Integration i flere Variable

Transkript

1 Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik og Learning Lab DTU 28. januar 2005

2 2

3 Indhold Introduktion 5. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det? Summer og integraler Dobbeltsummer, dobbeltintegraler, etc Kurveintegraler 2. Hvad er en kurve? Motivering af kurveintegralet Det tangentielle kurveintegral Fladeintegraler 2 3. Hvad er en flade? Motivering af fladeintegralet Omdrejningsflader Det ortogonale fladeintegral, fluen Planintegraler Hvad er et område i planen? Rumintegraler Hvad er et rumligt område? Motivering af rumintegralet Omdrejningslegemer Massemidtpunkter 4 6. Hvad er et massemidtpunkt? Inertimomenter Hvad er et inertimoment? Vektorfelter og deres flowkurver Hvad er et vektorfelt? Flowkurver for et vektorfelt

4 4 INDHOLD 9 Divergens og Gauss sætning Hvad er divergensen af et vektorfelt? Motivering af divergensen: Volumen-ekspansion Gauss sætning Rotation og Stokes sætning Hvad er rotationen af et vektorfelt? Motivering af rotationen: Vridning Gauss Stokes sætning for rumlige områder Stokes sætning Hvordan bruges? 67. Om at konstruere pakker med Maple-procedurer Eksempel: Beregning af et rumintegral over en massiv kasse

5 Kapitel Introduktion Denne note handler om parameterfremstillinger for kurver, flader og rumlige områder og om integration af funktioner på sådanne geometriske objekter. Formålet er primært at opstille og motivere de generelle definitioner af henholdsvis kurve- flade- og rum-integraler. Udgangspunktet er Talor s grænseformel (til orden) for de koordinatfunktioner, der benttes til parameterfremstillingerne for kurverne, fladerne og de rumlige områder. De punktvis lineariserede parameterfremstillinger benttes til konstruktionen af approksimerende sumformler for de ønskede integraler. Det er samtidig disse summer, der på naturlig måde motiverer og illustrerer de generelle beregningsudtrk for kurve- flade- og rum-integralerne. Undervejs introduceres. Det er en pakke med Maple procedurer, som er udviklet specielt med henblik på eksempelbaseret visuel læring af de indledende integrationsbegreber og deres mangfoldige anvendelser. Vi giver eksempler på, hvordan integration i flere variable anvendes til beregning og forståelse af massemidtpunkter, inertimomenter, kraftmomenter, etc. Flowkurverne for et givet vektorfelt i rummet kan findes og visualiseres med. De vigtige begreber divergens og rotation for et vektorfelt fremtræder derved som naturlige størrelser til beskrivelsen af den bevægelse i rummet, der har et givet vektorfelt som hastighedsfelt. Til sidst i noten benttes de gennemgåede metoder og resultater til at præsentere to klassiske perler indenfor flervariabel global analse: Gauss sætning og Stokes sætning for vektorfelter i rummet. 5

6 6 KAPITEL. INTRODUKTION. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det? Med henblik på at kunne lokalisere en begivenhed eller et sted p i rummet beskriver vi sædvanligvis stedet med 3 koordinater. Det kan selvsagt kun lade sig gøre hvis vi har et koordinatsstem til rådighed i rummet. Med et passende valgt fast koordinatsstem bliver det muligt at analsere flere punkters beliggenhed i forhold til hinanden. Når koordinaterne for punkterne alle refererer til ét og samme sædvanlige retvinklede -koordinatsstem kan vi f.eks. udtrkke afstanden d p p 2 mellem to givne punkter p og p 2 ved det velkendte Pthagoræiske udtrk: d p p Figur.: Et punkt og to rette linjestkker i rummet med et sædvanligt retvinklet koordinatsstem. Punktets koordinater med hensn til det viste koordinatsstem er Det ene linjestkke har konstant -koordinat mens det andet har konstant -koordinat Bemærkning.. Som illustreret i Figur. kan det være en fordel at vise punkter og kurver i rummet i passende fede versioner, således at særligt vigtige punkter optræder som små kugler og kurver figurerer som tuber. Meningen er selvsagt den, at det så tpisk bliver en del lettere at se den indbrdes beliggenhed og de relative størrelser af de geometriske objekter. At visualisere på denne måde hvad der foregår er en af de primære intensioner med..2 Summer og integraler På den reelle u-akse betragter vi en fast valgt kontinuert reel funktion f u. For et givet helt tal n 0 gør vi nu følgende. Først fordeles de n punkter ligeligt i intervallet 0 så de får

7 & ' &.2. SUMMER OG INTEGRALER 7 koordinaterne u i, hvor i u n 2 3!" n n således: u 2 2 n u 3 3 n!" u n# n n u n Opgave.2. Bemærk, at hvis vi forøger antallet af punkter n med, og ønsker en ligelig fordeling af de n punkter, så vil (næsten) alle de tidligere placerede n punkter i intervallet 0 skulle flttes (lidt) for at give plads til det ne punkt. Hvilke skal nødvendigvis flttes? Hvor meget? For et fast antal n ligeligt fordelte punkter betragter vi nu funktionsværdien af f i hvert af punkterne, altså de n værdier f n, f 2 n, f 3 n,..., f n# n, f. Summen af disse værdier vil afhænge meget af antallet n af funktionsværdier, men hvis vi først dividerer hver enkelt funktionsværdi med n får vi følgende vægtede sum af funktionsværdierne: I f n 0 $ i% n i% Opgave.3. Vis, at den vægtede sum af funktionsværdierne af f i de ligeligt fordelte punkter i intervallet er begrænset af f s største værdi og af f s mindste værdi i intervallet. Den vægtede sum er ikke blot begrænset for alle n, men har også en grænseværdi for n gående imod uendelig, idet der gælder følgende fundamentale identitet: lim n( I f n 0 )+ f u du 0 Hvis vi bentter den samme strategi med en ligelig fordeling af punkter på det generellle interval a b på u-aksen har vi tilsvarende: Sætning.4. Lad f u betegne en kontinuert funktion på intervallet a b, og lad i% n I f n a b ) f & a i i% n b b a a n ' Så gælder lim n( I f n a b ) f & a b i n' n f u du Summer af tpen I f n a b vil vi derfor i det følgende kalde integralsummer. Opgave.5. Lad f u, 3u, u Så er I f n 0 $ i% n i% Bent Maple først til at beregne denne sum som funktion af n og dernæst til at eftervise sætning.4 i dette konkrete tilfælde, dvs. lim n( I f n 0 / 0 3i n ' n f u du 3 2

8 & ' 8 KAPITEL. INTRODUKTION Opgave.6. Lad f u, u u 2, u -0. Så er I f n i% n i% 2 i% n i% & 2i n ' 2n 2 8i 2 4in n 3 & 2i n ' n Bent igen Maple til at beregne denne sum som funktion af n og dernæst til at eftervise lim n( I f n / # 4 u u 2 5 du u Figur.2: Output fra kommandoen ;:=< i 97 =:> -pakken i Maple. Areal-repræsentation af integralsummen I f n i opgave.6 med n 20 delepunkter i intervallet a b. De 20 addender i summen er repræsenteret ved rektangulære søjler med den fælles bredde b a@? 20? 0 og højder givet ved værdierne af funktionen f ua u u 2 i intervallets delepunkter..3 Dobbeltsummer, dobbeltintegraler, etc. For funktioner af to variable har vi tilsvarende Sætning.7. Lad f u v betegne en kontinuert reel funktion på et rektangel a b =BC c d i u v - planen. Antag, at intervallet a b deles ligeligt i n lige store delintervaller og at intervallet c d

9 ' & ' 3 &.3. DOBBELTSUMMER, DOBBELTINTEGRALER, ETC. 9 tilsvarende deles ligeligt i m lige store delintervaller, og lad II f n m a b BD c d A j% m j% 2 i% n f & a i% i n b ae c j m d c b a n d c m ' Så gælder lim n( F lim m( II f n m a b G. c d & a b f u v du ' dv (.) Summer af tpen II f n m a b BD c d vil vi kalde dobbelt integralsummer. Opgave.8. Lad f u v$ uv 2 for u -H 0 og v -I. Bestem for ethvert n og m værdien af II f n m 0 BD. Brug Maple. Eftervis sætning.7 i dette konkrete tilfælde. Opgave.9. Overvej, om det er vigtigt at summere, integrere, og finde grænseværdierne i den rækkefølge, som anvises med parenteserne i ligning (.). Efterprøv på eksemplet i opgave.8. Figur.3: Volumen-repræsentation af integralsummen II f BJ 0 for funktionen f u vk uv. De 00 addender i summen er repræsenteret ved søjler med samme kvadratiske tværsnit og med højder, som er givet ved de respektive værdier af funktionen f u vl uv i u v -kvadratets delepunkter. Histogrammer som dette kan konstrueres med Maple s indbggede kommando < 67M NO P. Opgave.0. Formulér den sætning, som generaliserer de to foregående sætninger, dvs. sætning.4 og sætning.7, til funktioner f u v w af 3 variable u v w -0 a bbq c dbq h l idet hvert af de tre intervaller først inddeles i henholdsvis n, m, og q lige store delintervaller. Check din sætning på funktionen f u v w uvw.

10 0 KAPITEL. INTRODUKTION

11 Kapitel 2 Kurveintegraler 2. Hvad er en kurve? En parametriseret kurve K r i rummet er givet ved en parameterfremstilling således: 3 K r : r ur ue ue u@ -CS u -. a b (2.) Eksempel 2.. Figur 2. viser tre forskellige parametriseringer af det rette linjestkke fra 0@ 2 2 til Figur 2.2 viser to forskellige parametriseringer af en cirkel med radius og centrum i Figur 2.3 viser tilsvarende 2 forskellige parametriseringer af en skruelinje. Figur 2.: Linjestkket fra 0T 2 2 til er her parametriseret på 3 forskellige måder: r uc 0 2u 5 2 u -U, r 2 uv 0 2u u -U og r 3 uv π 0 2sin 2 ue 2 u -W. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet som består af 20 lige store delintervaller. Bemærk, at længden af de tre kurver klart er den samme, selv om parametriseringerne er ret forskellige. Vi antager her og i det følgende, at de tre koordinatfunktioner u, u og u i parameterfremstillingerne er pæne, glatte funktioner af u, således at de specielt er differentiable (og derfor kontinuerte) og har kontinuerte afledede XY u, XZ u og X[ u i intervallet a b. Så har vi også, at rx u X u 2 X u 2 X u 2 (2.2)

12 4 2 KAPITEL 2. KURVEINTEGRALER er en kontinuert funktion i intervallet a b. Specielt kan denne funktion derfor integreres over intervallet, og det har vi om lidt brug for i Definition 2.7 nedenfor. Definition 2.2. En parameterfremstilling r u for en kurve K r - som i (2.) - siges at være en regulær parameterfremstilling hvis følgende betingelse er opfldt: rx u^] 0 for alle u -H a b (2.3) Opgave 2.3. Hvilke af parameterfremstillingerne i figurerne 2., 2.2, 2.3, og 2.4 er regulære? Bemærkning 2.4. En parametriseret kurve er andet og mere end blot billedmængden (punktmængden) r@ a b, idet selve parametriseringen eksempelvis kan foreskrive at dele af punktmængden skal gennemløbes flere gange, se eksempel 2.2 nedenfor. Man kan gerne tænke på intervallet a b som en retlinet elastik i hvile. Vektor-afbildningen r deformerer elastikken (ind i rummet) ved at bøje, strække eller komprimere elastikken. En lokal strækning gør selvfølgelig elastikken lokalt længere, mens en lokal komprimering gør elastikken lokalt kortere. Et første naturligt spørgsmål er derfor hvor lang hele elastikken er efter brug af afbildningen r. Kurveintegralet indføres blandt andet med henblik på at finde den totale længde af den deformerede kurve i rummet. Vi kan ligeledes forestille os, at den parametriserede kurve selv er masseløs, men at den til gengæld efter deformationen med r farves med en maling på en sådan måde at massetætheden af malingen langs med kurven (i gram pr. centimeter, f.eks.) er givet som en funktion f af stedet i rummet altså sådan at massetætheden af malingen på stedet r u er f r ut. Opgaven er da at finde den totale masse af den deformerede og farvelagte parametriserede kurve. Bemærk, at med lidt fantasi kan vi endda gerne tillade, at massetætheden f antager negative værdier. Disse forestillinger skal naturligvis kun hjælpe os til at få en passende intuitiv forståelse af de indførte begreber; vi skal senere se adskillige andre tolkninger og brug af kurveintegralet. Figur 2.2: En cirkel i -planen er her parametriseret på 2 forskellige måder: r uw cos πue sin πue 0 u -_, og r 2 u` cos πu 3 a sin πu 3 a 0 5 u -b. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet som består af 20 lige store delintervaller. Længden af cirklen er 2π - uafhængig af parametriseringen.

