0 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen I dette afnit vil vi gennemgå et ekempel hvor den intereante hypotee er om regreionlinien kærer y-aken i nul Ekempel 62 Capital Aet Pricing Model) I finanielle ammenhænge benytte the Capital Aet Pricing Model CAPM) til at betemme det forventede afkat for et givet aktiv, åom aktier i en betemt virkomhed Modellen blev introduceret i 960 erne af flere forkellige forkere uafhængigt af hinanden, og udløte Nobelprien i økonomi i 990 til Harry Markowitz, Merton Miller og William Sharpe Det forventede afkat modellere om funktion af markedet bevægeler og det åkaldte riikofri aktiv Det riikofri aktiv er afkatet på et aktiv, hvor man på forhånd kender afkatet Det varer til at ætte pengene i banken til en kendt rente i tedet for at invetere dem Det iger ig elv at afkatet er mindre end hvad man vil forvente fra en invetering, da man jo ikke riikerer noget eller er der ingen grund til at invetere! Lad r betegne afkatet af det riikofri aktiv, markedafkatet betegne med M, og afkatet af et betemt aktiv betegne med R CAPM antager at ER r) = β EM r) 60) Her er β pecifik for det konkrete aktiv vi er intereeret i og repræenterer hvor kraftigt aktivet reagerer på markedet bevægeler Man kan dagligt finde etimater af β for en lang række aktiver i finanielle avier Etimaterne benytte af invetorer til at ammenætte dere inveteringer å henigtmæigt om muligt Sammenhørende værdier af de tre tørreler r, M og R kan måle til forkellige tidpunkter, og opgive typik om månedlige afkat Vi definerer nu variablene Y i = R i r i og i = M i r i, hvor ubinde i angiver tidpunktet Modellen 60) paer da ind i modellen for en lineær regreion, definition 6, bortet fra to ting: Det tatitike udagn i CAPM er at regreionlinien kærer y-aken i nul, hvilket varer til at α = β Der er gode finanieringteoretike argumenter for dette men dem må I vente med til enere kurer Vi vil tete om antagelen virker rimelig udfra data Bemærk at dette er et andet tet end det vi har 67 Capital Aet Pricing Modellen behandlet tidligere i kapitlet, hvor vi kun har tetet for om hældningen β er forkellig fra nul Der er deværre ogå en anden afvigele, om er værere at håndtere Der er ingen grund til at tro at to målinger til to tætliggende tidpunkter kulle være uafhængige! Hvi for ekempel aktivet afkat har været højt i mart, vil vi ogå forvente at det ligger højt i april, ogå udover hvad der kan forklare med markedafkatet Vi vil derfor kun analyere data med tre måneder mellemrum og mide de mellemliggende datapunkter væk, i håb om at die data er nogenlunde uafhængige Det er ikke nogen optimal løning, men det bedte vi kan gøre med de redkaber vi har til rådighed på dette kuru På enere kurer vil metoder til at håndtere afhængighed blive behandlet I figur 67 er data for Carlberg aktier i perioden fra juli 985 til oktober 2009 plottet Data er månedlige afkat i % men kun opgivet med tre måneder mellemrum Data betår af 98 ammenhørende målinger af Y i = R i r i, betegnet y,, y 98, og i = M i r i, betegnet,, 98 Obervationerne y,, y 98 betragte om realiationer af tokatike variable Y,, Y 98 om antage at være uafhængige og normalfordelte med varian σ 2 og middelværdier α + β i ) Udfra figuren kan ammenhængen mellem Carlberg aktien afkat og markedafkatet udmærket være lineær Derudover er det ud til at regreionlinien kunne kære y-aken i nul, da punktet 0, 0) lader til at ligge meget tæt på den etimerede regreionlinie Bemærk en ektrem obervation nedert i ventre hjørne, hvor både Carlberg aktien afkat og markedafkatet er meget negativt Dette er målingen i oktober 2008 det tidpunkt hvor den finanielle krie var ved at ramme Danmark, efter at være begyndt i USA For de 98 obervationer,, 98 af markedafkatet og de tilvarende 98 obervationer y,, y 98 af Carlberg aktien afkat, vite det ig at = 620; SSD = i = 3746 ȳ = 09392; y j ȳ) i ) = 257
