Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede Kombinationer Multiplikationsprincippet Ved et valg der består af n forskellige delvalg med henholdsvis m, m,, m n valgmuligheder, er der i alt m m m n valgmuligheder Eksempel Når man fx skal udfylde en tipskupon, skal man træffe 3 valg da man skal sætte 3 krydser, et i hver række I hver række er der 3 muligheder for at sætte et kryds, dvs man kan udfylde en tipskupon på 3 3 5933 måder 3 Eksempel Man kan også bruge multiplikationsprincippet til at bestemme hvor mange forskellige delmængder der findes af en mængde med n elementer Når man skal udtage en delmængde, skal man for hvert element afgøre om det skal med eller ikke med, der er altså to muligheder for hvert element Derfor er der n forskellige delmængder af en mængde med n elementer Her er både den tomme mængde og mængden selv talt med Opgave Tallene fra til 00 skal fordeles i tre disjunkte delmængder således at ingen af mængderne er tomme, og ingen mængde indeholder to på hinanden følgende tal At to mængder er disjunkte betyder at de ikke har nogen elementer tilfælles På hvor mange måder kan det gøres? 5 Eksempel Til et stævne er der hold der kæmper om guld, sølv og bronze Når man skal bestemme på hvor mange forskellige måder medaljerne kan fordeles, har man muligheder for at uddele guld, 3 for sølv og for bronze, dvs der er i alt 3 måder at fordele medaljerne på I ovenstående eksempel skulle man udtage tre hold ud af hvor rækkefølgen havde betydning Generelt hvis man skal udtage r ud af n elementer således at rækkefølgen af de r elementer har betydning, kan man gøre det på måder nn n r n r!
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 6 Sætning Symbolet n r betegner antallet af måder hvorpå man kan udtage r elementer ud af n uden hensyntagen til rækkefølgen af de elementer man udtager Altså antallet af måder hvorpå man kan udtage en delmængde med r elementer ud af en mængde med n elementer Der gælder at r r!n r! Nogle benytter betegnelsen Kn, r i stedet for n r I første omgang husker vi på at man kan udtage r elementer i rækkefølge på n r! måder Desuden kan r elementer ordnes i r! forskellige rækkefølger, dvs hver delmængde er talt med r! gange, hvis vi udtager de r elementer i rækkefølge Derfor er n n r! r r! r!n r! 7 Eksempel Sætningen kan bruges i et utal af sammenhænge, når man skal afgøre på hvor mange måder man kan udvælge noget Fx kan de syv vindertal i lotto, når der er 36 tal at vælge imellem, udtrækkes på 36 7 837680 forskellige måder 8 Eksempel Man kan også bruge sætningen til at udregne på hvor mange måder man kan udtage syv kort af et sæt almindelige spillekort med 5 kort, således at man netop har et par, altså to kort med samme talværdi og fem kort med fem andre talværdier Der er 3 forskellige talværdier, dvs vi kan udvælge den talværdi parret har, på 3 3 måder Desuden kan vi vælge de fem talværdier de fem sidste kort skal have, på 5 79 måder For hver talværdi er der fire kort, dvs vi nu kan vælge de to kort der indgår i vores par, på 6 måder Desuden kan vi vælge hvert af de fem andre kort på måder I alt er der altså ifølge multiplikationsprincippet 3 5 5 63586 måder at udtage syv kort på, så man netop har et par 9 Opgave Bestem på hvor mange måder man kan udtage seks kort fra et sæt spillekort, således at man netop har to par 0 Eksempel På et skakbræt med 5 5 felter kravler en myre fra det ene hjørne til det diagonalt modsatte hjørne Den kravler kun på stregerne mellem felterne eller langs kanten af brættet, og den sørger for at turen bliver så kort så mulig Vi skal nu regne ud hvor mange forskellige ruter myren kan vælge Først bemærker vi at den samlet skal gå fem felter op og fem felter til