13 2.. HVAD ER EN KURVE? 3 Figur 2.3: En skruelinje i rummet. Se eksempel 2.5. Eksempel 2.5. Skruelinjen i Figur 2.3 er igen præsenteret med 2 forskellige parametriseringer: r u c r2 u R 4 4 cos 2πu E sin 2πu E π 5 5u cos 2π u3 E sin 2π u3 E u -H, og π 35 5u u -.. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet som består af 40 lige store delintervaller. Kurverne er igen klart lige lange (se opgave 2.6) Figur 2.4: En knude. Se eksempel 2.6 Eksempel 2.6. Knuden i Figur 2.4 har parameterfremstillingen r u d 3 cos u A 5 cos 5u 2 sin 2u 3 sin u 5 sin 5u A 4 π π. hvor u -e b Kr f dµ f a f r Jacobir u du 2u 3 cos 3u 5 3. Kurveintegralet af funktionen Definition 2.7. Lad f betegne en kontinuert funktion på S f over en parametriseret kurve Kr defineres ved 2 cos hvor (2.4)

14 4 KAPITEL 2. KURVEINTEGRALER Jacobi r uc rx u betegner længden af tangentvektoren rxy u til kurven på stedet r u. Læg mærke til, at det smbol, der står på venstre siden af lighedstegnet i (2.4), kun er et smbol for kurveintegralet. Det integral vi skal regne ud står på højre side og det kan lade sig er kontinuerte, således at integranden er kontinuert. Hvis gøre at integrere, fordi både f, r og rx vi indsætter r ur ue ue u@ i udtrkket for kurveintegralet får vi: K r f dµ g a b f ue ue u@ (2.5) X u 2 X u 2 X u 2 du (2.6) Bemærkning 2.8. Parameterfremstillingen (2.) for kurven er regulær hvis Jacobi r u alle u i det givne interval a b. Eksempel 2.9. Givet funktionen f R 7 og et parametriseret cirkelstkke C r : r ud ue ue u@^ cos ue sin ue 0 u -H Kurveintegralet af f over C r er π π 2 π f dµ + f ue ue u@ X 2 u X 2 u X u C r # πh 2 du 2 π 7cos # u sin 2 u@ cos u@ πh 2 du 2 π 7cos u du 7 # πh 2 0 for Som nævnt, og som vi vil godtgøre nedenfor - i afsnittet Motivering af kurveintegralet - kan kurveintegraler benttes til at finde længder af parametriserede kurver og til at finde den totale masse af parametriserede kurver med givne massetætheder. Hvis massetætheden er konstant fås længden (man kan finde længden af en sådan kurve ved at veje den): Definition 2.0. Længden af den parametriserede kurve K r : r ur ue ue u@ u -H a b defineres som kurveintegralet L K rc K r dµ a b rx u du (2.7) Eksempel 2.. Det parametriserede cirkelstkke C r : r ur cos ue sin ua 0 u -H π 2 π

15 i 2.. HVAD ER EN KURVE? 5 har længden L C rr C r dµ e Eksempel 2.2. Den parametriserede kurve i C r : r ur π # πh 2 π # πh 2 π # πh 2 du X u 2 X u 2 X u 2 du sin ut 2 3π 2 cos ue sin ua 0 u -H cos u@ 2 du π 2 7π har længden L C rj 5π 2 svarende til at parametriseringen snor det lange interval flere gange rundt på enhedscirklen! Eksempel 2.3. Den parametriserede skruelinje K r : r uc cos ua sin ue u u -H 2π 2π har længden L K rrf K r dµ e e 2π # 2π 2π # 2π 2π # 2π k X u 2 X u 2 X u 2 du sin u@ 2 2 du 4π k 2 cos ut 2 du Definition 2.4. Parameterfremstillingen i (2.) for kurven K r siges at være en-entdig hvis der for alle u -0 a b og for alle u 2 -H a b gælder følgende: u ] u 2 medfører at r u l] r u 2 (2.8) Opgave 2.5. Hvilke af parameterfremstillingerne i Figurerne 2., 2.2, og 2.3, henholdsvis i eksemplerne 2., 2.2, og 2.3, er en-entdige? Opgave 2.6. Vis, at Definition 2.0 giver samme længde for de tre parametriseringer af linjestkket i Figur 2., samme længde af de to cirkelstkker i Figur 2.2 og samme længde af de to skruelinjer i Figur 2.3. Opgave 2.7. Find længden (med 3 decimaler) af knuden i Figur 2.4. Opgave 2.8. Find regulære, en-entdige parameterfremstillinger af linjestkket (Figur 2.), cirklen (Figur 2.2), og skruelinjen (Figur 2.3), således at alle har parameterintervallet 0 π.

16 6 KAPITEL 2. KURVEINTEGRALER 2.2 Motivering af kurveintegralet Hvis vi deler intervallet a b i n lige store dele, så har hvert delinterval længden δ u og delepunkternes koordinater i a b bliver: u a u 2 u δ u a δ u u 3 u 2 δ u a 2δ u u 4 u 3 δ u a 3δ u "!" b u n δ u a nδ u b a@? n (2.9) Med hver af disse fast valgte værdier af u i som udviklingspunkt kan vi Talorudvikle hver af de 3 koordinat-funktioner for r uj ue ue u@ til første orden med tilhørende epsilonfunktioner: ur u i X u i u u i ε u u impn u u in uc u i X u i u u i ε u u impn u u in uc u i X u i u u i ε u u impn u u in Disse Talor udviklinger kan vi samle og udtrkke med vektor-notation således: (2.0) r ud r u i rx u iam u u i ε i u u im ρ i (2.) hvor vi bruger den korte skrivemåde ρ i on u u i n p u u i 2 for afstanden mellem den variable værdi u og den faste værdi u i i parameterintervallet. Desuden gælder ε i u u iq ε u u ie ε u u ie ε u u i=cr for u r u i. Hvert del-interval u i u i δ u afbildes på kurve-stkket r u, u -I u i u i δ u, og dette kurvestkke kan vi approksimere med den lineære del af udtrkket i (2.), som fås ved at fjerne ε i -bidraget fra højre side i (2.): r app i uc r u i rx u iam u u is u -U u i u i δ u (2.2) Se Figurerne 2.5 og 2.6 hvor de approksimerende linjestkker er vist for en parametriseret cirkel for to forskellige parametriseringer og for forskellige værdier af n. Det i te linjestkke har pr. definition kontakt med kurven i sit ene endepunkt. Det kalder vi kontaktpunktet for linjestkket. Længde Hvert enkelt af de i alt n approksimerende linjestkker har en længde. Længden af det i te linjestkke er ifølge (2.2) L i r app i u i δ ua r app i u i rx u i m δ u (2.3)

17 2.2. MOTIVERING AF KURVEINTEGRALET 7 Summen af disse n længder er (for store værdier af n) klart en god approksimation til længden af kurven, således at vi kan skrive L app nd n i% L i n i% rx u i m δ u (2.4) Da ovenstående sum er en integralsum (se afsnit.2) for den kontinuerte funktion rxy u intervallet a b, opnås i grænsen, hvor n går imod uendelig: L app ndr L g a b rx u over du for n r (2.5) Vi har dermed motiveret definitionen af længden af en kurve som angivet ovenfor, nemlig som kurveintegralet af den konstante funktion over den parametriserede kurve. Figur 2.5: Kurven r u^ cos 2πuE sin 2πuE 0 u -I med henholdsvis 5, 0 og 20 approksimerende linjestkker. Det er rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestkker i den grænse hvor antallet af linjestkker går mod uendelig. Figurerne er del af output fra = -kommandoen t : =u v N N M. Se i afsnit hvordan -pakken downloades og anvendes. Masse Hvis vi antager, at hvert enkelt linjestkke i (2.2) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f i linjestkkets kontaktpunkt med kurven, så får vi massen af det i te linjestkke: M i f u ie u ie u i@ rx u i m δ u f r u i@ Den totale masse af hele sstemet af linjestkker er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele kurven, når kurven tildeles massetætheden f r u@ på stedet r u : M app nc n i% M i n f r u i@ i% rx u i rx u i m δ u m δ u (2.6)

18 4 8 KAPITEL 2. KURVEINTEGRALER Figur 2.6: Kurven r uw cos 2πu 3 E sin 2πu 3 E 0 5 u -_ med henholdsvis 30, 60 og 00 approksimerende linjestkker. Det er stadig rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestkker i den grænse hvor antallet af approksimerende linjestkker går mod uendelig. Figurerne er igen del af output fra t : =u ; v NN M - nu anvendt på den ne parameterfremstilling. over inter- Dette er igen en integralsum, men nu for den kontinuerte funktion f r u@ vallet a b. Vi får altså i grænsen, hvor n går mod uendelig: rx u M app nrr M a b f r ut rx u du for n r (2.7) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af en kurve med massetætheden f r u@ (for så vidt denne funktion er positiv i a b ) og dermed den generelle definition af kurveintegralet, Definition Det tangentielle kurveintegral Lad V være et vektorfelt i rummet (se eventuelt afsnit 8.). Det tangentielle kurveintegral af V langs en given parametriseret kurve K r er kurveintegralet af projektionen (med fortegn) af V r u@ på kurvens tangent repræsenteret ved rx u. Integranden f i kurveintegralet er altså i dette tilfælde givet ved skalarproduktet (prikproduktet) f r utd V r u@am e u hvor e u er defineret ved e uc rx u@? rx u hvis rx uq] 0 0 hvis rx uc 0

19 2.3. DET TANGENTIELLE KURVEINTEGRAL 9 Det tangentielle kurveintegral Tan V K r af V langs K r er derfor relativt simpelt at udregne (vi behøver ikke først at finde længden af rx u ) : Tan V K rc K r V m edµ b a b a V r u@am e ut V r u@m rx u du rx u du (2.8) Bemærkning 2.9. Tilsvarende kan man definere det ortogonale kurveintegral Ort V K r af V langs K r ved at projicere V r u@ vinkelret ind på den plan i rummet, som selv står vinkelret på rx u og dernæst finde kurveintegralet af længden af den projektion (som funktion af u). Bemærkning Bemærk, at den sidste integrand i (2.8) er kontinuert når V og rx u er kontinuerte selv om det ikke umiddelbart fremgår af definitionen (vektorfeltet e u er jo ikke nødvendigvis kontinuert - medmindre r u er en regulær parameterfremstilling). Eksempel 2.2. Lad V R af V langs følgende parametriserede stkke af en skruelinje Ved at indsætte i (2.8) fås K r : r ur Tan V K rr Opgave Lad V ^ 0. Vi ønsker at bestemme det tangentielle kurveintegral cos ue sin ua u u -H 0 π 2 πh 2 V r u@m rx u du πh 2 0 u sin u@m sin ue cos ue du πh 2 ucos u sin u@ du usin u πh Bestem både det tangentielle og det ortogonale kurveintegral af V langs følgende parametriserede stkke af en cirkel K r : r ur π 2 cos ue sin ua 0 u -H 0 : =u ; Brug Maple til beregningerne: Hent og brug t -kommandoen fra -pakken. Se i afsnit hvordan pakken kan downloades og anvendes til formålet. π 2

20 4 20 KAPITEL 2. KURVEINTEGRALER Figur 2.7: Skruelinjen r u{ cos ua sin ue u5 0 u - 2π 2π og vektorfeltet V d T E 2 antdet langs skruelinjen. Figuren er en del af output fra - kommandoen =}=: u.

