Del III Appendiks 161

Del III Appendiks 161

A. Vinddata APPENDIKS A ttt Vinddata ttt Tabel A.1 og A.2 viser vinddata fra henholdsvis Keldsnor og Gedser fyr. Vinddata angives, som den procentdel af tiden det blæser med en given hastighed fra en given retning, i forhold til den samlede tid det blæser. Derudover angives det, hvor stor sandsynligheden for at det blæser fra en given retning er. Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 1,4 1,8 1,2 0,6 0,3 0,2 0,1 0 0 0 5,5 0,06 NØ 1,2 1,8 1,8 0,9 0,6 0,4 0,2 0 0 0 6,9 0,07 Ø 1,2 2 2,5 1,9 1,3 0,8 0,5 0,2 0 0 10,5 0,11 SØ 1,4 2,6 3,5 2,5 1,8 1,3 0,7 0,3 0 0 14,2 0,15 S 1,3 2 2,3 1,3 0,7 0,5 0,2 0,1 0 0 8,3 0,09 SV 1,5 2,5 3,7 2,6 1,7 1,1 0,5 0,2 0 0 13,8 0,14 V 2,1 2,9 4,5 4,2 3,5 2,2 1 0,3 0 0 20,7 0,22 NV 2,4 3 3,4 2,9 2,2 1,4 0,7 0,2 0 0 16,2 0,17 12,4 18,7 22,9 16,8 12,1 7,9 3,8 1,3 0,1 0,1 96,1 1 Tabel A.1 Vinddata fra Keldsnor fyr [Frydendahl 1971]. P Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 1,9 2,1 1,6 0,7 0,3 0,1 0,1 0 0 0 6,7 0,07 NØ 1 1,4 1,7 1,3 0,8 0,5 0,2 0,1 0 0 6,9 0,07 Ø 1,4 2,5 3,6 2,9 1,8 1,1 0,5 0,2 0 0 14 0,14 SØ 1,6 2,8 3,6 2,4 1,3 0,7 0,3 0,1 0 0 13 0,13 S 1,3 1,9 2,4 1,8 0,9 0,5 0,2 0 0 0 9 0,09 SV 1,2 1,9 3,2 3,2 2,2 1,5 0,8 0,3 0,1 0 14,3 0,15 V 1,3 2 3,4 3,6 3 2,3 1,3 0,5 0,2 0 17,4 0,18 NV 1,8 2,8 3,8 3,1 2,1 1,4 0,8 0,3 0,1 0 16 0,16 11,3 17,4 23,2 18,9 12,4 8 4,2 1,5 0,4 0,1 97,3 1 Tabel A.2 Vinddata fra Gedser fyr [Frydendahl 1971]. P 163

B. Kilde/dræn metoden APPENDIKS B ttt Kilde/dræn metoden ttt En forudsætning for kilde/dræn metoden er lineære 1. ordens bølger samt potentialstrømning. Dette kræver, at Laplaces ligning er opfyldt, idet der regnes med usammentrykkeligt vand og rotationsfri strømning [Brorsen 2000, s. 1]: 2 ϕ = 0 (B.1) Hvor ϕ er hastighedspotentialet. 2 er ( 2, 2, 2 ). x 2 y 2 z 2 Hastighedspotentialet, ϕ, kan findes ved superposition, da der regnes med lineære 1. ordens bølger bestående af indkomne bølger, ϕ w, samt spredte bølger, ϕ s. De spredte bølger stammer fra reflekterede og diffrakterede indkomne bølger, og set langt fra bropillen spreder disse sig som en ring med samme periode som de indkomne bølger. ϕ = ϕ w + ϕ s (B.2) En definitionsskitse fremgår af figur B.1 Figur B.1 Definitionsskitse for kilde/dræn beregning. 165

B. Kilde/dræn metoden Indsættes ligning (B.2) i (B.1), findes ved anvendelse af 2 ϕ w = 0 bevis for, at Laplaces ligning er den styrende differentialligning for spredningens hastighedspotentiale: 2 ϕ s = 0 (B.3) Randbetingelser Randbetingelserne findes for hhv. det samlede hastighedspotentiale og for spredningen alene. For det samlede hastighedspotentiale kendes randbetingelserne fra 1. ordens bølgeteori: Fri overflade En partikel i overfladen forbliver i overfladen. Denne kinematiske randbetingelse giver sammen med den dynamiske randbetingelse, p = 0 i Bernoullis ligning, følgende: 2 ϕ t + g ϕ 2 z = 0 for z = 0 (B.4) Impermeabel overflade Det antages, at for hhv. havbunden, z = h, og oversiden af bropillen, S L, er følgende gældende, idet bropillen fastholdes. v n = ϕ n = 0 (B.5) Ranbetingelse for spredte bølger Foruden randbetingelserne gældende for de uforstyrrede indkomne bølger, er det nødvendigt for de spredte bølger at beskrive den impermeable lodrette overflade, S U, på bropillen. Denne randbetingelse findes ved anvendelse af energiudbredelsen for ϕ s, under antagelse af at energifluxen er konstant. Som tidligere nævnt resulterer spredningen i ringbølger langt fra bropillen med en hastighed svarende til energiudbredelseshastigheden, c g. I et lodret snit kan energifluxen, E f, findes ved produktet af energiudbredelseshastigheden og den gennemsnitlige energi pr. m 2 overfladeareal, E. Gennem en cylinderoverflade med radius r, se figur B.1, findes den totale energi af følgende, hvor der tilnærmet benyttes energitætheden for en 2-dimensional bølge [Brorsen 2000, s. 4]: E total f = E f 2πr = E c g 2πr = 1 8 ρgh(r)2 c g 2πr (B.6) Hvor E er 1 8 ρgh(r)2 for en 2-dimensional bølge. H(r) er den lokale bølgehøjde [m]. Ved antagelsen om energibevarelse, Ef total =konstant, kan energifluxen ikke afhænge af radius, hvorfor variationen af bølgehøjden må være følgende: 166

B. Kilde/dræn metoden H(r) 1 r Herved kan potentialet for den udadgående bølge findes tilnærmet ved: ϕ s = K r sin(r ct) (B.7) Hvor K er en konstant [-]. c er bølgernes udbredelseshastighed [m/sek]. Ud fra ligning (B.7) findes: ϕ s r = K 1 r ( 1 sin(r ct) + cos(r ct)) 2r ϕ s 1 = K cos(r ct)( c) t r Endvidere findes for r ϕ s r ϕ s t = 1 2r sin(r ct) + cos(r ct) cos(r ct)( c) 1 c En omskrivning af ovenstående ligninger giver Sommerfeldts udstrålingsbetingelse. ϕ s r + 1 ϕ s c t = 0 for r Ofte kan følgende formel for langkammede lineære bølger anvendes med tilstrækkelig nøjagtighed: c = g ω tanh(kh) Ligesom de indkomne bølger opfylder de spredte bølger overfladebetingelsen for z = 0, beskrevet med ligning (B.4). 2 ϕ w + g ϕ w t 2 z = 0 2 ϕ s t + g ϕ s 2 z = 0 Tilsvarende ligning (B.5) findes ved havbunden for z = h. ϕ s n = 0 (B.8) Ligeledes findes RB på S L for den fastholdte bropille [Brorsen 2000]. ϕ s n = ϕ w n 167

B. Kilde/dræn metoden Numerisk beregning af bølgefelt Den styrende differentialligning for det spredte bølgefelt er Laplaces ligning givet ved ligning (B.1) med tilhørende ovennævnte randbetingelser. På grund af disse randbetingelser er løsningen af Laplaces ligning ofte meget kompleks, og en analytisk løsning af ϕ s er kun sjældent mulig. Derfor anvendes almindeligvis komplekse tal eller numeriske metoder, af hvilken sidstnævnte efterfølgende gennemgåes. Til løsning af den numeriske model anvender ShipSim et antal pulserende, punktformede kilder med styrken 1, som tilsammen beskriver modellen. Ved placering af en kilde i punktet ξ kan potentialet herfra findes i punktet x ved følgende udtryk [Brorsen 2000, s. 6]. ϕ E ( x, ξ, t) = A E ( x, ξ) cos(δ ωt) Hvor A E ( x, ξ) er enhedskildestyrken på 1. δ er en vilkårlig faseforskydning. Wehausen og Laitone har bevist, at enhedskildestyrken kan konstrueres således, at både Laplaces ligning og samtlige RB kan opfyldes. Da der regnes med lineære 1. ordens bølger og potentialstrømning, opfyldes alle RB, på nær randbetingelsen på randen af bropillen, og ved superposition af samtlige kilder findes løsningen til det spredte potentiale, der opfylder denne sidste RB på bropillen. I punktet x kan det spredte potentiale beskrives ved følgende udtryk, idet superposition benyttes: ϕ s ( x, t) = N f j A E ( x, ξ j ) cos(δ j ωt) j=1 (B.9) Hvor ξj er kildens position. f j er kildestyrken. er faseforskydningen af kildens potentiale. δ j Ved differentiation af ligning (B.9) med hensyn til normalen findes følgende: ϕ s ( x, t) n = N j=1 f j A E ( x, ξ j ) n cos(δ j ωt) (B.10) I ligning (B.10) indsættes følgende: cos(δ j ωt) = cos(δ j ) cos(ωt) + sin(δ j ) sin(ωt) = b j sin(ωt) + a j cos(ωt) Hvor a j = cos(δ j ) b j = sin(δ j ) Hvoraf følgende vides: 168

B. Kilde/dræn metoden a 2 j + b 2 j = 1 tan(δ j ) = b j a j Herefter kan randbetingelsen for bropillens overflade, formel (B.8), i punktet x beskrives ved følgende: N j=1 (b j sin(ωt) + a j cos(ωt) A E( x, ξ j ) n = ϕ w( x, t) n (B.11) Hvor a j = f j a j b j = f j b j Ved opfyldelse af formel (B.11) i N antal punkter til to tidspunkter, haves 2N antal lineære ligninger til at bestemme de ubekendte a j og b j. Efter bestemmelse af disse kan faseforskydningen, δ j, for de enkelte kilder findes ved følgende: δ j = arctan( b j a j ) = arctan( f jb j f j a j ) (B.12) Herunder benyttes: (a j )2 + (b j )2 = 1 f 2 j Hvorved kildestyrken for hver kilde kan bestemmes: f j = (a j )2 + (b j )2 Det spredte potentiale kan nu bestemmes ved indsættelse af ligning (B.12) i (B.9). 169

C. Modelforsøg APPENDIKS C ttt Modelforsøg ttt Formålet med modelforsøget er, at bestemme om der er en lineær sammenhæng mellem kraften, som konstruktionen påvirkes af, og bølgehøjden. Denne lineære sammenhæng er nødvendig, for at kunne benytte transferfunktionen til at beregne et kraftspektrum ud fra et bølgespektrum. Modelforsøget udføres også for at verificere gyldigheden af de anvendte analytiske og numeriske beregningsmetoder. Herunder ønskes det bestemt, om forudsætningen for Morisons formel, hvor det skal gælde, at konstruktionen skal være lille i forhold til bølgelængden, er opfyldt. Det ønskes også bestemt, om de brydende bølger på konstruktionen har betydning, idet der ikke er taget højde for dette ved beregning med Shipsim. I laboratoriet anvendes en model af bropillen, således at bølgekræfterne kan bestemmes eksperimentielt. Modellen udføres på baggrund af en dimensionsundersøgelse, hvorved skaleringsforholdene bestemmes. Resultaterne fra modelforsøget kan således skaleres op til de virkelige størrelser. Til undersøgelse af den lineære sammenhæng mellem kraft og bølgehøjde, belastes modellen med serier af lineære bølger. Når den lineære sammenhæng er verificeret, belastes modellen med serier af uregelmæssige bølger, hvor de opsamlede data anvendes til bestemmelse af transferfunktionen. Inden modellen kan tages i brug skal der udføres en række forudgående arbejder med kalibrering af kraftmålere, samt foretages egensvingningsforsøg med modellen. Egensvingningsforsøget udføres for at vurdere risikoen for dynamisk forstærkning af responset fra modellen. C.1 Dimensionsanalyse For at kunne benytte resultaterne fra et modelforsøg, er det nødvendigt, at kunne skalere resultaterne til virkelige størrelser. Der er tre grundlæggende krav, der skal være opfyldt mellem modellen og den virkelige konstruktion, før en skalering af resultaterne er mulig: 171

C. Modelforsøg Geometrisk ligedannethed Kinematisk ligedannethed Dynamisk ligedannethed Geometrisk ligedannethed sikres ved, at skalere modellen med længdeskalaen λ L. Dette bevirker at areal og volumenskalaen kan udtrykkes ved længdeskalaen, på følgende måde [Brorsen & Larsen 2002]: λ A = λ 2 L og λ V ol = λ 3 L. Kinematisk ligedannethed er opfyldt, hvis alle ensbeliggende partiklers hastighed i naturen og modellen, er parallelle og skaleret med samme faktor, λ V, hastighedsskalaen. Dynamisk ligedannethed kræver, at alle ensbeliggende kræfter er parallelle og skaleret ens, λ K, kraftskalaen. Da det i praksis er svært at etablere dynamisk ligedannethed, idet forskellige krafttyper ikke skaleres ens, benyttes Froudes modellov, hvor der opnås tilnærmet dynamisk ligedannethed. Dette gøres ved, at antage, at tyngdekraften er meget dominerende i forhold til de viskose forskydningskræfter, hvorfor det kræves, at kraftskalaen for tyngdekraften og den resulterende kraft er den samme [Brorsen & Larsen 2002, s. 70-80]. (λ K ) R = (λ K ) G λ ρ λ 2 L λ2 V = λ ρ λ 3 L λ g λ V = λ 1/2 L λ1/2 g (C.1) Skaleringsfaktoren, λ, er defineret som forholdet mellem naturen, N, og modellen, M. λ = Naturen (N) Modellen (M) Indføres nu udtrykkene for de respektive skalaer, kan formel (C.1) skrives som følgende: V N gn L N = V M gm L M (C.2) Froudes tal, Fr, er defineret som følgende, hvor det af formel (C.2) ses, at Froudes tal i naturen skal være lig Froudes tal i modellen. Fr = V g L Fr N = Fr M Da tyngdekraften i modellen er den samme som i naturen, bestemmes skalaen for tyngdekraften til λ g = 1, herefter er det muligt, at bestemme skaleringsforholdene for hastighed, λ V, tid, λ t, og kraft, λ K. 172

C. Modelforsøg λ V = λ 1/2 L λ t = λ 1/2 L λ K = λ ρ λ 3 L ( ) = λ L = λ L λ V λ 1/2 L ( ) = λ ρ λ 2 V λ2 L = λ ρ (λ 1/2 L )2 λ 2 L (C.3) C.1.1 Skalering Til at bestemme længdeskalaen, λ L, benyttes højden af ellipsen. På figur 3.3 side 11 ses bropillen, og figur C.2 viser modellen af bropillen, hvor højden af ellipsen fremgår. λ L = L N 25, 50 = = 68, 92 (C.4) L M 0, 37 Herved kan de øvrige skaleringsfaktorer bestemmes: λ t = 68, 92 1/2 = 8, 30 λ K = λ ρ 68, 92 3 = λ ρ 327352 Da konstruktionen i naturen står i saltvand, ρ 1020 kg/m 3, og modellen i ferskvand, ρ = 1000 kg/m 3, beregnes λ ρ til 1, 02, skaleringsfaktorerne er således bestemt og angivet i tabel C.1. λ L λ t λ K λ ρ 68,92 8,30 333899 1,02 Tabel C.1 Skaleringsfaktorer. I kapitel 7 er der bestemt en bølgehøjde, H m0, og en peakperiode, T p. Disse skal skaleres til modelforsøget. I tabel 7.10 er de beregnede størrelser angivet, hvor disse omregnes ved hjælp af skaleringsfaktorerne angivet i tabel C.1. I tabel C.2 er størrelserne omregnet til modellen. Bølgehøjde Periodetid H m0 [mm] T min [s] T max [s] Naturen 6590 9,35 13,72 Modellen 95,6 1,13 1,65 Tabel C.2 Bølgehøjde og periode i naturen og modelforsøg. 173

