Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder
|
|
- Tina Kjær
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder Metoder til ODE er af første orden Separation af de variable Eksakte ODE er Integrerende faktorer Homene lineære ODE er Inhomene lineære ODE er Bernoulli-ligningen Metoder til ODE er af anden orden Homene lineære ODE er Linearitet af løsninger Reduktion af orden Konstante koefficienter Euler-Cauchy-ligninger Ikke-homene, lineære ODE er Linearitet af løsninger De ubestemte koefficienters metode Forstyrrede masse-fjeder-systemer De arbitrære parametres variationsmetode Laplace-transformationen Laplace-transformationen af udvalgte funktioner Linearitet af Laplace-transformationen dens inverse Forskydning af s-variablen Laplace-transformationen af afledede Laplace-transformationen af integraler Løsning af begyndelsesværdiproblemer
2 Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Partialbrøker Systemer af ODE er Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden Systemer af ODE er af orden 1 med konstante koefficientmatricer Fourierrækker Udregning af Fourierkoefficienter mm Lige ulige funktioner Linearitet af Fourierkoefficienter Periodeskift Halvsidige udviklinger Metoder til PDE er af anden orden Den éndimensionelle bølgeligning Fourierrækkemetoden D Alemberts løsning Den endimensionelle varmeligning Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = Isolerede endepunkter Numeriske metoder Løsning af ligninger Fikspunktiteration Newtons metode Sekantmetoden Interpolationspolynomier Polynomium gennem n + 1 punkter Lagrange-interpolation Newtons divideret differens-metode Polynomiumsapproksimation af funktioner Numerisk integration Midtpunktsreglen Trapezreglen Simpsons regel Gauss-kvadratur Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Euler-metoden Heuns metode RK4-metoden Runge-Kutta-Fehlberg Baglæns Euler Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Adams-Bashforth-metoder Adams-Moulton-metoder Metoder til førsteordenssystemer Euler-metoden
3 2.6.2 RK Baglæns Euler Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x y (x = f(x, y(x Numerisk metode til Laplace- Poisson-ligningerne i to dimensioner Regulær rand Dirichlet-randbetingelser Neumann- blandede randbetingelser Irregulær rand Dirichlet-randbetingelser Gauss-Seidel-iterationsmetoden Analytiske metoder 1.1 Metoder til ODE er af første orden Separation af de variable En ODE, som kan omskrives til formen g(y(xy (x = f(x kan løses ved at finde følgende integraler: g(y dy = f(x dx + k, herefter isolere y Eksakte ODE er En ODE, som kan omskrives til formen hvor N M opfylder M(x, y(x + N(x, y(xy (x = 0, M y N (x, y = (x, y, x kan løses ved at finde en funktion af to variable u, som opfylder, at u u (x, y = M(x, y (x, y = N(x, y. x y Funktionen u kan findes ved først at integrere M mht. første koordinat: f(, y = M(t, y dt, 3
4 herefter definere g(y = N(x, y f (x, y, y (bemærk, at g viser sig kun at afhænge af én variabel hvorefter u er givet ved u(x, = f(x, + g(t dt. Bemærk, at alle ubestemte integraler er funktioner af en (unavngiven variabel, som er repræsenteret ved en prik ( alle andre steder, den indgår i en given ligning. I noterne kaldes funktionen g(t dt for k f har intet navn Integrerende faktorer Visse ODE er, som ikke er eksakte, kan gøres eksakte ved at gange igennem med en integrerende faktor. I visse tilfælde kan følgende resultat bruges til at finde en integrerende faktor. Sætning 1.1. Hvis funktionerne P Q i ODE en opfylder, at P (x, y(x + Q(x, y(xy (x = 0 R(x, y = er konstant som funktion af y for fast x, så er 1 ( P Q (x, y Q(x, y y x (x, y en integrerende faktor. Tilsvarende, hvis F (x, y = F (x = exp x R(x 1, y dx 1 R (x, y = er konstant som funktion af x for fast y, så er 1 ( Q P (x, y P (x, y x y (x, y y F (x, y = F (y = exp R (x, y 1 dy 1 en integrerende faktor Homene lineære ODE er For alle tal c er y = ce p(x dx, en løsning til ODE er, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = 0. 4
5 1.1.5 Inhomene lineære ODE er En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = r(x har følgende løsninger: ( y = e h e h(x r(x dx + c, hvor h = p(x dx c R Bernoulli-ligningen En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = g(xy(x a, hvor a 1, kan løses ved først at finde en løsning u til følgende lineære ODE af første orden: u (x + (1 ap(xu(x = (1 ag(x, herefter sætte y(x = u(x 1 1 a. 1.2 Metoder til ODE er af anden orden Homene lineære ODE er Linearitet af løsninger Hvis y 1 y 2 er defineret på samme interval begge er løsninger til ODE en y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, (1 så er y = ay 1 + by 2 så en løsning for alle valg af reelle tal a,b R. Løsningerne y 1 y 2 er lineært uafhængige hvis kun hvis Wronski-determinanten W (y 1,y 2 (x = y 1 (xy 2(x y 2 (xy 1 (x er forskellig fra 0 for ét ( dermed alle x. Hvis p q er kontinuerte y 1 y 2 er lineært uafhængige, så er alle løsninger på formen y = ay 1 + by 2 et begyndelsesværdiproblem (1 med har en entydig løsning. y(x 0 = K 0, y (x 0 = K Reduktion af orden Antag, at y 1 er en løsning til ODE en y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0. 5
