β b = a = ( k m β ) k F ( k m β ) + ( c β) k F c β ( k m β ) + ( c β) Vi har følgelig a den parielle løsning kan skrives y = a β + b β () cos( ) sin( ) y () = Acos( β + ϕ) Mere anskuelig kan svingningen urykkes ved ampliude og fase, hvor ( A, ϕ) er de polære koordinaer il punke ( a, b) ( se evenuel sæning.). Som nævn vil bidrage fra den homogene løsning efer en vis id blive beydningsløs, hvorefer pariklen prakisk age kun udfører svingningen y () = Acos( β+ ϕ) ) Resonans. For visse værdier af Vi har nemlig A= a + b = = k F ( β) har ampliude A e maksimum. β = k F c β c + ( k m β ) k F = + ( ) k m β c β k m β + ( c β) + ( k m β ) + ( c β) ( k m β ) + ( c β) Da A er sørs for nævneren minds, skal man finde minimum af ( k m β ) k F

35 Sædvanlige differenialligninger ( ) f ( β) = k m β ( c β) = k m k β + m β + c β = m β + ( c mk) β + k f ( β) = 4m β + ( c mk) β c mk k c f ( β) = 0 4m β + ( c mk) = 0 β = β = m m m Da punke må være e minimumspunk (grenene vender opad) fås, a ampliuden er sørs for β = k c m m Vi har alså resonans for denne værdi af β og den sørse ampliude er Amax = kf = k c k c k + c m m m m kf 4 4 c c k c + m m 4 4m kf mkf = = c m mk c 4 c 4mk c. Eksempel.0. Tvungen svingning, resonans Lad de i eksempel.9 angivne lod have massen m =4, lad fjederen have proporionalieskonsanen k = 7 og lad dæmpningsfakoren c = 4. Lad endvidere lodde il iden = 0 befinde sig i en afsand af fra hvilesillingen og der have hasigheden 0, dvs. y( 0) = og y ( 0) = 0. (Samme alkonsaner som i eksempel.6) Fjederens fasspændingspunk bevæges nu il iden med en afvigelse y() fra de oprindelige fasspændingspunk på y () = sin( β) ) Lad β = a) Opsil differenialligningen for bevægelsen b) Angiv den løsning, der svarer il ovennævne begyndelsesbeingelse, og skiser grafen for [ 06π ; ] c) Angiv den værdi af β for hvilken der er resonans, og den deril svarende ampliude. Løsning: ) a) 4y () + 4 y () + 7 y() = 4sin b) Ifølge eksempel.6 har den homogene differenialligning den fuldsændige løsning yh() = Ae cos( + ϕ) Af eksempel.9 fås, a en parikulær løsning er a = ( k m β ) + ( c β) ( 74 ) + ( 4 ) = + yp () acos bsin, hvor b = k F c β = 7 4 ( k m β ) k F ( 7 4 ) 7 = ( k m β ) + ( c β) ( 74 ) + ( 4 ) = 6 = Den fuldsændige løsning er y () = cos+ sin+ Ae cos( + ϕ) Ide 6 44 y () = sin + cos + Ae cos( + ϕ) sin( + ϕ) fås

36 . Differenialligninger af. orden A cosϕ = A A y() 0 = = = 85 85cosϕ 85cosϕ A 774. y () 0 = Acos Asin = 0 an 0 an = = = ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ y () = cos+ sin e cos ( ) Den parikulære løsnings ampliude er A= a + b = = Dee semmer go med den følgende egning, der også viser, a frekvensen hurig bliver den samme som inpu 500. Man kunne ro, de var leere a løse differenialligningen med Ti 89: F: C:deSolve(4* y +4* y +7*y=4*sin8) and y(0)= and y () 0 = (,, 0 y). men resulae bliver e mege komplicere rigonomerisk uryk, som er vanskelig a simplificere. k c 7 4 c) β = = = 965. m m 4 4 mkf Amax = = = = = 45. c 4mk c

37 Sædvanlige differenialligninger. Differenialligninger af n e orden.. Indledning. Som de forrige afsni vise, er de le a finde anvendelser der fører il differenialligninger af. og. orden. Dee er ikke ilfælde for differenialligninger af redie eller højere orden. Vi vil derfor behandle emne mege kor, og kun for differenialligninger med konsane koefficiener.. Den lineære differenialligning af n e orden med konsane koefficiener Ved en lineær differenialligning af n e orden med konsane koefficiener forsås differenialligningen a d n y n d y a a n + a y q () n n = n 0 () () hvor koefficienerne an, an,..., a, a0 er reelle al og a n 0. Er q() = 0 siges differenialligningen a være homogen. Der gælder da analog il de ilsvarende sæninger for ordens differenialligninger, følgende : Sæning. (løsning il lineær differenialligning med konsane koefficiener). Lad yp () være en parikulær løsning il differenialligningen n n a d y d y a a n + a y q hvor () n n = n 0 () () a n 0 Den fuldsændige løsning il () fås da ved il yp () a addere den fuldsændige løsning il den n ilsvarende homogene differenialligning. a d y d y a a n + a y n n = n 0 () 0 () Den fuldsændige løsning il den homogene differenialligning () er give ved y () = Cy () + y() Cnyn() hvor C, C,..., C n er vilkårlige (arbirære) konsaner. Funkionerne y(), y(),..., yn () kan besemmes ud fra de n rødder λ, λ,..., λn i karakerligningen a λ + a n λ +... a λ+ a på følgende måde: n n n 0 Rødder i karakerligning Tilhørende funkioner y i () λ er p gange reel rod e, e, e,..., e n λ λ λ p λ r + iω (og dermed også r iω ) er p gange kompleks rod. r e cos ( ω), e sin ( ω), r e cos ( ω), e sin ( ω), r e cos ( ω), e sin ( ω), p r p r e cos ( ω), e sin ( ω), r r r Sæningen anføres uden bevis 4

38 Eksempel.. Differenialligning af n e orden ) Find samlige løsninger il differenialligningen: 5 4 d y d y d y d y y = ) Find samlige løsninger il differenialligningen: 5 4. Differenialligninger af n e orden d y d y d y d y y = 4e Løsning: ) Maple kunne læse differenialligningen direke, mens Ti 89 kun kan løse førse og anden ordens differenialligninger. Ti 89: Karakerligningen løses: Mode, Complex forma=recangular, F, A:Complex = csolve(z^5-4z^4+z^+6z^-0z+00=0,z). Resula z = -, z =+i, z =-i. Da vi kun finder rødder ud af de 5 mulige, må nogle af disse være muliple rødder. For a undersøge dee opløses urykke i fakorer MATH, ALGEBRA, facor(z^5-4z^4+z^+6z^-0z+00=0,z) Resula:(z+)( ( z+ )( z z+ 5) Heraf ses, a de er +i (og -i) der er dobbelrødder. Fuldsændig løsning: y ( ) = Ce + Ce cos( ) + Ce sin( ) + Ce cos( ) + Ce sin( ) ) Gæemeoden: Gæ: y() = ae + b + c, y () = ae + b, y () = 9ae, y () =7ae ( 4 ) ( 5 ) y () = 8ae, y () = 4ae indsæes: e ( 4a4 8a 7a+ 6 9a a) = 4e 800a = 4 a = b+ 00 ( b+ c) = 00 00b+ 00c 0b= 00 00b= 0 00c 0b= 0 b= c= 0 00 y e 7 ( ) = + + Ce + Ce cos( ) + Ce sin( ) + Ce cos( ) + Ce sin( ) Maple: > ligning:=*diff(y(),$5)-4*diff(y(),$4)+*diff(y(),$)+6*diff(y(),$)- 0*diff(y(),$)+00*y()=4*exp(-*)+0*-0: > dsolve(ligning); 5

