DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
|
|
- Jeppe Thor Lund
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010
2 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
3 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen f : V W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = sf (u) er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
4 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen f : V W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = sf (u) Eksempel 0. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V. så i uge 12 i foråret, at koordinaten K a : V L n er lineær. Vi er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
5 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen f : V W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = sf (u) Eksempel 0. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V. Vi så i uge 12 i foråret, at koordinaten K a : V L n er lineær. Kernen for f : V W er mængden ker f = {v V f (v) = 0}. Kaldes også nulrummet og betegnes ofte i stedet med N (f ). Kernen er et underrum af V. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
6 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen f : V W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = sf (u) Eksempel 0. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V. Vi så i uge 12 i foråret, at koordinaten K a : V L n er lineær. Kernen for f : V W er mængden ker f = {v V f (v) = 0}. Kaldes også nulrummet og betegnes ofte i stedet med N (f ). Kernen er et underrum af V. Billedrummet for f er f (V ) = {w W v V så f (v) = w }. Billedrummet er et underrum af W. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
7 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
8 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = sf (x). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
9 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = sf (x). ker (f ) = {x R n Ax = 0} = N (A) nulrummet for matricen A. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
10 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = sf (x). ker (f ) = {x R n Ax = 0} = N (A) nulrummet for matricen A. f (R n ) = Col (A) = søjlerummet, rummet udspændt af søjlerne i A. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
11 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = sf (x). ker (f ) = {x R n Ax = 0} = N (A) nulrummet for matricen A. f (R n ) = Col (A) = søjlerummet, rummet udspændt af søjlerne i A. [ ] Konkret eksempel: A = ( ) ker (f ) = span [ 2 1 0] T. f ( R 3) = R 2. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
12 lineær Lad A være en m n-matrix. Definer en f : R n R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = sf (x). ker (f ) = {x R n Ax = 0} = N (A) nulrummet for matricen A. f (R n ) = Col (A) = søjlerummet, rummet udspændt af søjlerne i A. [ ] Konkret eksempel: A = ( ) ker (f ) = span [ 2 1 0] T. f ( R 3) = R 2. Vi skal senere se, at alle lineære er mellem endelig-dimensionale vektorrum kan repræsenteres ved matrixer. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
13 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
14 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R) P n (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P n (R). er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
15 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R) P n (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P n (R). At D x er lineær er en velkendt sag om differentiation af sum og differentiation af udtryk ganget med en konstant. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
16 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R) P n (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P n (R). At D x er lineær er en velkendt sag om differentiation af sum og differentiation af udtryk ganget med en konstant. ker (D x ) = P 0 (R) altså mængden af konstante polynomier. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
17 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R) P n (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P n (R). At D x er lineær er en velkendt sag om differentiation af sum og differentiation af udtryk ganget med en konstant. ker (D x ) = P 0 (R) altså mængden af konstante polynomier. D x (P n (R)) = P n 1 (R). er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
18 lineær er Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R) P n (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P n (R). At D x er lineær er en velkendt sag om differentiation af sum og differentiation af udtryk ganget med en konstant. ker (D x ) = P 0 (R) altså mængden af konstante polynomier. D x (P n (R)) = P n 1 (R). Bemærk, at vi kunne have betragtet D x som en fra P n (R) til P n 1 (R). Den ville så have været surjektiv. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
19 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
20 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
21 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
22 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C 2 (R) C 0 (R) givet ved d (g) = 3g + 2g 5g for alle g C 2 (R) er lineær. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