6 Så er y 2 = y 1 u, hvor u = v 1 (x dx, v 1 = 1 e p(x dx y1 2 så en løsning, y 1 y 2 er lineært uafhængige. Bemærk, at vi er ligeglade med integrationskonstanterne, da det i det ene tilfælde blot svarer til at gange vores løsning med et positivt tal, i det andet tilfælde svarer til at lægge en skalering af y 1 til Konstante koefficienter Løsningerne til en ODE, som kan omskrives til formen afhænger af fortegnet af diskriminanten a 2 4b. y (x + ay (x + by(x = 0, a 2 4b > 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor λ ± = a± a 2 4b 2 c 1, c 2 R. a 2 4b = 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor λ 0 = a 2 c 1, c 2 R. a 2 4b < 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor ω = b 1 4 a Euler-Cauchy-ligninger y(x = c 1 e λ +x + c 2 e λ x, y(x = c 1 e λ 0x + c 2 xe λ 0x, y(x = c 1 e ax 2 sin(ωx + c2 e ax 2 cos(ωx, Løsningerne til en ODE, som kan omskrives til formen x 2 y (x + axy (x + by(x = 0, afhænger af fortegnet af determinanten (a 1 2 4b. (a 1 2 4b > 0: Alle løsninger kan skrives på formen y(x = c 1 x m + + c 2 x m, hvor m ± = 1 a 1 ± (a b c 1, c 2 R. (a 1 2 4b = 0: Alle løsninger kan skrives på formen y(x = c 1 x 1 a 2 + c 2 ln( x x 1 a 2. (a 1 2 4b < 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor ω = y(x = c 1 x 1 a 2 sin(ω ln(x + c 2 x 1 a 2 cos(ω ln(x, b 1(a
7 1.2.2 Ikke-homene, lineære ODE er Linearitet af løsninger Løsningsrummet til en ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy (x + q(xy(x = r(x (2 hvor r 0 er ikke lineært, men hvis y p er en løsning til (2 (en partikulær løsning, så kan enhver løsning skrives på formen y g = y p + y h, hvor y h er en løsning til den tilhørende homene ligning y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, (3 hvis løsningsrum er lineært. Tilsvarende, hvis y p ỹ p er to løsninger til (2, så er y h = y p ỹ p en løsning til ( De ubestemte koefficienters metode Denne metode går ud på at lave kvalificerede gæt y p på en løsning til en ODE, som kan skrives på formen y (x + ay (x + by(x = r(x, (4 hvor a b er konstanter, mens r = i r i er en sum af af funktioner, som kan skrives på en af følgende måder: ke γx, kx n, k sin(ωx, k cos(ωx, ke αx sin(ωx, ke αx cos(ωx. Her er k, γ ω reelle konstanter, mens n N {0}. Det kvalificerede gæt y p har et led f i pr. led r i, der indgår i r, disse led vælges efter følgende tabel. Led r i i r(x ke γx Valg af led f i i y p (x Ce γx kx n (n N } K n x n + K n 1 x n K 1 x 1 + K 0 k sin(ωx k cos(ωx } K cos(ωx + M sin(ωx ke αx cos(ωx ke αx sin(ωx e αx (K cos(ωx + M sin(ωx Her er konstanterne γ, n, ω α de samme som i det tilsvarende led i r, mens C, K, M K j, j = 0,...,n er ukendte konstanter, der er unikke for hvert led i y p = f i, som skal bestemmes. Hvis et led f i er en løsning til den tilsvarende homene ODE, y (x + ay (x + by(x = 0, (5 så erstattes f i med funktionen f i : x xf i. Hvis så f i er en løsning til (5, så erstattes f i med x x 2 f i = x f i. Gættet y p indsættes nu i (4, hvorefter de ukendte konstanter bestemmes. 7
8 Forstyrrede masse-fjeder-systemer Betragt ODE en my (t + cy (t + ky(t = F 0 cos(ωt, hvor m, k, F 0 ω er positive konstanter mens c er ikke-negativ lad ω 0 = ω ω 0, så er y p (t = a cos(ωt + b sin(ωt = C cos(ωt + δ m(ω0 2 ω 2 en løsning, hvis a = F 0 m 2 (ω0 2 ω ω 2 c b = F ωc ωc 2 0 eller tan(δ = m 2 (ω0 2 ω ω 2 c2 F C = 0 m. 2 (ω0 2 ω2 2 +ω 2 c 2 Hvis c = 0 ω ω 0, så reducerer det til y p (t = F 0 m(ω 2 0 ω 2 cos(ωt ρ = k F 0 a = 1 1 ( ω ω 0 2 kaldes resonansfaktoren. En anden løsning for c = 0 ω ω 0 er k m. Hvis c > 0 eller m(ω 2 0 ω2 Hvis c = 0 ω = ω 0, så er en løsning. ỹ p (t = F 0 m(ω0 2 ω 2 sin( ω 0 +ω t sin ( ω 0 ω 2 2. y p (t = F 0 2mω 0 t Hvis 0 < c 2 2mk, så har løsningerne den største amplitude når ω = tilfælde går alle løsninger mod ω 2 0 c2 2m 2 i dette y p (t = 2mF 0 c cos(ωt δ, 4m 2 ω0 2 c2 hvor tan(δ = 2mω c når t De arbitrære parametres variationsmetode En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy (x + q(xy(x = r(x, hvor p, q r er kontinuerte funktioner, har løsningen y p = y 1 y2 (xr(x W (x dx + y 2 y1 (xr(x W (x hvor y 1 y 2 er løsninger til det tilhørende homene problem, W = y 1 y 2 y 1y 2. y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, 8 dx,