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 3 højre, hvis vi forestiller os at den starter i nederste venstre hjørne Den skal med andre ord vælge præcis hvilke fem af de ti skridt der skal være lodrette, dvs den har 0 5 5 forskellige ruter at vælge imellem Opgave I en by har man et centrum der kun består af veje der går nord-syd og øst-vest Der er syv veje nord-syd og fem veje øst-vest, men pga vejarbejde er vejkrydset mellem den midterste vej nord-syd og den midterste vej øst-vest totalt spærret så man ikke kan passere fra en af de fire veje krydset består af, til en af de andre Jonatan står i det sydvestlige hjørne af centrum og skal til det nordøstlige hjørne, og han ønsker at gå så kort så muligt Hvor mange forskellige ruter kan han vælge imellem? Opgave Der skal bygges 5 byer på 3 øer, mindst en på hver Desuden skal der etableres færgeforbindelser mellem hvert par af byer på forskellige øer Bestem det mindst mulige antal færgeforbindelser BW99 Pascals trekant og regning med binomialkoefficienter Binomialkoefficienterne n r viser sig at kunne frembringes på en interessant måde, og for at vise dette har vi behov for følgende formel Sætning Der gælder at + k + n n + k k + Hvis man skal udtage k + elementer ud af n +, kan man enten udtage k + ud af de n første af de n + elementer, eller man kan udtage k elementer blandt de n første samt udtage det sidste ud af de n + elementer Dermed er + k + n k + n k + Bemærk at man når frem til lighedstegnet ved at tælle det samme på to forskellige måder; dette er et meget anvendeligt trick Pascals trekant Binomialkoefficenterne kan derfor opstilles i det man kalder Pascals trekant således at en binomialkoefficient hele tiden er summen af de to ovenfor: 0 0 0 0 3 3 3 3 0 3 3 3 3 6 0
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 3 Sætning Der gælder at + x n k0 x k k Når man ganger + x n ud, får man netop x k ved at gange x et fra k af parenteserne med -tallerne fra resten Dette kan man gøre på n k måder Binomialformlen Der gælder at n i0 i Her kan man også benytte tricket med at tælle det samme på to forskellige måder, da begge sider af lighedstegnet angiver antallet af delmængder af en mængde med n elementer Vi har tidligere set at der findes netop n delmængder af en mængde med n elementer Man kan også tælle delmængderne ved at summere antal delmængder med 0,, op til n elementer, og det er netop det der står på højresiden 5 Opgave Lad P k x + x + x + x k Vis at + x P k x n P n k k for alle reelle tal x og alle naturlige tal n BW998 Hint: Udnyt at xp k x x k 3 Fordeling af n elementer i m bokse Binomialkoefficienterne fortæller på hvor mange måder man kan udtage r elementer ud af n elementer Man kan også med binomialkoefficenter lave en formel for på hvor mange måder man kan fordele n ens objekter i m nummererede bokse Da objekterne er ens, er det lige meget hvilke der havner i hvilke bokse; det interessante er kun hvor mange der er i hver boks 3 Sætning Man kan fordele n ens objekter i m nummererede bokse på n+m m måder Nogle af boksene må gerne være tomme Sæt de n objekter op på en række At fordele dem i m nummererede bokse svarer til at sætte m skillevægge op i rækken, således at man putter objekterne før den første skillevæg i første boks osv Det svarer til at fordele n objekter og m skillevægge på en række med n + m pladser, hvilket kan gøres på n+m m måder
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 5 3 Eksempel I et supermarked vil du købe 0 slikposer og der er 5 forskellige slags at vælge imellem På hvor mange måder kan du vælge de 0 poser? Det svarer til at fordele 0 objekter i fem nummererede bokse der hver repræsenterer en bestemt slags slikpose, dvs ifølge sætningen er der 0+5 5 00 måder at vælge på 33 Opgave at antallet af måder at fordele n ens kugler i m forskellige bokse, n m, således at der mindst er en i hver boks, er n m 3 Opgave I et supermarked vil du købe 0 slikposer og der er 5 forskellige slags at vælge imellem, men supermarkedet har kun 6 poser tilbage af tre af slagsene samt 7 poser af de to sidste slags På hvor mange måder kan du vælge de 0 poser? 35 Opgave En skat på 50 guldstykker skal fordeles mellem 6 pirater De beslutter sig for at skrive alle kombinationer ned hvor ingen får mere end halvdelen af guldstykkerne og alle får mindst guldstykker, og derefter trække lod blandt disse kombinationer Hvor mange kombinationer er der? 36 Opgave I et ringspil er der 0 ringe i forskellige farver samt fem forskellige målpinde til at kaste efter Hvor mange forskellige slutkonfigurationer findes der med 7 ringe på målpindene og 3 ringe i græsset? Bemærk at hvis flere ringe er på samme målpind, kan de ligge i forskellig rækkefølge på pinden 37 Opgave Vis at k + m n + m m m k0 Flere kombinationer At vælge r elementer ud af n svarer til at splitte de n elementer op i to bunker: en med r elementer og en med n r elementer Nogle gange har man imidlertid brug for at fordele de n elementer i mange flere bunker Sætning Symbolet n r,r,,r m betegner antallet af måder hvorpå man kan dele en mængde med n elementer i m disjunkte delmængder A, A,, A m med henholdsvis r, r,, r m ele-
