Thomas Kaas Heidi Kristiansen KO LO R I T. Gyldendal

Transkript

1 Thomas Kaas Heidi Kristiansen KO LO R I T 9 Gyldendal

2 KOLORIT 9 GRUNDBOG 1. udgave 1. oplag Gyldendal A/S, København Forlagsredaktion: Trine Juhler Vinther Omslag og grafik: Connie Thejll Jakobsen, Tegninger: Kasper Bæk Jørgensen, Figuramus Tryk: Korotan, Slovenien, 2010 ISBN: Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Fotos: Forside: Scanpix/Masterfile/J.A. Kraulis Scanpix/Masterfile/Rick Fischer s. 1 Polfoto/Kirkholt Photo s.11 Polfoto/AP/Neil Armstrong s. 18 Scanpix/Ulrik Jantzen s. 32 Polfoto/Jens Dresling s. 40 Scanpix/Rune Johansen s. 41 Scanpix/Stockfood/Kröger/Gross s. 46 Scanpix/Jens Nørgaard Larsen s. 49 Polfoto/AP/Thomas Kienzle s. 50 Scanpix/Biofoto/Lars Lauersen s. 51 Scanpix/Claus Fisker s. 52 Scanpix/AFP/AFP/GOH CHAI HIN s.55 Scanpix/BAM/Curt Carnemark s. 56 Polfoto/First Light/Perry Mastrovito s. 58 Polfoto/AFLO s. 59 Foci/ PhotoSpin s. 60 øv Polfoto/AFLO s. 60 øh Polfoto/Jens Dresling s.61 øv Scanpix/AFP/AFP/Adrian Dennis s. 61øh Polfoto/Nordicphotos/Tommy Olofsson s. 62 øh Foci/ SSPL s. 62 øv Foci/ Aaron Haupt s. 63 øv Foci/ SCIENCE PHOTO LIBRARY s. 63 n Scanpix/Søren Hytting s. 64 Polfoto/Steen Ole s. 67 Polfoto/AP/Martin Meissner s. 68 Polfoto/NordicPhotos/Chad Ehlers s. 70 Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik. Skolestyrelsen, 2010 s. 71 Scanpix/BAM/Lars Bahl s. 82 Scanpix/Sonny Tumbelaka s. 89 Foci/EasyFotostock/ Martina Berg s. 95 Polfoto/Chris Christo s. 103 Polfoto/Hans Henrik Tholstrup s. 105 Scanpix/Poul Glendell s. 106 Polfoto/Corbis/ Tim Clayton s. 109 Scanpix/Lars Møller s. 112 Colourbox s. 114 Polfoto/Corbis/ Aflo s. 119 Scanpix Nordfoto/Palle Hedemann s. 125 Scanpix/Erik Jepsen s. 129 Scanpix/Rune Feldt s. 131 Scanpix/Jørgen Jørgensen s. 134 Scanpix Nordfoto/Palle Hedemann s. 136 Scanpix/Brian Bergmann s. 139 Scanpix/Brian Bergmann s. 147 Scanpix/Lars Laursen s. 150 Scanpix/BAM/Christoffer Askman s. 154 Scanpix/Biofoto/Mads Jensen s. 155 Scanpix/Masterfile/Robert George Young s. 157 Søren Lundberg: Alle øvrige Til 9. klasse hører: Kolorit 9 kopimappe Kolorit 9 lærerens bog Kolorits hjemmeside:

3 Indhold Reelle tal s. 1 Geometri i plan og rum s. 23 Ikke-lineære funktioner s. 41 Matematikken og naturens kræfter s. 59 Algebra s. 71 Trigonometri s. 89 Er det sandsynligt? s. 107 Matematisk modellering s. 125 Penge og økonomi s. 139 Matematisk argumentation s. 155 Formelsamling s. 171 Facitliste s. 180 Stikordsregister s. 189