C. Modelforsøg C.2 Forsøgsopstilling Forsøgsopstillingen til bestemmelse af den lineære sammenhæng mellem kraft og bølgehøjde samt transferfunktionen, består af fire dele. Først haves en bølgegenerator, herefter placeres en bølgemåler, herefter modellen med kraftmåler, og endeligt en skråning til absorbtion af bølgerne. På figur C.1 er forsøgsopstillingen skitseret. Figur C.1 Skitse af forsøgsopstilling, ubenævnte mål i m. Modellen af bropillen er skaleret i forholdet 1:68,92 i henhold til afsnit C.1. Dette giver modellen dimensionerne vist på figur C.2. Figur C.2 Model af bropillen, mål i mm. På modellen er der monteret en kraftmåler, der er udformet som et kødben, hvor der i indsnævringerne er monteret straingages. Ud fra tøjningerne i disse gages, kan kraften på modellen bestemmes. På figur C.3 ses kraftmåleren. Figur C.3 Kraft-måler, mål i mm. På figur C.4 og C.5 ses den samlede forsøgsopstilling med og uden bølger. 174

C. Modelforsøg Figur C.4 Forsøgsopstilling uden bølger. Figur C.5 Forsøgsopstilling med bølger. Elevationsmåleren udgøres af tre følere, der måler vandstandsvariationerne. De tre følere er placeret med en indbyrdes afstand på henholdsvis 10 og 20 cm. Bølgeelevationerne måles på tre kanaler, så der kan foretages en kontrol af graden af reflektion i bølgerenden. C.3 Kalibrering af bølgekraftmåler Kraftmåleren kalibreres således, at output i volt kan omsættes til momenter. Denne kalibrering udføres ved at påføre kraftmåleren et moment ved hjælp af en kendt kraft i en kendt afstand. Bølgekræfterne på bropillen bestemmes i laboratoriet, ved at belaste modellen i et bølgebassin. Det ønskes, at kende både den resulterende bølgekraft samt angrebspunkt. Til bestemmelse af kraft og angrebspunkt, anvendes en kraftmåler der måler 2 forskellige volt/tøjninger, der kan omsættes til momenter, og senere til kraft og angrebspunkt. På figur C.6 ses en skitse af den anvendte kraftmåler. Straingaugene er påsat kraftmåleren ved de to indsnævringer. Kraftmåleren fås i forskellige modeller, hvor der varieres på godstykkelsen mellem straingaugene. Herved opnås en stivere/slappere konstruktion med en anden egensvingnings frekvens. Den valgte kraftmåler ses på figur C.6. 175

C. Modelforsøg Figur C.6 Moment/kraft-måler, mål i mm. Outputtet fra kraftmåleren, to momenter, omsættes til angrebspunkt og kraft som beskrevet i det følgende. På figur C.7 illustreres kalibreringen fra voltoutput til angrebspunkt og kraft. Figur C.7 Kalibrerings opstilling af kraftmåler, mål i mm. Kalibrering udføres ved at påføre en kendt kraft i en kendt afstand. Derved kan kalibreringsfaktorerne c 1 og c 2 bestemmes, da der er linearitet mellem kraft og volt. M 1 = (dl + L) F=c 1 V 1 M 2 = L F =c 2 V 2 Hvor L er en kendt afstand [m]. dl er en kendt afstand [m]. c i er kalibreringsfaktorer fra volt til moment [-]. V i er voltoutput fra gage i [volt]. Kalibrering af angrebspunkt ud fra to momenter: Ang = M 1 dl M 1 M 2 + k Når moment og angrebspunkt kendes, kan kraftresultanten bestemmes: 176

C. Modelforsøg F = M 1 + M 2 2 (Ang k dl 2 ) I forbindelse med modelforsøget viste det sig, at bestemmelsen af angrebspunktet ikke er optimalt, da der divideres med et lille tal, når momenterne M 1 og M 2 går mod nul. Dette optræder, når belastningen skifter fortegn, ingen kraft, og resulterer i angrebspunkter, der går mod. Dog påvirker det ikke kraftbestemmelsen, da problemet opstår, når kraften er minimal, og derved er det uden betydning. C.4 Reflektion Reflektionen ønskes bestemt, da denne parameter kan have indflydelse på det målte kraftsignal, idet de reflekterede bølger udbreder sig i modsatte retning. Reflektionen bestemmes ved, at måle overfladeelevationen i to punkter med indbyrdes kendt afstand. Overfladeelevationen, η, kan deles op i to, en for de indkommende bølger, i, og en for de reflekterede bølger, r. Dette gøres på følgende måde [Goda & Suzuki 1988]: η i = a i cos(kx ωt + ǫ i ) η r = a r cos(kx + ωt + ǫ r ) Hvor a er amplituden [m]. k er bølgetallet (2 π/l ) [m 1 ]. ω er den cykliske frekvens [s 1 ]. ǫ er faseforskydningen [-]. Elevationen ved de to målepunkter kan skrives som følgende : η 1 = (η i + η r ) x1 = A 1 cos(ωt) + B 1 sin(ωt) η 2 = (η i + η r ) x2 = A 2 cos(ωt) + B 2 sin(ωt) Hvor A 1 er a i cos(φ i ) + a r cos(φ r ). B 1 er a i sin(φ i ) + a r sin(φ r ). A 2 er a i cos(k l + φ i ) + a r cos(k l + φ r ). B 2 er a i sin(k l + φ i ) a r sin(k l + φ r ). φ i er kx 1 + ǫ i. φ r er kx 1 + ǫ r. l er afstanden mellem målepindende [m]. Ved analyse af målte bølgeelevationer findes A og B koefficienterne ved Fouriertransformation. A koefficienterne er realdelen, mens B koefficienterne er minus imaginærdelen. 177

C. Modelforsøg Det er nu muligt, at opdele bølgesignalet i de inkommende bølger og de reflekterede bølger. Amplituderne for de indkommende og reflekterede bølger beregnes ved henholdsvis formel (C.5) og (C.6). a i = K 2 1 + K 2 2 2 sin(k l) Hvor K 1 er A 2 A 1 cos(k l) B 1 sin(k l) [-]. K 2 er B 2 + A 1 sin(k l) B 1 cos(k l) [-]. (C.5) a r = K 2 3 + K 2 4 2 sin(k l) Hvor K 3 er A 2 A 1 cos(k l) + B 1 sin(k l) [-]. K 4 er B 2 A 1 sin(k l) B 1 cos(k l) [-]. (C.6) Reflektionen af forsøgsopstillingen er kontrolleret løbende for at sikre minimal reflektion. På figur C.8 og C.9 er reflektionen vist for lineære bølger med bølgehøjder på henholdsvis 20 mm og 137 mm. Bølgeamplitude [mm] 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Indkommende bølge Reflekteret bølge Bølgeamplitude [mm] 60 50 40 30 20 10 Indkommende bølge Reflekteret bølge 0 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 Frekvens [Hz] 0 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 Frekvens [Hz] Figur C.8 Amplituderne af den indkommende og reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er 20 mm, reflektionsamplituden udgør 8,8 % af den indkommende amplitude. Figur C.9 Amplituderne af den indkommende og reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er 137 mm, reflektionsamplituden udgør 9,74 % af den indkommende amplitude. Det er herudfra bestemt, at forsøgsopstillingen ikke giver anledning til væsentlig reflektion, og en ændring af skråningen til absorption af bølgerne ikke er nødvendig. C.5 Dynamisk forstærkning Før modelforsøget udføres, er det nødvendigt, at bestemme egenfrekvensen af modellen. Dette er for at sikre, at der ikke opstår dynamisk forstærkning af responset fra modellen, på grund af frekvensen af bølgepåvirkningen. Dette sikres ved, at udføre modellen med tilpas stor stivhed, så egenfrekvensen af modellen ligger langt fra frekvensen af bølgepåvirkningen. 178

C. Modelforsøg Egenfrekvens i luft Først bestemmes egenfrekvensen i luft, da dette giver en ide om egenfrekvensen af modellen. Denne egenfrekvens skal ligge over frekvensen for bølgerne, idet egenfrekvensen reduceres, når modellen nedsænkes i vand. Egenfrekvensen af modellen kan reguleres med kraftmåleren, jo stivere kraftmåleren er, jo højere bliver egenfrekvensen. Stivheden af kraftmåleren skal dog ikke vælges ubetinget stor, da kraften beregnes ud fra de tøjninger der opstår i kraftmåleren, og det er derfor nødvendigt, at der kommer målbare deformationer. Størrelsen af kraftmåleren bliver således en afvejning mellem tilpas høj egenfrekvens og målbare tøjninger. På figur C.10 ses den målte dæmpede egensvingning af modellen, hvor den har fået en kraftpåvirkning. 0.08 2.5 x 10 3 Volt output fra straingage 1 [V] 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 S η (f) [m 2 s] 2 1.5 1 0.5 0.08 0 5 10 15 Tid [sek] 0 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 Frekvens [Hz] Figur C.10 Egensvingning af modellen i luft. Figur C.11 Spektrum for modellen i luft, egenfrekvens =8,4 Hz. Ved at foretage en Fourieranalyse på signalet fra den dæmpede egensvingning, kan den dæmpede frekvens af modellen i luft bestemmes til 8,4 Hz, se figur C.11. Egenfrekvens i vand Egensvingningen i vand måles på samme måde som i luft, blot er modellen nedsænket i vand. På figur C.12 ses den dæmpede egensvingning, og på figur C.13 ses den dæmpede egenfrekvens af modellen nedsænket i vand. 179

C. Modelforsøg Volt output fra straingage 1 [V] 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 S η (f) [m 2 s] 2.5 x 10 3 2 1.5 1 0.5 Luft Vand 0.06 0 1 2 3 4 5 6 Tid [sek] 0 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekvens [Hz] Figur C.12 Egensvingning af modellen i vand. Figur C.13 Egenfrekvensen af modellen i luft og vand. Som det ses på figur C.13 sænkes frekvensen af modellen fra 8,4 Hz i luft til 4,8 i vand, hvilket er en reduktion på 3,6 Hz. C.5.1 Dynamisk forstærkningsfaktor På baggrund af egensvingningsforsøget kan det vurderes, hvorvidt belastningerne på konstruktion medfører dynamisk forstærkning, og om der derved er risiko for, at en statisk måling af lasten vil give dårlige resultater. Den dynamiske forstærkningsfaktor, D, afhænger af 3 parametre: Konstruktionens cykliske egenfrekvens, ω 0, belastningens cykliske egenfrekvens, ω, samt dæmpningsforholdet af modellen, ζ. Ud fra egensvingningsforsøget, udført henholdsvis i luft og vand, fremkommer et respons svarende til de i figur C.10 og C.12. Ud fra responset kan den dæmpede egensvingningsperiode, T d, og egensvingningsamplituden,a, bestemmes, hvorefter det er muligt at bestemme modellens udæmpede egensvingningsperiode, T. Af amplituden kan det logaritmiske dekrement bestemmes som anført i formel (C.7) [Nielsen 2004, s. 14-17]. δ = 1 ( ) n ln a0 a n Hvor n er et vilkårligt antal perioder [-]. a er den tilhørende amplitude [volt]. er en vilkårlig start amplituden [volt]. a 0 (C.7) Det logaritmiske dekrement for responset illustreret på figur C.12 beregnes for de på figuren 8 første perioder: δ = 1 ( ) 0, 058 8 ln 0, 0183 δ = 0, 144 180

C. Modelforsøg Dæmpningsforholdet af modellen bestemmes på baggrund af det logaritmiske dekrement som anført i formel (C.8). ζ = δ 2 π 1 + ( δ 2 π )2 (C.8) Ved indsættelse af det logaritmiske dekrement fås: ζ = ζ = 0, 0229 0,144 2 π 1 + ( 0,144 2 π )2 Konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvens bestemmes, idet at egenfrekvensen er 4,8 Hz hvorved den dæmpede egensvingningsperiode, T d er 0,209 s. Dette gøres ved følgende formel. ω 0 = ω 0 = 2 π T d 1 ζ 2 2 π 0, 209 1 0, 0229 2 ω 0 = 30, 07 rad/s. Egenfrekvensen af modellen kan nu sammenlignes med frekvensen af den påførte belastning, bølgefrekvensen. Herved kan den dynamiske forstærkning af modellen bestemmes når bølgefrekvensen er kendt. D = 1 ( ) 2 1 ( ω ω 0 ) 2 + 4 ζ2 ( ω ω 0 ) 2 (C.9) Bølgerne, der indeholder mest energi, har en frekvens på ca. 0,9 Hz, idet der benyttes et JONSWAP spektrum med peakperiode omkring 1,1 s, tabel C.2, til at generere bølger. Derfor bestemmes den dynamiske forstærkningsfaktor for en bølgefrekvens på 0,9 Hz, 0, 9 2π rad/sek: 1 D = (1 ( 0,9 2 π 30,07 )2 ) 2 + 4 0, 0229 2 ( 0,9 2 π 30,07 )2 D = 1, 0366 Da den dynamiske forstærkning afhænger af bølgefrekvensen er sammenhængen mellem bølgefrekvens og dynamisk forstærkning illustreret ved grafen på figur C.14. 181

C. Modelforsøg 1.25 Dynamisk Forstærkningsfaktor, D 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0 0.5 1 1.5 2 Bølgefrekvens [Hz] Figur C.14 Dynamisk forstærkning afhængig af bølgefrekvensen. Den dynamiske forstærkningsfaktor, D, beskriver sammenhængen mellem responset og den påførte kraft. Den påførte kraft kan derved bestemmes af følgende formel (C.10). F = A D (C.10) Hvor F er den reelle kraft [N]. A er responset/statisk bestemt kraft på modellen [N]. Da den dynamiske forstærkning af modellen er lille, vurderes det, at det ikke er nødvendigt at korrigere de eksperimentelt målte kræfter på konstruktionen. C.6 Linearitetsundersøgelse Som tidligere beskrevet er formålet med forsøget blandt andet, at bestemme sammenhængen mellem bølgehøjden og kraftpåvirkningen på modellen. Dette gøres ved at lave en række forsøg med forskellige bølgehøjder, hvor det tilhørende kraftsignal måles. På figur C.15 ses sammenhængen mellem bølgehøjderne og kraftpåvirkningen. Ud fra målingerne findes en lineær sammenhæng, hvorfor der på figur C.15 også er optegnet en bedste rette linie. De sidste punkter er ikke medtaget i den bedste rette linie, da der er en svag tendens til, at lineariteten ophører. Det har dog ikke været muligt, at generere højere bølger med samme periode, således at afbøjningstendensen kunne kontrolleres. 182

C. Modelforsøg 45 40 30 Kraft [N] 20 10 0 0 40 80 120 160 Bølgehøjde H [mm] Figur C.15 Sammenhæng mellem bølgehøjde og kraftpåvirkning med en bølgeperiode på 1,08 s, ( ) er målepunkter,( ) bedste rette linie til målepunkterne. Den lineære sammenhæng mellem bølgehøjderne og kraftpåvirkningen er en forudsætning for at gå fra bølgespektrum til kraftspektrum, med transferfunktionen. C.7 Transferfunktionen Der er lavet en række forsøg, hvor der er genereret en serie af uregelmæssige bølger svarende til et JONSWAP spektrum, hvor der er målt et tilhørende kraftspektrum. Spektrene er bestemt ved en Fourieranalyse, hvor output er opdelt i et antal delserier, herudfra kan variationskoefficienten bestemmes, idet følgende gælder: V = σ µ = 1 M Hvor M er antal delserier [-]. For at sammenligne spektrene, er det nødvendigt, at V og f er ens fra spekter til spekter. Derfor vil der i det følgende benyttes M = 117 delserier og f = 0, 1 Hz V = 1 117 = 0, 09 På figur C.16 ses bølgespektret, hvor der ved nul-nedkrydsningsanalyse, er bestemt en signifikant bølgehøjde på 101 mm og en tilhørende middelperiode på 1,03 s. 183