39 Sædvanlige differenialligninger 4. Sysem af differenialligninger af e orden 4. Indledning. Ved mange anvendelser vil man møde sysemer af sammenhørende differenialligninger. De følgende eksempel giver e eksempel herpå hene fra elekriske kredsløb, og i næse kapiel ses på mere avancerede eksempler hene fra reguleringseknikken. Eksempel 4. Model af e elekrisk kredsløb Lad der være give de på figuren angivne kredsløb Opsil differenialligninger il besemmelse af i og i, ide de anages, a alle ladninger og srømme er 0 il iden = 0, hvor afbryderen lukkes. Løsning: di Vensre kredsløb giver (se evenuel eksempel.8) + R( i i) = Højre kredsløb giver: R i + R( i i) + som ved differeniaion giver C i = 0 ( R R ) di R di + + C i = 0 di + 4i 4i = Indsæes de på figuren angivne al fås di di i = 0 Vi har dermed sammenhørende differenialligninger il besemmelse af i og i. De i eksempel 4. fundne differenialligninger kan med de givne begyndelsesbeingelser løses ved meoder vi udleder i næse kapiel. Imidlerid er dee ikke alid mulig, og man må så løse dem ved numeriske meoder. Meoderne vil være generaliseringer af Euler (eller bedre af Runge-Kuas meode), men vi vil her nøjes med a benye lommeregneren ved løsningen. 6

40 4. Sysem af differenialligninger af. orden 4. Numeriske meoder il løsning af sammenhørende differenialligninger af. orden. Lad os berage e sysem af sammenhørende differenialligninger af. orden. x () = f ( x(), y()) y () = f ( x(), y()) Vi ønsker a finde løsninger x () og y () der opfylder ligningerne. Ofe ønsker vi ikke a finde den fuldsændige løsning, men blo den parielle løsning, der opfylder en given begyndelsesbeingelse ( 0, x0, y0) Grafisk kan man naurligvis afbilde de funkioner i e sædvanlig koordinasysem, men ofe er man mere ineressere i a afbilde parameerfremsillingen ( x ( ), y ( )) i e x - y koordinasysem (kalde e fasediagram).de følgende eksempel demonsrere dee ved anvendelse af Ti89 og Maple. Eksempel 4.. Numerisk løsning af sammenhørende differenialligninger Indledning: I e isolere område er føden for en besem rovrar R hovedsagelig en besem græsæder G. Analle af R afhænger derfor af analle af G. Når der er mange af G i forhold il R vil de bevirke, a analle af R vil sige, da ungerne får rigelig med føde. På e idspunk vil de beyde, a der dræbes flere af G, end der fødes, dvs. analle af G falder. Så bliver der hungersnød blan de mange R er så deres anal vil også falde, osv. En populær biologisk model for dee er følgende Ide analle af R som funkion af iden er x() og analle af G er y() opsilles modellen: dx + kx () + kx () y () = 0, hvor k, kkog k er konsaner. 4 + k y + k x y () 4 () () De viser sig, a de ikke er mulig ved hjælp af Maple eller andre programmer direke a besemme x() og y(), så man må benye en numerisk meode. Problem: Lad e differenialligningssysem være give ved: dx + x () 0. x () y () = 0 med begyndelsesbeingelsen x(0) = og y(0) = 5 y () + x () y () = 0 ) Skiser i inervalle 0 funkionerne x() og y()i samme koordinasysem. ) Besem på basis af figuren den maksimale værdi af x() og y(). ) Man må forvene, a maksimum af anal græsædere sker før maksimum af anal rovr. Vurder på basis af figuren om de er ilfælde, og angiv i bekræfende fald idsforskellen. r x 4) Skisér vekorfunkionen r () = (), og find y (), 0 r (.) 4 7

41 Sædvanlige differenialligninger Løsning: Ti 89: ) Man isolerer de differenialkvoiener: dx dx + x () 0. x () y () = 0 = x () + 0. x () y () y () + x () y () = 0 = y () x () y () Mode, Graph=Diff Equaions, Y=, y'=-*y+0.*y*y yi= y'=*y-y*y yi=5 Axes =ON, Labels = ON, Soluions Mehod = RK, Fields=FLFOFF WINDOWS, 0=0, max=, sep=0., plo=0, xmin=-,xmax=, xcl=5, ymin=-,ymax=0 osv. De o funkioner ses, a være periodiske. ) Med Trace findes: x() har maksimum.5 for =.4, og y() har maksimum 7.5 for =.8 ) De ses som forvene, a maksimum af anal græsædere sker før maksimum af anal rovr. Tidsforskellen er =0.6. 4) Y=,, Fields=DIRFLD, Y=, ENTER Der vises en lukke kurve i x-y-koordinasyseme, sam e reningsfel, hvoraf man kan skønne hvordan kurverne ville være for andre begyndelsesbeingelser. x (). F:Trace: Sæ =.4. Man finder r () =. = y () Maple: ) sys := {diff(x(),) =-*x()+0.*x()*y(), diff(y(),) =*y()-*x()*y()}; begynd:={x(0)=,y(0)=5}; Lb := dsolve(sys union begynd, {x(),y()},ype=numeric,oupu=lisprocedure); f:=subs(lb,x()); g:=subs(lb,y()); 8

42 plo([f,g],0..,color=[blue,red],legend=["x","y"]); 4. Sysem af differenialligninger af. orden > ) Af figuren aflæses, a maksimum for y() ligger omkring =.8 og maksimum for x() ligger omkring.4 g(.7),g(.8), g(.9); f(.),f(.4),f(.5); Heraf ses, a x() har maksimum.5 for =.4, og y() har maksimum 7.5 for =.8 ) De ses som forvene, a maksimum af anal græsædere sker før maksimum af anal rovr. Tidsforskellen er =0.6. 4) wih(deools): DEplo( sys, [x,y], =0.., {[0,,5]}, x=-..0,y=-0..40, sepsize=0.05,linecolor=blue); 9

43 Sædvanlige differenialligninger Vi ser en lukke kurve x-y-koordinasyseme (fasediagramme), sam e reningsfel, hvoraf man kan skønne, hvordan kurverne ville være for andre begyndelsesbeingelser. f(.4),g(.4); x(.) 4 5. r (.) 4 = = y(.) Numerisk løsning af differenialligninger af eller højere orden. Kan man ikke finde en eksak løsning il en differenialligning af højere orden, må man benye en numerisk meode. Dee kan ske ved a ligningen omformes il e sysem af lineære differenialligninger af. orden, hvorefer de løses som vis i afsni 4.. Denne omformning vises i nedensående eksempel. Eksempel 4.. Omformning af differenialligninger af orden il differenialligninger af. orden. Omform differenialligningen d y d y y() = sin() il differenialligninger af. orden. Løsning: Lad z =, w = dz Vi har da syseme = z dz = w dw + w+ z+ y = sin( ) 40

44 5 Laplaceransformaion 5. Laplaceransformaion 5.. Indledning. I eksempel 4. beragede vi e elekrisk kredsløb, som føre il e sysem af differenialligninger med konsane koefficiener. Vi var ineressere i a finde en besem (parikulær) løsning som opfyle en begyndelsesbeingelse. E sådan problem løses nemmes ved en eknik, der kaldes Laplace-ransformaion. Også mere komplicerede problemer, hvori der indgår funkioner med spring og med forsinkelse løses lees ved denne meode. Nedensående eksempel fra reguleringseknikken viser neop e sådan problem, hvis løsning lees sker ved anvendelse af Laplaceransformaion. Eksempel 5.. Differenialligning med forsinkelse. Figur 5. viser e sysem, hvor der fra ank efer saren il = 0 kommer en koncenraion af kg/m af e sof A. Til iden = π sker en omkobling il ank, hvor koncenraionen varierer periodisk som 5 sin kga/ m. Hasigheden af srømmen ind i ank er m /min. Væske fra ank pumpes gennem e lang rør (kølespiral) il ank 4. Hver væskedel er minu om a gennemløbe røre, og hasigheden af srømmen fra ank il ank 4 er m /min. Rumfange af ank og ank fremgår af figuren ligesom de ses, a der yderligere pumpes væske ud af de o anke med den angivne hasighed. Til iden = 0 er y ( 0 ) = 0, z ( 0 ) = 0 og ren vand i kølespiralen. Lad y() og z() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: Besem koncenraionen z() for alle 0. Fig.5.. anke med opkobling mellem ank og 4