4 Til eleverne Kolorit 9 er jeres grundbog til matematik i 9. klasse. Til bogen hører en kopimappe med opgaver, I kan arbejde videre med. Kolorit har også en hjemmeside, hvor der bl.a. ligger filer og links, I kan bruge til nogle af opgaverne. Kolorit 9 indeholder 10 kapitler. Otte af kapitlerne tager udgangspunkt i et matematisk område. I de kapitler findes forskellige typer af sider: Intro: I introduceres til, hvad kapitlet handler om. Mundtlig: Her er der opgaver, der lægger op til, at I sammen i hele klassen eller i grupper kan snakke om og med matematik. De fleste nye ting præsenteres på disse sider. Problem: Her er der opgaver, hvor I skal arbejde sammen eller enkeltvis med problemløsning. Færdighed: Her er der opgaver, hvor I kan øve de færdigheder, der hører med til det matematiske område, kapitlet handler om. I skal prøve at løse opgaverne uden lommeregner, hvis der ikke er skrevet andet i teksten. Pointer: Kapitlet slutter med, at I evaluerer, hvad I har lært, og skriver det i en logbog. To af kapitlerne tager udgangspunkt i temaerne: Matematikkenognaturens kræfterog Matematiskmodellering. Temakapitler er bygget lidt anderledes op. På præsentationssiderne kan I læse, hvordan I kan arbejde med kapitlerne. Det er en god idé at arbejde i grupper med temaerne. I skal også evaluere jeres arbejde med kapitlerne ved at fortælle om det til en fremlæggelse eller i en skriftlig opgave. Bagerst i grundbogen er der en formelsamling, som I kan få brug for til at løse nogle af opgaverne. Der er også en facitlistetil opgaverne på færdighedssiderne og et stikordsregister, så I kan slå op og finde ud af, hvor I kan læse om det, I søger. I bogens opgaver bruges nogle ord, det er vigtigt, I kender og forstår. Beregn: I skal finde løsningen på opgaven ved at regne. Beskriv/forklar: I skal med jeres egne ord sige eller skrive, hvad I har fundet ud af i arbejdet med opgaven. I skal prøve at begrunde, hvad I er nået frem til og hvordan. Diskuter: I skal snakke sammen om jeres forskellige forslag til løsninger. Omskriv: I skal skrive regneudtrykkene på en anden måde. Undersøg: I skal prøve jer frem og kan måske på forskellige måder komme frem til en løsning. Vis: I skal med et regneudtryk, en graf, illustration eller lignende vise, hvordan I har tænkt og regnet. God arbejdslyst!

5 Reelle tal De reelle tal omfatter alle de tal, som I møder i matematik i skolen. Det er alle de hele tal, alle brøkerne, men også tal som fx π og 2, der ikke kan skrives som hele tal eller brøker. INTRO I har allerede en hel del erfaringer med at regne med tal, og I har prøvet at bruge tal til at løse forskellige problemer i matematik. I dette kapitel skal I arbejde med at få overblik over nogle af de regnemetoder, som I allerede kender. I skal også undersøge egenskaber ved potenser og kvadratrødder og finde ud af, hvordan I kan regne med den type tal. REELLE TAL

6 MUNDTLIG REELLE TAL Brøker og procenter om danskernes internetforbrug i 2009 Alle danskere: Danske internetbrugere: Danske internetbrugere: Bruger internettet dagligt eller næsten dagligt Spillede eller downloadede spil, musik m.m % 100 % 0 Downloadede eller læste nyheder og netaviser på internettet 0 74 % 100 % 1 Kilde: I dette kapitel skal I bl.a. arbejde med at få overblik over de metoder til at regne med procent og brøker, som I tidligere har udviklet. Øverst bruges brøk og procent til at oplyse om danskernes internetforbrug i I 2009 var der cirka danskere. Forklar, hvordan I på baggrund af oplysningerne kan beregne, hvor mange danskere der i 2009 a brugte internettet dagligt eller næsten dagligt. b var internetbrugere. c downloadede nyheder og læste netaviser. 2 Hvor stor en del af eleverne i jeres 9. klasse a brugte internettet dagligt eller næsten dagligt i 2009? b downloadede nyheder og læste netaviser? c spillede eller downloadede spil, musik m.m. Procentpoint bruges til at beskrive en ændring af noget, der er udregnet i procent. I 2008 var det 62 % af internetbrugerne, der downloadede eller læste nyheder på nettet, og i 2009 var det 74 % af internetbrugerne. Man siger, at antallet er steget med 12 procentpoint. 3 Beskriv forskellen mellem danskernes internetforbrug i 2009 og resultaterne i jeres klasse. REELLE TAL