C. Modelforsøg x 10 3 500 1 400 0.8 S h (f) 0.6 S l (f) 300 0.4 200 0.2 100 0 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Frekvens [Hz] 0 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Frekvens [Hz] Figur C.16 Målt bølgespektrum med H s = 101mm, T middel = 1, 03s og f = 0, 1Hz. Figur C.17 Målt kraftspektrum med F s = 51, 4N, T middel = 0, 89s og f = 0, 1Hz. Ud fra de to spektre kan transferfunktionen bestemmes, idet følgende udtryk gælder: H(f) 2 = S λ S η Der er til bestemmelsen af transferfunktionen lavet tre forsøg, hvorfor den endelige transferfunktion bliver middelværdien af de tre forsøg. På figur C.18 ses de beregnede transferfunktioner. Det er kun området fra 0.6 Hz til 1.4 Hz der er medtaget, da det er i dette område energien i bølgerne ligger. Dette kan ses på figur C.16 og C.17. Dette resulterer i, at transferfunktionen findes, som vist på figur C.19. 3.6 x 105 3.6 x 105 3.4 3.4 3.2 3.2 H(f) 2 [N 2 /m 2 ] 3 2.8 2.6 2.4 H(f) 2 [N 2 /m 2 ] 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2.2 2 2 1.8 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Frekvens [Hz] 1.8 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Frekvens [Hz] Figur C.18 Transferfunktioner bestemt ud fra tre forsøg. Figur C.19 Middel transferfunktion. C.8 Skalering fra model til fuldskala De målte og beregnede resultater kan nu omsættes til fuldskalaværdier. Dette gøres ved at benytte de beregnede skaleringsfaktorer bestemt i afsnit C.1. 184

C. Modelforsøg Det målte bølgesignal ganges med længdeskalaen, λ L, opsamlingsfrekvensen divideres med tidsskalaen, λ t, og kraftsignalet multipliceres med kraftskalaen, λ K. Dette resulterer i bølgespektret vist på figur C.20 og kraftspektret vist på figur C.21. 50 14 x 10 5 45 4.5 40 4 35 3.5 30 3 S h (f) 25 S l (f) 2.5 20 2 15 1.5 10 1 5 0.5 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Frekvens [Hz] 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Frekvens [Hz] Figur C.20 Målt bølgespektrum med H s = 7, 0 m, T middel = 8, 55 s og f = 0, 01 Hz. Figur C.21 Målt kraftspektrum med F s = 17, 2 MN, T middel = 7, 36 s og f = 0, 01 Hz. Ud fra de skalerede spektre bestemmes transferfunktionen, se figur C.22. H(f) 2 [N 2 /m 2 ] 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 x 10 12 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Frekvens [Hz] Figur C.22 Transferfunktion for virkelige kræfter bestemt på baggrund af modelforsøget. Denne transferfunktion kan sammenlignes med transferfunktionerne fundet ved de analytiske løsninger. 185

D. Klassifikationsforsøg APPENDIKS D ttt Klassifikationsforsøg ttt Til bestemmelse af en række geotekniske størrelser for sandmaterialet i Frederikshavn er udført klassifikationsforsøg i geotekniklaboratoriet, Aalborg U- niversitet. D.1 Formål Formålet med forsøgene er at bestemme følgende størrelser, som skal anvendes til klassifikation af sandet. Relativ densitet d s Vandindhold w Rumvægt γ Mætningsgrad S w Poretal for løs lejring e max Poretal for fast lejring e min In situ poretal e insitu Relativ lejringstæthed I D Middelkornstørrelse d 50 Uensformighedstal U 187

D. Klassifikationsforsøg D.2 Bestemmelse af geotekniske størrelser Relativ densitet d s Den relative densitet, d s, er fundet ved pyknometerforsøg, og udregnes af nedenstående udtryk. d s = W s ρ t C w (W s + W 2 W 1 ) ρ 4 C w Hvor W s er kornvægten [g]. ρ t C w er destilleret vands densitet ved t C [g/ml]. W 1 er vægt af pyknometer, korn og vand [g]. W 2 er vægt af pyknometer og vand [g]. er destilleret vands densitet ved 4 C [g/ml]. ρ 4 C w Den relative densitet er et udtryk for kornmaterialets densitet i forhold til vands densitet. Af tabel D.1 fremgår resultater fra pyknometerforsøget. W 1 [g] W 2 [g] W s [g] ρ 19,5 C w [ C] ρ 4 C w [ C] 962,2 867,0 152,9 0,9983 1,0 Tabel D.1 Resultater fra pyknometerforsøg. Den relative densitet, d s, fås til 2,65, hvilket stemmer overens med d s -værdien for rent kvartssand [Harremoës et al. 2000]. Vandindhold w For at opnå et mere præcist resultat blev anvendt 2 jordprøver til bestemmelse af vandindholdet, w, og rumvægten, γ, af sandmaterialet. Vandindholdet blev fundet som vægttabet af jordprøven ved ovntørring til konstant vægt ved 105 C, og er givet ved nedenstående udtryk. w = W w = vandvægt W s kornvægt (D.1) Forsøgsresultater ses i tabel D.2. 188

D. Klassifikationsforsøg Prøve nr. 1 2 Skål + W [g] 355,1 343,8 Skål + W s [g] 309,7 302,9 Skål [g] 121,7 114,3 W w [g] 45,4 40,9 W s [g] 188,0 188,6 w [-] 0,24 0,22 w [%] 24,0 22,0 Tabel D.2 Vandindhold w. Det gennemsnitlige vandindhold er w = 23%. Rumvægt γ Rumvægten er givet ved følgende udtryk. γ = W V g Hvor W er vægten af prøven [kg]. V er volumen af prøven [m 3 ]. I tabel D.3 ses forsøgsresultater. Prøve nr. 1 2 Cylinder + W [g] 438,3 435,7 Cylinder [g] 203,5 204,6 Prøve W [g] 234,8 231,1 Prøve vol. [cm 3 ] 130,2 124,7 γ [kn/m 3 ] 17,7 18,2 Tabel D.3 Rumvægt γ. Sandmaterialets rumvægt er hermed lig 18 kn/m 3. Poretal e Poretallet defineres som porevolumen i forhold til kornvolumen. e = porevolumen kornvolumen Når poretallet bestemmes ved forsøg, udregnes det af følgende udtryk. 189

D. Klassifikationsforsøg e = (1 + w) ds ρ w V W s 1 Hvor w er vandindholdet [-]. d s er den relative densitet [-]. ρ w er vands densitet [g/ml]. V er volumen af prøven [cm 3 ]. W s er kornvægten [g]. Poretallet for jordprøve 1 og 2 fremgår af tabel D.4. Prøve nr. 1 2 e [-] 0,82 0,74 Tabel D.4 Poretal e. Sandets middel poretal findes til 0,78. Mætningsgrad S w Mætningsgraden, S w, udregnes af følgende udtryk S w = w d s e = vandvolumen porevolumen Mætningsgraden angiver et tal mellem 0 og 1 svarende til tør jord og vandmættet jord. For jordprøve 1 og 2 fås følgende mætningsgrader, se tabel D.5. Prøve nr. 1 2 S w [-] 0,78 0,78 Tabel D.5 Mætningsgrad S w Sandets gennemsnitlige mætningsgrad findes til 0,78. Forsøg med løs og fast lejring: e max, e min, e insitu og I D Der blev udført forsøg med henholdsvis løse og faste lejringer til bestemmelse af sandmaterialets relative lejringstæthed, I D, som er et tal mellem 0 og 1, hvor 0 svarer til den mest løse lejring og 1 til den mest faste. De løse lejringer 190

D. Klassifikationsforsøg fremkom ved at lade den tørre jord falde ned gennem en tragt fra en konstant højde, og de faste lejringer blev lavet ved at indstampe sandet i en cylinder efter en standardiseret procedure. Der blev anvendt 3 prøver til forsøget med den løse lejring. Forsøgsdata fremgår af tabel D.6. Prøve nr. 1.L 2.L 3.L V [cm 3 ] 70 70 70 Cyl. + W s [g] 338,8 338,4 338,3 Cyl. [g] 242,5 242,4 242,4 W s [g] 96,4 96,0 95,9 e max [-] 0,921 0,929 0,931 Tabel D.6 Poretalresultater for løs lejring For den løse lejring fås det gennemsnitlige maksimale poretal til e max = 0, 927. Til forsøget med den faste lejring blev anvendt 2 prøver, og forsøgsresultater ses i tabel D.7. Prøve nr. 1.F 2.F V [cm 3 ] 70 70 Cyl. + W s [g] 359,0 358,7 Cyl. [g] 242,4 242,4 W s [g] 116,6 116,3 e min [-] 0,588 0,592 Tabel D.7 Poretalresultater for fast lejring For den faste lejring fås det gennemsnitlige minimale poretal til e min = 0, 590. Den relative lejringstæthed, I D, kan herefter bestemmes ved I D = e max e insitu e max e min In situ poretallet, e insitu, findes af udtrykket e insitu = (1 + w) ds γ γ w 1 In situ poretallet for jordprøve 1 og 2 ses af tabel D.8. 191

D. Klassifikationsforsøg Prøve nr. 1 2 e insitu [-] 0,82 0,74 Tabel D.8 In situ poretal e insitu In situ poretallet er således e insitu = 0, 78. For jordprøverne fås følgende relative lejringstætheder, I D, se tabel D.9. Prøve nr. 1 2 I D [-] 0,32 0,57 Tabel D.9 Relative lejringstætheder, I D Sandmaterialets relative lejringstæthed er hermed gennemsnitlig I D = 0, 44. Sigteanalyse: d 50 og U Der er udført en sigteanalyse af sandet til bestemmelse af en kornkurve for herved at fastlægge en middelkornstørrelse, d 50 samt uensformighedstallet, U. Forsøgsresultaterne for prøve 1.S og 2.S fremgår af tabel D.10 og tabel D.11. Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%] 8,0 7,2 4,8 2,4 503,0 99,5 4,0 6,4 4,8 1,6 501,4 99,2 2,0 8,2 4,8 3,4 498,0 98,5 1,0 8,6 4,8 3,8 494,2 97,8 0,5 7,9 4,8 3,1 491,1 97,2 0,425 6,0 4,8 1,2 489,9 96,9 0,250 21,7 4,8 16,9 473,0 93,6 0,125 428 4,8 423,2 49,8 9,9 0,075 49,1 4,8 44,3 5,5 1,1 0,001 8,2 4,8 3,4 2,1 0,4 Tabel D.10 Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 1.S. 192

D. Klassifikationsforsøg Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%] 8,0 5,8 4,8 1,0 571,0 99,8 4,0 7,0 4,8 2,2 568,8 99,4 2,0 8,1 4,8 3,3 565,5 98,9 1,0 8,5 4,8 3,7 561,8 98,2 0,5 7,5 4,8 2,7 559,1 97,8 0,425 6,1 4,8 1,3 557,8 97,5 0,250 23,9 4,8 19,1 538,7 94,2 0,125 489,8 4,8 485,0 53,7 9,4 0,075 54,5 4,8 49,7 4,0 0,7 0,001 8,7 4,8 3,9 0,1 0,02 Tabel D.11 Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 2.S. Ved at afbilde kornets "diameter", d, der defineres som sigtemaskevidden i den fineste sigte kornet kan passere, ud af en logaritmisk x-akse, og den tilhørende korngennemfaldsprocent op af en aritmetrisk y-akse fås kornkurven, se figur D.1. Kornkurve 100 90 80 70 Vægtprocent < d 60 50 40 30 Prøve 1.S Prøve 2.S 20 10 0 0,01 0,1 1 10 Kornstørrelse d [mm] Mellem Grov Fin Mellem Grov Fin Mellem Siltfraktion Sandfraktion Grusfraktion Figur D.1 Kornkurver for prøve 1.S og 2.S. Af figur D.1 fremgår kornkurverne for prøve 1.S og 2.S, og det ses, at kurverne er tilnærmelsesvist sammenfaldende. Kornkurverne angiver, at jordmaterialet er ret velsorteret, og det kan betegnes som fraktioner af hovedsageligt finsand og mellemsand. Uensformighedstallet, U, er et udtryk for graderingen af jorden, og er defineret ved U = d 60 d 10 193

D. Klassifikationsforsøg Hvor d 60 er 60%-fraktilen [-]. d 10 er 10%-fraktilen [-]. Fraktilerne d 60 og d 10 aflæses af kornkurven, se figur D.2, til henholdsvis 0,185mm og 0,135mm, hvilket giver et uensformighedstal på U = 1, 37. Kornkurve 100 90 80 70 Vægtprocent < d 60 50 40 30 20 10 0 0,01 0,1 1 10 Kornstørrelse d [mm ] Prøve 1.S Figur D.2 Aflæsning af d 60 og d 10 ud fra prøve 1.S. Middelkornstørrelsen, d 50, aflæses af kornkurven til 0,175mm. D.3 Opsummering Der er ud fra klassifikationsforsøgene bestemt følgende størrelser, se tabel D.12. Størrelse Værdi Relativ densitet d s [-] 2,65 Vandindhold w [-] 0,23 Rumvægt γ [kn/m 3 ] 18,0 Mætningsgrad S w [-] 0,78 Poretal for løs lejring e max [-] 0,93 Poretal for fast lejring e min [-] 0,56 In situ poretal e insitu [-] 0,78 Relativ lejringstæthed I D [-] 0,44 Middelkornstørrelse d 50 [mm] 0,175 Uensformighedstal U [-] 1,37 Tabel D.12 Fastlagte klassifikationsstørrelser Sandmaterialet kan karakteriseres som velsorteret mellem-fint sand. 194

E. Triaksialforsøg APPENDIKS E ttt Triaksialforsøg ttt Dette kapitel omhandler udførelse af og resultater fra fire drænede triaksialforsøg udført ved Laboratoriet for Geoteknik ved Aalborg Universitet. Der tages udgangspunkt i måleresultater fra fire triaksialforsøg udført af B10Kstuderende i foråret 2005, da det bl.a. af tidsmæssige årsager ikke har været muligt for projektgruppen at udføre egne triaksialforsøg. E.1 Formål Formålet med forsøget er at bestemme styrke- og deformationsparametre for sandmaterialet fra Frederikshavn, da disse parametre bl.a. skal anvendes til analyse af bropillens bæreevne og sætninger. Følgende parametre skal bestemmes: Den triaksiale friktionsvinkel ϕ tr Elasticitetsmodulerne E 50 og E ur Dilatationsvinklen ψ Poisson s forhold ν Forskydningsmodulen G Bulkmodulen K Næste afsnit omhandler triaksialapparatet samt proceduren ved udførelse af forsøget. Herefter følger et afsnit, hvor de ovenfor anførte parametre bestemmes. 195

E. Triaksialforsøg E.2 Triaksialapparatet og forsøgsudførelse Figur E.1 viser en skitse af de komponenter, der indgår i triaksialapparatet. Apparatet består yderst af en plexiglascylinder samt et bund- og topstykke. Jordprøven placeres i en gummimembran mellem et nedre og øvre trykhoved. Trykhovederne smøres med grease, (siliconefedt), for at mindske forskydningsmodstanden mellem trykhoved og prøve, således prøven kan deformere frit i radial retning. Hvis ikke der anvendes grease, fastlåser trykhovederne prøven ved enderne, hvilket resulterer i, at der dannes stive zoner under trykhovederne, og spændingstilstanden bliver meget kompliceret [Ibsen 1993, s. 13]. Figur E.1 Skitse af triaksialapparatet. På figur E.2 ses et billede af det anvendte triaksialapparat. Kraft-, poretryksog flytningstransducere monteres inde i cylinderen, som inden forsøgets udførelse fyldes med destilleret vand. Porevanddifferenstrykket måles ved at porevandet i prøven forbindes til en burette med to drænslanger placeret henholdsvis ved det nedre og det øvre trykhoved. Jordprøverne begyndelseshøjde, H 0, og begyndelsesdiameter, D 0, er 7 cm, se figur E.3. Herved opnås en homogen spændingstilstand, der resulterer i et zonebrud i prøven. Hvis eksempelvis begyndelseshøjden er dobbelt så stor som begyndelsesdiameteren, er der risiko for, at der udvikles et liniebrud, der deler prøven i to stive legemer [Ibsen 1993, s. 13]. 196

