Matematik på Åbent VUC Trin 2 Xtra opgaver Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Trigonometri Opgaver 1: Til højre er tegnet en kvart enhedscirkel i et koordinatsystem. 1,00 90º 75º 60º Der er indtegnet vinklerne 0º, 15º, 30º osv. Cosinus og sinus til vinklerne er markeret. 45º a: Aflæs så præcist som muligt cosinus- og sinus-værdierne. Kontroller også tallene på din regnemaskine.. 0,50 30º b: Udfyld vha. koordinatsystemet tabellen herunder. 15º c: Tabellen og tegningen viser, at der er en vis symetri. Der gælder: cos(v) = sin(90 v) sin(v) = cos(90 v) 0º 0,50 1,00 Prøv at forklare hvorfor! Vinkel 0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º Cosinus Sinus 2: Herunder er skitseret to retvinklede trekanter. Beregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er angivet. c = 6 cm B a c = 6,8 cm 50º B a A 30º b C A b C Side 9 2
Trigonometri 3: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC a: Beregn sin( A) b: Find A (antal grader) c: Find B (antal grader) d: Find længden af siden b A c = 13 cm b B a = 5 cm C 4: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC B a: Beregn tan( A) b: Find A (antal grader) c a = 8 cm c: Find B (antal grader) d: Find længden af siden c A b = 15 cm C 5: Beregn de ukendte vinkler og sider i de fem retvinklede trekanter. A O n 45º M b c = 100 mm E 52º d F m o = 7,2 cm f = 25,0 m e N C a 58º B A D B b = 63 mm c = 98 mm c a = 9,8 cm A b =15,1 cm C C a B Side 10 3
Trigonometri 6: Tegningerne viser et stykke af to trapper. Trappen til venstre stiger 25º, og trinene er 32 cm brede. På trappen til højre er trinene 25 cm brede og 18 cm høje. a: Hvor høje er trinene på trappen til venstre? b: Hvor mange graden stiger trappen til højre? c: En trappe skal have en trinbredde på 26 cm og en stigning på 30º. Find trinhøjden. d: En trappe skal have en stigning på 45º. Giv et forslag til trinbredde og trinhøjde. e: Mål trinene på en trappe på din skole og beregn, hvor mange graden trappen siger. 25º 32 cm 25 cm 18 cm 7: Tegningen viser en stige, der står op ad en mur. Stiger skal helst stå med en hældning på 75º. a: En stige er 5 m lang. Hvor højt kan stigen nå op på muren, med en hældning på 75º? b: Hvor højt kan stigen på 5 m nå op, hvis den hælder 60º? c: Hvor lang skal en stige være, hvis den skal kunne nå 4 m op og have en hældning på 75º? d: En stige er 420 cm lang, og den når 4 m op ad muren. Hvad er hældning? e: En stige når 3,5 m op ad muren, og bunden af stigen står 95 cm fra muren. Hvad er hældningen? f: En A-stige (en Wiener-stige) har de viste mål. Benenes længde er 2,25 m og afstanden mellem benene er 140 cm. Find benenes hældning og stigens højde. 140 cm 2,25 m 8: Tegningen viser gavlen på et hus. a: Find husets højde b: Hvor meget lavere ville huset være, hvis tagets hældning var 25º? c: Hvor meget højere ville huset være, hvis tagets hældning var 45º? 860 cm 525 cm 35º 240 cm Side 11 4
Trigonometri 9: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter. a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter. b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m 2. Du kan fx gøre det således: - beregn så mange vinkler som muligt - beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter - beregn arealerne af de retvinklede trekanter 7,50 dm - læg arealerne sammen 70º 65º 125 cm 110º 3,60 m 5,00 m 146,3º 67,4º 6,50 m 10: I har sikkert en tavlelineal på præcis 1 m i klasseværelset. Stil linealen på skrå op ad en væg. Mål vinklen med en vinkelmåler som vist på tegningerne. Mål også den vandrette afstand x og den lodrette afstand y. Stil linealen i en ny vinkel og mål igen vinklen, x og y. Fortsæt med flere vinkler. x Brug dine målinger til at lave at lave en cosinus- og sinus-tabel. y Side 12 5