7 Beregn potenser Beregn rødder Areal = π r 2 Areal = 25 cm 2 r = 4 cm Areal = s 2 s = 7 cm Areal = 64 cm 2 Det danske befolkningstal på ca kan også skrives som 5, I har tidligere arbejdet med denne videnskabelige skrivemåde i forbindelse med meget store og meget små tal. I dette kapitel skal I arbejde med andre potenser end tierpotenserne og undersøge, hvordan I kan regne med dem. I har fx mødt andre potenser i forskellige formler. 4 Beregn arealet af kvadratet og cirklen øverst til venstre. 5 Beregn kvadratets sidelængde og cirklens radius i eksemplerne øverst til højre. Forklar, hvordan I gør. I skal undersøge mere om kvadratrødder i kapitlet. Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med regnemetoder og undersøgelser af tal. Målet er, at I får overblik over metoder til at regne med procenter. får overblik over metoder til at regne med brøker. lærer at beregne procentpoint og promille. undersøger egenskaber ved potenser og rødder. undersøger, hvordan I kan regne med potenser og rødder. REELLE TAL

8 PROBLEM DANSKERNES BRUG AF COMPUTER Andelen af befolkningen, der regelmæssigt brugte computer, Pct. Hver dag eller næsten hver dag Mindst en gang pr. uge I alt Kvinder Mænd år år år år Kilde: Diagrammet viser, hvor stor en del af danskerne, der brugte computer i Hvor stor en procentdel af alle danskerne brugte computer hver dag eller næsten hver dag? 2 Beregn, hvor mange af de danskere, der brugte computer a hver dag eller næsten hver dag. b mindst en gang pr. uge. 3 Hvor stor en brøkdel af a kvinderne brugte computer mindst en gang pr. uge? b danskerne mellem 60 og 74 år brugte computer hver dag eller næsten hver dag? 4 Hvad viser diagrammet om brug af computer set i forhold til a køn? b alder? 5 Brug procentpoint til at beskrive nogle af forskellene mellem, hvordan de forskellige aldersgrupper bruger computer. REELLE TAL

9 FÆRDIGHED 1 Skriv brøkerne i rækkefølge efter størrelse. 1 a 2, 1 3, 1 4, 1 5 c 5 3, 7 4, 3 2, 11 8 b 3 4, 2 3, 4 5, 5 6 d 3 7, 4 9, 2 5, Forkort brøkerne så meget som muligt. a c b d Omskriv til brøk og procent. a 0,4 e 1,5 b 0,04 f 2,05 c 4 g 1,99 d 0,125 h 0,99 4 Hvor meget er 1 a af 750 ml? 3 6 Sandt eller falsk? a 4,19 = 4,190 b 3,25 > 3,250 c 19,08 < 19,8 d 0,749 = 0,75 e 99,99 = 99,990 f 0,75 > 0,749 7 Omskriv til videnskabelig skrivemåde. a b c d Hvor stor er kvadratets sidelængde? a Areal = 81 cm 2 c Areal = 225 cm 2 b 2 5 af 8 L? c d af 1 L? 8 af 18 m? e 30 % af 400 kr.? f 45 % af 600 kr.? g 18 % af 250 kr.? h 150 % af 380 kr.? b Areal = 121 cm 2 d Areal = 1 cm 2 5 Hvor mange % udgør a 5 af 20? b 15 af 150? c 8 af 100? d 7 af 10? 9 Løs ligningerne. a x 2 = 36 b x 2 = 49 c x 2 = 144 d x 2 = 169 REELLE TAL

10 MUNDTLIG METODER TIL PROCENTREGNING Beregn en procentdel Hvor meget er 15 % af 200? a Af betyder her gange, så 15 % af 200 er 15 % 200 = 30. b 1 % af 200 er 2, så 15 % af 200 er 15 2 = 30. Beregn procenten Hvor mange procent udgør 30 af 15% 200? 30 a = 0,15= 15 % 200 0% 100% b 30 af 100 er 30 %, så 30 af 200 er 15 % % 15% 100% 0% 15% 100% I kan regne med procent på flere måder, men overordnet set kan procentregning inddeles i fire forskellige typer: Beregn en procentdel. Beregn procenten. Beregn helheden. Beregn en procentvis ændring. 0% 15% 100% 1 Forklar ud fra eksemplet øverst til venstre, hvordan I kan beregne 15 % af Vis og forklar, hvordan I vil beregne, hvor mange procent a 75 udgør af 150. b 40 udgør af 50. c 7 udgør af 210. d 182 udgør af 200. e 300 udgør af % 15% 100% % 15% 100% 115% 2 Vis og forklar, hvordan I vil beregne 0% 15% 100% a 15 % af 400. b 4 % af 300. c 6,5 % af 200. d 0,5 % af 50. e 115 % af % 15% 100% 115% 3 Forklar ud fra eksemplet øverst til højre, hvordan I kan beregne, hvor mange procent 30 udgør af 200. REELLE TAL

