for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul

TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven... Hvad er sandsynlighed?.... Eksempel.... Eksempel.... 3 Test af hypotese... 3. Signifikansniveau.... 3. HvornÄr har vi vist noget med en test?... 4. Test for uafhçngighed i tabel.... 4. SÄdan udregner vi forventede tal.... 3 4. SÄdan udregner vi... 3 4.3 SÄdan udregner vi p.... 4 4.4 Hvordan kan vi skrive konklusionen?... 4 4.5 MisforstÄ ikke procenterne.... 4 FORDELINGER 5 Normalfordeling. Grafen viser tallenes fordeling....5 6 Nogle regler om grafer... 5 7 Normalfordeling. Tal der er mere spredt... 6 8 Normalfordeling. Forskydning af tallene... 6 9 Normalfordeling. MiddelvÇrdi og spredning... 7 9. Hvad er middelvçrdi og spredning for normalfordelte tal?... 7 9. 68,3 % af tallene fra figur.... 7 9.3 68,3 % af tallene fra figur 5.... 7 9.4 68,3 % af normalfordelte tal... 7 0 Normalfordeling. En anvendelse... 8 -fordeling.... 8 Forskrift for g.... 9 Statistik for matematik pä B-niveau i hf É 03 Karsten Juul Dette hçfte kan downloades fra www.mat.dk HÇftet mä benyttes i undervisningen hvis lçreren med det samme sender en e-mail til kj@mat.dk som oplyser at dette hçfte benyttes (skriv hele titlen og Ärstal), og oplyser hold, niveau, lçrer og skole.

TEST StikprÄver. Nogen pä et gymnasium mener at der er forskel pä hvad piger og drenge mener om et bestemt spårgsmäl. For at undesåge denne hypotese, spårger vi nogle piger og drenge.. Hvad er populationen? De ting eller personer som vi vil pästä noget om, kaldes populationen. Er det alle personer i europa som nu er mellem 0 og 0 Är? Er det alle elever pä vores gymnasium? Eller? NÄr vi laver en statistisk undersågelse, skal vi skrive en prçcisering af hvad det er for en population vi vil påstå noget om.. Hvad er stikpräven? Vi undersåger kun en lille del af hele populationen. De personer vi fär et svar fra (eller de ting vi undersåger), kaldes stikpråven. NÄr vi laver en statistisk undersågelse, skal vi skrive en prçcisering af hvordan vi har valgt stikpräven. Det er IKKE nok at skrive: Vi har spurgt 47 elever pä vores gymnasium. Det er nok at skrive Den 0. februar mellem kl. 8:50 og 9:0 spurgte vi de 47 elever der sad pä gangen, og vi fik svar fra dem alle. 0 af drengene og 8 af pigerne var fra 3g FY, 3 af drengene og 6 af pigerne var fra 3g Fy. eller Den 0. februar kl. 8:50 sendte vi en besked til alle elever pä skolen. StikprÅven er de 47 elever der svarede inden kl. 0:00 den. februar. Disse to beskrivelser af en indsamling af stikpråve er sä grundige at lçseren kan se om der er grund til tro at der kan vçre systematiske fejl..3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven. Eksempel Population: Eleverne pä vores gymnasium. StikprÅve: Eleverne i en sproglig klase. Her kan vi have lavet en systematisk fejl ved valg af stikpråven, for det kan vçre at en bestemt holdning oftere er blandt sproglige end blandt andre. Eksempel Hvis vi spårger elever pr. e-mail, og mange ikke svarer, sä kan vi have lavet en systematisk fejl, for det er mäske isçr elever med en bestemt holdning der svarer..4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven. Selv om vi vçlger stikpråven tilfçldigt blandt hele populationen, er det ikke helt sikkert at den ligner populationen. Det kan f.eks. vçre at vi tilfçldigt har fäet for mange ja-sigere med i stikpråven. Det er muligheden for tilfçldige fejl vi beskçftiger os med när vi udregner tallet p. Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 03 Karsten Juul

