Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Transkript

1 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen gælder fra den 14. februar. Forelæsningerne orsdag den 7. februar og irsdag den 12. februar. Jeg har gennemgåe følgende emner vedrørende analyse af normalfordele daa (allene i parenes angiver sider i BG): To normalfordele observaionsrækker med forskellig varians (p ) Likelihood mehoden (p ) - I ser også på dee emne ved de eoreiske øvelser i denne uge Lineær regression (p ) Teoreiske øvelser i ugen februar. (Opgaverne 4 og 5 kan regnes efer orsdagsforelæsningen). 1) Opgave ) I denne opgave vil vi vise fordelingsresulae vedr. β side 125. Fordelingsresulae for α vises ilsvarende. Vi berager alså den lineære regression M 2 : x i N(α + β i, σ 2 ), hvor de er underforsåe, a observaionerne er uafhængige. Lad. = 1 i, SSD = ( i. ) 2, SP D x = (x i x. )( i. ), n hvor x. er definere som.. (a) Vis, a n ( i. ) = 0 og slu heraf a SP D x = x i ( i. ) (b) Vis, a SP D x N(β SSD, σ 2 SSD ) og slu heraf a fordelingen af β er som angive side ) Gennemgå, sammen med insrukoren, hvordan journalis daa i Table 3.6, side 118, i BG kan analyseres ved hjælp af PROC GLM i SAS. Maeriale il dee finder I på nee under slides. Den relevane fil hedder f5.bemaerk.pdf. De ilhørende SAS program f5.program.sas findes samme sed. 4) Eksamen, Maemaisk Modellering 1, Sommer 2004, Opgave 4. (Kan regnes efer orsdagsforelæsningen.) 1

2 5) På kursushjemmesiden, ved linke il denne ugeseddel, findes e SAS-program, der gennemregner den foregående opgave. Kør dee program, og besvar følgende spørgsmål. (a) Berag den førse kørsel, som har overskif Linear Regression. (Svarende il model-linjen model x=/ss1 clparm;). Gør rede for hvilken model der specificeres i model-linjen. Gør desuden rede for hvad der kan aflæses under Error og under Parameer i oupu. (b) Berag den 2. kørsel, som har overskrifen Linear Regression paa xny. (Der svarer il model-linjen model xny=/ss1 clparm; Bemærk a xny er definere som xny=x-0.2*). Hvilke es kan vi aflæse under Parameer i oupu? Afleveringsopgave. Berag modellen for o observaionsrækker fra normalfordelingen med samme varians X ij N(µ i, σ 2 ), i = 1, 2, j = 1,..., n i. Udled likelihood raio ese for hypoesen H 0µ : µ 1 = µ 2. Saisik Laboraorium 18. februar. Se førs og fremmes på de opgaver, der kan involvere SAS, dvs. opgaverne under 3), 4) og 5) i ovensående program for de eoreiske øvelser i ugen februar. Forelæsningerne orsdag den 14. februar og irsdag den 19. februar. Omhandler Afnsi 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4, sam Desuden PROC GLM i SAS, svarende il side Afsniene og gennemgås senere. Afsniene og kan læses kursorisk. Læs dog om de sandardiserede residualer side 128 (omkring (3.58) (3.59)). Desuden når jeg a gå i gang med Afsni om more han wo samples. Øvrige bemærkninger: Bemærkninger il likelihood meoden: 1) Likelihood meoden er nyig i siuaioner, hvor de ikke er oplag, hvordan paramere skal esimeres og hypoeser eses. (Se f.eks. afsnie om lineær regression). 2) Bemærk a likelihood raio ese for µ = µ 0 i en normalfordel observaionsrække er ækvivalen med u-ese (3.5), når variansen er kend og -ese (3.9), når variansen er ukend. Vi siger, a o es er ækvivalene, når de resulerer i samme essandsynlighed. Mere generel gælder, a likelihood raio ese er ækvivalen med alle de (eksake) -es vi vil lave fremover. 3) I en normalfordel observaionsrække er µ = x. Maksimum likelihood esimae for σ 2 er σ 2 = 1 SSD. Vi vil dog forsa benye de middelværdiree variansskøn n s2. Bemærkninger il lineær regression: 1) Når vi skal konrollere modellen M 2 i (3.48), kan vi bland ande analysere residualerne (eng.: raw residuals) definere i (3.49). De sandardiserede residualer r i fremkommer ved a sandardisere r i således a r i N(0, σ2 ). 2) Under særlige omsændigheder er de mulig a ese modellen M 2. Se og Venlig hilsen Eva

3 Maemaisk Modellering 1 (reeksamen) Side 6 Opgave 4 Ved a observere en supernova kan man besemme o sørrelser, som vi her vil kalde x og. Man forvener, a der approksimaiv er en lineær sammenhæng på formen x = α + β, hvor β = 0.2. Konsanen k H = 10 α+5 kaldes for Hubbles konsan, og kan bland ande benyes il a besemme universes alder. Til ineresserede kan oplyses, a k H måles i enheden km/(s Mpc). Her svarer km il kilomeer, s il sekund, og en Mpc er cirka lig med km. Til sammenligning er e lysår cirka Mpc. Man har besem x og for 20 supernovaer. Vi vil i de følgende berage de 20 observerede værdier af som fase al, mens de 20 observerede værdier af x er udfald af sokasiske variable. For a undersøge om daa kan beskrives ved en lineær regression af x på, har man lave re konrolegninger, som kan ses på de næse o sider. I Figur 1 er værdierne af x og indegne sammen med den esimerede regressionslinje. I Figur 2 ses e frakildiagram for de sandardiserede residualer ved en lineær regression af x på. Endelig ses i Figur 3 de sandardiserede residualer egne op mod. 1) Gør, med udgangspunk i Figur 1-3, rede for, a de er rimelig a modellere daa ved en lineær regression af x på. Sandardberegninger basere på de observerede værdier af x og resulerer i nedensående abel. n 20 x S USS SP I øvrig kan de anbefales, a man benyer så mange beydende cifre som mulig ved mellemregninger i de næse spørgsmål. 2) Esimer afskæringen α og hældningen β i den lineære regression af x på. Esimer også variansen på x. 3) Vis, a de kan anages, a hældningen β er 0.2. Som nævn ovenfor lader vi k H = 10 α+5 beegne Hubbles konsan. 4) Beregn e 95%-konfidensinerval for α. Esimer Hubbles konsan k H og beregn e 95%-konfidensinerval for denne parameer. Opgaven forsæes

4 Maemaisk Modellering 1 (reeksamen) Side 7 x Figur 1: x egne op mod. Desuden er den esimerede regressionslinje indegne. Opgaven forsæes

5 Maemaisk Modellering 1 (reeksamen) Side p f r a c i l e s a n d _ r e s i Figur 2: Frakildiagram for de sandardiserede residualer ved en lineær regression af x på S a n d a r d i s e r e d e r e s i d u a l e r Figur 3: De sandardiserede residualer egne op mod.