E. Triaksialforsøg Figur E.2 Det anvendte triaksialapparat. Figur E.3 Mål og deformationer på prøve. Forløbet ved udførelse af triaxialforsøget er som følger: 1. Prøven udlejres således, at der opnås den ønskede lejringstæthed. Dette gøres ved at lade sandet falde gennem en tragt fra en bestemt højde og ned gennem en si, hvorefter det udlejrede sand stampes med et faldlod, se figur E.4. Figur E.4 Udlejring af sandprøve. 2. Trykket i prøven mindskes med 20 kpa, således at der opnås vacuum og formen fjernes. Herefter påmonteres flytningstransducere. 197

E. Triaksialforsøg 3. Cellen samles og fyldes med destilleret vand, hvorefter der påføres et kammertryk på 20 kpa, samtidigt med at undertrykket i prøven fjernes. Det tilstræbes at holde det isotrope tryk på prøven på ca. 20 kpa under denne proces. 4. Prøven vandmættes. 5. Kammertrykket, σ 3, øges med 200 kpa samtidig med, at der påføres et backpressure på samme størrelse i prøven, hvorved det isotrope tryk på prøven forbliver 20 kpa. Af figur E.5 fremgår det samlede triaksialapparat med den klargjorte sandprøve inde i cylinderen. Figur E.5 Samlet triaksialapparat. 6. Prøven påføres isotrop belastning ved at kammertrykket øges op til et ønsket spændingsniveau. Der kan efter punkt 6 eksempelvis udføres brudforsøg, hvor prøven kun påføres en aksial belastning, (stempeltrykket), og kammertrykket holdes konstant. Den aksiale belastning øges eksempelvis indtil prøven er deformeret 0,5%, hvorefter den aflastes. Denne proces kan gentages, idet det hver gang tillades, at prøven deformeres dobbelt så meget som foregående belastning, indtil prøven bryder. Næste afsnit omhandler resultatbehandling af de målte størrelser. E.3 Resultatbehandling Under triaksialforsøgene blev følgende størrelser målt: 198

E. Triaksialforsøg Kammertrykket σ 3 Poretrykket u Deformation i aksial retning u 1 Deviatorspændingen (stempeltrykket) q = σ 1 σ 3 Volumenændringen af prøven V Herudfra bestemmes følgende størrelser, der skal anvendes til bestemmelse af styrke- og deformationsparametre: Det tidsafhængige tværsnitsareal A: A = V 0 V H 0 u 1 Hvor V 0 er begyndelsesvolumenet [cm 3 ]. Den effektive middelnormalspænding p : p = 1 3 (σ 1 + 2σ 3 ) Tøjningerne ε 1, ε 3, ε v og ε q : ( ) H0 ε 1 = ln H 0 u 1 ( ) D0 ε 2 = ε 3 = ln D 0 2u 2 ( ) V 0 ε v = ε 1 + 2ε 3 = ln V 0 V ε q = 2 3 (ε 1 ε 2 ) Hvor ε 1 er aksialtøjningen [-]. ε 3 er tværtøjningen [-]. ε v er volumentøjningen arbejdskonjugeret med p [-]. ε q er deviatortøjningen arbejdskonjugeret med q [-]. Da deformationerne, og dermed tøjningerne, i prøven bliver store i forhold til de tøjninger, der normalt betragtes i ingeniørmæssig sammenhæng, kan der ikke benyttes lineære tøjninger. Derfor benyttes de naturlige logaritmiske tøjninger. I det følgende behandles triaksialforsøg nr. 2, der som repræsentativt eksempel viser, hvordan de geotekniske parametre findes ud fra de målte størrelser. 199

E. Triaksialforsøg Resultatbehandling af brudforsøg nr. 2 I det følgende bestemmes sandmaterialets styrke- og deformationsparametre ved et kammertryk på 80 kpa, og der redegøres for, hvorledes parametrene fastlægges ud fra de målte størrelser. Elasticitetsmoduler E 50 og E ur Følgeligt bestemmes elasticitetsmodulerne E 50 og E ur, som er henholdsvis den elasto-plastiske modul og det elastiske genbelastnings modul. Ved at plotte deviatorspændingen, q, som funktion af aksialtøjningen, ε 1, fås en arbejdskurve for sandmaterialet, se figur E.6, og ved at indlægge en sekant til den første belastningsgren, der går gennem punktet svarende til 50% af brudværdien, kan E 50 bestemmes. Den elasto-plastiske modul fås af figur E.6 til 24,7 MPa. 300 250 200 (ε 1 q) kurve Sekant E 50 Tangent E ur q [kpa] 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 ε 1 [%] Figur E.6 (ε 1, q)-diagram til bestemmelse af E 50 og E ur. E ur bestemmes som hældningen af aflastnings- og genbelastningskurvens tangentlinie, og findes af figur E.6 til 73,3 MPa. E ur er typisk ca. tre gange så stor som E 50 [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvilket resultaterne af forsøgene også viser. 200

E. Triaksialforsøg Poissons forhold ν 1 0 (ε 1 ε 3 ) kurve Tangent 1 2 ε 3 [%] 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 ε 1 [%] Figur E.7 (ε 1, ε 3 )-diagram til bestemmelse af poissons forhold ν. Poissons forhold er givet ved formel (E.1), og findes ved at indlægge en tangent til den del af kurven, der svarer til genbelastningsgrenen, se figur E.7. ν = dε 3 dε 1 (E.1) Poissons forhold bestemmes af figur E.7 til 0,32. Bulkmodulen K og forskydningsmodulen G Bulkmodulen, K, og forskydningsmodulen, G, er elastiske deformationsparametre, som henholdsvis indgår i relationen mellem middelspændinger og volumentøjninger samt deviatorspændinger og deviatortøjninger. K og G findes af følgende relation [Wood 1990, s. 42]: [ ] δεv = δε q [ ] 1/K 0 0 1/3G [ ] δp δq Figur E.8 viser et (ε v, p)-diagram, og bulkmodulen findes som hældningen af tangenten til kurvegrenen, der svarer til genbelastningsgrenen. K findes af figur E.8 til 79,2 MPa. 201

E. Triaksialforsøg 180 160 140 p [kpa] 120 100 80 (ε v p) kurve Tangent 60 5 4 3 2 1 0 1 ε v [%] Figur E.8 (ε v, p)-diagram til bestemmelse af bulkmodulen K. Kurveknækket på den anden aflastningsgren skyldes en fejlmåling. G bestemmes som hældningen af tangenten til genbelastningskurven, og bestemmes ud fra figur E.9 til 30,3 MPa. 300 250 (ε q q) kurve Tangent 200 q [kpa] 150 100 50 0 2 0 2 4 6 8 10 12 ε q [%] Figur E.9 (ε q, q)-diagram til bestemmelse af forskydningsmodulen G. Et estimat af bulk- og forskydningsmodulen kan også findes af følgende to udtryk, idet der forudsættes lineær isotrop hyperelasticitet [Wood 1990, s. 38-40]: 202 Bulkmodulen: K = E 3 (1 2 ν)

E. Triaksialforsøg Forskydningsmodulen: G = E 2 (1+ν) Ved anvendelse af ovenstående udtryk fås K = 67,9 MPa og G = 27,8 MPa. Grunden til at disse værdier afviger fra de ovenfor fastlagte, skyldes en usikkerhed ved indlæggelse af tangenterne. Friktionsvinklen ϕ tr Den triaksiale friktionsvinkel, ved kammertrykket: 80 kpa, findes ved at plotte Mohrs cirkel ud fra største og mindste hovedspænding, og indlægge en tangent til cirklen, se figur E.10. Friktionsvinklen, ϕ tr, er således vinklen mellem σ-aksen og tangenten, idet Coulombs brudbetingelse antages gældende for sandet. Friktionsvinklen findes af figur E.10 til 40,3. Mohrs diagram 200 Mohrs cirkel, σ 3 = 80kPa 150 100 50 τ [kpa] 0 φ tr σ 3 σ 1 50 100 150 200 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 σ [kpa] Figur E.10 Mohrs diagram til bestemmelse af friktionsvinklen, ϕ tr, for et kammertryk på 80 kpa. Med udgangspunkt i Coulombs brudbetingelse formuleret i (p, q) kan ϕ tr også findes af følgende udtryk, hvor index u angiver, at det er den ultimative brudværdi [Krenk 1998, s. 6]: ϕ tr = sin 1 3 q u ( ) (E.2) 6 p u + q u Af formel (E.2) fås ϕ tr = 40,0, og afvigelsen fra friktionsvinklen fundet ud fra Mohrs diagram skyldes usikkerhed ved indlæggelse af tangenten til cirklen. Dilatationsvinklen ψ Ved at betragte et (ε 1, ε v )-diagram, se figur E.11, kan dilatationsvinklen findes af nedenstående udtryk E.3, som kan udledes ved at betragte Mohrs cirkel for tøjninger [Jacobsen 1989, s. 75]: 203

E. Triaksialforsøg sin(ψ) = dε v dε v 2ε 1 (E.3) Dilatationsvinklen fastlægges til 11,3, idet (ε 1, ε v )-kurven betragtes i intervallet ε 1 = [1, 5; 8, 0]. 1 (ε 1 ε v ) kurve 0 1 ε v [%] 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 ε 1 [%] Figur E.11 (ε 1,ε v ) - diagram til bestemmelse af dilatationsvinklen ψ. Resultater fra samtlige brudforsøg I tabel E.1 ses styrke- og deformationsparametre fra de fire drænede brudforsøg. Parametre Enhed Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4 Kammertryk σ 3 [kpa] 40 80 160 320 Middelspænding p u [kpa] 92,2 177,3 331,6 653,5 Deviatorspænding q u [kpa] 155,1 290,7 513,3 999,5 Volumentøjning ε v [%] -3,0-2,6-1,7-1,8 Deviatortøjning ε q [%] 7,7 7,6 7,8 8,0 Aksialtøjning ε 1 [%] 6,7 6,8 7,2 7,4 Friktionsvinkel ϕ tr [ ] 41,0 40,0 38,0 37,6 Dilatationsvinkel ψ [ ] 12,1 11,3 9,8 9,6 E-modul E 50 [MPa] 19,0 24,7 24,4 34,7 E-modul E ur [MPa] 53,8 73,3 81,8 116,3 Poissons forhold ν [-] 0,31 0,32 0,32 0,30 Bulkmodulen K [MPa] 37,4 79,2 125,4 207,1 Forskydningsmodulen G [MPa] 22,2 30,3 78,7 95,2 Tabel E.1 Styrke- og deformationsparametre fra de fire triaksiale brudforsøg Mohrs diagram: ϕ s og ϕ t 204

E. Triaksialforsøg Den generelle triaksiale friktionsvinkel for sandmaterialet bestemmes ved at plotte alle fire Mohrske cirkler i brudtilstanden, se figur E.13. Friktionsvinklen kan herefter bestemmes på to forskellige måder [Jacobsen 1989, s. 61]: Rent friktionsmateriale (c = 0): sekantfriktionsvinklen ϕ s - Coulombs brudbetingelse: τ = σ tan(ϕ s ) Med kohæsion (c 0): tangentfriktionsvinklen ϕ t - Coulombs brudbetingelse: τ = c t + σ tan(ϕ t ) Figur E.12 viser en principskitse af sekantfriktionsvinklen (a), ϕ s, og tangentfriktionsvinklen (b), ϕ t. Figur E.12 Sekantfriktionsvinklen (a), tangentfriktionsvinklen (b) og krum brudbetingelse (c). Af figur E.13 fremgår Mohrske cirkler for de fire forskellige kammertryk, og der er indtegnet en sekant til bestemmelse af ϕ s samt en tangent til fastlæggelse af ϕ t. Friktionsvinklen bestemmes af figur E.13 til henholdsvis ϕ s = 37,2 og ϕ t = 35,4. Kohæsionen, c t, bestemmes til 18 kpa. 600 500 Mohrs diagram φ s φ t 400 300 200 σ 3 = 40kPa σ 3 = 80kPa σ 3 = 160kPa σ 3 = 320kPa τ [kpa] 100 0 100 200 300 400 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 σ [kpa] Figur E.13 Plot af mohrske cirkler til bestemmelse af ϕ s og ϕ t. 205

E. Triaksialforsøg Tangentfriktionsvinklen, ϕ t, vurderes at være den mest troværdige friktionsvinkel, da anvendelse af sekantfriktionsvinklen, ϕ s, medfører for store forskydningsspændinger ved store normalspændinger og omvendt ved små normalspændinger. Der kan vælges at se bort fra kohæsionen, som fås ved indlæggelse af tangenten, hvilket er på den sikre side [Jacobsen 1989, s. 61]. Den mest optimale brudbetingelse fås ved at lave tangenten krum for σ 0, se figur E.12(c), da effektive spændinger i jord ikke kan blive negative [Jacobsen 1989, s. 63]. Der undersøges dog ikke en brudbetingelse med krum kurve. Coulomb (p, q)-diagram: ϕ tr Den generelle friktionsvinkel for sandmaterialet kan alternativt bestemmes af et Mohr-Coulomb (p, q)-diagram med brudpunkter fra de fire brudforsøg. Figur E.14 viser (p, q)-diagrammet med (p, q)-kurver for de fire forskellige kammertryk. Endepunktet af hver (p, q)-kurve er brudpunktet for det pågældende brudforsøg, og ved at indlægge en tendenslinie gennem brudpunkterne, se figur E.14, kan friktionsvinklen findes af følgende udtryk, der svarer til (E.2) [Wood 1990, s. 178]. M = 6 sin(ϕ tr) 3 sin(ϕ tr ) (E.4) Hvor M er (p, q)-tangentens hældning [-]. Den triaksiale friktionsvinkel findes således af formel (E.4) til ϕ t = 35,7 (c t = 24 kpa), når der antages lidt kohæsion for sandet, og den findes til ϕ s = 37,4, når sandet antages at være ren friktionsjord. I et senere opsummeringsafsnit sammenlignes friktionsvinkler fra Mohrs diagram med friktionsvinkler fra Mohr-Coulombs (p, q)-diagram. 1000 900 800 700 600 σ 3 = 40kPa σ 3 = 80kPa σ 3 = 160kPa σ 3 = 320kPa q [kpa] 500 400 300 200 100 0 200 0 200 400 600 800 p [kpa] Figur E.14 Plot af (p, q)-kurver samt tendenslinier til bestemmelse af ϕ t og ϕ s. 206

E. Triaksialforsøg Deviatorspænding som funktion af aksialtøjning: (ε 1, q)-diagram På figur E.15 plottes arbejdskurver og brudpunkter for alle brudforsøg i et (ε 1, q)-diagram. 1000 900 800 σ 3 = 40kPa σ 3 = 80kPa σ 3 = 160kPa σ 3 = 320kPa Brudpunkter 700 600 q [kpa] 500 400 300 200 100 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ε [%] 1 Figur E.15 (ε 1, q)-diagram med alle brudforsøgskurver. Det ses af figur E.15, at de fire arbejdskurver har forskellige spændingsafhængige elasticitetsmoduler svarende til de fire elasto-plastiske moduler, E 50, der fremgår af tabel E.1. Volumentøjning som funktion af aksialtøjning: (ε 1, ε v )-diagram Figur E.16 viser volumentøjningen som funktion af aksialtøjningen ved alle brudforsøg, og det bemærkes, hvordan jordprøverne først kompakterer (positiv ε v ) og derefter dilaterer (negativ ε v ). Dilatation skyldes glidninger og rotationer af kornene ved højt stempeltryk. 207