23 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C 2 (R) C 0 (R) givet ved d (g) = 3g + 2g 5g for alle g C 2 (R) er lineær. ker (d) er mængden af løsninger til den homogene lineære differentialligning 3g + 2g 5g = 0. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
24 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C 2 (R) C 0 (R) givet ved d (g) = 3g + 2g 5g for alle g C 2 (R) er lineær. ker (d) er mængden af løsninger til den homogene lineære differentialligning 3g + 2g 5g = 0. Den fuldstændige løsning er g (t) = c 1 e t + c 2 e 5 3 t. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
25 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C 2 (R) C 0 (R) givet ved d (g) = 3g + 2g 5g for alle g C 2 (R) er lineær. ker (d) er mængden af løsninger til den homogene lineære differentialligning 3g + 2g 5g = 0. Den fuldstændige løsning er g (t) = c 1 e t + c 2 e 5 3 t. Vi ser, at en basis for ker (d) er funktionerne t e t og t e 5 3 t. Så dim ker (d) = 2. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
26 lineær Afbildningen D : C 1 (I ) C 0 (I ) givet ved D (g) = g for alle g C 1 (I ) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C 2 (R) C 0 (R) givet ved d (g) = 3g + 2g 5g for alle g C 2 (R) er lineær. ker (d) er mængden af løsninger til den homogene lineære differentialligning 3g + 2g 5g = 0. Den fuldstændige løsning er g (t) = c 1 e t + c 2 e 5 3 t. Vi ser, at en basis for ker (d) er funktionerne t e t og t e 5 3 t. Så dim ker (d) = 2. At billedrummet d ( C 2 (R) ) = C 0 (R) følger af, at 3g + 2g 5g = q har en løsning for alle q C 0 (R). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
27 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
28 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
29 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
30 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. Rangen af f defineres som ρ (f ) = dim f (V ). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
31 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. Rangen af f defineres som ρ (f ) = dim f (V ). Nulliteten for f defineres som ν (f ) = dim ker (f ). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
32 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. Rangen af f defineres som ρ (f ) = dim f (V ). Nulliteten for f defineres som ν (f ) = dim ker (f ). Dimensionssætningen. Lad f : V W være lineær. Så gælder dim V = ν (f ) + ρ (f ). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
33 Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. Rangen af f defineres som ρ (f ) = dim f (V ). Nulliteten for f defineres som ν (f ) = dim ker (f ). Dimensionssætningen. Lad f : V W være lineær. Så gælder dim V = ν (f ) + ρ (f ). Beviset udskydes til matrixfremstillingen for en lineær er på plads. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
34 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
35 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
36 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
37 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. Der er en enentydig sammenhæng mellem m n-matricer og lineære er fra V til W. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
38 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. Der er en enentydig sammenhæng mellem m n-matricer og lineære er fra V til W. Sætning 6.6. K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
39 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. Der er en enentydig sammenhæng mellem m n-matricer og lineære er fra V til W. Sætning 6.6. K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Bevis. Skriv v = x 1 a x n a n. Så er x = K a (v) og f (v) = x 1 f (a 1 ) x n f (a n ). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
40 lineære er I Lad f : V W. Lad a 1, a 2,..., a n være en basis for V, og lad c 1, c 2,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som c F a = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. Der er en enentydig sammenhæng mellem m n-matricer og lineære er fra V til W. Sætning 6.6. K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Bevis. Skriv v = x 1 a x n a n. Så er x = K a (v) og f (v) = x 1 f (a 1 ) x n f (a n ). Dermed fås K c (f (v)) = x 1 K c (f (a 1 )) x n K c (f (a n )) = [K c (f (a 1 )) K c (f (a 2 ))... K c (f (a n ))] x = c F a K a (v). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
41 smatrix D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
42 smatrix D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). Monomiebasen (m3) i P 3 (R), altså 1, x, x 2, x 3 og monomiebasen (m2) i P 2 (R), altså 1, x, x 2. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
43 smatrix er D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). er Monomiebasen (m3) i P 3 (R), altså 1, x, x 2, x 3 og monomiebasen (m2) i P 2 (R), altså 1, x, x 2. m2 [ F m3 = ( ( Km2 (D x (1)) K m2 (D x (x)) K m2 Dx x 2 )) ( ( K m2 Dx x 3 ))]. lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
44 smatrix er D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). er Monomiebasen (m3) i P 3 (R), altså 1, x, x 2, x 3 og monomiebasen (m2) i P 2 (R), altså 1, x, x 2. m2 [ F m3 = ( ( Km2 (D x (1)) K m2 (D x (x)) K m2 Dx x 2 )) ( ( K m2 Dx x 3 ))]. m2 F m3 = [ Km2 (0) K m2 (1) K m2 (2x) K m2 ( 3x 2 )]. lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