9 1.3 Laplace-transformationen Laplace-transformationen af udvalgte funktioner f(t 1 t t 2 t n n=0,1,2,... t a a 0 e at L(f(s 1 s 1 2! n! s 2 s 3 s n+1 Γ(a+1 s a+1 1 s a f(t cos(ωt sin(ωt cosh(at sinh(at e at cos(ωt e at sin(ωt L(f(s s s 2 +ω 2 ω s 2 +ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a 2 +ω 2 ω (s a 2 +ω Linearitet af Laplace-transformationen dens inverse Laplace-transformationen er lineær, dvs. hvis man kender Laplace-transformationen L(f af f Laplace-transformationen L(g af g, så kan man udregne Laplace-transformationen af af + bg, hvor a b er reelle tal, på følgende måde: L(af + bg = al(f + bl(g. TIlsvarende er Laplace-transformationens inverse lineær, dvs. hvis man kender L 1 (F = f L 1 (G = g, så kan man udregne den inverse Laplace-transformation af af + bg, hvor a b er reelle tal, på følgende måde: L 1 (af + bg = al 1 (F + bl 1 (G Forskydning af s-variablen Hvis L(f = F, g(t = e at f(t, så er L(g(s = L(t e at f(t(s = F (s a Laplace-transformationen af afledede Hvis Laplace-transformationen F = L(f af f f s afledede eksisterer, så er L(f (n (s = s n F (s s n 1 f(0 s n 2 f (0 s 1 f (n 2 (0 f (n 1 (0. Specielt er L(f (s = s 2 F (s sf(0 f (0 L(f (s = sf (s f(0. 9
10 1.3.5 Laplace-transformationen af integraler Hvis Laplace-transformationen L(f = F af f Laplace-transformationen af integralet af f eksisterer, dvs. hvis Laplace-transformationen G = L(g af funktionen g givet ved g(t = t f(x dx 0 eksisterer, så er G(s = L(g(s = L(t t 0 f(x dx(s = 1 s F (s Løsning af begyndelsesværdiproblemer Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = 0 Begyndelsesværdiproblemer såsom y (t + ay (t + by(t = r(t, y(0 = K 0, y (0 = K 1, hvor a, b, K 0 K 1 er konstanter, funktionen r er tilpas pæn, kan omskrives til et algebraisk problem ved at tage Laplace-transformationen på begge sider: hvilket i dette tilfælde kan skrives som L(y + ay + by(s = L(r(t (s 2 Y (s sy(0 y (0 + a(sy (s y(0 + by (s = (s 2 + as + by (s (s + ak 0 K 1 = R(s hvor Y = L(y R = L(r. Ved at isolere Y (s fås Y (s = (s + ak 0 + K 1 + R(s s 2 + as + b = ( (s + ak 0 + K 1 Q(s + R(sQ(s, (6 hvor Q(s = 1 s 2 +as+b = 1 (s+ 1 2 a2 +b 1 4 a2. Vi kan nu løse begyndelsesværdiproblemet ved at tage den inverse Laplace-transformation af ((s + ak 0 + K 1 Q(s + R(sQ(s Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Begyndelsesværdiproblemer såsom y (t + ay (t + by(t = r(t, y(t 0 = K 0, y (t 0 = K 1, hvor a, b, K 0 K 1 er konstanter t 0 0 kan løses ved at sætte t = t t 0, ỹ( t = y( t + t 0, løse ỹ ( t + aỹ ( t + bỹ( t = r( t, ỹ(0 = K 0, ỹ (0 = K 1, ved at finde Ỹ herefter ỹ( t, hvorefter y findes ved at benytte, at y(t = ỹ( t = ỹ(t t 0. 10
11 1.3.7 Partialbrøker Antag, at vi har en polynomiumsbrøk på følgende form: hvor Q(s = i=1 P (s Q(s, n m (s r i (s 2 + a j s + b j, hvor r i r i+1, a j a j+1, j=1 hvor s 2 + a j s + b j ingen reelle rødder har for j = 1,..., m, P (s er et polynomium af grad n+2m 1 eller grad n+2m 2. Hvis r i r i+1 for alle i = 1,..., n 1, a j s+b j a j+1 s+b j+1 for alle j = 1,..., m 1, man kan finde n+2m konstanter, A k, B l, C l, R, k = 1,..., n, l = 1,..., m, så så er P (s = n k=1 A k n i=1 i k (s r i m (s 2 + a j + b j + j=1 P (s Q(s = n k=1 A k s r k + m (B l s + C l l=1 m l=1 n m (s r i (s 2 + a j s + b j, (7 i=1 B k s + C k s 2 + a k s + b k, hvor vi minder om, at s 2 + a k s + b k = (s + 1a 2 k 2 + b k 1 4 a2 k. Hvis vi desuden har, at m = 0, så kan konstanterne A k findes ved blot at indsætte r k i (7 isolere A k : j=1 j l A k = ni=1 P (r k (r k r i i k (hvis m = 0. Hvis i stedet r i = r i+1 (men r i+1 r i+2, hvis i n 2 for et eller flere i {1, 2,..., n 1}, a j s+b j a j+1 s+b j+1 for alle j = 1,..., m 1, man kan finde n+2m konstanter, A k, B l, C l, R, k = 1,..., n, l = 1,..., m, så P (s = A 1 + n i=2 (s r i n m (s 2 + a j + b j + j=1 A k (s r k k=2 r k =r k 1 + m (B l s + C l l=1 i=1 i k n A k k=2 i=1 r k r k 1 i k n m (s r i (s 2 + a j + b j i=1 j=1 n m (s r i (s 2 + a j + b j, j=1 j l n m (s r i (s 2 + a j s + b j j=1 (8 så er P (s Q(s = A 1 s r 1 + n k=2 r k r k 1 A k s r k + n k=2 r k =r k 1 A k (s r k + m 2 l=1 B k s + C k s 2 + a k s + b k. (9 11
