Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN 978-87-593-1858-4 E-bog ISBN 978-87-593-2318-2 Samfundslitteratur Rosenørns Allé 9 1970 Frederiksberg C Tlf: 38 15 38 80 Fax: 35 35 78 22 slforlag@sl.cbs.dk www.forlagetsl.dk samfundslitteratur.dk Alle rettigheder forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.
Indholdsfortegnelse Forord................................ 5 KAPITEL 1................................. Den indledende analyse: Tabeller og figurer.............. 7 1.1. Tabellens bestanddele........................ 7 1.2 Anvendelse af procenttal og simple indekstal.......... 10 1.3 Figurer: Kurve- og søjlediagrammer................ 12 1.4 Logaritmisk afbildning og beregning af vækstraten....... 20 1.5 Oversigt: Forskellige kurvediagrammer forskellige formål.. 29 1.6 Manipulation med figurer et eksempel............. 32 Opgaver................................... 36 KAPITEL 2 Prisrensning (deflatering) af en tidsserie............... 39 2.1 Deflatering ved hjælp af prisindeks................ 39 2.2 Beregning af et samlet prisindeks for flere varer......... 43 2.3 Prisindeksproblemet og forskellige typer af prisindeks..... 47 Opgaver................................... 51 KAPITEL 3 Sæson, trend og konjunktur i tidsserier................ 53 3.1 Indledning og formål........................ 53 3.2 Sæsonkorrektion........................... 55 3.3. Trend og fremskrivning....................... 66 3.4 Konjunkturkomponenten...................... 76 3.5 Konjunkturforudsigelse via en ledende indikator........ 82 Opgaver................................... 88
KAPITEL 4 Fordelingsbeskrivelse: Positionsmål og spredning......... 91 4.1 Positionsmål: Gennemsnit, modus og median samt fraktiler. 91 4.2 Spredning: Varians og standardafvigelse mv............ 102 4.3 Sammenligning af gennemsnit for to populationer: Standardberegning via vejet gennemsnit............. 112 Opgaver................................... 116 KAPITEL 5 Korrelation og regression........................ 119 5.1 Indledning.............................. 119 5.2 Korrelation og korrelationskoefficient............... 123 5.3 Regressionsanalyse.......................... 127 Opgave................................... 139 Bilag 1. Menuer Hvor findes i Excel: funktioner, Hvor findes dataanalyser funktioner, mv.? dataanalyse...... mv.?..... 141 Bilag 2: Anvendte statistiske funktioner funktioner og dataanalyser i Excel i. Excel............. 143 Bilag 3. Statistikbanken en vejledning................ 145 Stikordsregister............................... 149
Forord Praktisk statistik beskæftiger sig med bearbejdning og præsentation af data. Data er grupperede data, dvs. tabeller, hvor fx antal personer er summeret pr. gruppe eller kendetegn (aldersgrupper, indkomstgrupper osv.). Til forskel herfra omhandler teoretisk statistik metoder til analyse og test af individdata, fx for hver enkelt person i en spørgeskemaundersøgelse. Praktisk statistik er nært knyttet til beskrivende økonomi (erhvervs- og samfundsbeskrivelse / empirisk økonomi), der baseres på generel statistik over økonomiske og sociale forhold. Beskrivelse af tidsserier udgør en betydelig del af praktisk statistisk metode. Det drejer sig om beskrivelse og præsentation af udviklings- eller vækstforløb, korrektion for inflation (deflatering) og identifikation af sæson-, trend- og konjunkturelementer. Det har relevans for beskrivelsen af en virksomheds produktionsudvikling og konjunktursituation. I bogen anvendes også konstruerede taleksempler for bl.a. udviklingen i omsætningen i en virksomhed. Der tages så vidt muligt udgangspunkt i samme eksempel i redegørelsen for de enkelte områder, således at de successive trin i bearbejdningen af et datamateriale fremstår mere klart. I slutningen af hvert kapitel indgår opgaver, som i stort omfang er dækkende for indholdet i kapitlet. Analyser I denne 5. og udgave beregninger anvendelse foretages af Excel ved hjælp udvidet af til Excel. at omfatte I kapitel behandlingen 1 vises, hvordan af alle udarbejdelsen temaer i bogen. af I tabeller nogle tilfælde, med fx hvor indekstal Excel foretages også tidligere i et Excel har indgået, regneark, erog fremgangsmåden det illustreres, hvordan blevet udbygget man kan danne eller tydeliggjort. forskellige figurer i Excel, fx med logaritmisk afbildning. 5