45 smatrix er D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). er Monomiebasen (m3) i P 3 (R), altså 1, x, x 2, x 3 og monomiebasen (m2) i P 2 (R), altså 1, x, x 2. m2 [ F m3 = ( ( Km2 (D x (1)) K m2 (D x (x)) K m2 Dx x 2 )) ( ( K m2 Dx x 3 ))]. m2 [ F m3 = Km2 (0) K m2 (1) K m2 (2x) ( K m2 3x 2 )]. m2 F m3 = lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
46 smatrix er D x : P 3 (R) P 2 (R) givet ved D x (p (x)) = p (x) for alle p (x) P 3 (R). er Monomiebasen (m3) i P 3 (R), altså 1, x, x 2, x 3 og monomiebasen (m2) i P 2 (R), altså 1, x, x 2. m2 [ F m3 = ( ( Km2 (D x (1)) K m2 (D x (x)) K m2 Dx x 2 )) ( ( K m2 Dx x 3 ))]. m2 [ F m3 = Km2 (0) K m2 (1) K m2 (2x) ( K m2 3x 2 )]. m2 F m3 = Polynomiet p (x) = 7x 3 + 4x + 2 kan nu differentieres således K m2 (D x (p (x))) = m2 F m3 K m3 (p (x)) = m2f m3 =. Altså D x (p (x)) = x lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
47 lineære er II er Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
48 lineære er II er Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V W findes en matrix F, så K c (f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
49 lineære er II er Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V W findes en matrix F, så K c (f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. Linearitet: Af K c f (v) = FK a (v) følger f (v) = K 1 c FK a (v). Men højresiden er lineær i v. er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
50 lineære er II Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V W findes en matrix F, så K c (f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. Linearitet: Af K c f (v) = FK a (v) følger f (v) = K 1 c FK a (v). Men højresiden er lineær i v. Videre fås FK a (v) = c F a K a (v) for alle v V. Heraf følger F = c F a. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
51 lineære er II Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V W findes en matrix F, så K c (f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. Linearitet: Af K c f (v) = FK a (v) følger f (v) = K 1 c FK a (v). Men højresiden er lineær i v. Videre fås FK a (v) = c F a K a (v) for alle v V. Heraf følger F = c F a. Sætning 6.9. ν (f ) = ν ( c F a ) og ρ (f ) = ρ ( c F a ). er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
52 lineære er II Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær f og givne baser a og c gælder K c (f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V W findes en matrix F, så K c (f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. Linearitet: Af K c f (v) = FK a (v) følger f (v) = K 1 c FK a (v). Men højresiden er lineær i v. Videre fås FK a (v) = c F a K a (v) for alle v V. Heraf følger F = c F a. Sætning 6.9. ν (f ) = ν ( c F a ) og ρ (f ) = ρ ( c F a ). Da ν ( c F a ) + ρ ( c F a ) = n = dim V er dimensionssætningen dim V = ν (f ) + ρ (f ) bevist. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
53 smatrix I En lineær f fra V med basen a 1, a 2, a 3 til W med basen b 1, b 2 opfylder f (a 1 + a 2 + 3a 3 ) = 5b 1 b 2, f (a 1 a 2 ) = 3b 1 + b 2 og f (a 1 + a 3 ) = b 1 + 2b 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
54 smatrix I En lineær f fra V med basen a 1, a 2, a 3 til W med basen b 1, b 2 opfylder f (a 1 + a 2 + 3a 3 ) = 5b 1 b 2, f (a 1 a 2 ) = 3b 1 + b 2 og f (a 1 + a 3 ) = b 1 + 2b 2 Vi bestemmer smatricen b F a for f. er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
55 smatrix I En lineær f fra V med basen a 1, a 2, a 3 til W med basen b 1, b 2 opfylder f (a 1 + a 2 + 3a 3 ) = 5b 1 b 2, f (a 1 a 2 ) = 3b 1 + b 2 og f (a 1 + a 3 ) = b 1 + 2b 2 Vi bestemmer smatricen b F a for f. Med v 1 = a 1 + a 2 + 3a 3, v 2 = a 1 2a 2 og v 3 = a 1 + a 3 har vi er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
56 smatrix I En lineær f fra V med basen a 1, a 2, a 3 til W med basen b 1, b 2 opfylder f (a 1 + a 2 + 3a 3 ) = 5b 1 b 2, f (a 1 a 2 ) = 3b 1 + b 2 og f (a 1 + a 3 ) = b 1 + 2b 2 Vi bestemmer smatricen b F a for f. Med v 1 = a 1 + a 2 + 3a 3, v 2 = a 1 2a 2 og v 3 = a 1 + a 3 har vi Af K b (f (v i )) = b F a (K a (v i )) med i = 1, 2, 3 fås [ ] 5 = 1 b F a ] = b F a [ ,. [ 3 1 ] = b F a og er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
57 smatrix I En lineær f fra V med basen a 1, a 2, a 3 til W med basen b 1, b 2 opfylder f (a 1 + a 2 + 3a 3 ) = 5b 1 b 2, f (a 1 a 2 ) = 3b 1 + b 2 og f (a 1 + a 3 ) = b 1 + 2b 2 Vi bestemmer smatricen b F a for f. Med v 1 = a 1 + a 2 + 3a 3, v 2 = a 1 2a 2 og v 3 = a 1 + a 3 har vi Af K b (f (v i )) = b F a (K a (v i )) med i = 1, 2, 3 fås [ ] 5 = 1 b F a ] = b F a [ 1 2 Dvs. b F a , [ 3 1 = ] = b F a [ ]. og er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
58 smatrix II Da den inverse til bf a = = er får vi derfor, at [ ] [ ] er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II
59 smatrix II Da den inverse til bf a = = er får vi derfor, at [ ] [ ] er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Ved hjælp af b F a kan eksempelvis f (a 1 ) nu bestemmes til f (a 1 ) = 11b 1 + 6b 2.
DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereNoter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mere5 opgaver er korrekt besvarede.
KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mere2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen
LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mere