Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x + h, y) f(x, y) = lim h h f(x, y + h) f(x, y) = lim h h (1) (2) og så fremdeles Regnereglerne for ordinær differentiation gælder uændret for partiel differentiation Multiple afledede skrives 2 f(x, y) x 2 2 f(x, y) 2 2 f(x, y) x = ( ) f(x, y) x x = ( ) f(x, y) = ( ) f(x, y) = ( ) f(x, y) x x og så fremdeles Rækkefølgen kan som vist altid ombyttes i fysikken; matematikerne kan sagtens finde unagelser I fysikken regner vi også med, at differentiation kan foretages til vilkårlig høj orden, med mindre det fører til problemer Fysikkens bevidste løsagtighed overfor matematiske spidsfindigheder er begrundet i den erfaring, at hvis spidsfindighed er nødvendig i praksis, skal det nok vise sig gennem meningsløsheder og indre modsigelser Reglen er altså, at man kan rask køre løs med simple, men nogenlunde overbevisende argumenter og beregninger, inil det viser sig, at man er på afveje Så trækker fysikeren følehornene li til sig, grubler li, taler måske med sine matematikervenner, og finder ud af, hvad der gik galt Og så går man videre til næste forhindring (3) (4) (5) 1

z y x Figur 1: En funktion z = f(x, y) fremstiller en flade i det 3-dimensionale rum 1 Totalt differentiale Betragt nu en funktion af to variable (en flade i rummet) z = f(x, y) (6) Hvis vi samtidig foretager en lille ændring dx i x og dy i y, så finder vi ved at Taylor udvikle til første orden i de to små størrelse f(x + dx, y + dy) = f(x, y) + f(x, y) dx + x f(x, y) dy (7) Der sker altså også blot en lille ændring dz = f(x + dx, y + dy) f(x, y) i funktionens værdi, så at vi kan skrive li mere kortfattet, dz = z z dx + dy (8) x Dette er det totale differentiale af funktionen z = f(x, y) Også kaldet det perfekte eller fuldstændige differentiale Det totale differentiale kan altså skrives på formen med Helt klart gælder det, at dz = A(x, y)dx + B(x, y)dy (9) A = z x B = z B x = A fordi de partielle afledede selvfølgelig kan ombyttes 2 (1) (11) (12)

11 Differentiation langs en kurve Lad både x = x(t) og y = y(t) afhænge af en parameter t, så at de beskriver en kurve i xy-planen Da z = f(x(t), y(t)) kun afhænger af t, vil den aflee af z efter t blive dz = z dx x + z dy (13) hvilket følger direkte af det totale differentiale For en ordens skyld skrives denne li kompakte form helt ud df(x(t), y(t)) f(x, y) dx(t) f(x, y) dy(t) = + (14) x x x(t) y y(t) x x(t) y y(t) hvor man som vist substituerer kurvens form efter at have udført den partielle differentiation af f efter x og y 2 Differentialformer Hvis A(x, y) og B(x, y) er vilkårlige funktioner af x og y, kan man danne urykket d F = A(x, y)dx + B(x, y)dy (15) Her har vi brugt et symbol d F til at benævne det infinitesimale uryk på højre side Det er altså ikke a priori differentialet af noget som helst Sommetider skriver vi bare Adx + Bdy uden at give urykket noget navn Det går under flere forskellige betegnelser: differentialform, 1-form, imperfekt differentiale, og ineksakt differentiale Vi skal bruge differentialform, selv om det i dag oftest dækker mere generelle geometriske begreber Man kan da spørge om, under hvilke betingelser der findes en funktion, z = f(x, y), således at d F faktisk er et totalt differential, dz? Svaret er enkelt: når ligningen (12) er opfyl Et (fysiker-)bevis følger snart, men først skal vi bevise Stokes teorem 21 Integrerende faktor Det kan vises, at der altid findes en såkal integrerende faktor λ(x, y) således at λd F er et totalt differential Betingelsen herfor er ifølge ovenstående, at λa og λb tilfredsstiller (12), altså (λb) x = (λa) (16) For at finde den integrerende faktor skal man løse denne ligning efter λ, hvilket i almindelighed volde store vanskeligheder 3