45 Sædvanlige differenialligninger Eksempel 5. illusrerer o væsenlige forhold for de differenialligningsproblemer, som kan løses ved Laplaceransformaion. ) Man er kun ineressere i en besem løsning besem ved en begyndelsesbeingelse for = 0, og man er kun ineressere i de fysiske sørrelsers ændringer fremad i iden (for 0 ) ) Inpu må gerne være funkioner, der har endelige spring. I eksempel 5. sker dee ved a man il iden = kobler om fra en beholder il en anden, hvorved inpu f () bliver besem for 0 < ved den sykkevis koninuere funkion f ()=. 5 e for Sådanne pludselige spring hidrørende fra åbning af en venil, afbrydelse af en elekrisk konak eller ilsæning af en kaalysaor forekommer ofe. 5.. Laplace-ransformaion. Lad i de følgende f () være en funkion som er eksponeniel begrænse, dvs. som er sykkevis koninuer på ehver endelig inerval for 0 og for hvilke der findes konsaner M og k, så f () Me k Man kan vise, a så vil de uegenlige inegral s 0 0 s e f ( ) = lim e f ( ) eksiserer (for en passende sor værdi af s). Værdien kaldes for den Laplace-ransformerede af f og benævnes, F(s) eller f () s. L{ f } Eksempel 5.. Laplaceransformaion af e a. Lad f ()= e a, hvor a er en konsan. { } a a s ( a+ s) Le = e e = e = 0 0 ( a+ s) e = lim = ( a+ s ) ( a + s ) s + a ( a+ s) e lim ( a + s ) 0 { } L F = f kaldes den inverse Laplace-ransformerede. Eksempelvis følger af eksempel 5. a L s+ a = e a 4

46 Sæning 5.. Lineariesregel. La f() + bg () = a L f() + b Lg () { } { } { } { () + ()} = { ()} + { ()} L a F s b G s a L F s b L G s Bevis: Af definiionen følger 5 Laplaceransformaion L a f b g a f b g e a f e b g e al f bl g Hermed er regel () bevis. L a f b g al f bl g L L a f b g L () + () = () + () () + () = al f () + bl g () s s s { () + ()} = ( () + ()) = () + () = { ()} + { ()} { } { } { } { } { } { { } { }} { } { } { } { } a f () + b g() = L af() s + bg() s al F() s + bl G() s = L af() s + bg() s Hermed er regel () bevis. () () Der er udarbejde mege omfangsrige Laplace-abeller. I appendix 5. findes en abel over de Laplace-ransformerede af de almindeligse funkioner og i appendix 5. en abel over de invers Laplaceransformede. De følgende eksempler øver anvendelsen af disse abeller. Eksempel 5.. Laplaceransformaion ved anvendelse af abel. Lad f () = 5+ + cos( ). Find f () s = L f () { } Løsning: { } {} f s L L L{ } L{ } L{} ln ( ) = 5+ + cos( ) = cos( ) = 5 + 4L{ e } + L{ cos( ) } Af appendix 5. fås: {} formel : 5 L = 5, formel 4: L{ cos( ) } = s 5 4 f () s = + + s s + ln s = 4 s + ln s ln Le { } s + Eksempelvis G.E.Robers and H. Kaufman: Table of Laplace-Transforms W.B.Saunders Company 966 (67 sider) 4

47 Sædvanlige differenialligninger Eksempel 5.. Invers Laplaceransformaion ved anvendelse af abel. 4 Lad ys () = Ly { ()} = +. s + 4s+ s s Find y(). Løsning: i ) s + 4s+ = 0 s= ± s= ± s= ± i s + 4s+ = ( s( )) + = ( s+ ) + 4 L L e (formel 5) s + s+ = 4 = 4 sin( ) 4 ( s + ) ) s s = 0 s= ± s= ± ( ) = 4 4 s s = s + s ( ) Brøken dekomponeres (se evenuel komplekse al afsni 6.4) Ti 89:MATH, ALGEBRA, expand(/(*x^-x-),x). Maple: conver(/(*x^-x-),parfrac,x) 6 Resula: 5 ( x ) 5( x+ ) L L L e e (formel 6) s s = s s + = y e ()= + e e

48 5 Laplaceransformaion 5.. Laplaceransformaion af differenialkvoiener. Laplace-ransformaion er en meode il løsning af differenialligninger med konsane koefficiener. Heril anvendes følgende differeniaionsregel: Sæning 5.. Differeniaionsreglen. Lad funkionen f og dens afledede f, f,..., f Så gælder L{ f } = s L{ f } f ( 0) { } { } L f = s L f s f ( 0) f ( 0) { } { } ( n) L f = s L f s f ( 0) s f ( 0) f ( 0)..... { } { } være eksponeniel begrænsede. ( n) n n n ( n) ( n) L f = s L f s f () 0 s f () 0... s f () 0 f () 0 Bevis: Ved delvis inegraion fås s s s s L f = e f = e f f e () () () = 0 f ( 0) + s e f () = f ( 0) + s L f Hermed er sæningen bevis for n =. Ved o gange a anvende den lige bevise formel fås: L f s L f f s s L f f f s = ( 0) = ( 0) ( 0) = L f s f ( 0) f ( 0) { } { } { } { } { } ( ) { } Hermed er sæningen også bevis for n =. Tilsvarende kan den for n = bevise formel nu anvendes gange, så fire gange osv. På denne måde kan de indses, a sæningen gælder for ehver posiiv hel al n. Eksempel 5.4. Differenialligningssysem. I eksempel 4. blev der opsille de på figuren egnede elekrisk kredsløb: Der blev opsille følgende differenialligninger il besemmelse af i og i, ide de anages, a alle ladninger og srømme er 0 il iden = 0, hvor afbryderen lukkes. di + 4i 4i = di di i = 0 med i() 0 = i() 0 = 0 Find i () og i (). 45

49 Sædvanlige differenialligninger Løsning: Differenialligningssyseme Laplaceransformeres: si 0+ 4i 4i = s i i s + = ( 4) 4 s 0( si ) ( si ) + i = si + ( 5 s+ ) i = 0 Ligningssyseme kan nu løses som e almindelig lineær ligningssysem( ligninger med ubekene). Dee er vis il sids, men de er sædvanligvis leere a løse syseme ved marixregning (og Ti 89) Ti89: s Maricerne A = og B = s s 5s+ 0 Maricerne A og B inases: APPS, Daa/Marix edior, New, Udfyld Type = Marix, Variable = A, anal rækker= og søjler =, ENTER, ENTER. Udfyld skemae med maricen A, Home. Nu er maricen A inase. APPS, Daa/Marix edior, New, Udfyld Type = Marix, Variable = B, anal rækker= og søjler =, ENTER. Udfyld skemae med maricen B, Home Nu er også maricen B er inase ( 5s + ) s A, ENTER, ^-, ENTER *, B, ENTER, ENTER. A X B X A B ( s + s+ = = = 5 4 8) 4 5s + 4s+ 8 MATH, ALGEBRA, expand(*(5*x+9/(x*(5*x^+4*x+8)),x), 5 8 Resula: i = 5 8 5x 4 x x 4 s = + + s s Tilsvarende fås: i = 4 4 5x+ 4 x+ = 4 s + s i() = 5e 8e + Af formel 6 fås:, 4 i e 5 () = 4 4e Tegnes de kurver i samme koordinasysem fås Som man ville forvene, vil i () og i () 0 for. 46

