Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal vi analysere bevægelsen og modellere en formel for bevægelsesmønstret med inspiration af Newtons indsigter. Vi vil her gennemgå et eksempel med et kast med en basketbold, så I kan se, hvad I skal gøre med jeres ene billedoptagelser fra jeres idræt. I reglen skal man have flere billeder end vi har her, men for enkelthedens skyld viser vi det med fire billeder. Vi har optaget følgende billeder: Bemærk de grønne markeringsspot i bunden af billedet, der sikrer, at vi kan arbejde korrekt med billederne i forhold til hinanden. Vores opgave er, at få rekonstrueret boldens bane og dernæst få lavet en formel for boldens bevægelse i kastet. Dette kan gøres på flere måder. Til forskel fra Newton anvender vi moderne værktøjer som computerprogrammer og moderne it-regression. Men bortset fra det, er principperne i at overføre observationer om genstandes bevægelser til matematiks sprog i princippet det samme som Newtons. Målet er at få sat naturen på formel, så vi kan forudsige og forstå naturen. Vi anvender både GeoMeter og TI-interactive for at arbejde med vores digitale billeder. Vi starter med at kopier første billede ind i GeoMeter, for at sætte boldens position ind i et koordinatsystem: Start med at kalde koordinatsystemet frem: Morten Birk Christensen 2006 1
Vi indfører nu vores billede ind i GeoMeter. Det gøres ved at kopiere billedet fra et andet program, f.eks. Paint. Vi vælger indsæt i GeoMeter i Rediger-menuen. Vi kan trække i billedets nederste venstre hjørne og justrere billedets størrelse og form så der står fint i forhold til akserne i koordinatsuystemet og/eller fixpunkter (f.eks. de grønne markeringsspot) anbringes på bestemte steder i koordinatsystemet. Det sikrer, at vi kan placere næste billede korrekt i forhold til det første. Derefter afsætter vi et punkt lige midt i bolden på billedet. Herefter indføres det andet billede ovenpå det første. Her bruges de grønne markeringer, samt billedramme. Der afsættes en prik i boldens centrum. Vi skal nu have fjernet andet billede igen så første billede står alene tilbage. Derefter indføres tredje billede ovenpå det første og bolden markeres på samme måde som før. Således fortsættes til vi har en række punkter på boldens bevægelsesbane. Vi finder punkternes koordinater ved at højreklikke på punktet. Nu har vi boldens positioner angivet i et koordinatsystem, med den vandrette afstand ud af x-aksen og den boldens højde ud af y-aksen. Vi har m.a.o. indført variablerne afstand og højde. Morten Birk Christensen 2006 2
Nu skal vi bruge TI-interactive. Vi skal indsætte vores koordinatsæt i en liste. Du åbner listemenuen ved knappen list Vi har værktøj brug for et i TI, der tilpasser den bedste linie gennem punkterne. Vi vælger kvadratisk regression, for at se om en andengradsfunktion passer nogenlunde. Vi skal markere de tal vi skal lave regression på og åbne Stat Calculation Tool. Nu vælges Quadratic Regression og vi får et udtryk for den bedste kvadratiske 2 linie gennem vores punkter. Når R -værdien ligger tæt på 1 indicerer det, at punkterne beskrives godt ved den fundne formel. Vi hakker alle værdierne af og gemmer resultatet, der bliver overført til vores IT-dokument. Morten Birk Christensen 2006 3