21 Kapitel 3 Fladeintegraler 3. Hvad er en flade? En parametriseret flade i rummet er givet ved en parameterfremstilling F r : r u vr u va u ve u v@ -CS 3 u -. a b v -H c d (3.) Definition 3.. Lad f betegne en kontinuert funktion på S 3. Fladeintegralet af funktionen f over den parametriserede flade F r defineres ved hvor F r f dµ c d a b f r u vt Jacobi r u v dudv (3.2) Jacobi r u vr rxu u v B rxv u v er arealet af det parallellogram, der på stedet r u v udspændes af de to tangentvektorer rxu u v og rxv u v til de respektive koordinatkurver igennem punktet r u v på fladen. Definition 3.2. Parameterfremstillingen (3.) siges at være en regulær parameterfremstilling hvis der gælder følgende: (3.3) Jacobi r u v 0 for alle u -H a b v -H c d (3.4) Definition 3.3. Som for parametriserede kurver siges parameterfremstillingen i (3.) at være en-entdig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden. Definition 3.4. Arealet af den parametriserede flade F r : r u vc u ve u ve u v@ u -0 a b v -0 c d defineres som fladeintegralet af den konstante funktion : A F rc F r dµ c d a b Jacobi r u v dudv (3.5) 2

22 22 KAPITEL 3. FLADEINTEGRALER 3.2 Motivering af fladeintegralet Hvis vi ligesom for kurveintegralet deler begge intervallerne a b og c d i henholdsvis n og m lige store dele, så har hvert u-delinterval længden δ u b a@? n og hvert v-delinterval har længden δ v d ct? m. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i u v -parameterområdet (som jo er rektanglet a bbd c d i S 2 ): u v R a ce u v jr a c j δ ve u i v R a i δ u ca u i v jr a i δ u c j δ ve!"! b dc a nδ u c mδ v Med hvert af disse faste punkter u i v j som udviklingspunkt kan vi nu som før Talorudvikle hver af de 3 koordinat-funktioner for r u v^ u va u ve u vt til første orden med tilhørende epsilon-funktioner: r u vd r u i v j rxu u i v jam u u i rxv u i v jm v v j ρ i j m ε i j u u i v v i hvor u -~ u i u i δ u v - v j v j δ v Her betegner ρ i j p u u i 2 v v j 2 afstanden mellem det variable punkt u v og det faste udviklingspunkt u i v j i parameterområdet. Der gælder her, at ε i j u u i v v jr for u u i v v jr 0 0. Hvert delrektangel u i u i δ u /B v j v j δ v afbildes på flade-stkket r u v, u -~ u i u i δ u v -. v j v j δ v og dette fladestkke kan vi approksimere med den lineære del af udtrkket i (3.7), som fås ved at fjerne ε i j -bidraget fra højre side i (3.7): (3.6) (3.7) r appi j u vc r u i v j rxu u i v jm u u i rxv u i v jam v v j (3.8) hvor u og v stadig gennemløber del-intervallerne u -e u i u i δ u v -f v j v j δ v Disse lineære approksimationer er parallellogrammer, som udspændes af de to tangentvektorer rxu u i v j/m δ u og rxv u i v j/m δ v. Se Figur 3. hvor de approksimerende parallellogrammer er vist for en parametrisering af en kegleflade. Areal Hvert enkelt af de ialt nm approksimerende parallellogrammer har et areal. Arealet af det i j te parallellogram er længden af krdsproduktet af de to vektorer, der udspænder det pågældende parallellogram: A i j rxu u i v jam δ u BD rxv u i v jm δ v Jacobi r u i v jam δ u δ v (3.9)

23 3.2. MOTIVERING AF FLADEINTEGRALET 23 Opgave 3.5. Bevis denne påstand: Arealet af et parallellogram er længden af krdsproduktet af de to vektorer, der udspænder parallellogrammet. Summen af disse ialt nm arealer er klart en god approksimation til arealet af hele fladestkket, således at vi har A app n m m n j% i% A i j m n Jacobi r u i v jam δ u δ v (3.0) j% i% Da ovenstående sum er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion Jacobi r u v over parameter-rektanglet a bb. c d får vi i grænsen, hvor n og m begge går mod uendelig (se afsnit.3): A app n mcr A c d a b Jacobi r u v dudv for n m r (3.) Dette er begrundelsen for definitionen af arealet af en parametriseret flade som angivet ovenfor, nemlig som fladeintegralet af den konstante funktion. Figur 3.: Kegle-fladen er givet ved parameterfremstillingen r u vƒ u cos ve u sin ve u u - v - π π. Et sstem af koordinatkurver på fladen er vist til venstre og de tilsvarende areal-approksimerende parallellogrammer er vist til højre. Figurerne er del af output fra -kommandoen Ö >. Opgave 3.6. Vis, at den givne parameterfremstilling i Figur 3. hverken er regulær eller enentdig. Overvej, om der findes en regulær parameterfremstilling for keglefladen. Opgave 3.7. Hvorfor er de approksimerende parallellogrammer på den øvre halvdel af keglefladen i Figur 3. mindre end de tilsvarende parallellogrammer (med samme afstand til toppunktet) på den nedre halvdel? Opgave 3.8. Vis, at de approksimerende parallellogrammer til højre i Figur 3.2 alle er kvadrater.

24 24 KAPITEL 3. FLADEINTEGRALER Figur 3.2: Denne vindelflade er givet ved parameterfremstillingen r u v sinh u cos ve sinh u sin ve v. Figuren er del af output fra ; -kommandoen Ö => og viser en approksimation af fladen med parallellogrammer, som faktisk alle er kvadrater af forskellig størrelse. Se opgave 3.7. Masse Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallellogram i (3.8) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f i parallellogrammets kontaktpunkt med fladen, så får vi massen af det i j te parallellogram : M i j f u i v je u i v ja u i v jt Jacobi r u i v j=m δ u δ v f r u i v j@ Jacobi r u i v jm δ u δ v Den totale masse af hele sstemet af parallellogrammer er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele fladen når denne gives massetætheden f r u v@ i punktet r u v. M app n mr m n j% i% M i j m n f r u i v jt Jacobi r u i v jm δ u δ v (3.2) j% i% Dette er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f r u vt Jacobi r u v over parameter-rektanglet a b BD c d. Vi får altså i grænsen, hvor n og m går mod uendelig: M app n mcr M c d a b f r u v@ Jacobi r u v dudv for n m r (3.3) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af en parametriseret flade med massetætheden f r u vt og dermed også den generelle definition af fladeintegralet, Definition 3..

25 3.3. OMDREJNINGSFLADER Omdrejningsflader Omdrejningsflader er de specielle flader, der fremkommer ved at dreje en plan kurve omkring en ret linje (omdrejningsaksen) som også ligger i samme plan. Kurven kaldes en generator-kurve eller en frembringer-kurve. Den vælges tpisk i -planen og drejes om -aksen i et - koordinatsstem. Generator-kurven kan så repræsenteres ved en parameterfremstilling således: G r : r uc g ue 0 h ut -VS 3 u -0 a b (3.4) hvor g u og h u er givne funktioner af parameteren u. Den omdrejningsflade, der fremkommer ved at dreje G r en hel gang omkring -aksen har derfor parameterfremstillingen: FG r : r u vc g u cos ve g u sin ve h u@ - S 3 u -. a b v -. π π (3.5) Figur 3.3: Omdrejnings-fladen her er givet ved parameterfremstillingen r u v g u cos ve g u sin ve h ut u -. π π v -. π π, hvor g u 2 4 sin u og h u u. O= > Figurerne er del af output fra. 3.4 Det ortogonale fladeintegral, fluen Lad V være et vektorfelt i rummet. Det ortogonale fladeintegral - også kaldet fluen af V gennem en given parametriseret flade F r er fladeintegralet af projektionen (med fortegn) af V r u v@ på fladens normal repræsenteret ved den enhedsvektor, der er proportional med krdsproduktet rxu u v B rxv u v (hvor dette er forskelligt fra 0). Integranden f i fladeintegralet er da givet ved skalarproduktet (prikproduktet) f r u vtr V r u v@m n F u v hvor n F u v er defineret ved n F u vcˆ rxu u v B rxv u v@? rxu u v B rxv u v 0 hvis rxu u v B rxv u vc 0 hvis rxu u v B rxv u vq] 0

26 26 KAPITEL 3. FLADEINTEGRALER Figur 3.4: Denne torus er omdrejningsfladen givet ved parameterfremstillingen r u v0 g u cos ve g u sin ve h ut u -_ π π v -_ π π, hvor nu g u 2 cos u og h u sin u. Figurerne er del af output fra Ö >. Fluen af V gennem F r er derfor relativt simpel at udregne - vi behøver ikke først at finde længden af rxu u v B rxv u v (jævnfør omformningen af det tangentielle kurveintegral): Flu V F rdg g g F r V m n F dµ d c d c d c b a b a b a V r u v@m n F u v@ Jacobi r u v dudv V r u v@m n F u v@ rxu u v B rxv u v V r u v@am rxu u v B rxv u v@ dudv dudv (3.6) Bemærkning 3.9. Tilsvarende kan man definere det tangentielle fladeintegral Tan V F r af V over fladen F r ved at projicere V r u v@ vinkelret ind på tangentplanen til F r (udspændt af rxu u v og rxv u v i punktet r u v ) og dernæst at finde fladeintegralet af længden af denne projektion (som funktion af u v ). Bemærkning 3.0. Bemærk igen, at den sidste integrand i (3.6) er kontinuert og dermed integrabel, selv om det ikke umiddelbart fremgår af definitionen, idet vektorfeltet n F u v ikke nødvendigvis er kontinuert - medmindre r u v er en regulær parameterfremstilling. Opgave 3.. Bestem det tangentielle fladeintegral for vektorfeltet V Š kuglekalotten i Figur langs Opgave 3.2. Vis, at parameterfremstillingen i Figur 3.5 hverken er regulær eller en-entdig. Find en regulær og en-entdig parameterfremstilling for kalotten. Vis, at arealet af kalotten er uafhængigt af de valgte parameterfremstillinger.

27 3.4. DET ORTOGONALE FLADEINTEGRAL, FLUXEN 27 Figur 3.5: Denne kalot af en kugleflade er givet ved parameterfremstillingen r u v. π sin u cos ve sin u sin ve cos u@ u v - π π. Vektorfeltet er givet ved V V 0 0. Et sstem af koordinatkurver på fladen er vist til højre sammen med vektorfeltet evalueret i koordinatkurvernes skæringspunkter. Figurerne er en del af output fra O7: M -kommandoen anvendt på den givne parameterfremstilling og det givne vektorfelt. Opgave 3.3. Et solfangertag har form som grafen for funktionen f 2 over det kvadratiske område -Œ BH i -planen i et sædvanligt retvinklet - koordinatsstem i rummet. Se Figur 3.6 til venstre. Lad os lidt simplificerende antage, at Solen stråler ind på solfangertaget til et givet tidspunkt t langs det enhedsvektorfelt i rummet, som til tiden t er parallelt med vektoren 0 cos ta sin t@ hvor t -0 0 π. Solen står altså op til tiden t 0 og sender på det tidspunkt vandrette stråler parallelt π med -aksen i retningen 0@ 0. Midt på dagen, til tiden t 2 er strålerne lodrette og parallelle med -aksen i retningen 0 0@. Til tiden t π går solen ned, men lige før det sker, sender den (næsten) vandrette stråler parallelt med -aksen i retningen 0 0. Den energi solfangeren optager pr. arealenhed og pr. tidsenhed på et givet sted antages at være proportional med prikproduktet V m n mellem Solstråle-vektorfeltet V og tagfladens indadrettede enhedsnormalvektor n på stedet.. Begrund denne sidste antagelse, og bemærk, at energioptag selvsagt kun kan finde sted hvor omtalte prikprodukt er positiv. 2. Hvad er solfangerens energioptag pr. tidsenhed? 3. Hvad er solfangerens totale energioptag på en dag? 4. Ville det være bedre at orientere taget anderledes, altså dreje hele taget omkring -aksen med henblik på at forøge det totale dags-energioptag fra Solens indstråling?