50 Håndregning: i = + ( s+ 4) i ( s+ 4) i i = 4 s 4 s s i + ( 5 s+ ) i = 0 s i + ( 5 s+ ) + ( s+ 4) i = 0 s 4 s = s = i i i i s 4 s 4 i s+ = i = 4 s 4 i i ( 5 s+ ) ( s+ 4) 5 ( s+ ) s + s+ 5 ( s + ) s = i i s 4 ( 5 s + ) = s s + s+ i ( 5 4 8) ( s + ) s = i = s s( 5 s 4s 8) 5 s + 4s + 8 ( 5 s + ) ( 5 s + ) = i = s s + s+ ( 5 4 8) s( 5 s + 4s+ 8) s 5 Laplaceransformaion Eksempel 5.5. Differenialligning af. orden. I eksempel.9 beragede vi e lod som blev sa i vungne svingninger. Loddes bevægelse fan vi var besem ved en anden ordens differenialligning, som blev løs ved anvendelse af gæemeoden. I eksempel.0 blev konkree der indsa konkree al for loddes masse osv. Der ønskes løs den derved fremkomne differenialligning ved anvendelse af Laplace, Løs differenialligningen: 4y () + 4 y () + 7 y() = 4 sin med begyndelsesbeingelserne y( 0) = og y ( 0) = 0. Løsning: Differenialligningen Laplaceransformeres: 4 4( s ys 0 ) + 4 ( s y 0) + 7 y = 4 ( 4s + 4s+ 7) y = + s + s + 4 y = + 4s + 4s+ 7 ( s + 4)( 4s + 4s+ 7) Vi dekomponerer den sidse brøk: expand(4/((4*x^+4*x+7)*(x^+)),x). Resula: 544 s 4 6 s y = + 4s + 4s s + 4s s + s+ s s i 4s + 4s+ 7 = 0 s= ± = ± = ± 8 8 i 4s + 4s+ 7 = 4 s+ + 6 s 49 6 s y =+ + s s + s+ + s+ + 47

51 Sædvanlige differenialligninger Af appendix 5. formel 5 og 6 fås: 6 49 y ( ) = cos sin e + e sin cos+ sin y ( ) = e cos + e sin cos+ sin Enhedsrinfunkion. Som nævn i indledningen er en mege sor fordel ved Laplacemeoden er, a man le kan løse problemer af den ype der er nævn i eksempel 5., hvor en omkobling fra en beholder il en anden giver e pludselig spring i koncenraionen af de indsrømmende sof. De samme sker for en elekrisk srøm, ved afbrydelse af en konak, eller for rykke ved åbning af en venil. For a kunne behandle sådanne ilfælde indføres den såkale enhedsrinfunkion (også kalde Heaviside funkion ) u ( uni sep funcion ) Definiion af enhedsrinfunkion u med spring i a. 0 for u ( a) = for < a a (se figur 5.) Fig 5.. Enhedsrinfunkion med spring i a Enhver sykkevis funkion f kan urykkes ved hjælp af enhedsrinfunkioner (jævnfør eksempel

52 Eksempel 5.6. Sykkevis funkion uryk ved enhedsrinfunkion. Lad funkionen + for 0 < f ()= 0e for < 5 sin( ) for 5 < (se figuren) Uryk f () ved enhedsrinfunkionen. 5 Laplaceransformaion Løsning: ( ) ( ) f ( ) = ( + ) + 0 e ( + ) u( ) + sin( ) 0 e u( 5) Enhedsfunkionen benyes sædvanligvis ved problemer, hvor man ænder eller slukker for konaker eller veniler. Dee er vis på nedensående figurer. Figur 5. viser funkionen f () Fig 5.. Funkionen f() I figur 5.a er f () bleve forsinke sekunder (parallelforsku sekunder) I figur 5.b har funkionen være slukke fra = 0 il = og bliver så æn Fig. 5.a. f () forsinke Fig. 5.b. f() ændes il iden = 49

53 Sædvanlige differenialligninger Funkionen give ved [ ] vil ofe blo skrive f (). f ( a) u( a) siges a være forsinke med a i forhold il f ( ), og vi forsinke a 5.5. Forsinkelsesregel Sæning 5.. Forsinkelsesregel.. Lad funkionen f være eksponeniel begrænse, L f () = F() s og lad a > 0. Der gælder: L f ( a) u( a) = e as L f ( ) { } { } { () ( )} = as ( ( + )) L f u a e L f a as { } = = [ ] { } L e F() s f ( a) u( a) f () forsinke a Bevis: s s s ( a) sa (): L{ f ( a) u( a) } = e f ( a) u( a) = e f ( a) = e e f ( a) 0 a a Sæes x = a fås L{ f a u a } e sa e s x ( ) ( ) = f ( x) dx = e sa L{ f ( ) } dvs. formel () er bevis. 0 (): Indsæes g () = f( a), hvorved g ( + a) = f( ) i formel () fås { ( ) ( )} = as { ( )} { } ( ) L f a u a e L f = Lg () u ( a) = e as Lg ( + a) dvs. formel () er bevis. () { } = { } { } = { } { } { } L f ( a) u( a) e as L f ( ) L L f ( a) u( a) L e as L f ( ) f ( a) u( a) e as L f ( ) = () () () Eksempel 5.7. Træning i forsinkelsesreglen. Find ) Le { u 4s e ( 4) } ) L s + 4 Løsning: ) Ved benyelse af formel () og appendix 5. formel fås: ( ) { ( 4) } { } { } 4s + 4 4s 8 4s8 Le u = e Le = e e Le = e s + ) Ved benyelse af formel () og appendix 5. formel 5 fås: 4s e L L e s + = = s + 0 sin( ) 4 forsinke 4 = sin( ( 4)) u( 4) = sin( 8) u( 4) forsinke 4 I eksempel 5. opsilledes følgende problem, som vi nu kan løse. 50

54 5 Laplaceransformaion Eksempel 5.8. Sysem af differenialligninger med forsinkelse Figur 5. viser e sysem, hvor der fra ank efer saren il = 0 kommer en koncenraion af 0 kg/m af e sof A. Til iden = π sker en omkobling il ank, hvor koncenraionen varierer periodisk som ( 5 sin + 5) kga/ m. Hasigheden af srømmen ind i ank er m /min. Væske fra ank pumpes gennem e lang rør (kølespiral) il ank 4. Hver væskedel er minu om a gennemløbe røre, og hasigheden af srømmen fra ank il ank 4 er m /min. Rumfange af ank og ank fremgår af figuren ligesom de ses, a der yderligere pumpes væske ud af de o anke med den angivne hasighed. Til iden = 0 er y ( 0 ) = 0, z ( 0 ) = 0 og ren vand i kølespiralen. Lad y() og z() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: Besem koncenraionen z() for alle 0 Fig.5.. anke med opkobling mellem ank og Løsning: Inpu il ank er give ved a man il iden = π kobler om fra ank il ank Den er derfor besem ved den sykkevis koninuere funkion 0 for 0 < π f () = eller 5+ 5 sin for π f () = 0 + ( 5+ 5 sin 0) u( π) = 0 + ( 5sin() 5) u( π). Opsilling af differenialligninger. For ankene og 4 opsilles massebalancen IND + PRODUCERET = UD + AKKUMULERET som e differeniel regnskab over, hvor mange kg A der passerer ind og ud i e idsinerval [ ; + ]: Tank : IND: f (), PRODUCERET: 0 (da der ikke produceres A i anken) UD: y () + y () = y () AKKUMULERET: d( 4 y( ) = 4 d( y( )) (da der i anken er 4 y kg A og der sker en differeniel ændring i denne mængde ) Dee giver ligningen: f () + 0= y() + 4 5