Trigonometri 11: Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede. Taget på huset til venstre har en hældning på 25º. Taget på huset til højre har en hældning på 45º. Sammenlign arealet af tagene på de to huse. 25º 45º 12: Tegningen viser en cyklist på vej op ad en bakke. Bakken er indtegnet som en retvinklet trekant ABC. Man kan angive en bakkes stigning på to måder: Som et antal grader c og som et antal procent. Antal grader er størrelsen af A. A b Antal procent er den lodrette stigning som procent af den kørte strækning. Altså a som procent af c. a: Mål længden af a, b og c på tegningen b: Find stigningen på tegningen målt i procent. c: Find stigningen på tegningen målt i grader. Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også at beregne tallet. d: Vurder om det er realistisk at cykle op ad en sådan stigning. e: Omregn en stigning på 10% til grader. f: Omregn en stigning på 8º til procent. B a C Side 13 6
Opgaver 1: Ølpriser Tabellen viser prisen på en øl på de forskellige værtshuse i en by Den røde ko 25 Hønsehuset 27 Overhuset 38 Guldkalven 35 Løveburet 30 Tronsalen 35 Hos Hans 24 Mødestedet 20 Underhuset 18 a: Hvor mange værtshuse er der? b: Find medianen c: Find 1. kvartil og 3 kvartil. d: Find middelværdien Guldkalven, Overhuset og Tronsalen sætter alle deres pris ned til 30 kr. e: Hvad sker der med middelværdi og median? 2: Aldersfordeling Tabellerne viser alderen på kursisterne på to forskellige VUC-hold Allan 45 Ester 49 Mogens 41 Rania 24 Victor 21 Conny 32 Henry 62 Olga 56 Svend 70 Yrsa 61 Anton 21 Eskild 18 Jackie 18 Leon 42 Rami 18 Brian 27 Fartun 17 Kasper 19 Lisa 35 Rikke 31 Dagny 51 Goran 27 Kate 26 Matin 23 Sabrina 17 Ditte 22 Halima 20 a: Hvor mange kursister er der på hvert af de to hold? b: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det første hold c: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det andet hold d: Tegn boksplot for begge hold. e: Sammenlign aldersfordelingen på de to hold 3: Undersøg aldersfordelingen på dit eget hold. Find median, 1. kvartil og 3. kvartil. Lav evt. også et boksplot. Side 7 7
4: Højde-sammenligning De to boksplot viser Højdefordeling for basketball-spillere højde-fordeling i cm på to forskellige grupper af mandlige idrætsfolk. En gruppe basketball-spillere og en gruppe gymnaster. a: Prøv at beskrive de to grupper. 140 150 160 170 180 190 200 210 220 Hvorledes ville de se ud, Højdefordeling for gymnaster hvis de stod ved siden af hinanden? b: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi for basketball-spillerne. c: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi for gymnasterne. d: Aflæs medianen, 140 150 160 170 180 190 200 210 220 1 kvartil og 3. kvartil for basketball-spillerne. e: Aflæs medianen, 1 kvartil og 3. kvartil gymnasterne. f: Hvor mange cm er den højeste basketball-spiller højere end den laveste gymnast? 5: SMS-er VUC-kursisterne fra opgave 2 har holdt øje med, hvor mange SMS-er de sendte på en dag. Tallene er vist i tabellen. Allan 1 Ester 1 Mogens 2 Rania 5 Victor 8 Conny 2 Henry 0 Olga 2 Svend 0 Yrsa 0 Anton 5 Eskild 19 Jackie 38 Leon 2 Rami 32 Brian 12 Fartun 22 Kasper 25 Lisa 0 Rikke 3 Dagny 1 Goran 7 Kate 41 Matin 6 Sabrina 10 Ditte 15 Halima 5 a: Beskriv tallene for det nederste hold vha. boksplot. b: Lav evt. også et boksplot for det øverste hold men overvej først om det giver mening. Hvis det ikke giver mening, så overvej at lave et andet diagram for det øverste hold. Side 8 8
6: Fritidsaktiviteter En klasse med skolebørn er blevet spurgt om, hvor mange timer om ugen de bruger på fritids-aktiviteter (sport, spejder, musik mv.). Svarerne er vist i tabellen. Hvor mange timer bruger du om ugen? Så mange a: Hvor mange børn er der? Ahmed 0 Hans 0 Mads 1 Ronni 14 b: Find medianen Asta 5 Hilda 6 Mette 2 Sidsel 4 c: Find 1. kvartil og 3 kvartil Bent 3 Ismail 3 Mie 4 Søren 1 d: Sammenlign median og Carl 0 Kirstin 2 Ninna 0 Tanja 0 middelværdi e: Lav et boksplot Fatima 2 Lone 8 Peter 10 Torben 1 7: Løn-sammenligning De to boksplot viser Timelønnen på Poulsen Pølsefabrik timelønnen på to forskellige virksomheder. a: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi på pølsefabrikken. b: Aflæs mindste-værdi, og største-værdi 0 50 100 150 200 250 300 350 på isfabrikken. Timelønnen på Iversens Isfabrik c: Aflæs medianen, 1 kvartil og 3. kvartil på pølsefabrikken. d: Aflæs medianen, 1 kvartil og 3. kvartil på isfabrikken. e: Vurder hvilke 0 50 100 150 200 250 300 350 af disse udsagn der er rigtige: - 50% af medarbejderne på pølsefabrikken tjener over 150 kr. - 50% af medarbejderne på isfabrikken tjener mellem 140 kr. og 200 kr. - De dårligst lønnede 25% af medarbejderne på pølsefabrikken får under 95 kr. - De bedst lønnede 25% af medarbejderne på isfabrikken får over 250 kr. - 75% af medarbejderne på pølsefabrikken får mellem 95 kr. og 210 kr. - 75% af medarbejderne på isfabrikken får mellem 140 kr. og 250 kr. Skriv selv rigtige udsagn i stedet for de forkerte udsagn. Side 9 9