2 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 3 Carlberg afkat riikofrit aktiv 40 30 20 0 0 0 20 20 0 0 0 20 Markedafkat riikofrit aktiv Figur 67: Sammenhæng mellem det månedlige afkat af Carlberg aktier og markedafkatet Den rette linie er den etimerede regreionlinie ålede at etimaterne er 2 = ˆα = 09392; ˆβ = 257 3746 = 08099 98 y i ȳ ˆβ i ) = 457966, = 98 2 Etimatorerne er uafhængige, ˆα Nα, σ 2 /98), ˆβ Nβ, σ 2 / SSD ) og 96 2 σ 2 χ 2 96 De etimerede fordelinger finde ved at indætte etimaterne for de ukendte parametre Den etimerede fordeling af ˆα er Nˆα, 2 /n) = N09392, 04673), pecielt er den etimerede predning af ˆα lig / 98 = 06836 Den etimerede fordeling af ˆβ er N ˆβ, 2 / SSD ) = N08099, 0044), pecielt er den etimerede predning af ˆβ lig / SSD = 020 Den etimerede fordeling af 2 er 457966/96χ 2 96 = 04770χ 2 96 Den etimerede regreionlinie, ŷ) = ˆα + ˆβ ), er indtegnet på figur 67 I figur 68 er de ædvanlige modelkontroltegninger plottet I ventre plot er de tandardierede reidualer tegnet op mod de prædikterede værdier Punkterne lader til at ligge tilfældigt omkring nul, og prede ig lodret om tandard normalfordelte variable uanet hvor på førteaken man kigger, om de bør Bemærk at der er flere punkter tæt ved nul end langt fra, og det er derfor naturligt at e en lidt tørre predning her Der er et enkelt ektremt reidual, om tammer fra den føromtalte måling fra oktober 2008 I højre plot er tegnet et QQ-plot af reidualerne Normalfordelingantagelen er acceptabel i dette ekempel, og vi kan roligt fortætte vore analyer Standardierede reidualer 4 2 0 2 5 0 5 0 5 0 5 Etimeret markedafkat riikofrit aktiv Empirike fraktiler 4 2 0 2 2 0 2 N0,) fraktiler Figur 68: Standardierede reidualer plottet mod prædikterede værdier og et QQ-plot for de tandardierede reidualer fra analyen af Carlberg aktien For at beregne 95% konfidenintervaller for parametrene, behøver vi 975% fraktilen i t-fordelingen med n 2 = 96 frihedgrader Den er 98 Sålede er 09392 ± 98 08099 ± 98 98 = 09392 ± 3569 = 0477, 22962) 3746 = 08099 ± 02384 = 0575, 0483) 95% konfidenintervaller for α og β Hvi β = 0 varende til at Carlberg aktien ikke afhænger af markedet øvrige bevægeler er det ålede uandynligt at vi kulle have oberveret de data vi har til rådighed, da nul jo ikke er indeholdt i konfidenintervallet for β Vi ved derfor allerede at et tet for om hældningen er nul vil være tatitik ignifikant, men vi kan ikke umiddelbart e p-værdien udfra konfidenintervallet Dette er ikke å overrakende det ville være mærkeligt hvi Carlberg aktien overhovedet ikke fulgte markedet øvrige bevægeler
4 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 5 Vi vil nu tete om hældningen kan være nul, om vi har gjort tidligere i kapitlet Dette varer til hypoteen H : β = 0 Værdien af t-tettørrelen er t = og tetandynligheden er ˆβ / 08099 = SSD / 3747 = 67430 εy) = 2P T 67430) = 0 9 hvor T t 96 Der er ålede tærk eviden mod hypoteen om afvie på 5% ignifikanniveau, om vi allerede vidte fra konfidenintervallet Konkluionen er at Carlberg aktien følger markedet øvrige bevægeler, om angivet i modellen Huk at CAPM antager at regreionlinien kærer y-aken i nul, varende til at middelværdien af afkatet af aktivet ikke er tørre end det riikofri aktiv, hvi markedet generelle afkat heller ikke er tørre end det riikofri aktiv Det er ålede intereant at tete om α kan antage at være lig β For at tete hypoteen H : α = β kan vi om vi allerede har et flere gange gøre følgende: etimere parametrene under hypoteen, opkrive kvotienttettørrelen, betemme p-værdien og til idt vurdere om hypoteen kan acceptere eller kal afvie, afhængigt af den fundne p-værdi Vi vil kyde en genvej, og den flittige læer kan elv udføre de relevante beregninger og e at man kommer frem til det amme reultat Dette er tillet om en opgave I afnit 65 fandt vi fordelingen af den tokatike variabel Ŷ ) for fat, dv den etimerede regreionlinie i et givet punkt Vi er intereerede i punktet = 0 og har at )) n Ŷ 0) N α β, σ 2 + SSD )) Vi har derfor at Ŷ 0) N 0, σ 2 + under hypoteen H : α = n β Betragt nu de tokatike variable