Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007
Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres oftest ved hjælp af en fjeder med et lod. Det er da også dette system, vi vil se på her: En simpel spiralfjeder med et lod i enden. Fjederen er ophængt i en anden noget stivere, fjeder, som ikke deltager meget i bevægelsen, men nok til at man ved hjælp af strain-gauges kan måle loddets bevægelse. Spændingen i strain-gaugen måles over en målebro vha. programmet Labview. Bevægelsen af den harmoniske oscillator målet fritsvingende, med hastighedsproportronal dæmpning og dæmpet med konstant friktion. 1
Teori Newtons 1. lov I et isoleret system, hvor ingen kræfter udefra påvirker nogen objekter i systemet, gælder det at den resulterende kraft er lig 0: F res = 0 Anden teori Al anden anvendt teori kan findes i øvelsesvejledningen. 2
Udførelse af øvelsen Vi udførte tre forsøg med henholdsvis ingen dæmpning, hastighedsproportional dæmpning og konstant dæmpning. Med data fra disse tre forsøg, som opfangedes vha. programmet Labview, udførte vi så en række plots, og bestemte, dels vha. programmet Gnuplot, nogle passende funktioner til de forskellige former for svingninger. Mere præcist foregik forsøget ved at vi ophængte en fjeder, i en såkaldt strain-gauge, som er i stand til at måle selv de mindste bevægelser af fjederen. I fjederens ende påsatte vi et så et lod, med kendt masse. Det første forsøg - forsøget uden dæmpning - foregik så ved at vi trak ned i loddet en hvis længde, og efterfølgende gav slip, så strain-gaugen kunne begynde at opfange nogle svingningerne. Straingaugen overførte så videre resultaterne til programmet Labview, og vi kunne så derfra begynde at analysere dataen. Det andet forsøg foregik på samme måde som det første, bortset fra at vi jo skulle have hastighedsproportional dæmpning. Denne opnåedes ved at at fastklemme en papskive til loddet, også igen lade loddet svinge frit, ved at hive ned i det i en hvis længde. Den hastighedsproportionale dæmpning opnåedes på grund af vindmodstanden, som jo er lig bv for små hastigheder Det sidste forsøg - med konstant friktion - foregik igen på stort set samme måde som ved forsøg 1, bortset fra at vi her lod loddet gnidde op og ned, ad en næsten lodret metalplade. På denne måde havde loddet en næsten uændret friktion, under hele forsøget. Desuden udførte vi også nogle statiske målinger - dvs. vejning af masserne brugt i forsøget, og et lille forsøg hvor vi målte forskellen i fjederens udstrækning, med og uden lod (for at finde fjederkonstanten). 3
Resultater Data m lod : m papskive : 46 g 5 g Højde over bord, frit hængende fjeder: Højde over bord, med lod, forsøg 1: Højde over bord, start på forsøg 1: Højde over bord, med lod og pap, forsøg 2: Højde over bord, start på forsøg 2: Højde over bord, med lod og sliske, forsøg 3: Højde over bord, start på forsøg 3: 23.7 cm 12.6 cm 10.0 cm ca. 11.5 cm ca. 8.9 cm 12.8 cm 10.2 cm Dataen vi fik fra forsøgene har en tidsenhed lig med 1 = 50 ms, og mange resultater/værdier er altså opgivet i denne tidsenhed. Dannelse af funktioner Forsøg 1: Udæmpet harmonisk oscillator Da vi har fra teorien, at svingningen er givet ved: x = x 0 cos(ω 0 t + φ) Samt at plottet over dataen fra forsøget, ikke har centrum af bevægelsen i x = 0, må funktionen være af formen: x = a cos(bt + c) + d For at finde disse konstanter anvendte vi Gnuplot s "fit"-funktion, som dog imidlertid skal have nogle "gæt" på de forskellige værdier, for at få nogle fornuftige værdier. Da x 0 (a) er amplituden, og d blot er længden mellem centrum af svingningen og x = 0, og ω 0 (b) er givet ved ω 0 = 2π T 0, kunne vi nemt finde nogen hæderlige værdier til konstanterne, ved at studere plottet over dataen. φ (c) blev sat til en arbitrer konstant forskellig fra 0 (da Gnuplot ikke kan lide 0 er under "fittings"). Vi satte altså værdierne til: b= 2π 12 a=1 = 0.5 c=5 d=2 Da der selvfølgelig stadig var dæmpning i dette forsøg (i form af vindmodstand og friktion), valgte vi kun at fitte henover data for 100 enheders tid (100 50 ms = 5 s). Resultaterne af fittene, og plottet kan ses i bilaget. 4