Hvad er sandsynlighed?. Eksempel. At sandsynligheden for at vinde = 5% betyder at vi vinder 5% af gangene.. Eksempel. At sandsynligheden for at en pose har 3 eller flere defekte = 4 % betyder at 4 % af poserne har 3 eller flere defekte. 3 Test af hypotese. 3. Signifikansniveau. Hypotese: Halvdelen af brikkerne er gule. Vi tager en stikpråve for at teste hypotesen. Vi fär en stikpråve der ligger langt fra hypotesen. Vi udregner at hvis hypotesen er rigtig, sä er sandsynligheden kun 3 % for at fä en stikpråve der ligger sä langt eller lçngere fra hypotesen, Hvis 3 % er mindre end det valgte signifikansniveau, sä forkaster vi hypotesen. Hvis vi har valgt signifikansniveau = 5 %, sä forkaster vi da 3 % < 5 %. Hvis vi har valgt signifikansniveau = %, sä forkaster vi ikke da 3 % %. 3. HvornÅr har vi vist noget med en test? Kun när vi forkaster en hypotese, har vi vist noget. Hvis vi ikke forkaster hypotesen, har vi IKKE vist at hypotesen sandsynligvis er rigtig. Dette skyldes at der altid er flere indbyrdes modstridende hypoteser som ikke forkastes af stikpråven. 4. Test for uafhçngighed i tabel. Vi vil teste om piger og drenge har samme holdning til et spårgsmäl. Hypotese: Andelen der siger ja, er ens for piger og drenge. Hypotesen er altsä at svaret er uafhçngigt af om det er en pige eller en dreng. I den slags test vi laver her, gçlder altid: Hypotesen er at noget er ens. Vi vçlger: signifikansniveau = 5 % Nogle tilfçldigt udvalgte elever fär stillet samme spårgsmäl. De svarede sädan: Faktiske tal ja nej piger 87 46 drenge 7 Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 03 Karsten Juul

4. SÅdan udregner vi FORVENTEDE TAL. For at teste hypotesen, udregner vi fårst noget vi kalder de forventede tal, dvs. hvordan svarene skulle vçre fordelt mellem de fire felter hvis ja-andelen i tabellen skulle vçre ens for piger og drenge. For at kunne udregne de forventede tal udregner vi fårst fålgende tal: Antal piger: 87 46 33 Antal drenge: 7 9 Antal ja-sigere: 87 7 58 Antal nej-sigere: 46 67 Antal piger og drenge: 33 9 5 Disse tal skriver vi i et skema: ja nej i alt piger 33 drenge 9 i alt 58 67 5 I tabellen med forventede tal skal andelen af ja-sigere vçre den samme for piger og drenge, sä da 58 af de 5 elever svarede ja, skal vi i denne tabel skrive at 58 5 af de 33 piger svarede ja: 33 58 5 forventet antal ja-svar fra piger: 93, 40 forventet antal nej-svar fra piger: 33 93,40 39, 60 forventet antal ja-svar fra drenge: 58 93,40 64, 60 forventet antal nej-svar fra drenge: 9 64,60 7, 40 Her er de fire forventede vçrdier skrevet ind i skemaet: Forventet ja nej i alt piger 93,40 39,60 33 drenge 64,60 7,40 9 i alt 58 67 5 4. SÅdan udregner vi. Symbolet lçses sädan: ki i anden er et tal der udtrykker afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal. For hvert af de fire felter udregner vi ( faktisk forventet) forventet Ved at lçgge disse fire tal sammen fär vi tallet som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: χ χ (87 93,40) 93,40 3,60 (46 39,60) 39,60 (7 64,60) 64,60 ( 7,40) 7,40 Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 3 03 Karsten Juul

4.3 SÅdan udregner vi p. Ovenfor udregnede vi at afstanden mellem faktiske og forventede tal er χ 3, 60. Tallet p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 3,60 eller stårre. Vi kan fä Nspire til at udregne p ved i beregningsmenuen at vçlge Statistik / Fordelinger / Cdf... og udfylde sädan: PÄ Nspire-lommeregneren kan vi skrive ved hjçlp af -tasten. PÄ computeren skriver vi infinity i stedet for da det pä computeren ikke er muligt at bruge tegnpaletten i -vinduet (med mindre vi har valgt Vis / HÄndholdt ). Vi fär p = 5,8 %. 4.4 Hvordan kan vi skrive konklusionen? Da sigifikansniveauet er 5 %, og p ikke er mindre end 5 %, kan vi ikke forkaste hypotesen. StikprÅven giver ikke belçg for at hçvde at andelen der siger ja, er forskellig for piger og drenge. 4.5 MisforstÅ ikke procenterne. 5,8 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 94, % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. De 5,8 % er udregnet under den forudsçtning at hypotesen er rigtig og er sandsynligheden for at fä en stikpråve hvis afvigelse fra hypotesen er sä stor som eller stårre end afvigelsen i den stikpråve vi fik. Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 4 03 Karsten Juul