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 6 menter i hver delmængde, således at r + r + + r m n Der gælder at n r, r,, r m r!r! r m! Vi viser sætningen ved induktion efter m Hvis m, følger det af sætning 6 Antag at sætningen er sand for m, og vi ønsker at vise at sætningen er sand for m disjunkte delmængder med henholdsvis r, r,, r m elementer i hver Antal måder hvorpå man kan dele mængden i m disjunkte delmængder med r, r,, r m, r m + r m elementer i hver, er ifølge induktionsantagelsen n r, r,, r m, r m + r m r!r! r m!r m + r m! Desuden kan delmængden A m med r m +r m elementer deles i to disjunkte delmængder med henholdsvis r m og r m elementer på r m +r m r m,r m r m +r m! r m!r m! måder Ifølge multiplikationspricippet får vi nu n r m + r m! r, r,, r m r!r! r m!r m + r m! r m!r m! r!r! r m! Eksempel En klasse med elever skal deles i tre grupper med fire i hver På hvor mange måder kan dette gøres? Hvis grupperne betegnes A, B og C, kan de tolv elever ifølge sætningen fordeles i grupperne A, B og C med i hver på,, 3650 måder Men i spørgsmålet havde de tre grupper ingen betegnelse og var altså ikke ordnede, dvs vi har talt hver kombination med 3! 6 gange Der er dermed 3650 6 5775 måder at dele klassen på 3 Opgave En kube er sammensat af 3 3 3 små enhedskuber På hvor mange måder kan man komme fra det ene hjørne til det diagonalt modsatte hjørne, når man kun må gå langs kanterne af enhedskuberne og skal vælge en rute der er så kort så mulig? 5 Rekursion Rekursion går ud på at man udtrykker det n-te tal af fx en talrække ved hjælp af nogle af de foregående tal Fx er Fibonacci-talene,,, 3, 5, 8, 3, beskrevet rekursivt da det næste tal i rækken netop er summen af de to foregående 5 Eksempel Peter skal gå op ad en trappe med trin I hvert skridt går han enten et eller to trin op På hvor mange forskellige måder kan han gå op ad trappen? Dette problem kan løses ved rekursion Lad A k betegne antal kombinationer ved en trappe med k trin Det er nemt at indse at A og A Det sidste skridt kan enten bestå af et eller to trin Hvis trappen har n trin, må der være A n kombinationer der ender med et skridt på et trin, da der er A n forskellige måder at nå det næstsidste trin på Tilsvarende er der
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 7 A n kombinationer som afsluttes med et skridt på to trin Dermed er A n A n + A n ligesom for Fibonaccitallene, og man kan gå op ad en trappe på trin på 33 forskellige måder 5 Opgave Peter skal gå op ad en trappe med trin, men tager denne gang både skridt af et, to og tre trin På hvor mange forskellige måder kan Peter gå op ad trappen? 53 Opgave En interessant delmængde af mængden M n {,,, n}, hvor n er et ulige tal, er en delmængde som for hvert lige tal den indeholder, også indeholder de to ulige nabotal Hvor mange interessante delmængder findes der af M 3? 5 Opgave En tilladt delmængde af mængden M n {,,, n} er en delmængde som opfylder at hvis elementerne stilles op på række efter størrelse, da er to nabotal i rækken indbyrdes primiske Hvor mange tilladte delmængder findes der af M? 6 Sandsynligheder Kombinatorik bruges også ofte i sandsynlighedsregning Hvis man fx ønsker at beregne sandsynligheden for at få syv rigtige i lotto med 36 tal, er der kun en af de 837680 kombinationer af 7 forskellige tal som udtrækkes, dvs sandsynligheden for at få syv rigtige er 837680 6 Opgave da alle kombinationer er lige sandsynlige I en skål er der fem røde bolde, tre blå og to grønne Hvad er sandsynligheden for at der er en rød, blå og en grøn bold tilbage i skålen, hvis man fjerner syv tilfældige bolde? 6 Opgave I en papkasse ligger et stort antal løse sokker Nogle af sokkerne er røde; de øvrige er blå Det oplyses at det samlede antal sokker ikke overstiger 993 Endvidere oplyses det at sandsynligheden for at trække to sokker af samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen, er Hvad er efter de foreliggende oplysninger det største antal røde sokker der kan befinde sig i kassen? GM993 7 Nogle svære opgaver 7 Opgave Lad F n, r betegne gennemsnittet af mindste-elementerne i samtlige delmængder af {,,, n} med r elementer Vis at F n, r n + r + IMO 98