55 Sædvanlige differenialligninger Tank 4: IND: y ( ) u ( ) da der de førse minu kun løber ren vand ind i anken, og derefer med en koncenraion svarende il den der var i ank for minu siden., PRODUCERET: 0 (da der ikke produceres A i anken) UD: z () AKKUMULERET: d( 6 z( ) = 6 d( z( )) (da der sker en differeniel ændring i mængden af A i anken) Massebalancen: y( ) u( ) + 0= z( ) + 6 dz Ved division med fås differenialligningerne: f () = y() + 4 () dz y ( ) u ( ) = z ( ) + 6 () Af ligning () fås: 4 + y () = ( 0+ ( 5 sin() 5) u ( π) ) Ligning () Laplaceransformeres: 4 0 πs 0 + = + 5 { + } 4 5 πs s sinπ + cosπ s y y e L sin( π) ( s+ ) y = + e s s s + s y = + e s( 4s+ ) ( 4s+ )( s + ) s( 4s+ ) π s Ligning () Laplaceransformeres: s s s e y = z + 6s z ( s+ ) z = e y z = e s + y Ligning () indsæes i ligning (4) og vi får: s z = e e s s( 4s+ ) ( 4s+ )( s + ) s( 4s+ ) πs () (4) s 0 ( + π ) s 5 5 = e e + ( s+ )( 4s+ ) s ( 4s+ )( s + )( s+ ) s( 4s+ )( s+ ) De o brøker dekomponeres ved a benye Ti89 (expand) s 0 s s e = e e s+ s+ s s+ 54 s+ + 0 = ( )( 4 ) 4 s s s+ s+ 4 ( + π) s 5 ( + π) s 9 8 9s 7 e = e + ( 4s+ )( s + )( s+ ) 5( 4s+ ) 0( s+ ) 50( s + ) 50( s + ) ( + π )s s = e s s s 50 s + 4 5

56 z = e s ( + )s e s s+ s+ 4 π 48 5 s s+ 5 Laplaceransformaion 9 s s 50 s s s+ s+ 4 s z = e ( + π )s s + e + s s+ s s s s 50 s 5 s 4 Ved ilbageransponering (appendix 5. formel 6+5) fås z () = 8e 4 8e e 4 + e + cos+ sin forsinke forsinke + π De ses som forvene, a for sore værdier af iden vil koncenraionen nærme sig il z () = cos+ sin = cos( ), dvs. anksyseme har dæmpe svingningerne fra en ampliude på 5 il en ampliude på 0.9. Graferne for inpu og oupu er følgende (egne i Maple): 5

57 Sædvanlige differenialligninger Eksempel 5.9. Elekrisk kredsløb udsa for en firkanimpuls. Find srømmen i () i ovensående kredsløb hvis de i idsrumme 4 bliver påfør en firkanimpuls på 5 vol. I idsrumme 0 < er i ()= 0. Løsning: Ligningen for kredsløbe kan skrives (se evenuel eksempel.8) Ri () + i= v i + i= v C () () 4 (). () () di dv Ved differeniaion fås i () = Ligningen Laplaceransformeres: 4( s i 0) + 4 i = sv 0 4( s+ ) i = sv v ( ) = ( 50) u ( ) + ( 05) u ( 4) = 5 [ u ( ) u ( 4) ] v s e s s e s = ( s ) i sv 4( s ) i 5 s ( e s e s s ) i ( e s + = + = = e s ) 4( s + ) [ ] [ ] 5 i () = e e 4 forsinke forsinke 4 0 for 0 < 5 ( ) 5e = e e = for < ( ) ( 4) 5( e e ) ( e e ] = e for

58 5 Laplaceransformaion 5.6. Dirac s delafunkion Ofe anager en fysisk sørrelse sore værdier i e mege kor idsrum. De sker eksempelvis, når en kondensaor korslues, eller når man pludselig ilsæer en sor mængde sal il en opløsning. For a kunne behandle sådanne ilfælde berager vi funkionen ε δε ( a) for a < a+ = ε 0 ellers (jævnfør figuren) ε a + ε Vi har δε ( a) = ε u( a) + ε u a ε = ε a( a) u( a 0 0 ε { } Laplaceransformeres fås: L a. s e as s e ( a+ ε ) s e as δε ( ) = = e ε sε εs Benyes l hospials regel fås { δ ε ( )} L a e as ε 0 e lim ε sε εs 0 0 εs se = lim =, dvs. ε s 55

59 Sædvanlige differenialligninger Man definerer derfor Diracs delafunkion δ( a) ved, a L δ( a) = e as. { } δ( a) er ikke en sædvanlig funkion, men ved de førnævne problemer, hvor der pludselig opsår en korvarig impuls, er de prakisk, a opfae den som en sædvanlig funkion. Dee illusreres i følgende eksempel: Eksempel 5.0. Dirac s delafunkion. Lad os igen berage ankprobleme i eksempel 5.8. men nu anager vi yderligere, a der i ank 6 minuer efer saren hældes 0 kg ren A. Vi ønsker igen a finde koncenraionen z () for 0. Løsning: For ank bliver IND: f () + 0 δ( 6) Resen er uændre, dvs. differenialligningen bliver f () + 0 δ( 6) = y() + 4 6s Ligningen Laplaceransformere bliver derfor som før, kun med ledde 0 e ilføje. 4 0 πs 0 5 { } 4 5 πs s sinπ + cosπ 6s s y + y = + e L sin( + π) ( s+ ) y = + e + 0e s s s + s πs 0 y = + e + e s( 4s+ ) ( 4s+ )( s + ) s( 4s+ ) 4s + Dee giver igen s 0 ( + π ) s 5 5 7s 0 z = e e + + e ( s+ )( 4s+ ) s ( 4s+ )( s + )( s+ ) s( 4s+ )( s+ ) ( 4s+ )( s+ ) Dekomponeres de sidse led fås 4 4 s+ s+ 4 Dee led ilbageransponeres, og den samlede løsning bliver derfor: z () = 8e 4 8e e 4 + e + cos + sin 5 + 4e 4e forsinke forsinke + π forsinke 7 6s For sammenligningens skyld, er løsningen egne førs for de oprindelige anksysem, og derefer med ilsæning af 0 kg A. 56

60 5 Laplaceransformaion Som de ses, beyder ilsæningen af 0 kg A, e spring i oupu, men derefer sabiliserer de sig igen. 57