28 28 KAPITEL 3. FLADEINTEGRALER Figur 3.6: Solfangertagene i opgave Samme opgaver for det tag, der har form som grafen for funktionen f L 2 p 2 2 over cirkelskiven med radius og centrum i 0 0 i -planen, se Figur 3.6 til højre.

29 Kapitel 4 Planintegraler v u Figur 4.: Dette område i planen er givet ved følgende parameterfremstilling, der repræsenterer polære koordinater i planen: r u vd u cos ve u sin vt u - 0 v - π π. Figurerne er del af output fra NAÖ / v NN M -kommandoen. Parameterrektanglet ses til venstre. Den deformeres og afbildes (ved brug af r) på det plane område i midten. Til højre er antdet placeringen og størrelsen (pånær en faktor 4) af de til det givne net hørende approksimerende parallellogrammer (her: rektangler). 4. Hvad er et område i planen? Et plant område kan betragtes som en flade, der ligger helt i en plan, f.eks. i -planen. Planintegraler er derfor fladeintegraler. Specifikt har vi derfor også direkte følgende motiverede definitioner: Et parametriseret område i planen er givet ved en parameterfremstilling P r : r u vd u ve u v@ -CS 2 u -H a b v -H c d (4.) 29

30 30 KAPITEL 4. PLANINTEGRALER Definition 4.. Lad f betegne en kontinuert funktion på S 2. Planintegralet af funktionen f over det parametriserede område P r defineres ved hvor P r f dµ c Jacobi r u vc d a b f r u vt Jacobi r u v dudv (4.2) rxu u v rxv u v sin θ u v@ (4.3) er arealet af det parallellogram i planen, der på stedet r u v udspændes af de to tangentvektorer rxu u v og rxv u v til de respektive koordinatkurver igennem punktet r u v i planen (funktionen θ u v -H 0 π betegner vinklen mellem disse tangentvektorer). Figur 4.2: Parabelkoordinater. Dette område i planen er givet ved parameterfremstillingen uv r u vv 2 u2 v u -U v -U 0. Figuren til højre antder igen et sstem af areal-approksimerende parallellogrammer. Figurerne er del af output fra NÖ / v=nn M - kommandoen. Figur 4.3: Elliptiske koordinater. Dette område er givet ved parameterfremstillingen r u vš cosh u cos ve sinh u sin v@ u -Ž 0 v -ˆ π π. Figurerne er del af output fra NÖ / v=nn M -kommandoen.

31 4.. HVAD ER ET OMRÅDE I PLANEN? 3 Definition 4.2. Parameterfremstillingen (4.) siges at være en regulær parameterfremstilling for det plane område hvis der gælder følgende: Jacobi r u v 0 for alle u -H a b v -H c d (4.4) Definition 4.3. Som for parametriserede flader siges parameterfremstillingen i (4.) at være en-entdig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden i planen. Opgave 4.4. Vis, at Jacobi r u v (i (4.4)) også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den matri, der som søjler har koordinaterne for de to vektorer rxu u v og rxv u v.

32 32 KAPITEL 4. PLANINTEGRALER

33 Kapitel 5 Rumintegraler 5. Hvad er et rumligt område? Et parametriseret rumligt område er på samme måde som kurver og flader givet ved en parameterfremstilling, nu med følgende form Ω r : r u v wr u v we u v we u v w@ -VS 3 u -H a b v -H c d w -H h l (5.) Definition 5.. Lad f betegne en kontinuert funktion på S 3. Rumintegralet af funktionen f over det parametriserede rumlige område Ω r defineres ved Ω r f dµ l d h c a b f r u v w@ Jacobi r u v w dudvdw hvor (5.2) Jacobi r u v wrœn rxu u v w rxv u v w rxw u v w n Œn rxu u v w B rxv u v wtam rxw u v w/n er volumenet (her beregnet som et rumprodukt) af det parallelepipidum, der på stedet r u v w udspændes af de tre koordinatkurve-tangentvektorer rxu u v w, rxv u v w og rxw u v w. Opgave 5.2. Vis, at Jacobi r u v w også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den matri, der som søjler har koordinaterne for de tre vektorer rxu u v w, rxv u v w og rxw u v w. Bemærkning 5.3. Parameterfremstillingen i (5.) kaldes en regulær parameterfremstilling hvis Jacobi r u v w 0 for alle u -H a b v -H c d w -H h l. Definition 5.4. Som for kurver og flader vil vi kalde parameterfremstillingen i (5.) en-entdig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden. Definition 5.5. Volumenet af det rumlige område Ω r : r u v wr u v we u v we u v w@ u -. a b v -. c d w -H h l 33 (5.3)

34 34 KAPITEL 5. RUMINTEGRALER defineres som rumintegralet af den konstante funktion : Vol Ω rr Ω r dµ l d h c a b Jacobi r u v w dudvdw (5.4) Figur 5.: Billeder af det rumlige område givet ved parameterfremstillingen r u v w0 uvcos we uvsin we 2 u2 v u - 2 v - 2 w - π 2π. Figurerne viser to sstemer af volumen-approksimerende parallellepipida. Figurerne er del af output fra :=<) - kommandoen. Opgave 5.6. Vis, at parameterfremstillingen i Figur 5. er regulær og en-entdig. 5.2 Motivering af rumintegralet Intervallerne a b, c d og h l inddeles i henholdsvis n, m og q lige store dele. Så har hvert u-delinterval længden δ u b a@? n, hvert v-delinterval har længden δ v d c@? m og hvert w-interval har længden δ w l h@? q. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i u v w - parameterområdet (som her er det retvinklede kasse-område a bbi c dbj h k i S 3, se Figur 5.2): u v w R a c he!"! u i v j w kr a i δ u c j δ v h k δ we!"! b d lc a nδ u c mδ v h qδ w Med hvert af disse faste punkter u i v j w k som udviklingspunkt kan vi igen Talor-udvikle hver af de 3 koordinat-funktioner for r u v wr u v we u v we u v w@ til første orden (5.5)

35 5.2. MOTIVERING AF RUMINTEGRALET 35 w u v Figur 5.2: Det rumlige område i Figur 5. opnås ved at vektorafbildningen r deformerer u v w - parameterkassen (til venstre) ind i -rummet (som vist til højre). Forskriften for deformationen er netop givet ved parameterfremstillingen r u v w` u v cos wa u v sin we 2 u2 v u -H 2 v -H 2 w -H π 2π. og med tilhørende epsilon-funktioner: r u v wc r u i v j w k rxu u i v j w kam u u i rxv u i v j w kam v v j rxw u i v j w km w w k ρ i jk m ε i jk u u i v v j w w k (5.6) hvor u - u i u i δ u v -g v j v j δ v w - w j w j δ w. Afstanden mellem det variable punkt u v w og det faste punkt u i v j w k i parameterområdet betegnes med ρ i jk og vi har som før ε i jk u u i v v j w w kr 0 for u u i v v j w w kr Hvert parameter-delområde eller delkasse u i u i δ u BI v j v j δ v BI w k w k δ w afbildes på det rumlige billed-område r u v w, u -H u i u i δ u v -H v j v j δ v w -0 w k w k δ w i billedrummet og dette område kan vi approksimere med den lineære del af udtrkket i (5.6), som fås ved at fjerne ε i jk -bidraget fra højre side i (5.6): r app i jk u v wr r u i v j w k rxu u i v j w kam u u i rxv u i v j w kam v v j rxw u i v j w km w w k hvor vi stadig har at u -U u i u i δ u v - v j v j δ v w - w j w j δ w (5.7)

36 36 KAPITEL 5. RUMINTEGRALER Disse lineære rumlige approksimationer er parallelepipida, som udspændes af de tre tangentvektorer rxu u i v j w km δ u, rxv u i v j w kam δ v og rxw u i v j w km δ w. Volumen Hvert enkelt af de ialt n m q approksimerende parallelepipida har et volumen. Volumenet af det i j k te parallelepipidum er den numeriske værdi af rumproduktet af de tre vektorer, der udspænder det pågældende parallelepipidum: Vol i jk bn rxu u i v j w kam δ ue rxv u i v j w km δ va rxw u i v j w kam δ w n Jacobi r u i v j w km δ u δ v δ w (5.8) Opgave 5.7. Bevis denne påstand: Volumenet af et parallelepipidum er den numeriske værdi af rumproduktet af de tre udspændende vektorer. Summen af de ialt nmq volumener er en god approksimation til volumenet af hele det rumlige område, således at vi har Vol app n m q q m n k% j% i% q m n k% j% i% Vol i jk Jacobi r u i v j w kam δ u δ v δ w (5.9) Da ovenstående sum er en tredobbelt integralsum for den kontinuerte funktion Jacobi r u v w over parameter-kassen a b =BC c d =BC h l får vi i grænsen, hvor n, m og q alle går mod uendelig: Vol app n m qr Vol g l d h c a b Jacobi r u v w dudvdw for n m q r (5.0) Dette er begrundelsen for definitionen af volumenet af et parametriseret område i rummet som angivet ovenfor, nemlig som rumintegralet af den konstante funktion. Masse Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallelepipidum givet ved (5.7) tildeles en konstant massetæthed som er givet ved værdien af funktionen f på stedet r u i v j w k, så bliver massen af det i j k te parallelepipidum: M i jk f u i v j w ke u i v j w ke u i v j w k@ Jacobi r u i v j w km δ u δ v δ w f r u i v j w k@ Jacobi r u i v j w km δ u δ v δ w (5.)

37 5.3. OMDREJNINGSLEGEMER 37 Figur 5.3: Dette rumlige område er defineret ved hjælp af såkaldte Mawell-Clinderkoordinater. Parameterfremstillingen for området er følgende: r u v w. u ep u cos ve v ep u sin ve w u v - π π w -. Figurerne er konstruerede med :=<) v N N M -kommandoen. Den totale masse af hele sstemet af appproksimerende parallelepipida er derfor følgende, som nødvendigvis er en god approksimation til massen af hele det rumlige område: M app n m q q m n k% j% i% q m n k% j% i% M i jk f r u i v j w k@ Jacobi r u i v j w kam δ u δ v δ w (5.2) Dette er en tredobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f r u v w@ Jacobi r u v w over parameter-kassen a b BD c dbd h l. Vi får i grænsen, hvor n, m og q går mod uendelig: M app n m qcr M for n m q r l d h c a b f r u v w@ Jacobi r u v w dudvdw (5.3) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af et parametriseret område med massetætheden f r u v w@ og dermed også den generelle Definition 5. af rumintegralet. Opgave 5.8. I Figur 5.4 betragtes følgende parametrisering af et rumligt område: r u v wr u sin v cos wa u sin v sin we u cos v@s u -. 2 v -0 0 π w -. π π Ved afbildning af det kasseformede parameterområde forventes ialt 6 sideflader for billed-mængden. Vi ser på figuren kun een af de 6 sideflader. Hvor er de andre og hvordan ser de ud? 5.3 Omdrejningslegemer Omdrejningslegemer er de specielle rumlige områder, der fremkommer ved at dreje et plant område (f.eks. defineret i -planen) omkring en akse i samme plan (-aksen). Jævnfør definitionen af omdrejningsflader i afsnit 3.3.