11 % 15% 100% % 15% 100% Beregn helheden 15 % af et tal er 30. Hvilket tal er det? a I kan beregne helheden ved at dividere: 30 : 0,15 = % 15% 100% b 1 % svarer til 30 : 15 = % svarer til = 200. Beregn en procentvis ændring Læg 15 % af 200 til 200. Hvad bliver det? a ,15 = % 15% 100% b 200 1,15 = % 15% 100% 0% 15% 100% 115% 5 Forklar ud fra eksemplet øverst til venstre, 30 hvordan I kan beregne tallet, når 15 % af tallet er % 15% 100% 115% 6 Beregn tallet, når a 5 % af tallet er 20. b 8 % af tallet er 80. c 30 % af tallet er 300. d 12,5 % af tallet er 10. e 125 % af tallet er Beregn resultatet, når I har lagt a 8 % af 200 til 200. b 4 % af 300 til 300. c 2,5 % af 40 til 40. d 100 % af 85 til 85. e 120 % af 50 til Undersøg og forklar, hvordan I kan trække 15 % af 200 fra 200, og skriv det som en regneregel. 7 Forklar ud fra eksemplet øverst til højre, hvordan I kan lægge 15 % af 200 til Brug følgende mellemregninger til at forklare, hvorfor metode a og b øverst til højre giver samme resultat: ,15 = 200 (1 + 0,15) = 200 1,15 11 Beregn resultatet, når I har trukket a 10 % af 400 fra 400. b 4 % af 800 fra 800. c 12,5 % af 1000 fra d 100 % af 100 fra 100. REELLE TAL

12 PROBLEM DANSKERNES BRUG AF MOBILTELEFON Anvendelse af mobiltelefon indenfor tre måneder, 2009 Betaling (fx via sms) Har du brugt følgende funktioner/tjenester på din mobil? GPS Lytte til musik/ radio Sende mms Sende sms Spille spil Bluetooth Synkronisering med kalender i e post Tage billede med indbygget kamer Vækkeur pct. af mobilbrugere I alt Køn Kvinder Mænd Alder år år år år Kilde: 1 I 2008 havde 93 % af danskerne mobiltelefon, og i 2009 havde 95 % af danskerne mobiltelefon. Hvor mange af de ca danskere havde mobiltelefon i a 2008? b 2009? 2 I 2008 brugte 21 % af mobilbrugerne mobiltelefonen til at sende mms. a Hvor mange procent af mobilbrugerne brugte mobilen til at sende mms i 2009? b Hvor stor er stigningen fra 2008 til 2009 i procentpoint? c Hvor stor er stigningen fra 2008 til 2009 i procent? 3 Er det rigtigt, at mænd oftere end kvinder brugte mobiltelefonen til andet end at tale og sende sms? Forklar, hvordan du kan læse det i tabellen. REELLE TAL

13 FÆRDIGHED 1 Hvor meget er a 10 % af 45 kr.? b 15 % af 740 kr.? c 36 % af 300 kr.? d 4,5 % af 400 kr.? e 0,25 % af 80 kr.? f 99 % af 200 kr.? 2 Hvor mange procent udgør a 40 af 160? b 22 af 110? c 1,5 af 6? d 30 af 75? e 100 af 80? f 1250 af 5000? 3 Beregn hele beløbet, når a 10 % af 300 svarer til 30 kr. b 25 % af 250 svarer til 125 kr. c 35 % af 2000 svarer til 70 kr. d 0,5 % af 5 svarer til 10 kr. e 12,5 % af 900 svarer til 19 kr. f 100 %af 500 svarer til 235 kr. 6 En computer kostede før udsalget 5000 kr. Nu er prisen 4500 kr. Hvor mange procent rabat bliver der givet? 7 En forretning sælger digitalkameraer for 900 kr. Det svarer til 75 % af, hvad de plejer at koste. Hvad plejer de at koste? 8 Tines timeløn er steget med 10 %, så nu får hun 77 kr. i timen. Hvor stor var timelønnen før? 9 Prisen for en vare med moms er 100 kr. I 2010 var momsen 25 %. Hvad koster varen uden moms? 10 Karl gik på slankekur og vejer nu 72 kg. Det svarer til 90 % af, hvad han vejede før. Hvad var hans vægt? 4 Læg a 12 % af 300 til 300. b 80 % af 250 til 250. c 8,5 % af 2000 til d 6 % af 5 til 5. e 70 % af 900 til 900. f 98 % af 500 til En tøjbutik sænker priserne med 20 %. Hvad er udsalgsprisen for et par bukser, der har kostet 560 kr.?