E. Triaksialforsøg 1 0.5 0 0.5 1 σ 3 = 40kPa σ 3 = 80kPa σ 3 = 160kPa σ 3 = 320kPa ε v [%] 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ε 1 [%] Figur E.16 (ε 1, ε v )-diagram med alle brudforsøgskurver. E.4 Opsummering Der er bestemt styrke- og deformationsparametre for sandmaterialet ud fra fire drænede triaksialforsøg. De geotekniske parametre er fundet ved standardiserede tangent- og sekantmetoder, og vurderes at have en tilfredsstillende størrelsesorden. Den triaksiale friktionsvinkel er fundet på fire forskellige måder: Mohrs diagram: Sekantfriktionsvinklen ϕ s. Mohrs diagram: Tangentfriktionsvinklen ϕ t. Coulomb (p q)-diagram: Friktionsvinkel med kohæsion ϕ t. Coulomb (p q)-diagram: Friktionsvinkel uden kohæsion ϕ s. Sekantfriktionsvinklen, fundet ud fra Mohrs diagram, skal gerne være lig friktionsvinklen uden kohæsion fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram, og afvigelsen mellem de to størrelser skyldes upræcis indlæggelse af sekant og tendenslinie. Gennemsnittet fås til 37,3, hvilket følgeligt benævnes den endeligt fastlagte sekantfriktionsvinkel for sandet. Sekantfriktionsvinklen på 37,3 skal anvendes i funderingsberegninger, når sandet regnes som rent friktionsmateriale. På samme måde skal tangentfriktionsvinklen og friktionsvinklen med kohæsion fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram gerne have samme værdi, og ved at tage gennemsnittet af de to størrelser fås en endeligt bestemt tangentfriktionsvinkel på 35,6. Tangentfriktionsvinklen benyttes i funderingsberegninger, 208

E. Triaksialforsøg når sandet antages at have kohæsion. Kohæsionen, c t, fastsættes til gennemsnitligt 21 kpa. De endeligt fastlagte friktionsvinkler fremgår af tabel E.2. ϕ tr = ϕ s (c = 0) ϕ tr = ϕ t (c t = 21 kpa) 37,3 35,6 Tabel E.2 Triaksiale friktionsvinkler. Da langt de fleste geotekniske analyser karakteriseres ved en plan deformationstilstand, se formel (E.5), anvendes den plane friktionsvinkel, ϕ pl, som er givet ved udtryk (E.6) [Harremoës et al. 2000, s. 8.17]. σ 1 > σ 2 > σ 3 (E.5) ϕ pl = 1, 1 ϕ tr (E.6) De plane friktionsvinkler for de to tilfælde fremgår af tabel E.3. ϕ pl (c = 0) ϕ pl (c 0) 41,0 39,2 Tabel E.3 Plane friktionsvinkler. Da projektgruppen ikke selv har udført triaksialforsøgene, vides det ikke, om der under forsøgene har været forsøgsfejl af betydning. De plottede kurver tyder dog ikke på større fejlkilder, hvorfor resultaterne vurderes at være tilfredsstillende. 209

F. Cone Penetration Test APPENDIKS F ttt Cone Penetration Test ttt F.1 Formål Formålet med denne test er at vurdere lagfølgen ned igennem jorden på den undersøgte lokalitet og bestemme forskellige parametre for disse lag. Disse parametre skal senere bruges til dimensionering af fundament, ved brudlinier og i Plaxis. En cone penetration test, (CPT) er et markforsøg. Ved analyse af testresultaterne er det muligt at finde en lagfølge af jorden til prøvens dybde. Følgende måles på lokaliteten: Spidsmodstand, q c Overflademodstand, f s Poretryk, u 2 Følgende beregnes ud fra måleresultater: Rumvægt, γ Relativ lejringstæthed, I D Friktionsvinkel, ϕ Constrained modul/oedometerstivhed, M/E oed F.2 Forudsætninger Det forudsættes, at jordprofilet hovedsagligt består af normalkonsolideret sand med svagt indhold af organisk materiale. Alle beregninger udføres derfor med formler gældende for friktionsjord. Hvis der enkelte steder optræder lag med et 211

F. Cone Penetration Test stigende organisk indhold forventes det, at resultaterne ved disse beregninger afviger fra det aktuelle. Ved bestemmelse af jordtype og rumvægt, er der dog brugt empiriske diagrammer, som passer til alle jordtyper. F.3 Forsøgsopstilling/Udførelse Måleinstrumentet består af en kegle og en friktionsmåler, se figur F.1, som er placeret yderst på det spyd, der skal presses ned i jorden. Keglen måler spidsmodstanden, q c, og poretrykket, u 2, mens overflademodstanden, f s, måles af friktionsmåleren. Figur F.1 Illustration af CPT instrumentets nederste del der registrere de forskellige parametre. På figur F.2 ses opstillingen af selve forsøget. Selve instrumentet er 1 m langt, og derfor skal det, for at nå ned i dybere liggende lag, påskrues stænger af 1 m, mens den presses ned i jorden. Instrumentet presses vha. et hydraulisk tryk ned i jorden med en konstant hastighed på 1,2 m/min, til en dybde af ca. 16 m. Som det ses på figuren, er det nødvendigt med modvægt for at presse instrumentet ned. 212

F. Cone Penetration Test Figur F.2 Forsøgsopstilling. Der blev udført fire CPT forsøg (CPT-B212, CPT-B213, CPT-B223 og CPT- Ekstra). I det følgende afbildes forsøg CPT-B212, og resultaterne af de andre forsøg fremgår af opsamlingstabellerne. F.4 Resultater CPT udstyret måler med et tidsinterval, der svarer til en måling hver 0,02 m ned gennem jorden. Hydraulikken kan kun presse 80 cm af gangen, hvorefter de måles mens hydraulikken gør klar til at presse igen. Derfor er det ikke muligt at lave en kontinuert måling, og der fremkommer som resultat heraf forkerte målinger med mellemrum på 80 cm. Resultaterne skal derfor korrigeres manuelt for disse fejlmålinger, og på figur F.3 ses de korrigerede resultater fra forsøget. 213

F. Cone Penetration Test 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 0,02 0,04 0,06 0,08-0,5-0,5-0,5-1,5-1,5-1,5-2,5-2,5 Lag 1-2,5-3,5-3,5-3,5-4,5-4,5-4,5-5,5-5,5-5,5-6,5-6,5 Lag 2-6,5-7,5-7,5-7,5-8,5-9,5-8,5-9,5 Lag 3-8,5-9,5-10,5-10,5-10,5-11,5-11,5 Hydrostatisk tryk -11,5-12,5-12,5-12,5-13,5-13,5 Lag 4-13,5-14,5-14,5-14,5-15,5-15,5-15,5-16,5-16,5-16,5 Spidsmodstand q c [MPa] Poretryk u 2 og u 0 [MPa] Overflademodstand f s [MPa] Figur F.3 De korrigerede CPT resultater fra CPT-B212. Det er muligt, vha. poretrykket, u 2, at bestemme placeringen af grundvandspejlet. På lokaliteten så det ud som om, at vandpejlet var placeret i kote 0, men ud fra CPT-målingerne ses det, at det er kapilarvand, og at vandspejlet er beliggende i kote -1,5. Den ekstra måling giver dog en vandstand i kote 0, idet at de andre prøver alle får GVS i kote -1,5, må det være en fejl i måleapparatet ved denne prøve. Ud fra figur F.3 er det muligt at skønne en lagdeling af jorden. Disse 4 lag er gældende for alle forsøg. Dog er dybden af de enkelte lag forskellige, og de varierer med op til ca. 1,5 m. se tabel F.1. 214

F. Cone Penetration Test CPT B212 B213 B223 Ekstra Lag 1: 0,0-5,3 0,0-4,5 0,0-5,0 0,0-6,3 Lag 2: -5,3-7,0-4,5-7,0-5,0-6,8-6,3-8,6 Lag 3: -7,0-10,7-7,0-10,5-6,8-10,7-8,6-10,7 Lag 4: -10,7 (-16,1) -10,5 (-15,4) -10,7 (-16,0) -10,7 (-16,1) GVS: -1,5-1,5-1,5 0 Tabel F.1 Koten af de forskellige lag. (-) er dybden af den enkelte CPT-prøve. F.5 Rumvægt- og jordartsbestemmelse Ud fra empiriske formler og skemaer er det muligt at bestemme rumvægten af jorden og jordtypen. Spidsmodstanden skal korrigeres for et ekstra poretryk på spidsmodstanden. Den korrigerede spidsmodstand, q t, bestemmes ud fra formel (F.1) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 26]. q t = q c + u 2 (1 a) (F.1) Hvor u 2 er poretrykket [MPa]. a er et arealforhold, se figur F.1 [-]. D = 36 mm, d = 32,8 mm, a = 9,11 En rumvægt skønnes til udregning af den vertikale spænding, σ v0, og det normaliserede friktionsforhold, F r, og poretryksforholdet, B q, bestemmes ud fra formel (F.2) og (F.3) [Lunne, Robertson & Powell 1997, s. 53]. F r = f s q t σ v0 100 [%] (F.2) B q = u 2 u 0 q t σ v0 [-] (F.3) Disse kan afbildes sammen med den korrigerede spidsmodstand i et Robertson diagram [Lunne et al. 1997, s. 53], og udfra placering af de plottede værdier kan rumvægten aflæses i tabel F.2. Ud fra Robertson diagrammet kan jordtypen også bestemmes. På figur F.4 til F.7 ses en afbildning af lag 1-4. 215

F. Cone Penetration Test Figur F.4 Afbildning af lag 1 fra CPT-B212 i Robertson diagram. Figur F.5 Afbildning af lag 2 fra CPT-B212 i Robertson diagram. Figur F.6 Afbildning af lag 3 fra CPT-B212 i Robertson diagram. 216

F. Cone Penetration Test Figur F.7 Afbildning af lag 4 fra CPT-B212 i Robertson diagram. Områderne på figur F.4 til F.7 angiver rumvægt, som ses i tabel F.2 [Lunne et al. 1997, s. 56]. Zone Rumvægt [kn/m 3 ] 4 18,0 5 18,0 6 18,0 7 18,5 8 19,0 9 19,5 10 20,0 Tabel F.2 Skønnede rumvægte baseret på jordbeskrivelsen. Ved at plotte de forskellige lag i et Robertson diagram kan jordtypen af lagene bestemmes: Lag 1: Lag 2: Lag 3: Lag 4: er et sandlag. er et sandet siltlag. er et sandlag. er et leret siltlag/gruslag. I tabel F.3 ses rumvægten for de forskellige lag. CPT: B212 B213 B223 Ekstra Lag 1: 19,25 19,25 19,25 19,25 Lag 2: 19,75 19,75 19,75 19,75 Lag 3: 19,00 19,00 19,00 19,00 Lag 4: 18,00 18,00 18,00 18,00 Gennemsnit ) : 18,83 18,88 18,83 18,87 Tabel F.3 Rumvægt af de forskellige lag [kn/m 3 ]. ) Gennemsnittet er vægtet med dybden af laget. 217

F. Cone Penetration Test F.6 Lejringstæthed og poretal Ved at bruge den modificerede Schmertmann, metode er det muligt at bestemme den relative lejringstæthed. Til dette bruges formel (F.4) og (F.5) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 38-39]. ( ) qc I D = 98 + 66 log Blå, figur F.8 (F.4) (σ v) 0,5 I D = 1 ( ) q c ln 100 Rød, figur F.8 (F.5) C 2 C 0 (σ v )C 1 Hvor q c er spidsmodstanden [MPa]. σ v er den effektive spænding σ v0 u 0 [MPa]. C 0 C 1 C 2 er jordkonstanter [-] C 0 = 61 C 1 = 0, 71 C 2 = 2, 91 Ud fra lejringstætheden er det muligt, med kendskab til det maksimale (e max = 0, 93) og minimale (e min = 0, 56) poretal fra tabel D.12, at regne insitu poretal (e insitu ). Det maksimale og minimale poretal er bestemt ud fra klasifikationsforsøg, se appendiks D. Insitu poretallet regnes ud fra formel (F.6) [Lunne et al. 1997, s. 82]. I D = e max e insitu e max e min (F.6) På figur F.8 ses lejringstætheden ned igennem jordlagene for prøve CPT-B212. Det ses, at formel (F.5) ikke passer, idet den giver lejringstætheder over 100% samt negative lejringstætheder. Formel (F.5) kan alternativt udregnes med andre jordkonstanter. Der er regnet med konstanter fra [Lunne et al. 1997, s. 84] og fra 10. semester projekt: [Lunne et al. 1997, s. 84]: C 0 = 157 C 1 = 0, 55 C 2 = 2, 41 10. semester projekt: C 0 = 181 C 1 = 0, 55 C 2 = 2, 61 Men disse giver også lejringstætheder over 100% og negative lejringstætheder. Derfor ses der bort fra denne formel ved de videre sammenligninger. 218

F. Cone Penetration Test -50 0 50 100 150 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2-0,5-0,5-1,5-1,5-2,5-3,5 Lag 1-2,5-3,5 I D = 76,59 % e insitu = 0,64-4,5-4,5-5,5-6,5 Lag 2-5,5-6,5 I D = 46,47 % e insitu = 0,75-7,5-7,5-8,5-9,5 Lag 3-8,5-9,5 I D = 58,22 % e insitu = 0,71-10,5-10,5-11,5-11,5-12,5-13,5 Lag 4-12,5-13,5 I D = 12,62 % e insitu = 0,88-14,5-14,5-15,5-15,5-16,5 Relativ lejringstæthed I D [%] -16,5 Insitu poretal e insitu [-] Figur F.8 Afbildning af den relative lejringstæthed for CPT-B212. I tabel F.4 ses resultaterne fra de andre prøver. CPT: B212 B213 B223 Ekstra Lejringstæthed: Interval: -2% 103% -5% 105% -20% 101% -35% 115% Middel: 44,7% 46,1% 43,1% 47,7% Insitu poretal: Interval: 0,54 0,93 0,53 0,94 0,55 1,00 0,49 1,06 Middel: 0,75 0,76 0,77 0,75 Tabel F.4 Lejringstætheder og insitu poretal for alle prøver. Det ses i tabel F.4, at lejringstætheden bliver over 100%, hvilket skyldes, at formlen er en empirisk formel, og derfor ikke passer i alle tilfælde. Hvis formlerne skulle passe til dette sand, skal der udføres en række forsøg og formlerne skal fittes til disse forsøg. Insituporetallet overstiger nogle tilfælde også det 219

F. Cone Penetration Test maksimale og minimale poretal. Det betyder, at sandet på lokaliteten er mere eller mindre komprimeret, end det er muligt, at gøre i laboratoriet. F.7 Friktionsvinkel Ved at bruge den modificerede Janbu og Senneset metode, er det muligt, at bestemme jordens effektive friktionsvinkel, ϕ, igennem jordlagene, hvilket gøres ud fra formel (F.7) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 34-40]. ( N q = tan 45 + ϕ ) 2 e ( π +4ϕ) tan(ϕ) 3 2 N q = q c σ v Hvor N q er en bæreevnefaktor [-]. ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ]. q c er spidsmodstanden målt ved CPT-forsøg [MPa]. er den effektive spænding [MPa]. σ v (F.7) Dette giver en fordeling af friktionsvinklen for prøve CPT-B212, som ses på figur F.9. Som det ses på figuren, er der stor variation af friktiononsvinklen ned igennem lagene. Dette er også forventet, idet det nederste lag er et kohæsionslag, og det øverste er friktionslag. En anden grund til at der findes små friktionsvinkler i leret, er at formel (F.7) kun gælder for normalkonsolideret og let overkonsolideret sand. Derfor vurderes at friktionsvinklerne for leret ikke er de rigtige. 220

F. Cone Penetration Test 20 30 40 50 60-0,5-1,5-2,5-3,5 Lag 1 φ = 42,69º -4,5-5,5-6,5 Lag 2 φ = 35,81º -7,5-8,5-9,5 Lag 3 φ = 37,38º -10,5-11,5-12,5-13,5 Lag 4 φ = 27,28º -14,5-15,5-16,5 Friktionsvinkel φ [º] Figur F.9 Friktionsvinkel for prøve CPT-B212. I tabel F.5 ses friktionsvinklen for de resterende prøver. CPT: B212 B213 B223 Ekstra Interval: 23,3 50,9 22,9 50,3 18,2 49,4 13,1 51,1 Middel: 35,4 35,8 35,1 36,4 Tabel F.5 Friktionsvinkel for alle prøver. F.8 Constrained modul - Oedometerstivhed Der kan ud fra forsøget bestemmes en constrained modul, M, som er en endimensional elastisitetsmodul for lagene. Dette gøres, for at sammenligne med resultaterne fra triaksial forsøg, jf. appendiks E. 221