61 Sædvanlige differenialligninger Appendix 5.. Tabel over Laplace-ransformerede Nr f() L{ f () } = F() s e a, a = 0: a = 0: s+ a s e a a = 0: a = 0: ( s+ a) s n a e, n 0, hel... n...n a = 0: a = 0: n + ( s+ a) n + s n cos( ω + ϕ) s cos( ϕ) ω sin( ϕ) s, ϕ = 0: (spec. ϕ = 0 ) s + ω s + ω cos( ω + ϕ) ( s ω ) cos( ϕ) ω s sin( ϕ) s ω (spec. ϕ = 0 ), s + ω ϕ = 0: s + ω ( ) ( s 6 s) + ( 6 s + ) ( s + ω ) cos( ω + ϕ) ω cos( ϕ) ω ω sin( ϕ) (spec. ϕ = 0 ), ( ) ϕ = 0: ( ) s 6ω s ( s + ω ) b e cos( ω + ϕ) s+ b cos( ϕ) ω sin( ϕ), s+ b ϕ = 0: (spec. ϕ = 0 ) ( s+ b) + ω ( s+ b) + ω b e cos( ω + ϕ) ( s+ b) ω cos( ϕ) ω ( s+ b) sin( ϕ) ( s+ b) ω (spec. ϕ = 0 ), ϕ = 0: s+ b + ω ( s+ b) + ω b e cos( ω + ϕ) (spec. ϕ = 0 ) (( ) ) ( ) ( s+ b) s+ b ( s b ) ( s+ b + ω ) 6ω ( ) cos( ϕ) + 6 ω ( + ) + ω sin( ϕ) sin( ω + ϕ) s sin( ϕ) + ω cos( ϕ), (spec. ϕ = 0 ) s + ω sin( ω + ϕ) ( s ω ) sin( ϕ) + ω s cos( ϕ) (spec. ϕ = 0 ), s + ω ϕ = 0: ( s+ b) 6 ω ( s+ b) ( ) (( s+ b) + ω ) ( ) ( s 6 s) + ( 6 s ) ( s + ω ) sin( ω + ϕ) ω sin( ϕ) ω ω cos( ϕ) (spec. ϕ = 0 ), ( ) ϕ = 0: ϕ = 0: ϕ = 0: ω s + ω ω s ( s + ω ) 6ω s ω ( s + ω ) b e sin( ω + ϕ) s+ b sin( ϕ) + ω cos( ϕ), ω ϕ = 0: (spec. ϕ = 0 ) ( s+ b) + ω ( s+ b) + ω b e sin( ω + ϕ) ( s+ b) ω sin( ϕ) + ω ( s+ b) cos( ϕ) ω ( s+ b) (spec. ϕ = 0 ), ϕ = 0: s+ b + ω ( s+ b) + ω b e sin( ω + ϕ) (spec. ϕ = 0 ) (( ) ) ( ) ( s+ b) s+ b ( s b ) ( s+ b + ω ) 6ω ( ) sin( ϕ) + 6 ω ( + ) + ω cos( ϕ) ϕ = 0: 6 ω ( s+ b) ω ( ) (( s+ b) + ω ) 58

62 Appendix 5.. Tabel over invers-laplace-ransformerede De forudsæes, a F(s) er en bruden raional funkion, hvor nævneren er af højs fjerde grad Andengradspolynomier med komplekse rødder a ± ib omskrives il ( s a) + b. Nr Fs () L{ f() } f () = L F() s s+ a ( s+ a) ( s+ a) n s ( s+ a) s ( s+ a) s ( s+ a) s 4 ( s+ a) s 4 ( s+ a) s 4 ( s+ a) = { } ( s+ a) + b s ( s+ a) + b (( s+ a) + b ) ( ( s+ a ) + b ) e a e a n a e ( n )! ( a) e a a e a + a e a a e a 6 a + a e a 6 a + a a e a 6 b e a sin( b ) Appendix 5. a cos( b) sin( b) e a eller b b a b e a b a + + = sin( ϕ), ϕ an b a e cos( b) + sin( b) b b s a a a a e cos( b) + e sin( b) b b b s (( s+ a) + b ) s (( s+ a) + b ) b a a a + b a e b b b b e a + cos( ) sin( b ) ) aa ( b + + a aa ( b ) a b + a e cos( b) e sin( b) b b b 59

63 Sædvanlige differenialligninger Opgaver. d.. Lad der være give differenialligningen = + y + Der ønskes i inervalle abellag den løsning, for hvilken y( ) = ) Der ønskes anven Eulers meode svarende il skrilængden h = og h =. (mellemregninger skal anføres) ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på h = 0.5. d.. Lad der være give differenialligningen = ln y Der ønskes i inervalle abellag den løsning, for hvilken y( ) =. ) Der ønskes anven Eulers meode svarende il skrilængden h = og h =. (mellemregninger skal anføres) ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på h = 0.5. d.. For differenialligningen = + ønsker man i inervalle [0 ; ] a besemme den y parikulære løsning y = y(), der svarer il begyndelsesbeingelsen y( 0) = ved hjælp af Eulers meode. Førs benyes skrisørrelsen h = og man finder y( ) = ) Beregn med en skrisørrelse på h = værdien af y( ) og y( ). Meoden skal klar fremgå af besvarelsen (de er alså ikke nok med e regnemaskineprogram). ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på h = 0.5. Giv på dee grundlag en vurdering af hvor nøjagig y() er beregne. d.4. Lad der være give differenialligningen = ( y+ ). Find den løsning y () som opfylder begyndelsesbeingelsen y( 0) = 7. d.5. ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen y =, ± ) Find og skisér den parikulære løsningskurve, som går gennem punke (, y ) = (,) 0. d.6 ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen y =, 0 ) Find og skisér de parikulære løsningskurver, som går gennem henholdsvis (, y) = (,), (. y) = (, ) og (, y ) = (,) 0. 60

64 Opgaver d.7. ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen = ( y). ) Find og skisér de parikulære løsningskurver, som går gennem henholdsvis (, y ) =,) og (, y) = (0,0). d.8 Lad y () være analle af individer bakerier i en bakeriekulur il iden. ) Som arbejdshypoese har man a individanalle øges med en hasighed der er proporional med de øjeblikkelige anal af individer y ()(mål i usinder). Lad proporionaliesfakoren være k. a) Opsil en differenialligning il besemmelse af y (). b) Find y() i de ilfælde, hvor k =.5 og analle af individer il iden = 0 er 00. ) Da de måle al ikke semmer overens med de beregnede, opsiller man nu den hypoese, a på grund af mangel på næring, bliver fakoren k ersae af sørrelsen ba y, hvor konsanerne a og b er posiive. a) Opsil en differenialligning il besemmelse af y (). b) Find ( evenuel ved a benye Ti89 eller Maple) y() i de ilfælde, hvor a =.4 og b = 0 4 og analle af individer il iden = 0 er 00. c) Beny Ti89 eller Maple il a skisere ovennævne løsningskurve. (Denne S-formede kurve er e eksempel på en såkal "logisisk kurve"). d.9. ) Find samlige løsninger il differenialligningen y =, > y 0 ( ) y ) Find og skisér de parikulære løsningskurver, som går gennem henholdsvis punke (, y) = (,) og (, y) = (,4) d.0 ) Find (evenuel ved a benye Ti89 eller Maple) samlige løsninger il y + differenialligningen = > y < 0 y ln( ), ) Find og skiser den løsningskurve, der går gennem punke (, y)=(, -) d.. d.. ) Find (evenuel ved a benye Ti89 eller Maple) den løsning il differenialligningen y =, der går gennem punke (, y)=(, 5). ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen + y () =, > 0. ) Find og skisér den parikulære løsningskurve, som går gennem punke (, y) = (,). 6

65 Sædvanlige differenialligninger d.. ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen y() =, ) Find og skisér den parikulære løsningskurve, som går gennem punke (, y) = (0,0). d.4. d.4. d.5. ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen ( + ) y ( ) =, > ) Find og skisér den parikulære løsningskurve, som går gennem punke (, y) = (0,0). ) Find den fuldsændige løsning il differenialligningen + ( ) y( ) =, > 0 ) Find og skisér den løsningskurve, som går gennem punke (, y) = (,). Eksperimener viser, a den hasighed hvormed e legeme afkøles i en lufsrøm er ilnærmelsesvis proporional med T - T luf, hvor T er legemes emperaur og T luf er lufens emperaur (Newons lov for afkøling i en srøm). Lad emperauren T luf i lufsrømmen konsan være 0 0 C. Legemes emperaur er 00 0 C il iden = 0 og 70 0 C il iden = min. Hvornår er legemes emperaur bleve 40 0 C. d.6. Lad grafen for funkionen y() for 0 være en koninuer kurve k, og lad punke P være e vilkårlig punk på kurven. Lad endvidere A( ) og A () være de på figuren afgrænsede arealer mellem k og henholdsvis x - aksen og y - aksen. Find funkionen y() sådan a ) y() = og ) A () = A () for alle 0 d.7. I e præpara vil analle af 4 C-aomer, som henfalder radioakiv pr. idsenhed være proporional med de øjeblikkelige anal ilsedeværende 4 C-aomer. Der går ca år, inden 50% af 4 C-aomerne er henfalde. Hvor lang id går der, inden 90% af 4 C- aomerne er henfalde? 6