8: Leverpostej Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej. Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker: Lenes Leverpostej 500 g KUN 16,95 kr. 498 g 491 g 481 g 480 g 499 g 472 g 486 g 487 g 504 g 512 g 500 g 469 g 508 g 462 g 470 g 492 g 485 g 475 g 479 g 496 g 493 g 516 g 497 g 501 g 488 g 0 4 9 8 g a: Hvor mange bakker er blevet vejet? Vægt i gram Hyppighed Frekvens b: Find mindsteværdi, størsteværdi [460 ; 470[ og variationsbredde. [470 ; 480[ c: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil. [480 ; 490[ d: Lav et boksplot. [490 ; 500[ e: Lav og udfyld en tabel med hyppighed [500 ; 510[ og frekvens som den viste? f: Lav et histogram. g: Sammenlign boksplot og histogram. [510 ; 520[ I alt Hvad synes du giver det bedste billede? h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke. 9: Hastigheds-kontrol Boksplottet viser resultatet Hastighed i km/time af en hastigheds-kontrol på bilerne en landevej. Hastigheds-grænsen er 80 km/t. a: Aflæs den laveste og den højeste hastighed. b: Aflæs median, 1. kvartil og 3. kvartil. 70 80 90 100 110 120 130 140 c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen. d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t. Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen, og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t. e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot? f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger. Side 10 10
10: Histogram tabel sumkurve Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 30% 20% 10% 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn de summerede frekvenser og skriv tallene ind i tabellen til højre. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve i koordinatsystemet herunder. d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og 3. kvartil. e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 45[ [45 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Side 11 11
11: Sumkurve tabel histogram Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal) for de forskellige aldersintervaller og skriv tallene ind i tabellen til højre. b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind. c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i koordinatsystemet herunder. d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave med aldersfordelingen i sidste opgave. Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit. Alder Frekvens Sum. Fre. [0 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 45[ [45 ; 60[ [60 ; 75[ [75 ; 90[ [90 ; 105[ 30% 20% 10% 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Side 12 12
Opgaver 1: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at udfylde en tabel som denne: 2 f(x) = x og g(x) 2 = 2 x. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) g(x) Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 10. 2: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: 2 3 4 f(x) = 4 x og g(x) = x og h(x) = 0,25 x. Start med at udfylde en tabel som denne: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) g(x) h(x) Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 20. Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret. OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt. Prøv at forklare hvorfor. 3: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y Hvad er a og b i disse potensfunktioner? a: y 2 = 117 x b: 6 y = x c: y a = b x. -2 = 5 x d: y = 1 2 3 x a 4: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y = b x. Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b: a: a = 0,5 b = 3 b: a = 10 1 b = 3 c: a = -1 b = 1 d: a = 1 b = 2 Side 8 13