14 PROBLEM ALKOHOL OG PROM I LLE Mænds kropsvægt består af ca. 68 % væske. Alkoholpromille: alkohol i g kropsvægt i kg 0, 68 Kvinders kropsvægt består af ca. 55 % væske. Alkoholpromille: alkohol i g kropsvægt i kg 0, 55 Alkoholpromillen afhænger af vægt og køn. Promille betyder tusindedele og skrives = 0,002 = 2 1 En almindelig øl indeholder ca. 12 g alkohol. Brug formlerne til venstre til at beregne din alkoholpromille efter at have drukket en øl. 2 Fremstil og udfyld en tabel som det viste. En genstand. 0,25 0,20 0,15 En genstand. Vægt Mænds alkoholpromille efter 1 genstand Kvinders alkoholpromille efter 1 genstand 50 kg 0,35 0,44 55 kg 60 kg 65 kg 70 kg 75 kg 80 kg 85 kg 90 kg 95 kg 100 kg 3 Tegn i et koordinatsystem en graf, der viser sammenhængen mellem kvinders alkoholpromille og vægt, og en graf, der viser sammenhængen mellem mænds alkoholpromille og vægt. 4 Passer det, at hvis en kvinde på 60 kg og en mand på 100 kg drikker lige meget, får kvinden en promille, der er dobbelt så stor som mandens? Hvorfor? Hvorfor ikke? 0,10 0, Kg 5 En voksen person forbrænder på en time 1 1,5 g alkohol pr. 10 kg legemsvægt. Vælg nogle piger og drenge i klassen, og undersøg, hvor lang tid de er om at forbrænde en genstand. 0 REELLE TAL

15 ALKOHOL OG TR AFIK PROBLEM Antal dræbte i færdselsuheld. Antal Årstal Kilde: Rådet for Større Færdselssikkerhed (bearbejdet) 1 Beskriv, hvordan udviklingen af antal dræbte i trafikken har været i perioden Hvilke forklaringer kan der mon være på udviklingen? 3 Cirka hvor mange procent er antallet af dræbte a steget fra 1962 til 1970? b faldet fra 2000 til 2006? Indtagelse af alkohol påvirker reaktionsevne og reflekser. Der er derfor regler for, hvor meget alkohol man må have i kroppen, når man kører i trafikken. Promillegrænsen er 0,5. 4 Ifølge Rådet for Større Færdselssikkerhed er alkohol skyld i hver fjerde trafikdrab. Sammenlign diagrammet til højre med diagrammet øverst, og undersøg, a hvor stor en procentdel af trafikdrabene, som skete ved spiritusuheld i b om du er enig med Rådet for Større Færdselssikkerhed i, at alkohol er skyld i hver fjerde trafikdræbte. Antal dræbte i spiritusuheld REELLE TAL

16 MUNDTLIG METODER TIL BRØKREGNING Addition = = = Subtraktion + = = = = = = = I har tidligere arbejdet med at regne med brøker i forskellige sammenhænge. I skal prøve at danne jer et overblik over metoder til brøkregning. 1 Forklar ud fra eksemplerne øverst, hvordan I kan a lægge brøker sammen. b trække en brøk fra en anden brøk. 2 Beregn resultatet af a d b e c f Beregn resultatet, og forklar, hvordan I gør. a c b d Forklar ud fra eksemplet på side 13 øverst til venstre, hvordan I kan gange brøker med hinanden. 5 Beregn resultatet. a d b e c f Skriv en regel for, hvordan I kan gange en brøk med et helt tal. REELLE TAL