12 Lignende tricks virker så i tilfældet hvor r i = r i+1 = = r i+k for k 2 et (eller flere i {1,..., n 1}, eller a j s + b j = a j+1 s + b j+1 for et j {1,..., m 1}, men formlerne svarende til (8 (9 bliver tilsvarende mere komplicerede. Det anbefales her at prøve sig frem med passende udtryk i stil med (9 herfra finde et udtryk a la (8 ved at gange igennem med Q(s på begge sider. 1.4 Systemer af ODE er Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden 1 En ODE af orden n på formen y (n (t = F (t,y(t,y (t,...,y (n 1 (t er ækvivalent med følgende system af n ODE er af første orden: y 1 = y 2 y 2 = y 3 y n 1 = y n y n = F (t,y 1,y 2,...,y n via identifikationen y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y, y n = y (n Systemer af ODE er af orden 1 med konstante koefficientmatricer Et system af n ODE er af orden 1 på formen y = Ay, hvor A er en konstant koefficientmatrix, som har de reelle egenværdier λ 1, λ 2,..., λ n med tilhørende egenvektorer v 1, v 2,..., v n har den generelle løsning c 1 v 1 e λ 1 + c 2 v 2 e λ c n v n e λn, hvor c 1, c 2,..., c n er reelle konstanter. 12
13 1.5 Fourierrækker Udregning af Fourierkoefficienter mm. Hvis f er en 2π-periodisk funktion, som er tilpas pæn, så er f s Fourierkoefficienter givet ved a 0 (f = 1 2π a n (f = 1 π b n (f = 1 π π π π π π π f(x dx, f(x cos(nx dx f(x sin(nx dx for alle n N Fourierrækken for f er givet ved a 0 (f + ( an (f cos(nx + b n (f sin(nx. (10 n=1 Hvis f er stykkevist kontinuert med venstre- højreafledede overalt, så er den tilpas pæn i ovenstående forstand, Fourierrækken (10 konvergerer punktvis mod f i f s kontinuitetspunkter, mens den konvergerer mod gennemsnittet af højre venstre grænseværdi i diskontinuitetspunkter Lige ulige funktioner Hvis f er 2π-periodisk, tilpas pæn lige (dvs. f( x = f(x, så er b n (f = 0 for alle n 1 a n (f, n 0, kan udregnes på følgende vis: a 0 (f = 1 π π 0 f(x dx a n (f = 2 π π 0 f(x cos(nx dx for n = 1,2,3,.... Hvis f er 2π-periodisk, tilpas pæn ulige (dvs. f( x = f(x, så er a n (f = 0 for alle n 0 b n (f, n 1, kan udregnes på følgende vis: b n (f = 2 π π Linearitet af Fourierkoefficienter 0 f(x sin(nx dx. Hvis f g har Fourierkoefficienterne a 0 (f, a n (f b n (f hhv. a 0 (g, a n (g b n (g, så har funktionen c 1 f + c 2 g, hvor c 1 c 2 er reelle tal, Fourierkoefficienterne a 0 (c 1 f + c 2 g = c 1 a 0 (f + c 2 a 0 (g, a n (c 1 f + c 2 g = c 1 a n (f + c 2 a n (g b n (c 1 f + c 2 g = c 1 b n (f + c 2 b n (g, hvor n = 1, 2, 3,..., 13
14 1.5.4 Periodeskift Hvis f er 2L-periodisk, så er Fourierrækken for f givet ved ( ( nπ nπ a 0 (f + a n (f cos L x + b n (f sin( L x, hvor for n = 1, 2, 3,.... n=1 a 0 (f = 1 2L a n (f = 1 L b n (f = 1 L Halvsidige udviklinger n=1 L L L L L L f(x dx ( nπ f(x cos L x dx ( nπ f(x sin L x dx, Hvis f : [0, L] R er kontinuert, så er ( nπ f(x = a 0 (f + a n (f cos L x = for alle x (0, L, hvor a 0 (f = 1 L a n (f = 2 L b n (f = 2 L L 0 L 0 L 0 f(x dx n=1 ( nπ f(x cos L x dx ( nπ f(x sin L x dx. Funktionerne f l f u defineret for alle x R givet ved ( nπ f l (x = a 0 (f + a n (f cos L x f u (x = n=1 er hhv. den lige den ulige 2L-periodiske udvidelse af f. 1.6 Metoder til PDE er af anden orden Den éndimensionelle bølgeligning Den éndimensionelle bølgeligning ( nπ b n (f sin L x n=1 ( nπ b n (f sin L x u tt = c 2 u xx, hvor c 2 = T ρ, (11 14
15 på (x, t [0, L] R 0 med randbetingelsen begyndelsesværdibetingelserne u(0, t = u(l, t = 0 (12 u(x, 0 = f(x (13 u t (x, 0 = g(x, (14 hvor f, g : [0, L] R er to tilpas pæne funktioner, kan løses som beskrevet i de efterfølgende underunderafsnit Fourierrækkemetoden Lad λ n = cnπ L u(x, t = u n (x, t = n=1 ( bn cos(λ n t + b n sin(λ n t nπ sin( L x, n=1 hvor b n erne er Fourierkoefficienterne til den 2L-periodiske, ulige, halvsidige udvikling af f b n = 2 L ( nπ f(x sin L 0 L x dx b n = 2 L ( nπ g(x sin cnπ 0 L x dx. Så er u løsningen til bølgeligningen (11 med randbetingelsen (12 begyndelsesværdibetingelserne (13 (14. Funktionerne u n (x, t = ( b n cos(λ n t+b n sin(λ n t sin ( nπ x kaldes egenfunktioner L med egenværdier λ n har frekvenserne λn. Mængden {λ 2π n n N} kaldes spektrummet, u 1 kaldes fundamentaltilstanden, mens u n kaldes for overtoner for n D Alemberts løsning Lad u(x, t = 1 ( 1 x+ct f(x + ct + f(x ct + g(s ds, 2 2c x ct hvor f g antages ulige 2L-periodiske. Så er u løsningen til bølgeligningen (11 med randbetingelsen (12 begyndelsesværdibetingelserne (13 ( Den endimensionelle varmeligning Løsningen af den éndimensionelle varmeligning på (x, t [0, L] R 0 begyndelsesværdibetingelsen u t = c 2 u xx, hvor c 2 = K σρ, (15 u(x, 0 = f(x (16 hvor f : [0, L] R er en tilpas pæn funktion, afhænger af randbetingelsen som beskrevet i de efterfølgende underunderafsnit. 15