66 Opgaver d.8. ) Find samlige løsninger il differenialligningen ( ) + y ( ) =, > ) Find den løsning il ovennævne differenialligning, som er besem ved y () = 0 Skisér grafen for y(). d.9. d.0. ) Find evenuel ved a benye Ti89 eller Maple) samlige løsninger il differenialligningen ( + ) + y() = ) Find og skisér grafen for den løsning, der opfylder begyndelsesbeingelsen y( 0) =. Beny Ti89 eller Maple il a finde den løsning il differenialligningen ( ) ( + ) + ( ) ) y( ) =, < som opfylder begyndelsesbeingelsen y( 0) = d.. Find samlige løsninger il hver af differenialligningerne ) d y 4 + 4y () = 0 d y ) 6 + 0y () = 0 ) d y y () = 0 d y d.. Find den løsning il differenialligningen + 5y = 0, der opfylder 4 begyndelsesbeingelserne y( 0) = og y ( 0) =. Løsningen ønskes angive såvel på formen formen Ae r cos( ω + ϕ ). r Ce cos( ω) + Ce sin( ω) d.. Find samlige løsninger il hver af differenialligningerne ) y () + 5y () + 4 y() = e ) y () + 5y () + 4y() = e d.4. Find samlige løsninger il differenialligningen y () + 6y () + y() = e + d.5. Find samlige løsninger il differenialligningen y + 4y + 6y = 5sin r 4 som på 6

67 Sædvanlige differenialligninger d.6. Find samlige løsninger il differenialligningen y y + y = e. d.7. Find samlige løsninger il differenialligningen y + 4y + 4y = e + 8. d.8. Find samlige løsninger il differenialligningen y + 4y = 4sin( ) d.9. Find samlige løsninger il differenialligningen y + 4y + y = d.0. Find samlige løsninger il differenialligningen y + y + y = e 6 9 d.. Find samlige løsninger il differenialligningen y + 4y + y = e d.. d.. d.4. d.5. d.6. ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + + 5y = 5 + 4e + sin ) Find den parikulære løsning, som opfylder begyndelsesbeingelserne y( 0) = 0 og y ( 0) = ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + y = 6e 4 ) Find den parikulære løsning, som opfylder begyndelsesbeingelserne y( 9) = og y ( 0) =. Beny e maemaikprogram (som Ti 89 eller Maple) il a finde den løsning il differenialligningen d y y ( ) = e cos+ e sin + e cos( ) som opfylder begyndelsesbeingelserne y( 0) = og y () 0 = 8 8 Beny e maemaikprogram (som Ti 89 eller Maple) il a finde den løsning il y () y () + y() = + e differenialligningen ( ) som opfylder begyndelsesbeingelserne y( 0) = og y () 0 =. Find den fuldsændige løsning il differenialligningen d y y = 5sin + e 64

68 Opgaver d.7. I e elekrisk kredsløb med en vekselspændingskilde E og en indsku modsand R og en spole med selvindukion L - serieforbundne, jfr. figuren - gælder for iden > 0 ide I = I() beegner srømsyrken og den "påryke" elekromooriske kraf E = Em cos ω π di R differenialligning:. L I m + = sinω EL følgende Find, ide R = 00 Ohm, L = 0 Henry, E m =0 Vol og ω = R, den løsning il L d.8. differenialligningen, for hvilken I (0) = 0. Find samlige løsninger il differenialligningen Vink: Beny inegralmeoden. d y + y = cos, π 4 ; π 4 d.9. d.0. Find (evenuel ved benyelse af e maemaikprogram som Ti89 eller Maple) samlige løsninger il hver af differenialligningerne ) y () + 4y() = 0 ) y () + 4y() = e cos( ) ) y () + 4 y() = < < sin( ), π 0 Find dernæs den parikulære løsning il differenialligningen (), som opfylder begyndelsesbeingelserne y(0) = 0 og y ( 0) =. Løsningen skal skrives på formen A cos( ω+ ϕ) Find (evenuel ved benyelse af e maemaikprogram som Ti89 eller Maple) samlige løsninger il hver af differenialligningerne ) y () + y () + y() = 0 ) y () + y () + y() = e + d. Find samlige løsninger il hver af differenialligningerne ) y () y () + y () y() = 0 ) ( 4 y () + 6y () + 5y () 4y () 6y() = 0 ( 5) ( 4) ) y () y () + y (). y () = 0 d.. Find samlige løsninger il differenialligningen y () 5y () + y () 5y() = e 0sin 65

69 Sædvanlige differenialligninger d.. Lad e polynomium være give ved Pz ()= z + 5z + 6z+. ) Find samlige rødder i polynomie P. ) Find samlige løsninger il differenialligningen y + 5y + 6y + y = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen y + 5y + 6y + y = e d.4. Find samlige løsninger il differenialligningen y y + y = d.5. Find samlige løsninger il differenialligningen ( 7) ( 6 ( 5) ( 4) y () + y () + 6y () + 8y () + 9y () + 7y () + 4y () + y() = 0 d.6. Find samlige løsninger il differenialligningen y + y = e d.7. ( 6 Find samlige løsninger il differenialligningen y () + y () + y() = 0 d.8. ) Find (evenuel ved hjælp af e maemaikprogram som Ti89 eller Maple) samlige løsninger il differenialligningen y () 6y () + 5y () + 8y() = 0 ) Find den løsning il ovennævne differenialligning som opfylder beingelsen y() 0 = 0, y () 0 = 6, y () 0 = d..9. Find samlige løsninger il differenialligningen y () + 7y() = e + sin d4.. d4.. Lad e differenialligningssysem være give ved x = x+ y, x(0) = 0, y(0) = -7 y = 5x y Skiser i inervalle 0 0funkionerne x() og y() i samme koordinasysem ved benyelse af e maemaikprogram (Ti89 eller Maple). Lad e differenialligningssysem være give ved y = y+ z y(0) = 0, z(0) = = + z y z Skiser i inervalle 0 0funkionerne y() og z() i samme koordinasysem ved benyelse af e maemaikprogram (Ti89 eller Maple). 6 4 f () s = L{ f () } d5.. Lad f () = + e cos( ) + + Find 66

70 Opgaver π ( ) d5.. Lad f () = + 4 e cos e e + 4 Find f () s = L{ f () } d5.. d5.. d5.. d5.4. d5.5. Find L Find L Find L Find L 5 s s s + 4s5 s 5 s s 4s+ + s + s + s s s( s + 6s+ 5) s s ( s + ) s + s+ 6 ( s + s) Lad der være give differenialligningen + y = sin Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning y () ( 0; y( 0) =. [ ] for hvilken d5.6. Lad der være give følgende differenialligning: y = + + e. ) Find uden a benye Laplaceransformaion den løsning, for hvilken de gælder, a y(0) = 8 ) Find ved a benye Laplaceransformaion den løsning, for hvilken de gælder, a y(0) = d5.7 Lad der være give differenialligningen + y = 7+ + e med begyndelsesbeingelsen y(0) = 6 y () ( 0; Find ved hjælp af Laplaceransformaion løsningen [ ] d5.8. Lad der være give differenialligningen d y y = 4e Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning y () ( 0; y() 0 = 0, () 0 =. [ ] for hvilken 67