17 Multiplikation Division a betyder 1 4 af 2 3. Løsningen kan findes ved tegning. a 2 3 : 1 4 er det samme som 8 12 : Løsningen er det tal, I skal gange 3 12 med for at få x = 8 12, så er x = 8 3 = I kan bruge en tallinje = 2 12 = 1 6 b I kan også bruge en regneregel. I kan gange tæller med tæller og nævner med nævner = = 2 12 = b I kan også bruge en regneregel. I kan dividere med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. 2 3 : 1 4 = = 8 3 = I har tidligere arbejdet med at dividere hele tal med brøker. 7 Forklar, hvordan I kan beregne resultatet af 6 : 3. Brug evt. tallinjen 4 herunder Division med brøker kan bruges til at løse to forskellige typer problemer: Måling. 1 1 l cola skal fordeles i glas, 2 der kan indeholde 1 L. Hvor mange 5 glas cola kan det blive til? At finde helheden. Peter har 1 1 L cola. Det er 1 af, 2 4 hvad han skal bruge til sin fest. Hvor mange liter cola skal Peter bruge i alt? 9 Forklar, hvordan I kan dividere med brøker ved at omskrive til decimaltal : 1 5 = 1,5 : 0,2 = 15 : 2 = 7,5 10 Forklar ud fra eksemplet øverst til højre, hvordan I kan finde resultatet af 2 3 : Beregn resultatet og forklar, hvordan I gør. 1 a 2 : 1 4 c : 1 3 b 4 5 : 2 5 d : 1 4 REELLE TAL

18 FÆRDIGHED 1 Beregn resultatet. 2 a e b f c d g h Beregn resultatet. a c b d Hvad er helheden, når 1 a 5 er 0,2 m? c 3 4 er kg? b 3 4 er 0,5 L? d 5 8 er 0,5 km? 4 Løs ligningerne. 3 a 5 x = 3 10 c 2 7 x = 4 14 b 1 2 x = 3 10 d 1 5 x = Beregn resultatet. a 5 : 1 5 c 4 : 2 3 b 3 : 3 5 d 10 : Adam har 3 4 kg slik. Hvor mange poser kan han fordele det i, hvis han kommer 1 a kg i hver pose? kg sukker skal fordeles i poser 2 med 1 kg sukker i hver. Hvor mange 4 poser sukker bliver det til? 8 Et bageri har 2 1 kg sukker på hylden. 2 Det er 1 af, hvad de skal bruge. 4 Hvor meget sukker skal de bruge i alt? 9 Skriv hvert resultat som både decimaltal og brøk. a 0,3 0,2 d 2,5 : 0,5 b 0,6 0,4 e 6,4 : 0,8 c 1,2 0,4 f 12,5 : 0,5 10 Skriv en opgave, der handler om regneudtrykket 3 a b 3 4 : 1 2 b 3 8 kg i hver pose? REELLE TAL

19 BRØKER OG UENDELIGE DECIMALTAL PROBLEM 1 Nogle brøker er lette at omskrive til decimaltal og procent, og andre brøker er sværere at omskrive. a Omskriv brøkerne til decimaltal. 1 4, 1 10, 9 20, 1 3, 2 7, 3 50 og 3 8. b Hvilke brøker er sværest at omskrive? Hvorfor? I har tidligere arbejdet med, at nogle brøker kan omskrives til uendelige decimaltal, hvor decimalerne fortsætter, og andre brøker kan omskrives til endelige decimaltal, hvor decimalerne ikke fortsætter. 2 Giv eksempler på mindst fem brøker, der kan omskrives til a endelige decimaltal. b uendelige decimaltal. 3 Er det tælleren eller nævneren, der afgør, om en brøk kan omskrives til et endeligt decimaltal? Hvorfor? 4 Undersøg med lommeregneren, hvordan brøkerne kan omskrives til decimaltal. 1 a 9, 2 9, b 99, 2 99, 3 99, 14 99, c 999, 2 999, , , Brug jeres erfaringer fra opgave 4 til at omskrive decimaltallene til brøker. a 0,8 d 0,123 b 0,23 e 0,477 c 0,45 f 0,99 REELLE TAL

20 MUNDTLIG UNDERSØG POTENSER OG RØDDER Potenser eksponent Regneregler for potenser = = rod = = 1 = = = : 2 5 = = 2 4 Vi bruger potenser for at gøre nogle skrivemåder enklere i matematik. Det er fx enklere at skrive 2 3 end at skrive Omskriv potenserne til gangestykker, og beregn resultatet. a 17 3 b Fremstil og udfyld en tabel som den viste. n 2 n = = Alle potenser med eksponenten 0 har værdien 1. Fx er = 1. 3 Forklar ud fra mønstret i tabellen fra opgave 2, hvorfor det giver mening, at a 2 0 = 1 b 2 3 = = Forklar, resultaterne af regneudtrykkene i eksemplerne øverst til højre. 5 Prøv at formulere regler for, hvordan I kan gange og dividere potenser med samme rod. 6 Brug jeres regler til at omskrive regneudtrykkene til en potens. a b c d 4 4 e REELLE TAL