F. Cone Penetration Test Baggrunden for bestemmelsen af modulet er en empirisk formel udarbejdet af Lunne og Christophersen. De har udviklet følgende empiriske formel for constrained modulen for siltet sand der beregnes efter hvilken spidsmodstand jorden har, se formel (F.8) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 42]. M = 4q c for q c < 10MPa M = 2q c + 20MPa for 10MPa < q c < 50MPa (F.8) M = 120MPa for q c < 50MPa Dette giver en variation af constrained modulen, M, ned igennem jordlagene, som ses på figur F.10. Ud for hvert lag vises den gennemsnitlige constrained modul for det tilhørende lag. 0 10 20 30 40 50 60-0,5-1,5-2,5-3,5 Lag 1 M = 31,26 MPa -4,5-5,5-6,5 Lag 2 M = 17,01 MPa -7,5-8,5-9,5 Lag 3 M = 29,59 MPa -10,5-11,5-12,5-13,5 Lag 4 M = 7,28 MPa -14,5-15,5-16,5 Constrained Modul M [MPa] Figur F.10 Constrained modul for prøve CPT-B212. Middelværdi og variation af constrained modulen fremgår af tabel F.6. 222

F. Cone Penetration Test CPT: B212 B213 B223 Ekstra Interval: 3,5 44,6 0,9 47,0 0,8 46,3 1,2 48,6 Middel: 21,0 20,5 19,4 20,1 Tabel F.6 Constrained modul for alle prøver [MPa]. F.9 Opsummering Ud fra CPT-forsøget er det muligt at optegne en lagfølgetegning af lokaliteten. Der er muligt at bestemme enkelte parametre for jorden, og efterfølgende er de gennemsnitlige værdier af disse opstillet. Rumvægt: γ = 18, 9 kn/m 3. Relativ lejringtæthed: I D = 45, 4 %. Friktionsvinkel: ϕ = 35, 7. Constrained modul: M = 20, 3 MPa. Der er ved dette forsøg en del usikkerheder. Udregningerne antager, at det er friktionsjord, hvilket det ikke er i bunden af prøven (lag 4), og værdierne er derfor ikke korrekte i dette lag. Idet der i projektet kun skal bruges et fyldlag på ca. 10 m, er der regnet de gennemsnitlige værdier af parametrene for de øverste 3 lag. Rumvægt: γ = 19, 3 kn/m 3. Relativ lejringtæthed: I D = 64, 3 %. Friktionsvinkel: ϕ = 40, 1. Constrained modul: M = 27, 0 MPa. 223

G. Materialemodeller APPENDIKS G ttt Materialemodeller ttt I elementprogrammet Plaxis kan benyttes flere forskellige materialemodeller, hvoraf Mohr-Coulomb modellen er den mest simple. En mere avanceret model er Hardening-Soil modellen, der anvender en spændingsafhængig stivhed og en hyperbolsk arbejdskurve. I det følgende redegøres der for de to nævnte materialemodeller, da det er disse to modeller, der er anvendt i den numeriske analyse af fundamentet til bropillen. G.1 Mohr-Coulomb modellen Modellen kaldes Mohr-Coulomb, da brudmåden kan beskrives ved Mohrske cirkler, og brudkriteriet er opstillet af Coulomb. Modellen er simpel, da jordmaterialet antages lineær elastisk-idealplastisk. Det betyder, at for spændinger mindre end flydespændingen er materialet lineærelastisk, og når der indtræder flydning, opfører materialet sig idealplastisk, se figur G.1. Figur G.1 Mohr-Coulomb arbejdskurve. 225

G. Materialemodeller I hovedspændingsrummet er Coulombs brudbetingelse givet ved følgende flydeflade: f = 1 2 (σ max σ min ) 1 2 (σ max + σ min ) sin ϕ c cosϕ 0 For f < 0 er spændingerne mindre end flydespændingen, og materialeopførslen er elastisk. Når f er lig med nul, betyder det, at spændingerne er lig med flydespændingen, og materialeopførslen er plastisk. På figur G.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse, for en kohæsion lig nul, i hovedspændingsrummet. Figur G.2 Mohr-Coulomb flydefladen i hovedspændingsrummet for c lig nul. Indenfor plasticitetsteorien er plastiske tøjninger, ε p, proportionale med den afledte af flydefunktionen, f, med hensyn til spændingerne, σ, hvilket betegnes associeret plasticitet (f = g). Anvendes associeret plasticitet ved Mohr- Coulomb modellen, fås for store volumentøjninger, hvorfor det er mere hensigtsmæssigt, at benytte ikke-associeret plasticitet (f g) [Brinkgreve 2002, s. 3-1]. Begreberne associeret og ikke associeret plasticitet beskrives yderligere i appendiks I. Den ikke-associerede Mohr-Coulomb model fås ved at indføre en potentialfunktion, som beskriver modellens plastiske tøjninger. Potentialfunktionen fremgår af formel (G.1). g = 1 2 (σ max σ min ) 1 2 (σ max + σ min )sin ψ (G.1) I potentialfunktionen indgår dilatationsvinklen, ψ, som anvendes til at modellere de plastiske volumentøjninger. Samtidig er kohæsionsleddet fjernet, da det ikke har betydning for tøjningerne. Dette skyldes, at tøjningerne bestemmes ud fra den afledte af potentialfunktionen og leddet udgår derfor. 226

G. Materialemodeller Når det antages, at jordmaterialet har en vis kohæsion, c, så tillader Mohr- Coulomb modellen, at jorden kan optage træk. I virkeligheden kan jord ikke optage træk, hvorfor der i Plaxis er mulighed for, at aktivere tension cutoff [Brinkgreve 2002, s. 3-4]. Ved anvendelse af tension cut-off ses der bort fra trækspændinger, hvilket svarer til, at flydefladen afskæres for hovedspændinger mindre end nul. Der indføres yderligere en flydefunktion, svarende til Rankines kriterium, til beskrivelse af tension cut-off, se formel (G.2). f t = σ max σ t 0 (G.2) For flydefunktionen til beskrivelse af Rankines kriterium antages associeret plasticitet. G.2 Hardening-Soil modellen Hardening-Soil modellen er mere avanceret end Mohr-Coulomb modellen, idet den tager hensyn til hærdning af jorden. Foruden forskydningshærdning indregner modellen også volumen-/trykhærdning. Hardening-Soil modellen beskriver jordmaterialets arbejdskurve ved et hyperbolskt udtryk, da der herved opnås en god tilnærmelse til den virkelige krumme arbejdskurve. Jordens stivhed bliver spændingsafhængig, og på figur G.3 ses en hyperbolsk Hardening-Soil (ε 1, q)-arbejdskurve for en primær belastning. Den krumme arbejdskurve nærmer sig ved store aksialtøjninger asymptotisk til en deviatorspænding, q a, men Hardening-Soil modellen anvender idealplastisk opførsel, så snart en ultimativ deviatorspænding, q f, er nået [Brinkgreve 2002, s. 5-3]. Figur G.3 Hyperbolsk Hardening-Soil arbejdskurve ved primær belastning. Flydefladen er givet ved et udtryk, der afhænger af deviatorspændinger og plastiske tøjninger, se formel (G.3). 227

G. Materialemodeller f = f γ p (G.3) Hvor f er en funktion af deviatorspændinger. γ p er en funktion af plastiske tøjninger. Størrelserne f og γ p er givet ved følgende udtryk: f = 1 q 2q E 50 1 q/q a E ur Hvor E 50 er den elasto-plastiske modul [MPa]. q er deviatorspændingen [kpa]. q a er den asymptotiske deviatorspænding [kpa]. er den elastiske genbelastningsmodul [MPa]. E ur γ p = (2ε p 1 ε p v) 2ε p 1 (G.4) Hvor γ p er en tøjningshærdeparameter [-]. ε p 1 er den plastiske aksialtøjning [-]. ε p v er den plastiske volumentøjning [-]. I formel (G.4) negligeres den plastiske volumentøjning, idet denne er relativt lille for hårde jordmaterialer [Brinkgreve 2002, s. 5-4]. Under den primære belastning er flydefunktionen lig nul, og der fås følgende relation [Brinkgreve 2002, s. 5-4]: ε p 1 1 q q 2E 50 1 q/q a E ur De elastiske tøjninger, ε e 1, opstår både under den deviatoriske belastning samt ved aflastning/genbelastning, og er givet ved Hookes lov, se formel (G.5). ε e 1 = q E ur (G.5) Under den deviatoriske belastning er den aksiale tøjning givet ved summen af de elastiske og plastiske tøjninger, hvilket giver følgende hyperbolske udtryk: ε 1 = ε e 1 ε p 1 1 2E 50 q 1 q/q a Til beskrivelse af volumenhærdningen, svarende til oedometerbelastningen (isotropisk tryk), indføres en cap-flydefunktion, se formel (G.6). Cap-flydefladen afgrænser det elastisk hærdende område for normalspændinger mens flydefladen afgrænser hærdningen for forskydningsspændinger. Cap-flydefladen fremgår af figur G.4. 228

G. Materialemodeller Figur G.4 Hardening-Soil modellens totale flydeflade afbildet i hovedspændingsrummet for c lig 0. Cap-flydefunktionen, f c, er givet ved følgende formel (G.6). I udtrykket indgår en hjælpeparameter, α, der har indflydelse på formen af cap-flydefladen. f c = q2 α 2 + p2 p 2 p (G.6) Hvor f c er cap-flydefunktionen. q er en korrigeret deviatorspænding [kpa]. α er en hjælpeparameter, der beskriver formen af capfladen [-]. p er den isotrope normalspænding [kpa]. er den isotrope forbelastningsnormalspænding [kpa]. p p Den korrigerede deviatorspænding, q, og den isotrope normalspænding, p, er givet ved følgende udtryk: q = σ 1 + (δ 1)σ 2 δσ 3, δ = (3 + sin(ϕ)) (3 sin(ϕ)) p = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) Forbelastningsnormalspændingen, p p, indgår i en relation med cap-volumentøjningen, ε pc v, se formel (G.7). ε pc v = β ( ) 1 m pp (G.7) 1 m p ref 229

G. Materialemodeller Hvor ε pc v er en cap-volumentøjning [-]. β er en hjælpeparameter [-]. m er en potensfunktions-eksponent [-]. p ref er et referencetryk [kpa]. Hjælpeparametrene α og β anvendes ikke som direkte indgangsparametre i Plaxis, istedet anvendes følgende relationer: α K nc 0, Knc 0 = 1 sin(ϕ) β E ref oed, Eref oed = Eref 50 For at få en forståelse for cap-flydefladens form kan figur G.5 betragtes. Figur G.5 Flydefladerne i et (p, q)-diagram. Den elastiske zone kan reduceres vha. tension cut-off. I et (p, q)-diagram udgør cap en en ellipse, som har længden p p ud af p-aksen og αp p op ad q-aksen. Ellipsen anvendes både som flydeflade og potentialflade, og derfor gælder følgende udtryk: ε pc = λ fc σ, λ = β 2p ( pp p ref )m ṗ p p ref Cap-flydefladen er altså baseret på associeret plasticitet, hvorimod kegleflydefladen er baseret på ikke-associeret plasticitet. Herved er volumentøjninger der opstår fra forskydninger afhængige af dilatationsvinklen ψ, mens volumentøjninger på cap-flydefladen er funktioner af spændingstilstanden samt jordens stivhed, E oed. 230

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis APPENDIKS H ttt Modellering af triaksialforsøg i Plaxis ttt Formålet med dette appendiks er at kalibrere de materialeparametre, der er fundet for sandet ved triaksialforsøg, appendiks E, således at de ved indsættelse i Plaxis giver tilnærmelsesvis samme resultater som triaksialforsøgene. Dette sikrer, at de materialeparametre, der benyttes ved modellering af fundamentet i Plaxis, giver resultater, der svarer til virkeligheden. Samtidig giver det en bedre forståelse for, hvilken betydning de forskellige materialerparametre har for sandets egenskaber. I det følgende gøres der først rede for, hvorledes triaksialsforsøget modelleres og beregnes i Plaxis, og derefter kalibreres Hardening-Soil og Mohr-Coulomb materialemodellerne. H.1 Plaxismodel Da det i Plaxis ikke er muligt at modellere forsøgslegemet fra triaksialforsøgene i tre dimensioner, modelleres der kun et udsnit af prøven, som dog er repræsentativt for hele prøven. På figur H.1 ses det udsnit af prøven der modelleres, og det ses, at dette udsnit er rotations-symmetrisk omkring en lodret akse gennem cylinderens centrum, og symmetrisk omkring midten af cylinderen. 231

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis Figur H.1 Udsnit af triaksialprøve der modelleres. Figur H.2 Plaxismodel der benyttes ved modellering af triaksialforsøg. På figur H.2 ses udsnittet modelleret i Plaxis. Udsnittet er understøttet således at der tillades vandrette flytninger langs den nederste rand og lodrette flytninger langs den venstre rand. Derudover belastes udsnittet af prøven på den øverste og den højre rand. Beregningerne i Plaxis udføres i to trin: 1. Udsnittet påføres det ønskede kammertryk ved at sætte lasterne A og B lig størrelsen af kammertrykket. 2. Udsnittet påføres et stempeltryk ved at øge lasten A samtidig med at lasten B holdes konstant lig kammertrykket. Stempeltrykket beregnes derefter som forskellen mellem lasten A i trin 1 og trin 2. H.2 Hardening-Soil model I det følgende bestemmes først de begyndelses indgangsparametre, der er nødvendige for at benytte Hardening-Soil modellen. Disse parametre bestemmes udfra resultaterne af triaksialforsøgene, som fremgår af tabel E.1 appendiks E. Derefter kalibreres disse indgangsparametre således, at arbejdskurverne fra triaksialforsøgene stemmer tilnærmelsesvis overens med arbejdskurverne fra Plaxis. Følgende indgangsparametre bestemmes for materialet: Den plane friktionsvinkel, ϕ pl, og dilatationsvinkel, ψ. Kohæsionen, c ref. Poissons forhold, ν. 232

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis Referenceværdier for den elasto-plastiske modul, E ref 50, oedometer modulen, E ref oed, og den elastiske genbelastningsmodul, Eref ur, for et referencetryk, p ref, og en potens, m, der angiver forholdet mellem spænding og stivhed. Dette er dog ikke alle parametre i Hardening-Soil modellen, men det vælges at benytte standardværdierne i Plaxis for de resterende, da disse ikke er bestemt ved forsøg, og standardværdierne i Plaxis giver realistiske bud på disse [Brinkgreve 2002, s. 5-10]. I det følgende bestemmes begyndelses indgangsparametrene udfra triaksialforsøget, og derefter kalibreres disse. H.2.1 Friktions- og dilatationsvinkel Ii henhold til appendiks E vurderes det, at tangentfriktionsvinklen er den mest troværdige, og derfor vælges det at benytte denne som begyndelsesværdi. Tangentfriktionsvinklen er ved triaksialforsøgene bestemt til 35,6, hvilket giver en plan friktionsvinkel på 39,2. Som dilatationsvinkel vælges det at benytte dilatationsvinklen bestemt i triaksialforsøget ved referencekammertrykket, som i afsnit H.2.4 bestemmes til 40 kpa. Dilatationsvinklen sættes derfor til 12,1. H.2.2 Kohæsion Det antages, at jorden ikke er ren friktionsjord, da det vælges at benytte tangentfriktionsvinklen. Derfor benyttes den kohæsion, som bestemmes sammen med tangentfriktionsvinklen som begyndelses indgangsparameter. For den valgte tangentfriktionsvinkel er kohæsionen bestemt til 21,0 kpa, jf. tabel E.1 appendiks E. H.2.3 Poissons forhold Begyndelses indgangsparametren for Poissons forhold findes ved gennemsnittet ved de forskellige kammertryk i triaksialforsøgene, tabel E.1 appendiks E, hvilket giver et Poissons forhold på 0,31. H.2.4 Stivhedsmoduler I Hardening-Soil modellen bestemmes den elasto-plastiske modul og den e- lastiske genbelastningsmodul udfra referenceværdier vha. formel (H.1) og (H.2) [Brinkgreve 2002, s. 5-2 og 5-3]. 233