16 Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = 0 Hvis begge ender fastholdes på temperaturen 0, så har systemet randbetingelsen I givet fald er u(x, t = u(0, t = u(l, t = 0. (17 u n (x, t = n=1 hvor λ n = cnπ L b n (f = 2 L L 0 n=1 ( nπ b n (f sin L x e λ2nt, ( nπ f(x sin L x dx, løsningen til (15 med begyndelsesværdibetingelsen (16 randbetingelserne (17. Koefficienterne b n (f er altså Fourierkoefficienterne for den 2L-periodiske, ulige, halvsidige udvikling af f. Funktionerne u n (x, t = sin ( nπ L x e λ2 n t kaldes for problemets egenfunktioner med egenværdier λ n Isolerede endepunkter Hvis begge ender er isolerede, så har systemet randbetingelsen I givet fald er hvor λ n = cnπ L a 0 (f = 1 L u(x, t = L 0 u x (0, t = u x (L, t = 0. (18 u n (x, t = a 0 (f + n=0 f(x dx a n (f = 2 L n=1 L 0 ( nπ a n (f cos L x e λ2nt, ( nπ f(x cos L x dx for n 1, løsningen til (15 med begyndelsesværdibetingelsen (16 randbetingelsen (18. Koefficienterne a 0 (f a n (f er altså Fourierkoefficienterne for den 2L-periodiske, lige, halvsidige udvikling af f. Funktionerne u n (x, t = sin ( nπ L x e λ2 nt kaldes for problemets egenfunktioner med egenværdier λ n. 2 Numeriske metoder 2.1 Løsning af ligninger Fikspunktiteration Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen g(x = x. Lad x 0 være et gæt på en løsning s til ligningen g(x = x. Definér nu rekursivt x 1 = g(x 0, x 2 = g(x 1,..., x n+1 = g(x n,..., for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. En tilstrækkelig betingelse er givet i sætningen nedenfor. 16
17 Sætning 2.1. Lad s være en løsning til x = g(x antag, at g er kontinuert differentiabel i et interval J omkring s. Hvis g (x K < 1 i J, så konvergerer følgen {x n } n=0 mod x = s, såfremt x 0 J Newtons metode Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen f(x = 0, hvor f er en kontinuert differentiabel funktion. Lad x 0 være et gæt på en løsning s til ligningen f(x = 0. Definér nu rekursivt x 1 = s 0 f(x 0 f (x 0, x 2 = x 2 f(x 1 f (x 2,..., x n+1 = x n f(x n f (x n,..., for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. Følgende sætning udtaler sig om hastigheden af konvergensen. Sætning 2.2. Hvis f er to gange differentiabel f (s ikke er 0, hvor f(s = 0 er en løsning, så er Newtons metode mindst af orden Sekantmetoden Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen f(x = 0. Lad x 0 x 1 være to forskellige gæt på en løsning s til ligningen f(x = 0. Definér nu rekursivt x 1 x 0 x 2 = x 1 f(x 1 f(x 1 f(x 0, x x 2 x 1 3 = x 2 f(x 2 f(x 2 f(x 1,... x n x n 1 x n+1 = x n f(x n f(x n f(x n 1,... for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. 2.2 Interpolationspolynomier Polynomium gennem n + 1 punkter Givet n + 1 punkter i planen, (x i, y i, i = 0,..., n, hvor x i x i når i j, findes et entydigt polynomium p n af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i. 17
18 Lagrange-interpolation Lad (x i, y i, i = 0,..., n være n + 1 punkter i planen hvor x i x j for i j. Lad Så er l j (x = n (x x i = (x x 0 (x x 1 (x x j 1 (x x j+1 (x x n i=0 i j L j (x = l j(x l j (x j. p n (x = n y i L i (x det polynomium af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i Newtons divideret differens-metode Lad (x i, y i, i = 0,..., n være n + 1 punkter i planen hvor x i x j for i j. Lad i=0 f[x i ] = y i, f[x 0,..., x k ] = f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0, g i (x = f[x 0,..., x i ](x x 0 (x x i 1 = f[x 0,..., x i ] j<i(x x j. Så er p n (x = n g i (x det polynomium af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i Polynomiumsapproksimation af funktioner Hvis f : A R, A R er en funktion, som vi kender værdien af i x i, i = 0,..., n, hvor x i x j for i j, altså hvis vi kender f(x i for i = 0,..., n, så kaldes polynomiet p n gennem (x i, f(x i, i = 0,..., n for en polynomiumsapproksimation af f. Hvis x [min i (x i, max i (x i ], så kaldes p n (x for den interpolerede værdi, mens p n (x kaldes den ekstrapolerede værdi, hvis x / [min i (x i, max i (x i ]. Hvis vi for et x [min i (x i, max i (x i ] bruger p n (x i stedet for f(x, så er fejlen ε n = f(x p n (x = (x x 0 (x x 1 (x x n f (n+1 (t x (n + 1! for et t x [min i (x i, max i (x i ]. Vi kan altså finde en øvre en nedre grænse for ε n ved at finde øvre nedre grænser for f (n i=0
