Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012
Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem d (dybden målt i meter) og P (trykket målt i bar) Trykket i dybden 9 m P=0,087 9+1,113=1,896 Trykket i 9 meters dybde er 1,896 bar Hvor er trykket 2 bar? P=2 0,087 d +1,113=2 0,087 d +1,113 1,113=2 1,113 0,087 d =0,887 0,087 d 0,087 = 0,887 0,087 d =10,1954 Trykket er 2 bar i dybden 10,20 meter Konstanternes betydning Konstanten 0,087 fortæller, at trykket stiger med 0,087 bar for hver meter dybden vokser. Konstanten 1,113 fortæller, at når dybden er 0 m (dvs i overfladen af væsken) er trykket 1,113 bar. 2
Ib Michelsen Opgave 7 Grafen for den eksponentielle funktion f går gennem P(3,100) og har halveringskonstanten T 0,5 =47. Støttepunkter Der kan findes et støttepunkt mere: Q =(3+47 ; 100/2) = (50 ; 50) Beregning af parametre Vækstfaktoren a beregnes med formlen a= (x 2 x 1 ) y 2 y 1 De kendte tal indsættes: 50 a=0,9854 a= (50 3) 100 =47 1 2 1 Begyndelsesværdien b beregnes ned formlen b= y 1 a x 1 De kendte tal indsættes: b= 100 0,9854 3 b = 104,52 Forskriften for funktionen f De kendte tal indsættes: f (x)=104,52 0,9854 x 1 Hvad der ikke burde komme overraskende 3
Delprøven med hjælpemidler Opgave 8 Bestemmelse af parametre Da det er oplyst, at sammenhængen kan beskrives ved en potensfunktion: M =b x a, findes modellen ved hjælp af regression: 4
Ib Michelsen Tabellens x- og M-værdier benyttes som koordinater for en række punkter; samtidig dannes liste1 som en liste med disse koordinater (i GeoGebra.) Regressionslinjen findes med kommandoen fitpot. a=0,5000 b=31,62 Sammenhængen mellem væksten af de to variable Da der er tale om en potensfunktion, vil vækstfaktoren k for x medføre vækstfaktoren for M. k a En vækst på 50 % svarer til x-(vækst)faktor på 1,50 y-(vækst)faktoren = 1,50 0,5000 =1,2247 Dvs. at når x vokser med 50 % vokser M med 22,5 % 5
Delprøven med hjælpemidler Opgave 9 Givet funktionen f (x)=3x 3 24x 2 +48x Tegning af grafer Forskriften for f indtastes i GeoGebra En tilfældig stamfunktion g til f findes med kommandoen integrale; den ønskede stamfunktion F findes ved at løse ligningen: g (4)+k=60 64+k=60 k = 4 dvs.: F (x)= 3 4 x4 8x 3 +24x 2 4 6
Ib Michelsen Opgave 10 Resultaterne fra 2 klasser er oplyst hhv som rå data og som kvartilsæt suppleret med oplysninger om mindste- og størsteværdi. Boksplot Med de to varianter af kommandoen Boksplot kan oplysningerne indtastes og boksplot fås som vist herunder: Forskelle på klassernes resultater Det ses, at der er lidt større spredninger på resultaterne i Klasse A end i Klasse B, men at nvauerne er ret ens. I Klasse A har færre end 1/4 af eleverne fået mindre end 12, i den anden klasse er det flere end 1/4; måske op mod halvdelen. Sammenlignes klassernes midtergrupper (de 50 % mellem øvre og nedre kvartil) ses, at de i modsætning til klasserne generelt har mindst spredning i Klasse A. Dvs., at Klasse A har en meget homogen midtergruppe med medianen på et lidt højere niveau, men med store udsving i både top og bund sammenlignet med den anden klasse. 7
Delprøven med hjælpemidler Opgave 11 Givet ligningen: ax 2 +2x+c=0 Beregning af diskriminanten I formlen d =b 2 4 a c indsættes størrelserne fra den givne ligning: d =2 2 4 ac=4 4a c d = 0 Da der kun er én løsning, må d = 0. Konklusion Af ovenstående følger: 0=4 4 a c 0=1 a c 1=ac Dvs. at produktet af a og c er 1; størrelserne er omvendt proportionale. 8
Ib Michelsen Opgave 12 I Δ ABC er Bestem c og arealet Trekanten tegnes med GeoGebra, først linjestykket a som linje med given længde, derefter de to vinkler B og C (= 180 56-43 = 81 ), som vinkler med givne størrelser. Vinklernes ben skærer hinanden i A overfor a. Trekanten tegnes op, hvorved også arealet er bestemt. Trekantens areal = 18,2 Siden c har længden 8,0 9