38 38 KAPITEL 5. RUMINTEGRALER Figur 5.4: Dette rumlige område er givet ved parameterfremstillingen r u v w u sin v cos we u sin v sin we u cos v@ u - 2 v - 0 π w - π π. Koordinatkurverne på en af de afgrænsende sideflader er vist til venstre og et sstem af volumenapproksimerende parallellepipida er vist til højre. Figurerne er konstruerede med :<$ - kommandoen. Det plane område repræsenteres ved en parameterfremstilling således: P r : r u vc g u va 0 h u v@ -CS 3 u -. a b v -H c d (5.4) hvor g u v og h u v er givne funktioner af parametrene u og v. Den flade, der fremkommer ved at dreje G r en hel gang omkring -aksen har derfor parameterfremstillingen: ΩP r : r u v wc g u v cos we g u v sin we h u v@ -CS 3 u -. a b v -H c d w -0 π π (5.5) Figur 5. viser halvdelen af et omdrejningslegeme. Figur 5.4 viser overfladen af et omdrejningslegeme defineret ved brug af kuglekoordinater. Clinder-koordinater i rummet giver tilsvarende velkendte omdrejningslegemer som f.eks. det, der er vist i Figur 5.5.

39 5.3. OMDREJNINGSLEGEMER 39 Figur 5.5: Clinderkoordinater. Dette rumlige område er givet ved parameterfremstillingen r u v w g u v cos we g u v sin we h u v@ u -~ 0 2 v -~ 2 2 w -~ π π, hvor g u v, u og h u v, v. Figurerne er konstruerede med =:=<$ v NN M -kommandoen.

40 40 KAPITEL 5. RUMINTEGRALER

41 Kapitel 6 Massemidtpunkter 6. Hvad er et massemidtpunkt? Lad L r betegne enten en parametriseret kurve K r eller flade F r eller et parametriseret område Ω r i rummet med en given vægtfunktion (massetæthed) f f. Definition 6.. Massemidtpunktet Cm af L r med massetæthedsfunktion f f defineres som det punkt i rummet, der har følgende koordinater med hensn til et sædvanligt retvinket -koordinatsstem: Cm L r f M hvor M betegner den totale masse af L r : L r m f dµ 7 L r m f dµ 7 L r m f dµ (6.) M L r f dµ (6.2) Specielt for et rumligt område Ω r, som er givet ved en parameterfremstilling af formen (5.), får vi derfor følgende udtrk for beregning af massemidtpunktets koordinater. Hvis vi betegner koordinaterne med Cm Ω r f d C C 2 C 3 har vi: C C 2 C 3 M M l M l d h c d h c M l d h c l d h c a b b a b a b a u v w f r u v wt Jacobi r u v w dudvdw u v w f r u v wt Jacobi r u v w dudvdw u v w f r u v wt Jacobi r u v w dudvdw f r u v w@ Jacobi r u v w dudvdw 8 u (6.3) Ved beregning af massemidtpunkter kan man ofte med fordel bentte hjælpemidler som Maple. Kommandoen :< < fra -pakken (eller tilsvarende t : =u <, NÖ <, henholdsvis) beregner massemidtpunkter og viser deres placeringer i forhold til det aktuelt givne vægtede objekt; se eksempelvis Figurerne 6. og 6.2. O= > = <, 4

42 42 KAPITEL 6. MASSEMIDTPUNKTER Figur 6.: Det her viste rumlige område er givet ved følgende parameterfremstillingen π 2. Figur- 7 r u v w usin v cos we usin v sin we ucos v@e u v - 2 π π 7 2 w - π erne viser massemidtpunktet for en afskåret kuglekalot. Vægtfunktionen er konstant f c. Til højre ses en antdning af et sstem af approksimerende parallelepipida. De er ensfarvede fordi vægtfunktionen her er konstant. Figurerne er output fra =:=< < -kommandoen. Definition 6.2. Lad Ω r betegne et parametriseret rumligt område med en given vægtfunktion (massetæthed) f f. Lad V V betegne et vektorfelt i rummet. Det totale kraftmoment af V på Ω r omkring et punkt p (med stedvektoren r p ) defineres ved : Km Ω r f V pc l d h c a b Ω r f m r r p B Vdµ f r u v w@ r u v wa r p B V r u v wt Jacobi r u v w dudvdw Bemærkning 6.3. Kraftmomentet Km er en vektor fordi integranden i (6.4) er et vektorielt krdsprodukt. Integralet skal altså forstås således, at hver enkelt af de tre koordinatfunktioner for integranden skal integreres over det rumlige område. Opgave 6.4. Antag, at f og lad V betegne en vilkårlig konstant vektor, V l α β γ. Antag derligere, at punktet p vælges i massemidtpunktet for et givet rumligt område Ω r. Vis, at under disse forudsætninger gælder: Km (6.4) 0. Gælder dette også (uafhængigt af α β γ) hvis f ikke er en konstant funktion? Gælder det for andre punkter p end massemidtpunktet? Opgave 6.5. Bent resultatet i ovenstående opgave til at forklare vægtstangs-princippet: Betragt en iøvrigt vægtløs og retlinet vippe med total længde L i det sædvanlige konstante tngdefelt. Antag at vippen er understøttet i et omdrejningspunkt på midten. Vi placerer så en masse m på vippen i afstanden r til højre for omdrejningspunktet og en masse m 2 i afstanden r 2 til venstre for omdrejningspunktet. Så er sstemet i ligevægt - uanset hvilken vinkel vippen danner med vandret - hvis der gælder følgende: m r m 2 r 2. Hvor skal masserne placeres for at opnå ligevægt (hvis

43 6.. HVAD ER ET MASSEMIDTPUNKT? 43 Figur 6.2: Det rumlige område givet ved parameterfremstillingen (jvf. figur 6.): r u v w 7 usin v cos wa usin v sin we ucos vte u -Œ 4 2 v -_ 2 π π 7 2 w -_ π π 2 ; Figurerne viser i- gen massemidtpunktet for den massive kuglekalot-afskæring. Men vægtningen er her givet ved massetæthedsfunktionen f 2, således at massemidtpunktet er tdeligt forskudt i forhold til den homogene, konstante vægtning i forrige figur. Til højre ses igen en antdning af et sstem af approksimerende parallelepipida. De er her farvede for at antde den tilsvarende vægtfordeling. Figurerne er output fra =:=< <. muligt?) når vippen ikke er vægtløs men har en masse-tæthed givet ved en funktion f f u, hvor u -. 0 L betegner afstanden fra vippens venstre endepunkt? Hvad sker der hvis vippen er meget lang, f.eks. L konstant? 4387 km, således at tngdekraft-vektorfeltet ikke længere kan regnes

44 44 KAPITEL 6. MASSEMIDTPUNKTER

45 Kapitel 7 Inertimomenter 7. Hvad er et inertimoment? Antag, at vi roterer en lille partikel med masse M omkring en akse med konstant vinkelhastighed ω således at partiklen udfører en cirkelbevægelse i den plan, som står vinkelret på og således at centrum for cirkelbevægelsen ligger på - se Figur 23. Så er den kinetiske energi i bevægelsen givet ved E kin 2 M v2, hvor v er den konstante fart i cirkelbevægelsen. Men denne fart er netop vinkelhastigheden gange cirklens radius, dvs. v ω distš, hvor distš betegner afstanden fra partiklen til aksen. Heraf følger: E kin 2 ω2 M dist 2 l 2 ω2 Im M, hvor vi dermed har indført betegnelsen Im M for produktet M dist 2 š. Størrelsen kaldes inertimomentet af partiklen i forhold til den givne akse og er altså (pånær faktoren 2 ) et udtrk for energien af partiklen når denne roteres med enheds-vinkelhastighed omkring aksen. For hvert enkelt parallelepipidum i en given n m q -approksimation til et givet rumligt område med vægtfunktion f fås massen M i jk fra (5.) og dermed bidraget Im M i jk til det approksimerede inertimoment for hele det rumlige område. Det totale inertimoment af det rumlige område i forhold til en fast akse fås dernæst på den nu velkendte måde ved at summere alle bidragene i approksimationen og til sidst betragte grænsen n m q r : Definition 7.. Lad Ω r betegne et parametriseret rumligt område og lad f f være en (positiv) masse-tæthedsfunktion. Lad endvidere betegne en ret linje i rummet. Inertimomentet af det f -vægtede område Ω r i forhold til aksen er så givet ved: Im Ω r f Ω r f dist 2 š dµ l d h c a b f r u v wt dist 2 š r u v w@ Jacobi r u v w dudvdw Der gælder følgende bemærkelsesværdige sætning om inertimomenter. (7.) Sætning 7.2 (Steiner s parallelakse-sætning). Lad Ω r betegne et f -vægtet rumligt område med den totale vægt M (jvf. (6.3)), og lad p være en fast valgt akse gennem punktet p. Lad dernæst 45

46 46 KAPITEL 7. INERTIMOMENTER Figur 7.: En enkelt masse-del roteres med konstant vinkelhastighed om en akse. Energien i bevægelsen (og dermed inertimomentet af massedelen i forhold til aksen) er proportional med kvadratet på afstanden til aksen. Output fra :=<$ < -kommandoen. Cm betegne den akse, som er parallel med p men som går gennem massemidtpunktet Cm Ω r f og lad D betegne afstanden mellem de to akser. Så gælder følgende identitet: Im Ω r f pr Im Ω r f Cm D 2 M (7.2) Opgave 7.3. Bevis (eller find, læs og forstå i litteraturen et argument for) Steiner s parallelaksesætning. Se i [Int3] under =œ ž 6 = ŸZ< 9 hvordan -kommandoerne kan benttes til at verificere Steiner s sætning i konkrete tilfælde. Opgave 7.4. Bent Steiner s sætning til at vise følgende: For et givet f -vægtet rumligt område Ω r antager Im Ω r f sin mindste værdi for en akse, der går igennem massemidtpunktet Cm Ω r f. Opgave 7.5. Bent -pakkens kommandoer t : u <, Ö => <, :<$ < til beregning af inertimomenterne af en tnd stang, et rektangel, en cirkelskive, en clinder, en massiv kasse og en massiv kugleflade, henholdsvis (vælg selv dimensionerne). Vægtfunktionen f antages evt. konstant; omdrejningsaksen kan vælges som en smmetriakse. Find de tilsvarende beregninger i litteraturen og sammenlign resultaterne. Opgave 7.6. Lad Ω r betegne en homogen massiv retvinklet kasse med vægtfunktion f ) og sidelængderne, og 2. Vis, at der findes et punkt p i rummet, således at inertimomentet Im Ω r f p antager den samme værdi for alle valg af akser p gennem p. Se og brug eksempelvis = /6 <A;< ŸY< 9.

47 7.. HVAD ER ET INERTIMOMENT? 47 Figur 7.2: En del af en massiv kugle-skal roteres om en akse. Figuren viser placeringer af de approksimerende parallelepipida i forhold til aksen. Inertimomentet approksimeres af summen af de enkelte deles inertimomenter. Figuren og det eksakte inertimoment af kugleskallen kan beregnes med :=<$ < -kommandoen.

48 48 KAPITEL 7. INERTIMOMENTER

49 Kapitel 8 Vektorfelter og deres flowkurver 8. Hvad er et vektorfelt? Et vektorfelt V i rummet er givet ved 3 funktioner V, V 2 og V 3 således: V $ V V 2 V 3 = for -VS 3 Nogle vektorfelter er særlig simple; for eksempel de vektorfelter hvor alle 3 koordinatfunktioner er.grads polnomier i de rumlige variable, dvs. V, a a 2 a 3 b a 2 a 22 a 23 b 2 a 3 a 32 a 33 b 3 (8.) I så fald kan vektorfeltet skrives kort ved hjælp af den matri, A, der har elementerne a i j og den vektor, b, der har koordinaterne b i : Definition 8.. Et vektorfelt af første grad er et vektorfelt, der kan skrives på følgende form ved hjælp af en konstant matri A og en konstant vektor b: V T A T b T (8.2) hvor T betder transponering af de respektive koordinatmatricer. Eksempel 8.2. Et konstant vektorfelt, som for eksempel en konstant vind lokalt tæt ved jordoverfladen, er givet ved V, b (8.3) hvor b er en konstant vektor, f.eks. b Eksempel 8.3. Et eksempel på et såkaldt rotationsvektorfelt er givet ved Prøv at plotte vektorfeltet med Maple. Kommandoen er: V, (8.4) 6 O> NO => 49.