19 2.3 Numerisk integration Midtpunktsreglen Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a x n 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er n = h f(x i h 2 J m n i=1 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn m b f(x dx for n. Midtpunktsreglen har præcisionsgrad 1. a Trapezreglen Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a n x 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er Jn t = h ( n 1 f(a + f(b + h f(x i 2 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn t b f(x dx for n. Hvis f er to gange differentiabel, så findes et x a t [a, b] så i=1 ε t n = b a 12 h2 f (x t, hvor ε t n = b a f(x dx J t n er fejlen i approksimationen. Hvis n er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: Trapezreglen har præcisionsgrad Simpsons regel Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a n J S n = h 6 ( f(a + f(b + 2h 3 ε t n 1 3 (J n t J t n. 2 x 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er n f(x i h + h n 1 f(x 2 i 3 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn S b f(x dx for n. Hvis f er fire gange differentiabel, så findes et x a S [a, b] så i=1 ε S (b a n = 2880 h4 f (4 (x S, hvor ε S n = b a f(x dx J S n er fejlen i approksimationen. Hvis n er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: Simpsons regel har præcisionsgrad 3. ε S n 1 15 (J n S J S n i=1
20 2.3.4 Gauss-kvadratur Lad f : [a, b] R. For et n N, n 2, sætter vi J G n = b a 2 n i=1 ( b a w i f 2 z i + a + b, 2 for nle særlige vægte w i punkter z i. For n mellem 2 5 kan vægtene punkterne aflæses i følgende tabel. Antal målepunkter n punkter z i vægte w i præcisionsgrad N 2 ± ± ± ± ± 1 3 ± Gauss-kvadratur har præcisionsgrad 2n Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Numeriske enkeltskridtsmetoder til løsning af ODE er af første orden går ud på at finde en følger x n y n, med x n < x n+1, så y(x n y n, hvor y n findes ud fra x n 1 y n Euler-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + hf(x n, y n. Så er den lokale diskretiseringsfejl O(h 2 den globale diskretiseringsfejl O(h. Euler-metoden er altså en førsteordensmetode. 20
21 2.4.2 Heuns metode Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved ỹ n+1 = y n + hf(x n, y n y n+1 = y n + h 2 ( f(xn, y n + f(x n+1, ỹ n+1. Heuns metode er en andenordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 3 global diskretiseringsfejl O(h RK4-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + 1 6( k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4, for n = 0,1,2,..., hvor k 1 = hf(x n, y n, k 2 = hf(x n + h, y 2 n + 1k 2 1, k 3 = hf(x n + h, y 2 n + 1k 2 2, k 4 = hf(x n + h, y n + k 3. RK4-metoden er en fjerdeordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 5 global diskretiseringsfejl O(h 4. Fejlen ε h 2n = y(x 2n y 2n kan estimeres ved ε h 2n 1 15 (yh 2n y 2h n Runge-Kutta-Fehlberg Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + γ 1 k γ 6 k 6 21
22 ỹ n+1 = y n + γ 1 k γ 5 k 5, hvor ( γ1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 γ 6 = ( ( ( γ1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 = mens k 1 = hf(x n, y n, k 2 = hf(x n h, y n k 1, k 3 = hf(x n h, y n k k 2, k 4 = hf(x n , y n k k k 3, k 5 = hf(x n + h, y n k 1 8k k k 4 k 6 = hf(x n + h 2, y n 8 27 k 1 + 2k k k k 5. Et estimat på fejlen ε n+1 = y(x n+1 y n+1 kan udregnes på følgende måde: ε n+1 y n+1 ỹ n+1 = k k k k k 6. Runge-Kutta-Fehlberg er en femteordensmetode Baglæns Euler Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Antag, at f er så tilpas simpel, at y n+1 kan isoleres i udtrykket y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved at isolere y n+1 i ovenstående formel. Baglæns Euler er kun en førsteordensmetode, men har den fordel, at den kan bruges på stive ODE er. 2.5 Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Numeriske mangeskridtsmetoder til løsning af ODE er af første orden går ud på at finde en følger x n y n, med x n < x n+1, så y(x n y n, hvor y n findes ud fra x n 1,..., x n m y n 1,..., y n m, m 2. 22
23 2.5.1 Adams-Bashforth-metoder Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Antag, at vi kender y 1, y 2 y 3. Definér y n, n = 4, 5, 6,..., rekursivt ved y n+1 = y n + h 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3, hvor f i = f(x i, y i for alle i = 0, 1, 2,.... Dette er en Adams-Bashforth-metode af fjerde orden Adams-Moulton-metoder Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Antag, at vi kender y 1, y 2 y 3. Definér y n, n = 4, 5, 6,..., rekursivt ved ỹ n+1 = y n + h 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3 y n+1 = y n + h 24 (9 f n f n 5f n 1 + f n 2, (19 hvor f i = f(x i, y i f i (x i, ỹ i for alle i = 0, 1, 2,.... Vi kan estimere fejlen i det (n + 1 ste skridt ε n+1 = y(x n+1 y n+1 ved ε n (y n+1 ỹ n+1. Estimeres fejlen til at være uacceptabel stor, kan man gentage processen ved at erstatte ỹ n+1 med y n+1. Altså fås ȳ n+1 = y n + h 24 (9f n f n 5f n 1 + f n 2 den nye fejl ε n+1 = y(x n+1 ȳ n+1 kan estimeres ved ε n (ȳ n+1 y n+1. Denne process kan naturligvis gentages, indtil man estimerer fejlen til at være tilpas lille. Denne prædiktor-korrektor-metode kaldes Adams-Moulton-metoden af fjerde orden. Adams-Moultonmetoden er generelt meget mere præcis end en Adams-Bashforth-metode af samme orden er desuden numerisk stabil. 2.6 Metoder til førsteordenssystemer Numeriske metoder til løsning af systemer af ODE er går ud på at finde en følger x n Y n, hvor x n < x n+1, så Y (x n Y n. 23
