2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Kvadratroden af 2 er irrationel 1
Resumé Vi eviser at kvadratroden af 2 ikke kan være et rationelt tal. 1 Introduktion Denne sætning viser, sammen med Pythagoras sætning, at der findes linjestykker med længder som ikke kan angives med rationelle tal 1 Dermed viser den at der er rug for flere tal end de rationelle, hvilket giver anledning til definitionen af de reelle tal. Vi laver to forskellige eviser for sætningen. Det første evis er meget simpelt, og forudsætningerne for at forstå det er udelukkende viden om røker samt lidt viden om lige og ulige tal. Til gengæld indeholder den en påstand som du selv skal finde ud af at evise. Det andet evis er lidt mere fancy, men til gengæld er det ultrakort. En anden fordel ved dette evis er at man kan ruge præcis det samme argument til at vise at p er irrationel for ethvert primtal p. Det ygger på lidt viden om primtal 2. Begge eviserne er såkaldte modstridseviser. 3 2 Kvadratroden af 2 er irrationel 1 Nemlig hypotenusen i en retvinklet trekant hvor egge kateterne har længde 1. Læs mere om retvinklede trekanter og Pythagoras sætning her. 2 Læs om entydig primfaktorisering her 3 Læs om evistyper her side 1
Sætning 1. Der findes ingen rationelle tal, x, som opfylder ligningen: x 2 = 2. Bevis (Bevis, version 1). Til det første evis skal vi ruge en lille hjælpesætning. Der kommer ikke noget evis for denne hjælpesætning. Derfor er det meningen at du selv skal finde eller opfinde et evis. Lemma 2 (Hjælpesætning). Hvis et helt tal x opfylder at x 2 er et lige tal, så er x selv et lige tal. For at evise selve sætningen, laver vi er et såkaldt modstridsevis: Vi antager (for en stund) at sætningens påstand ikke er rigtig. Altså at der faktisk findes et rationelt tal, x, med egenskaen at x 2 = 2. Derefter viser vi at denne antagelse leder til en såkaldt modstrid, altså en konklusion som ikke kan være rigtig. Dermed kan antagelsen ikke være rigtig, og vi kan konkludere at sætningen passer. Antag altså at der findes et rationelt tal x med egenskaen at x 2 = 2. Da x er rationelt, kan vi skrive det som en røk. Vi vil vise at en sådan røk altid vi kunne forkortes. Det virker umiddelart ret uskyldigt, men da den forkortede røk vil have samme egenska, vil denne så også kunne forkortes. Og igen. Og igen. Vi vil altså kunne live ved med at forkorte røken uden nogensinde at live færdige. Sådanne røker findes ikke, da processen med at forkorte en røk allerhøjst kan fortsætte indtil enten tælleren eller nævneren liver 1, og dermed har vi vores modstrid. Lad os altså sige at x er skrevet som en røk: x = a, hvor a og er hele tal (og er forskelligt fra nul). Vi har at: ( a ) 2 = 2 (1) side 2
D.v.s. a 2 = 2 2. (2) Her står at a 2 er et lige tal. Men så er a også et lige tal, ifølge hjælpesætningen, lemma 2. Derfor kan a skrives som a = 2 m, hvor m er et helt tal (nemlig halvdelen af a). Indsættes dette i ligning (2), får vi: D.v.s. D.v.s. (2m) 2 = 2 2. 4 m 2 = 2 2. 2 m 2 = 2. Men her står at 2 er lige. Men så er også lige ifølge hjælpesætningen. Nu har vi vist at åde a og er lige, altså at de egge kan divideres med 2. Derfor kan røken forkortes. Som sagt, giver dette en ny røk der opfylder ligning (1). Den kan så også forkortes. Og så videre i det uendelige, hvilket ikke kan passe. side 3
Bevis (Bevis, version 2). Dette er også et modstridsevis. Så vi antager igen at der findes et rationelt tal, x med egenskaen at x 2 = 2 og prøver at finde en konklusion som ikke kan være rigtig. Da x er et rationelt tal, kan det skrives som x = a, hvor a og er hele tal, egge forskellige fra nul. Vi tager igen ligningen: ( a ) 2 = 2 og omskriver til: a 2 = 2 2. Betragt nu primfaktoriseringerne af a og : a = ±p a 1 1 p a 2 2 p an n (3) = ±q 1 1 q 2 2 qm m (4) Indsættes dette i vores ligning, får vi: (Fortegnene forsvinder på grund af kvadreringen) p 2a 1 1 p 2a 2 2 p 2an n = 2 q 2 1 1 q 2 2 2 qm 2m På venstre side af lighedstegnet står primtallet 2 i en lige potens (eventuelt i nulte potens, hvis det slet ikke indgår). På højre side af lighedstegnet står primtallet 2 i en ulige potens (fordi der kommer en lige potens, eventuelt nul, fra primfaktoriseringen af, og så et ekstra 2-tal ganget på). Da egge sider er en primfaktorisering af det samme tal, strider dette mod entydigheden af primfaktoriseringer. side 4