21 Rødder 4 = 2, fordi 2 2 = = 2, fordi = 8 2 cm 4 cm 2 2 cm 2 cm 2 cm 8 cm 3 2 cm Regneregler for kvadratrødder 4 9 = 2 3 = = 36 = = 6 2 = = 9 = 3 Hvilket tal skal I gange med sig selv tre gange for at få resultatet 8? At finde svaret på dette kaldes at beregne kubikroden af 8. Det skrives 3 8 se eksemplet øverst til venstre. 1 Forklar, hvad det betyder at beregne kubikroden af Beskriv sammenhængen mellem a 3 8 og b 27 og Beregn værdien af 3 a 64 3 b c Undersøg, hvordan I kan bruge lommeregneren til at beregne værdien af 3 a b c 8000 Kubikroden kaldes også for den tredje rod. Vi kan også regne med andre rødder = 81, og 81= 3, fordi = 81. Man siger, at den fjerde rod af 81 er 3. 5 Forklar, hvad det betyder, at 3 a 216 = 6 4 b 1296 = 6 5 c 7776 = 6 6 Forklar, resultaterne af regneudtrykkene i eksemplerne øverst til højre. 7 Beregn resultatet af a 25 4 c b d Prøv at formulere regler for, hvordan I kan gange og dividere a kvadratrødder med hinanden. b kubikrødder med hinanden. REELLE TAL

22 PROBLEM UNIVERSET Lyset bevæger sig med en hastighed på m pr. sekund. 1 Skriv lysets hastighed med videnskabelig skrivemåde. 2 Hvor langt kan lyset bevæge sig på a et minut? b en time? c et døgn? I 1969 landede rumskibet Apollo 11 på Månen. Astronauterne satte en slags refleks på månen. Når lys rammer refleksen, kaster den lyset tilbage i samme retning, som det kom fra. 3 Der er ca. 3, m mellem Jorden og Månen. Hvor lang tid tager det for en lysstråle at rejse fra Jorden til Månen og tilbage igen? 4 Solen er den stjerne, der ligger tættest på Jorden. Det tager lidt mere end 8 minutter for lyset at nå fra Solen til Jorden. Hvor stor er afstanden mellem Solen og Jorden cirka? 5 Solens radius er 6, m, og Jordens radius er 6378 km. Hvor mange gange er Solens diameter større end Jordens diameter? 6 Beregn rumfanget og overfladearealet af a Jorden. b Solen. d r V = 4 3 π r3 O = 4 π r 2 REELLE TAL

23 UNDERSØG REGNEREGLER PROBLEM 1 Undersøg, om regneudtrykket er sandt eller falsk. a = 3 6 g = 9 3 b = 4 8 h = 8 3 c = 3 6 i = 4 3 d = 10 6 j = 20 2 e 10 4 : 10 2 = 10 2 k = 6 4 f 2 9 : 2 3 = 2 6 l = Hvilke regler kan du bruge, når du regner med potenser? 3 Du skal undersøge, hvad der skal gælde om roden og eksponenten, hvis en potens skal have en negativ værdi. Sæt forskellige naturlige tal ind på n s og a s plads, og beregn resultatet. a 5 n e a 5 b ( 3) n f a 3 c 10 n g a 2 d ( 4) n h a 4 4 Hvornår bliver værdien af en potens negativ? 5 Sæt forskellige tal ind på bogstavernes plads, og undersøg om regnereglen gælder. a b c d e f a b = a b a + b = a + b a : b = a : b a b = a b a + a = 2 a a a = a g 2 a + 4 a = 6 a h a a a = a a 6 Hvilke regler kan du bruge, når du regner med kvadratrødder? REELLE TAL 9

24 PROBLEM KVADR ATER OG CI RKLER Til venstre kan du se, hvordan et mønster med kvadrater og cirkler udvikler sig. Kvadrat 1 er det mindste kvadrat, kvadrat 2 er det næste osv. 1 Beregn længden af diagonalen i kvadrat 1. Skriv resultatet som kvadratroden af et tal. 2 Forklar, hvordan du kan finde sidelængden i kvadrat 2. 3 Fremstil og udfyld en tabel som det viste. 1 1 Kvadrat Sidelængde Areal Prøv at finde frem til en formel for, hvordan du kan beregne arealet af kvadraterne. 5 Forklar, hvordan størrelsen af sidelængden udvikler sig. 6 Forklar, hvordan du kan beregne arealet af et kvadrats indskrevne cirkel, hvis du kender kvadratets sidelængde. Kan du skrive en formel? 0 REELLE TAL

