Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri. Denne nye geometri vil vi kalde taxageometri, fordi det er den geometri, en taxachauør oplever, når han kører på gader, der ligger som et gitter i forhold til hinanden. Hvis du forestiller dig, at du er en taxachauør i en storby, vil din verden være vejene, der krydser hinanden, som altså mere eller mindre ligner et gitter. Forestil dig så, at du samler en passager op et sted i byen, som forlanger at blive kørt af den korteste rute til Rådhuset; hvilken rute skal man mon vælge? Der ndes sikkert ere ruter, som minimerer køreafstanden, og dette er specielt forskelligt fra den Euklidiske plangeometri, hvor korteste afstand mellem to punkter er en ret linje. Den første del af noterne vil ud fra denne observation arbejde med og undersøge taxageometrien. Det er i mindre grad formelle undervisningsnoter, men der vil i stedet blive præsenteret nogle problemstillinger, som de studerende selv skal fumle med og derfra udvikle teorien. Den anden del af noterne omhandler metriske rum, der er en teori, som forener den Euklidiske geometri og taxageometrien, således at man abstrakt kan arbejde med begge geometrier på én gang. Vi vil samtidig se eksempler på mange andre metriske rum og på den måde få en fornemmelse for hvordan matematikken kan samle forskellige observationer under én abstraktion. 1 Euklidisk geometri og taxageometri Vi vil som sagt starte med at udvikle og undersøge taxageometrien. Men først en 1.1 Kort gennemgang af den sædvanlige plangeometri De studerende forsynes med ternet papir. Brug det til at eksperimentere med koordinatsystemer, gurer og udregninger. 1
Spørgsmål: I det almindelige 2-dimensionelle plan hvis vi kigger på to forskellige punkter, hvad er så den korteste vej mellem de to punkter? Spørgsmål: I det almindelige 2-dimensionelle plan hvad er så afstanden mellem to punkter P og Q? Kald dette tal for d E (P, Q). Kan du bestemme en generel formel for d E (P, Q)? Kan du udlede denne formel fra et kendt resultat? 1.2 Geometrien for den ideelle by Forestil dig vi lever i den ideelle by, hvor der to slags gader de nord/sydgående og de øst/vestgående. Lad os modellere byen i xy-planet, hvor de nord/sydgående gader er linierne med x Z et heltal og de øst/vestgående gader er linierne med y Z et heltal. Spørgsmål: Forestil dig en taxachauør skal køre fra et punkt til et andet, f.eks. fra (2, 3) til ( 1, 4). Hvad er den korteste vej? Spørgsmål: Fra taxachauørens perspektiv, hvad er så afstanden fra (2, 3) til ( 1, 4)? Kan du bestemme taxachauørens afstand mellem to vilkårlige punkter P og Q? Kald dette tal for d T (P, Q) Kan du opskrive en generel formel for denne afstand? Spørgsmål: Lad os sammenligne de to afstandsfunktioner d E og d T. a. Hvis d T (A, B) = d T (C, D), gælder der så d E (A, B) = d E (C, D)? Hvad ja, så prøv at bevise det; ellers giv et modeksempel. b. Hvis d E (A, B) = d E (C, D), gælder der så d T (A, B) = d T (C, D)? c. Under hvilke forudsætninger på A og B gælder der at d T (A, B) = d E (A, B)? d. Gælder der altid d E (A, B) d T (A, B)? 1.3 Nogle anvendelser af taxageometrien Når man lever i (d)en (ideelle) by er taxageometrien en mere naturlig måde at opfatte rumlige forhold på end den sædvanlige Euklidiske geometri. Spørgsmål: Overvej f.eks. følgende små anvendelser på byplanlægning i den ideelle by. 2