24 2.6.1 Euler-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0, hvor Y er en ukendt d-dimensionel vektorfunktion, F er en kendt d-dimensionel funktion af d + 1 variable, Y 0 er en kendt d-dimensionel vektor x 0 er et kendt punkt. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved Y n+1 = Y n + hf (x n, Y n. Så er den lokale diskretiseringsfejl O(h 2 den globale diskretiseringsfejl O(h. Euler-metoden er altså en førsteordensmetode RK4 Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0, hvor Y er en ukendt d-dimensionel vektorfunktion, F er en kendt d-dimensionel funktion af d + 1 variable, Y 0 er en kendt d-dimensionel vektor x 0 er et kendt punkt. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved hvor Y n+1 = Y n (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4, K 1 = hf (x n, Y n, K 2 = hf (x n + 1h, Y 2 n + 1K 2 1, K 3 = hf (x n + 1h, Y 2 n + 1K 2 2 K 4 = hf (x n + h, Y n + k 3. RK4-metoden er en fjerdeordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 5 global diskretiseringsfejl O(h Baglæns Euler Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0. Antag, at F er så tilpas simpel, at Y n+1 kan isoleres i udtrykket Y n+1 = Y n + hf (x n+1, Y n+1. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved at isolere Y n+1 i ovenstående formel. Baglæns Euler er kun en førsteordensmetode, men har den fordel, at den kan bruges på stive ODE er. 24
25 2.7 Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden Numeriske metoder til løsning af ODE er af anden orden går ud på at finde følger x n, y n y n, hvor x n < x n+1, så y(x n y n y (x n y n Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, y (x, hvor y(x 0 = y 0 y (x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n y n for n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved hvor y n+1 = y n + h(y n + 1(k k 2 + k 3 y n+1 = y n + 1(k k 2 + 2k 3 + k 4, k 1 = 1hf(x 2 n, y n, y n, k = 1 2 h(y n + 1k 2 1, k 2 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n + k, y n + k 1, k 3 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n + k, y n + k 2, l = h(y n + k 3 k 4 = 1hf(x 2 n + h, y n + l, y n + 2k 3. Denne metode kaldes en Runge-Kutta-Nyström-metode y (x = f(x, y(x Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0 y (x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n y n for n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved k 1 = 1hf(x 2 n, y n, k 2 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n h(y n + 1k 2 1 = k 3, k 4 = 1hf(x 2 n + h, y n + h(y n + k 2, y n+1 = y n + h(y n + 1(k k 2 y n+1 = y n + 1(k k 2 + k 4. Denne metode kaldes en Runge-Kutta-Nyström-metode. 25
26 2.8 Numerisk metode til Laplace- Poisson-ligningerne i to dimensioner Lad h > 0 være en skridtlængde lad x i = x 0 + ih y j = y 0 + jh for alle i, j Z, hvor x 0 y 0 evt. er 0. Så udgør mængden af punkter på formen (x i, y j et gitter. Antag, at den todimensionelle Laplace-ligning 2 u = u xx + u yy = 0 eller den todimensionelle Poisson-ligning 2 u = u xx + u yy = f(x, y, har løsningen u(x, y for (x, y D, hvor D er en tilpas pæn delmængde af R 2. Hvis vi for de (i, j, hvor (x i, y j D, kan finde u i,j, så u(x i, y j u i,j, så kalder vi mængden af disse u i,j er for en numerisk løsning til Laplace- eller Poisson-ligningen Regulær rand Kald randen af D for D. Antag, at vi for et passende valg af x 0, y 0 h > 0 har, at ethvert punkt (x i, y j D enten er et randpunkt, (x i, y j D, eller at de fire nabopunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1, så ligger i D, at h er lille. Så kan vi finde en numerisk løsning til Laplace-ligningen, som opfylder følgende lineære ligningssystem: u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = 0, for (i, j så (x i, y j D \ D, (20 mens der for Poisson-ligningen tilsvarende findes en numerisk løsning, som opfylder følgende lineære ligningsystem: u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = h 2 f(x i,y j, for (i, j så (x i, y j D \ D. (21 Bemærk i øvrigt, at (20 svarer til (21 med f Dirichlet-randbetingelser Hvis vi har Dirichlet-randbetingelser, dvs. hvis u s værdi er angivet på randen, så mangler vi blot at sætte u i,j = u(x i, y j for (i, j så (x i, y j D, (22 hvorefter vi kan løse ligningssystemet bestående af ligningerne i (20 eller (21 samt ( Neumann- blandede randbetingelser Antag nu, at vi har Neumann-randbetingelser på (dele af randen, dvs. vi kender u n (x u i, y j = n 1 x + n u 2 y i stedet for u(x i, y j for visse (i, j så (x i, y j D, hvor n = ( n 1 n 2 er en ydre normalvektor til D. I de punkter (x i, y j, hvor vi har Neumann-randbetingelser, erstattes (22 så af u n (x u i+1,j u i 1,j i, y j = n 1 2h 26 + n 2 u i,j+1 u i,j 1 2h (23