25 FÆRDIGHED 1 Omskriv til én potens. a c b d Omskriv til én potens. a c 4 4 b 8 d Find værdien af potenserne. a 4 3 d ( 3) 2 b 7 2 e 3 2 c ( 4) 3 f Skriv potenserne både som brøk og decimaltal a 10 2 c 10 6 b 10 3 d Sandt eller falsk? a 3 2 = 2 3 d 1 0 = 1 b ( 4) 2 = 4 2 e 2 0 = 2 c ( 4) 3 = f Hvilke tal har samme værdi? 1 4 0, , , Beregn. a b c d e 36 4 f g Beregn sidelængden i kuberne. a b 27 cm cm 3 9 Brug lommeregner. Hvor stor er en kugles rumfang, hvis radius er a 5 cm? b 10 cm? c 15 cm? 10 Brug lommeregner. Hvor stor er radius i en kugle, hvis rumfanget er a 1000 cm 3? b 8000 cm 3? c cm 3? 11 Undersøg, hvor mange gange større rumfanget af en kugle bliver, hvis radius bliver a dobbelt så stor. b tre gange så stor. REELLE TAL

26 POINTER HVAD VED DU NU OM? Tjeklisten Udfyld din elektroniske logbog med følgende færdigheder. Beregne en procent af et tal Beregne den procentvise forskel mellem to tal Beregne helheden ud fra et tal og en procent Kende forskel på procent og procentpoint Lægge brøker sammen Trække en brøk fra en anden brøk Gange med brøker Dividere med brøker Gange med potenser Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din elektroniske logbog. Her er forslag til, hvad du kan komme ind på: Giv eksempler på forskellige måder at regne med procent på. Giv et eksempel på, hvornår du kan bruge procenter. Forklar forskellen på procent og procentpoint. Forklar, hvad promille betyder. Vis og forklar, hvordan du kan dividere to brøker med hinanden. Forklar, hvad det betyder at tage kubikroden af et tal. Giv eksempler på, hvordan du kan regne med potenser. Giv eksempler på, hvordan du kan regne med rødder. Hvad er du blevet bedre til i matematik, efter at du har arbejdet med kapitlet? Dividere med potenser Gange med kvadratrødder Dividere med kvadratrødder d r V = 4 3 π r3 O = 4 π r 2 22 REELLE TAL

27 Geometri i plan og rum Ordet geometri kommer af græsk og betyder jordmåling. Navnet skyldes formentlig, at den første geometri, der blev udviklet, drejede sig om metoder til at opmåle arealet af marker og andre jorde. I dag betragtes geometri som den del af matematikken, der handler om figurer og deres egenskaber. INTRO Figurer kan både være plane og rumlige. Et rektangel og en cirkel er eksempler på plane figurer. De udbreder sig i to dimensioner længde og bredde og kan derfor let tegnes på en flade som fx et stykke papir, en skærm eller en tavle. En kasse og en kugle er eksempler på rumlige figurer. De udbreder sig i tre dimensioner længde, bredde og højde og er derfor sværere at tegne på fx et stykke papir eller en tavle. Nogle it-programmer kan dog hjælpe med at tegne sådanne figurer på en skærm. I dette kapitel skal I både arbejde med plane og rumlige figurer og deres egenskaber.

28 MUNDTLIG PLANE OG RUMLIGE FIGURER Plane figurer Øverst kan I se eksempler på nogle plane figurer. Figurerne kan inddeles på forskellige måder efter deres egenskaber. De fleste af figurerne har fx den egenskab, at de er afgrænset af rette linjestykker. Disse figurer kaldes polygoner. Polygonerne kan igen underinddeles efter antallet af linjestykker. Dvs. i trekanter, firkanter, femkanter osv. Hver af disse undergrupper kan igen underinddeles i forskellige typer. Firkanterne inddeles fx ofte efter deres vinkelstørrelser, indbyrdes sidelængder og i antallet af parallelle linjer. 1 Hvilke typer firkanter kan I se øverst? 2 Udfyld en tabel som vist nedenfor med krydser. Brug en formelsamling til at finde de definitioner, I ikke kan huske. Firkant Kvadrat Rektangel Rombe Parallelogram Trapez Ligebenet trapez Et sæt parallelle linjer To sæt parallelle linjer Fire rette vinkler 3 Tegn et eksempel på hver type figur i tabellen og diskuter, hvilke oplysninger I skal bruge for at beregne figurens a omkreds. b areal. 24 GEOmETRI I PLaN OG RUm