Delprøven med hjælpemidler Medianen m a Midtnormalen til a tegnes; skæringspunktet med siden a kaldes M. m a tegnes som linjestykket AM. Længden af m a aflæses i GeoGebra. m a = 6,0 Alternativ besvarelse I Δ ABC er (Se skitsen på næste side) 10
Ib Michelsen Bestem c I en vilkårlig trekant gælder reglen om trekantens vinkelsum; heraf fås formlen: C = 180 A B C = 180 43 56 = 81 hvori er indsay de kendte tal. I en vilkårlig trekant gælder sinusrelationerne; heraf fås: c sin (C ) = a sin (A) a sin (C ) c= sin( A) De kendte tal indsættes: 6,7 sin (81) c= sin (56) c=7,98 Siden c har længden 8,0 11
Delprøven med hjælpemidler Bestem trekantens areal T I en vilkårlig trekant gælder arealformlen T =0,5 a c sin (B) De kendte størrelser indsættes: T =0,5 6,7 8,0 sin ( 43) T =18,24 T = 18,2 Bestem længden af medianen m a Da M er midtpunkt for siden a, fås længden af MB således: MB = 0,5 a Den kendte sidelængde indsættes: MB = 0,5 6,7=3,35 I en vilkårlig trekant gælder cosinusrelationerne; heraf m a 2 =m 2 +a 2 2 2 m a 2 cos( B) Heri indsættes de kendte størrelser: m a 2 =7,98 2 +3,35 2 2 7,98 3,35 cos(43) m a = (7,98 2 +3,35 2 2 7,98 3,35 cos(43)) m a =5,98 m a = 6,0 12
Ib Michelsen Opgave 13 Funktionen f er givet ved: f (x)= x 3 +4x 2 +3x 3 Tegning af grafer: f og f' Funktionens graf tegnes med GeoGebra. f' tegnes. Skæringspunkter mellem f' og førsteaksen findes (A og B). 13
Delprøven med hjælpemidler Fortegnsvariation og ekstrema x x < -1/3 x = -1/3-1/3 < x <3 x = 3 3 < x If ' - 0 + 0 - f lok. min. = f(1/3) I ]- ; - 1/3] aftager f I [- 1/3 ; 3] vokser f I ] 3 ; + ] aftager f Funktionen f har lokalt minimum = - 3,52 for x= -1/3 Funktionen f har lokalt maksimum = 15 for x = 3 3 løsninger lok. maks. = f(3) Ligningen f(x)=a har 3 løsninger, hvis og kun hvis a ligger mellem de to ekstrema. Det vil sige, at -3,52 < a < 15 14
Ib Michelsen Opgave 14a Givet andetgradspolynomiet f (x)= x 2 +9 Bestemmelse af ligninger for tangenter I Geogebra indtastes funktionens forskrift. Skæringspunkterne findes som skæringspunkter mellem graf og førsteakse (A og B). I disse punkter tegnes tangenter med tangentværktøjet. Som det også fremgår af tegningen er ligningerne for tangenterne: Tangent 1: Tangent 2: y=6x+18 y= 6x+18 15
Delprøven med hjælpemidler Arealet mellem tangenterne og grafen for f Det ses let, at tangenterne skærer hinanden i C = (0,18); derfor kan arealet beregnes som summen af arealerne fundet ved: integrale[6x+18,f,x[a],0] hhv. integrale[-6x+18,f,0,x[b]] Arealet = 9+9 = 18 16
Ib Michelsen Opgave 14b År 1998 2005 2010 År efter 1998 (x) 0 7 Fosforkoncentration (y) 230 64 I Kruså sø er der målt ovenstående fosforkoncentrationer (i µg pr. liter); man regner med at koncentrationen kan beskrives med en (aftagende) eksponentiel model. Model og prognose I GeoGebra benyttes antal år efter 1998 som uafhængig variabel og fosforkoncentrationen som den afhængige variabel. Støttepunkterne (0,230) og (7,64) indtastes. Med kommandoen fitexp findes modellen: Blå graf. Da 2010 er 12 år efter 1998, findes f(12) = 25,7 Ifølge modellen ventes fosforkoncentrationen i 2010 at være faldet til 25,7 µg pr. liter. (Se herunder) 17
Delprøven med hjælpemidler Prognose med lineær model Tilsvarende kan man med kommandoen fitlinje finde en lineær model: den røde graf. Prognosen for 2010 findes som y-værdien i skæringspunktet D (mellem den lineære sammenhæng og linjen x=12). Som det ses vil værdien i 2010 for denne model være ca. -55 µg pr. liter. Kommentar Det giver ikke mening med koncentrationer under 0 µg pr. liter. 18