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis E 50 = E ref 50 E ur = E ref ur ( ) m c cosϕpl σ 3 sin ϕ pl (H.1) c cosϕ pl + p ref sin ϕ pl ( ) m c cosϕpl σ 3 sin ϕ pl (H.2) c cosϕ pl + p ref sin ϕ pl Hvor p ref er referencetrykket [kpa]. E ref 50 er referenceværdien af den elasto-plastiske modul ved referencetrykket, p ref [kpa]. Eur ref er referenceværdien af den elastiske genbelastningsmodul ved referencetrykket, p ref [kpa]. ϕ pl er den plane friktionsvinkel, som er 39,2 [ ]. c er kohæsionen som sættes lig 21,0 [kpa]. Potensen m findes ved mindste kvadraters metode udfra følgende trin: 1. For en valgt værdi af m bestemmes E 50 (m) og E ur (m) for de fire kammertryk ved varierende værdier af p ref, E ref 50 og Eur ref, idet disse sættes lig resultaterne fra triaksialforsøgene ved de forskellige kammertryk. 2. Efterfølgende bestemmes forskellen mellem de målte og de beregnede moduler ved samme kammertryk. Da det ønskes at finde den samlede fejl for både E 50 og E ur for den valgte værdi af m, divideres forskellen mellem de målte og beregnede moduler med de målte værdier. 3. Den samlede fejl bestemmes udfra formel (H.3) for den valgte værdi af m. ( ) 2 Samlet fejl(m) = E 50 (m) E ref 50 ( ) 2 + ( ) E ur (m) Eur ref 2 ( E ref 50 E ref ur ) 2 (H.3) På figur H.3 plottes den samlede fejl som funktion af m, og herudfra bestemmes m til 0,37 ved den mindste samlede fejl. 15 Samlet fejl (m) [ ] 10 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 m [ ] Figur H.3 Samlet fejl for værdier af m mellem 0 og 1. 234

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis Referencetrykket og dermed de referencemoduler der giver de bedste resultater i forhold til forsøgsresultaterne, findes ligeledes ved mindste kvadraters metode, hvor potensen m er fastsat til 0,37. Fremgangsmåden er følgende: 1. Den elasto-plastiske modul og den elastiske genbelastningsmodul beregnes udfra formel (H.1) og (H.2) ved de fire forskellige kammertryk, hvor værdierne fra forsøgene benyttes som referenceværdier. 2. Afvigelsen mellem de beregnede og målte moduler beregnes, og disse divideres med de målte værdier, således at den samlede fejl for modulerne kan beregnes. 3. Den samlede fejl beregnes udfra formel (H.4) for de forskellige referenceværdier, og i tabel H.1 ses den samlede afvigelse for de forskellige referenceværdier. ( Samlet fejl(p ref ) = E 50 (p ref ) E ref 50 ( ) 2 + ( E ur (p ref ) Eur ref ( E ref 50 ) 2 E ref ur ) 2 ) 2 (H.4) p ref [kpa] 40 80 160 320 Samlet fejl(p ref ) [%] 6,32 11,41 9,53 6,56 Tabel H.1 Samlet fejl ved de fire forskellige referenceværdier. Af tabel H.1 fremgår det, at den samlede fejl er mindst ved et referencetryk på 40 kpa, og derfor benyttes dette sammen med de tilhørende reference moduler som begyndelses indgangsparametre i Plaxis. Da oedometermodulen ikke kendes ved det valgte referencetryk, sættes referenceværdien for oedometer modulen lig referenceværdien for den elasto-plastiske modul, dvs. E 50 = E oed. Dette vælges, da Plaxis som standard benytter dette ved indtastning af referenceværdien for den elasto-plastiske modul. H.2.5 Kalibrering I tabel H.2 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.4 ses arbejdskurverne for disse parametre og triaksialforsøgene. c ref ϕ ψ m ν p ref E ref 50 E ref oed Eur ref [kpa] [ ] [ ] [-] [-] [kpa] [MPa] [MPa] [MPa] 21,0 39,2 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8 Tabel H.2 Begyndelses indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis. 235

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis I de følgende figurer benævnes Hardening-Soil modellen H-S. 1400 1200 q [kpa] 1000 800 600 400 200 Forsøg 40 kpa Forsøg 80 kpa Forsøg 160 kpa Forsøg 320 kpa H S 40 kpa H S 80 kpa H S 160 kpa H S 320 kpa 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.4 Arbejdskurver for forsøgsresultater og Plaxismodel. Af figur H.4 ses det, at der især ved store kammertryk, er væsentlige forskelle mellem arbejdskurverne. Det tyder dog på, at den relative afvigelse mellem arbejdskurverne tilnærmelsesvis er konstant for alle kammertrykkene. Derfor undersøges det i det følgende, hvilken betydning de forskellige indgangsparametre har for arbejdskurvens udseende og placering, således at disse kan kalibreres i henhold til forsøgsparametrene. Indgangsparametrenes betydning undersøges ved at variere parametrene en af gangen og optegne og sammenligne disse arbejdskurver med arbejdskurven optegnet udfra begyndelses indgangsparametrene. På de følgende figurer illustreres arbejdskurven fra forsøg og begyndelses indgangsparametrene til Plaxis med de samme benævnelser som på figur H.4, og hvis ikke andet angives, benyttes indgangsparametrene i tabel H.2. Ved at reducere kohæsionen fra 21,0 til 10,0 kpa ses det af figur H.5, at flydespændingen reduceres med den samme værdi for alle kammertryk, mens arbejdskurvernes forløb op til flydespændingen næsten ikke ændres. 1400 1200 q [kpa] 1000 800 600 400 c ref = 10,0 kpa c ref = 10,0 kpa c = 10,0 kpa ref c ref = 10,0 kpa 200 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.5 Arbejdskurver ved reduceret kohæsion. 236

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis Ved at ændre friktionsvinklen med ca. ± 2 ses det af figur H.6, at flydespændingen øges når, friktionsvinklen øges. Derudover ses det, at forøgelsen af flydespændinger afhænger af kammertrykket. Endvidere kan det vises, at flydespændingen tilnærmelsesvis varierer lineært med tangens til friktionsvinklen. 1400 q [kpa] 1200 1000 800 600 400 200 φ = 37,0 φ = 37,0 φ = 37,0 φ = 37,0 φ = 41,0 φ = 41,0 φ = 41,0 φ = 41,0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.6 Arbejdskurver ved variation af friktionsvinklen. Af figur H.7 fremgår det som forventet, at dilatationsvinklen ikke har betydning for flydespændingen, da Plaxismodellen kan deformeres frit. Den lille afvigelse i arbejdskurvernes forløb kan skyldes beregningsgangen i Plaxis. 1400 q [kpa] 1200 1000 800 600 400 200 ψ = 10,0 ψ = 10,0 ψ = 10,0 ψ = 10,0 ψ = 14,0 ψ = 14,0 ψ = 14,0 ψ = 14,0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.7 Arbejdskurver ved variation af dilatationsvinklen. Poissons forhold har ikke betydning for flydespændingen og kun lille betydning for arbejdskurvens forløb, hvilket fremgår af figur H.8, hvor Poissons forhold er ændret med ca. ± 0,1. 237

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis 1400 q [kpa] 1200 1000 800 600 400 200 ν = 0,20 ν = 0,20 ν = 0,20 ν = 0,20 ν = 0,40 ν = 0,40 ν = 0,40 ν = 0,40 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.8 Arbejdskurver ved variation af Poissons forhold. Den sidste indgangsparameter der varieres, er sandets stivhedsmodul. Det vælges at variere stivhedsmodulerne således, at forholdet mellem dem ikke ændres i forhold til modulerne i tabel H.2, da der ved at variere oedometermodulen og genbelastningsmodulen enkeltvis, ikke opnås væsentlige forandringer i arbejdskurvernes forløb. Af figur H.9 fremgår det, at variationer af stivhedsmodulerne giver ændringer i arbejdskurvernes forløb og har betydning for, hvor stor tøjningen bliver, før der opnås flydning. 1400 q [kpa] 1200 1000 800 600 400 200 E 50 = 15,0 MPa E 50 = 15,0 MPa E 50 = 15,0 MPa E 50 = 15,0 MPa E = 23,0 MPa 50 E 50 = 23,0 MPa E 50 = 23,0 MPa E 50 = 23,0 MPa 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.9 Arbejdskurver ved variation af stivhedsmoduler. Derudover vurderes det, at potensen m ikke har betydning for flydespændingens størrelse, men at den til gengæld har betydning for arbejdskurvens forløb. Dette ses af, at en forøgelse af m i henhold til formel (H.1) og (H.2) medfører en forøgelse af modulerne, hvilket betyder, at den elastiske del af arbejdskurverne bliver stejlere. Udfra fra ovenstående undersøgelser af de forskellige indgangsparametres betydning for arbejdskurvernes forløb vælges det at ændre kohæsionen og friktionsvinklen således, at den relative forskel mellem flydespændingerne bestemt ved henholdsvis forsøg og Plaxis minimeres. Det vælges at ændre disse parametre, da kun disse har betydning for flydespændingernes størrelse. Herudfra 238

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis bestemmes kohæsionen til 8,5 kpa og friktionsvinklen til 36,5, og på figur H.10 ses arbejdskurverne, når disse parametre ændres i forhold til de oprindelige indgangsparametre i tabel H.2. 1400 1200 q [kpa] 1000 800 600 400 200 Forsøg 40 kpa Forsøg 80 kpa Forsøg 160 kpa Forsøg 320 kpa H S 40 kpa H S 80 kpa H S 160 kpa H S 320 kpa 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.10 Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kpa og en friktionsvinkel på 36,5. Af figur H.10 ses det, at flydespændingernes størrelse bestemt vha. Plaxis stemmer tilnærmelsesvis overens med flydespændingerne bestemt udfra triaksialforsøg. Det ses dog også af figuren, at arbejdskurvernes forløb ikke stemmer overens, hvilket især gør sig gældende for det høje kammertryk på 320 kpa. Af figur H.11 fremgår det, at arbejdskurverne bestemt vha. Plaxis ligger under arbejdskurven bestemt ved forsøg ved små kammertryk og over ved større. Derfor er det ikke muligt at opnå bedre overensstemmelse mellem arbejdskurverne ved at ændre stivhedsparametrene, da dette blot øger eller sænker stejlheden af den første del af arbejdskurverne. 600 q [kpa] 500 400 300 200 100 Forsøg 40 kpa Forsøg 80 kpa Forsøg 160 kpa Forsøg 320 kpa H S 40 kpa H S 80 kpa H S 160 kpa H S 320 kpa 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ε 1 [%] Figur H.11 Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kpa og en friktionsvinkel på 36,5. I tabel H.3 ses de kalibrede materialeparametre for Hardening-Soil modellen, som benyttes ved modellering af fundamentet i Plaxis. 239

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis c ref ϕ ψ m ν p ref E ref 50 E ref oed Eur ref [kpa] [ ] [ ] [-] [-] [kpa] [MPa] [MPa] [MPa] 8,5 36,5 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8 Tabel H.3 Kalibrerede indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis. Det ses af tabel H.3, at den kalibrerede friktionsvinkel ligger forholdsvis tæt på den triaksiale tangentfriktionsvinkel, som ved triaksialforsøg bestemmes til 35,6. Herudfra kan det konkluderes, at det havde været hensigtsmæssigt at benytte denne som begyndelses indgangsparameter i stedet for den plane tangentfriktionsvinkel. Da den kalibrerede friktionsvinkel er større end tangentfriktionsvinklen, forventes det også, jf. appendiks E, at den kalibrerede kohæsion skal være mindre, hvilket også er resultatet af kalibreringen. H.3 Mohr-Coulomb model I Mohr-Coulomb modellen skal følgende indgangsparametre for materialet bestemmes: Kohæsionen, c. Den plane friktions- og dilatationsvinkel, ϕ og ψ. Elasticitetsmodulen, E ref, og Poissons forhold, ν. Det vælges at benytte de kalibrerede indgangsparametre i tabel H.3 som begyndelses indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen. H.3.1 Kalibrering I tabel H.4 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.12 ses arbejdskurverne for disse parametre og triaksialforsøgene. c ϕ ψ E ref ν [kn/m 2 ] [ ] [ ] [MPa] [-] 8,5 36,5 12,1 19,0 0,31 Tabel H.4 Begyndelses indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen i Plaxis. 240

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis 1400 1200 q [kpa] 1000 800 600 400 200 Forsøg 40 kpa Forsøg 80 kpa Forsøg 160 kpa Forsøg 320 kpa M C 40 kpa M C 80 kpa M C 160 kpa M C 320 kpa 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ε 1 [%] Figur H.12 Arbejdskurver for forsøg og Plaxismodel. Af figur H.12 fremgår det, at flydespændingerne bestemt ved henholdsvis forsøg og Plaxis tilnærmelsesvis stemmer overens, men at forløbet af den elastiske del af arbejdskurverne især er forskellig fra forsøget. Dette kan skyldes, at Mohr- Coulomb modellen ikke tager højde for, at sandets stivhed stiger ned gennem dybden. I Plaxis er det dog muligt at tage højde for dette ved at indsætte et elasticitetsinkrement, E increment, som angiver en forøgelse af stivheden pr. dybdeenhed. Til dette inkrement knytter der sig også en dybde, y ref, som angiver hvor i jorden, indgangsparametren for elasticitetsmodulen befinder sig. E increment og y ref bestemmes dog ikke, da E increment kun kan variere med dybden, hvor den bør variere med kammertrykket. 241

I. Plasticitetsteori APPENDIKS I ttt Plasticitetsteori ttt I dette appendiks præsenteres plasticitetsteoriens grundlag, og beskrivelser af beregninger i forskellige specialtilfælde. Det forudsættes, at materialet, der beskrives, er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk. Dette betyder, at der kan bestemmes en maksimal last, hvorved jorden går i brud. Dette plastiske brud kan bestemmes ud fra en øvre- og en nedreværdibestemmelse. Disse beskrives senere og først redegøres for forudsætningerne der anvendes. I.1 Normalitetsbetingelsen Når et materiale er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk betyder det, at når spændningerne opnår det plastiske niveau (flydespændingen) opstår der uendeligt store tøjninger uden at spændingerne bliver større, se figur I.1. Figur I.1 Arbejdskurve for lineærelastisk-idealplaticitet og stivplastisitet. Det plastiske niveau benævnes også som flydefladen/flydefunktionen, f, som er defineret ved: f(σ) = 0 (I.1) Denne flydeflade antager forskellige funktioner alt efter om det er et udrænet eller drænet tilfælde, men fælles for dem begge er, at de skal opfylde nor- 243

I. Plasticitetsteori malitetsbetingelsen. Normalitetsbetingelsen betyder, at det plastiske tøjningsinkrementet, dε p a, sættes lig med den første afledte af flydefunktionen, dette kaldes også associeret plasticitet [Krabbenhøft 2002, s. 13]. dε p a = dλ f σ i (I.2) Hvor dε p a er det plastiske tøjningsinkrement for associeret plasticitet [-]. λ er en plastisk multiplikator, hvorfor det gælder at λ = 0 ved elastiske tøjninger, og λ > 0 ved plastiske tøjninger [-]. Associeret plasticitet beskriver ikke altid de rigtige tøjninger. Eksempelvis beskriver associeret plasticitet i en Mohr-Coulomb model en for stor dillatationsvinkel. Derfor er det i nogle tilfælde bedre at beskrive det plastiske tøjningsinkrement ud fra den afledte af det plastiske potentiale, g. Dette kaldes også for ikke-associeret plasticitet. [Krabbenhøft 2002, s. 12]. dε p ia = dλ g σ i (I.3) Hvor dε p ia er det plastiske tøjningsinkrementet for ikke-associeret plasticitet [-]. Princippet af associeret og ikke-associeret plasticitet fremgår af figur I.2. Figur I.2 Mohr-Coulomb model med associeret og ikke-associeret plasticitet. Jord kan beskrives ud fra en Mohr-Coulomb model, som er givet ved følgende formeludtryk. På figur I.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse som flydefunktionen f: τ = c + σ tan(ϕ) Herefter beskrives flydefunktionen for specialtilfælde, henholdsvis udrænet og drænet tilfælde henholdsvis kohæsions og friktionsmateriale med udgangspunkt i associeret plasticitet. 244