71 Sædvanlige differenialligninger d5.9. Lad der være give differenialligningen d y + + y = e Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning y () ( 0; y() 0 =, () 0 =. [ ] for hvilken d5.0. d5.. dx + x y = Lad der være give differenialligningssyseme x+ y = 0 Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning y () ( 0; x( 0) =, y( 0) = 0. [ ] dx y = Lad der være give differenialligningssyseme x = e Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning y () ( 0; x( 0) = 0, y( 0) =. [ ] for hvilken for hvilken dx 5.. Lad der være give differenialligningssyseme Find ved hjælp af Laplaceransformaion den løsning x( 0) = 0, y( 0) = 4. = y () = x () + + e [ 0 ] x () ( ; for hvilken [ ] 5.. Find y = y(), ( 0; ) ved hjælp af Laplace-ransformaion for følgende + y 4z = e differenialligningsproblem:, y( 0) = 0. z( 0) = 0 dz + y+ 7z = e = z () 5.4. Berag differenialligningssyseme med y( 0) = og z( 0) = dz =y () z () Find y(). 68

72 Opgaver 5.5. Lad y = y() og z = z() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: Til iden = 0 imer er koncenraionerne i ankene y() 0 = z() 0 = kg A/m. Find z () for alle [; 0 [ ved hjælp af Laplaceransformaion Lad x (), y () og z () beegne koncenraionen af e sof A i re anke. Til iden = 0 er koncenraionen i ankene x( 0) = kga/m, y(0) = 0 og z(0) = 0. Find z(). 69

73 Sædvanlige differenialligninger 5.7. Lad y () og z () beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: Til iden = 0 imer er koncenraionerne i ankene y(0) = 0 og z(0) = 0. Find z () for alle 0. for 0 < 5.8. Uryk funkionen f ()= e for < ved hjælp af enhedsrinfunkioner. for for 0 < 5.9. Give funkionen f ()= e for <. for Find f s Laplaceransponerede f () s = L{ f () } 5.0.Give funkionen f ()= e for for 0 < Find f s Laplaceransponerede f () s = L{ f () } π sin for 0 < 5.. Give funkionen f () = 6 e for Find f s Laplaceransponerede f () s = L{ f () } 70

74 Opgaver e for 0 < 5.. Give funkionen f ()= 4 for <. for Find f s Laplaceransponerede f () s = L{ f () } { } 5.. Find Lu ( π)sin og 5.4. Find L s s + e + 4s+ s L ( s + 5) e 4s 5.5. Find L 5.6. Find L 4e 5.7. Find 5.8. Find L L 5.9. Find L s s+ e s + 5s+ 4 s + s s se + 8s+ 8 s ( s 4) e ( s + 4 ) s s e s ( s s+ ( 4 8) s 4e ( s+ )( s+ ) ( s + s+ 5) for [ 0; [ 5.0. ) Skisér grafen for x () = 4 for [ ; [ 0 for [ ; [ ) Find y () ( 0; ved hjælp af Laplaceransformaion for differenialligningen [ ] + y = x(), y() 0 = 0 ) Skisér grafen for y(). 7

75 Sædvanlige differenialligninger 5.. Lad funkionen f () være give ved følgende gaffelforskrif 0 for 0 < f ()= for < 4 4 e for 4 ) Skisér grafen for f() ) Opskriv funkionen f() uryk ved enhedsrinfunkionen u. ) Find den Laplaceransformerede L{ f () }. 4) Find den løsning il differenialligningen + y () = f(), for hvilke y( ). 0 = Løsningen skal dels urykkes ved enhedsrinfunkionen u og dels ved en gaffelforskrif. 5.. Lad der være give differenialligningen + y ( ) = f( ), hvor e for 0 < ln f () = 4e for ln ) Skiser grafen for f(). ) Find den løsning il differenialligningen y () som svarer il begyndelsesbeingelsen y(0) = 5.. Der er give differenialligningssyseme d y dz + y () 0z () = 0 hvor e for 0 < x ()= d z dz y + 0z = x () () () 0 for Find z (), svarende il begyndelsesbeingelsen y( 0) = og y ( 0) = z( 0) = z ( 0) = Der er give differenialligningssyseme dz + = x () hvor for 0 < x ()= e + z () = for Find y (), svarende il begyndelsesbeingelsen y( 0) = 0 og z( 0) =. 7

76 Opgaver + sin( ) for 0 < π 5.5. ) Lad f () = + e sin( ) for π Beregn L{ f () } ) Lad y() og z() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: De vise sysem sares il iden = 0 med y(0) = 0, z(0) = 0 og koncenraionen 0 i spiralrøre. Opsil differenialligningerne il besemmelse af koncenraionerne y() og z(). ) Find den Laplace-ransformerede zs () s 6e 4) Lad zs () =. Find z() ( 5+ s)( s+ ) 5.6. Lad x() og y() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: 0 for 0 < Her er f ()= og for Find y() når x( 0) = 0 og y ()= 0 0 for 0 < h ()= for 7

77 Sædvanlige differenialligninger 5.7. Lad der være give differenialligningen d y y () = δ( 5) + x () e for 0 < hvor x ()= og δ er Diracs delafunkion. 0 for Find den løsning y (), som svarer il begyndelsesbeingelsen y() 0 = 0, y () 0 = Løsningen ønskes angive som en sykkevis definere funkion (en gaffelforskrif som x()) 5.8. Lad y() beegne koncenraionen af e sof A i en ank: Syseme sares il iden = 0, hvor y(0) = kg A/m Find y() for Lad y() og z() beegne koncenraionerne af e sof A i o anke: Til iden = 0 er koncenraionerne i ankene y(0) = 0 kga/m og z( 0) = kga/m Find z(). 74

78 Opgaver En væske cirkulerer mellem re anke med en hasighed på 4 m /ime. (se figuren). Til iden = 0 gælder x() 0 =, y() 0 = z() 0 = 0. Efer imers forløb hældes der pludselig kg ren A i ank. Find z() for 0. 75

79 Vekorer STIKORD A B C D delafunkion 55 differenialligninger af. orden lineær 0 hvor de variable kan adskilles 6 differenialligninger af. orden 5 lineær 5 lineær med konsane koefficiener 7 differenialligninger af n e. orden 5 lineær med konsane koefficiener 4 differenialligningssysem 6, 45, 5 differeniaionsregel (Laplace) 45 Dirac s delafunkion 55 E elekrisk kredsløb, 45, 54 enhedsrinfunkion 48 Eulers meode 4 F forsinkelsesregel ( Laplace) 50 fuldsændig løsning G grafisk løsning af. ordens differenialligning gæemeode 8 H Heavisides funkion u 48 homogen differenialligning 7 I indukion inhomogen differenialligning 5, 47 inegralmeode 6 invers Laplaceransformaion 44 K kondensaor kriisk dæmpning L Laplaceransformaion 4 lineariesregel (Laplace) 4 lineær differenialligning 0, 5 med konsane koefficiener 7, 5, 4, 47 M modsand N numerisk løsning af. ordens differenialligning af. eller højere orden 40 O overkriisk dæmpning opgaver 60 P panserformel 0 parikulær løsning 6 R reakionskineik 9, resonans 0, reningsfel 8 Runge-Kuas meode 5 S svingninger dæmpe harmonisk vungen 0 T Tabel over Laplaceransformaioner 58 Tabel over invers Laplaceransformaioner 59 U V 76