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 8 7 Opgave I en konkurrence er der a deltagere og b dommere, hvor b 3 er et ulige tal Hver dommer bedømmer om hver deltager har bestået eller er dumpet Antag et k er et tal således at der for to vilkårlige dommere gælder at deres bedømmelse højst stemmer overens for k deltagere Vis at k a b b IMO 98 Hint: Vurder hvor mange tripler af to forskellige dommere samt en deltager der er vurderet ens af de to dommere, der maksimalt og minimalt kan være 8 Løsningsskitser Opgave Kald delmængden som indeholder, for A, delmængden som indeholder, for B og den sidste for C Der er nu to muligheder for at placere tallet 3, da ingen mængde må indeholde to på hinanden følgende tal Da dette gælder for alle de resterende tal, er der altså 00 98 forskellige måder at fordele tallene på I en enkelt af disse kombinationer bliver mængden C dog tom, dvs resultatet er 98 Opgave 9 Man kan vælge de to pars talværdier på 3 78 måder og talværdierne for de sidste to kort på 55 måder Når talværdierne er bestemt, kan de to par hver vælges på 6 måder og de to andre kort på måder Der er altså i alt 78 55 6 700 måder Opgave Der må være lige mange ruter nord om som syd om det spærrede kryds, så derfor kan vi nøjes med at tælle dem nord om Vi betegner vejkrydsene a,b således at Jonatan står ved, og skal til 5,7, og det spærrede vejkryds betegnes 3, Hvis Jonatan skal nord om det spærrede kryds, skal han enten gennem 5, eller,3, men ikke gennem begge Jonatan kan komme til 5, på 5 5 måder da han samlet skal gå fire gange mod nord og en gang mod øst Han kan komme fra 5, til 5,7 på en måde, så samlet er der 5 ruter gennem 5, Hvis han i stedet vælger at gå via,3, er der 5 0 måder at komme fra, til,3 da han skal gå tre gange mod nord og to gange mod øst Desuden er der 5 ruter fra,3 til 5,7 Samlet er der altså 50 ruter via,3 Dette giver i alt 0 5 ruter for Jonatan at vælge imellem Opgave Antag at vi har en placering af byerne hvor der er mindst to øer med mere end en by Lad antallet af byer på de to øer være n og n med n n Hvis vi flytter en by fra ø til ø, nedlægger vi n forbindelser og opretter n, dvs der bliver færre forbindelser Dermed er der færrest muligt forbindelser, når der er øer med en by og en ø med 3 byer Dette giver 3 + forbindelser Opgave 5 Lad henholdsvis A og B betegne ventre- og højresiden af den formel vi ønsker at vise Da xp k x x k, er x A k x k k k0 x k n + x n k
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 9 Desuden er x B + x x + n P n n + x n n x n Dermed er A B for alle reelle tal x Da både A og B er polynomier, er de dermed også identiske for x Opgave 33 Først fordeles en kugle i hver boks, og derefter fordeles de resterende n m kugler frit i de m bokse Det kan gøres på n m+m m n m måder Opgave 3 Hvis der ikke var begrænsninger, så vi i eksemplet at der var 00 muligheder Fra dette trækker vi antal muligheder hvor vi vælger 7 eller flere af de tre slags der kun var 6 af, eller 8 eller flere af de to slags der kun var 7 af Vi kan vælge 7 eller flere af en bestemt slags ved først at vælge syv af slagsen og derefter vælge tre poser frit blandt alle fem slags Dette kan gøres på 3+5 5 7 35 måder Vi kan vælge 8 eller flere af en bestemt slags ved først at vælge 8 af slagsen og derefter vælge to poser frit blandt alle fem slags Dette kan gøres på +5 5 6 5 måder I alt er der altså 00 3 35 5 866 kombinationsmuligheder Opgave 35 Hvis alle skal have mindst guldstykker, er der 6 guldstykker tilbage til at fordele frit blandt de 6 pirater, og det kan gøres på 6+6 6 3 5 699 måder For at få det ønskede antal, skal vi for hver pirat trække de kombinationer fra hvor hun har fået mere end 5 guldstykker Hvis vi først giver fem pirater guldstykker hver og den sidste 6, er der 8 guldstykker tilbage til at fordele frit blandt de 6 pirater Det kan gøres på 8+6 6 3 5 87 måder Dermed er der samlet 699 6 87 689 kombinationer, så piraterne får travlt med at skrive kombinationsmuligheder ned Opgave 36 Hvis syv ens ringe skulle fordeles på fem pinde, kunne det gøres på 7+5 5 330 måder Da de 0 ringe har forskellig farve, skal vi for hver af de 330 kombinationer beslutte hvilken ring der skal i første position, anden position osv til og med syvende position Dvs der er 330 0! 