I. Plasticitetsteori I.2 Udrænet brud i kohæsionsjord Til bestemmelse af flydefunktionen for udrænet brud i kohæsionsjord, tages der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium. Hvis friktionsvinklen, ϕ, sættes lig 0 i brudbetingelsen, fremkommer Trescas brudbetingelse. Ved at sætte Trescas brudbetingelse i spændingsrummet lig 0, giver dette følgende flydefunktion [Jacobsen 1989, s. 109]. f(σ) = σ max σ min 2c u = 0 Hvor σ min er den mindste hovedspænding [kpa]. σ max er den største hovedspænding [kpa]. er den udrænede forskydningsstyrke [kpa]. c u Trescas brudbetingelse giver, at materialet bryder, når det opnår en forskydningsspænding, τ, der er lig med kohæsionen, og idet der er associeret plasticitet, går bevægelserne (tøj-ningsinkrementet) i brudzonen i forskydningens retning. På figur I.3 ses Trescas brudbeting-else og tøjningsinkrementet, og på figur I.4 ses spændingerne i brudzonen. Figur I.3 Trescas brudkriterium. Figur I.4 Spændinger i den udrænede brudzone. Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ 1 ; σ 3 ), kan der udfra formel (I.1) bestemmes to brudflader i spændingsplanen. Den plane spændingstilstand indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet ved formel (I.3), og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen. I det tilfælde hvor σ 1 > σ 3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende: f(σ) = σ 1 σ 3 2c u = 0 σ 3 = σ 1 2c u ] dε p = [ f(σ) σ 1 f(σ) σ 3 [ 1 = 1 ] I det tilfælde hvor σ 3 > σ 1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet: 245

I. Plasticitetsteori f(σ) = σ 3 σ 1 2c u = 0 σ 3 = σ 1 + 2c u ] dε p = [ f(σ) σ 1 f(σ) σ 3 = [ 1 1 ] På figur I.5 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsplanen. Det ses, at flydefladen er rette linier, der skærer akserne i 2c u. Figur I.5 Tresca s brudkriterium for kohæsionsjord vist i spændingsrummet. I.3 Drænet brud i friktionsjord For drænet brud i friktionsjord tages der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium, hvor kohæsionen c sættes lig 0. Dette giver en flydeflade, der er defineret ved følgende formel [[Jacobsen 1989, s. 129] [Nordal 2000, s. 6.2]]: f(σ) = (1 sin(ϕ )) σ max (1 + sin(ϕ )) σ min = 0 (I.4) Hvor σ min er den mindste effektive hovedspænding [kpa]. σ max er den største effektive hovedspænding [kpa]. ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ]. På figur I.6 og I.7 ses brudbetingelsen for brudzonen. Der forudsættes associeret plasticitet, altså normalitetsbetingelsen, hvilket betyder, at dilationsvinklen, ψ, sættes lig friktionsvinkel, ϕ. Denne forudsætning er i god overenstemmelse med eksperimentielle observationer, og giver en fortrinsvis lille fejl [Atkinson 1993, s. 217]. Som det ses på figurene, bevæges jordvolumen (tøjningsinkrementet) ikke kun i forskydningens retningen, men i en vinkel på ϕ i forhold til forskydningens retning. 246

I. Plasticitetsteori Figur I.6 Mohr-Coulombs brudkriterium. Figur I.7 Spændingerne i den drænede brudzone. Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ 1 ; σ 3 ), kan der udfra formel (I.4) bestemmes to brudflader i spændingsplanet. Den plane spændningstilstand indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet, og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen. I det tilfælde hvor σ 1 > σ 3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende: f(σ) = (1 sin(ϕ ))σ 1 (1 + sin(ϕ )) σ 3 = 0 σ 3 = 1 sin(ϕ ) σ 1 1 + sin(ϕ ) ] dε p = [ f(σ) σ 1 f(σ) σ 3 = [ 1 sin(ϕ ) 1 sin(ϕ ) ] I det tilfælde hvor σ 3 > σ 1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet: f(σ) = (1 sin(ϕ ))σ 3 (1 + sin(ϕ )) σ 1 = 0 σ 3 = 1 + sin(ϕ ) σ 1 1 sin(ϕ ) ] dε p = [ f(σ) σ 1 f(σ) σ 3 = [ 1 sin(ϕ ) 1 sin(ϕ ) ] På figur I.8 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsrummet. Det ses, at flydefladen er rette linier, som udspringer fra origo af spændingsrummet. Figur I.8 Mohr-Coulombs brudkriterium for friktionsjord vist i den effektive spændingsplan. 247

J. Dynamisk modellering APPENDIKS J ttt Dynamisk modellering ttt Egenfrekvenserne for et udæmpet system (MDOF) findes af formel (J.1) [Nielsen 2004, s. 46]. M q + Kq = 0 (J.1) Hvor M er den globale massematrice. K er den globale stivhedsmatrice. q er flytninger i frihedsgraderne. Til opbygningen af en model anvendes i programmet CALFEM FEM-elementer med tre frihedsgrader pr. knude. Elementerne er Bernoulli-Euler bjælker med lineær-elastiske deformationer. Flytningsfeltet, u, for en bjælke kan beskrives ved anvendelse af formfunktioner, N [Nielsen 2004, s. 152]. u j (x, t) = N = [ ] ux (x, t) = N(x)q u y (x, t) j (t) [ ] [ ] Nx (x) N1 (x) 0 0 N = 4 (x) 0 0 N y (x) 0 N 2 (x) N 3 (x) 0 N 5 (x) N 6 (x) (J.2) Formfunktionerne N 1 N 6 er givet ved følgende. N 1 (x) = 1 ξ N 4 (x) = ξ N 2 (x) = 2ξ 3 3ξ 2 + 1 N 3 (x) = ξ 3 2ξ 2 + ξ (J.3) N 5 (x) = 2ξ 3 + 3ξ 2 N 6 (x) = ξ 3 ξ 2 Hvor ξ er den relative længde x l [-]. Figur J.1 viser et bjælkeelement med tilhørende frihedsgrader. 249

J. Dynamisk modellering Figur J.1 Frihedsgrader for FEM bjælkeelement. Ud fra frihedsgraderne på figuren findes formfunktioner til stivheder, der afhængig af en models globale frihedsgrader omregnes hertil ved en transformationsmatrice. Elementstivhedsmatricen, k j, og elementmassematricen, m j, for et enkelt element findes ved følgende [Nielsen 2004, s. 153]. k j = l 0 ( EA dnt x dx dn x dx + EI d2 N T y d 2 N y dx 2 dx 2 ) dx = AE 0 0 AE 0 0 l l 0 12 EI 6 EI 0 12 EI l 3 l 2 l 3 0 6 EI 4 EI 0 6 EI l 2 l l 2 AE AE 0 0 0 0 l l 0 12 EI 6 EI 0 12 EI l 3 l 2 l 3 0 6 EI l 2 2 EI 0 6 EI l l 2 6 EI l 2 2 EI l 6 EI l 2 4 EI l (J.4) m j = µl 420 l 0 µn T (x)n(x)dx = 140 0 0 70 0 0 0 156 22l 0 54 13l 0 22l 4l 2 0 13l 3l 2 70 0 0 140 0 0 0 54 13l 0 156 22l 0 13l 3l 2 0 22l 4l 2 (J.5) Alle elementer i systemet tillægges fire materialeværdier: Hvor E er elasticitetsmodulen [MPa]. A er tværsnitsareal [m 2 ]. I er inertimoment [m 4 ]. µ er masse pr.længdeenhed [kg/m]. 250

J. Dynamisk modellering Ud fra disse findes elementets stivheds-, K, og massematrice, M, der assembleres til globale matricer for hele modellen. De cirkulære egensvingningsfrekvenser og tilhørende egensvingningsformer bestemmes efterfølgende ved udtryk (J.6) [Nielsen 2004, s. 46, 156]. det(k λm)φ = 0 (J.6) Hvor λ j er en dimensionsløs parameter givet ved λ j = 1 420 ω2 j µl4 EI [-]. ω j er den cirkulære egenfrekvens [s 1 ]. Φ er egensvingningsformen [-]. 251

Litteratur KAPITEL ttt Litteratur ttt Henvisning: [Atkinson 1993] Forfatter: Atkinson, J. Titel: An Introduction to the Mechanics of Soils and Foundations Through Critical State Soil Mechanics. Udgiver: McGraw-Hill, London. Udgivelsesår: 1993. Henvisning: [B-studienævnet 2005] Forfatter: B-studienævnet. Titel: Studievejledning for 8. semester - Bygge- og anlægskonstruktion. Udgiver: Aalborg Universitet. Udgivelsesår: 2005. Henvisning: [Brinkgreve 2002] Forfatter: Brinkgreve, R. B. J. Titel: Plaxis 2D - Version 8 - Material Models Manual. Udgiver: A. A. Balkema Publishers Lisse/Abindgdon/Exton(Pa)/Tokyo. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Brorsen 2000] Forfatter: Brorsen, Michael. Titel: Bølgekræfter på store konstruktioner. Udgiver: Aalborg Universitet. Udgivelsesår: 2000. Henvisning: [Brorsen 2003] Forfatter: Brorsen, Michael. Titel: Vind og vindbelastning. Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet. Udgivelsesår: 2003. Henvisning: [Brorsen & Larsen 2002] Forfatter: Brorsen, Michael & Larsen, Torben. Titel: Hydraulik. Udgiver: Aalborg Universitet. 253

Litteratur Udgave: 1. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Broteknik 2002] Titel: Broteknik - Vej- og stibroer - Belastnings- og beregningsregler. Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet. Udgave: 2. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Burcharth 2002] Forfatter: Burcharth, H.F. Titel: Strøm- og bølgekræfter på stive legemer. Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet. Udgave: 2. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Burcharth 2004] Forfatter: Burcharth, H.F. Titel: Islaster på konstruktioner. Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet. Udgave: 4. Udgivelsesår: 2004. Henvisning: [Bygværker 2002] Titel: Bygværker - Beregningsregler for eksisterende broers bæreevne. Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet. Udgave: 2. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Christensen 1989] Forfatter: Christensen, Flemming Thunbo. Titel: Determination of extreme ice forces. Udgiver: University of Salford. Udgivelsesår: 1989. Henvisning: [Cowi & International 1999] Forfatter: Cowi & International, Lahmeyer. Titel: Fehmarn Belt Feasibility Study - Phase 2 Report. Udgiver: Cowi. Udgave: 2. Udgivelsesår: 1999. Henvisning: [Designgrundlag 2000] Titel: Designgrundlag for vindmølleparker på havet. Udgiver: RISØ. Udgave: 1. Udgivelsesår: 2000. Henvisning: [Det Norske Veritas. 1992] Titel: Det Norske Veritas - Foundations. Udgiver: Det Norske Veritas. Udgivelsesår: 1992. Henvisning: [DS409 1998] Titel: Norm for sikkerhedsbestemmelse på konstruktioner. 254

Litteratur Udgiver: Dansk Standard. Udgave: 4. Udgivelsesår: 1998. Henvisning: [DS410 1999] Titel: Norm for last på konstruktioner. Udgiver: Dansk Standard. Udgave: 4. Udgivelsesår: 1999. Henvisning: [DS415 1999] Titel: Norm for fundering. Udgiver: Dansk Standard. Udgave: 4. Udgivelsesår: 1999. Henvisning: [DS449 1983] Titel: Pælefunderede offshore stålkonstruktioner. Udgiver: Dansk Standard. Udgave: 1. Udgivelsesår: 1983. Henvisning: [DS/ENV1-3 1995] Titel: Eurocode 1 - Del 3 - Trafiklast på broer. Udgiver: Dansk Standard. Udgave: 1. Udgivelsesår: 1995. Henvisning: [Femer bælt-forbindelsen 1999] Titel: Femer bælt-forbindelsen - Forundersøgelser - Resumérapport. Udgiver: Trafikministeriet. Udgivelsesår: 1999. Henvisning: [Frigaard & Hald 2004] Forfatter: Frigaard, Peter & Hald, Tue. Titel: Bølgehydraulik. Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet. Udgave: 2. Udgivelsesår: 2004. Henvisning: [Frydendahl 1971] Forfatter: Frydendahl, Knud. Titel: Danmarks klima i vind. Udgiver: Dansk metrologisk institut. Udgivelsesår: 1971. Henvisning: [Harremoës et al. 2000] Forfatter: Harremoës, Poul, Jacobsen, H. Moust & Ovesen, N. Krebs. Titel: Lærebog i geoteknik. Udgiver: Polyteknisk Forlag. Udgave: 5. Udgivelsesår: 2000. Henvisning: [Hurdle & Stive 1988] Forfatter: Hurdle, D. P. & Stive, R. J. H. 255

Litteratur Titel: Revision of SPM 1984 Wave hindcast model to avoid inconsistencies in engineering applications. Udgiver: Delft Hydraulics. Udgivelsesår: 1988. Henvisning: [Ibsen 1993] Forfatter: Ibsen, Lars Bo. Titel: Poretryksopbygning i sand Ph.D.-afhandling. Udgiver: Aalborg Universitetscenter. Udgivelsesår: 1993. Henvisning: [Jacobsen 1989] Forfatter: Jacobsen, Moust. Titel: Lærebog i videregående geoteknik 1 - Brud i jord. Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag. Udgivelsesår: 1989. Henvisning: [Jacobsen & Gwizdala 1992] Forfatter: Jacobsen, Moust & Gwizdala, Kazimierz. Titel: Bearing capacity and settlements of piles. Udgiver: Aalborg Universitet. Udgave: 1. Udgivelsesår: 1992. Henvisning: [Jacobsen & Thorsen 1984] Forfatter: Jacobsen, Moust & Thorsen, Grethe. Titel: Lærebog i fundering. Udgiver: Aalborg Universitet. Udgivelsesår: 1984. Henvisning: [Krabbenhøft 2002] Forfatter: Krabbenhøft, Krustian. Titel: Basic Computational Plasticity. Udgiver: Aalborg Universitet. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Krenk 1998] Forfatter: Krenk, Steen. Titel: Failure and flow of friction materials. Udgiver: Technical University of Denmark. Udgivelsesår: 1998. Henvisning: [Larsen 1993] Forfatter: Larsen, Ole Damgaard. Titel: Ship collision with bridges. Udgiver: ETH - Hönggerberg. Udgivelsesår: 1993. Henvisning: [Liu & Frigaard 2001] Forfatter: Liu, Zhou & Frigaard, Peter. Titel: Generation and analysis of random waves. Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet. Udgave: 3. Udgivelsesår: 2001. 256

Litteratur Henvisning: [Lunne et al. 1997] Forfatter: Lunne, T., Robertson, P.K. & Powell, J.J.M. Titel: Cone Penetration Testing in Geotechnical Practice. Udgiver: Blackie Academic & Professional. Udgivelsesår: 1997. Henvisning: [Nielsen 2004] Forfatter: Nielsen, Søren R. K. Titel: Vibration Theory, Vol. 1. Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag. Udgivelsesår: 2004. Henvisning: [Nordal 2000] Forfatter: Nordal, S. Titel: Soil Modeling - a continuum mechanics based approach to elasto-plasticity for soils. Udgiver: Norges Teknisk-Naturvidenskabelige Universitet. Udgivelsesår: 2000. Henvisning: [Ramböll 1996] Forfatter: Ramböll. Titel: Geologiske/Geotekniske undersøgelser. Udgiver: Trafikministeriet. Udgivelsesår: 1996. Henvisning: [Søkort Østersøen 1980] Titel: Østersøen vestlige del fra 16 40 E.LGD. samt sundet og bælterne. Udgiver: Farvandsdirektoratet. Udgivelsesår: 1980. Henvisning: [Teknisk Ståbi 2002] Titel: Teknisk Ståbi. Udgiver: Ingeniøren bøger. Udgave: 18. Udgivelsesår: 2002. Henvisning: [Trafikministeriet 2004] Forfatter: Trafikministeriet. Titel: Femern Bælt - en ny forbindelse til Europa. Udgiver: Trafikministeriet. Udgivelsesår: 2004. Henvisning: [Wood 1990] Forfatter: Wood, David Muir. Titel: Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics. Udgiver: Cambridge University Press. Udgivelsesår: 1990. 257