I kapitel Emnemæssigt 3 og 5 indgår er især anvendelse temaet konjunkturvurdering af statistiske funktioner omskrevet og dataanalyser. udvidet. I Der bilag lægges 1 vises, her hvor vægt funktioner på at vise, og hvordan dataanalyser man anven- findes og der i Excel. en simpel korrelationsanalyse af sammenhængen mellem en ledende Denne indikator 6. udgave oger udviklingen ajourført med i en anvendelse given økonomisk af Excel størrelse. Nogle Excel procedurer er præciseret. I bilag 2 vises en oversigt 2010. over Desuden relevante er der funktioner indføjetog en dataanalyser vejledning tili Statistikbanken Excel 2010 og 2007. (bilag 3). Statistikbanken er nu hovedkilden til generel, offentlig statistik. April 2013 Per Vejrup-Hansen Maj 2008 Per Vejrup-Hansen 6
KAPITEL 1 Den indledende analyse: Tabeller og figurer Dette kapitel har et dobbelt formål. På den ene side er formålet at redegøre for selve udformningen af tabeller og figurer. Der er en række formelle krav, som altid skal overholdes, og der findes forskellige typer af fx figurer, som man kan vælge at anvende. På den anden side er det samtidigt et formål at vise, hvordan en successiv anvendelse af forskellige typer af tabeller og figurer udgør en indledende fase i en beskrivende analyse. Af denne grund vil der så vidt muligt blive anvendt et gennemgående case i kapitlet (en industrivirksomheds omsætning). 1.1. Tabellens bestanddele En tabel er en komprimeret, overskuelig og præcis præsentation af et talmateriale. En tabel skal kunne stå alene, dvs. at man skal kunne læse og forstå budskabet i en tabel uden at læse den tekst, som den sædvanligvis knytter sig til. Som eksempler på at tabeller faktisk kan læses alene, kan der peges på fx Statistisk Årbog. Tiårsoversigt. Bortset frasom afsnit følge medheraf definitioner stilles der afnogle begreber bestemte findesformelle der ikke krav heri til nogen tabellers tekst, og der figurers vedrører - udformning de enkelte tabeller og indhold. (eller Hovedkravet figurer). er: Som følge heraf stilles der nogle bestemte formelle krav til tabellers og figurers - udformning og indhold. Hovedkravet er: 7
En tabel eller figur skal kunne læses og forstås alene, dvs. at population, begreber, tidspunkt eller tidsperiode, måleenhed, kilde osv. skal fremgå af selv tabellen. I det følgende skal vi se på tre forskellige tabeller. Alle tre tabeller ses i tabel 1.1 1.3, hvor de er vist samlet i et Excel regneark. Tabel 1.1 er grundtabellen, som er basis for dannelsen af de to andre tabeller. Tabel 1.1 1.3. Virksomhedens omsætning af 3 varegrupper A, B og C, 2002-2007 8
Tabel 1.1 viser den årlige omsætning målt i 1.000 kr. i en virksomhed i perioden 2002-2007, fordelt på tre varegrupper A, B og C. En tabel skal indeholde følgende bestanddele: Tabelnummer, med fortløbende nummerering Tabel-overskrift. Her skal det så præcist og så udtømmende som muligt fremgå, hvad der er tabellens indhold, dvs. population (her virksomhed X), hvad der måles (i tabel 1.1 omsætningen i 1.000 kr.) samt hvilke dimensioner eller variabler, der indgår i tabellens forspalte og hoved - her henholdsvis varegrupperne A-C og kalenderårene 2002-2007. Forspalte der angiver, hvad der kendetegner den enkelte række eller linie (her varegrupperne A-C og i alt). Tabel-hoved - der angiver kendetegn for de enkelte søjler eller kolonner, her