5: Fliser Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske, og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk. a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt, hvis du lægger 4 fliser på hver led? b: Hvor mange fliser er der på hver led, hvis der i alt er lagt 100 fliser? c: Udfyld en tabel som denne: Antal fliser på hver led (x) 0 1 2 3 4 5 o.s.v. Antal fliser i alt (y) Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for systemets skyld d: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: 2 y = 2 x y = x y = x 6: Fliser (fortsat) Fliserne er 50 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig, at du lægger fliserne på et kvadratisk område. a: Hvad er arealet ( i m 2 ) af en flise? b: Hvor mange fliser skal der til en m 2? f: Hvad er arealet af hele området, hvis der er lagt 3 fliser på hver led? g: Tegn og udfyld en tabel som denne: 50 cm 50 cm Antal fliser på hver led (x) 0 1 2 3 4 o.s.v. 10 Antal m 2 med fliser (y) h: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen. Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser. i: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen: 2 2 y = 4 x y = 0,25 x y = x 2 + 4 Side 9 14
7: Rumfanget af terning. Rumfanget kan beregnes med formlen V = s 3, hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde. Hvis s måles i cm, får man V i cm 3 (eller ml). a: Udfyld en tabel som den viste: s (cm) 0 1 2 3 4 5 o.s.v. 10 V (cm 3 ) b: Tegn en graf ud fra tabellen. c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor! d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver: - 1 liter = 1.000 ml = 1.000 cm 3? - 1 dl = 100 ml = 100 cm 3? - 1 cl = 10 ml = 10 cm 3? 8: Bremselængde Kik på teksten og tabellen til højre. a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive sammenhængen mellem hastighed (x) og bremselængde (y): 2 10 y = 0,1 x y = 0,004 x y = x b: Når du har fundet den rigtige funktion, skal du tegne en graf i et koordinatsystem. Start med at lave og udfylde en tabel som denne: x 0 25 50 o.s.v. 150 y Bremselængde Bremselængden for en bil vokser, når hastigheden vokser. De helt præcise tal afhænger også af bilen, vejen og vejret, men her er nogle typiske tal: Hastighed Bremselængde i km/time i meter 25 2,5 50 10 100 40 Hvis du tegner i hånden, skal du lave et koordinatsystem, hvor 1 cm på x-aksen svarer til 10 km/time, og 1 cm på y-aksen svarer til 10 m. c: Aflæs på din graf (cirka-tal): - bremselængden når hastigheden er 90 km/time. - hastigheden når bremselængden er 50 m. d: Kan du kontrol-beregne svarerne fra c? Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr. Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange. e: Tegn i samme koordinatsystem som før en graf for bremselængden i regn-vejr. Side 10 15
9: Side-længde på kvadrat Side-længden (s) afhænger af arealet (A). Tegningerne viser et par eksempler. A = 4 cm 2 s = 2 cm A = 9 cm 2 s = 3 cm a: Udfyld en tabel som denne: A (cm 2 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s (cm) 2 3 b: Tegn en graf ud fra tabellen. c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er x, og side-længden er y. d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den! Prøv at forklare hvorfor. Kik tilbage på opgave 7. Den med kant-længden og rumfanget for en terning e: Opstil en funktion, hvor rumfanget er x, og kantlængden er y. Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion. 10: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: Start med at udfylde en tabel som denne: 0,5 y = x og 1 y = x og 1,5 y = x. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,5 y = x 1 y = x 1,5 y = x Hvis du tegner graferne på papir, kan du vælge disse enheder: På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 1. Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem. OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt mystisk for små x-værdier. Hvis du har godt tid eller bruger regneark, kan du også udfylde denne tabel: x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0,5 y = x 1 y = x 1,5 y = x Tegn også grafer ud fra tallene i den sidste tabel. Side 11 16