Forsøg 2: Harmonisk oscillator med hastighedsproportinal dæmpning Fra teorien for denne form for svingning, har vi at løsningen er givet ved: x = x 0 e γt 2 cos(ωd t + φ) Samt at plottet igen ikke ligger ved centrum af svingningerne, får vi funktionen for denne bevægelse til: x = ae et cos(bt + c) + d (Læg mærke til at der står "eksponentiel funktionen opløftet i konstanten e gange t" - dette er selvfølgelig ret upraktisk, men var ikke noget vi tænkte på under databehandlingen). Vi fandt konstanternes værdi på samme måde som ved forsøg 1, altså forsøgte vi at gætte nogle værdier for konstanterne. Dette var dog end tand sværere end ved det første forsøg, da amplituden jo ændrer sig (gør at både x 0 (a) er lidt sværere at finde, og at γ 2 (e) skal findes), og at ω ikke længere er givet ved den simple relation fra forsøg 1. Desuden kan vi heller ikke rigtig komme med et ordentligt bud på φ (c). Vi valgte derfor at anvende nogle af konstanterne fra forsøg 1, også håbe på at Gnuplot kunne klare resten. Vi forsøgte os altså med tallene: a=0.5 b= 0.5 c=10 d=2 e=0.001 Og fittede denne gang over 200 enheders tid (200 50 ms = 10 s) - for at opnå et ordentlig billede af den eksponentielt dæmpede svingning. Resultaterne kan igen ses i bilaget. Forsøg 3: Harmonisk oscillator med konstant friktion Da svingningerne ved dette forsøg dæmpedes kraftigt, valgte vi kun at undesøge dataen for de første 90 tidsenheder (90 50 ms = 4.5 s). Teorien for denne form for svingning er ret omfattende, og vi nåede derfor ikke at udføre en egentlig funktion for bevægelsen. Det vi istedet gjorde var først at ignore dæmpningen fuldstændig, og altså få Gnuplot til at lave et fit som i forsøg 1. Vi gjorde derfor som ved forsøg 2, og brugte de fundne værdier fra forsøg 1, til at udføre fittet. Vi anvendte altså tallene: a=1 b= 0.5 c=10 d=2 Da dette ikke er et specielt interresant resultat, valgte vi også at undersøge om dæmpningen virkelig var linær. Dette gjorde vi ved at finde funktions forskrifterne for de linjer, som kan laves mellem hver henholdsvis top og bund, af plottet. For at gøre dette fandt vi koordinaterne til samtlige bundog toppunkter, indtastede dem i et tekstdokument, og lod så Gnuplot fitte dem (vi gættede ikke på nogen værdier i dette tilfælde, da vi gik ud fra at Gnuplot ikke havde problemer med at finde en parametrene en linje). Løsningerne til funktionerne og plottet, kan igen ses i bilaget. Udregninger Fjederkonstanten Vi starter med at finde fjederkonstanten, k, som skal anvendes i en del formler. Da vi kun anvender én fjeder under hele forsøget, skal k blot findes for denne. Vi finder konstanten vha. Newtons 1. lov, samt Hookes lov. Da der ikke er nogen kræfter der påvirker systemet udefra, er der kun 5
fjederkraften og tyngdekraften der virker. Newtons lov opstilles for y-retning (den eneste akse hvor der er kraftpåvirkning), og k isoleres: F y,res = mg kx = 0 Vinkelfrekvens mg = kx k = mg x k = 0.046 kg 9.82 m s 2 0.237 m 0.1 m = 3.30 I dette afsnit udregner vi de teoretiske værdier af vinkelfrekvensen og svingningstiden, for de forskellige forsøg. Vinkelfrekvensen og svingningstiden udregnes ud fra formlerne, givet i teorien i øvelsesvejledningnen. Forsøg 1: Udæmpet harmonisk oscillator Vinkelfrekvensen er for denne type svingning givet ved: k ω 0 = m 3.30 ω 0 = = 8.47 s 1 0.046 kg Svingningstiden er videre givet ved: T 0 = 2π ω 0 2π T 0 = = 0.742 s 8.47 s 1 Forsøg 2: Harmonisk oscillator med hastighedsproportinal dæmpning I denne situation er vinkelfrekvensen givet ved et, en del mere advanceret udtryk, nemlig: ( ) 2 γ ω d = ω 0 1 2ω 0 Hvor ω 0 er givet som ovenfor, og γ er en friktionskonstant, og er givet ved γ = b m. b er her igen en friktionskonstant, som jo er indeholdt i formlen for (langsom) bevægelse med friktion: F d = bv Da vi ikke umiddelbart kan finde hastigheden i denne formel, må vi også opgive at finde konstanten, b. Da vi altså ikke kan komme på noget bud på hvad vinkelfrekvensen er for bevægelsen med hastighedsproportional dæmpning, må vi anvende det næstbedste: Værdierne for bevægelse uden dæmpning: ω 0 = 8.47 s 1 T 0 = 0.742 s 6