a. Den nyudnævnte borgmester for den ideelle by har lovet at installere drikkefontæner, så alle borgere højest er tre blokke væk fra en slurk vand, men han har imidlertid opdaget at midlerne er kommunale forbedringer er meget begrænsede. Hans rådgivere præsenterer tre løsninger for ham (Figur 1, 2 og 3), hvilken en bør han vælge? b. Den samme borgmester vil sætte avisstande op, så alle inden for 12 blokke væk fra centrum (0, 0) højst er 4 blokke væk fra en avis. Hvor mange stande kan han nøjes med at stille op, og hvor bør de placeres? c. The er tre gymnasier i den ideelle by: Vestlige Gymnasium ved ( 4, 3), Østlige Gymnasium ved (2, 1) og Sydlige Gymnasium ved ( 1, 6). Tegn grænserne for skoledistrikter, så alle studerende i den ideelle by går på det gymnasium, der er tættest på deres hjem. 1.4 Taxageometrien udvidet til hele det reelle plan Vi kan udvide den taxageometriske afstandsfunktion til hele det 2-dimensionelle reelle plan ved at sige, at afstanden mellem to vilkårlige punkter A og B er d T (A, B). Spørgsmål: Hvordan ser afstandsminimerende kurver (geodæter) ud i det reelle 2-dimensionelle plan med denne afstandsfunktion (metrik)? Spørgsmål: a. Skitsér mængden af alle punkter P i planet, som har taxaafstand 3 fra origo, dvs. mængden {P d T (P, (0, 0)) = 3}. b. Skitsér mængden {P d E (P, (0, 0)) = 3}. c. Hvad er et passende navn for mængden i a.? d. I taxageometrien hvad er så en passende numerisk værdi for π? e. Husk i den Euklidiske plangeometri, at en måde at denere vinklen mellem to liniestykker, der skærer hinanden, er ved at bruge radianer. Man denerer at man tilbagelægger 2π radianer når man går rundt på enhedscirklen én gang. Med den taxageometriske værdi af π fra forrige del, hvor mange T -radianer bliver så tilbagelagt når man går én gang rundt i den taxageometriske enhedscirkel? Hvor mange T -radianer er der i en ret vinkel? 3
Figur 1 4
Figur 2 5
Figur 3 6
1.5 Taxageometriske gurer En geometrisk gur er en mængde punkter, der opfylder en fastsat geometrisk betingelse. En cirkel er et eksempel på sådan en, da den kan beskrives som mængden af punkter med en fast afstand til et givet punkt, men vi kender mange andre familier af geometriske punkter i planet. Spørgsmål: Lad os først mindes nogle af de kendte geometriske gurer i det 2-dimensionelle plan med den almindelige Euklidiske metrik. a. Lad A og B være to givne punkter i planet. Geometrisk, hvad er mængden af punkter, der har samme afstand til både A og B, dvs. {P d E (P, A) = d E (P, B)}? b. Lad et punkt A og en linie l i planet være givet. Hvad er mængden af punkter, der har samme afstand til både A og l, dvs. {P d E (P, A) = d E (P, l)}? (Her er d E (P, l) = min Q l d E (P, Q) den mindste afstand fra P til noget punkt på l). c. Lad to punkter A og B være to punkter i planet og lad en konstant e > d E (A, B) være givet. Beskriv mængden {P d E (P, A)+d E (P, B) = e}? Spørgsmål: Lav nu den foregående opgave igen med den taxageometriske afstandsfunktion i stedet for, dvs. erstat d E med d T. 1.6 Minimeringsproblemer i taxageometrien Når en taxachauør bevæger sig rundt i den ideelle by har vi set at taxageometrien giver en bedre model for afstandsberegninger end den klassiske Euklidiske geometri gør. Vi vil nu se at den på nogle måder også er meget simplere; specielt når man betragter problemet at minimere afstanden til ere punkter. Spørgsmål: a. Givet tre punkter A = (2, 4), B = (7, 1) og C = ( 3, 1), nd et punkt P, så er så lille som muligt. d E (P, A) + d E (P, B) + d E (P, C) b. Givet de samme tre punkter A, B og C som i a., nd et punk P, så er så lille som muligt. d T (P, A) + d T (P, B) + d T (P, C) 7
c. Givet A = ( 6, 0), B = (2, 3), C = (0, 4) og D = ( 1, 2), hvad skal et punkt P opfylde for at er så lille som muligt? 1.7 Trekanter og vinkler d T (P, A) + d T (P, B) + d T (P, C) + d T (P, D) Vi betragter igen hele den reelle plan udstyret med den taxageometriske metrik, hvor vi har set at de almindelige rette linier faktisk er geodæter (husk, der kan være mange afstandsminimerende kurver mellem to punkter). Som sædvanligt vil tre punkter, der ikke ligger på linie, bestemme en trekant. Vi vil måle vinkler ved at bruge T -radianer som nævnt i 1.4., og vi har et mål for rette vinkler. Spørgsmål: I en retvinklet trekant, gælder den almindelige Pythagoraiske Læresætning stadig, dvs. hvis kateterne har længde a og b og