kalenderårene. Måleenheden. Den angives under tabelhovedet og lige over tallene, fx 1.000 kr., mia. kr., 1.000 stk., procent osv. (i tabellerne her fremgår måleenheden også i overskriften). Anmærkning(er), note(r) og kilde(r). Disse placeres under selve tabellen i betydningen tallene i den nævnte rækkefølge. En anmærkning er en uddybende oplysning af generel art, dvs. oplysningen vedrører ikke ét enkelt punkt i tabellen. En note angår derimod én bestemt del af tabellen, fx et bestemt år, varegruppe e.l. Kildeangivelsen er obligatorisk, og den bør være så præcis som muligt (fx Statistisk Tiårsoversigt Årbog 2007, side 2007, 68 side eller 68 Statistikbanken eller Statistikbanken / FIKS2). / FIKS2). Læseren opfordres til at kaste et blik på tabellerne 1.1 1.3 for at konstatere, om de overholder de nævnte krav. En tabel som tabel 1.1 vil typisk være en første, indledende tabel i en beskrivende undersøgelse. At den kun er en indledende tabel hænger sammen med, at der indgår absolutte tal i denne tabel, nemlig omsætningen i 1.000 kr. En sådan tabel er i virkeligheden 9
vanskelig at læse, dvs. fortolke. Det interessante er 1) hvordan fordelingen på de tre varegrupper ændrer sig over tid, og 2) hvordan omsætningen vokser relativt (procentvist) i løbet af perioden. Formålet med tabel 1.2 og 1.3 er at præsentere oplysningerne i tabel 1.1 på en overskuelig og letlæselig måde. 1.2. Anvendelse af procenttal og simple indekstal Tabeller med procenttal og simple indekstal ses i henholdsvis tabel 1.2 og tabel 1.3 ovenfor. Før indholdet i tabellerne omtales, skal der gives nogle tekniske bemærkninger om beregningen i de to tabeller. Start med at kopiere tabel 1.1 til et nyt sted i regnearket, og slet der selve tallene. Så har man rammen til den nye, afledte tabel, idet overskift, måleenhed og noter mv. selvfølgelig ændres. I hver af tabellerne startes med at angive beregningen for den første celle i tabellen, dvs. tallet øverst til venstre. Herefter kopieres nedad og til højre med fyldhåndtaget. i tabel 1.2 (procenttal): Tallet i celle B15 beregnes som: =B4/B$7*100. Når B7 er indsat (klikket på), indsættes dollartegnet ved gentagne tryk på tasten f4 indtil $-tegnet står foran 7-tallet. $-tegnet fastlåser i alt-tallene i række 7 som konstanter. i tabel 1.3 (indekstal): Tallet i celle B26 beregnes som: =B4/$B4*100 (som er vist i formellinien). Her trykkes på tasten f4 indtil $-tegnet står foran B, således at tallene i kolonne B (for 2002) fastholdes som konstanter i nævneren. Som kontrol skal alle tal i 2002-kolonnen være lig med 100. Procenttal I tabel 1.2 får man for det første et klart indtryk af størrelsesforholdene, dvs. at varegruppe A tegner sig for omkring halvdelen af omsætningen, mens de to andre varegrupper hver udgør omkring en fjerdedel. For det andet kan man se, at varegruppe C s andel af omsæt- 10
ningen falder frem til og med 2005, og stiger derefter. Det er et udtryk for, at omsætningen af varegruppe C stiger langsommere end omsætningen af de øvrige varegrupper, dvs. A og B under ét. Nedgangen i varegruppe C s andel af omsætningen er ikke ikke er ensbetydende med, at der da har været et absolut fald i omsætningen af varegruppe C. Af tabel 1.1 fremgår, at der på intet tidspunkt har været en absolut nedgang i omsætningen af varegruppe C omsætningen af de øvrige varegrupper er er blot vokset kraftigere. Simple indekstal Er formålet at belyse den tidsmæssige udvikling i omsætningen af de tre varegrupper, er det hensigtsmæssigt at anvende simple indekstal. Det fremgår af tabel 1.3. I dette tilfælde er det første år, 2002, valgt som sammenligningsår. Man vil typisk anvende det første år som det år, hvor talstørrelsen sættes lig med 100. Det gøres for hver af varegrupperne. Indekstallene for de følgende år fremkommer som årets talværdi i procent af tallet i