3! 9958000 slutkonfigurationer Opgave 37 Når man skal vise at k + m n + m, m m k0 kan man benytte tricket med at tælle på to måder Tallet n+m m angiver på hvor mange måder man kan fordele n ens kugler i m + kasser Man kan også tælle dette på følgende måde: Når der er n k kugler i den første boks, kan man fordele de k resterende kugler i de m resterende bokse på k+m m måder Når man summerer dette, får man netop venstresiden af lighedstegnet Opgave 3 Man skal gå langs ni kanter i enhedskuberne, tre i hver af de tre retninger Dvs man kan vælge mellem 9 3,3,3 680 forskellige ruter
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 0 Opgave 5 På samme måde som i eksemplet indses at turen kan afsluttes med et skridt af henholdsvis et, to eller tre trin, og derfor bliver A n A n 3 + A n + A n Der er derfor 97 kombinationer Opgave 53 Lad A k betegne antallet af interessante delmængder af M k som ikke indeholder tallet k, og lad B k betegne antallet af interessante delmængder af M k som indeholder tallet k, hvor k er et ulige tal Da et lige tal kun må indgå i en interessant delmængde, hvis dets to ulige nabotal indgår, må A k A k + B k, mens B k A k + B k Det ses nemt at A og B Ud fra den rekursive formel kan man så udregne at A 3 +B 3 33+77 60 Bemærk at A, B, A 3, B 3, A 5, netop er Fibonacci-talene Opgave 5 Lad A k betegne antal tilladte delmængder som netop indeholder k som største tal Da er det søgte antal + 3 k A k Rekursionsformlen bliver denne gang A n + k,n A k, hvor vi netop summere over alle de k er der er indbyrdes primiske med n Ved lidt udregninger kan man ud fra denne rekursionsformel se at der er + 3 k A k + + + + 6 + + 6 + + 6 + 3 + 8 + 66 93 tilladte delmængder af M Opgave 6 Der er i alt 0 3 0 forskellige kombinationer af tre bolde Ud af disse er der netop 5 3 30 med en bold af hver farve ifølge multiplikationsprincippet Dermed er sandsynligheden 30 0 Opgave 6 Med n betegnes det samlede antal sokker, med r antallet af røde sokker Den opgivne betingelse vedrørende sandsynligheden er ensbetydende med at sandsynligheden for at trække to sokker af forskellig farve er, altså med at rn r n Ved udregning findes at denne relationen mellem n og r er ensbetydende med som videre giver r nr + n n 0, r n ± n Den størst mulige værdi for r er da åbenbart givet ved r n 0 ± n 0, hvor n 0 er det størst mulige kvadrattal mindre end eller lig med 993 Ved udregning ses at 993 5 Altså er n 0, og dermed fås r + 990
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Opgave 7 Der findes n k r delmængder hvor mindste elementet er k, dvs at F n, r k k n k r n r n r+ Nu benyttes tricket med at tælle det samme på to forskellige måder igen, denne gang til at finde et pænere udtryk for højresidens tæller Vi ser på antallet af måder man kan udtage delmængder med r + elementer af {,,, n+}, som er n+ r+ Disse mængder kan dog også tælles ved at tælle hvor mange der netop har k + som det næstmindste element, og det har netop k n k r delmængder, da det mindste element kan vælges på k måder, og de resterende r elementer kan vælges på n k r måder Dermed er r+ n + k r + k n k r Samlet giver dette F n, r k k n k r n r n r+ n+ r+ n r n + r + Opgave 7 Vi tæller antallet N af tripler dommer, dommer, deltager for hvilke de to dommere er forskellige og har givet deltageren samme bedømmelse Der er i alt bb par af dommere, og hvert par har højst bedømt k deltagere ens, så N k bb Nu ser vi på en bestemt deltager X og tæller hvor mange par af dommere der har bedømt X ens Hvis x dommere har ladet X bestå, er der xx par af dommere der har ladet X bestå, og b xb x par af dommere der har dumpet X Dermed er der i alt xx +b xb x par af dommere som bedømmer X ens Men xx + b xb x x bx + b b x b + b b b b b Men b er et helt tal da b er ulige, så antallet af par af dommere der bedømmer X ens, er mindst b Dermed er N ab Samlet giver dette at k a b b