11: Hestefoder Man kan med god tilnærmelse beregne hestes behov for foder med denne funktion: 0,75 f(x) = 0,04 x x er hestens vægt i kg, og f(x) er antal foderenheder pr. dag. a: Lav og udfyld en tabel som denne: Foderenheder Der er ikke lige meget næring i alle slags dyrefoder. Derfor bruger man foderenheder. En foderenhed svarer fx til ca. 1 kg korn eller ca. 2 kg hø eller ca. 4 kg halm. x 200 300 400 500 600 f(x) b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. c: Hvor meget vejer en hest, som har brug for 4 foderenheder pr. dag? d: En hest på 375 kg får 400 g korn om dagen. Resten af foderet er en blanding af hø og halm. Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have. e: En hest vejer 450 kg. Hestens ejer køber 20 kg korn, 150 kg hø og 200 kg halm. Hvor lang tid er der foder til? For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud: 0,75 h(x) = 523 x x er hundens vægt i kg, og h(x) er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj). f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion. g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund. Undersøg om funktionen passer på jeres hunde. I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger. 12: Buket-priser En dame sælger blomster-buketter. Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag. Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag. Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag. Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger, -0,5 at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775 x. x er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag. Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen. Side 12 17
13: Dykning Den tid, som en dykker højst må være under vand, afhænger af vand-dybden. Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden: -2,12 y = 23.000 x x er vand-dybden i meter, og y er tiden i minutter. a: I hvor lang tid må en dykker opholde sig i en vanddybde på 15 m? b: Lav og udfyld en tabel som denne: x 10 20 30 40 50 y c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. d: Hvilken vand-dybde svarer til en tid på 25 min? Hvis dykkere er for lang tid under vand, risikerer de at få dykkersyge. Der er også regler for, hvor lang tid dykkere skal bruge på at svømme ned og op. Den tid skal lægges til, hvis man vil finde den samlede neddykningstid. 14: Vindmøller En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt. For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion: 3,3 y = 0,6 x x er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s), y er elektricitets-mængden målt i kilowatt (kw). y kaldes også effekten. a: Lav og udfyld en tabel som denne: x 0 2 4 6 osv. 20 y b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen. Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen, da der sjældent blæser mere end 12-15 m/s. NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk er i Danmark. c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er 1.000 kw? d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken går til lavenergi-pærer. Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til, hvis vindhastigheden er 8 m/s Vindmøllen i denne opgave står i en vindmøllepark med i alt 20 vindmøller. Effekt kan måles i kw eller i W. 1 kw = 1.000 W. En lavenergi-pære bruger typisk 9 W. Side 13 18
15: Vinglas Tegning til højre viser et kegleformet vinglas. Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel: 1 2 V = π r h 3 a: Vis at glasset kan rumme ca. 150 ml, når det er fyldt. Husk at 1 cm 3 = 1 ml (milliliter). Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med denne funktion: 3 y = 0,207 x hvor x er vinstanden i cm og y er rumfanget i ml. b: Hvor meget vin er der i glasset, når x = 6 cm? c: Udfyld en tabel som den viste: h = 9 cm r = 4 cm x Højde i cm (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vin i ml (y) d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem. Hvis du tegner i hånden kan du vælge disse enheder. 1 cm = 1 cm på x-aksen og 1 cm = 10 ml på y-aksen. e: Undersøg vha. grafen: - hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml? - hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml? - hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt? f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e. g: Vurder om disse påstande er rigtige: - når man fordobler x, bliver y 8-doblet. - når man 3-dobler x, bliver y 27-doblet? og hvis ja hvorfor? Side 14 19