hypotenusen har længde c, er så a 2 +b 2 = c 2? I så fald, bevis det; hvis ikke, kan I så komme op med en taxageometrisk udgave af Pythagoras? Kan I bevise dette? Hvis ikke, prøv at forklare hvorfor ikke. Spørgsmål: Findes der andre trekanter end de retvinklede hvor den taxageometriske Pythagoraiske Læresætning gælder? Spørgsmål: I den Euklidiske plangeometri har en trekant altid en indskreven cirkel, der rører alle trekantens kanter i tre forskellige punkter. Generaliserer dette til taxageometrien? Spørgsmål: Genkald jer hvordan sinus og cosinus er deneret i det Euklidiske tilfælde ved at se på enhedscirklen. a. Brug enhedstaxacirklen og T -radianerne til at denere T -sinus og T - cosinus funktioner. b. Tegn graferne for funktionerne i a. c. Gælder der en taxaidiotformel? 2 Metriske rum Denne del af noterne vil i større grad ligne almindelige undervisningsnoter. Der bliver lavet stringente denitioner, og vi vil se på forskellige eksempler, som næsten bliver udregnet i detaljer. 8
2.1 Denitioner og eksempler Denition 2.1.1 Et metrisk rum er et par (X, d), hvor X er en mængde punkter, og d er en funktion (kaldet metrikken) der til to punkter i X giver et reelt tal (kaldet afstanden mellem de to punkter), så der gælder: 1. d(x, y) 0 for alle x, y X 2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) for alle x, y X 4. d(x, z) d(x, y) + d(y, x) for alle x, y, z X Eksempel 2.1.2 Vis at (R, d(x, y) = x y ) er et metrisk rum ved at vise at d opfylder betingelserne ovenfor. Husk at { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 1. x y 0: Dette gælder pr. denitionen af absolut værdi. 2. x y = 0 x = y: Det er klart at x x = 0. Omvendt hvis x y = 0 er enten x y = 0 eller (x y) = 0, men i begge tilfælde må x = y. 3. x y = y x : Der gælder x y = (x y) = y x. 4. x z x y + y z : Vi kan antage at x < z. Der er så tre tilfælde; y kan ligge før x, y kan ligge mellem x og z, eller y ligger efter z. Gennemgå alle tre tilfælde og se, at det passer. Eksempel 2.1.3 Vis at (R 2, d E (P, Q)) er et metrisk rum ved at vise at d E (P, Q) = (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 opfylder betingelserne ovenfor. 1. (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 0: kvadratroden af et positivt tal er altid positivt. 2. (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 = 0 (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 = 0 p 1 q 1 = 0 og p 2 q 2 = 0 P = Q. 3. d E (P, Q) = d E (Q, P ): dette gælder fordi x 2 = ( x) 2. 9
4. Vi skal vise d E (P, R) d E (P, Q) + d E (Q, R): Se på tre punkter i planet, som ikke ligger på linie. Så siger denne ulighed, at længden af en side i en trekant er mindre end lig med summen af længden af de to andre sider i trekanten. Dette er sandt (vi vil i hvert fald benytte dette uden bevis), så i dette tilfælde passer uligheden. Hvis de tre punkter ligger på linie, er vi i det samme tilfælde som i Eksempel 2.1.2 (fordi x 2 = x ). Pga. dette eksempel kalder man betingelse 4. i denitionen for Trekantsuligheden. Eksempel 2.1.4 Vis at (R 2, d T (P, Q)) er et metrisk rum ved at vise at d T (P, Q) = p 1 q 1 + p 2 q 2 opfylder betingelserne ovenfor. 1. p 1 q 1 + p 2 q 2 0 2. p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0 p 1 q 1 = 0 og p 2 q 2 = 0 P = Q. 3. d T (P, Q) = d T (Q, P ): man gør det samme som i Eksempel 2.1.2. 4. Vi skal vise d T (P, R) d T (P, Q)+d T (Q, R): Se på højresiden af uligheden d T (P, Q) + d T (Q, R) = ( p 1 q 1 + p 2 q 2 ) + ( q 1 r 1 + q 2 r 2 ) = ( p 1 q 1 + q 1 r 1 ) + ( p 2 q 2 + q 2 r 2 ) og brug så Trekantsuligheden fra Eksempel 2.1.2. på hver af de to led d T (P, Q) + d T (Q, R) p 1 r 1 + p 2 r 2 = d T (P, R). Eksempel 2.1.5 Betragt R 2 med supremumsmetrikken, som er d S (P, Q) = sup{ p 1 q 1, p 2 q 2 }, hvor supremum af en mængde tal er det mindste tal, der begrænser mængden opadtil (hvis mængden er endelig, så er supremum bare det maksimale tal i mængden). a. Vis først at (R 2, d S (P, Q)) er et metrisk rum. b. Hvordan ser cirkler ud med denne metrik? c. Betragt funktionen d I (P, Q) = inf{ p 1 q 1, p 2 q 2 }, som i stedet tager inmum, dvs. det største tal, der begrænser mængden nedadtil (som bare er det mindste tal i mængden, hvis mængden er endelig). Er d I en metrik på R 2, dvs. gælder betingelserne i Denition 2.1.1? 10