50 50 KAPITEL 8. VEKTORFELTER OG DERES FLOWKURVER Opgave 8.4. Find A og b for vektorfeltet i ovenstående eksempel. Hvad er sporet af A? Kan A diagonaliseres? Eksempel 8.5. Et eksempel på hvad vi kunne kalde et eksplosionsvektorfelt er givet ved Prøv at plotte vektorfeltet med Maple. V, (8.5) Opgave 8.6. Find A og b for vektorfeltet i ovenstående eksempel 8.5. Hvad er sporet af A? Kan A diagonaliseres? Vi vil nu kort begrunde de (dnamiske) navne, som vi har givet vektorfelterne i ovenstående eksempler. 8.2 Flowkurver for et vektorfelt Lad os først repetere fra afsnit 2, at hvis vi har givet en kurve med en parameterfremstilling således K r : r tr te te t@ -CS 3 t -0 a b så giver denne kurve anledning til et ganske bestemt vektorfelt langs med kurven, nemlig hastighedsvektorfeltet (tangentvektorfeltet) rxy t ) XZ t a XZ t E XY Det oplagte omvendte spørgsmål er nu: Givet et startpunkt p og givet et vektorfelt V i rummet, findes der da en parametriseret kurve r t igennem p (med r ), således at kurvens tangentvektorfelt hele vejen langs med kurven netop er det givne vektorfelt V langs med kurven? Hvis det er tilfældet vil vi kalde kurven r t en integralkurve eller en flowkurve for vektorfeltet. Disse navne skldes dels at kurven findes ved integration (løsning af et differentialligningssstem) og dels at bevægelsen langs kurven er som at flve med det givne vektorfelt, altså med en fart og en retning, som vektorfeltet angiver på ethvert sted for bevægelsen. Der gælder nu følgende fundamentale sætning. Sætning 8.7. Givet et. grads vektorfelt V i rummet. Lad betegne et vilkårligt punkt i rummet. Så findes der netop én kurve r u, der opflder de to betingelser: r 0, og rx t) V te te t@ for alle t -.. Hvis vi har givet et vektorfelt af. grad, så kan vi altså flde hele rummet med flowkurver, som hver for sig er definerede for alle værdier af de respektive parametre t, og som ikke skærer hinanden. Bemærkning 8.8. Sætningen kan udvides til vektorfelter der ikke nødvendigvis er af. grad, men så er det ikke længere sikkert, at alle parameterintervallerne for flowkurverne er hele det dobbeltuendelige interval.

51 8.2. FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 5 Begrundelsen, beviset, for sætning 8.7 er kendt fra sstemer af lineære koblede differentialligninger. Lad os kort repetere ved at se på flowkurverne for de 3 eksempler ovenfor. Eksempel 8.9. Det konstante vektorfelt V, har flowkurver te te tt som skal opflde de to betingelser: Begndelsebetingelsen 0E 0E 0@ og de 3 differentialligninger for t, t, og t, som følger af hastighedsvektor-betingelsen rx tl X te X te X tt V te te t@= De 3 differentialligninger er ikke koblede i dette tilfælde og de løses direkte med de angivne begndelsebetingelser med følgende resultat: t, 0, t 0 7t, og t 0. Dvs. flowkurverne er (ikke overraskende) alle de rette linjer parallelle med -aksen, parametriseret sådan at alle har farten 7. Eksempel 8.0. Eksemplet med rotationsvektorfeltet V ) har tilsvarende flowkurver, der nu tilfredsstiller betingelserne: 0E 0E 0@K samt differentialligningerne rx t X ta X te X t@ te te. Differentialligningerne for t og t er koblede lineære differentialligninger med konstante koefficienter og løses præcis som i [LA] afsnit 7.4. Bemærk, at sstemmatricen allerede er fundet i opgave 8.4. Resultatet er t 0 cos t$ 0 sin t, t 0 sin t 0 cos t, og tk 0 t. Disse flowkurver kan findes og inspiceres med ; -kommandoen :=<œop som vist i filen =:=<ŸZ< 9. Det fremgår også deraf at det er ganske rimeligt, at kalde vektorfeltet et rotationsvektorfelt. Se Figur 8.. Figur 8.: Rotationsvektorfeltet fra eksempel 8.0 sammen med de integralkurver, som går igennem en terning. I ; =:=<cÿz< 9 findes en animation med kommandoen :=<œop, der blandt andet viser, hvordan terningen roteres, når hvert enkelt punkt følger sin flowkurve.

52 52 KAPITEL 8. VEKTORFELTER OG DERES FLOWKURVER Opgave 8.. Lad V 0 og bent :=< œo P til at finde flowkurver og bevægelsen af samme terning som i Figur 8. når tidsintervallet for flowet sættes til T 0 2π. Sammenlign dernæst med virkningen af vektorfeltet W / 2 0 på terningen i samme tidsinterval. Forklar forskellene på de to virkninger af de to forskellige vektorfelter. Eksempel 8.2. Eksplosionsvektorfeltet V, har flowkurver, der tilfredsstiller: 0a 0a 0T/ og differentialligningerne rx t) X te X ta X t@$ te te t@ Differentialligningerne for t og t er her u-koblede lineære differentialligninger, som let løses en af gangen. Resultatet er t, 0 ep t t, 0 ep t og t) 0 ep t Bemærk, at hvis 0E 0E 0@ så er te te t@ for alle t -J. Flowkurven igennem punktet er derfor ikke nogen egentlig kurve men består kun af punktet selv. Bemærk også, at alle andre flowkurver kommer vilkårligt tæt på punktet for t r, idet ep tlr 0 for t r, men de går ikke igennem punktet. Hvis vi følger flowkurverne i Figur 8.2 tilbage i tid fra t 0 igennem negative værdier vil vi derfor se en eksponentielt aftagende implosion af terningen. Hvis vi derimod følger flowkurverne frem i tid fra t 0 igennem større og større positive værdier for t vil vi se en eksponentielt voksende eksplosion af terningen. Flowkurverne kan igen findes og inspiceres med ; -kommandoen :=<œop som vist i = :=<ŸZ< A9. Se Figur 8.2. Opgave 8.3. Lad V betegne vektorfeltet V 2@ 3. Find og vis med :=<œop et passende antal af de flowkurver for vektorfeltet igennem kuglen med centrum i 0 0 og radius 4.

53 8.2. FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 53 Figur 8.2: Eksplosionsvektorfeltet fra eksempel 8.2 sammen med de integralkurver, som går igennem en terning. Figur 8.3: Integralkurverne for vektorfeltet fra figur 8.2 igennem en terning samt den tilsvarende deformation af terningen.

54 54 KAPITEL 8. VEKTORFELTER OG DERES FLOWKURVER

55 Kapitel 9 Divergens og Gauss sætning 9. Hvad er divergensen af et vektorfelt? Definition 9.. Lad V ` V E V 2 E V 3 = være et vektorfelt i rummet. Divergensen af V i punktet defineres således: div V 0 0 0R V V V (9.) Eksempel 9.2. Eksplosionsvektorfeltet V har konstant divergens div V 3. Rotationsvektorfeltet V ) 0 har også konstant divergens: div V 0. Opgave 9.3. Lad V, rummet. sin E cos E. Bestem div V i ethvert punkt i Opgave 9.4. Lad V være et vektorfelt af. grad med matri-fremstilling som i ligning (8.2). Vis, at divergensen af V er konstant lig med sporet af A. Opgave 9.5. Lad V ƒ grad h være gradientvektorfeltet for en given funktion h. Vis, at divergensen af V er div grad 2 h 2 2 h 2 2 h Motivering af divergensen: Volumen-ekspansion Lad os betragte en massiv kugle i rummet med radius R og centrum i og lad os udvide denne kugle ved at lade alle punkterne i den flde med flowkurverne for eksplosionsvektorfeltet V L. Ifølge flow-løsningerne (fra eksempel 8.2) vokser radius af kuglen med faktoren e t, hvor t er tiden. Det vil sige, at volumenet af kuglen som funktion af flow-tiden er givet ved: Vol tk 4π? 3 R 3 e 3t. Volumenet af kuglen vokser derfor (til tiden t 0) med differentialkvotienten dt d Vol t t 0 4πR 3. 55

56 56 KAPITEL 9. DIVERGENS OG GAUSS SÆTNING Denne vækst i volumen kan vi også finde på en anden måde, nemlig ved at holde øje med udvidelsen af kuglens overflade (til tiden t 0). Intuitivt har vi, at hvis prikproduktet imellem vektorfeltet V og den udadrettede enhedsnormalvektor n et sted på overfladen er stor, så vil den lokale volumenforøgelse tilsvarende være stor, fordi overfladen på det sted skubbes hurtigt udad. Dette kan selvfølgelig modsvares af at prikproduktet et andet sted på fladen er negativt, således at fladen skubbes indad på det sted. Kort sagt må vi forvente, at den totale udadrettede flu af vektorfeltet igennem overfladen har betdning for volumenforøgelsen. Generelt har vi da også følgende sætning: Sætning 9.6. Lad Ω r betegne et vilkårligt parametriseret område i rummet med udadrettet enhedsnormalvektorfelt n Ω langs overfladen Ω r. Lad V betegne et vilkårligt vektorfelt i rummet. Vi lader alle punkterne i Ω r flde tiden t langs flowkurverne for vektorfeltet V. Volumenet Vol t af området efter denne deformation har da følgende differentialkvotient til tiden t 0: d dt Vol t t 0 g V m n Ω dµ Flu V Ω r (9.2) Ω r Eksempel 9.7. Vi checker sætningen i det konkrete tilfælde med den eksploderende kugle: Fluen af eksplosionsvektorfeltet ud igennem kuglens overflade er simpelthen overfladens areal 4πR 2 gange prikproduktet V m n, fordi dette prikprodukt i dette specielle tilfælde er konstant: V m n V p R. Derfor er den totale flu 4πR 3, altså præcis differentialkvotienten (til tiden t 0) af volumenet som funktion af deformationstiden t. Vi har således verificeret sætningen i dette specielle eksempel. Eksempel 9.8. De parametriserede rumlige områder, vi betragter, har jo sædvanligvis en rand, der består af 6 sideflader. Det betder, at beregningen af volumenvæksten af området ved deformationen langs flowkurverne kræver beregning af 6 udadrettede flu-bidrag eet bidrag for :A99PœO7:M hver sideflade. Dette gøres direkte med ; -kommandoen, der som argumenter har parametriseringen af det rumlige område, parameter-intervallerne, vektorfeltet, og finhedsnettet, som sædvanlig. Se eksempler på beregninger i œop:m = /6;u A9. For et vilkårligt vektorfelt i rummet kan vi undersøge volumenforøgelsen (ved flow langs vektorfeltets flowkurver) for en lille kugle S ρ, der har centrum i et givet punkt, f.eks. p og radius ρ. Vi Talor-udvikler vektorfeltets koordinatfunktioner V, V 2 og V 3, til. orden med udviklingspunkt og finder den udadrettede flu af vektorfeltet igennem den lille kugles overflade. Denne flu divideret med volumenet 4π? 3 ρ 3 har en grænseværdi når radius ρ går imod 0. Se skitsen til den beregning nedenfor. Det viser sig, at denne grænseværdi netop er divergensen af vektorfeltet i det betragtede punkt! I lset af sætning 9.6 og ligning (9.2) har vi derfor motivereret følgende tolkning af divergensen: Sætning 9.9. Divergensen af et vektorfelt udtrkker den relative lokale volumen-vækst ved deformation langs flowkurverne for vektorfeltet. Lad os se, hvordan divergensen fremkommer ved den antdede fremgangsmåde. Vi simplificerer fremstillingen på to måder: Dels vil vi vælge et koordinatsstem så p 0 0 0, og dels vil