U = Z = T = Ŷ 0) σ N0, ), n 2)2 σ 2 χ 2 n 2, U Z/n 2) = Ȳ ˆβ t n 2, hvor de angivne fordelinger er under hypoteen Fordelingen af T følger fordi U og Z er uafhængige Vi kan derfor udføre et tet på den oberverede værdi af T og vurdere den i t-fordelingen med n 2 frihedgrader, og finder at p-værdien er givet ved εy) = 2P T t ) = 2 F tn 2 t ) ) I ekemplet med Carlberg aktien få t-tettørrelen t = og p-værdien er ˆα ˆβ 09392 08099 620 = = 00027 + 6202 98 3746 εy) = 2P T 00027 ) = 0998 Dette er en meget høj p-værdi! Vi accepterer derfor hypoteen dv die data giver eviden til CAPM Da vi har accepteret hypoteen kal vi opdatere vore etimater Likelihoodfunktionen under hypoteen er L y : R 0, ) R L y β, σ 2 ) = 2πσ 2 ) n/2 ep 2σ 2 ) y i β i På tilvarende måde om i afnit 62 kan et makimum likelihood etimat for β finde ved at minimaliere y i β i
6 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 7 der har løningen ˆβ = y i i n 2 i Ligelede kan man nemt finde makimum likelihood etimatoren for σ 2, ˆσ 2 = n y i ˆβ i Regn elv efter! Som ædvanlig benytte i tedet den centrale etimator 2 = n y i ˆβ i På amme måde om vi å i afnit 62 kan det vie at etimatorerne ˆβ = Y i i n, 2 = Y i 2 i n ˆβ i er uafhængige, og dere marginale fordelinger er givet ved ) σ ˆβ 2 N β,, n σ 2 χ 2 n 2 i Bemærk at vi nu dividerer med n i varianetimatet fordi nˆσ 2 σ 2 χ 2 n Vi etimerer kun en middelværdiparameter og miter derfor kun en frihedgrad I ekemplet med Carlberg aktien få ålede at etimaterne er y i i = 2678; ˆβ = 2678 33070 = 08098, 2 = 2 i = 33070 98 y i ˆβ i = 453244, = 67323 98 Bemærk at etimaterne tort et er de amme om før Dette er endnu et udtryk for at hypoteen om at regreionlinien kærer y-aken i nul er meget plauibel Den etimerede regreionlinie, ŷ) = ˆβ kan faktik ikke kelne fra regreionlinien fra den fulde model indtegnet på figur 67 Etimatorerne er uafhængige, ˆβ Nβ, σ 2 / 2 i ) og 97 2 σ 2 χ 2 97 Den etimerede fordeling af ˆβ er N ˆβ, 2 / 2 i ) = N08098, 0037), pecielt er den etimerede predning af ˆβ lig / 2 i = 07 Den etimerede fordeling af 2 er 453244/97χ 2 97 = 04673χ 2 97 Det er let at vie at et α -konfideninterval for β er givet ved For Carlberg aktien få at ˆβ ± t n, α /2 2 i 08098 ± 98 6732 33070 = 05775, 0422) er et 95% konfideninterval for β Den etimerede regreionlinie er ŷ) = ˆβ = 08098 og den etimerede fordeling af Ŷ ) er )) )) N ˆβ, 2 2 2 = N 08098, 453244 2 i 33070 Et 95% konfideninterval for regreionlinien i punktet er givet ved 2 08098 ± 98 67323 33070 I figur 69 e regreionlinien indtegnet med punktvie 95% konfidengræner om tiplede kurver Bemærk at der ingen uikkerhed er for etimatet af regreionlinien i = 0 Det kylde at modellen antager at værdien her er nul - dv vi ikke etimerer noget i dette punkt Antag at der kommer en ny måling af markedafkatet og det riikofri aktiv ålede at differenen er 0% Vi vil da gerne prædiktere Carlberg aktien afkat Vi får Ẑ = ˆβ = 08098 0 = 8098
8 Lineær regreion Et 95% prædiktioninterval for afkatet af Carlberg aktien fratrukket det riikofri aktiv er til dette tidpunkt givet ved Ẑ ± t n,0975 + 2 SSD = 8098 ± 98 67323 = 54642, 26606) + 02 33070 I figur 69 er de punktvie 95% prædiktiongræner vit om prikkede kurver Bemærk at 7 obervationer falder udenfor grænerne I gennemnit vil vi forvente at 5% af obervationerne falder udenfor prædiktionkurverne, hvilket paer meget godt da vi har 98 obervationer i alt Til idt bør bemærke at modellen ikke kan fange ektreme begivenheder åom pludeligt optåede finanielle krier, der her giver ig udtryk i den ektreme måling fra oktober 2008 Man kunne overveje at gentage analyen hvor denne måling udelade for at e hvor tor indflydele den har på reultatet Hvi reultatet ikke ændrer ig nævneværdigt kan man tadig tole på konkluionerne Carlberg afkat riikofrit aktiv 40 30 20 0 0 0 20 20 0 0 0 20 Markedafkat riikofrit aktiv Figur 69: Regreionlinie fuldt optrukket), punktvie konfidenintervaller tiplet) og punktvie prædiktionintervaller for Carlberg aktien