sammenligningsåret, her 2002. Indekstal = Talværdi i år X Talværdi i sammenligningsår (2002) 100 Indekstallet for varegruppe A i 2003 beregnes således som (2.570/2.400) x 100 = 107,1 svarende til en stigning på 7,1 pct. i forhold til 2002. I 2004 som (3.000/2.400) x 100 = 125,0 svarende til en stigning på 25,0 pct. i forhold til 2002. Indekstal viser således den procentvise stigning i forhold til ét bestemt år, sammenligningsåret. Tabel 1.3 viser, at omsætningen i perioden 2002-2007 stiger med 85,0 pct. for varegruppe A, 95,0 pct. for varegruppe B og 61,7 pct. for varegruppe C. På denne måde kan man ved hjælp af indekstal umiddelbart fortolke og sammenligne forskellige tidsserier. Ved hjælp af in- 11
dekstal opnås en normering af talserierne, dvs. at de alle får et ensartet niveau som udgangspunkt (indekstal 100 i sammenligningsåret). De bagved liggende tal, jf. varegrupperne i tabel 1.1, har et forskelligt niveau, hvilket kan vanskeliggøre en sammenligning af udviklingsforløbet (væksten), som der fokuseres på i forbindelse med indekstal. Til gengæld forsvinder niveauforskelle mellem forskellige kategorier 1. Visse tidsserier forekommer kun i form af indekstal. Det gælder prisindeks, fx forbrugerprisindekset. Skal en tidsserie, fx over omsætningen, da præsenteres eller anvendes sammen med prisindeks, vil det være naturligt og hensigtsmæssigt at omdanne tidsserien til indekstal (jf. senere i kapitel 2). 1.3. Figurer: Kurve- og søjlediagrammer I dette afsnit skal der først og fremmest redegøres for, hvordan nogle typiske figurer til illustration af de foregående tabeller kan se ud. Der findes en række forskellige diagrammer eller figurer, og formålet er ikke at give en udtømmende oversigt over disse. Et godt indtryk af variationsmulighederne kan fås ved at studere figurerne i Statistisk Tiårsoversigt. Årbog. I denne gennemgang skal der primært ses på henholdsvis kurvediagrammer og søjlediagrammer, som er er de de mest almindelige og og hensigtsmæssige figurer til illustration af udviklingsforløb og fordelinger på flere tidspunkter. Inden I Excel for findes kategorien figurer af i fanen søjlediagrammer Indsæt. Kurvediagrammer redegøres der til findes sidst i for kommandoen det såkaldte Streg, histogram. søjlediagrammer i kommandoen Søjle. Det relevante tabelområde markeres først, og derefter anvendes kommandoen. 1) Det er således problemstillingen, der bestemmer, om man skal anvende indekstal. I visse sammenhænge kan der være tale om, at det er holdninger og interesser, der bestemmer præsentationsformen. Drejer det sig fx om en belysning af lønudviklingen, kan det tænkes, at en organisation for højtlønnede i højere grad anvender indekstal end en organisation for lavtlønnede. 12
Figur 1.1: Omsætningen af virksomhedens tre varegrupper A-C, 2002-2007. I 1000 kr. Omsætning 1000 kr. 5000 A 4000 3000 2000 B C 1000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Kilde: Tabel 1.1. År Kurvediagrammer Kurvediagrammer anvendes typisk til illustration af en tidsserie, et udviklingsforløb. Et eksempel herpå er figur 1.1. Figur 1.1 er en illustration af den information, der findes i tabel 1.1. Tallene heri afbildes som punkter, der forbindes med lige linier fra punkt til punkt, dvs. med et knækket forløb. I Excel kan man vælge mellem en sådan knækket type med lige linier eller en type med et udglattet forløb. Man bør altid vælge førstnævnte knækkede type. Hvis de pågældende talstørrelser starter med en høj værdi i forhold til nulpunktet (origo), vælger man ofte at bryde ordinataksen eller den lodrette akse (der i Excel betegnes som Y-aksen). 13