57 & 9.2. MOTIVERING AF DIVERGENSEN: VOLUMEN-EKSPANSION 57 vi kun medtage lineariseringen af V omkring (ε-leddene fra Talor-udviklingerne af de 3 koordinatfunktioner tages ikke med). Til gengæld er beregningerne eksakte for vektorfelter af første grad. Opgaven er altså at genfinde div V i punktet ved hjælp af en fluberegning. Vi begnder med at Talorudvikle V. Det underforstås, at udtrkkene evalueres i udviklingspunktet medmindre andet antdes. n V, V V V V V 2 V 2 V 2 V 2 V 3 V 3 V 3 V 3 (9.3) Idet enhedsnormalvektorfeltet på overfladen af den lille ρ-kugle om er givet ved? ρ? ρ? ρ følger det, at integranden i fluberegningen er følgende: V Am n ρ' V 2 V V V V 2 V 2 2 V 2 V 2 V 3 V 3 V 3 2 V 3 Tilbage er nu kun at integrere dette udtrk over kuglefladen S ρ og dernæst dividere med kuglens volumen. Det er faktisk rimelig simpelt i betragtning af følgende identiteter: (9.4) dµ f dµ f dµ 0 S ρ S ρ S ρ 2 dµ 2 dµ 2 dµ 4π? 3 ρ 4 S ρ S ρ S ρ dµ dµ dµ 0 S ρ S ρ S ρ (9.5) Opgave 9.0. Vis de ovenstående identiteter i ligning (9.5). I de tilfælde hvor integralet er 0 kan dette afgøres ved en fortegns- og smmetribetragtning. Med hensn til de øvrige: Brug f.eks. kommandoen O= > fra -pakken. For generelle vektorfelter gælder derfor følgende i den grænse hvor ρ er meget lille (ρ r 0). (For vektorfelter af første grad gælder følgende dog for alle værdier af ρ.) Vol S ρ Flu V S ρd Vol S ρ S ρ V m n dµ V V 2 V 3 div V (9.6)

58 58 KAPITEL 9. DIVERGENS OG GAUSS SÆTNING Hermed har vi afsluttet den lokale bestemmelse af divergensen af et vektorfelter og vist den geometriske tolkning i sætning 9.9. Men denne fremstilling af divergensen åbner også op for en naturlig ide, som går i den modsatte retning: Da den lokale punktvise volumen-vækst ved deformation langs flowkurverne er bestemt af divergensen af vektorfeltet, så er følgende en rimelig formodning: Hvis vi integrerer divergensen over et område i rummet, så skulle resultatet gerne være sammenlignelig med den totale volumenvækst af hele området. Altså groft sagt skulle summen af de lokale volumentilvækster gerne være den totale volumentilvækst. Dette er præcis indholdet af Gauss sætning, som vi nu formulerer ved hjælp af fluen ud igennem randoverfladen. 9.3 Gauss sætning Sætning 9. (Gauss sætning). Lad Ω r betegne et rumligt område med randoverflade Ω r og udadrettet enhedsnormalvektorfelt n Ω på randoverfladen. For ethvert vektorfelt V i rummet gælder så følgende: Ω r div V dµ Ω r V m n Ω dµ Flu V Ω r (9.7) hvor fluen altså skal beregnes med hensn til det udadrettede enhedsnormalvektorfelt på randoverfladen af det givne rumlige område. Med ; -kommandoerne :/99PœO7: M beregnes i konkrete tilfælde og dermed verificere Gauss sætning. og >6;uA kan begge sider af ligning (9.7) Eksempel 9.2. Hvis vektorfeltet V har divergensen 0 i alle punkter i rummet, så vil ethvert rumligt område, der flder med vektorfeltet, bevare sit volumen. Formen kan naturligvis ændres meget som tiden går, men volumenet er konstant. Desuden er fluen ud igennem overfladen af ethvert rumligt område tilsvarende 0. Se opgave 8. Eksempel 9.3. For eksplosionsvektorfeltet, V, der har den konstante divergens div Vc 3, gælder altså følgende for et vilkårligt rumligt område: 3 Vol Ωc Flu V Ω. Opgave 9.4. Bent :A99PœO7:M til at verificere påstanden om V $ i ovenstående eksempel 9.3 for det rumlige område, der består af den massive clinder i Figur 5.5.

59 Kapitel 0 Rotation og Stokes sætning 0. Hvad er rotationen af et vektorfelt? Definition 0.. Lad V { V E V 2 E V 3 = være et vektorfelt i rummet. Rotationen af V i punktet defineres som følgende vektor: rot V 0 0 0R V A V 0 0 0A V A V V V 0 0 0, (0.) Eksempel 0.2. Eksplosionsvektorfeltet V har konstant rotation rot Vs 0. Det roterende vektorfeltet V 0 har heldigvis også konstant rotation (forskellig fra 0): rot V, Opgave 0.3. Lad V, i rummet. sin E cos a. Bestem rot V i ethvert punkt Opgave 0.4. Lad V være et vektorfelt af. grad med matri-fremstilling som i ligning 8.2. Vis, at rotationen af V er en konstant vektor og udtrk vektoren ved elementerne i A. Opgave 0.5. Lad h betegne en reel funktion i rummet og lad V være et vilkårligt vektorfelt. Vis, at der gælder følgende: div V B grad ht, rot VAm grad h 0.2 Motivering af rotationen: Vridning Definition 0.6. Lad V være et vektorfelt i rummet og lad F r betegne en flade i rummet. Ved den totale vridning Vr V F r af F r med V med hensn til normalvektorfeltet n F for fladen forstås 59

60 60 KAPITEL 0. ROTATION OG STOKES SÆTNING følgende vektor Vr V F rr n F B V dµ (0.2) F r Denne definition ser ikke umiddelbart ud til at have meget med rotationsvektoren at gøre som defineret i definition 0.. Ikke desto mindre kan vridningen udtrkke rotationen af et vektorfelt i ethvert givet punkt p på samme måde som fluen kan finde divergensen - nemlig som en grænseværdi ved betragtning af små kugleflader S ρ, der trækker sig sammen omkring p ved at lade radius ρ r 0. Se ligning (9.6). Sætning 0.7. Vr Vol V S S ρr n ρ Vol Sρ B V dµ rot V (0.3) S ρ S ρ Dette indses på samme måde som for divergens-beregningen. Vektorfeltet udvikles til første orden med udviklingspunkt p og indsættes i vridningsudtrkket, hvorefter identiteterne 9.5 benttes. De eneste partielle afledede af vektorfeltets koordinatfunktioner, der ikke integreres væk, er præcis dem, der optræder i rotationsvektoren rot V når denne evalueres i p. Prøv det! Eksempel 0.8. Et simpelt eksempel er det roterende vektorfelt i eksempel 0.2. Dette felt har den konstante rotation Vi vil vise, hvordan Vr V S ρt netop giver denne rotation i punktet Lad S ρ betegne den kugleflade, der har radius ρ og centrum i Så er Vr V S ρd ρ S ρ n B V dµ ρ S ρ BD dµ ρ BD dµ S ρ ρ 2 2 dµ S ρ Vol S ρ= Vol S ρ rot V i overensstemmelse med sætning 0.7. I mere komplicerede tilælde kan den totale vridning af en flade med et givet vektorfelt beregnes med Maple kommandoen Ö > ªP O«67> fra -pakken. Hvis den aktuelle flade er randoverfladen af et givet rumligt område beregnes vridningen med :=< >=ª OP«A67>. Derved muliggøres naturligvis også konkrete eftervisninger af ligning (0.3). Som for divergensen er der nu en naturlig og ikke overraskende omvendt sætning for den totale vridning af randoverfladen af et vilkårligt rumligt område, nemlig følgende, som vi vil bevise i næste afsnit. Sætning 0.9. Lad Ω r betegne et rumligt område med randoverfladen Ω r, og lad V være et givet vektorfelt i rummet. Så gælder følgende identitet for den totale vridning af overfladen beregnet med hensn til det udadrettede enhedsnormalvektorfelt n Ω til Ω r : Vr V Ω rr rot V dµ (0.4) Ω r

61 0.3. GAUSS STOKES SÆTNING FOR RUMLIGE OMRÅDER 6 Den totale rotation over det rumlige område kan således bestemmes ved en integration over områdets rand. Også dette resultat kan direkte checkes med Maple i konkrete tilfælde, dels ved brug af :=< >=ªP OP«6P> og dels med kommandoen :=<ªP OP P. 0.3 Gauss Stokes sætning for rumlige områder Ved at indsætte resultatet fra opgave 0.5 i Gauss divergenssætning (sætning 9.) finder vi direkte følgende: Sætning 0.0. Lad h betegne en reel funktion i rummet og lad V være et vilkårligt vektorfelt i rummet. Med Ω betegner vi et givet område i rummet med randoverflade Ω og u- dadrettet enhedsnormalvektorfelt n Ω. Så gælder: Ω div V B grad h@ dµ Ω V B grad htm n Ω dµ (0.5) og derfor også følgende Ω rot Vm grad h dµ f Ω V B grad h@m n Ω dµ (0.6) Ω rot Vm grad h dµ Ω n Ω B Vm grad h dµ (0.7) I den sidste ligning har vi benttet, at rumproduktet abc a B b/m c af tre vektorer a, b, og c tilfredsstiller følgende identiteter (hvoraf vi her bruger den første): abc cab bca bac cba acb (0.8) Vi er hermed parate til at indse den før omtalte og forventede forbindelse mellem den totale rotation af et vektorfelt i et rumligt område og den totale vridning af områdets overflade, jævnfør afsnit 0.2. Sætning 0.. Ω rot V dµ Ω n Ω B Vdµ (0.9) Lad nemlig først h være den simple funktion h,. Så er grad h $ 0 0. Indsæt dette i ligning 0.7 som så giver, at de to vektorer i 0.9 i hvert fald har samme første koordinat. Med valgene h / og h / henholdsvis, ses tilsvarende at de to vektorer også har samme 2. og 3. koordinat, hvoraf følger, at de må være ens. indeholder to kommandoer, :=< ªP O P og Ö => ªP OP«6P>, som kan benttes til beregning dels af den totale rotation af et givet vektorfelt i et rumligt område og dels den totale vridning af områdets randoverflade. Derved kan sætning 0. verificeres i ethvert konkret tilfælde.

62 62 KAPITEL 0. ROTATION OG STOKES SÆTNING Eksempel 0.2. For et et. grads vektorfelt er rotationen en konstant vektor, således at vektorfeltets totale vridning af overfladen af et vilkårligt rumligt område er den konstante rotation ganget med områdets volumen. Opgave 0.3. Check påstanden i eksemplet ovenfor for hver af de vektorfelter, der er defineret i eksemplerne 8.2, 8.3, og 8.5. Vælg selv et passende parametriseret område Ω og bent eventuelt :=< ªP O P og Ö > ªP OP«67>. 0.4 Stokes sætning Til sidst vil vi her bentte sætning 0.0, og specielt igen ligning (0.7), på de rumlige områder, der konstrueres som skaller ud fra en vilkårlig given flade F r med randkurve F r. Definition 0.4. Lad F r : r u vd u ve u ve u vt -CS 3 u -0 a b v -. c d betegne en flade i rummet. Ved δ-skallen med grundfladen F r forstås følgende rumlige område: Ω Fr δ : r S u v w r u v wn F u v -CS 3 u -0 a b v -. c d w -. 0 δ hvor n F u v betegner standard enhedsnormalvektorfeltet for fladen F r på stedet r u v. Se afsnit 3.4. Bemærkning 0.5. En skal er således bgget op som en lagkage af de flader, der fremkommer ved at skubbe grundfladen i retning af grundfladens normalvektorfelt. Hvert lag i skallen er altså (næsten) en kopi af grundfladen. Lagene fremkommer ved at holde w konstant i parameterfremstillingen r S u v w for det rumlige område. Specielt vil normalvektorfeltet for w-laget være en parallel-forskdning af grundfladens normalvektorfelt (for samme værdier af u v ). Det udadrettede normalvektorfelt n Ω til det rumlige område Ω Fr δ langs topfladen r S u v δ er derfor n F og det udadrettede normalvektorfelt til det rumlige område Ω Fr δ langs grundfladen r S u v 0 er n F. Denne observation får nu afgørende betdning i vores begrundelse for Stokes sætning for flader. I den grænse, hvor skal-tkkelsen δ går imod 0 får vi nemlig ud fra sætning 0.0 og ligning (0.7) følgende klassiske Stokes sætning for flader med rand: Sætning 0.6 (Stokes sætning). Lad F r betegne en givet flade med rand F r og lad V være et vektorfelt i rummet. Så gælder: F r rot VAm n F dµ Tan V F r dµ (0.0) hvor der ved beregning af det tangentielle kurveintegral langs randen skal benttes præcis den orientering e F af randen der gør, at krdsproduktet e F B n F peger væk fra fladen F r langs randkurven.