Vi har nu næsten modelleret en formel, som vi kan taste ind i vores grafvindue i GeoMeter. Dette gøres i Plot ny funktion i grafmenuen. Da kun en del af grafen giver mening, kan vi afgrænse definitionsmængden ved at højreklikke på grafen i GeoMeter og gå ind i egenskaber. (se illustration næste side). Man kan overveje og diskutere hvor grafen skal starte fra. Her vælges det sted hvor personen kaster fra, nemlig ved x = 1. Basketkurven er ved x = 8, hvorfor vi stopper grafen her. M.a.o. er definitionsmængden [ 1 ;8]. Denne afgrænsning styres under fanebladet Plot i vinduet for egenskaber. Vi har nu en matematisk formel for vores basketkast, hvor vi bekræfter Newtons og Galileis opdagelse af, at genstande vi kaster med i en skrå udgangsvinkel tilnærmet kan beskrives som en andengradsfunktion altså en parabel. Hvad kan man bruge det til? Er man sportsudøver kan man f.eks. analysere forskellige personer med god teknik og analysere og sammenligne med egne kasteparabler. Man kan også analysere forskellige bolde eller genstande og Morten Birk Christensen 2006 4
dermed evaluere effektiviteten af forskellige boldtyper og materialer mm. Mht. egne eller dyrs spring, kan man således analysere bevægelsen, og bruge det som afsæt til ny træning. Men måske du selv kan se flere anvendelsesmuligheder. Hastighed i kasteparabler øvelse 2 For at måle genstandens (boldens) hastighed skal vi bruge en film, hvor vi ved hvor lang tid der er gået på et billede i forhold til hvornår (genstanden) bolden blev skudt af sted. Vi bruger en laboratoriumopstilling, hvor en kugl sendes af sted fra en lille kanon (findes i frontermappen Tyngdekraften i din idræt i mappen AT-forløb ). De 1 fleste kameraer tager 25 billeder pr. sekund; dvs. der er et billede pr. sekund. 1 25 Denne film er godt nok utraditionel da den tager 20 billeder pr. sekund Vi skal nu tage stilbilleder ind i GeoMeter, på samme måde som basketbillederne og markere boldens placering. Da vi ved der er et billede pr. 1 sekund, kan vi regne 20 tiden ud il en given placering af kuglen. Vi åbner filmen og bruger piletasterne på tastaturet, til at steppe et billede frem ad gangen. Jeg vælger at starte med tidtagningen fra det sted, hvor kuglen er for starten af den vandrette lineal. Jeg kan derefter regne tilbage og finde hastigheden ved udgangspunktet. Jeg vælger også kun at tage hvert andet billede, så jeg har en tidsforøgning på 2 sekund pr. boldobservation. Jeg får 14 billeder ud fra filmen, 20 som jeg tager ind i GeoMeter og registrere kuglens placering. (Bemærk tallene på linealerne. Når man ligger billederne over hinanden kan man styre, at omgivelserne på billederne ligger lige over hinanden). 2 1 Enkelte kameraer tager med frekvensen ; dvs. et billede pr. 12.5 sekund. 25 Morten Birk Christensen 2006 5
Allerede ved denne indtastning, ser det meget ud til at vi har fået en parabelstruktur som forventet. Vi finder koordinaterne og indfører dem i TIinteractive. Når vi åbner TI-interactive, indfører vi også tidsparameteren. Dette ved at vi giver hver billede et nummer og i parameteren Tid udregnes ved billede-nr. multipliceret med den valgte billedfrekvens; her 2 sekund. Derved har vi 20 opstillet en korrekt tidsforskel mellem de kugleplaceringer vi har koordinater for. Vi regner altså tiden ud på en given kugleplaceringen i forhold til valgte begyndelsespunkt. Vi taster koordinatplaceringerne ind i samme liste. Vi laver nu en Kvadratisk regression; dvs. vi finder den bedst tilnærmede kvadratiske funktion til de punkter vi har i GeoMeter. Men sidst gjorde vi det på den parabelbue vi kunne se i kuglebanen; altså højden som funktion af afstanden. Skulle vi se en kurve for tiden som funktion af højden kan vi vælge Morten Birk Christensen 2006 6