y 1 dy dx 2 12 x Figur 2: Et åbent kurvestykke 12 mellem punkterne 1 og 2 Kurven har en bestemt gennemløbsretning fra 1 til 2 Den beskrives ved to funktioner (x(t), y(t)) i intervallet t 1 t t 2 Kurvedifferentialerne er vist i et punkt på kurven Vektoren (dx, dy) er tangent til kurven i dette punkt 3 Kurveintegraler Betragt nu et åbent kurvestykke 12 mellem to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) i xy-planen Kurven er beskrevet ved de to koordinatfunktioner (x(t), y(t)) hvor t er en parameter, vi passende kan kalde tiden Lad kurven begynde i (x 1, y 1 ) til tiden t = t 1 og slutte i (x 2, y 2 ) til tiden t = t 2 Integralet af differentialformen Adx + Bdy langs kurven er da defineret som A(x, y)dx + B(x, y)dy 12 t2 ( = A(x(t), y(t)) dx(t) + B(x(t), y(t)) dy(t) ) (17) t 1 Urykket på venstre side er blot en symbolsk fremstilling af det mere præcise uryk på højre side Det er nemt at vise, at kurveintegralets værdi ikke afhænger af parametriseringen (valget af tid), og det symbolske uryk er derfor en fornuftig repræsentation Specielt antyder det, at integralet afhænger af hele vejen 12 og ikke blot af dens endepunkter Ofte vil man helt undgå den eksplicitte parameterfremstilling (højre side) og i stedet tænke på den symbolske integrand Adx + Bdy som bestående af skalarproduktet af vektoren (A, B) med vektordifferentialet på kurven (dx, dy) Integralet fremkommer da som en (næsten) uendelig sum over de (næsten) infinitesimale termer (A, B) (dx, dy) = Adx+Bdy langs kurven Overalt i fysikken betragtes integraler i øvrigt som (næsten) uendelige summer over (næsten) infinitesimale termer Dette svarer den Riemann ske definition af integraler En sådan opfattelse af integraler gør det nemt at beregne dem numerisk, men naturligvis kun til en vis approksimation 4

y b P A a x Figur 3: Et rektangel, der omslutter arealet a b, og en generel lukket kurve der omslutter et areal A Kurven har en bestemt gennemløbsretning, også kaldet orientering Den beskrives ligesom et åbent kurvestykke ved to funktioner (x(t), y(t)) i intervallet t 1 t t 2, men i dette tilfælde sammenfalder start- og endepunkterne Startpunktet P er fiktivt og uden geometrisk betydning, men absolut nødvendigt for parametriseringen 31 Lukkede kurveintegraler Hvis kurven er lukket, så at den begynder og ender i samme punkt, vil vi have (x(t 1 ), y(t 1 )) = (x(t 2 ), y(t 2 )) I dette tilfælde skriver vi kurveintegralet endnu mere symbolsk A(x, y)dx + B(x, y)dy t2 ( = A(x(t), y(t)) dx(t) + B(x(t), y(t)) dy(t) ) (18) t 1 Højre side er den samme som før Det er let at vise, at integralet ikke afhænger af hvilket punkt på kurven, der vælges som start og ende Dette reflekteres også i den symbolske repræsentation af integralet på venstre side, hvor endepunktet ikke forekommer Som eksempel kan vi integrere mod uret run om et rektangel med siderne a og b, anbragt med det nederste venstre hjørne i begyndelsespunktet Kurveintegralet bliver i dette tilfælde A(x, y)dx + B(x, y)dy a = A(x, ) dx + b B(a, y) dy + a A(x, b) dx + b B(, y) dy (19) Læg mærke til, hvorledes omløbsretningen fastlægger integralernes grænser I dette tilfælde har vi helt undgået en eksplicit parametrisering og i stedet brugt koordinaterne selv som parametre Dette er altid muligt, når det omsluttede areal er konvekst, dvs at enhver ret linie skærer arealet præcis i to (eller ingen) punkter Rullesten er konvekse, moderne skulptur er det sjældent 5

32 Integrable differentialformer Lad nu den kvadratiske form være et totalt differential af en funktion z = f(x, y), som tager værdierne z 1 = f(x 1, y 1 ) og z 2 = f(x 2, y 2 ) i endepunkterne Så finder vi ved hjælp af (13) i symbolsk notation z z dx + 12 Adx + Bdy = = = 12 t2 t 1 t2 t 1 = z 2 z 1 x dy ( z dx x + z dz dy ) En differentialform, som er et totalt differential, kaldes derfor også integrabel Bemærk, at integralet af et totalt differential ikke afhænger af vejen, men kun af forskellen i endepunkternes z-værdier For det totale differential dz = Adx + Bdy finder vi for en vilkårlig lukket kurve Adx + Bdy = (2) fordi integralet z = f(x(t), y(t)) har den samme værdi i parametriseringens endepunkter, t = t 1 og t = t 2 33 Stokes teorem Der findes en fundamental relation mellem et kurveintegral langs en lukket kurve og dobbeltintegralet over det areal kurven omslutter Stokes s teorem (i 2 dimensioner) siger, at hvis den lukkede kurve omslutter arealet A, da vil ( B A(x, y)dx + B(x, y)dy = x A ) dxdy (21) Beviset, som følger, er et go eksempel på bevidst fysikersløsethed Ikke desto mindre kan det udarbejdes i fuld matematisk detalje, hvis man har god tid Først viser vi, at teoremet gælder for et rektangel a b, og dernæst bygger vi et vilkårligt areal op ved hjælp af bittesmå rektangler For et rektangel a b med det ene A 6