27 , hvis der er tale om en Laplace-ligning, eller u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = 0, (24 u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = h 2 f(x i, y j, (25 hvis der er tale om en Poisson-ligning. Bemærk, at visse af disse værdier svarer til punkter udenfor D. Hvis D er tilpas pæn, vil (23 (24 eller (25, hvor der er Neumann-randbetingelser i punktet (x i, y j, (22, hvor der er Dirichlet-randbetingelser i punktet (x i, y j, sammen med (20 eller (21, hvor (x i, y j D \ D, give et ligningssystem med en entydig løsning Irregulær rand Hvis ikke det gælder, at ethvert punkt (x i, y j D enten er et randpunkt, (x i, y j D, eller at de fire nabopunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1, så ligger i D, så skal ovenstående metoder modificeres Dirichlet-randbetingelser Antag, at (x i, y j D ikke er et randpunkt, at et eller flere af nabopunkterne (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger udenfor D. Hvis (x i+1, y j ligger i D, lader vi a = 1, x A = x i+1 sætter u A = u i+1,j. Ellers vælges a, 0 < a < 1, så (x A, y j D, hvor x A = x i + ah, vi sætter u A = u(x A, y j. Hvis (x i, y j+1 ligger i D, lader vi b = 1, y B = y j+1 sætter u B = u i,j+1. Ellers vælges b, 0 < b < 1, så (x i, y B D, hvor y B = y j + bh, vi sætter u B = (x i, y B. Hvis (x i 1, y j ligger i D, lader vi p = 1, x P = x i 1 sætter u P = u i 1,j. Ellers vælges p, 0 < p < 1, så (x P, y j D, hvor x P = x i ph, vi sætter u P = u(x P, y j. Hvis (x i, y j 1 ligger i D, lader vi q = 1, y Q = y j 1 sætter u Q = u i,j 1. Ellers vælges q, 0 < q < 1, så (x i, y Q D, hvor y Q = y j qh, vi sætter u Q = u(x i, y Q. Så kan vi finde en numerisk løsning, som opfylder følgende ligning: u A a(a + p + u B b(b + q + hvis der er tale om Laplace-ligningen, u A a(a + p + u B b(b + q + u P p(p + a + u P p(p + a + u Q ap + bq q(q + b abpq u i,j = 0, (26 u Q ap + bq q(q + b abpq u i,j = h2 2 f(x i, y j, (27 hvis der er tale om Poisson-ligningen. For alle (i, j, hvor (x i, y j ikke er et randpunkt, et eller flere af nabopunkterne (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger udenfor D, opstilles nu enten ligning (26 eller (27, for alle (i, j, hvor (x i, y j ikke er randpunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger indenfor D, opstilles (20 eller (21. Sammen med (22 fås så et lineært ligningssystem med en entydig løsning. 27
28 2.8.3 Gauss-Seidel-iterationsmetoden De ovenstående løsninger kræver alle, at man løser et lineært ligningssystem (der er lige mange ligninger ubekendte; N ligninger med N ubekendte. Skriv det lineære ligningssystem på formen Ax = b, hvor A = (a i,j N i,j=1 er en N N-matrix, x er en vektor bestående af de ukendte værdier, b = ( b 1 b 2... b N er en kendt vektor. Gauss-Seidel-iterationsmetoden går ud på at finde en numerisk løsning til ligningssystemet Ax = b ved hjælp af følgende iterative metode. 1. Først gættes på en løsning, som kaldes x (0 n sættes til Herefter findes x (n = ( x (n+1 1 x (n x (n+1 N på følgende vis: Først sættes x (n+1 1 = 1 a 1,1 (b 1 N j=2 a 1,jx (n j. Dernæst x (n+1 2 = 1 a 2,2 (b 2 1 j=1 a 2,jx (n+1 j Og såfremdeles x (n+1 i = 1 a i,i (b i i 1 j=1 a i,jx (n+1 j Og til sidst x (n+1 N = 1 a N,N (b N N 1 j=1 a N,jx (n+1 j. N j=3 a 2,jx (n j. 3. Nu erstattes n med n + 1 processen gentages fra trin 2. N j=i+1 a i,jx (n j for i = 3,..., N 1. I mange tilfælde (eksempelvis hvis A er såkaldt symmetrisk positiv-definit eller diagonaldominant, så vil følgen x (n gå mod den entydige løsning til ligningssystemet Ax = b. I praksis stopper man processen, når x (n+1 næsten ikke afviger fra x (n. 28
Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling
Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 3 november 6 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Bevarelseslove I det følgende vil vi skrive p for et punkt
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereMatematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mere