FORDELINGER 5 Normalfordeling. Grafen viser tallenes fordeling. Vi har anbragt ti millioner tal pä en tallinje. PÄ figuren har vi tegnet nogle fä af disse tal som prikker. Disse fä af tallene har vi valgt sädan at de giver et indtryk af hvordan alle de ti mio. tal er fordelt. Vi ser at de ti mio. tal er fordelt sädan: Der er mange i midten. De ligger symmetrisk om midten. Der bliver fçrre jo lçngere vi kommer vçk fra midten. Figur Vi har tegnet grafen for funktionen Denne funktion viser hvordan vi har fordelt tallene: Den procentdel af tallene der ligger i et interval, er lig arealet under grafen i dette interval. Grafen for f er altsä et slags afrundet histogram. GrÄt areal,5 0,6 f ( ) d 0,07 udregnet pä Nspire Der er altsä 0,7% af tallene der ligger i intervallet 0,6, 5. Hele arealet under grafen er 00%. Hvis vi mange gange udpeger et tilfçldigt af tallene, sä vil vi 0,7 % af gangene fä et tal i intervallet 0,6, 5, dvs. sandsynligheden for at fä et tal i dette interval er 0,7 %. 6 Nogle regler om grafer. 0,07 Vi ser pä en funktion g der er positiv (dvs. grafen ligger over -aksen) og et positivt tal k. k Figur NÄr vi i forskriften for g erstatter med, sä vil grafen blive strakt i vandret retning sä alle grafpunkters afstand til y-aksen bliver ganget med k. Arealet mellem -akse og graf for g( k ) er altsä k gange arealet mellem -akse og graf for g (). Hvis k er under, bliver grafen trykket sammen i vandret retning. NÄr vi dividerer forskriften for g med k, sä bliver grafen trykket sammen i lodret retning sä alle grafpunkters afstand til -aksen bliver divideret med k. Arealet mellem -aksen og grafen for ( ) er altsä lig arealet mellem -aksen og grafen for g (). k g k f ( ) π e NÄr vi i forskriften for en funktion erstatter med m, sä forskydes grafen m enheder mod håjre. Hvis m f.eks. er 3, bliver grafen altsä forskudt 3 enheder mod venstre. Grafen for ( m) k g fremkommer altsä ved at grafen for ( ) forskydes m enheder mod håjre. k k g k Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 5 03 Karsten Juul

7 Normalfordeling. Tal der er mere spredt. f () er stadig funktionen fra afsnit 5. Grafen for f () strçkker vi i vandret retning med faktoren, og i lodret retning med faktoren. SÄ fremkommer grafen pä figur 3. IfÅlge afsnit 6 er dette grafen for f ), og arealet mellem -aksen og grafen vil vçre. Hvis vi ( anbringer ti millioner tal pä -aksen sä de er fordelt som denne graf viser, sä vil disse tal ligge dobbelt sä spredt som tallene fra afsnit 5. PÄ figuren er nogle fä af tallene angivet som prikker for at give et indtryk af hvordan de er fordelt. Figur 3 F.eks. gçlder (se figur 4): 3,0 f, GrÄt areal ( ) d 0,07 dvs. 0,7 % af tallene ligger mellem, og 3,0. Figur 4 0,07 8 Normalfordeling. Forskydning af tallene. Figur 3 viser grafen for f ). Denne graf forskyder vi,5 mod håjre. SÄ fär vi grafen pä (,5 figur 5. IfÅlge afsnit 6 er dette grafen for f ( ). Figur 5 Hvis tallene fra afsnit 7 forskydes,5 enheder mod håjre, sä vil de vçre fordelt pä -aksen som grafen pä figur 5 viser. F.eks. gçlder (se figur 6): 4,5,5,7 GrÄt areal f ( ) d 0,07 dvs. 0,7 % af tallene ligger mellem,7 og 4,5. Figur 6 0,07 Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 6 03 Karsten Juul