63 0.4. STOKES SÆTNING 63 Figur 0.: To skaller defineret ud fra forskellige grundflader med rand. Til venstre er grundfladen et stkke af en kugleflade, til højre er grundfladen et plant kvadrat. Bemærkning 0.7. Med hensn til koordineringen af orienteringen af fladen med orienteringen af fladens randkurve: Lad ˆn F betegne den enhedsvektor langs med randen som peger bort fra randen og som samtidig står vinkelret på fladens normalvektorfelt ved randen. Så er betingelsen på orienteringen af fladens randkurve følgende: n F B ˆn F e F Dette svarer til højrehåndsreglen: Højre hånd placeres ved fladens rand med tommeltotten i retning af fladens normalvektorfelt n F og med fladen til venstre for hånden. Så skal fingrene pege i samme retning som orienteringen af randkurven. Vi nøjes med at skitsere argumentet for Stokes sætning, idet den er en rimelig klar konsekvens af ligning (0 7). Vi anvender simpelthen den ligning på en tilstrækkelig tnd δ-skal med grundflade F r og vælger h til at være en funktion, der har grundfladen som niveauflade og som iøvrigt tilfredsstiller, at grad h n F langs hele grundfladen. Som funktion h kan for eksempel vælges afstandsfunktionen til grundfladen, med fortegn, således at afstanden regnes positiv og voksende i retningen n F og negativ og aftagende i retningen n F ud fra grundffladen, hvor h 0. Venstre side i ligning (0 7) er så næsten (dvs. til og med første orden i δ) lig med VS(0.7) δ m@ F r rot VAm n F dµ (0.) jævnfør bemærkning 0.5 og se Figur 0.. Højre siden i ligning (0.7) findes ved at integrere over overfladen af det rumlige område. Da det udadrettede enhedsnormalfelt på topfladen er modsat rettet grundfladens enhedsnormalvektorfelt, vil de to bidrag til højre siden i ligningen ophæve hinanden (igen til første orden i δ). Tilbage er der kun bidraget langs det smalle δ-bælte rundt langs skallen. Her er det udadrettede enhedsnormalvektorfelt til skallen vinkelret på n F, således at bidraget bliver følgende (til første

64 t 64 KAPITEL 0. ROTATION OG STOKES SÆTNING orden i bælte-bredden δ) : HS(0.7) δ m@ δ m F r ˆn F B Vm n F dµ F r V m n F B ˆn F dµ δ mt V m e Fr dµ F r δ m Tan V F r dµ (0.2) Ved nu at sammenholde ligning (0.) med ligning (0.2) fås Stokes sætning 0.6 af ligning (0.7). Figur 0.2: Et stkke af en kugleflade samt rotationen rot V ved fladestkket er her vist for vektorfeltet V Vektorfeltet V er ikke selv vist. -kommandoen ž 9PœOP:M viser og beregner fluen af rotationen igennem fladen. Se eksemplerne i Maple filen œo7:m = =Ä6;u = A9.

65 0.4. STOKES SÆTNING 65 Figur 0.3: Ifølge Stokes sætning for flader i rummet er den flu, der vises i Figur 0.2 lig med det tangentielle kurveintegral (passende orienteret) af vektorfeltet V langs med randkurven for fladestkket. Det er denne randkurve og vektorfeltet V langs med randkurven, der antdes i figurerne her. Sammen med selve beregningen af det tangentielle kurveintegral er figurerne en 97 >. del af output fra ž t

66 66 KAPITEL 0. ROTATION OG STOKES SÆTNING

67 t Kapitel Hvordan bruges I U ± ³² µœ ± eé? LŸZ< 8 =N^¹»ºº ƒÿz< ƒÿ¼>= :^Ÿ¼> adressen: og et omfattende eksempelmateriale i form af Maple worksheets findes på º= > :A½ /6 7 /º ¾ 7¾¾Àº7ÁžºÃ=ª v=ª = º I den første eksempel-fil =v }=: =u = ŸZ< 9 forklares dels hvordan du henter selve pakken LŸZ< fra ovenstående adresse og dels - via eksempler - hvordan du bruger og aktiverer de enkelte procedurer i pakken. Den nævnte eksempel-fil er kun én ud af en række worksheets med eksempler. I handler alle eksemplerne om kurver (længder, ; =v =}=: =u ŸZ< A9 massemidtpunkter, inertimomenter, kraftmomenter, flowkurver, etc.).. Om at konstruere pakker med Maple-procedurer Konstruktionen af Maple-procedurepakken ; ŸZ< fremgår af den rå Maple kode for pakken, som findes i Maple-filen LŸZ< 9. Heraf fremgår dels hvordan du kan ændre i pakken og dels hvordan du skriver dine egne procedurer og kombinerer og gemmer dem i en pakke i dit lokale Maple-bibliotek. Se især de tre afsnit Init (pakken defineres først som en tom tabel), Baser (procedurer konstrueres og defineres som elementer i pakke-tabellen) og Saving (pakken gemmes i dit lokale bibliotek)..2 Eksempel: Beregning af et rumintegral over en massiv kasse. En retvinklet massiv kasse med siderne a, b og c. Kassens masseflde er givet ved kvadratet på afstanden fra et af hjørnepunkterne. Opgaven er at finde den totale masse af kassen som funktion af a, b, og c. Kassen med siderne a, b, og c kan parametriseres som vist nedenfor. Det kræver selvfølgelig først en overvejelse at finde ud af, om det valgte koordinatsstem er det rigtige og/eller det bedste til at udtrkke masseflden som funktion af koordinaterne. 67

68 Í Í 68 KAPITEL. HVORDAN BRUGES Ä;Å/Æ ÇÈ7É Ê/Æ Ë;ÉÌ? Í ƒ¹ïîoðñ: ÒÏuLÒÏ /ÓÔÕˆÖY: ÒJuLÒJ ¹ Í Ø ¹ÏÎŽÖÙ¾sÒ»sÒ»¾KÒ¼Ú Ò»¾sÒÛ½P ¹ Í ƒ¹ïîˆöïükò»ýkòe ;= ¹ Vægtfunktionen sættes til : ¹ÏÎoлM ÒÑÞ ÒÑßAÓÔÕàMáâàãUÞáâUãUßáâ ¹ Kommandoen rumint bruges på dette input med følgende resultat. (NB: net benttes faktisk ikke her, idet kassen jo ikke kan tegnes, når siderne ikke er angivet eksplicit. Prøv selv at bruge rumint kommandoen med specificerede kantlængder.) : =:=<$ LÐÙ Ò Ø Ò ÒQ AÓä å æ ç æ èé;ê é çë7ç=éeèì ê í;îpî íeïðñšç,ò¼ó ôyõôyö 0øgùúó ô õ ô ö û ü=é;ëíeï íeê í ý;ïì7ýeèç=þ;ÿ é,ñœù,ô æ)ô )ô ô )ô Eû ïðíeõ é;ê_ëpópï Pê í;ý ï ñ ë)ò ôô 0ø 7æ ý íò¼óô õôyö Añ Jacobi u v w ó;èpíaïê é;ðpç æîpé ê³æ7ë ëpópï Pê í;ý ï=é ïœë ñ Ω r f dµ 3 a3 bc 3 ab3 c 3 abc3 f dµ 0 333a 3 bc 0 333ab 3 c 0 333abc 3 Ω =é ç é7ð7ïíaïðbæ7ë çó;è 7íaïê é7ð7ç æîpé;êñ r Ω r f dµ +!#" $ %&'%'(('),ñpññpññpñpñ 0 0 a b a 0 0 b c b a Ω r f dµ u 2 v 2 w 2 Jacobi u v w dudvdw c b a u 2 v 2 w 2 dudvdw u 2 v 2 w 2 du 3 u3 v 2 u w 2 u u% 0+ a 3 a3 v 2 a w 2 a u 2 v 2 w 2 dudv 3 a3 v 2 a w 2 adv b 0 3 a3 v 2 a w 2 adv 3 a3 v 3 v3 a w 2 av v% 0+ b

69 .2. EKSEMPEL: BEREGNING AF ET RUMINTEGRAL OVER EN MASSIV KASSE c b a c 3 a3 b #-')" -./0!)"ñPññPññPñPñ 3 a3 b 3 ab3 w 2 ab c 0 3 a3 b 3 ab3 w 2 abdw 3 a3 bw 3 ab3 w 3 w3 ab w% 0, c 3 a3 bc 3 ab3 c 3 abc3 u 2 v 2 w 2 dudvdw + 3 ab3 w 2 abdw øøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøø Ω r f dµ 3 a3 bc 3 ab3 c 3 abc3 Med kommandoen rumintgo fås resultatet direkte uden mellemregninger. (Derved kan resultatet lettere benttes i eventuelle efterfølgende beregninger hvori massen indgår) : Í =:=<$ ÐÙ Ò Ø Ò Ò¼ AÓä øøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøøpøpøøpøø 3 a3 bc 3 ab3 c 3 abc3

70 70 KAPITEL. HVORDAN BRUGES Ä;Å/Æ ÇÈ7É Ê/Æ Ë;ÉÌ?

71 t t Litteratur [MA] H. Elbrønd Jensen, Matematisk Analse, Institut for Matematik, DTU (2000). [MA2] P. W. Karlsson og V. Lundsgaard Hansen, Matematisk Analse 2, Institut for Matematik, DTU (998). [LA] J. Eising, Lineær Algebra, Institut for Matematik, DTU (999). [A] P. Alsholm, Maple, Institut for Matematik, DTU (2003). [doc] M. P. docarmo, Differential Forms and Applications, Springer (994). [CBS] G. Christiansen, E. Both, og P. Østergaard Sørensen, Mekanik, Institut for Fsik, DTU (2002). [EP] C. H. Edwards and D. E. Penne, Calculus, Sith Edition, Prentice Hall (2002). [F] G. R. Fowles, Analtical Mechanics, 6.th ed., Thomson Learning (998). [FLS] R. P. Fenman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Fenman Lectures on Phsics, Vol., Addison Wesle (965). [M] J. R. Munkres, Analsis on Manifolds, Perseus Books Group (997). [P] H. Plem, Maple worksheets for Calculus, CD-ROM attachment to [EP], Prentice Hall (2002). [S] M. Spivak, Calculus on Manifolds, Perseus Books Group (965). [Int3] findes på adressen: 8 N^¹»ººP ƒÿz< ƒÿ¼>= =:Ÿ¼> -pakken og tilhørende eksempelmateriale i form af Maple worksheets º => :A½= A6 7 /º ¾ 7¾¾Àº7ÁžºÃ=ª INSTITUT OR MATEMATIK, MATEMATIKTORVET, DTU - BYGNING 303 OG LEARNING LAB DTU, DTV, BYGNING 0, 2800 KGS. LYNGBY. adresse: ž Ÿ Á t u 9 2<< ^Ÿ¼>= =:^ŸÏ> v=ª = º 7