Eksempel 2.1.6 En talfølge er en uendelig liste af reelle tal En begrænset talfølge er en følge så x = {x n } n N = (x 1, x 2, x 3,... ). sup x n <. n N Spørgsmål: Lad X være mængden af alle begrænsede talfølger. Med inspiration fra Eksempel 2.1.5, hvilken metrik kunne man komme på X? Kom med et bud og prøv at bevise det faktisk er en metrik. Eksempel 2.1.7 Lad X være en vilkårlig mængde. Vis at { 0 hvis x = y d(x, y) = 1 hvis x y er en metrik på X. Eksempel 2.1.8 En binær talfølge er en følge af 0'ere og 1'ere. Lad X være mængden af alle binære talfølger. Med inspiration i de to forrige eksempler hvilke metrikker kan I proppe på X? Eksempel 2.1.9 En decimal talfølge er en følge af tal fra {0, 1,..., 9}. Lad X være mængden af alle decimale talfølger. Hvilke metrikker kan I proppe på X? Har I set X før? 2.2 Grafer Denition 2.2.1 En graf er et par (X, E), hvor X er en (evt. uendelig) samling af punkter, kaldet knuder, og E er en samling liniestykker, kaldet kanter, som opfylder: 1. Hver kant e E har sine endepunkter i (evt. forskellige) knuder fra X. 2. Hver knude x X har mindst én men højst endeligt mange kanter forbundet til sig. Denition 2.2.2 For en graf (X, E), lad to knuder x, y X være givet. En sti fra x til y er en endelig følge af tilstødende knuder forbundet af kanter, der starter i x og slutter i y. Kald sådan en sti for σ(x, y). Længden l(σ) af en sti σ(x, y) er antallet af kanter i stien. Vi kalder grafen for sammenhængende hvis alle punkter x, y X kan forbindes med mindst én sti. 11
Denition 2.2.3 For en sammenhængende graf (X, E) dener en funktion d sti, som til to knuder x, y X giver et reelt tal ved d sti (x, y) = inf{l(σ) σ(x, y)}. Vi kalder d sti for sti-metrikken på (X, E). Spørgsmål: Kan I vise at (X, d sti ) faktisk er et metrisk rum? Eksempel 2.2.4 Den ideelle by fra Kapitel 1 består af knuder X = Z 2, kanterne er de horisontale og vertikale liniestykker, der forbinder knuderne, og metrikken er d T = d sti. Denition 2.2.5 En vægtet graf er en sammenhængende graf (X, E) en vægtning af kanterne så w(e) er et positivt reelt tal for alle kanter e E. Vi har så en vægtet længde l w (σ) af en sti σ(x, y) til at være summen af vægten af kanterne i stien. Den vægtede sti-metrik er så deneret til d w sti(x, y) = inf{l w (σ) σ(x, y)}. Eksempel 2.2.6 Lad X repræsentere samtlige vejkryds i en by og E de veje, der rent faktisk går mellem krydsene. Disse udgør en graf. Man kan så vægte hver kant i grafen med det antal kilometer vejen den repræsenterer er, den tid det tager en taxachauør at køre strækningen eller den pris han skal have for det. 2.3 Metrikker på R 3 Husk på at det reelle rum er deneret til at være R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R 3 }. Spørgsmål: a. Kan I nde en generel formel for afstanden en vilkårligt punkt (x 1, x 2, x 3 ) har fra origo? Kan I udlede den stringent? b. Kan I nde en generel formel for den Euklidiske afstand mellem to punkter? c. Kan I vise at R 3 med denne afstandsfunktion er et metrisk rum? Spørgsmål: a. Hvordan bør taxaafstandsformlen se ud i R 3? b. Kan I vise formlen fra a. giver en metrik på R 3? 12
c. Kan I nde på andre metrikker at proppe på R 3? Spørgsmål: Hvis vi ser på det reelle n-rum R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R 3 }, kan I så komme på nogle metrikker vi kan proppe på R n? Reference Eugene F. Krause: Taxicab Geometry, 1975, Dover Publications Inc., New York (tilgængelig på nettet) 13