9 Normalfordeling. MiddelvÇrdi og spredning 9. Hvad er middelvçrdi og spredning for normalfordelte tal? NÄr tal er normalfordelt, sä er middelvçrdien tallet i midten der hvor grafen er håjest. BÄde de ti mio. tal pä figur og de ti mio. tal pä figur 3 har middelvçrdien 0. De ti mio. tal pä figur 5 har middelvçrdien, 5. De ti mio. tal pä figur har spredning. De ti mio. tal pä figur 3 og 5 ligger dobbelt sä spredt, sä deres spredning er. NÄr tal er fordelt som angivet med funktionen er de s f ( m s ) normalfordelt med middelvçrdi m og spredning s. 9. 68,3 % af tallene fra figur. Vi ser pä tallene fra figur. Fra middelvçrdien 0 gär vi spredningen ud til begge sider. SÄ fär vi intervallet. Den procentdel af tallene der ligger i dette interval er grät areal pä figur 7 f ( ) d 0,683 Dvs. 68,3 % af tallene ligger i intervallet. Figur 7 0,683 9.3 68,3 % af tallene fra figur 5. Vi ser pä tallene fra figur 5. Fra middelvçrdien,5 gär vi spredningen ud til begge sider. SÄ fär vi intervallet 0,5 3, 5. Den procentdel af tallene der ligger i dette interval er 3,5,5 0,5 grät areal pä figur 8 f ( ) d 0,683 Dvs. 68,3 % af tallene ligger i intervallet 0,5 3, 5. Figur 8 0,683 9.4 68,3 % af normalfordelte tal. NÄr vi fra middelvçrdien gär spredningen ud pä begge sider, sä fär vi et interval der indeholder 68,3 % af tallene. Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 7 03 Karsten Juul

0 Normalfordeling. En anvendelse. Mange tal fra virkeligheden er normalfordelt. Her er et eksempel: Opgave En maskine fylder vin pä flasker. Maskinens nåjagtighed er sädan at hvis vi mäler mçngden af vin i mange flasker, sä vil vi fä en rçkke tal der er normalfordelt med spredningen 0,4 centiliter. Vi indstiller maskinen sä middelvçrdien af flaskernes indhold er 76 centiliter. Hvor mange procent af flaskerne indeholder under 75 centiliter? Svar Nspire udregner at 75 76 f d 0,4 0,4 ( ) 0,006 Dvs. 0,6 % af flaskerne indeholder under 75 centiliter. -fordeling. Nogle tal er normalfordelt med middelvçrdi 0 og spredning. PÄ figur 9 har vi tegnet nogle fä af disse tal som prikker. Disse fä af tallene har vi valgt sädan at de giver et indtryk af hvordan alle tallene er fordelt. Hvert af tallene oplåfter vi til anden: ( 0,6),5 osv. 6,5 0,36 De tal vi fär pä denne mäde, er fordelt som antydet pä figur 0. Vi vil finde forskriften for funktionen g der viser hvordan disse tal er fordelt. (Kun fä af tallene er vist som prikker). Figur 9 g f Figur 0 g-grafen viser hvordan tallene fra 4. er fordelt, dvs. hvis vi mange gange tager en stikpräve og hver gang udregner, så vil vi få nogle tal der er fordelt som g-grafen viser. Da vi i afsnit 4 tog en stikpråve hvor χ 3, 60 p g( ) d 0,058. 3,60, kunne vi altsä have udregnet p sädan: Her har vi brugt forskriften for g som stär i linje (8) nederst i afsnit. Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 8 03 Karsten Juul

Forskrift for g. f og g er funktionerne fra afsnit. Arealfunktionerne for f og g kalder vi F og G, dvs. F () = grät areal pä figur og G () = grät areal pä figur.,0 0,5 0,5 Figur Figur F( ) f G() g Tallene i intervallet dvs. 0 t stammer fra tallene i intervallet t, sä grät areal pä figur = grät areal pä figur 3 () G( ) C Af figur og 3 ser vi at Vi indsçtter dette i (): () G( ) F( ) A C Da f-grafen er symmetrisk, er (3) G( ) F( ) B F( ) A. A B, sä i () kan vi erstatte A med B: Hele arealet under f-grafen er, sä af figur 3 og ser vi at B F( ). Dette indsçtter vi i (3): (4) G( ) F( ) ( F( )) Vi reducerer (4) og fär: (5) G( ) F( ) Da G er arealfunktion for g, er (6) g( ) G( ) Af (5) og (6) fär vi (7) g( ) ( F( ) ) Nspire udregner håjresiden og fär A 0,5 C B f Figur 3 (8) e g( ) Denne formel skal du IKKE huske! I rammen ses hvordan vi taster for at fä (8). Statistik for matematik pä B-niveau i hf Side 9 03 Karsten Juul

Stikordsregister #...3 -fordeling...8 A arealfunktion...9 F faktiske tal... forkaste...4 forventede tal...3 H hypotese... M middelvçrdi...7 N normalfordeling...5, 6, 8 P p..., 4 population... S sandsynlighed..., 5 signifikansniveau... spredning...6, 7 stikpråve... systematisk fejl... T test... tilfçldig fejl...