Forsøg 3: Harmonisk oscillator med konstant friktion Ved konstant friktion er vinkelfrekvensen igen givet: k ω 0 = m Derfor er værdierne altså lig de fundne i de to andre forsøg: ω 0 = 8.47 s 1 T 0 = 0.742 s 7
Diskussion Som det nok fremgår af rapporten, havde vi lidt problemer med bla. Gnuplot under løsningen, hvilket er grunden til vi ikke har en ordentlig løsning, for dæmpningen som funktion af tiden, i det tredje forsøg. Det skal desuden noteres at vi ikke har anvendt de fleste målinger, som står i data-afsnittet. Vi valgte dog at lade dem blive. Vinkelfrekvensen ω 0 for det første forsøg er givet ved konstanten, som Gnuplot fandt ved det tilsvarende fit: b = 0.468, ±6.00 10 5, (0.0128%). Dette tal er dog blot en konstant til funktionen, som er bygget op ved grafer, hvor x-aksen er i enheder af 50 ms. For at få den egentlige Vinkelfrekvens ganges altså med 20 (for at få enhederne i sekunder), og vi får: b = ω 0 = 9.36 s 1, ±1.20 10 3, (0.0128%). Sammenlignes dette med den teoretiske værdi på ω 0 = 8.47 s 1, (fejlprocent: 10,5%) kan vi se at der er nogle større fejlkilder i forsøget. For det andet forsøg har vi den praktiske vinkelfrekvens på: b = ω d = 8.73 s 1, ±0.00210, (0.02373%) (allerede omregnet til rigtig enhed), som vi fik fra fittet i Gnuplot. Sammenlignes dette med den teoretiske ω 0 = 8.47 s 1, ser det umiddelbart ud som om dette forsøg er gået nogenlunde godt. Problemet er blot at ω d og ω 0 er to forskellige tal, og at ω d er en funktion af ω 0, hvoraf ω d altid ( ) 2 er højere end ω 0, da kvadratrodden i funktion ω d = ω 0 1 γ 2ω 0 ikke kan være negativ. Vi har altså igen et lidt spøjst resultat. I det tredje forsøg har vi ikke nogen funktion for bevægelsen, og altså ikke nogen vinkelfrekvens. Vi kan dog aflæse svingningstiden på plottet, og derved komme med et estimat på den praktiske vinkelfrekvens. Ved at se aflæse grafen, ses det at svingningstiden ca. er 14 tidsenheder, dvs. T 0 = 14 50 = 0.7 s. Dvs. ω 0 = 2π T 0 = 2π 0.7s = 8.96 s 1. Sammenlignet med den teoretiske værdi (ω 0 = 8.47 s 1 ) (fejlprocent: 5,79%) er dette en af vores "bedre" resultater, dog virker det til at der er noget galt her, da vi i forsøget uden dæmpning fik en så høj fejlprocent. Hvis man ser på graferne til funktionerne af de forskellige fosøg, plottet sammen med dataen, ses det at der i, i hvert fald ved forsøg 1, er rimelig god overensstemmelse. Ved forsøg 2 ser det mest af alt ud som om der er noget ujævnhed i dataen, da mange punkter stikker over eller under grafen. Til forsøg 3 ses det at selve grafen har en rimelig passende svingningstid, samt at linjerne, som illustrere linærheden i systemet, er relativ gode. Det ses dog at de kun holder rigtigt i de første ca. 3 sekunder. Grunden til at vi fik disse relativt høje fejlprocenter, kan betyde flere ting. Fx. kan det nævnes at vi ikke tog højde for fjederens vægt i udregningen af fjederkonstanten, hvilket kan have givet en betydelig forskel i den teoretiske værdi for ω 0. Af andre grunde, kan selvfølgelig nævnes friktionen i fjederen, vindmodstand i det første forsøg og en for skrå sliske ved forsøg tre (som kan have "skubbet" til loddet så meget, at målingerne var for upræcise). Desuden kan det have været at de teoretiske modeller af bevægelserne ikke har været præcise nok, så at vi i gnuplot ikke kunne få præcise resultater. Alt i alt skal det dog siges at vi har fået nogle relative hæderlige resultater, i forhold til det er vores første labøvelse på fys 2, og vi har i al fald, lært at benytte både Labview og Gnuplot, samt er blevet bedre til at analysere grafer og plots, og finde fysiske beskrivelser til disse. 8
Bilag Data i tekst-dokumenter, samt grafer og plots er ikke indskrevet i rapporten, men findes istedet i fri form ved siden af. Af forskellige bilag findes derved: plot af forsøg 1 - graf1.jpg plot af forsøg 2 - graf2.jpg plot af forsøg 3 - graf3.jpg parametre til funktionerne for de tre forsøg - parametre.txt 9