y b a b a x Figur 4: Stokes teorem er nemt at bevise for et rektangel, og det følger for mere komplicerede figurer ved at sætte rektangler sammen, som i den ful optruktne figur til højre På grund af omløbsretningen vil bidragene til kurveintegralerne run om rektanglerne ophæve hinanden, hvor rektanglerne mødes, så at kun bidragene fra den ydre omkreds overlever I grænsen sætter man (næsten) uendelig mange (næsten) uendelig små rektangler sammen til en vilkårlig figur hjørne i begyndelsespunktet finder vi ( B a b x A ) dxdy a b ( ) B(x, y) A(x, y) = dx dy x = = b a (B(a, y) B(, y))dy A(x, ) dx + b a B(a, y) dy + (A(x, b) A(x, ))dx a A(x, b) dx + b B(, y) dy I tredie linie har vi integreret over henholdsvis x og y i de to termer (med fysikerens frihed til ombytning af integrationsrækkefølgen), og i sidste linie har vi ombyttet nogle af grænserne, så at alle leddene er har fået positivt fortegn Sidste linie er simpelthen kurveintegralet run om rektanglet modsat urets retning Hermed er beviset gennemført for et rektangel Når flere rektangler sættes sammen til mere komplicerede figurer vil omløbsretningerne være modsatte på de sider der støder sammen Det bevirker, at kurveintegralerne langs de sammenstødende sider ophæver hinanden, så at den samlede sum over alle rektangler kun indeholder bidrag fra den ydre omkreds Det areal, der omsluttes af en vilkårlig lukket kurve, kan approksimeres med (næsten) uendelig mange (næsten) uendelig små rektangler, og deraf følger Stokes teorem i fuld almindelighed Stokes teorem findes i alle dimensioner, men bliver noget mere kompliceret end her Den 3-dimensionelle version er af stor betydning i elektricitetslæren og i fluid mekanik 7

y (x, y) (x, y) (x, y) x Figur 5: To kurvestykker (x, y) og (x, y), der begge forbinder koordinatsystemets begyndelsespunkt med punktet (x, y) Når ligning (12) er opfyl, vil kurveintegralet af Adx + Bdy være uafhængigt af vejen 34 Bevis for integrabilitet Vi kan nu ved hjælp af Stokes teorem vise, at (12) er en tilstrækkelig betingelse for, at en differentialform er integrabel For hvis (12) er opfyl, vil kurveintegralet forsvinde run om en vilkårlig lukket kurve Adx + Bdy = (22) Lad os indføre et åbent kurvestykke (x, y) som forbinder koordinatsystemets begyndelsespunkt med punktet (x, y) og lad os definere integralet, f(x, y) = A(x, y ) dx + B(x, y ) dy (23) (x,y) Denne funktion er uafhængig af vejen og afhænger kun af endepunktet (x, y), fordi forskellen mellem to veje og forsvinder Adx + Bdy Adx + Bdy = Adx + Bdy = (24) (x,y) (x,y) Fortegnet for den anden term på venstre side skyldes den angivne orientering af vejene De to kurver danner tilsammen en lukket kurve, som symbolsk kan skrives Integralet z = f(x, y) er altså en rigtig funktion af endepunktets koordinater og det følger forholdsvis nemt, at dz = Adx + Bdy (25) Ligning (12) er altså både nødvendig og tilstrækkelig for, at en given differentialform er et totalt differential 8

Opgave 1 Beregn de totale differentialer af urykkene x + y xy sin(x + y) cos(xy) tan x2 y (26a) (26b) (26c) (26d) (26e) Opgave 2 Et stykke af en parabel i planen beskrives ved x = t (27) y = t 2 (28) for t 1 Beregn kurveintegralet af differentialformen y 2 dx xdy (29) Opgave 3 Enhedscirklen beskrives ved x = cos t (3) y = sin t (31) for t 2π a) Beregn kurveintegralet af den kvadratiske form ydx + xdy (32) run om cirklen b) Vis, at Stokes teorem er opfyl 9

Løsning 1 dx + dy ydx + xdy cos(x + y)dx + cos(x + y)dy sin(xy)ydx sin(xy)xdy ( ) ) 2 ( 1 + (tan x2 2 x ) x2 dx y y y dy 2 (33a) (33b) (33c) (33d) (33e) Løsning 2 1 y 2 dx xdy = 1 ( t 4 2t 2) = 7 15 (34) Løsning 3 a) Kurveintegralet er ydx + xdy = 2π cirklen ( (sin t) 2 + (cos t) 2) = 2π (35) b) Højre side af Stokes teorem bliver et integral over cirklens areal 2dxdy = 2π (36) som det skal være cirklen 1