kolonnen Tid og kolonnen Afstand, hvorefter vi vælger grafvisningsværktøjet i TI-interactive. Vi kan lave regression på både kasteparablen i GeoMeter, som vi gjorde det sidst. Husk at tjekke, at Hoejde og afstand står rigtigt i input! Vi kan indføre funktionen i GeoMeter, som vi gjorde sidst. Vi kan også lave kvadratisk regression på højden som funktion af tiden (den graf vi lavede i TI-interactive). Morten Birk Christensen 2006 7
I TI-interactive åbnes grafvinduet og under fanebladet defineres funktionen (man kan copy-paste formlen fra regressionen). I GeoMeter ses det, at parablen bliver mere stejl, da tiden mellem punkerne er numerisk mindre end længden mellem punkterne. Vi overfører tidsparablen til et nyt koordinatsystem i GeoMeter. Ved at vælge rektangulært gitter i grafmenuen, kan vi trække i x-aksen og lave parablen flad. Vi kan nu finde den reelle hastighed ved at se på hældningen til tangenten i et givent punkt. Vi husker vi gjorde det ved at plotte faste punkter på x-aksen og derefter vælge tangentværktøjet i makromenuen (kræver, at du har opgraderet dit GeoMeterprogram). Morten Birk Christensen 2006 8
Vi har her fundet hastighederne ved tiden 0.1 sekund og 0.4 sekund efter det valgte starttidspunkt. Dvs. at hastigheden ved tiden 0.1 sek. efter start er 8.96 m/s og efter 0.4 sek. er 4.6 m/s. Vi husker, at vi også kunne bruge f (x) metoden, ved at højreklikke på funktionen og vælge Differentialkvotient. Vi kan nu finde en række punkter for hastigheden, som vi gjorde i det oprindelige eksempel med basketbolden men nu er de i enheden meter pr. sekund Vi ser at hvis kuglen var fløjet i jorden var det med en hastighed på omkring -7.5 m/s. I kan finde tiden hvor hastigheden på kuglen er nul, dvs. tyngdekraften og den afsendingskraft der er tilbage ophæver hinanden. Vis hvordan! Gå tilbage til GeoMetergrafen med den faktiske kasteparabel og vis hvornår på kurven har sit højeste punkt (toppunktet) Morten Birk Christensen 2006 9
Kan du vise, at der er en sammenhæng mellem x-værdien ved kasteparablens toppunkt og den x-værdi, der svarer til den tid hastighedsparablen har hastigheden nul. Hvis vi nu afbilleder hastigheden som funktion af tiden Får vi en aftagende ret linje. Hastigheden falder altså i takt med afstanden fra kastestedet. Men hvilken formel tilpasser hastighedspunkterne bedst? Vi havde jo funktionen for en vilkårlig hastighed i GeoMeter, som var f `(x). Men hastighedsværdierne var netop fremkommet ved forskellige x-værdier i f `(x). Så Derfor bør f `(x) være den linie der passer præcist til punkterne, Vi kunne også se af formlen, at f `(x) var en lineær funktion altså en ret linie. Hvordan? Nedenfor er det vist, at f `(x) er en ret linie og tilnærmer punkterne præcist. Differentialkvotienten f `(x) vil altid være en lineær funktion, hvis f (x) er en kvadratfunktion; altså en parabel. Morten Birk Christensen 2006 10
Havde vi haft en bevægelse, der ikke var en parabelfunktion og fandt f `(x) ville vi ikke få en ret linie. Tangenternes hældning til en sådan ville være accelerationen Men tager vi hældningen af linien ovenfor er det også accelerationen på kuglen eller rettere decelerationen; dvs. hvordan kuglen langsomt falder i hastighed pr. tidsenhed. Helt som Galileo så det, tilnærmer decelerationen for legemer frit i luften tyngdekraften Grunden til vi får omkring 9.3 er, at der også er en luftmodstand, der påvirker kuglen til at tage farten af. Galileo opdagede tyngdekraften med lodrette kast, men ellers er princippet det samme. Morten Birk Christensen 2006 11