To lineære ligninger med to ubekendte 1: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 10x + 5y = 20 A: y = x 2 b: 4x + 4y = 8 B: y = 4x + 2 c: 8x + 2y = 6 C: y = 4x 3 d: 2 x + 0,5y = 1 D: y = x 2 e: 2x 6y = 12 E: y = 0,5x 1,5 f: x 2y = 3 F: y = 2x + 4 1 3 2: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 5y 3x = x + 4y A: y = 0,5x 3 b: 3x 6y + 8 = x 5y + 5 B: y = 2x 2, 5 c: y 4x = 3y 5x + 6 C: y = 4x d: x + 5y = x y D: y = 2x + 3 e: 2 x + 5 = 2y + 6x + 10 E: y = x 1 3 3: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 4x + 2y 7 = 5(2x 3) A: y = x + 2 1 2 6x + 12y b: = 8 3 B: y = 2x + 6 c: 3(x + 2) = 2(y 3) x C: y = 3x 5x + 3y d: = 2x + y 4 D: y = 3x 4 Side 5 20
4: Claus og Christina skal dele 100 kr. De behøver ikke at få lige mange penge. Claus beløb kaldes x. Christinas beløb kaldes y. a: Tegn og udfyld en tabel som denne: x 0 10 20 30. 100 y. Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved ligningen x + y = 100 b: Omskriv ligningen til en lineær funktion. c: Tegn en graf for funktionen. Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder. 5: Lars vil købe kager og minirugbrød for 50 kr. Antal kager kaldes x. Antal minirugbrød kaldes y. a: Hvor mange kager kan han højst få? b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få? c: Tegn og udfyld en tabel som denne: x 0 1 2 3 4 5 y Brødkiosken Kager... 10 kr. Minirugbrød... 5 kr. d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. 6: Mette skal købe æbler og pærer for 75 kr. Antal kg æbler kaldes x. Antal kg pærer kaldes y. a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få? b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få? c: Tegn og udfyld en tabel som denne: x 0 1 2 3 osv. y Frugt og grønt Æbler 15 kr. pr. kg. Pærer 20 kr. pr. kg. d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. Side 6 21
7: Line skal købe 30 stykker frugt til en skoleklasse. Hun kan vælge mellem æbler og appelsiner. Hun må købe for 100 kr., og hun vil gerne have flest mulige appelsiner. Antal bananer kaldes x. Antal appelsiner kaldes y. Fredes Frugtbod Bananer Appelsiner 3 kr. pr. stk. 4 kr. pr. stk. a: Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved to af disse ligninger. x + y = 30 x + y = 100 3x + 4y = 30 3x + 4y = 100 Find de rigtige ligninger: b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner c: Lav x-y-tabeller og tegn grafer for funktionerne d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe? 8: Peter skal købe 40 flasker vin til en stor fest. Han kan vælge mellem to slags. Han må købe for 1.500 kr., og han vil gerne have flest mulige flasker af den dyre vin. a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. Fine vine Château Henri Pr. flaske kun 30 kr. Château Superb Pr. flaske kun 50 kr. 9: Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem. Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde. Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå. Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes x. Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y. 5 km/t 75 km/t 20 km a: Hvor mange min. tager det Mahmut at gå en km? c: Find x og y ved at løse disse to ligninger: x + y = 20 b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone at køre en km? Den tid det tager at gå x km = Den tid det tager at køre y km d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme? Side 7 22
10: Løs disse ligningssystemer a: x + y = 1 b: x + 2y = 8 2x y = 0 x + y = 3 c: 3x + y = 7 d: 2x + y = 5 x + y = 2 x + 5y = 10 e: 3x + 2y = 16 f: x + 4y = 4 x 4y = 20 2x y = 2 g: 2x + y = 3 h: 2x y = 3 x + 2y = 4 x + 2y = 2 i: 2x y = 3 j: 2x + y = 8 2x + y = 7 8x 2y = 1 11: Løs disse ligningssystemer a: x 2y = 6 b: 2x + y = 2 2x + y = 2 x 2y = 6 c: 2x 10y = 10 d: 3x + 5y = 35 4x 4y = 3 x + 2y = 6 e: x + 3y + 7 = 4x + y 7 f: 2x + 5y + 1 = 3x + y + 3 2x + 6y = 4x + y + 1 2x + 2y + 3 = y + 10 g: 3x + 2y 2 = 2(2x 3) h: 3x + 2y = 12 x + 8y = 2(2x y) + 2 5(x + 2y) = 2,5x + 5y + 7 12: Løs disse ligningssystemer a: 3x 2y = x y 5 b: 2x + 4y = 5y 3 x + 2y = 3x + y + 2 2x 3y = 2y 2 c: 3( 2x y) = 5x y + 1 d: 4x + 3y = 3x + 6 4x 2y + 1 = ( 12x + 8) : 4 12x + 30y 6 = x + 2y 12 Side 8 23