Det skyldes hensyn til pladsbesparelse, idet en betydelig del af Det skyldes hensyn til pladsbesparelse, idet en betydelig del af koordinatsystemet (den nederste del) del) da da ikke ikke bruges, bruges, dvs. dvs. er tom. er koordinatsystemet (den nederste del) da ikke bruges, dvs. er I tom. Excel brydes aksen sådan: Højre-klik på talområdet (et tal) ved tom. ak sen/vælg Det illustreres Formatér figurakse /vælg 1.2, der samtidig Minimum: viser en Fast afbildning og skriv aftal/ indekstallene Det illustreres tabel 1.3. i figur Hvis 1.2, den der samtidig lodrette akse viser skulle en afbildning begyndes af Det illustreres i figur 1.2, der samtidig viser en afbildning af indekstallene i tabel 1.3. Hvis den lodrette akse skulle begyndes Luk. indekstallene med 0, ville figuren i tabel optage 1.3. Hvis dobbelt den lodrette plads. akse detteskulle tilfælde begyndes startes med 0, ville figuren optage dobbelt plads. dette tilfælde startes med indekstal 0, ville figuren 100, dvs. optage aksen dobbelt er virkeligheden plads. I dette brudt. tilfælde Indekstal startes med indekstal 100, dvs. aksen er virkeligheden brudt. Indekstal med 100 er indekstal her den100, laveste dvs. værdi, aksen er idet i virkeligheden der udelukkende brudt. erindekstal tale om 100 er her den laveste værdi, idet der udelukkende stigninger pågældende talstørrelser 2 er tale om 100 her den laveste værdi, idet der udelukkende stigninger de pågældende talstørrelser 2 er tale om stigninger i de pågældende talstørrelser 2. Figur 1.2: Omsætningen af virksomhedens tre varegrupper A-C, Figur 1.2: Omsætningen af virksomhedens tre varegrupper A-C, 2002-2007. Indeks 2002=100. 2002-2007. Indeks 2002=100. Indeks 2002 Indeks= 100 2002 = 100 200 B 200 B A A 180 180 C C 160 160 140 140 120 120 100 100 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2002 Kilde: Tabel 1.3. 2003 2004 2005 2006 2007 Kilde: Tabel 1.3. År År 2) Excel frembringer automatisk en brudt Y-akse, hvis det område, som talværdierne 2) Excel dækker, frembringer ligger betydeligt automatisk overen nulpunktet, brudt Y-akse, dvs. hvis det pladsbesparelsen område, som ved talværdierne at starte Y-aksen dækker, ved ligger enbetydeligt værdi over over nulnulpunktet, er relativ stor. dvs. Man hvisskal pladsbesparelsen altid være opmærksom ved at starte på, hvad Y-aksen Excel-programmet ved en værdi over gør, nul oger i hvert relativtilfælde stor. Man tageskal stilling altidtil, være omopmærksom aksen bør være på, brudt hvad Excel-programmet eller ej. gør, og i hvert tilfælde tage stilling til, om aksen bør være brudt eller ej. 14 14
Formålet med figurerne er at give et overskueligt indtryk af de talmæssige forhold. Men samtidig gælder det, at forskellige typer af figurer giver forskellige indtryk, dvs. de formidler forskellige budskaber. Det ses tydeligt ved at sammenligne figur 1.1 og figur 1.2. Sidstnævnte, som er lavet på grundlag af indekstal, signalerer en meget kraftig vækst i omsætningen. Det skyldes ikke så meget, at der er tale om indekstal, men især, at den lodrette akse er brudt (hvorved man så at sige starter fra et nulpunkt, hvilket ikke er tilfældet i figur 1.1). Fordelen ved figur 1.2 er, at den viser, at den relative (procentvise) stigning i omsætningen faktisk er størst for varegruppe B. Af figur 1.1 kunne man ellers forledes til at tro, at stigningen er størst for varegruppe A. Endelig viser begge figurer, at det er i årene frem til og med 2005, at varegruppe C mister terræn. I afsnit 1.6 vises med udgangspunkt i et eksempel, hvordan man ved hjælp af forskellige figurer kan formidle vidt forskellige budskaber, eller hvordan man kan manipulere med figurer. Søjlediagrammer Søjlediagrammer anvendes til illustration af fordelinger, dvs. af den indbyrdes fordeling mellem forskellige kategorier. Fordelingen kan enten opgøres som fordelingen af de absolutte størrelser (antal, beløb mv.) eller som den relative, procentvise fordeling. I figur 1.3 vises et søjlediagram over den relative fordeling af omsætningen på de tre varegrupper i tre forskellige år, 2002, 2005 og 2007. 15